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• Miller Palacio Nuñez

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EJERCICIOS TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. =

− +

+

+

Debemos reescribir para poder usar fracciones parciales:

2 −1 +3 +3 +

2 −1 = +3 +3 +1

=

2 −1 +1

Ahora si fracciones parciales:

2 −1 +1

2 −1=

2 −1=

=

+1

+

+ +

+3

+ +1

+1

+

+

+3 +1 + +2 +1 +

+

+1

+1

+

+

+3

! +1

+1 +!

+3 +1 +!

Debemos hallar A, B, C, D y E:

Si s = 0 2∗0−1= ∗0 0 +3∗0 +3∗0+1 + 0 +3∗0 +3∗ 0+1 + ∗0 0 +2∗0+1 + 0 +0 +!∗0 −1 = 0 +

1 +0+0

Si s = -1 2 −1 − 1 = −1 −1 + 3 −1 −1 + 3 −1 + 3 −1 + 1 + 1 + −1 + −1 + ! −1

−

=%

+ 3 −1 + 1 + −1 −1 + 2 −1 +

−3 = −

:

−1 + 3 − 3 + 1 + + −1 + 1 + !

−1 + 3 − 3 + 1 +

−3 = 0 + 0 + 0 + !

+

:3 +

= 0 1 ; )+*=+ +2 +

)+ *+,= :3 + 3 +

=0 ; 3 −1+2 +

+

+! = 0 ; 3 −3+

)+*+,=-

−

=&

=0 +

−3=0

Resolver el sistema: +

=0

3 +

+

3 +2 +

De

:

=1

=6

=−

Reemplazar

en 3 −

Reemplazar

Restamos

Si * = −

: +2 +

en

:

3 −

+

y - :

+

=1 =6

−*+, = − *+, =-

-

1−2+1

En

− −5 +

=1 ;

=1−5

,=−

En = − −5

)=

Después de hallar A, B, C, D y E las reemplazamos en las fracciones parciales:

2 −1 +1

=

5

−

1

−

5 − +1

4 +1

−

2

−

3 +1

Finalmente: Si

1

2=

3 4 =5

6

3 4 =5 =

=

entonces

6

2 −1 +3 +3 +

5

−

1

−

−

1

− 2

5

+1

−

−

=5

4

+1 +

∗

+

Resolviendo: Algunas anti transformadas son directas:

= =

2

6

−

−

2

2 −1 3

+1

+1

3

+

3

=

+

= 7

+

Queremos llegar a una función cuya transformada sea

1 5142 =

1

2= 1

5148−4 2 =

2

4

45148−4 2 =

+1

+1

+ 2

7− =

2

1

5148−4 2 = −

+1

∗ 2

4 4

+

Queremos llegar a una función cuya transformada sea

5 14 2 = 2

1

2!

2=

5 14 8 2 = 2 −4

3

3 2 −4 5 14 8 2 = 2

3

+1

2

+1

+ 3

5148 2 =

7− =

3

2

−4

−

+1 +

Reemplazar en (*):

= R//

=

− − 7

− − 7

−

−

7− −

7− − 7−

7−

3

∗

3 3

2.

: ;

=

−:

;

En este caso no podemos usar fracciones parciales porque no conocemos el coeficiente de s-a, es un n cualquiera: : ;

Queremos llegar a una función cuya transformada sea

1 514

1 1 − + +1 −2

+

−

+

1 +1

− −

Resolviendo:

+ −

1 +1

=7 =7

1 +1 + ∗

−

+ + 2

2 s −2

2 −2

2 A −2 2 +

Queremos llegar a una función cuya transformada sea

5142 =

1

1

2=

1

5148−4 2 =

2

+1

+ 7− =

2

−

+

Queremos llegar a una función cuya transformada sea

5142 =

1

2

1 514824 2 =

25148 \ 2 =

2 −2

2= 1

−2

−

1

514824 2 =

2

7

=

−2 −

Reemplazando en (*):

R//

=

7f

7

=7

−7

7f

7

+ 7− +

7

2

∗

2

2