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• Stevez

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y 2

PROBLEMA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN

2

2

x +y =R A

Para calcular el área dentro de la curva x2 + y2 = R2 se utiliza la siguiente formula:

R

-R

x

-R

Area =

dA = A

dxdy A

R

R2 − y 2

=

− R2 − y 2

−R

R

R2 − y 2 dy − R2 − y 2

[x ]

dx dy = −R

R

R2 − y2 − − R2 − y2

=

R

y R2 y = 2 R − y dy = 2 ⋅ R2 − y2 + arcsen 2 2 R −R 2

dy

−R R

2

−R

2

= 2⋅

R R R −R R2 −R R2 −R2 + arcsen − R 2 − (− R )2 + arcsen R R 2 2 2 2

= 2⋅

2 R (0 ) + R π 2 2 2

2 R (0 ) + R − π 2 2 2

−

= πR 2 Dicha área también se puede integrar utilizando el teorema de Green, calculando los valores de dQ/dx y dP/dy para obtener los valores de Q y P

∂Q ∂P − dA ∂x ∂y

dxdy = A

D

∂Q =1 ∂x Q =x

∴

∂Q ∂P − =1 ∂x ∂y

∂P =0 ∂y P =0 −

y

Haciendo los siguientes cambios:

C

Pdx + Qdy =

C

x = R cos t

xdy

Hay que parametrizar la ecuación, por lo tanto: x = R cos t y = R sen t

t

-R

Para 0 < t < 2π, queda la siguiente formula: 2π C

2π

R ⋅ cos t ⋅ (R ⋅ cos t ) ⋅ dt

xdy = 0

= R2

1 1 t + sen 2 t 2 4

=R

(cos t )2 ⋅ dt

2 0

2π

= R2 0

R

-R

dx = - R sen t dt dy = R cos t dt

1 1 1 1 2π + sen 4π − 0 + sen 0 2 4 2 4

2

=R π

-1-

x

y = R sen t

TEOREMA DE GREEN En fenómenos de transporte se ocupa la ecuación 1.1 para expresar la rapidez del flujo de salida (V)

V=

S

ρV ⋅ ds = ∇(ρV ) ⋅ dv

Donde V es el vector de velocidad

Ec.1.1

v

Dicha ecuación ha empleado el teorema de Green para convertir una integral de superficie a una integral de volumen. Para entender el teorema se analizará el caso de dos dimensiones: Tesis del Teorema de Green C

∂Q ∂P − dA ∂x ∂y

Pdx + Qdy = D

Ec. 1.2

Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. DEMOSTRACIÓN PARA UNA REGIÓN SIMPLE Procedimiento: Demostrar primero la ec.1.3, luego la ec.1.4 para después sumar y llegar a la ec.1.2.

Pdx = −

C

•

D

∂P dA ∂y

Ec. 1.3

C

Qdy = D

∂Q dA ∂x

Ec. 1.4

Demostración de la ecuación 1.3:

Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región D. Al proyectar la región D sobre el eje X, se forman las curvas C1, descrita por la función y1(x); y la curva C2 descrita por la función y2(x). (Fig 1.1)

y y2(x)

C2

C1 está definida por: { y 1 (x ); a ≤ x ≤ b } C2 está definida por: { y 2 (x ); a ≤ x ≤ b }

D C1

D

b y 2 (x ) b ∂P ∂P (x , y ) dA = dydx = ∂y ∂y a y (x ) a 1

b

=

y 2 (x ) dx y1 ( x )

[P (x , y )]

a

b

=

y 2 (x )

∂P (x , y ) dy dx ∂ y y (x )

y1(x) a

b

1

Figura 1.1

[P (x , y 2 (x )) − P (x , y1 (x ))]dx

a b

a

= − P (x , y 2 (x ))dx − P (x , y 1 (x ))dx b

a

= − Pdx − Pdx = − Pdx C2

C1

Por lo tanto: D

C

∂P dA = − Pdx ∂y C

o escrito de otra forma:

Pdx = − C

-2-

D

∂P dA ∂y

x

•

Demostración de la ecuación 1.4:

Ahora, al proyectar la región D sobre el eje Y se forman las curvas C3, descrita por la función x1(y); y la curva C4 descrita por la función x2(y) (Fig 1.2).

y d

C3 está definida por: { x1 (y ); c ≤ y ≤ d } C4 está definida por: { x 2 (y ); c ≤ y ≤ d } d x2 (y )

D

1

=

x 2 (y ) dy x1 (y )

[Q(x , y )]

c d

d

=

D

x1(y)

C4 x2(y)

c

d x2 (y )

∂Q ∂Q (x , y ) dA = dxdy = ∂x ∂ x c x (y ) c d

C3

∂Q (x , y ) dx dy ∂ x x (y )

x

1

Figura 1.2

[Q(x 2 (y ), y ) − Q(x1 (y ), y )]dy

c c

= Q (x 2 (y ), y )dy + Q (x1 (y ), y )dy c

d

= Qdy + Qdy = Qdy C4

C3

Por lo tanto:

C

Qdy = C

D

∂Q dA ∂x Pdx = − C

Al sumar la ecuación 1.3 y 1.4 se obtiene:

D

Qdy = C

D

Pdx + Qdy = C

D

El teorema de Green explica la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C (Fig 1.3) y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial más del teorema general de Stokes. En general este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dado un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, se puede elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o integrar la diferencia de sus derivadas parciales sobre el recinto que delimita dicha curva.

∂P dA ∂y

∂Q dA ∂x ∂Q ∂P dA − ∂x ∂y

Curva simple no cerrada

Curva simple cerrada

Curva no simple no cerrada

Curva no simple cerrada

En fenómenos de transporte permite la posibilidad de Figura 1.3 realizar el cambio de una integral de volumen a una integral de superficie (o viceversa), según nos convenga, siempre y cuando se cumplan las condiciones necesarias facilitando muchos de nuestros cálculos.

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