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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS

PRESENTADO POR: JOSÉ EDUARDO HERNÁNDEZ POLANCO

PRESENTADO A: ING. CAMILO AUGUSTO CARDONA PATIÑO

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA ÁREA ANDINA INVESTIGACION DE OPERACIONES II INGENIERÍA DE SISTEMAS 2019

INTRODUCCION La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo con unas leyes no determinísticas, esto es, de carácter aleatorio. La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una a lo largo del tiempo Los procesos de paso aleatorio en realidad son un caso particular de procesos más generales que son las cadenas de Markov. En esencia, una cadena es un proceso en tiempo discreto en el que una variable aleatoria va cambiando con el paso del tiempo.

Problema 1: Suponga que la probabilidad de lluvia mañana es de 0.5 si hoy llueve y que la probabilidad de un día claro (sin lluvia) mañana es de 0.9 si hoy está despejado. Suponga además que estas probabilidades no cambian si también se proporciona información sobre el clima de días anteriores a hoy. a) Explique por qué los supuestos establecidos implican que la propiedad markoviana se cumple en el caso de la evolución del clima. La Propiedad dice que, Conocido el estado del proceso en un momento dado, su comportamiento futuro no depende del pasado, en otras palabras, es un proceso tal que la distribución condicional de su valor futuro dada toda su evolución hasta el presente depende sólo del valor actual y es independiente del pasado. El estado futuro de lluvia o no lluvia no depende de los eventos de los días anteriores, depende únicamente del proceso actual, es decir que si es día lluvioso o soleado. b) Formule la evolución del clima como una cadena de Markov mediante la definición de sus estados y la construcción de su matriz de transición (de un paso). Diagrama de estado 0 = 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑙𝑢𝑣𝑖𝑎 𝑥𝑖 { 1 = 𝑑𝑖𝑎𝑠 sin 𝑙𝑙𝑢𝑣𝑖𝑎 0.5 0.5

0.9 0.1

Matriz de transición 0 1 𝑝 = (0.5 0.5) 0.1 0.9 0 0.5 0.5 1 0.1 0.9

Problema 2: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑦 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜆𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝜆0 = 3, 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 1, 𝜆𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 3.

a) Construya el diagrama de tasas. Diagrama de tasas 𝜆0

𝜆1 1

0 𝜇1

𝜆2 2

𝜇2

3 𝜇3

La transición de un estad n-1 solo puede pasar de un colectivo o población con n elementos. b) Calcule las probabilidades 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 𝑦 𝑃𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 4 𝑃(𝑛 − 1 𝑛 − 1) = 𝜇𝑛 + 0(ℎ) 𝑒𝑛 (𝑡, 𝑡, ℎ) 𝑃(𝑛 + 𝑛) = 1 − 𝑃 𝑛 𝑛 − 0 (ℎ) 𝑒𝑛 (𝑡, 𝑡, ℎ) 𝑃1 (0) = 1 𝑃𝑛 (0) = 𝑛(𝑖) 𝑃1 =

𝜆0 𝜆 𝑃0 = 𝑃 𝜇1 𝜇 0

𝑃2 =

𝜆1 . 𝜆(0) 𝜆2 𝑃0 = 𝑃 𝜇2 . 𝜇1 2𝜇. 𝜇 0

𝑃3 =

𝜆2 . 𝜆1 . 𝜆0 𝜆3 𝑃0 = 𝑃 𝜇3 . 𝜇2 . 𝜇1 3𝜇. 2𝜇. 𝜇 0

𝑃𝑛 =

1 𝜆 ( ) 𝑛 𝑃0 ; 𝑛 > 0 𝑛! 𝜇

Problema 3: Considere el proceso de nacimiento y muerte con tres estados posibles (0, 1 y 2), cuyas probabilidades respectivas de estado estable son 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2. Las tasas de nacimiento y muerte se resumen en la siguiente tabla:

a) b) c) d)

Construya el diagrama de tasas de este proceso de nacimiento y muerte. Desarrolle las ecuaciones de balance. Resuelva estas ecuaciones para encontrar 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2. Use las fórmulas generales del proceso de nacimiento y muerte para calcular 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2. 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 − 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 0

𝑛−1 𝑛

𝜇1 𝑃0

=

𝜆0 𝑃0

1

𝜆0 𝑃0 + 𝜇2 𝑃2

= (𝜆1 + 𝜇1 ) 𝑃1

2

𝜆1 𝑃1 + 𝜇3 𝑃3

= (𝜆2 + 𝜇2 ) 𝑃2

𝜆−2 𝑃𝑛−2 + 𝜇𝑛 𝑃𝑛 = (𝜆𝑛−1 + 𝜇𝑛−1 ) 𝑃𝑛−1

𝜆𝑛−1 𝑃𝑛−1 + 𝜇𝑛+1 𝑃𝑛+1 = (𝜆𝑛 + 𝜇𝑛 ) 𝑃𝑛

0: 𝑃1 =

𝜆0 𝑃 𝜇1 0 𝜆

1

1: 𝑃2 = 𝜇1 𝑃1 + 𝜇 (𝜇1 𝑃1+ 𝜆0 𝑃0 ) = 2

𝜆

2

1

𝜆1 𝑃 𝜇2 1

2: 𝑃3 = 𝜇2 𝑃2 + 𝜇 (𝜇2 𝑃2 − 𝜆1 𝑃1 ) = 3

𝐶𝑛 =

3

𝜆 𝜆

= 𝜇1 𝜇0 𝑃0

𝜆2 𝑃 𝜇3 2

2 1

𝜆 𝜆 𝜆

= 𝜇2𝜇1 𝜇0 𝑃0 3 2 1

𝜆𝑛−1 𝜆𝑛−2 𝜆0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2, 3 … 𝜇𝑛 𝜇𝑛−1 𝜇1

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝐶𝑛 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0. 𝐴𝑠𝑖 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑃𝑛 = 𝐶𝑛 𝑃0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0, 1, 2 … 𝐸𝑙 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠𝑖𝑡𝑜 ∞

∞

∞

∑ 𝑃𝑛 = 1 , 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 (∑ 𝐶𝑛 ) 𝑃0 = 1 , 𝑎𝑠𝑖 , 𝑃0 (∑ 𝐶𝑛 ) 𝑛=0

𝑛=0

𝑛=0

−1

WEBGRAFIA

https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/4_1-cadenas-de-markov.pdf https://areandina.instructure.com/courses/2322 http://bdigital.unal.edu.co/5031/52/guillermojimenezlozano.2009_Parte6.pdf