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ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N° 1 , 2

Definiciones preliminares: Definición y clasificación de las Ecuaciones Diferenciales, tipos de Solución. Origen de las Ecuaciones Diferenciales. Ecuaciones Diferenciales de una familia de curvas. 

y=x 2−x +C Respuesta :

Verificar si la función detallada a continuación es solución de la Ecuación Diferencial 3x y=2 e +1 Función solución dy =3 y −3 x Ecuación Diferencial dx Respuesta:



y=2 x

dy y =2 dx x



Función solución Ecuación Diferencial

Respuesta: La función presentada no es solución de la Ecuación Diferencial propuesta y=x−1 Función solución dy y = dx x−1

Ecuación Diferencial

Respuesta:



3 4 3 1 2 y= x −2 x + x + x +C 4 2 C : Tiene valores arbitrarios

Respuesta:



2 y= e3 x +C 3 C : Tiene valores arbitrarios Respuesta:



3

3

x + y −3 x+ k=0 k : Tiene valores arbitrarios Respuesta:



( 1+ x 2 )( 4+ y 2) =K k : Tiene valores arbitrarios Respuesta:



y4 =

kx x−4

k : Tiene valores arbitrarios Respuesta:



e y =k x 4 y 3 k : Tiene valores arbitrarios Respuesta:



y 2 ( 1+ x 2 )=k k : Tiene valores arbitrarios Respuesta:

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Ecuaciones Diferenciales de primer orden: Notación, problemas de valor inicial, Teorema de Picard y Peano. 

y'+

1 y=x x

Respuesta: 

ex y+ y =x x 1+e '

Respuesta: 

1 x ∨C+ x + ( x−1 ) e ∨¿ x 1+e

x y 2= y2 e y −2 ( y−1 ) e y +C

y ' + tan ( x ) y=cos2 x ; y ( 0 )=2 Respuesta:



y=

y dx=( y e y −2 x ) dy Respuesta:



C x2 y= + x 3

y=

sin x+C sec x

dy 2 t 2 = + ; y ( 0 ) =0,4 2 dt 1+t 1+ t 2 2 2 Respuesta: y=t + ( 1+t ) arctan t+(0,4)(1+t )



x y ' + y=x 2 cos x

[ ] 2

Respuesta: 

y=

x −2 C sin x +2 cos x + x x

x dy + ( y−x e x ) dx =0

Respuesta: 

e

x−1

+C x

( 1+ x 2 ) dy+ 2 xy dx=cot x dx Respuesta:



y=

'

y−

y=

ln |sin x|+C 1+ x 2

2y 2 =x sin 3 x x

2 2 Respuesta: 3 y+ x cos 3 x=C x



1 dy y −2 2 =x cos x x dx x 2 Respuesta: y=x sin x +C

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Campo de direcciones: Uso de software. y '=x 



y

a)

y (0)=0

b)

y ( 0 )=−3

dy =−x dx a)

y (1)=1

b)

y ( 0 )=4

c)

y (2 )=3

d) 











y (−1 )=2

dy =x e y dx a)

y (1)=1

b)

y ( 0 )=4

dy =0,2 x 2 + y dx a)

y (0)=0,5

b)

y (2 )=−1

y ' = y−cos

π x 2

a)

y (−1)=0

b)

y (2 )=2

dy 2 =x − y 2 dx c)

y (−2)=1

d)

y (3)=0

e)

y (0)=2

f)

y ( 0 )=0

dy −0,01 xy =e dx

2

a)

y (−2)=1

b)

y (3)=0

c)

y (0)=2

d)

y ( 0 )=0

dy =1−xy dx a)

y (0)=0

b)

y (−1)=0





c)

y (2 )=2

d)

y ( 0 )=−4

dy =sin x (cos y) dx a)

y (1)=0

b)

y (0)=1

c)

y (3 )=3

d)

y ( 0 )=−2,5

y ' =− y−sin y a)

y (1)=0

b)

y (0)=1

c)

y (3 )=3

d)

y ( 0 )=−2,5

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Método para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden: Integración directa y de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de variables separables.



dx +e 3 x dy=0 1 −3 x e +C 3

Respuesta: 

x

dy =4 y dx y=C x 4

Respuesta: 

dy 3 x+2 y =e dx −2 y 3x Respuesta: −3 e =2 e +C



y ln x

dy y +1 = dx x

( )

Respuesta: 

2

1 3 1 1 x ln x− x 3= y 2 +2 y +ln | y|+C 3 9 2 2

csc y dx+sec x dy=0 Respuesta: 4 cos y=2 x+ sin 2 x +C



2

3

( e y +1 ) e−y dx + ( e x +1 ) e−x dy=0 −2

−1

x y Respuesta: ( e +1 ) +2 ( e + 1 ) =C



dS =kS de kr Respuesta: S=C e



dP 2 =P−P dt

t

Respuesta: 

P=

Ce 1+C e t

dy xy +3 x− y −3 = dx xy−2 x +4 y−8 5 x 5 y Respuesta: ( y +3 ) e =C ( x +4 ) e



dy =x √ 1− y 2 dx Respuesta:

y=sin

( 12 x +C ) 2

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden homogéneas. Determine si las siguientes funciones forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial. Forme la solución general y ' ' − y ' −12 y =0  Respuesta: 

''

+C 2 e

4t

'

y −2 y +5 y=0 Respuesta:



−3 t

y (t )=C 1 e

y (t )=C 1 et cos t+C 2 e t sin 2 t

4 y' ' −4 y ' + y=0 t

Respuesta:

t

y (t )=C 1 e 2 +C 2 te 2

Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas y resolverlas 

( x cos yx − y sin xy ) dx+ x sin yx dy=0 Respuesta:



y=x arctan

x C

2 xy ’ ( x 2 + y 2 )= y ( 2 x 2+ y 2)

|| 2

2

y x Respuesta: ln x − y 2 =C



'

−y / x

x y = y +2 x e

− y/ x

Respuesta: e 

2

=lnC x , C>0

x dy − y dx=√ x2 − y 2 dx Respuesta:

y arctan =± ln|Cx| x



y y y ’ sin =−x+ y sin x x y cos =ln |Cx| Respuesta: x



( xy +4 y 2+2 x 2 ) dx−x 2 dy =0 ; y ( 1 ) = √ 2 2

¿ x∨¿ π + √2 4 ¿ ¿ ¿ x y= tan ¿ √2

4 ln Respuesta:



x ( ln x−ln y ) dy − y dx=0 Respuesta:

ln

| xy|−ln|1+ln xy|=−ln|x|+C

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden exactas. En los siguientes problemas determine si la Ecuación Diferencial dada es exacta. Si lo es, resuélvala ( 5 x+ 4 y ) dx+ ( 4 x−8 y 3 ) dy=0  Respuesta: 

5 2 4 x + 4 xy−2 y =C 2

( x− y 3 + y 2 sen x ) dx=( 3 x y 2+2 y cos x ) dy Respuesta:

1 x y 3 + y 2 cos x− x 2=C 2

( y + y cos xy ) dx+ ( x + xcos xy ) dy=0





Respuesta: xy +senxy=C 2 x−seny y'= x cos y y−¿ x 2=C Respuesta: x sin ¿

( sin x sin y −x e y ) dy=(e y + cos x cos y) dx



y Respuesta: x e +sin x cos y=C

x



dy x 2 =2 x e − y+ 6 x dx

Respuesta: 

2

(

3

x y−

1 dx 3 2 + x y =0 2 ) dy 1+9 x

Respuesta: 

y'=

x 3 y 3−

1 =C tan3 x

−2 x (3 y 2+2) 3 y ( y +2 x 2)

Respuesta: 

xy−2 x e x +2 e x −2 x 3

2 2 4 3 3 x y + x + y =C

( tan x−sin x sin y ) dx +cos x cos y dy=0 Respuesta: −ln|cos x|+cos x sin y=C



( y 2 cos x−3 xy 2−2 x ) dx + ( 2 y sin x −x3 + ln y ) dy =0 ; y ( 0 )=e Respuesta:

y 2 sin x−x 3 y−x 2+ y ln y − y=0

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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden En los problemas halle el valor de k de modo que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta:

        

(y3+kxy4-2x)dx + (3xy2+20x2y3)=0 R: k=10 (2x-ysenxy+ky4)dx-(20xy3)=0 R: k= -5 (2xy2+yex)dx + (2x2y+kex-1) =0 R: k=1 2 2 (4x+xy ) dx +(y+x y) dy = 0 R: (1+x2)(4+y2) 4xdy – ydx = x2dy R: y4= kx/x-4 (3x2y – xy)dx +(2x3y2+x3y4)dy =0 R: c= 3lnx +1/x+y2+y4/4 X2(y+1) dx +y2(x-1)dy=0 R: c= x2/2+x+ln(x-1) +y2/2-y+ln(y+1) dy/dx =4y/x(y-3) R: y-3lny=4lnkx xydx +(1+x) dy=0 R: k= y2(1+x2)

Resuelva la siguiente ecuación. 

6xy dx + (ay +yx2)dy =0 µ(x,y)= y2

R: 3x2y3+y4= c

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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primero orden lineales. Método de variación del parámetro En os ejercicios encuentre un factor que sea un función de una sola variable y resuelva la ecuación dad.          

(xy+x+2y+1)dx+(x+1)dy=0 R: c= ex(xy+y+x) (12x3y+24x2y2)dx+(9x4+32x3y+4y)dy = 0 R: c=y3(3x4+8x3y+y) (2xy+y2)dx+ (2xy+x2-2x2y2-2xy3)dy=0 ; R: c= xye-y2(x+y) y seny dx +x(seny-ycosy)dy=0 R: c= xy/seny ; y=πk 2 2 Y dx+(xy +3xy+1/y)dy =0 R: c=ey(xy3+1) xy 2 xy (xy+1+2x/e )dx+x dy=0 par y(-3) =0 ; F=e R: xexy+x2=6 (4y2-5xy)dx+(6xy-5x2)dy =0 para y(1)=2 ; F=x3y4 R: x4y6-x5y5=32 (ye2y+x+1)dx+(ye2y+e2y-x)dy=0 para y(1)=0 ; F=ex-y R: e=yex+y+xex-y {-y-cot(x+y)}dx-ydy= 0 para y(π)=π ; F= sen(x+y) R: ycos(x+y)-sen (x+y)=π (ex +y2)dx (xy-ex/x-2y2)dy =0 F=17x R: cy=ex+xy2-y3

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Ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal. Método de factor integrante Resolver las ecuaciones por el método de factor integrante          

y’-2y =-6 µ =3e-2x+c y’-2y=x µ= e-2x(-x/2-1/4)+c y’-xy=x2e(x)^2/2 µ= x3/3 +c xy’-2x2y= e(x)^2/2 µ= lnx+c y’+(cosx)y= (secx)2 e-senx µ=tanx +c y’-(senlnx)y= xecoshx µ=x2/2+c 2 y’ – 1/ (1+x ) y = 1/ (1+x2) y’+(lnx)y=lnx y’+(1+3x2) y= 3+9x2 y’+(secx)y=cosx

R: y=3+ce2x R: y=-x/2-1/4+ce2x R: y= e(x)^2/2(x3/3 +c) R: y= e(x)^2/2 ( lnx+c) R: y= (tanx +c)e-senx R: y=ecoshx(x2/2+c) R: y=ce1/tanx -1 R: y=1+cex(1-lnx) R: y=3+ cex(-1-x^2) R: y= x-cosx+c/secx+tanx

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Ecuaciones diferenciales de Bernoulli, Riccati y Clairaut      

   

xdy/dx + y = 1/y2 R: y3=1+cx-3 3 dy/dx =y(xy -1) R: y-3= x+1/3+ce3x x2dy/dx +y2= xy R: ex/y=cx x2dy/dx -2xy=3y y(1)=1/2 R: y-3=-9/5xy-1-49/5x-6 xy(1+xy2)dy/dx =1 y(1)=0 R: x-12-y2–e-(y)^2/2 si y1 es una solución particular conocida de la ecuación de Ricati, demuestre que la y=y1+u es una familia de la solución de dy/dx=P(x)+Q(x)+R(x)x2 done u sea la solución de du/dx –(Q+2y1R)u=Ru2. dy/dx=-2-y-y2 y1=2 R: 2+ 1/(ce-3x-1/3) dy/dx= 6+y+y2 R: -2+1/(ce-x-1) demuestre que una solución de la ecuación y=xy’+f(y’) es la familia de la recta y=cx+fc donde c es una constante. xy’ +y=ey’ R: y=cx-ec ; y=xlnx-x

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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. 







Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del Mediterráneo crece en proporción al número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se forman 800 familias de la mosca y después de 5 horas se forman 2000 familias. Encontrar: a. la ecuación que representa el número de familias en función del tiempo, y b. el número de familias que había al inicio. R: a. y= 434e0.305t b. y=434 La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento dado en ella. Si después de 5 años, la población se ha triplicado y después de 8 años es de 45000 habitantes, hallar el número de ciudadanos que había inicialmente. R: 7760 habitantes Una industria la ha encargado a una de sus empacadoras procesar pescado para producir una concentrado rico en proteínas para mejorar la alimentación de los consumidores. Se sabe que 6 kg de pescado son los que se necesitan para producir un kilogramo de esta proteína. Para hay que secar el pescado en cuartos especiales, en los cuales se hace pasar una corriente de aire seco sobre ellos para quitarles la humedad inicial. Para producir este concentrado se requiere que el pescado solamente 10% de su humedad inicial. ¿Cuánto tiempo tiene que permanecer en el cuanto para que pierda el 90% de humedad?. R: una hora 23 minutos, aproximada mente. En el proceso de respiración absorbemos aire que contiene principalmente nitrógeno y oxígeno, y al exhalar despedimos bióxido de carbono. Se quiere purificar el ambiente de un salón donde se encuentran bailando un gran número de personas; para ello, se hace pasar una corriente de aire puro de 3500 m 3/h al que llamaremos Qa1, y se hace salir 3000 m3/h de aire contaminado (Qa2) , con bióxido de carbono. A la concentración de bióxido de carbono por C CO2 f . se sabe que el volumen del salón es de 10000 m3 y que la concentración inicial de bióxido de carbono en el cuarto es de 0.1% del volumen de este. Suponiendo que la densidad permanece constante, ¿cuál es la concentración de bióxido de carbono. CCO2f, al cabo de 4 horas de haberse iniciado el baile? la concentración se expresa en g/m3 . R: CCO2f= 0.030119 g/m3.













La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18 años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200000 habitantes, hallar: a. el numero inicial de habitantes y b. cuantos habitantes tendrá al cabo de 100 años. R: a. 76372 habitantes. b. 3588954 habitantes. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al número actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el número de animales es 576, hallar el número de animales con que se contaba el día de la inauguración del zoológico. R: 218 animales. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: dx/dy=x(a+by) ;dy/dt = y(c+gx), fue diseñado por el matemático Volterra (1860-1940), para describir el comportamiento de dos especies que competían para sobrevivir en el mismo hábitat. Resolver esta ecuación, usando la regla de cadena: dy/dx= dy/dx * dt/dx R: yaeby=kxcegx. Ciertas enfermedades se propagan mediante picaduras de insectos ( la malaria), o por trasmisiones( la tifoidea). Supongamos que x representa la cantidad de transmisores de una cierta población, y (y) es la cantidad de sanos, en el instante t. si los transmisores se eliminan de la población con rapidez β, de manera que se cumple: dx/dt = -βx. Y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto xy, tenemos: dy/dt= -αxy. A. para x(0)=X 0 , hallar x en cualquier instante t. B. para y(0)= Y0, hallar y en cualquier instante t. C. cuanto t ∞ , ¿Cuál es el valor límite de (y) y que significa? R: A. x= X0e-βt B. y=Y0eaXo((e)^(-βt)/β C. y= Y0e-aXo/β Un cuarto tiene 60m3 de aire, originalmente libre de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido del 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con un rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. A. encontrar una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto en cualquier instante. B. la concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo: 0.00012 puede ser perjudicial para el ser humano. Encontrar el tiempo en el cual puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. R: A. c= (9/200)(1-e-t/30000) B. t=4 horas En una estación de metro subterráneo de 7500m 3 se ha comprobado que hay una concentración de 0.2% de CO2. Para renovar a atmosferas, unos ventiladores introducen aire del exterior ( el cual tiene una concentración CO2 de 0.06%) a una velocidad de 7000m3/ min. Hallar el porcentaje de CO2 después de 15 minutos. R: 006 %

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°13

Trayectorias ortogonales e isogonales: coordenadas rectangulares y polares. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje e igual.          

y2=cx3 x3=3(y-c) x2-y2=cx y(x2+c)+2=0 y4=c2(x2+4y2) r=2a senθ r2=a sen2θ r= 4a secθ tanθ r2cos2 θ=C1 r= k/1+cos θ

R: (x+1)2+y2=a2 R: x(y-k)=1 R: y(y2+3x2)=c R: y3=-3ln(kx) R: x8(2x2+5y2)=k2 R: r=2b cosθ R: r2=b cos2θ R: r2(1+sen2θ)=b2 R: r2sen2 θ=C2 R: r sen3θ= b(1+cos θ)2

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Problemas de aplicación 

La población de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millón en 1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la población existente en ese instante, ¿en qué año la población de Cali excederá los 5 millones de habitantes?.R: En el año 2020.



Según una teoría cosmológica, en el instante inicial del Universo había igual cantidad de átomos de uranio 235 (U 235) y de uranio 238 (U 238). Se estima que en la actualidad la relación de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de años y la del U 235 en 0,707 mil millones de años, estime la edad del Universo. R:La edad el universo es 5,96 mil millones de años.



Un termómetro que esta inicialmente en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15 0C. Después de un minuto marca 300C y después de 10 minutos marca 200C. De acuerdo a la ley de Newton ¿Cuál era la temperatura de la habitación? R: 31,950C.



Una masa de metal se extrae de un horno a 1000 0C y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30 0C. Después de 10 horas su temperatura desciende a 2000C ¿Cuánto tardará en llegar a 310C? ¿Llegará en algún instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambiente de 300C? Justifique su respuesta. R:Para t = 39,49 horas la temperatura es de 310C.



A un tanque que contenía 400 litros de agua pura se bombea una solución de agua-sal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una razón de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continuación se bombea agua pura a la misma razón de 8 litros por minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine:

a) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos. b) La cantidad de sal al cabo de 100 minutos. R:La cantidad de sal en el tanque al cabo de 50 minutos es 20(1 − e −1) y cantidad de sal al cabo de 100 minutos es 20e−1(1 − e−1).

la



Una sala con un volumen de 32 metros cúbicos esta inicialmente llena de aire libre de monóxido de carbono. A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razón de 0,002m3/min con un 4 % de monóxido de carbono. El aire se mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de 0,002m3/min.

a) ¿Cuánto tardar´ la concentración de monóxido de carbono en la sala en alcanzar el nivel del 0,0012 %, peligrosa para seres humanos? b) Si la situación persistiera, ¿qué pasaría cuando t → ∞? R:(a) En t = 4, 8 minutos la concentración de monóxido de carbono será del 0,0012 % (b) Si t → ∞ entonces c(t) → 4 %. 

Considérese un tramo del Rio Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de la Balsa) hasta un punto después de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60 millones de metros cúbicos en el cual hay una concentración de contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc.) del 0,00001 %. Supóngase que a partir de t = 0 hay una entrada de 1200m3/seg con una concentración de contaminantes del 0,001 % y que hay una salida de igual cantidad de agua bien mezclada. ¿Cuál será la concentración de contaminantes después del tiempo t? ¿Cuánto tardará la concentración en elevarse al 0,0001 %? Si las condiciones persistieran, ¿qué pasaría cuando t → ∞? R: La concentración es c(t) = 10−7(100 − 99 e−0,00002t). En t = 4765,51 la concentración será del 0,0001 %. Si t → ∞ entonces c(t) → 0,001 %.



Una fábrica está situada cerca de un río con caudal constante de 1000m3/seg que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 0 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1m 3/seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/seg de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de: un día, un mes (30 días), un año (365 días). R: Suponiendo una contaminación constante (que promedie los dos bombeos diarios de contaminación) tenemos: La concentración en un día es 0,0014 %, en un mes 0,012 % y en un año 0,146 %



Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área,

presenta un escape. Si el tanque está inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad? b) ¿Cuándo estará vacío? R: a) debe transcurrir un tiempo t = 1425,6 seg = 23 min 45 seg, para que el tanque se vacíe hasta la mitad de su capacidad, b) deben transcurrir 7776 seg, es decir, 2 horas 9 min 36 seg, para que el tanque se vacíe totalmente. 

Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R, vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si H = 12 pies, R = 5 pies, a = 1 pulg2 y c = 0,6 R: Demora en vaciarse 3264,83 seg, es decir, 54 min 25 seg.

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°15

Unidad 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de orden superior y aplicaciones. Definiciones preliminares: problema de valor inicial, y valores en la frontera, dependencia e independencia lineal, teorema de superposición, teorema de linealidad, solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior. e ex e −1

( )

e e−x e −1

( )



y´´- y = 0 y(0)=0 y(1)=1

R:



y´´´+y´=0 y(π)=0; y´(π)=2; y´´( π)=1



y´´- 4y´+ 5y= 0

R: y(x)= -1-cosx-2senx 2x R: y(x)= e (C1cos2x+C2sen2x



y´´- 2y´+ 5y= 0

R: y(x)= e



y´´+5y´+ 6y= 0

R: y(x)= C1 e



(C1cosx+C2senx) −3 x

+C3 e

√ 2 x + C4sen √ 2 x

y 4 +y = 0



R: y(x)= C1 e

√2 x 

2

R: y(x)= sen3x+C1x+C2

3x −3 X R: y(x)= C1 e +C2 e +C3cos

2

x

−2 x

y´´= -9sen3x y 4 -7y´´-18y = 0



2

+ C4 e

− √2 x 2

sen

√2 x 2

cos

√2 x 2

+ C2 e

√2 x 2

sen

√2 x 2

+ C3 e

− √2 x 2

cos

√2 x 2

y 5 +5 y 4 -2y´´´-10y´´+y´+5y =0 x x −x −x −5 x R: y(x)=C1 e +C2x e +C 3 e +C4x e +C5 e



4 16 y +24y´´+9y =0

√3 √3 √3 √3 R:y(x)=C1cos ( 2 )x +C2xcos ( 2 )x +C 3 sen( 2 )x +C4xsen ( 2 ) x

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°16

Operadores diferenciales anuladores: definición y teoremas.



Encontrar el operador anulador de 2 2 2 8x-senx+10cos5x R: D ( D + 1¿ ( D + 25 ¿



x 3+ e cos2x



x 3 (1-5x)



e−x senx- e 2 x cosx



x 2 e x +sen2x+5





2 R: D( D -2D+5)

R:

D5 2 2 R: ( D +2D+2)( D -4D+5)

3 2 R: D ( D−1) ( D +4)

Encontrar la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales usando el método del anulador 3 sen (2 x )−3 cos ⁡( 2 x) ] y´´ -3y´ +2y= 3sen2x R: y(p)=- 20 [

y

5

-y´´´=2 x

2

x5 x3 −2 + R: y(p)= 60 3

(

)

Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales usando el método del anulador 

y´´´ -5y´´ +8y´-4y= 2 e

4x

R: y(x)= (C1+C2x) e

2x

e4 x + 6



3x

y´´ -3y´= 8 e +¿ 4senx R: y(x)= C1+C2 e

3x

8 2 3x + 3 x e - 5 senx+

6 5 cosx 

2 −x −2 x 2 y´´ +3y´+2y= 4 x R: y(x)= C1 e +C2 e +7-6x+2 x

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°17

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior con coeficientes constantes y con segundo miembro distinto de cero, método de los coeficientes indeterminados, método de variación de parámetros.  y´´+ y = senxR: y(x)= -1/2xcosx+C1cosx+C2senx  y´´+ y = cosxR: y(x)= 1/2xsenx+C1cosx+C2senx x 3 x  y´´-2y´+y = 6x e R: y(x)= ( x + C 2 x+C1) e 

y´´+2y´+y = 12x e



y´´+ y = tanx

x

R: y(x)= ( x

4

−x + C 2 x+C1) e

R: y(x)= C1cosx+C2senx-(cosx)ln(secx+tanx) 

y´´+ 4y =4sec2x

R: y(x)= (C1 +lncos2x)cos2x+(C2+2x)sen2x 

y´´+ 9y =9sec3xtan3x

R: y(x)= 3xcos3x-(sen3x)ln(cos3x)+C1sen3x+C2cos3x 

−2 x −x y´´- y = e sen e

−x

−x

R: y(x)= -( e

cos e



ex x

y´´- 2y´+y=

−x

+sen e

) +C1 e

x

−x

+C2 e

x x R: y(x)= (C1+C2x) e + x e lnx



y´´+ 2y´+y=

e−x x

−x −x R: y(x)= (C1+C2x) e + x e lnx

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°18

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden, movimiento vibratorio libre no amortiguado, movimiento vibratorio amortiguado, movimiento vibratorio forzado. 

Un resort cuelga verticalmente; su extremo superior esta fijo y del extremo inferior pende una caja que pesa 196 N. una vez en equilibrio se tira de lacaja hacia abajo haciéndola desplazar 0.25m y se suelta. Sabiendo que k= 80N/m y que la resistencia del aire es despreciable, hallar: a) La ley de movimiento de la caja. b) El tiempo necesario para que la caja se mueva desde la posición inicial hasta 0.0625 m por debajo de la posición de equilibrio. R: a) x=(cos2t)/4.

b) t= 0.659 segundos. 

Resolver el problema 1 suponiendo que hay resistencia del aire: a) De v/4 y b) 4v



Una masa de 98 N de peso se cuelga de un resorte con lo que este interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k= 4.9 N/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza de y=sen −0.7 √ 2 g R: x= 0.49−2 g



sen0.7t+

0.49 0.49−2 g sen

√ 2 g t metros.

√2 g t

Se suspende una mase de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533 metros. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1m/s dirigida hacia arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida del aire es de 80v newtons. 2t

3t

R: x = ( e −e ¿/ 2 

Supongamos que al sistema del problema anterior se le aplica una fuerza externa: f(t)=10sent. Hallar el movimiento resultante de la masa. R: x =



−9 −3 t 25 −3 t 1 e + e ( 7 sent−4 cost ) + 130 20 52

De un resorte que tiene una constante k= 50 se suspende un peso de 49N. el peso se pone en movimiento desde el repos, estirandolo0.98 metros hacia arriba de la posición de equilibrio y aplicando una fuerza externa f(t)=10sen2t. si no hay resistencia del aire, hallar el movimiento del peso. R: x =-0.98cos



Dos pesos iguales están colgados del extremo de un resorte. Si uno de ellos se desprende, hallar la ecuación del movimiento del otro peso. R: x = b cos



1

√ 10t -0.21sen √ 10t + 3 sen 2t

√

g t b

Una cadena de 8 metros de longitud se desliza sin rosamiento, desde un soporte hacia abajo. Si el movimiento se inicia en el momento en que la cadena cuelga una metro del soporte, hallar el tiempo que tardara en deslizarse toda la cadena. R: t = 2.49 segundos



Se cuelga de un resorte una masa de 2kg de tal manera que el resorte se alarga 0.6125 metros. A esta más se aleja (aparte) de su posición de equilibrio jalándola 1 m hacia arriba y se suelta. Hallarel movimiento resultante de la masa, sabiendo que hay una resistencia del aire de 16v. −4 t R: x = e (-1 - 4t).



Un resorte cuelga verticalmente. En su extremo libre se coloca una masa de m v0 kg. Si la masa se mueve con velocidad m/s cuando el resorte esta sin alargar, hallar la velocidad en función del alargamiento. 2 R: v =2gx

−k 2 2 x + v0 m

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°19

Convergencia de series



1 2 ¿ ¿ ¿

R= converge

∞

∑¿ n=1

∞



23 n ∑ 7n n=0

R= diverge

∞



n ∑ 3 n+1 n=1

R= converge

∞



n 3+ 3 ∑ 4 n−5 n2 n=1

R= converge

∞



∑ nsin( 1n ) n=1

R= diverge

∞



∑ n 2 e−n n=1

R= converge

∞



∑ n5n+5 n=0

R= converge

∞



√n ∑ n+1 n=0

∞



R= divergente

−2 n

∑ ne2 +1 n=1

R= converge

∞



1 ∑ n(n+ 1) n=1

R= converge

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°20 Serie geométrica: convergencia 

Mediante la serie geométrica convierta el numero periódico en una fracción



0.16161616

R= 99



0.0757575

R= 990

16 75

Demostrar si converge o diverge ∞



∑ (−23 n )

R= converge

n=0 ∞



∑ 2n 3n−1 ∞



n

∑ n=1

2n e

( )

∑ (−1 ) n=0 ∞



R= converge

n=0

∞



n

∑ 3 6+2 n ∞



R= converge

n=0

∑ ( √2 ) n=0

n

R= diverge 3 e

n

()

R= diverge

1−n

R= converge

Asuma que la serie converge, cuál sería su suma. ∞



xn ∑ 2n n=0

R=

2 2−x

∞



∑ n=0

x2 y n−2

2

R=

xy y −x

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°22 Definir si converge o diverge mediante los criterios ∞



∑ n=1

1

√ n3 +1

R=converge

∞



∑ √ 5 nn+ 1



∑ sin 1n

n=1

R= diverge

∞

n=1

∞



∑

|cscn|

n=1

n

R= diverge

R= converge

∞



∑ 1+1√ n n=1

R= diverge

∞



n ∑ n√2 +1



∑ n(



∑ nlnn 2 +1



1 ∑ 3n−cos ( n)

n=1

∞

n=1

1 √ n+1 )

R= converge

R= converge

∞

n=1

R= diverge

∞

n=1

R= converge

∞



∑ (−1 )n+1 21n n=1

R= converge

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°23 Convergencia absoluta y condicional ∞

(−1 )n ( n+1 )2 3n



∑



∑ ln ( n+1 )

n=1

∞



(−1 )n

n=1

∞

R= absoluta

2

R= condicional

n+1

∑ n ∗2 3n n=1

R= absoluta

∞



∑ 2n n! n=1

∞



(−1 )n −1 ∑ 2 n−1 n=1

R= absoluta

R= condicional

∞



n+1 ∑ (−1 )n+1 n2(n+1)



∑

n=1

∞

n=1

(−1 )n +1 n2

R=condicional

R= absoluta

∞



∑ (−1 )n lnnn n=1

∞



(−1 )n −1 n ∑ 6 n−1 n=1

R= condicional

R= absoluta

∞



∑( n=1

2n+1 3 n+ 1

n

)

R= absoluta

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°24 Series de Potencias Desarrolle en serie de potencias las funciones:  

log ( x + √ x +1 ) 2

Arctan x

Estudie la convergencia y calcule las sumas de las siguientes series ∞



n=1

∞



4 n−1

∑ 4xn−1 2

∑ n +2n !n+1 x n n=1

∞



∑ ( 3 n 2−n+1 ) x n n=1

∞

n





x ∑ ( n+2 )!

n=1

∞

n=1

n

3n

x n

∑ (−1 )

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°25

Radio e intervalo de convergencia ∞



n

∑ √xn n=1

Sol : R=1; Int [-1,1] ∞



(−1)n−1 x n ∑ n3 n=1 Sol: R=1; Int [-1,1] ∞



xn ∑ n! n=0

Sol: R= ∞ ; Int [ −∞ , ∞ ]

∞



(−1)n n2 x n ∑ 2n n=1 Sol: R=2; Int (-2,2) ∞



(−2)n x n ∑ 4 n=1 √n

1 ; ¿ Sol: R= 2 ∫

∞



n

( x−2) ∑ n2 +1 n=0

Sol: R=1; Int (1,3) ∞



∑ (2 x−1)n n=1

1 Sol: R=0; Int [ 2 ] ∞



∑ n=1

n( x−a) , b>0 bn

Sol; R=b ; Int (a-b, a+b) ∞



n

x ∑ 1∗3∗5 …(2 n−1) n=1

Sol : R= ∞ ,∫ (−∞ ,+ ∞) ∞



∑ n=1

n

n

3 (x +4 ) √n

Sol : R=

1 −13 −11 ; [ , ] 3 ∫ 3 3

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°26

Derivación e integración de series de potencias 

Use derivación para hallar una representación de series de potencia para 1 f ( x )= 2 (1+ x ) ∞

Sol: 

∑ (−1 )n (n+1)x n n=1

Demuestre que la función ∞ n 2n (−1) x f ( x )=∑ (2 n) ! n=0 Es solución de la ED

f ( x ) +f´ ( x )=0

o Encuentre representación de una serie de potencias para la función. Hallar radio de convergencia. f ( x )=ln ( 5−x )  ∞

xn n Sol: ln 5−∑ n=1 n 5

; R=1



f ( x )=

x 2 (1+ 4 x)

∞

Sol:



∑ (−1)n 4 n x n+1 ( n+1) n=0

f ( x )=

1+ x 2 (1−x)

∞

Sol:

∑ (2 n+1) x n n=0

o Evalue la integral indefinida como serie de potencia. Hallar radio de convergencia. t dt ∫  1+ t 8 ∞

t 8 n +2 Sol: C+ ∑ ; R=1 n=0 8 n+2



∫ x−tan x3

−1

x

dx

∞

(−1)n+1 x 2 n +1 Sol: C+ ∑ 4 n2−1 n=1 ∞



xn f ( x ) = ∑ Demuestre que n=0 n !

´ es solución de la ED f ( x)=f ( x )

∞



xn f ( x ) = ∑ 2 Sea n=1 n

. Encuentre los intervalos de

Sol: f ( x ) [−1,1 ] ; f ´ ( x ) [ −1 ; 1 ) ; f ´ ´ ( x ) (−1,1)

´ , f (x ´ ), f ( x) f (x)

; R=1

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°27

Series de Taylor y Maclaurin

o Encuentre la serie de Macclaurin usando la definición. Hallar radio asociado de convergencia. 

f ( x )=( 1−x )2 ∞

Sol : ∑ x ( n+1 ) ; R=1 n=0



f ( x )=sin πx

n

∞

Sol : ∑ n=1

π 2n +1 (−1)n ; R=∞ x2 n +1(2n+1) !

o Encuentre la serie de Taylor con centro en el valor de a. Hallar radio de convergencia asociado. f ( x )=x 4 −3 x2 +1 ; a=1  Sol :−1−2 ( x−1 )+ 3( x−1)2+ 4 ( x−1)3 +(x−1) 4 ; R=∞ 

f ( x )=e x ; a=3 ∞

Sol : ∑ n=0



e3 (x−3)n ; R=∞ n!

f ( x )=cos x ; a=π ∞

(−1)n +1 ( x−π )2 n ; R=∞ n! n=0

Sol : ∑



−0.2 Use la serie de Maclaurin para calcular e . Obtener 5 lugares decimales.

Sol: 0.81873 

Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de: f ( x )=

Sol:



1 ; n=4 ; c=2=xi x−1

f ( x i+1 ) =

−1 1 1 1 1 − ( x +2 ) − ( xi +1+2)2− (xi +1+ 2)3− (x +2)4 3 9 i+1 27 81 243 i+1

Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de: x3 (¿); n=4 ; c=1= xi f ( x )=ln¿

2

Sol: ln ( x i+1 )=3 ( x−1 )−



Dado que y(x) es la solución de

4

3 ( x−1) 3( x−1) 3 +( x−1) − 2 4

dy 3 = y + 2, y ( 0 )=3 dx

entonces el valor de

y(0.2) usando el polinomio de Taylor evaluado en x=0 es

Sol:

0.2 ¿ ¿ ¿3 522∗¿ 2

y ( 0.2 )=3+29∗( 0.2 ) +



783∗(0.2) +¿ 2

A partir de la serie de Taylor demostrar la las expresiones de diferencia finita regresiva y diferencia finita centrada Oh (¿¿ 2) f ( x i ) −f ( x i−1 ) + ( Oh ) ; b) f ( x )−f ( x ) Sol :a) f ´ ( x i )= i+1 i−1 h +¿ 2h

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°28

El método de la serie de potencias 

y ´ ´ +2 y ´ =0

Sol:



(

)

y=c1 x+ c2 x 2

( 1+ x ) y ´ ´− y =0 1 1 1 y=co 1+ x 2− x3 +… +c 1 (x + x 3) 2 6 6

(

)

( x 2−1 ) y ´ ´ + 2 xy ´−2 y =0

Sol:



2 y=co ( 1−2 x 2 +… ) + c1 x− x3 +… =c o cos 2 x +c 1 sin2 x 3

2

Sol:



)

x y ´ ´−2 xy ´ +2 y=0

Sol: 

(

y ´ ´ +4 y =0

Sol:



c 2 y=co + c1 x −x2 + x 3−… =c o− 1 e−2 x 3 2

(

y=co 1−x 2+

5 4 x −… +c 1 x 12

)

( x 2−1 ) y ´ ´ −6 y=0 Sol:

y=co ( 1−3 x 2 +… ) + c 1( x −x3 )



( x 2−1 ) y ´ ´ + 4 xy ´ +2 y=0

Sol:



)

3 1 y=co 1− x 2+ … + c 1( x − x 3 +…) 2 2

(

)

y ´ ´ −xy ´ +3 y=0

Sol:



(

y ´ ´ −2 xy ´ + 3 y=0

Sol:



2 3 y=co 1+ x2 + x 4 + … + c1 ( x + x 3+ x5 +…) 3 5

3 1 1 y=co 1− x 2+ x 4 +… +c 1 (x− x 3) 2 8 3

(

)

( 1+ x 2 ) y ´ ´ +2 xy ´ −2 y=0

Sol:

1 1 1 y ( x )=c o 1+ x 2− x 4 + x 6− x 8 +… +c 1 x=c o ( 1+ y tan−1 y ) + c1 y 3 5 7

(

)

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS FACULTAD DE INGENIERÍA EN CIENCIAS AGROPECUARIAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEBER N°29

Funciones Especiales 1



Calcular

∫ 0

dt ( t +1 ) √t ( 1−t ) 15 14

π Sol: 215 sin( π ) 15 

Calcular L {J o ( √ t ) }

Sol:



Calcular

1

Calcular

s

; s> 0

L {e−at J 0( bt ) } Sol:



e

−s 4

P−1

∫ x dxq , q>0, Pq >0 0 √ 1−x

1 √ s +2 as+ a2 +b2 2

Sol:

p q 1 p Γ (¿ ¿ Γ + ) 2 q ¿ √π ¿ q

(

)

2



∫ μ( 8−μ3 )1/ 3 dμ

Calcular

0

Sol: ∞



Dado

p−1

x π dx= ∫ 1+ x sin pπ 0

, Demostrar que

∞



Demostrar que

x dx= ∫ cos p x



Demostrar que

d p x J p ( x ) )= x p J p−1 (x) ( dx



Demostrar que

d J ( x )=−J 1 ( x) dx 0

te 

Calcular

−3 t

0

π pπ 2 Γ ( p)cos ( ) 2

Γ ( p ) Γ ( 1− p )=

16 √ 3 π 27

π sin pπ

, 0< p