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• luis

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Teorema de Green. 1) Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial. α(t) = (cos3t ; sen3t ) , 0  t  2

Y 1 -1

1

X

-1

Solución. De la parametrización de la curva tenemos: x = cos3t  dx = -3 cos2t sent dt y = sen3t  dy = 3 sen2t cost dt Luego: 2 2  N M  dA   Mdx  Ndy   cos3 t 3sen2 t cos tdt  3 cos4 tsen2 tdt A     0 0 x y  D  C 2 2 2  1  cos 2t  sen 2t 2 sen2 2t  3 cos2 t dt  3  dt  83  ( sen2 2t  sen2 2t cos 2t )dt  0 0 0 4 2   4



2 3 8 0



2

 sen4t sen3 2t  3  1  cos 4t  2 3 1  sen 2 t cos 2 t dt  t         1.178097245 8 2 2 8 6 0 8   

2) Evaluar

x

4

dx  xydx , donde C es la curva triangular que une los puntos (0; 0), (0; 1) y (1;

C

0), orientada positivamente. Y 1

y=1-x

1

X

Solución. La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:

M 0 y N N ( x; y )  xy  y x

M ( x; y )  x 4 

Por lo tanto: 1 1 x 1 1 1 x  N M  2 dA    ydydx    12 y 2 dx   12 1  x  dx  dx  xydx     0 0 0 0 0   x y  C D  1 3 1   16 1  x    0,16667 0 6

x

4

3) Dado: F(x; y)= (M; N) = (-y i + x j) / (x2 + y2) a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1 b) Calcular

 N

  x



D

M y

 dA , donde D es la región encerrada por la curva del punto a). 

Solución. a) Parametricemos el círculo.

x  cos t  dx   sen tdt y  sen t  dy  cos tdt

, 0  t  2

 sent   sentdt  Pdx  sen2 tdt sen t  cos2 t cos t N ( x(t ); y (t ))   cos tdt  Qdx  cos2 tdt 2 2 sen t  cos t

M ( x(t ); y (t )) 

2

Integrando tendremos, así:

 Mdx  Ndy   sen t  cos t dt  2  6.28318 2

0

C

2

2

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

    N M  N M dA  0   0       x  y  x  y 2 2 2 2  D  M  x  y  ( y )2 y y x     2 2 y x2  y2 x 2  y 2  N x 2  y 2  x 2 x y2  x2   2 2 x x2  y2 x2  y2



















