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INGENIERIA ARQUITECTURA Y URBANISMO

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

MATEMATICA II TEMA

PROFESOR

: TEOREMA DE GREEN

:

EDINSON IDROGO BURGA

INTEGRANTES:      

AGUINAGA RAMIREZ HIGEINY ADUBEL ESPINOZA REQUEJO NAYLA GISELL LEGOAS CAPUÑAY VICTOR MANUEL MORENO PAREDES ARMANDO JOSE SINARAHUA ALARCON DARWIN ENRIQUE VILLACREZ ALTAMIRANO SANDRA

PIMENTEL - CHICLAYO

MATEMATICA II

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INDICE INTRODUCCION .................................................................................................... 2 DEFINICIONES ............................................................¡Error! Marcador no definido. TEOREMA DE GREEN ................................................................ ¡Error! Marcador no definido. Orientación de la curva ................................................................................................................ 4 Conexidad ...................................................................................................................................... 6 Formas de la región D ................................................................................................................. 6

TEOREMA DE GREEN ........................................................................................... 9 

TEOREMA 1 .......................................................................................................................... 9

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN: ................................................................... 9 APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN:................................................................... 101 

TEOREMA 2 ...................................................................................................................... 112

ESBOZO DE LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LÍNEA: .... 12

FORMAS VECTORIALES DEL TEOREMA DE GREEN ...................................... 13 EJERCICIOS DE APLICACIÓN POR TEOREMA DE GREEN .......................... 15 BIBLIOGRAFIA ............................................................................... ¡Error! Marcador no definido.2

LINKOGRAFIA ..........................................................¡Error! Marcador no definido.3

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EL TEOREMA DE GREEN El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes. Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva. Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.

 Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

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El teorema de Green relaciona la integral de línea

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 𝐶

Con la doble integral

Es una integral de función escalar 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 a lo largo del borde de la región D:𝜕𝐷

∬( 𝐷

𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ) 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Es una doble integral de la función escalar

𝜕𝑄 𝜕𝑥

−

𝜕𝑃 𝜕𝑦

sobre

la región D:

D

Donde: a) La región D es un conjunto compacto (cerrado y acotado) b) 𝜕𝐷, es el borde o frontera de la región D.

Orientación de la curva Una curva tiene orientación positiva respecto a la región D, cuando el sentido de las curvas es tal que la región D siempre este a su izquierda.

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1:

𝜕𝐷 = 𝛼1 ∗ 𝛼2 ∗ 𝛼3 ∗ 𝛼4 El borde de la región D es la yuxtaposición de caminos 𝛼1 ∗ 𝛼2 ∗ 𝛼3 ∗ 𝛼4

2:

3: Región del tipo 3 𝜕𝐷 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3 El borde de la región D es la unión de caminos cerrados 𝐶1 , , 𝐶2 , 𝐶3 que tienen orientación positiva respecto a la región D C

C C

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1

2

3

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Conexidad

Un conjunto es conexo si es de un solo pedazo. Esta "definición" puede ser suficiente en algunos contextos, o cuando se trata de formas sencillas del plano o volúmenes del espacio tridimensional. Un conjunto C es conexo por caminos si desde cualquier punto x del mismo se puede llegar a cualquier punto y de C recorriendo un "camino continuo" que no sale del conjunto. a) Figura conexa

b) Figura no conexa

Formas de la región D El borde o frontera de la región D tiene diversas formas. Algunas de ellas son: MATEMATICA II

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Es estos tres gráficos la región D tiene diversas formas. Algunas de ellas son:

D

D

D

D

D

D En este caso la región D es doblemente conexo (D tiene un agujero)

D es triplemente conexo (D tiene tres agujeros)

D

D

D D

D

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D

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TEOREMAS DE GREEN Sea C una curva suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada al plano, y sea D la región limitada por C. si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D, entonces: TEOREMA 1: ∫ 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 = ∬ ( 𝐶

El teorema

𝐷

𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ) 𝑑𝐴 … … … … … … . (1) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

de Green debe ser considerado como el similar del teorema

fundamental de cálculo para integrales dobles. Comparando la ecuación 1 con el enunciado del teorema fundamental de cálculo, en la siguiente ecuación: 𝑏

∫ 𝐹 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN: El teorema de Green estará demostrado si: ∫ 𝑃 𝑑𝑥 = − ∬ 𝐶

𝐷

∫ 𝑄 𝑑𝑦 = ∬ 𝐶

𝐷

𝜕𝑃 𝑑𝐴 … … ( 1) 𝜕𝑦

𝜕𝑄 𝑑𝐴 … … . (2) 𝜕𝑥

 Para poder determinar la igualdad (1), consideramos la región D como: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 } Donde g1y g2 son funciones continúas entonces 𝑏 𝑔2

𝑏

𝜕𝑝 𝜕𝑝 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫[𝑃(𝑥, 𝑔2 (𝑥)) − 𝑃(𝑥, 𝑔1 (𝑥))]𝑑𝑥 ∬ 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝐷

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𝑎 𝑔1

𝑎

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Por otro lado ∫ 𝑃𝑑𝑥 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝐶

𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

𝑏

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑔1 (𝑥))𝑑𝑥 𝐶1

𝑎 𝑏

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑃(𝑥, 𝑔2 (𝑥))𝑑𝑥 𝐶3

−𝐶3

𝑎

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 0 𝐶2

𝐶4

Entonces: 𝑏

∫ 𝑃𝑑𝑥 = ∫(𝑃(𝑥, 𝑔1 (𝑥))𝑑𝑥 − 𝑃(𝑥, 𝑔2 (𝑥))𝑑𝑥 𝐶

𝑎

Por lo tanto: ∫ 𝑃𝑑𝑥 = − ∬ 𝐶

𝐷

𝜕𝑃 𝑑𝐴 𝜕𝑦

 Para poder determinar la igualdad (2), consideramos la región D como: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏, 𝑓1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓2 } Donde f1y f2 son funciones continúas entonces 𝑏 𝑓2

𝑏

𝜕𝑄 𝜕𝑄 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫[𝑄(𝑓2 (𝑦), 𝑦) − 𝑄(𝑓1 (𝑦), 𝑦)]𝑑𝑦 ∬ 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐷

𝑎 𝑓1

𝑎

Por otro lado ∫ 𝑄𝑑𝑥 = ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝐶

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𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN 𝑏

∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑄(𝑓2 (𝑦), 𝑦)𝑑𝑦 𝐶2

𝑎 𝑏

∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = − ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = − ∫ 𝑃(𝑓1 (𝑦), 𝑦)𝑑𝑦 𝐶4

−𝐶4

𝑎

∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝐶1

𝐶3

Entonces: 𝑏

∫ 𝑄𝑑𝑦 = ∫(𝑄(𝑓2 (𝑦), 𝑦)𝑑𝑦 − 𝑄(𝑓1 (𝑦), 𝑦)𝑑𝑦 𝐶

𝑎

Por lo tanto: ∫ 𝑄𝑑𝑦 = ∬ 𝐶

𝐷

𝜕𝑄 𝑑𝐴 𝜕𝑥

Ahora sumamos (1) y (2) obteniéndose: ∫ 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 = − ∬ 𝐶

𝐷

𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝑑𝐴 + ∬ 𝑑𝐴 = ∬ ( − ) 𝑑𝐴 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐷

𝐷

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GREEN:

Una aplicación del teorema de Green es para el cálculo de áreas. Como el área de D es∬𝐷 1 𝑑𝐴 , deseamos escoger P y Q de modo que: 𝜕𝑄 𝜕𝑃 − =1 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Hay varias posibilidades: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 0 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥

𝑃(𝑥, 𝑦) = −𝑦 𝑄(𝑥, 𝑦) = 0

𝑃(𝑥, 𝑦) = −𝑦/2 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥/2

Entonces el teorema de Green da las siguientes formulas para el área de D: MATEMATICA II

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Sea D una región plana simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contraria a las manecillas del reloj. Entonces el área de D: TEOREMA 2: 𝐴𝑟𝑒𝑎 =

1 ∫ 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 2 𝐶

Importantes consecuencias: Sea 𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 en un campo abierto 𝑈 = ℝ2 tal que 𝜕𝑄 𝜕𝑃 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈, se cumplen las siguientes propiedades:

1) si es simplemente conexo

2) si es doblemente conexo

U U

C1 C1

∫𝐹 = 0 𝐶

C2

Como 𝐶1 𝑦𝐶2 tienen el mismo sentido, se cumple: ∫𝐹 = ∫𝐹 𝐶1

𝐶2

Además ∫𝐹 = ∫𝐹 − ∫𝐹 −

𝜕∪

𝐶1

𝐶2 −

𝐶2 Es el camino o inverso de 𝐶2

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3) si es triplemente conexo

U

C1 C2 C3 Como 𝐶1 , 𝐶2 𝑦 𝐶3 son caminos cerrados del mismo sentido se cumple: ∫𝐹 = ∫𝐹 + ∫𝐹 + ∫𝐹 𝜕∪

𝐶2 −

𝐶3

𝐶1 −

0 = − ∫𝐹 − ∫𝐹 + ∫𝐹 𝐶1

𝐶2

𝐶3

∫𝐹 = ∫𝐹 + ∫𝐹 𝐶3

𝐶1

𝐶2

ESBOZO DE LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LÍNEA: Supongamos que 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 es un campo vectorial en una región D abierta y simplemente conexa, y supongamos que P y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden y que: 𝜕𝑃 𝜕𝑄 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥

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En toda la región D.

Si C es cualquier trayectoria cerrada simple en D y R es la región que C encierra, entonces el teorema de Green dice que: ∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∬ ( 𝐶

𝐶

𝑅

𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ) 𝑑𝐴 = ∬ 0 𝑑𝐴 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑅

Una curva que no es simple se cruza a sí misma en uno o más puntos y puede descomponerse en varias curvas simples. Hemos demostrado que las integrales de línea de F alrededor de estas curvas simples son todas 0 y si sumamos estas integrales, vemos que ∫𝐶 𝐹. 𝑑𝑟 = 0 para cualquier curva cerrada C. FORMAS VECTORIALES DEL TEOREMA DE GREEN a) Si la región plana D, su curva frontera C y las funciones P y Q satisfacen las hipótesis del teorema de Green, entonces la integral de línea del campo vectorial 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗, es: ∮ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∮𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 𝐶

𝐶

b) Si F es un campo vectorial enℝ3 con la tercera componente igual a cero, se obtiene. 𝑖 𝜕 𝑟𝑜𝑡𝐹 = | 𝜕𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑗 𝑘 𝜕 𝜕 𝜕𝑄 𝜕𝑃 | = ( − )𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑄(𝑥, 𝑦) 0

Por lo tanto, (𝑟𝑜𝑡𝐹). 𝑘 = (

𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Entonces el esquema en su forma vectorial es ∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬(𝑟𝑜𝑡𝐹). 𝑘𝑑𝐴 𝐶

𝐷

c) Si C está definida por la ecuación vectorial MATEMATICA II

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𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 Entonces el vector tangente unitario es: 𝑟(𝑡) =

𝑥 ′ (𝑡) 𝑦 ′ (𝑡) 𝑖 + 𝑗 |𝑟 ′ (𝑡)| |𝑟 ′ (𝑡)|

𝑛(𝑡) =

𝑦 ′ (𝑡) 𝑥 ′ (𝑡) 𝑖 − 𝑗 |𝑟 ′ (𝑡)| |𝑟 ′ (𝑡)|

Y el vector normal unitario

Entonces: ∫ 𝐹. 𝑛𝑑𝑠 = ∬ 𝑑𝑖𝑣𝐹(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝐶

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𝐷

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN POR TEOREMA DE GREEN

Ejercicio 1 Usar el teorema de Green para evaluar la integral de línea donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la gráfica de (0,0) a lo largo de la gráfica de

y desde (1,1) hasta

, como se muestra en la figura.

Solución: Identificamos P y Q , entonces:

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

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Ejercicio 2 Utilizar el teorema de Green para evaluar las integrales de línea:

Solución:

De acuerdo con el teorema de Green:

Donde 𝑃 𝑦 𝑄 𝑠𝑜𝑛:

Entonces:

Remplazando:

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Ejercicio 3 Estando sometida a la fuerza:

Una partícula recorre una vez el círculo del radio de 3 mostrado en la figura. Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

Solución:

De acuerdo con el teorema de Green:

Resolviendo en coordenadas polares, el trabajo realizado es:

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EJERCICIOS APLICADOS A LA INGENIERÍA CIVIL Ejercicio 1: Estando sometida a un campo de fuerzas una particula da una vuelta completa en la construcción de una piscina circular de radio 3 aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por el campo F de dicho diseño de piscina

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Solución: Si

En coordenadas polares, donde x=r cos \theta y dA=r dr\theta, el trabajo se calcula asi:

=

Al calcular integrales de linea sobre curvas cerradas hay que tener presente que el valor de la integral es 0 para todo campo vectorial conservativo.

El trabajo realizado por F cuando una particula da una vuelta al circulo es:

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Ejercicio 2: Usar el teorema de Green para la integral de Linea

donde el camino para realizar un levantamiento topográfico por radiación C va de (0,0) a (1,1) a lo largo de la gráfica de

Solución: Como

y

, se tiene

y,

aplicamos el teorema de Green concluimos que

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Ejemplo 3

Evaluar donde C está dado por el área entre los círculos de dos puentes peatonales hecho con material asfaltico, con ecuaciones

y

y

Graficamos las ecuaciones para obtener nuestros límites de integración. con lo que obtenemos

Evaluar donde C está dado por el área entre los círculos de dos puentes peatonales hecho con material asfaltico, con ecuaciones y Entonces por el teorema de Green obtenemos:

Dado que estamos utilizando circunferencias utilizamos coordenadas polares usando Obtenemos

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Ejemplo 4 Calcular:

C: Región semicircular "D" de la parte superior del cauce de un rio donde se va a construir un puente que esta entre los círculos:

y

Sacamos las derivadas parciales: y Ahora aplicamos el Teorema de Green:

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Pasamos a polares para mayor facilidad:

Ejemplo 5

Evaluar

Donde C es la columna círcular con centro en el

origen y radio 2 ; Entonces por el teorema de Green obtenemos:

Evaluamos la integral.

Ejemplo 6 Determine el área de un terreno arcilloso hacer empleada en ensayos triaxiales, esta está encerrada por la elipse

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C:

Ejemplo 7

Donde C es la curva triangular sobre los puntos

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Sacamos las derivadas parciales

y

Ejemplo 8 Calcular: El borde de la región de una piscina comprendida entre las gráficas: ; ;

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BIBLIOGRAFIA



Calculo Integral - Moisés Lázaro Carrión



Análisis Matemático III - Espinoza Ramos



Calculo Multivariable - James Stewart



Análisis Matemático II -



Calculo II, Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas C.



Ecuaciones Diferenciales - Ricardo Faro



Integrales de Línea - José Antonio Vallejo

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LINKOGRAFIA 

http://enciclopedia.us.es/index.php/Conexidad



http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/calvec/archivos/gu ias09/Teorema%20de%20Green.pdf



http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/07_1.pdf



http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap11.pdf



http://galia.fc.uaslp.mx/~jvallejo/integrales_linea.pdf



http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Green



http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Green



http://rubencalculo4.blogspot.com/2008/04/teorema-de-green-en-elplano.html



http://es.scribd.com/doc/8938559/Calculo-Vectorial-Capitulo-7Integrales-de-linea-y-teorema-de-Green



http://www.youtube.com/watch?v=KTrO_CYnsCw



http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Analisis/guia/teoria/06GreenR.pdf

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