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Integraci´ on por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina funci´on racional. La derivaci´ on de una funci´ on racional conduce a una nueva funci´on racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integraci´ on de una funci´ on racional puede conducirnos a funciones que no son racionales1 por ejemplo: Z Z dx dx = ln |x| + C y = arctan (x) + C x 1 + x2 ahora daremos un m´etodo para calcular la integral de una funci´on racional cualquiera y se ver´ a que el resultado puede expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos. La idea del m´etodo es descomponer la funci´on racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de t´ecnicas ya conocidas (de debe realizar la descomposici´ on en fracciones parciales de la funci´on racional considerada). (x) es una funci´on racional, si es impropia Supongamos entonces que fg(x) podemos simplemente dividir y nos queda

f (x) R (x) = Q (x) + g (x) g (x) donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´on) y R (x) es el resto de la divisi´ on (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)), de esta forma toda funci´ on racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una funci´ on racional propia. 1

¿C´ omo puede mostrarse que determinada funci´ on no es racional?

1

Nelson Cifuentes F.

Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´on racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma A

(0.0.1)

(αx + β)k y Bx + C + bx + c)m

(0.0.2)

(ax2

donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y b2 − 4ac < 0 en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´atica sin ra´ıces reales. Luego el calculo de la integral de una funci´on racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la forma Z Adx (αx + β)k y Z

(Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m

aprenderemos a calcular este tipo de integrales. Ejemplo 1. Consideremos la integral  Z  5x + 3 dx x2 + 2x − 3 la funci´ on racional

5x + 3 x2 + 2x − 3 es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las ra´ıces reales del denominador, como x2 + 2x − 3 = (x + 3) (x − 1) se sigue que 5x + 3 5x + 3 = x2 + 2x − 3 (x + 3) (x − 1) Apuntes de Clases

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luego por el m´etodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B tales que A B 5x + 3 = + x2 + 2x − 3 x+3 x−1 para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´etodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´on por el denominador 5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3) evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos 8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2 evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene −15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3 se sigue 5x + 3 3 2 = + x2 + 2x − 3 x+3 x−1 luego Z 

5x + 3 2 x + 2x − 3



Z 

 3 2 dx = + dx x+3 x−1 Z Z dx dx +2 = 3 x+3 x−1 = 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C

el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas ra´ıces reales como el grado del polinomio y todas las ra´ıces distintas. Ejemplo 2. Calcular Z

(2x − 1) dx (x − 1) (x − 2) (x − 3)

Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposici´ on en fracciones parciales: A B C (2x − 1) = + + (x − 1) (x − 2) (2x − 3) x − 1 x − 2 2x − 3

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y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador 2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2) evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos 2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0 as´ı 1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1 evaluando en x = 2 se obtiene 4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0 as´ı 3=B y finalmente, evaluando en x =

3 2

se obtiene    3 3 −1 −2 3−1=A·0+B·0+C 2 2

as´ı

   1 1 2=C − =⇒ C = −8 2 2

se sigue (2x − 1) 1 3 −8 = + + (x − 1) (x − 2) (2x − 3) x − 1 x − 2 2x − 3 luego (2x − 1) dx (x − 1) (x − 2) (2x − 3)  Z  1 3 −8 + + dx x − 1 x − 2 2x − 3 Z Z Z dx dx dx +3 −8 x−1 x−2 2x − 3 ln |x − 1| + 3 ln |x − 2| − 4 ln |2x − 3| + C ! |x − 1| |x − 2|3 ln +C |2x − 3|4 Z

= = = = donde

Z

dx 1 = ln |2x − 3| 2x − 3 2 (recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2). Apuntes de Clases

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Ejercicio 1. Calcular Z (x2

x dx − 1) (x − 2)

Ejercicio 2. Calcular Z

2x + 1 dx (3x − 1) (2x + 5)

Ejercicio 3. Calcular Z

2x2 + x − 1 2x3 + x2 − 5x + 2

veamos ahora que pasa si la ra´ıces se repiten: Ejemplo 3. Calcular Z


x2 + 2x + 3 dx (x − 1) (x + 1)2

notemos que es una funci´ on racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposici´ on en fracciones parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego
x2 + 2x + 3 B C A 2 = x−1 + x+1 + (x − 1) (x + 1) (x + 1)2 desarrollando encontramos 3 1 A = , B = − y C = −1 2 2 se sigue
x2 + 2x + 3 dx

Z

(x − 1) (x + 1)2 Z Z 3 dx 1 dx dx − − 2 x−1 2 x+1 (x + 1)2 3 1 1 ln |x − 1| − ln |x + 1| + +C 2 2 x+1 Z

= =

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Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo Z Adx (αx + β)k para k = 1 la integral es Z

Adx A = ln |αx + β| + C αx + β α

para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = αx + β eso implica du = αdx de donde Z Z Adx du A u(−k+1) +C = A = α (−k + 1) αuk (αx + β)k A (αx + β)(−k+1) +C α (−k + 1)

= Ejemplo 4. Calcular Z

3dx (2x − 1)3

Desarrollo: Podemos hacer la sustituci´on u = 2x − 1 =⇒ du = 2dx se sigue Z Z Z du 3 3dx = u−3 du 3 = 3 3 2u 2 (2x − 1) 3 u−3+1 +C = 2 −3 + 1 3 = − u−2 + C 4 3 = − +C 4 (2x − 1)2 Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo Z (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m con b2 − 4ac < 0. Ejemplo 5. Calcular Z x2 Apuntes de Clases

xdx + 2x + 2 6

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note que en este caso, es denominador no posee ra´ıces reales ∆ = 4 − 8 = −4 < 0 y x 2 x + 2x + 2 ya es una fracci´ on parcial (no tenemos que aplicar la t´ecnica de descomposici´ on), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la forma Z dv v2 + 1 que sabemos calcular (arctan v) completemos cuadrados en el denominador, x2

x x = + 2x + 2 (x + 1)2 + 1

luego Z

xdx = (x + 1)2 + 1

Z

xdx x2 + 2x + 2

si hacemos el cambio de variable u = x + 1 =⇒ du = dx luego Z

xdx (x + 1)2 + 1

(u − 1) du (u2 + 1) Z Z du udu = − 2 2 u +1 u +1 Z

=

note que la primera es calculable por una simple sustituci´on v = u2 + 1 (esto es general para las integrales del tipo Z xdx 2 (x + α2 )m las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 + α2 =⇒ dv 2 = xdx) y la segunda es conocida, luego Z Z du 1 udu − = ln u2 + 1 − arctan (u) + C 2 2 u +1 u +1 2 volvemos a la variable original Z xdx 1 2 = ln (x + 1) + 1 − arctan (x + 1) + C 2 2 (x + 1) + 1 Apuntes de Clases

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entonces, toda integral de la forma Z (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m la podemos escribir como Z Z Bxdx dx m +C 2 2 (ax + bx + c) (ax + bx + c)m pero Z (ax2

=

B 2a

(2ax + b − b) dx (ax2 + bx + c)m Z Z B (2ax + b) dx Bb dx m − 2 2 2a (ax + bx + c) 2a (ax + bx + c)m

Z =

Bxdx + bx + c)m

de esta forma  Z Z Z B (2ax + b) dx Bb dx (Bx + C) dx = + C− (ax2 + bx + c)m 2a (ax2 + bx + c)m 2a (ax2 + bx + c)m la integral Z

(2ax + b) dx (ax2 + bx + c)m

se puede calcular mediante la sustituci´on u = ax2 + bx + c =⇒ du = (2ax + b) dx, por lo que no presenta mayor dificultad. El problema ahora, es calcular integrales del tipo Z dx (ax2 + bx + c)m completemos cuadrado de binomio   b b2 b2 2 2 ax + bx + c = a x + 2 x + 2 − +c 2a 4a 4a   b 2 4ac − b2 = a x+ + 2a 4a

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note que b2 − 4ac < 0 =⇒ 4ac − b2 > 0 obtenemos Z Z dx dx   m =
2 2 m b 2 (ax + bx + c) a x + 2a + 4ac−b 4a Z dx 1   =
2 m b 2 am x + 2a + 4ac−b 4a2 hagamos el cambio de variables b x+ = 2a entonces

r dx =

r

4ac − b2 v 4a2

4ac − b2 dv 4a2

se sigue q 1 am

Z

dx 

x+


b 2 2a

+

4ac−b2 4a2

m

1 am

=

Z  q

4ac−b2 4a2

4ac−b2

1 4a2  m m 4ac−b2 a

=



4ac−b2 dv 4a2

v2 +

Z

4a2

(v 2



4ac−b2 4a2

m

dv + 1)m

de donde obtenemos que el c´alculo de las integrales de la forma Z dx (ax2 + bx + c)m puede ser reducido al c´ alculo de integrales de la forma Z dv 2 (v + 1)m y estas pueden ser abordadas a trav´es de integraci´on por partes, en efecto Z Z
−m dv v2 + 1 dv m = 2 (v + 1)   Z 1 −m −2m = v 1+ 2 dv v

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pongamos 

−m



1 =⇒ dk = −m 1 + 2 k = v v −2m+1 dr = v −2m dv =⇒ r = −2m + 1 as´ı Z

dv = 2 (v + 1)m

es decir Z dv 2 (v + 1)m

1 1+ 2 v



v −2m+1 −2m + 1

−m−1 

−2 v3

 dv

     ! Z  −2m+1  1 −m v 1 −m−1 −2 1+ 2 −m 1 + 2 dv − v −2m + 1 v v3


−m 
−m−1  Z −2m+1 2 v v2 + 1 v v +1 2m − dv −2m + 1 −2m + 1 v −2m−2 v 3  Z v 2m 1 − dv 2 (−2m + 1) (v 2 + 1)m −2m + 1 (v + 1)m+1

= =

si en lugar de m ponemos m − 1 entonces Z  Z 1 dv v 2 (m − 1) dv m−1 = m−1 − −2 (m − 1) + 1 2 + 1)m 2 2 (v (v + 1) (−2 (m − 1) + 1) (v + 1) es decir Z

dv

(v 2 + 1)

m−1

=



v (−2m + 3) (v 2 + 1)

m−1

−

2m − 2 −2m + 3

Z (v 2

1 dv + 1)m

as´ı Z

Z 1 − (−2m + 3) v −2m + 3 dv − m dv = − m−1 2 2 2 (v + 1) 2m − 2 (−2m + 3) (2m − 2) (v + 1) (v + 1)m−1 Z v 2m − 3 dv = m−1 + 2m − 2 2 2 (2m − 2) (v + 1) (v + 1)m−1

Ejemplo 6. Calcular Z

dx

(x2 + 1)2 Desarrollo: Aplicando la f´ ormula de recurrencia anterior Z Z dx x 1 dx 2 = 2 (x2 + 1) + 2 2 2 x +1 (x + 1) x 1 = + arctan x + C 2 (x2 + 1) 2 Apuntes de Clases

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Ejemplo 7. Calcular Z

dx (x2 + 1)3

Desarrollo: con la f´ ormula de recurrencia Z Z dx x 2·3−3 dv = + 3 3−1 2·3−2 (x2 + 1) (2 · 3 − 2) (x2 + 1) (x2 + 1)3−1 Z x 3 dv = 2 + 4 2 2 4 (x + 1) (x + 1)2 utilizando el ejercicio anterior Z dx

= =

(x2 + 1)3   x 3 x 1 + + arctan x + C 4 (x2 + 1)2 4 2 (x2 + 1) 2 3 x 3x + arctan x + C + 2 2 8 (x + 1) 8 4 (x2 + 1)

Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una funci´ on racional cualquiera (aunque nuestros c´alculos se ven limitados por tener que encontrar las ra´ıces que nos permitan hacer la descomposici´on en fracciones parciales, para encontrar una descomposici´on de polinomios muy generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las ra´ıces)

Ejemplos resueltos 1. Calcular Z

3x2 + 2x − 2 dx x3 − 1

Desarrollo: Primero notamos que la funci´on racional es propia, luego podemos efectuar directamente la descomposici´on en fracciones parciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las ra´ıces del denominador
x3 − 1 = (x − 1) x2 + x + 1 notemos que el segundo factor no tiene ra´ıces reales, as´ı 3x2 + 2x − 2 A Bx + C = + 2 3 x −1 x−1 x +x+1 Apuntes de Clases

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desarrollando encontramos A = 1, B = 2 y C = 3 luego 3x2 + 2x − 2 1 2x + 3 = + 2 3 x −1 x−1 x +x+1 luego Z

3x2 + 2x − 2 dx = x3 − 1

Z

1 dx + x−1 Z = ln |x − 1| +

Z

2x + 3 dx +x+1 2x + 3 dx x2 + x + 1 x2

para calcular la integral Z

2x + 3 dx +x+1

x2

reordenamos en la forma Z Z Z 2x + 1 + 2 2x + 1 2 dx = dx + 2 2 2 x +x+1 x +x+1 x +x+1 Z
2dx = ln x2 + 2x + 1 + 2 x +x+1 ahora debemos calcular Z x2

2dx +x+1

para ello completamos cuadrados Z Z 2dx dx
= 2 1 2 x +x+1 x2 + 2 2 x + Z dx = 2
2 x + 12 + 34

1 4

+

3 4

hacemos el cambio de variable r r 1 3 3 x+ = u =⇒ dx = du = dx 2 4 4

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as´ı q Z 2 x+

dx
1 2 2

Z +

= 2

3 4

q q

= 2

3 4

3 4

3 4 du 2

3 4u

Z

+

3 4

du +1

u2

1 = 2 q arctan u 3 4

4 √ arctan 3

=



2 √ 3

  1 +C x+ 2

as´ı Z

3x2 + 2x − 2 dx x3 − 1

4 = ln |x − 1| + ln x + 2x + 1 + √ arctan 3 2

2. Calcular Z






2 √ 3

  1 +C x+ 2

x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)2

Desarrollo: La funci´ on racional es propia. Efectuamos la descomposici´ on en fracciones parciales: x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x − 1) (x2 + 2)

2

=

Bx + C Dx + E A + 2 + x−1 x +2 (x2 + 1)2

las constantes nos dan 1 2 1 A = , B = , C = − , D = −1, E = 0 3 3 3 se sigue x4 − x3 + 2x2 − x + 2 (x −

Apuntes de Clases

1) (x2

+ 2)

2

=

1 1 1 2x − 1 x + − 2 2 3 x − 1 3 x + 2 (x + 1)2

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luego Z

= =

x4 − x3 + 2x2 − x + 2

dx (x − 1) (x2 + 2)2 Z Z Z 1 dx 2x − 1 1 xdx + dx − 2 2 3 x−1 3 x +2 (x + 1)2 Z Z Z 1 1 2xdx 1 dx xdx ln |x − 1| + − − 2 2 2 3 3 x +2 3 x +2 (x + 1)2

pero Z

2xdx = ln x2 + 2 2 x +2

y Z

dx +2

x2

√ √ la podemos calcular con el cambio de variable 2u = x =⇒ 2du = dx as´ı Z Z √ Z dx 2du 1 du = =√ 2+1 x2 + 2 2u2 + 2 u 2 1 = √ arctan u 2   x 1 = √ arctan √ 2 2 luego Z

=

x4 − x3 + 2x2 − x + 2

dx (x − 1) (x2 + 2)2   Z 1 1 2 1 x xdx ln |x − 1| + ln x + 2 − √ arctan √ − 3 3 3 2 2 (x2 + 1)2

y para Z

xdx (x2

+ 1)2

es simplemente hacer la sustituci´on u = x2 + 1 =⇒ du = 2xdx

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as´ı Z

Z

Z du 1 u−2 du = 2u2 2 1 = − u−1 + C 2 1 +C = − 2 (x2 + 1)

xdx

=

(x2 + 1)2

as´ı Z

=

x4 − x3 + 2x2 − x + 2

dx (x − 1) (x2 + 2)2   1 1 2 x 1 1 ln |x − 1| + ln x + 2 − √ arctan √ + +C 2 3 3 2 (x + 1) 3 2 2

Ejercicios propuestos Z a) Z d) Z g)

(2x + 3) dx (x − 2) (x + 5) x2 dx x4 + 1 (x + 1) dx (x2 − 1)2

Apuntes de Clases

Z b) Z e)

c)

dx 4 x − 2x3

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x3 Z

dx (x + 1) (x2 + 1)2 (x + 2)2

Z h)

Z

x dx (x + 1) (x + 2) (x + 3)

f)

x dx − 3x + 2

x4 dx (x2 + 3)2 x2 dx

Z i)

(x2 + 2x + 2)2

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