• Author / Uploaded
• Alex Ramírez Huamán

Citation preview

a) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. y

C2 a

b

x

C1

Solución: Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que:

I x   y 2 dA D

Donde  es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea. Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:  Q P   dA   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy  x y  C1 C2

  D

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

 Q P     y 2 ; tomamos , por ejemplo : Q  0 ; P  13 y 3   x y  Aplicando Green con esta función tenemos: 

 1 3 1 3  y dx  0 dy   y dx  0 dy    3  3  C1  C2

I x   y 2 dA    D





 

3 3   13 y dx   13 y dx

C1



C2

(1) Parametrizando estas curvas tenemos  x  b cos t  dx  b sen t , 0  t  2  y  b sen t  dy  b cos t  x  a cos t  dx   a sen t C2  , 0  t  2  y  a sen t  dy  a cos t C1 

Reemplazando con esto en (1) tendremos: Ix  

 



1 3

2

0

b

4

 13 b 3 sen 3 t (b sen t )dt  

a

0

4



2

0 2

1 4

b

2

 a 2 M

1 3



a 3 sen 3 t (a sen t )dt    13 b 4  a 4 

sen t 1  cos t dt    b  a

2

2

1 3

4

4



2

0





2

0

sen 4 tdt 

sen 2 2t   sen t   dt  4   2

 1  cos t 1  cos 4t  4 4   dt  14   b  a   2 8  

 13   b 4  a 4    0 

2

1 4

b

2

 a 2    b 2  a 2  

Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.

b) Empleando el teorema de Green calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x,y)= (x+ 3y , 2y – x) al mover una partícula a lo largo de la frontera de una elipse 2

x 2+

2

4x + y = 4

y2 =1 22

y 2

Coordenadas elípticas: x =rcos θ

1 x

y = 2rsen θ J(r, θ ¿ = 2r Recinto R con frontera C: 0 ≤θ ≤ 2 π 0≤r≤1 ❑

❑

c

c

∫ F . dr =∫ ( y+ 3 x ) dx + ( 2 y −x ) dy

Trabajo = W=

Ahora empleamos el teorema de green se tendría lo siguiente: W=

❑

2π 1

R

0 0

∬ −2 dx dy=−2∫ ∫ 2 rdr dθ=−4 π

c. Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

∫ y 3 dx+ ( x 3+ 3 xy 2 ) dy C

Donde C es la trayectoria desde (0,0) hasta (1,1) a lo largo de la gráfica de y=x 3 y desde (1,1) hasta (0,0) a lo largo de la gráfica de y=x . SOLUCION Como

M = y3

y

N=x 3 +3 xy 2 , sigue que ∂N =3 x 2 +3 y 2 ∂x

y

∂M =3 y 2 ∂y

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces ∂N ∂x ∂M (¿ ¿− ) dA ∂y ∫¿

∫ y 3 dx+ ( x 3+ 3 xy 2 ) dy=∫ ¿ C

R

1 x

¿∫∫ [ ( 3 x 2+3 y 2 ) −3 y 2 ] dydx 0 x3

1 x

¿∫ ∫ 3 x 2 dydx 0 x3

1

¿∫ 3 x 2 y | x3 dx x 0 1

¿∫ ( 3 x3 −3 x5 ) dx 0

¿

[

¿

1 4

4

6

]

3x x 1 − 4 2 0

Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial: y

1 -1

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0  t  2

1

x

-1

Solución

De la parametrización de la curva tenemos: x = cos3t  x2/3 = cos2t y = sen3t  y2/3 = sen2t Sumando miembro a miembro tenemos:



x2/3  y2/3  1  y   1 x2/3



3/ 2

1

 A



 1 x 2 / 3



1  1 x





3/ 2

2/3 3/2

1



dydx   2 1  x 2 / 3 1



3/ 2

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

dx

A  1dA El área de una región D viene dada por

D

. Por lo tanto, para Q P  1 x y

aplicar Green deberíamos encontrar funciones P, Q / . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos: x = cos3t  dx = -3 cos2t sent dt y = sen3t  dy = 3 sen2t cost dt Luego: 2 2  Q P   dA   Pdx  Qdy   cos 3 t 3 sen 2 t cos tdt  3 cos 4 t sen 2 tdt   0 0 x y  D  C 2 2 2  1  cos 2t  sen 2t 2 sen 2 2t  3 cos 2 t dt  3  dt  83  (sen 2 2t  sen 2 2t cos 2t )dt   0 0 0 4 2 4  

A   



2 3 8 0



 sen 4t sen 3 2t   1  cos 4t   sen 2 2t cos 2t  dt  83  12 t     2 8 6    

2

0

3   8

De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva.