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• Daniel León

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1. El comedero de la figura 5 se debe hacer con las dimensiones que se muestran. Solamente se puede variar en el ángulo ϑ. ¿Qué valor de ϑ maximizará el volumen del comedero? Figura 5.

Primero sabemos que la fórmula del área del trapecio es la siguiente

S=

( b+2B )∗h

S=

( 1'+(12'+2 a) )∗h

Utilizando Pitágoras determinamos a y h para poder reemplazar en nuestra formula a h

sin θ=

a h cos θ= ' ' 1 1

a=1' sin θ h=1' cos θ Reemplazamos las igualdades obtenidas en la formula y simplificamos la formula.

S=

( 1'+(1 '+22 ' sin θ) )∗1 ' cos θ

S=

S=

(

( 2 ' +2' sin θ ) 2

∗1' cos θ

1

)

( 2' cos θ +2'2 sinθ cos θ )

S=cos θ+sin θ cos θ

1' θ(¿+sin θ) S=cos ¿ Una vez simplificada la formula del area debemos encontrar el volumen y eso lo obtenemos al multiplicar el área por la altura de la figura en esta caso 20’

V =SL '

1' θ(¿+sin θ) cos ¿∗20 ’ V =¿ Ahora derivamos la formula y al final igualamos a 0

θ θ ' ' cos ¿+(1 +1 sinθ )(−sinθ ) ¿ cos ¿ ¿ ¿ dv =20 ' ¿ dθ 1´ cos 2 θ ¿−(1' sinθ −1´ sin 2 θ) ¿ dv =20 ´ ¿ dθ 2

−sinθ−sin θ cos2 θ ¿ ¿ dv =20 ' (1' )¿ dθ

dv 2 2 =20 ' [ 1−sin θ−sinθ−sin θ ] dθ dv 2 =20 ' [−2 sin θ−sinθ +1 ] dθ −2 sin 2 θ−sinθ +1=0 Debemos determinar cual es el valor de

x=

θ y para ello utilizamos la forma

−b ± √ b2−4 ac 2a

sinθ =

−(−1)± √−12−4 (−2)(1) 2(−2)

sinθ =

1−3 −4

sinθ=

1 2

θ=sin−1

1 2

θ=30 °

2. Doblado de Papel: Se coloca una hoja de papel de 8,5 por 11 pulgadas sobre una superficie plana. Una de las esquinas se coloca sobre el lado opuesto más largo, como se muestra en la figura 3, y se mantiene ahí conforme se aplana el papel suavemente. El problema es hacer la longitud del pliegue tan pequeña como sea posible. Llamamos L a la longitud. Inténtelo con papel.

a) Demuestre que

L 2=

3

2x 2 x−8,5

b) ¿Qué valor de x minimiza L2? c) ¿Cuál es el valor mínimo de L? Figura 3.

Para resolver esto primero encontramos las relaciones trigonomtricas AP = X

RA= √ L−x 2 PB=8.5−x CH =DR=11−RA=11−√ L−x 2 QB=√ x2 −(8.5−x)2

HQ=11−CH −QB HQ=11−[ 11− √ L−x 2 + √ x2 −(8.5−x)2 ] HQ=√ L2 −x2 −√ x 2−(8.5−x )2

RQ2 =RH 2 + HQ 2 2

RQ2 =(8.5)2 + √ L2−x 2−( √ x 2−( 8.5−x )2 )

Empezamos a reemplazar 2

2

2

2

2

2

2

Abrimos los paréntesis

L2=x 2+ L2 −x2 −2 √ L2−x 2−√ 17 x−( 8.5 ) +17 x−(8.5)2 2

2 2

(17 x) =(2 √ L −x − √17 x−( 8.5 ) ) 2

2

2

Vamos desarrollando

17 x−(8.5) ❑ 289 x =4 (√ L2 −x2 ) + ¿ 2

2 2

L =x +( √ L −x −√ x −( 8.5−x ) ) ( 8.5)

R P =PQ + R Q =?

2

2