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• José Carlos Turpo Quiro

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Colección preuniversitaria

ARITMÉTICA TEORÍA Y SELECCIÓN DE PROBLEMAS

GRUPO EDITORIAL THE ANGHELIITOO

JOSÉ CARLOS TURPO [email protected]

973518952

A mi queridos padres: Juana y Julián y a mi hermano Heriberto.

E

l proceso de preparación de un estudiante preuniversitario es muy riguroso y constante, pues así se

presentan las exigencias de estos últimos años, debido a la gran cantidad de egresados y postulantes que ven la universidad la mejor alternativa para salir adelante. Los estudiantes al egresar de educación secundaria, necesariamente requieren de un proceso de preparación en las diferentes áreas del conocimiento, pues el desarrollo de las mismas no es profunda y solo llega a los niveles básicos del aprendizaje, restando de esta manera la posibilidad de responder adecuadamente a las interrogantes planteadas en las pruebas de los procesos de admisión que realizan cada año.

El presente texto “ARITMETICA: teoría y selección de problemas” los hacemos con el ánimo de brindar a los estudiantes un texto más adecuado, entendible, practico y pertinente para que pueda cumplir con las exigencias de los estudiantes preuniversitarios de nuestra región y del país. A si ismo pueda contribuir a un proceso de preparación más eficiente y eficaz.

Los años transcurridos en el desarrollo de asignaturas de tipo preuniversitario, nos han ido señalando el camino más adecuado y óptimo para la selección más adecuada y óptima para la selección apropiada de los conocimientos y conseguir que los estudiantes puedan tener éxito en los procesos de admisión.

El presente texto contiene la primera parte de las balotas o temarios que exige el prospecto de admisión de la Universidad Nacional del Altiplano y que son similares a los prospectos de otras universidades del país. Todos estos contenidos presentan al final un banco de preguntas con preguntas con alternativa múltiple para que el estudiante pueda realizar una consiente autoevaluación de lo aprendido. Finalmente, con esta edición, queremos hacer extensivo nuestro más profundo agradecimiento de este material educativo nivel preuniversitario, Para ustedes va dedicado este material. Gracias por su adquisición.

ARITMÉTICA

Teoria de conjuntos

i

OBJETIVOS: Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación. Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente. Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal. Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.





Noción de Conjunto

u elemento

Jo

Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves. Ejemplo:

incorrecto

Determinación de un Conjunto

Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas: a)

sé

Notación

C = 1,2, 1,2, 5, 16 2C 8C 1,2  C 5  C

ur

C

ar

lo

Ejemplos:  Los días de la semana  Los países del continente americano.  Los jugadores de un equipo de fútbol.

Ejemplo:    

sT

Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados.



po

 

Por Extensión o forma tabular. Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes Ejemplo:

A = a, e, i, o, u C = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él.

A = los días de la semana B = a, e, i, o, u

Relación de Pertenencia () Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.

De este modo en el conjunto A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

“....pertenece a .....” :  “... no pertenece a ..”:  Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto Integrante  conjunto

b) Por Comprensión constructiva

6

o

forma

José Carlos Turpo

ARITMÉTICA Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada. Esquema

*   B * 1  B *1B * 3  B * 1,2  B *B Aplicación II Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos P = 2, 6, 12, 20,..., 10100 Q = 3x+1/x ZZ  - 3 < x < 3

/ (se lee “tal que”)

Regla de Correspondencia o forma general del elemento

Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n (A) ó card (A)

Restricción y/o característica (propiedad común)

n/n es una vocal n²-1 / n  ZZ,1  n  7

po

B= C=

Cardinal de un Conjunto

..........................

ur

A=

lo

Ejemplo: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4

Conjunto de los Números Enteros ZZ= ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

3.

Jo

3  ZZ, - 24  ZZ 8

sé

C

2.

Conjunto de los números naturales IN = 1,2,3,4.... EJM 17  IN IN O = IN* = 0,1,2,3,.... Observación Cero (0) es natural

ar

1.

sT

CONJUNTOS NUMERICOS

Conjunto de los Números Racionales Q = a/b / a  ZZ  b ZZ b  0 3  Q porque : 3 =

Notación: Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a, , 13  ord (a) = 2, ord () = 3

3 1

0,5  Q porque 0,5 =

5 10

Cuantificadores

1 3 a  = 3,141592...  Q porque   b

a)

0,333...  Q porque 0,333... =

Aplicación I Dado el conjunto B = 1, , , 2 1, 1,2,3 Indicar que proposiciones verdaderas o falsas

Número Ordinal Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.

Universal: Se denota por “” y se lee “para todo” o “para cualquier” Si P(x) es una función proposicional, , “ x  A; P(x)” es una proposición que será verdadera cuando para todos los valores de x  a se cumpla P(x) Ejemplo: Si A = 2,4,6,8

son

7

José Carlos Turpo

ARITMÉTICA P(x) = x es un número par P(y) = 3y – 2 > 4 Luego  x  A: x es un  par (V)  y  A: 3y – 2>4 (F) b.

C : Casados F : Fuman Diagrama Lineal – Hasse Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos

Existencial. Se denota por “” y se lee “existe por lo menos un” Si P(x) es una función proposicional, “ x  A/P(x)” es una proposición que será verdadera si existe por lo menos un elemento de A, que cumple P (x)

Ejemplo:

C

Q

po

IN P

ur sT

lo

ar

C

sé

Jo

A

P

Diagrama Hasse

Relación de Inclusión () Subconjunto Conjunto

 

Conjunto Conjunto

 : “incluido o contenido” A  B: “A esta contenido en B” “A es subconjunto en B” “B contiene a A” ABxA:xAxB

B A

M F

Q´

Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del primero forman parte del segundo conjunto.

Diagrama (Lewis – Carroll) Su verdadero nombre es CharlesDogston autor de “Alicia en el país de las Maravillas” utilizando un lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo.

H

IIm

ZZ

Diagrama Lineal

Diagramas de Venn – Euler Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto

Ejemplo: H : Hombres M : Mujeres S : Solteros

Q´

IN

(xA : P(x))   x A/ P(x) (xA / P(x))   x A:  P(x)

.b .d .e

Q

ZZ

Negación de los Cuantificadores

.a .c

IR

IR IIm

Ejemplo Si: B = 7,5,4,1 P(x) = x es un número impar P(y) = (y-4)² = 4 Luego:  x B/x es impar (V)  y B/(y-4)² = 4 (F)

Ejemplo: A a,b,c,d,e

C

S

Observación: El vacío está incluído en cualquier conjunto.

C 8

José Carlos Turpo

ARITMÉTICA G  H pero G y H no son disjuntos Conjuntos Coordinables o Equipotentes Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos).

Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. A  B  (A  B  A  B) v (B  A  B  A) Ejemplo: Dados los conjuntos: A = 3,5 B = 1,2,3,4,5,6,7 C = 2,4,6,7 D = 4,7 Son conjuntos comparables: A y B B y C; B y D; C y D

Ejemplo A = Lima, Caracas, Bogota, Santiago B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile

ur

lo

ar

Ejemplo: A = 3n + 2/n  ZZ, 1  n  4 B = 5,14,8,11 Se observa A = B

sé

C

Aplicación Dados los conjuntos A y B guales y C y D iguales donde A = a+2, a+1 C = b+1, c+1 B = 7-a, 8-a D = b+2, 4 Hallar: a+b+c Conjuntos Disjuntos o Ajenos Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común Ejemplo: C = x / x es un hombre D = x / x es una mujer  C y D son disjuntos Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes. Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos.

-

Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen según esto tenemos: Finito: Si posee una cantidad limitada de “elementos” es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.

Jo

-

Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca: “.... es capital de ....” De ahí que A y B son coordinables, luego: n (A) = n (B)

sT

A=BABBA

po

Conjuntos Iguales Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos “elementos”.

Ejemplo: N = 3n + 2 / n  ZZ  1  n  4 N es finito pues n (N) =4 P = x/x es un día de la semana P es finito pues n (U) = 7 Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de “elementos”. Ejm: M = x/x  Q  1 < x  2 M es infinito pues n (M) = ...?

Ejemplo: E = 5,2,a,b , F = 4,3,c,d E y F son disjuntos  E  F G = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,c

1.

9

Conjuntos Especiales Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”. Notación ;  .

José Carlos Turpo

ARITMÉTICA Ejm.: A = x/o < x < 5  x² = 100 =   =  * A :   A *    *     2.

subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Notación P(A) Ejemplo: A = x,y P(A) = , x, y, x,y n (P(A)) = 4 * Los subconjuntos , x, y son denominados propios.

Unitario o Singleton (singular) Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. B = x/x > 0  x² = 9 = 3

Nº subconj. = n (P(A)) = 2n(A) A

Aplicación: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c. A = (2a + b); c B = (2c - 7); (5b + 2)

po

ur sT

Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.

 Nº subconjunt os  4    2  16 de B  

lo

3.

Ejemplo: B = x/x es primo y x < 10 B = 2,3,5,7  n (B) = 4

C

ar

Ejemplo: A = 2,6,10,12 B = x+3/x es impar  0 1

ar

5, IIII,

ur



 MAYAS:    0 1 2 5 6 10 11 Actualmente:

B Z

po

2. DE LA BASE Es un número referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior. Sea “B” una base

Representación de un número en forma simbólica, jeroglífica, gráfica u pictográfica.

2º 9 3

4 8 3 6

3º 9 2

3 grupo de 4 4º 9 1

REGLA DE SIGNOS En una igualdad de 2 numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base. +

orden

a1) Ejm: 1 2 3 4

30(4) no sobra nada

32(x) = 120(z) +

(unidades) (decenas) (centenas) (millares)

-

Se cumple: Z < x

23

José Carlos Turpo

ARITMÉTICA + a2) Ejm: OPTIMUS(E) = INGRESO 99(F) + Se cumple:

-

F 4 B)3 E)5

C)-5

RESOLUCIÓN 4  b  a  n  m (Ordenando) 4  5 6  7  8 Luego: 656 7   517 8 

M  4667  546   3768



n  1  3  9 n  5

10. Halle

m7 y n6

M  244

x  1113n  9

A) 27 D) -3

4n6 m 

a=1 ; b=3; c=8

RPTA.: E

n5

54 n 

Luego:

C) 24

Jo

8.

Si se cumple que:

 a  b  c  m  n  6  5  1  7  3

 254

 3

M = 24

RPTA.: D

RPTA.: C

131

José Carlos Turpo

11.

Calcule la suma de las dos últimas cifras del numeral: 16 1213 8n ,

RESOLUCIÓN  9  6  12   abcdx       m  m  m  2m 1

al expresarlo en el sistema de base n  1 . A) 6 D) 4

B) 7 E) 3

“m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m=3

C) 5

Reemplazando.

RESOLUCIÓN

3245  abcdx

a

mayor

aparente menor base  x  5

N  1612 138n   Base n  1

Se verifica para:

x=4

16 12  13   8 n n  1  11n

Por descomposición:

11 5  5   n

11n

324 5  3  55  2  5  4  89

11n

143n 11n

Por división a base 4:

ur

47n

7 13n

89 4 1 22 2

36n

68n

33n

66n

3

lo

7n

sT

44n

ar

7

1576n

po

5 12 n

2

a  b  c  d  x  m  12

RPTA.: C

RPTA.: C 13. Calcule : a  n  m

Si: 120an  64a  2553m

12. Si se cumple:  9   6   12   abcd x  m m  m     2m1

A) 12 D) 18

Calcule a  b  c  d  m  x A) 8 D) 13

B) 10 E) 15

Números equivalentes

4 1

a  1;b  1; c  2; d  1; x  4 m3

de las 2 últimas cifras = 5

Jo



4 5 1

324 5   11214   abcdx

sé C

 N  ...32(n  1)

valor

B) 14 E) 19

C) 16

RESOLUCIÓN 120an  64a  2553 m 

C) 12

1200 n  640 n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)

n3  2n2 (n  2)  82 (8  2) n8

132

José Carlos Turpo

¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base n2 ?

64a  120a8  2553m ;m  5 m8 m6

A) 6 D) 9

25536  2  63  5  6²  5  6  3  645  64a

Aplicando propiedad.

15  n(4)  (n  1).5  n  0  1  2  3  ...  (n  1)  1

14. Halle “x” en:

abxn  ccn7 ,

E) 6

n(n  1) 2 n(n  1) 91  n   n  18 2

y ba

9  9n 

po

D)5

si: c  2

C) 3

ur

B) 2

C) 8

RESOLUCIÓN

a5 a  m  n  5  6  8  19 RPTA.: E

A)0

B) 7 E) 5

n 2  18 2  324

Número

210324

sT

RESOLUCIÓN

En base

abxn  ccn7...(I) ; C  2 ; b  a

 02 01 0018

lo

Número de cifras =5

n7

ar

 2  c  a  b  n  7 c  3 a4

sé C

b5 n6

Jo

C) 28

k  n2  k 9ab n2   213312 n 

  2

 1

21 33 12n

11 15

B) 24 E) 37

Transformando de base (n) a base n  10

14

siguiente

Luego: n 

15. Si se cumple que:

(2n) numerales

la

RESOLUCIÓN RPTA.:A

15

a  b  n  k  en

expresión:

A) 18 D) 41

45x6  4506  x  0

14

Halle

9abk   213312n ; donde k  n2

Luego en I 45x 6   3367  174



16.

RPTA.:E

12

9

13

1 n  1n

133

a

b n2

 

21n  9

 n  4 ; k  16

33 4  a

 a  15

12 4  b

 b 6

José Carlos Turpo

1 000 000  11 333 3117 

a  b  n  k  41

RPTA.: D

Número de personas:

1  1  3  3  3  3  1  1  16  N  16

17. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

RPTA.: A 19.

C) 12

a10b11b2  15 c8

RESOLUCIÓN Sea: abc n  el mayor a  b  c 

Halle:

C)5

= 15c 8 

a 10b 11b2

2

 (n  2).n  n  3  4  8  2  8  0  8  5  2181

po

n  1.n

B) 7 E) 10

RESOLUCIÓN

pasando a base 10. 3

a  b  c

A)6 D)9

abcn  n  1 n  2 n  3n  42058 2

Si se cumple:

a(4  b)(6  b)8  = 15c 8 

ur

n3  n  2184

*a  1 * 4  b  5 ;b  1 * 6  b  c ;c  7 *a  b  c  9

2

sT

n(n  1)  2184

n  1nn  1  12  13  14

ar

n  13

lo

n(n  1)(n  1)  2184

sé C

RPTA.: D

Jo

B) 13 E) 10

C) 11

Descomponiendo:

n a  b  7b  a 6b n 1 a

y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron?

a7 y b7 a  1 ;b  6 n  37  3  7  10

C) 14

Transformando a base 7:

7 2 915 (3)

abn  ba7

Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible.

RESOLUCIÓN

S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…

1 000 000 7 (1) 142 857 7 20 408 (1) (3)

Si se cumple:

A) 37 D) 21

18. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea:

A) 16 B) 15 D) 13 E) 12 RESOLUCIÓN

20.

RPTA.: D

RPTA.: D

7 416 (3)

7 59 (3)

7 8 (1)

7 1

134

José Carlos Turpo

r =10b-9a+2=3b-a+8

NUMERACIÓN II 1.

Si

el

término

ab

avo

de

la

7b = 8a+6  r = 13

siguiente serie aritmética es ba . Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

2

C) 8

1

305  110  1  16 13

n=

a + b + n=19

RESOLUCIÓN

RPTA.: E

30;…;48;51… Razón: 3. Término 1: 30 Término n: tn  t1  n  1  razón



3.



¿Cuántos términos tiene siguiente progresión aritmética:

la

233 x  ;242 x  ;301 x  ;........;1 034 x 

po

t ab  30  ab  1  3  ba Descomponiendo: 30+3x ab -3= ba 30+3(10a+b)-3=10b+a 27+29 x a = 7 x b

B) 17 E) 22

ur

A) 26 D) 19

C) 20

sT

RESOLUCIÓN Cálculo de la razón R:

8

lo

1 a=1; b=8 a+b=9

Dada la siguiente aritmética:

Descomponiendo polinómicamente 2x2  4x  2  2x2  3x  3 

3x

progresión

sé C

2.

ar

RPTA.: D

242x   233x   301x   242x 



Jo

2335 ;2425 ;3015 ;.........;1 0345

“n” términos Halle: a+b+n B) 16 E) 19

 

 1  2x2  4x  2

x=5  R = x- 1  R=4

aa0;ab(a  2);a(b  1) 3b ;.....3a 05

A) 15 D) 18

2

+4 n

C) 17

+4

10345  2335

n = 20

4

1

RPTA.: C

RESOLUCIÓN “n” términos

4.

aa0; ab(a  2); a(b  1)3b ;.....3a05 r  ab(a  2)  aa0  a(b  1)(3b)  ab(a  2)

En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro? A) 165 D) 145

B) 330 E) 325

C) 320

r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2

135

José Carlos Turpo

11 x 4

RESOLUCIÓN Suponiendo la última página con numeración PAR. Cantidad de cifras de las páginas impares:

1x5

101.6

RPTA.: E 6.

1, 3, 5, 7, 9, 5#s 5 x 1 = 5 cifras

Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 159 D) 195

11, 13, 15, 17,……., 97, 99

B) 157 E) 185

C) 148

RESOLUCIÓN La numeración de las páginas será: 1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,

po

45#s 45x2=90cifras

“x” Cifras utilizadas

101, 103, 105, 107,……….

ur

n  72, n  71, n  70........, N

Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras:

lo

345  115 3

números de 3 cifras

sé C

Total de páginas impares = 5+45+115=165 páginas.

ar

3 cifras =

sT

440-(5+90) = 345 cifras

Jo

(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135 La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será: 135+69=204 Entonces si al total de cifras desde 1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N72) es igual a 204.

Total de páginas =330 5.

“(x+69)” cifras utilizadas

RPTA.: B

Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?

Asumiendo para N=3 N   1 3  111  N  72  1 2  11  204

6667 ,6970;7273;7576 ;...........

N=159 A) 664 D) 653

B) 665 E) 655

RPTA.: A

C) 620 7.

RESOLUCIÓN 6667 , 6970 ;...9697 ;99100 ;102103...abc

11#s

1#

abc 1

101#s

En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo. 3, 9, 17, 27,……., 699 A) 559 D) 649

136

B) 597 E) 585

C) 647

José Carlos Turpo

RESOLUCIÓN tn = t1  n  1.r1 

a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 . . . . . . a=k-2; b=0,12 a=k-1; b=0 1

n  1n  2 .r2 2

En el problema

tn  699  3  n  1.6 

n

2



 3n  2 .2 2

 #s =

700  n2  3n  n  25 t23  3  22.6 

22.21 .2  597 2

k  1 k 

 136 2 k  1 k  8  17  2

k=17

RPTA.: B

RPTA.:B 8.

10.

¿Cuántos números de la forma:

a  a  1 b b  2  c  c / 2 

 d

A) 500 D) 635

C) 3200

ur

B) 2160 E) 2400

RESOLUCIÓN

 

a b

ar

lo

0 1 2 . . . . . 9 10 =3200

sé C x

Jo

x

2 0 3 2 4 4 . 6 . 8 . . . 9 8 x 5

d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; 82 ; 92

RPTA.: C 9.

En que sistema de numeración existen 136 números de las formas: aa  b b K  A) 16 D) 19

B) 17 E) 20

C) 675

Sabemos:

N  aa  1bb  2cc / 2 d

1 2 3 . . . . 7 8 C#s= 8

B) 625 E) 600

RESOLUCIÓN

sT

A) 960 D) 3600

po

existen?

¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?

C) 18

RESOLUCIÓN a+b= k-1 (máximo) a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2

137

c

9x10x10=900 números de 3 cifras Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego: # de 3 cifras a b 2 0 4 2 6 4 8 6 8 4 x 5 x

pares c 0 2 4 6 8 5 = 100#s

# de 3 a 1 3 5 7 9 5 x

impares c 1 3 7 5 9 5 = 125 #s

cifras b 1 3 5 7 9 5 x

José Carlos Turpo

Caso III : 10x9 Caso IV : 10x9 Total

Entonces: 900-(100+125)675 #s

RPTA.: C

RPTA.: A

¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000? A) 900 D) 750

B) 800 E) 810

13.

C) 700

RESOLUCIÓN

A) 5 D) 8

800 < ”capicúas”< 80000 Capicúas

a b b a ;

8 9

1 0 2 1 3 2 . . . . . . 9 9 9x10=90

Nro capicúa: abcba Tenga 2 cifras “2” En su escritura: 2 b c b 2 x  a 2 c 2 a x

ar

1 0 0 2 1 1 1 2 2 . . . . . . . . . 7 9 9 7x10x10=700 C#s Capicúas= 20+90+700=810

lo

a b c b a

B) 800 E) 600

0 1 3 . . .

1 0 3 1 . 3 . . . . . .

x  1 x  1 x  1 x  1

x  1 x  1 x  2 x  1

2

x7

RPTA.: C

RPTA.: B 14.

¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30? A) 990 D) 500

0 1 3 . . .

 x  1   x  2   x  1  66  x  1 x  1  x  2  66  6  11  x  1 2x  3  7  1 2  7  3

sé C

Jo 12.

C) 7

RESOLUCIÓN

sT

0 1 2 . . . 9 2x10 = 20

B) 6 E) 9

ur

a b a ;

¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura?

po

11.

= 90#s = 90#s = 990#s

C) 720

Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar? A) 5 D) 8

RESOLUCIÓN

B) 6 E) 9

C) 7

RESOLUCIÓN

Casos: I II Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 cifras III IV =15 x 2 =10 x 3 Caso I : 10x9x8 = 720#s Caso II : 10x9 = 90#s

2226 cifras 1,2,…9; 10,11,….99,100,……U 9 #s

138

90 #s

José Carlos Turpo

Cifras: 9x1

90x2

2037 cifras

A) 2 661 D) 2 772

2037 3 679 # s de 3 cifras

En total de páginas =100 Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras.

Última cifra =8

RPTA.: D Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? B) 67 E) 73

Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1.

C) 70

Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39

po

A) 76 D) 74

RESOLUCIÓN

sT

10#s

ar

lo

700,701,702,..,746 47#s

sé C

El libro tiene 746 páginas La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será:

Jo

Total de números que terminan en la cifra 7: 737  7  1  74 Total= 10 Total= 74 números

Total de tipos = 2 772

RPTA.: D 17.

7,17,27,37,47,…….,717,727,737

Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan? A) 506 D) 512

B) 510 E) 515

C) 511

RESOLUCIÓN Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos:

RPTA.: D 16.

La última página de 3 cifras es la 999 La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960 Cantidad de tipos=3(960+1)111=2 772

ur

La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será: 1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…, 1#s

C) 2 769

RESOLUCIÓN

 679  U  100   1  U  778

15.

B) 2 771 E) 2 774

Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.

* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s * De 2 cifras: a

b

7 x 8 = 56 #s * De 3 cifras: a

139

b c

José Carlos Turpo

7 x8x 8=448 #s

8

 a+b+c+d+=26

* De 4 cifras: (1000) 1# Luego : 7 +56 +448+1 =512#s

20.

RPTA.: D 18.

Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal? A) 3555 D) 4125

B) 4005 E) 4325

Nros capicúas:

po

xyx z 

ur

Además: w+z=15

lo

sT

Método combinatorio:

# cifras = 4 20138  11118  3555

sé C

ar

RPTA.: A

4a6;.....;68b;6c b  2 ;70d

a

b a (w)

1 2 3 . . . .

0 1 2 3 . . .

x

y

1 2 3 . . . .

0 1 2

w  1 w  1 w  1. w

Jo

donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es 68b . Halle (a + b + c + d). B) 24 E) 13

C) 3

abaw 

y números de 4 cifras 3x+4y=155 y= 35 Última página =1034 = 20128

A) 26 D) 25

B) 4 E) 7

RESOLUCIÓN

C) 3750

x números de 3 cifras x+y=40 x=5

Sea la P.A.:

RPTA.: A

Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3 cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15. A) 5 D) 6

RESOLUCIÓN

19.

5

C) 30

RESOLUCIÓN

4ab;.......;68b;6c b  a;70d

r=8; c=9

xz

. . .

z  1 z  1 z  1. z

t30  68b  4a6  29. 8

680  406  10a  232

Por dato:

42  b  10.a  d  4

w

2

140

 



 w  z2  z  56

José Carlos Turpo

w



 z2  z  w  56 w  zw  z  1  56 2

1007 … 6667 1000 7 .. abcd 7 600 7 números x números

14

wz 

56 4 14

6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996

RPTA.: B

4x=996-972 4x=24 x=6 números

Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 D) 14

B) 13 E) 15

abcd7  10057

1 + 0+ 0+ 5=6

RPTA.: C

C) 11

po

21.

RESOLUCIÓN

sT

ar

Planteando el enunciado: (Cantidad de números) x 4 =N

lo

“N” tipos de imprenta

ur

Sucesión será: 4000;4001;4002………….…;N

sé C

4N  3999   N

Jo

3N= 4x 3999 N= 4(1333) =5332 N=5332

Suma de cifras: 5+3+3+2=13

22.

RPTA.: B

Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página. A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

RESOLUCIÓN 1;2;...6; 107 ;…; 66 7 ; 6 números 607 números

141

José Carlos Turpo

ADICIÓN - SUSTRACCIÓN 1.

Si :

5

x

1

x

a0ca  8abc  b7c8  ccab  24022

x

Halle:  a b2 c  A) 270 D) 245

5

B) 256 E) 325

a 5

C) 320

RESOLUCIÓN

2 x . . . (n-1) x c 0

“n-1” Sumandos

4

x (n-1)  4 

*

Si:

6



a0ca  abc  b0c0  ccab 

b 9

x

9

a + b + c = 14

RPTA.:B

24022 - 8000 -708=15314.



ur

sT

A) 637 D) 675

lo

*

S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)

a  b2  c  5  32  6  270

ar

*

1+(a+ b+ c)+c =.........1 15 + c=..........1  c = 6 2 + a + c = ...........3  a=5 8 + a = ...........3 1+ a + b + c = 15  b=3 1 + 5 + b +6 = 15

sé C

RPTA.: A

Halle : a  b  c ; si n + x =16 y

A) 13 D) 16

B) 14 E) 19

B) 625 E) 645

C) 5481

RESOLUCIÓN S  12n  21(n)  30n  ...  210n Razón: 21n  12n  n  1

x1x  x2x  x3x  ...  x n  1 x  abc4

Jo

2.

Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos forman una progresión aritmética:

po

3.

Entonces: a + b + c =14 (único valor que cumple) *

x=6 n=10

Último término: 12n  14 n  1  210n

C) 15

Resolviendo:

RESOLUCIÓN

n2  7n  6  0  n  6

n + x = 16 ; (n  1) . x = ... 4 n = 10 x=6

S  126   216   306   ...  2106 

S= 8 + 13 + 18 + … + 78

S

15 x 86  645 2

RPTA.:E

142

José Carlos Turpo

4.

Halle la suma números de a  a / 2  b 2b  A) 84440 D) 104480

de todos los la forma:

B) 84480 E) 105480

S49  102  104  106 

S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)] S = 2[49(10049)+48(10048)+... +47(10047)+...+1(1001)] S = 2[100(49+48+47+....+1).... (49²+48²+47²+...+1²]  49  49  1 49  49  1 2  49  1  S  2  100   2 6    164150

C) 84840

RESOLUCIÓN N=

8

4  a  2  

a 2 4 6 8

b (2b) 0 0 1 2 2 4 3 4 6 8 8 0

1 2 3 4

S= 105

4

:20#s

S = 164150

RPTA.: D 6.

S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66

sT

10n1  9n 9 10n1  9n  10 B) 27 n 10  9n  10 C) 27  10n1  9n  10  D) 2   27  

lo

sé C

ar

Si: S n  102  104  106  .................... “n” sumandos Halle la siguiente suma:

 10n  9n  10  E) 2   27  

Jo

S  S1  S2  S3  S4  .........  S49

A) 26 615 C) 161 450 E) 146 150

B) 16 415 D) 164 150

RESOLUCIÓN Factorizando el 6: S=

RESOLUCIÓN S1  102

6 (1+11+111+1111+... + 11111 ....... 1111 “n” cifras

S2  102  104 S3  102  104  106

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

“n” cifras

A)

RPTA.:E 5.

ur

1 columna = 0  2  4  6  8 4  80  2 columna =  0  1  2  3  4   4  40  3 columna = 1  2  3  4 5  50  4 columna = 2  4  6  8   5  100

Efectuar:

po

5

……+198

. . . . . . .

Multiplicando por : 9: 9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... + 99999 ....... 9999

……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………..

“n” cifras 3S  101  1  102  1  103  1  .......  10n  1 2



143

 

 





José Carlos Turpo







k k   k  40 5 8 k  m  n  40  9  4  4 RPTA.: D

1 n 3 S 10 10  1   n(1) 2 (10  1)

S



2 10n 1  9n  10

13 



27

RPTA.: D

9.

abcm  cbam  xyzm , xyzm  zyxm

Halle: a  b  si:

7.

    C.A.  9ab   41ab

 

A) 1 D) 10

C) 8

 defgm y d  e  f  g  16;

C.A. 1ab  C.A 2ab  C.A. 3ab  ...

B) 6 E) 4



A) 5 D) 8









y= m – 1



ur

 

3

 1ab  10  2ab  ...  10 9ab  41ab





9  103  1ab  2ab  ...  9ab  4100  ab



1ab  9ab  9  4100  ab 2



lo

9  103 

ar

9000  500  ab  9  4100  ab

n

A) 27 D) 4

m k   3  2n  8     13

B) 13 E) 25

z y x m 

d e f gm z+x=m-1=g

D=1;e=0 Luego: d + e + f + g =16 (por dato) 1 + 0 +m – 2 + m – 1 =16

si se cumple

Jo

Calcule: k  m que:   k  CA mn      5   13 



f m2 1  x  z  m  10m  dem

RPTA.: E

8.

x y z m 

2y = 2m-2= 1 m  2m

sé C

400  10  ab  ab  40

a+b=4

sT

10

3

C) 7

abcm  cbam  xyzm  x  z  m1

CA 1ab  CA 2ab  ...  CA 9ab  41ab 3

B) 6 E) 9

po



Halle el valor de m.

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

 

Si:

2m=18

C) 53

m9

RPTA.: E 10.

RESOLUCIÓN  k   m k  CA mn       2n    5 13   3   8 13 

Calcule el complemento aritmético n 1 n 1 del número M  9  10  10 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 10n+2 D) 9n-1

Método Práctico:

m m9 3 12  n  2n  n  4

B) 15 E) 10n-9

C) 18

12  m 

144

José Carlos Turpo

RESOLUCIÓN n 1

M  9  10

RESOLUCIÓN Sea “n” el valor máximo de la base, que representa al número dado como: abcn  N10

n 1

 10

Se puede expresar:

M  9  102  10n 1  10n 1





Además: CA N10  XXX

Factor común:

Cómo N10 debe ser máximo, por lo tanto su CA deberá ser el más pequeño posible, luego x=1

M  10n 1 900  1  901  10n 1

C.A 901000...000  99000...000





Luego: CA N10  111;N  889 (n+2)cifs.

Entonces: abcn  889  n2  889; n  29,7 L uego el mayor valor de la base será: n = 29

( n+1)cifs.

Suma de cifras: 9+9 =18

RPTA.: B 13.

Si N y M son números de 200 y 150 cifras respectivamente, y

21ab  24ab  27ab  ....  69ab

CA N  M  CA(N).

lo

C) 50

Calcule: (a+b+x+y+z)

ar

B) 1 E) 450

sT

es xyz63

Halle la suma de cifras del complemento aritmético de M. A) 151 D) 9

sé C

RESOLUCIÓN

A) 28 D) 26

B) 27 E) 32

C) 24

RESOLUCIÓN 21ab  24ab  27ab  ....  69ab

C.A. N-M  C.A.(N)

es xyz63

M  10n  10K  10K  99...9 

2100  2400  2700  ....  6900  17  ab

Jo

10k  N  M  10n  N

CA(M)  10k.1  100...0

17#s.  9000    17  17  ab  xyz63  2 

 Cifras = 1

RPTA.: B 12.

Si:

ur

11.

po

RPTA.: C

Observando: ceros)

¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual se puede escribir con tres cifras un número entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmético a otro numeral de 3 cifras iguales? A) 26 D) 19

B) 29 E) 22

(otras

cifras

son

ab 

ab  39 17  * 7  b  .3;b  9 73 * 7  a  6  .7;a  3 9 63

C) 20

145

José Carlos Turpo

RESOLUCIÓN

4500  17  17  39  xyz63 X=7 17  4539  77163  xyz63

Y=7

a  b  x  y  z  27

Z=1

ab;ac;  a  1 3;  a  1 C...   a  7 c 5

B) 4 E) 8

S

13  88  88  13    1 2 5  

S

101  16  808 2

C) 7

 Cifras de S=16

RPTA.: A

Planteando el enunciado.

16.

ar

Suma

A) 15 D) 18

lo

Simplificando tendremos: 1+2+3+4+….+(n-1)=3n

Halle el valor de (a+b+c+d).

sT

1 n  1  2 n  1  3 n  1  ... n  1 n  1  3n n  1

sé C

n   n  1  3 n 2

naturales

Jo

Ordenando:

aba8 

a  b  a  2d8  16  d

b=5

los se

b  a  b  2  2d8  16  d

d=3

De como respuesta la suma de cifras de S. B) 18 E) 22

RESOLUCIÓN

c c dd8

S = ab;ac;  a  1 3;  a  1 c;....;  a  7  c

A) 16 D) 21

C) 17

ba8

RPTA.: C

Halle la suma mínima de siguientes números que encuentran en P.A.:

B) 16 E) 19

ab8

n  1 = 6; n = 7 Heptanal

15.

Si: aba8  ab8  ba8  ccdd8

ur

11n  22n  33n  ...  n  1 n  1n  330n

po

RESOLUCIÓN

de

c=8

amin  1

¿En que sistema de numeración “n” la suma de todos los números capicúas de 2 cifras es 330 en base “n”? A) 6 D) 9

5

b=3

RPTA.: B 14.

5

a  2  CC8  9C

c= 1 a=7 a + b + c + d = 16

C) 20

RPTA.: D

146

José Carlos Turpo

17.

Halle la suma:

Unidades: º

13 4  315  136   317...  13100 A) 2 895 C) 12 301 E) 10 231

8  b  x29  8.b  9 2  b  7 Decenas: 89  6  42  4  9  6  c  6 2

B) 7 536 D) 10 321

Centenas:

8  a  4  489

RESOLUCIÓN

 8 a  40  a  5 a + b + c = 18

Desdoblando en dos sumas:

RPTA.: E

S1  134  136  138  ...  13100

9  11

19.

 … +103

ar

lo

S2  16  22  28  ...  298

sT

S2  315  317  319  ...  3199

ur

 103  7   103  7  S2     1  2695  2 2    

 298  16   298  16  S1     1  7536  2 6    

sé C

S  S1  S2  2 695  7536  10231 RPTA.: E

B) 17 E) 18

B)4 E) 3

C) 2

RESOLUCIÓN Planteando el enunciado: Nro. Inicial: ab

ab  ba  10  11  12  13  ...  ab

a1b9  a2b9  a3b9  ...  a8b9  48c29 A) 16 D) 20

A) 0 D) 1

Nro. Invertido: ba

Halle: “ a+b+c” si:

Jo

18.

Halle la diferencia de las cifras de un número de 2 cifras; tal que la suma del número con el que resulta de invertir sus cifras, sea igual a la suma de todos los números de 2 cifras hasta el inclusive.

po

S1  7 

 10  ab  11  a  b     ab  9  2  

C) 15











22  a  b   10  ab ab  9

RESOLUCIÓN a1b9 

22=10+ab  ab  12 3 = 12  9 Pide la diferencia b  a = 1

a2b9 . .

RPTA.: D

.

a8b9 48c29

147

José Carlos Turpo

Halle la suma de los C.A. de todos los números que tienen tres cifras impares. A) 55 6615 C) 45 625 E) 55 625

mutuamente; los bolivianos lo mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la diferencia entre Peruanos y Bolivianos?

B) 55635 D) 55 525

A) 2 D) 5

RESOLUCIÓN a

b

c

1

1

1

3 3

3

5 5

5

7 7

7

9 9

9

P+B=12 Saludos Peruanos 1 P-1 2 P-2 .

8

8

9

6

6

7

4

4

5

2

2

3

0 1  5  5 = 125

sé C

0 5

sT



lo



ar



.

P  1  2 P  

. . 1

ur

. . P-1



 C. A. abc  (9  a)(9  b)(10  c)

Números

Sumando: Unidades: 25  (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625

Saludos Bolivianos 1 B-1 2 B-2 3 B-3 B  1 . .  2 B   . . . . B-1 1

Jo

P  1 B  1  2  P   2  B  31     2 2 P  P  B  B  62

Decenas: 25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500

P² + B² (P + B) = 62 P² + B² = 74 7² + 5² = 74 75=2

Centenas: 25  (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625 22.

RPTA.: E 21.

C) 1

RESOLUCIÓN

5  5  5 =125 Números



B) 3 E) 4

po

20.

Se realiza una reunión de Peruanos y Bolivianos para tratar con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son más que los bolivianos, los peruanos llegan y se dan los buenos días

148

RPTA.: A

¿Cuántos números de la forma abcde existe, tales que: a  b  c  d  e y la suma de los cuadrados de las cifras de segundo y quinto orden es igual a la suma de los cuadrados de las demás cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una progresión aritmética).

José Carlos Turpo

A) 1 D) 9

B) 5 E) 4

C) 6

RESOLUCIÓN UM M C b  1 a  3     a  2      2   3  1 3 0 3 4 1 5 5 7 6 9 7

RESOLUCIÓN abcde;a  b  c  d  e 2

2

2

2

2

a d b c e .

 d  3r 

2

 d2   d  2r    d  r   e2 2

2

d=d c= d+r b=d+2r a=d+3r Resolviendo 

e=2r

2

5

8

(2)

=

50+

ur

     6 5 4 3 2

D

10 (10) = 2

50

C

10 (1) 2

5

sT

7 6 5 4 2 8 7 6 5 2

lo

9 8 7 6 2

sé C

Jo

   

ar

Solo hay 4 números

ab c de

=10

po 10 (5) 1

U

Si r  2  e  4

5

Ordenado los productos parciales

a b c d e

M

=

10 (25) = 5

UM

10 (25) = 5 S=

No hay números

23.

U

b = {1; 4} a = {3; 5; 7; 9; 11}

r 1  e 2

119 7 5 4

x

5

D (2b)

RPTA.: E

5 0

50 55 1 0 5 0

 Cifras  16

RPTA.: D

Halle la suma de cifras de la suma de todos los números de la forma a  3 b  1   2b  5  2  3 

 a  2  A) 15 D) 16

B) 14 E) 17

C) 13

149

José Carlos Turpo

abcd7 100007  1  abcd00007  abcd7  ...24117

MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN 1.

entonces a=4 b=2 c=5 d=6 luego  d   b  ca Divisor

Si al multiplicando y multiplicador se le disminuye en 2 y 4 respectivamente, el producto disminuye en 198. Halle la suma de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8. A) 63 D) 66

B) 65 E) 69

 

ab 

C) 67

 

RESOLUCIÓN

ur

(M-2)(m-4) =P-198 M  m -4M-2m+8= P -198 206 = 4M + m x 2

ar

lo

sT

A) 13 D) 11

RPTA.: D

sé C

B) 2 E) 6

C) 10

RESOLUCIÓN Sea “N” uno de dichos números: N= 31q + 3q N= 34q Además, sabemos: resto < divisor q  31 / 3  q  1,2,3, 4,5, 6,7, 8, 9,10

Cantidad de valores =10

Halle el número de divisiones de  d dividendo   ca y residuo ab b  A) 1 D) 5

B) 4 E) 12

 3q  31

Si abcd7  22227  ...31257

RPTA.: C

Jo

2.

Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente corresponde.

po

3.

103=2M + m + 8= M-m 111 = 3M; M = 37 m = 29 M + m = 66

354 = divisor. cociente + 42 312= divisor. Cociente además divisor >42 divisor =52,104,78,156,312 hay 5 divisiones (tabla de divisores)

RPTA.: D

Mxm=P

+

Cociente

4.

C) 4

RESOLUCIÓN abcd7 .22227  ...31257

Si

multiplicamos al número por n0n (0 = cero) abc observamos que el producto total es **435 (cada asterisco representa una cifra). Dar como respuesta a + b + c; si además; aM

1

1

división exceso

2

M  8d  aa  a  6   a  6 

M  13 d   a  1 c (a  1)  4a 0

9.

0

ar

N  13 d  13 286   3718 

lo

M  8d  2288;d  286

sé C

RPTA.: D

Si: MCD (A; B) = MCD (C; D) y al calcular MCD (A; B) se obtuvo como cocientes sucesivos por exceso 2; 5 y 6 y al calcular el MCD (C; D) se obtuvo como cocientes sucesivos por exceso 6; 5 y 2. Calcule “B - D” mínimo. Si la cantidad de divisores de A y C es impar. A) 220 D) 320

B) 260 E) 440

2 d 0

RPTA.: B

Se tiene 3 números A; B y C al calcular el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2. Al calcular el MCD de A y C por el mismo método se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2. Halle el menor de dichos números si se cumple que: A + B + C = 1053.

A) 225 D) 383

B) 273 E) 455

C) 325

RESOLUCIÓN

Jo

8.

5 2d d

sT

7a + 2 = 8 ; a = 2

C=7

d 0

ur

8  a a  6  a  6  Descomponiendo



6d d

CD: impar  d = 13 B – D = 29 d – 9 d B – D = 20 d B – D = 20  13 = 260

0

  a  1 c  a  1  a  6 

B = 29 d 6d

A  C  52 d  22  13  d

N M 5d 3d d



6

6 C = 52 d D = 90 2d

3

5d 3d d

5

po

Sea d = MCD (N, M)

2

C) 280

1 A=5d B=3d 2d

1 2d d

2 d = MCD 0

1 A=7e C=5e 2e

2 3e e

2 e = MCD 0

A  5 d  7e 

d 7K  e 5K

B  3 d  21K C  5e  25K A  5 d  35K

RESOLUCIÓN

A+B+C

181

= 1053

José Carlos Turpo

8+K K

= 1053 = 13

RESOLUCIÓN

A  B  432 mcm  A,B  =323  MCD  A,B 

Menor: B = 21 x 13 = 273

mcm  A,B 

RPTA.: B Se sabe que:

R 2 MCD (A; B) = 2 2R  5 y MCD(C;D)  3

MCD  17  19  432 432  12 36

MCD 

Calcule R si es un número entero mayor que 50 pero menor que 80.

B –A = 2 (MCD) B – A = 2 x 12 = 24

B) 70 E) 75

RPTA.: C

C) 45

12.

R 2 ; 2 2R  5 MCD  C;D   3 MCD  A;B  

lo

sT

A) 9 216 D) 8 750

ar

 R  2 2R  5  MCD(A,B,C,D)= MCD  , 9 3   2

sé C

R 2  9P  R  18 P  2 2 2R  5 27 q  5 MCD = 9   9q  R  3 2 27 q  5 18P  2   36P  4  27P  5 2 4P  3 q  1  q =5  P = 4

B) 8 516 E) 9 415

C) 9 310

RESOLUCIÓN

Sean los números A y B Por propiedad A = 144  B = 144  Además

CDA  33  10  1 2  1

CDB  35  6  1  4  1 Luego será de la forma:

Jo

MCD = 9 

Si el MCD de dos números es 144 y tienen 33 y 35 divisores. Halle el menor.

ur

RESOLUCIÓN



Pesi

A = MCD x 17 B = MCD x 19

Además MCD (A; B; C; D) = 9

A) 60 D) 50



 323  17  19

po

10.

MCD  A,B 

A  210 32 B  24 36

Luego R = (18 (4) -2)=70 Luego el menor: A = 9216

RPTA.: B 11.

RPTA.: A

Determinar dos números de tres cifras, cuya suma es 432 y su MCM es 323 veces su MCD. Dar como respuesta la diferencia de dichos números. A) 12 D) 36

B) 18 E) 42

13.

¿Cuántos números menores que 80 tienen con 360 un MCD igual a 4? A) 2 D) 5

C) 24

B) 3 E) 6

C) 4

RESOLUCIÓN 

182

Sea N < 80 MCD (N, 360) = 4 N=4K

José Carlos Turpo

 

MCD (K, 90) = 1 K y 90 PESI 0



0

RESOLUCIÓN 0

0

0

Si MCD  A,B   n

0

Como 90  2,3,5 K  2,3,5 4 K < 80 K < 20 K = 1,7,11,13,17,19

  

Hay 6 valores.

  MCD  A ,B   n MCD n ,n   n

MCD A3 ,B3  n3 6

6

6

6

6

3

RPTA.: A

RPTA.: E

16. Si: M.C.M. (A; B; C) – MCD (A, B, C) = 897

Sea A  a 4 8 b y B  mnnm cuyo MCD es 495 estando el valor de B entre 5000 y 6000. Calcule A + B. A) 8 610 C) 6 930 E) 4 950

A – B = 65 A – C = 26 Calcule: (A + B + C)

B) 8 575 D) 11 880

A) 160 D) 180

ur

0

sT

Sea: A = dq1 B = dq2 C = dq3

Como B entre 5000 y 6000 m = 5 (terminar) Además

M.C.M. (A; B; C) – MCD (A, B, C) = 897

lo

A  a 4 8 b  99 ………………………… 1 0

1

sé C

De

ar

B  5 nn5  99 ……………………….. 2 *

0

De

2

º

5nn5  99

A  C  d  q1  q3   13  2 q1  q2  q3  7  2  5

n=4 Los números serán: A + B = 1485+ 5445 = 6930

q1  7 q2  2

RPTA.: C 15.

q3  5

Si MCD (A, B) = n, halle el MCD de MCD A3 ,B3 y MCD A6 ,B6



A) n3 D) n



B) n6 E) n4

d = 13

Luego:

5n  n5  99 

d q1  q2  q3  1  897 = 13  69

A  B  d  q1  q2   13  5

Jo

*

d  q1  q2  q3  d  897

Se cumple: d = 13 pues divide a 65 y 26

a 4 8b  99  99 = a4  8b a=1 ;b=5

C) 172

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN 

B) 168 E) 182

po

14.





Pide: A  B  C  13 14   182

RPTA.: E

C) n2

183

José Carlos Turpo

17.



RESOLUCIÓN



Si: MCD 75d;p 0p 2  abc a

Además: a + c = b Calcule: (a + b + c + d + p) A) 18 D) 20

B) 19 E) 21

a

210

C) 17

270

a

a a

300

a

a: divisor común de (210; 270 y 300)

RESOLUCIÓN MCD 75d; p0p2  abc



a+c=b 0

abc es 11

# postes=

0

75 d  11 ; d = 9

po

sT

759 – 1 012 11 69 92 23 34

lo

19.

sé C

ar

MCD  abc  253

Pide: a + b + c + d + p = 20

RPTA.: D

Jo B) 51 E) 60

En la función de una obra teatral, se ha recaudado en 3 días de funciones: S/. 5 068; S/. 3 388 y S/. 4032 respectivamente. ¿Cuántas personas han asistido en los tres días, sabiendo que el precio de la entrada es el mismo en los tres días y está comprendido entre S/.10 y S/.20?

A) 982 D) 446

Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular, cuyos lados miden 210, 270 y 300m. respectivamente. Sabiendo que hay postes en cada vértice y que la distancia entre poste y poste está comprendido entre 10 m. 20 m. Calcule cuántos postes se colocaron. A) 50 D) 48

RPTA.: C

ur

pop 2  11; p = 1

18.

210 270 300   15 15 15

# postes = 14 + 18 + 20 # postes = 52

0

a=2 b=5 c=3

a divide al MCD (210, 270, 300) MCD (210, 270, 300) = 30 a = 15

B) 892 E) 561

C) 829

RESOLUCIÓN Hallemos el MCD (5 068; 3 388; 4 032) = 2 x 2 x 7 = 28 Como el precio de una entrada debe de estar comprendida entre S/. 10 y S/. 20 y divide a 28, luego el precio será S. 14.

C) 52

Cantidad de personas que han asistido durante los días: 5 068 2 534 362

184

3 388 1 694 242

4 032 2 2 016 7 288

José Carlos Turpo

A) 60 D) 360

Cantidad de personas: 362 + 242 + 288 = 892

9999...999  10000...000  1  10n  1

RPTA.: B

n cifras

Tres corredores A, B y C parten juntos de un mismo punto de una pista circular que tiene 90 m de circunferencia. La velocidad de A es 9 m/s; la velocidad de B es 5 m/s; la velocidad de C es 3 m/s. ¿Después, de cuánto tiempo tendrá lugar el segundo encuentro de los tres?

Escribiendo los tres números como potencias de 10:

N1  9999....999  10120  1  120 cifras

N2  9999....999  10180  1 180 cifras

po

B) 75 s D) 45 s

N3  9999...999  10240  1

RESOLUCIÓN

sT

240 cifras

Luego: MCD(N1,N2,N3) = 10MCD(120,180,240)1 MCD N1; N2 ; N3   1060  1  9999....999

lo

Cálculo de los tiempos que emplea cada corredor en dar una vuelta completa a la pista de carrera.

ar

Tiempo para A = (90m) / (9 m/s) = 10 s

sé C

Tiempo para B = (90m) / (5 m/s) = 18 s

Jo

Tiempo del primer encuentro de los tres corredores será:

 cifras  60  9  540 Determine ¿Cuántos rectángulos cuyas medidas de sus lados son números enteros existen de modo que el valor de su área sea 2 360 m ?

MCM (10 s, 18 s, 30 s) = 90 s

A) 13 D) 15

Tiempo del segundo encuentro= 180 s

RESOLUCIÓN

B) 11 E) 16

C) 12

Área de rectángulo: b  h

RPTA.: E 21.

60 CIFRAS

RPTA.: E 22.

Tiempo para C = (90m) / (3 m/s) = 30 s



( n ) ceros

ur

A) 90 s C) 60 s E) 180 s

C) 300

RESOLUCIÓN

Asistieron 892 personas

20.

B) 240 E) 540

A  b  h  360 FN: formas de descomponer un número en producto de 2 factores.

Halle la suma de las cifras del MCD de tres números enteros, sabiendo que cada uno de ellos está compuesto por 120 nueves, 180 nueves y 240 nueves respectivamente.

CDN 2

FN

CDN  1 2

185

0

: si CDN  2 0

:si CDN  2  1

José Carlos Turpo

Del dato: 3

2

MCM MCD  p  q  ab   ab 2 MCD MCD2 p  q  MCD  ab

1

N = 360=2  3  5 CDN  3  1 2  1 1  1  24 Piden:

reemplazando en   

24 2 FN  12

FN 

MCD3  ab  12960  2  3  22  3  5 3

MCD  6; ab  60

RPTA.: C

MCM (A, B) =60 x 36 = 2160 23.

2

RPTA.: B

Se tiene : 8B  1  A y MCM (A, B) = 3720 Halle “A + B” A) 149 D) 170

B) 151 E) 131

25. C) 141

B  MCM 13!;14!;15!;16!;...! 

po

Despejando B:

ur

A2  1 B 8

sT

A  B  MCD  MCM

lo

A2  1  3720  MCD 8

ar

(A – 1) x A x (A – 1) = 30 x 31 x 32 x MCD

sé C

RPTA.: B

C) 11

RESOLUCIÓN

Jo

El número de ceros depende de la cantidad de factores 5.

MCM  A;B 

 ab; y además 2 MCD  A;B   el producto de A y B es 12960. Halle el MCM (A; B)

B) 2160 E) 2140

B) 13 E) 10

B  MCM 13!;14!;15!;...,18!  18! A  B  31! 18!

A = 31 B = 120 A + B = 151

A) 2140 D) 432

A) 6 D) 9

A  MCD 31!;32!;33!;...!  31!

1

Si:

6 números

Calcule en cuantos ceros termina “A x B”

Propiedad:

24.

A  MCD 31!;32!;33!;34!;...!  30 números

RESOLUCIÓN

A

Si:

31

C) 4320



RESOLUCIÓN Por propiedad:

5 6

5 1

18

5 3

31!  N  57 18!  M  53 A  B  N  M  510 Termino en 10 ceros

RPTA.: E

MCD  MCM  A  B  12960 MCD  MCD  p  q  12960

MCD2  p  q  12960 ….   

186

José Carlos Turpo

; halle la

FRACCIONES 1.

Si: A 

última

14 13 ,B  625 111

D) 24

B) 25 E) 28

A) 5 D) 2

C) 27

mn nm

14 14 24 224 A  4   0,0224 625 5 24 104

B) 4 E) 1



9990

Como hay 3 cifras periódicas y 1 cifras no periódica; nm contiene un divisor de 999 y otra factor 2 y/o 5

po

13 9 117   0,117  0.117 117 117... 111 9 999

ur

A + B = 0,139517 117

sT

lo

ar

RPTA.: A

sé C

Si: a2 a  0, ef y a + 2 = e + f ;  0, a ; b2 b a Halle: b A) 0, 9 B) 0, 6 C) 0, 7

D) 0, 3



45 5  54 6

correcto. m = 4 Luego

mn nm



47 74

es

n=7

 2 a a  a  2   a  2   2 a 47  74 9990

Luego 0

2 a a  a  2   a  2   2a  9 a =3 Luego

Jo

2.

nm

Si nm  37 2 

Suma= 139 517 + 117 = 139 634

 cifras  26

mn

genera una cifra periódica (no cumple)

parte parte no periódica periódica



C) 3

2a a  a  2  a  2  2a

Si nm  27 2 



período

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

B

del

a generado por n

Halle la suma de cifras de la suma de la parte periódica y la parte no periódica de A + B

A) 26

cifra

a 3   0, 428571 n 7

E) 0, 5

SOLUCIÓN

4.

Si: a  0, a  a  b  9

b 9 a2 ef  0, ef   9  e  f   ef 11 99

RPTA.: E



Para cuántos valores de n n    la

expresión:



5n  17 3n  8

representan número fraccionarios mayores que 7?

Descomponiendo e = 8;f = 1;a =7 a 7   0, 7 Luego: b 9

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

RPTA.: C 3.

SOLUCIÓN

Si mn nm

 0, 2a a  a  2   a  2 

187

José Carlos Turpo

Se tiene

A) 9 D) 8

5n  17 3n  8 16 n  73 n  4,... 7

8  0, a...xy 23

3n  8  0

8 a...xy   8  99...99  23.a...xy 23 99...99

8 n 3 n > 2,6

...92  23  a....xy

Luego n = 3

ó

Multiplicando

n=4



RPTA.: B

y=4

;

x=0

x+y =4

ur

sé C

N  a  a  1,  a  2   a  3 33

ar

SOLUCIÓN

Si se cumple que: 342 , xyz mn6  = abc,32

8

Calcule:  x  y  z  m  n   a  b  c 

lo

B) 18 C) 25 E) 22

7.

sT

N  a  a  1,  a  2   a  3  a  2   a  3 33 Calcule N máximo y dar como respuesta la suma de sus cifras.

RPTA.: C

po

Si:

A) 20 D) 12

C) 4

SOLUCIÓN

Además

5.

B) 6 E) 10

A) 6 D) 5

B) 11 E) 24

C) 22

SOLUCIÓN *

abc8  3426  3  62  4  6  2

abc8  134  2068

N a  a  1  a  2   a  3   a  a  1  33 99

Jo

a = 2; b =0; c = 6

3N  a  a  1 22

0

0

Luego a  a  1 22  3  a  3 1 Si a = 2 N = 774 Si a = 5 N = 1 874 a + 3 < 10 ; a < 7 Cumple para a = 5 Nmáximo  1874

 cifras  22

RPTA.: A 6.

Determine la suma de las dos últimas cifras del período originado por la fracción

8 . 23

188

José Carlos Turpo

0,328  0, yxz mn6

328  3 708



SOLUCIÓN n  1 n  1 n m  2  n  1   27  m    n  1 n 37 999  2 

23  a base 6 56



0, yxz mn6  0,224 326



 x  y  z  m  n  a  b  c   13  8  5

0 n  1 n  1 n  9 n3    2    243 m 9m9 27

RPTA.: D

m  n  3  9  12

¿Cuál es el menor número par, tal que la suma de su séptima y tercera parte es un número que posee una cantidad par de divisores propios? B) 210 E) 350

Calcule la suma del numerador y denominador al simplificar la expresión:

C) 840

F

SOLUCIÓN Sea el número “N” par.

N N 10N    N  21K. 7 3 21 PAR

f 

10  21K  25K; 21

ar

lo

f 

con

30 sumandos

A) 142 D) 113

F

B) 121 E) 132

C) 102

1 1 1 1    ....  1  4 4  7 7  10 88  91 30 sumandos

Jo

f  22  52  CD f   3  3  9 Luego:

1 1 1 1     ...... 4 28 70 130

SOLUCIÓN

K

sé C

mínimo K = 2x5

10.

ur

A) 720 D) 420

RPTA.: A

sT

8.

Piden:

po

*

*

N  21  K  21  10  210

4; 7; 10, ….. Regla de formación : 3 n +T

RPTA.: B T30  91 9.

3 3 3 3    ...  1  4 4  7 7  10 88  91 1 1 1 1 1 1        1 3F  1            ...     4   4 7   7 10    88 91  3F 

m n  1  0,  Si:   n  1 n ; 37  2  Calcule: (m + n)

A) 12 D) 9

B) 13 E) 11

C) 8

1 90 1 30  3F  1   ; F    91 3 91  91  Suma de términos 121

RPTA.: B

189

José Carlos Turpo

11.

Si la función:

F

Diferencia de términos: 40 – 7 = 33

280 40  34n 5

RPTA.: D

3n

Genera 72 cifras en la parte no periódica. Calcúlese la suma de cifras del período que genera la

13.

n  3 .  n 

fracción:  A) 31 D) 29

Además:

B) 30 E) 28

C) 27





n5

17

n5

2

ab  9  q1

7 210n  2  53n 1  17n 5

ar

n3 4   0,571428 n 7

lo

10 n  2  72 ; n =7

a = 3; b = 6; r = 8 a + b + r = 17

RPTA.: C

Si la fracción:

RPTA.: E

1 5 1 5 1  4  6  8  10  ... 2 3 3 3 3 3 es irreductible, halle la diferencia de sus términos f 

A) 21 D) 33

Jo

12.

B) 23 E) 30

ab 36 4    0,5 mnpqr ba 63 7 0,571428 = 0,5 mnpqr

sé C

Suma de cifras: 27

Pesi o primos

relativos. ab  9  q2 q1  4; q2  7 cumplen

Dato:

F



MCD ab;ba  9

po

5

C) 14

SOLUCIÓN

7  23  5

2

B) 13 E) 17

ur

F

280 40  34n 5 3

 0,5mnpqr

ba

A) 12 D) 15

3n

3n

ab

sT

F



Calcule: (b + a + r)

SOLUCIÓN F



Si: MCD ab;ba  9

14.

Si

la

mn a 3a  1

fracción

irreductible

da origen a un número

decimal 8 de la forma 0, cb  a  1. Calcule:  a  b  c  m  n

C) 27

A) 15 D) 18

SOLUCIÓN 1 5 1 5  4  6  8  ..... 2 3 3 3 3 1 5 1 5 f   2  3  4  ..... 9 9 9 9 159 14 7 f  0.159    889 80 40 f 

B) 16 E) 19

C) 17

SOLUCIÓN mn a 3 a  1

190

 0, c b  a  1

José Carlos Turpo

a 3a  1

c b  a  1



999



c b  a  1

16.

37  27

A) 20 D) 18

37  mn  c b 3 Afirman: 7  m  3 ; n = 9

po

Si: a b  1  c  3  = 22  27 = 108

sT 

m35  0,pq 216 148 135  0, 91216 m=1f= 148 a + b + c + m + p + q = 20

17.

Si: 0, 

lo ar

C) 4

pqr pqr f    n  1 n  3 999 27  37

f 

RPTA.: A  15  2  x x  1 x  





 d, abc7 . 14

Calcule cuantas cifras genera en el

n  1 n  3  37  n  4 f 

a b  1  c  3  = 148

 a = 1; b = 3 ; c = 5

Jo

n1



sé C

SOLUCIÓN

b=1



?

B) 3 E) 6

22  27 22  37

Si f es irreductible, además: n1 f   0,pqr n  1 n  3 ¿Cuántas cifras periódicas

A) 2 D) 5

C) 22

Además: a b  1  c  3 

RPTA.: E

qpr

B) 21 E) 19

Se observa que: C < 7

b=0 c=7 a+b+c+m+n= 2 + 0 + 7 + 1 + 9 = 19

n1

 0,p q 2 ab ,

SOLUCIÓN

37  19  cb3 ; m = 1 703  c b 3

origina:

a b  1  c  3

con 154. Calcule:  a  b  c  m  p  q

mn c b  a  1  27 37  27

15.

m3 c

siendo a < b < c y a2 c es Pesi

Se deduce: 3 a + 1 = 7; a = 2



Si:

ur

mn

período la fracción expresa en base 6.

5  0,135  0,pqr 37

Entonces:

A) 1 D) 4

n1

5 1 1    315 63 7  9 qpr

a bc

B) 2 E)5

cuando se

C) 3

SOLUCIÓN

El 7 genera 6 cifras periódicas.

RPTA.: E

x2  1  14  x  3 Reemplazando

0,53 10 14 

53 10 14 100014



1032 129  2744 343

en base 7:

191

José Carlos Turpo

D) 4

129 31 7  2 343 49 31 3 7  4 49 7 3 7  3 7 129  0,2437  d, abc7 343

SOLUCIÓN 15273 27 1  370370...37 27 999 9 Como 0,...x  .......x 99...99 E

Luego se observa x = 1

RPTA.: B

Luego:

20.

2 en base 6 43 2  0, 0146  3 43

RPTA.: C

6 b  c  b

SOLUCIÓN

C) 30

ar

B) 14 E) 15

sé C

A) 5 D) 6

0, abc  a  b  c  

Jo

c 000



6 b  c  b c 000

9 abc  a  b  c 6 b  c  b  9 c Como “c” divide a 9  c = 3

Caño 2

6

Desagüe 1

8

7 2 2 x x x x       8 4 6 4 6 8 12 1 hora x 5 1 Luego se llena en 2  = 2 horas 5

RPTA.: D 15273 tiene en 37037037....... el denominador 33n  2  cifras, Si: E 

12 minutos.

RPTA.: D

hallar la última cifra del período generado en E. B) 1

4

En 1h En 2h En x h 1 x 2 h 4 4 4 2 x 1 h 6 6 6 1 x h 0 8 8 x 1 h 0 12 12

Falta llenar

Reemplazando a = 2 ; b = 1

A) 0

Caño 1

Desagüe 2 12

Simplificando

19.

SOLUCIÓN

6 b  c  b

abc  a  b  c   abc 9 000

lo

c 000 Además: a y c son primos y a; b y c son cifras significativas diferentes entre sí.

ur

0, abc  a  b  c  

po

Calcule (a x b x c ) si:

Un tanque es llenado por un caño en 4 horas por otro caño en 6 horas. Estando el tanque lleno puede ser vaciado por un desagüe en 8 horas o por otro desagüe en 12 horas. Estando el tanque lleno hasta su octava parte, se abren los caños dos horas y luego los desagües ¿En cuanto tiempo se lleno el tanque? A) 3 horas 30 min B) 3 horas 15 min C) 3 horas D) 2 horas 12 min E) 2 horas

sT

18.

E) 7

C) 2

192

José Carlos Turpo

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Si el numeral a ann es un cuadrado perfecto; ¿Calcule la suma de cifras de su raíz cuadrada? B) 14 E) 12

C) 19

RESOLUCIÓN

A) 342 D) 392

a ann  K2 0

11  a ann  diferencia es cero; 2

*

a=7 n=4

ar

sé C

RPTA.: D

Jo

Al extraer la raíz cúbica de abc se obtuvo como residuo por exceso 259 y por residuo por defecto 12. Calcule : a x b





4.

3K2  38K  288  K  18 2 Luego: N  18  22  346 RPTA.: C Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 52 de residuo, pero si se le suma 1 000 unidades, su raíz aumenta en 2 y su residuo se hace máximo. Halle la raíz del número original. B) 158 E) 174

C) 157

RESOLUCIÓN Sea N el número

Raíz cúbica sabemos:

R e  259

2

A) 141 D) 260

C) 18

RESOLUCIÓN R d  12

 4N  K  19   15

15

4 K2  22  K2  38K  361  15

lo

a ann  11  8  88

B) 15 E) 56

 N  K2  22

K

4N K+19

sT

aann  121  64  7 744

A) 14 D) 28

C) 346

22

Buscando el número “x” x=8

2.

N

*

aann  112   x 

Suma de cifras: 16

B) 456 E) 412

RESOLUCIÓN

entonces es múltiplo de 11

Pide:

Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 22 como residuo. Si el número se cuadriplica la raíz cuadrada aumenta en 19 y el residuo se reduce en 7. Halle el número.

po

A) 15 D) 16

3.

ur

1.

M  K3  12  93  12  741  abc a  7; b  4; c  1 a  b  28 RPTA.: D

N

271

K- 2

 N  K  2   52 ..(1) 2

52

N  1000 K

R d  R e  3k k  1  1

2K

271  3 k  k  1  1

 N  1000  K2  2K

Resolviendo: 9=k

De

y

1

K  2 

2

193

........(2)

2

 52  1000  K2  2K

José Carlos Turpo

K2  4K  4  1052  K2  2K

ab c d e f  2 8 7 4 9 6

K = 176

c+d =7+4 c + d = 11

K -2 =174

RPTA.: E 5.

Halle (a +

abcde  de A) 117 D) 20

RPTA.: C

b + c + d + e) si

7.

3

B) 118 E) 21

C) 19

A) 14 D) 12

RESOLUCIÓN



101010  cd  1  K3 2  3  5  7  13  37  cd  K3  1

po



3 números consecutivos al menos uno divide a 100

K 1 

lo

de  25 3

de  15 625

ar

sé C

Jo

7

K = 211 Como el número tiene 7 cifras:

c d c d c d1  2113  9393931 c + d = 12

C) 11

RPTA.: D

RESOLUCIÓN

8.

ab c d e f  K3 ;

¿Cuántos

cuadrados

perfectos

0

13-4 hay entre 924 y 5960?

º

a + c + e = b + d + f = 18; f = 2

A) 4 D) 7

0

11 ab c de f 

0 0 0 0  K  1  m c m  2,3,5,7  0   5

K  1  210

f  2 . Halle “c + d”

B) 10 E) 13

0

3

0

Si: abcdef  K3 ; a + c + e = b + d + f =18 y

A) 9 D) 12

2

0

RPTA.: C

0



0

sT

Se verifica:



2  3  5  7  13  37  cd  K  1 K2  K  1

ur



ab c 100  d e  d e  1 d e  1

6.

C) 15

Descomponiendo por bloques:



2

ab c 100  d e  d e  1



B) 13 E) 16

RESOLUCIÓN

3

ab c 00  d e  d e

Se tiene cdcdcd1  K3 . Halle: “c + d “

0

B) 5 E) 8

3 3 3 3 3  ab c de f  2  3  11  t

RESOLUCIÓN

0

Sea

2

el

número:

C) 6

N  K2

Y

0

N  13 4 924  K2  5960 30,3  K  77,2

Cumple para t = 1

ab c e f  23  33  113  13

194

José Carlos Turpo

K = 31; 32; 33;…….; 77. 0

N  13 4  K

2

0

126  16 326  ...36 526  ...16

0

13  3  36, 49, 62,75

226  46 426  46

Hay 7 números.

RPTA.: D

2

Se deduce ab 36  x 3

2

9.

c Si: ab 4 c  d   ; a > b. 3

Luego: 2

1006  x36  10006

Halle: (a + b + c + d)

2

po

B) 32 E) 15

36  x36  216 6  x36  14 106  x36  226

C) 19

ur

A) 30 D) 29

RESOLUCIÓN

sT

Luego:

2

lo

c ab 4 c  d    K2 3 (cuadrado perfecto)

2

ar

0

 múltiplo de 3 = 3 (No) = 6 (No) = 9 (Si)

11.

Sabiendo

que se

el número convierte en

cuadrado perfecto cuando se le multiplica por 272 8  . Calcule “a + b”. A) 5 D) 4

ab 49  d3 ; a > b.

Jo

Tanteo de “d” para obtener un número de 4 cifras que termine en 49. d =9

B) 8 E) 6

C)

7

RESOLUCIÓN Descomponiendo:

2

ab 4 9  93

ab 4 9  8649

x 36  136  1326  2136 RPTA.: A ababab5 ,

sé C

c c c c

ababab5  651  ab5 a =8

Luego reemplazando:

b=6

651  ab5  186  K2 (D.C.) 32  312  14  ab5  K2

c = 9; d = 9; a + b + c + d = 32

Entonces:

RPTA.: B 10.

E) 5236

Observe en base 6:

0



D) 4336

C) 2236

Sea el cuadrado buscado ab 36

13  3  42,55,68

13  K  3 K  3 

B) 2106

RESOLUCIÓN

13 13  K2  9

0

A) 2136

ab5  14  245 

Halle el mayor cuadrado perfecto de 3 cifras de la base 6, que termine en cifras 3.

a=2 a+b=6

b=4

RPTA.: E

195

José Carlos Turpo

Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que quedan fuera 36 soldado por lo que designa un hombre más a cada lado del cuadrado y ve ahora que le faltarían 75 soldado para completar el nuevo cuadrado. ¿Cuántos soldados hay en la tropa? A) 3061 B) 2989 C) 61 D) 3000 E) 55

RESOLUCIÓN Pasando a base 10: 6 12 18… 3072 el termino general: an  6n

n  1,2,3,...,512 *

0

6 n  13 0

n  13  512

RESOLUCIÓN

hay 39 casos Determinando los cuadrados 6 n = cuadrado

Sea “n” el número de soldado por cada lado del cuadrado: Total de soldados:

hay 9 casos Determinando los cuadrados que

*

n  6k2  512 *

n  36  n  1  75

son 13

Resolviendo: n = 55 Total de soldados =

13  n  6 k 2  512  k  1 2 3...9

0

552  36  3 061  15.

B) 4 E) 7

C) 5

sé C

A) 3 D) 6

ar

lo

¿Cuántos números de 6 cifras tienen residuo máximo tanto en su raíz cuadrada y en su raíz cúbica?

RESOLUCIÓN

Sea N = # de 6 cifras

B) 6 E) 9

C) 7

Jo

6 ab c 5  N2 Además se cumple c = 2;N= ... x5 2

6 ab 25  x 5

Descomponiendo

RPTA.: B

6 ab  x  x  1

Cumple x =25 Luego 6 ab  650 a=5 b=0

¿Cuántos números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos o múltiplos de 13?

124 ,304 ,1024 ,....,300 0004 B) 50 E) 42

A) 5 D) 8

6 ab c 4  N2  1

6

P = 7; 8; 9; 10 4 números

A) 54 D) 44

Al extraer la raíz cuadrada de 6 ab c 4 se obtuvo residuo máximo. Halle (a + b + c) si a es cifra significativa.

6 ab c 5 Como tiene residuo máximo en su raíz cuadrada

10  N  10 105  P 6  1  106 105  P6  106

14.

RPTA.: C

RESOLUCIÓN

2 2 6 N  K  1  N  1  K  N  1  P  N  h3  1 N  1  h3 N  P6  1 Luego: 5

0

ninguno es 13 Total = 39 + 9 = 48

sT

RPTA.: A

po

0

2

2

13.

0

Determinando los 13

ur

12.

a+b+c=7

C) 48

RPTA.: C

196

José Carlos Turpo

16.

Separación 2 m

Calcule cuántos números cuadrados perfectos existen entre los cuadrados perfectos:

b  1 0 c 5

2

y bb  a  2  a  2  a

B) 161 E) 61

C) 62

RESOLUCIÓN 45 20

452

2

b b  a  2   a  2  a  11  a  2   a  2  a  x2

1 1 6 6 4

108

Calcule (a + b + c + d + f); sabiendo que: N  3 ab c d f o o es un cubo perfecto divisible por 3 y 11. A) 24 B) 22 C) 30 D) 23 E) 25

RESOLUCIÓN



2

2

2

lo 

sé C

46 ; 47 ; 48 ;...;107

2

N  3 ab c d f o o  K3  f  0

ar

1082

452

62 # s

0

Luego: 3 ab c d  x3

3 0

11

3 abcd  33  113  35937 a +b + c + d + f = 24

RPTA.: C

RPTA.: A

Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados, se emplea 261 árboles más cuando los cuadrados son de 2m de lado, que cuando son 4m. Calcular el lado del terreno. A) 34 B) 38 C) 32 D) 24 E) 36

Jo

17.

18.

b=1

ur

*

RPTA.: E

po

b  1 0 C 5  K

 36

2

sT

*

2

     2  1   4  1  261      3  8  4   4   261  29  9    3  8  36  116

Si “b” es impar. A) 160 D) 163

separación 4 m

19.

RESOLUCIÓN

Al extraer la raíz cuadrada de un numeral se observa que los residuos por defecto y por exceso están en la relación de 3 a 4. Sabemos que el producto de las respectivas raíces es 992. Calcule el número. A) 968 B) 998 C) 981 D) 988 E) 961

RESOLUCIÓN

N K r

... ...

*

N K+1 re

K (K+1) = 992 = 31 x 32 K= 31

197

José Carlos Turpo

r 3x  re 4x

RESOLUCIÓN

3x + 4x = 2(31) + 1

 a  1 e d d 3b    a  a  b  b 

2

x=9

r  27 N  312  27  988 RPTA.: D

20.

 a  1 e d d9



 a  a  3 3



2

 a  1 e d d9  110 a  33

2

Si:

m  1 m2  2 m  1 a  b  2m  1

a=1

20449  1432

es un cuadrado perfecto. Calcúlese el residuo por exceso de la raíz cuadrada de m  a  b  m

C) 1

Si el numeral:



 2 m  1 a  b 2m  1  k

R e  81 RPTA.: C

ar

m = 2 ó 3.

2

lo

m  1 m

3

88  R e  3 7 8  1

RESOLUCIÓN 2

db a 

ur

B) 9 E) 3

431 7 343 88 = Rd ; k = 7 Rd  R e  3K(K  1)  1 3

sT

A) 10 D) 2



Luego: a = 1; d = 4; b = 3

po



Pensando: b = 1; (No) b = 2; (No) b = 3; (Sí) Tendríamos:

 K2

m = 2; 1 2 1  a  b  3  K2 no es  .

sé C

m = 3; 2 7 2  a  b  5  K2  sí es  .

que

Jo

Propiedad un cuadrado termina en 5, termina en 25 Luego a  b = 2 Reemplazando:

323 17 34

21.

;

Rd  34 Re  1 RPTA.: C

Si:

 a  1 e dd 3b 

2

 a a  b  b

Calcule el residuo por exceso que se obtiene al extraer la raíz cúbica a db a A) 70 D) 85

B) 73 C) 81 E) 87

198

José Carlos Turpo

Halle el valor de “k”

RAZONES Y PROPORCIONES 1.

a b c d    7 4 12 6

Si:

A) 9 D) 15

y

ab + cd = 2500, halle el valor de (a + c) A) 75 D) 95

B) 80 E) 100

a c e g    K b d f h

C) 90

b + d + e + g = 67 1 a + c + f + h = 43 2 a + c + e + g = 88 3

a b ab  K  K2 7 4 28 d e de  K  K2 12 6 72 Luego: 2500  100K2



po

a b c d Si: , a + b = 10!,    6! 7! 8! 9!

ur 4.

ar

lo

Halle el número de ceros en que termina d - c



y: 3A + 2B – C = 240 Halle: A + B – C

sé C

B) 36 E) 48

C) 40

RESOLUCIÓN A + B = 9K B + C = 11 K A + C = 10 K

Jo

a b c d    K 1 7 7 8 7 8 9 

RPTA.: B

AB BC AC   9 11 10

A) 30 D) 45

C) 3

RESOLUCIÓN Simplificando 6!

  2  3 

sT

RPTA.: D

B) 2 E) 4

1

b + d + f + h = 22 4 Podemos observar: aceg K bdf h 88 4 K 22

K=5 Luego: a = 35, d = 60 , a + d = 95

A) 1 D) 0

C) 20

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

2.

B) 4 E) 24

2  A  B  C   30K

a + b = 8 K = 10!

A + B + C = 15 K A=4K B=5K C=6K Reemplazo: 3A + 2B – C = 240

10! K= 8 d - c = 7  8  9K-7  8K d - c = 7 8 10! termina en 2 ceros

RPTA.: B 3.

Si:

a c e g     k y además b d f h



b + d+ e + g = 67 a + c + f + h = 43 a + c + e + g = 88

199

12K + 10K – 6 K = 240 K = 15 A + B – C = 3K = 45

RPTA.: D

José Carlos Turpo

5.

Si se cumple que: 2

105 K – 15 x = 99 K- 11 x 2

2

p  32 m  18 n  98    K, 3 7 4 además aa0K   K03 .

K 2z  x 3z

Halle:

Por dato: Mujeres – (Varones –x) = 28 9 K – (7K –x) = 28 7 Z = 28; Z = 4 Parejas retiraron: x = 3 Z = 12

M  m2  27  n2  147  p2  48 A) 36 D) 45

B) 30 E) 32

C) 42

RPTA.: C

RESOLUCIÓN

7.

Elevando al cuadrado 2

2

2

ur

A) 29 D) 26

Noemí = N; Carolina = C

lo ar

M = 42

RPTA.: C

sé C

En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres hay 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final? B) 11 E) 14

N 3K  C 2K C + 28 = 2(N -10) 2K + 28 = 2(3K -10) 12 = K

Jo

A) 10 D) 13

C) 41

RESOLUCIÓN

M  81  421  144 M  9  21  12

6.

B) 30 E) 31

sT

m2  54 n2  294 p2  96

po

m  18 n  98 P  32    K2 9 49 16 2 2 2 m n P    K2  2 9 49 16 de: aa0K   K03  K  2 ; deduce

La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años?

Piden: N – 7 36 – 7 = 29

RPTA.: A 8.

C) 12

RESOLUCIÓN Varones = 7K Mujeres = 9K

En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras lo menor posible. Halle la media diferencial. A) 12 D) 28

Retira “x” parejas

7 K  x 11  9 K  x 15

B) 14 E) 30

C) 21

RESOLUCIÓN Progresión Aritmética Continúa

200

José Carlos Turpo

continúa. Son respectivamente 192 y 194481. Calcule la diferencia de los extremos:

a c 2

a–b=b–c; b Además:

a 9K  ; c 5K

b

14K 2

A) 75 D) 144

b=7K

a b   a c  b2 b c

b2  c2  xyz  menor número 49K2  25K2  xyz

a + 2b + c = 192

24K2  xyz; K  3 (menor posible)

a b2 c  194 481 b4  21 4  b² = 21

xyz  216 a = 27 b = 21 c = 15 Media diferencial es b = 21

a c  441 a  c  150

po

A) 8 D) 16

RESOLUCIÓN b=2c 

C) 14

# partidas = 20

2 c2  ad

Al final queda:

2  dk   ad 2

c=dk;

B) 12 E) 18

RESOLUCIÓN

Jo

a c  K b d

Dos personas A y B juegan a las cartas inicialmente A tiene S/. 2 200 y B tiene S/.4 400. Después de jugar 20 partidas, la razón entre lo que tiene A y lo que tiene B es como 3 a 8. ¿Cuántas partidas ganó B, si en cada partida se gana o se pierde S/. 50?

sT

lo

ar

C) 172

sé C

B) 168 E) 192

RPTA.: C

ur

11.

En una proporción geométrica discreta cuya razón es un número entero y positivo, el primer consecuente es igual al doble del segundo antecedente. Si la razón aritmética de los extremos es 136. Halle la suma de los antecedentes. A) 156 D) 180

 a=3 c = 147

147 – 3 = 144

RPTA.: C 9.

C) 104

RESOLUCIÓN

Por dato:



B) 86 E) 156

A 3K  B 8K

3 K + 8 K =2 200 + 4 400

2

a – d = 136; 2 dK  a

K = 600

2 dK2  d  136





RPTA.: B

“A” quedad con 3  600  1800 Por lo tanto perdió = 400 # juegos que ganó = x # juegos que perdió = 20 - x Si en cada juego se gana o pierde = S/. 50

La suma y el producto de los cuatro términos de una proporción

Se perdió = 16 partidas que los ganó B

d 2 K2  1  8  17  K  3 ; deduce:

c = 3 x 8 = 24 a + c = 168 10.

d=8 a = 144

50  20  x  x   600  x  4

201

José Carlos Turpo

RPTA.: D 12.

RPTA.: A

El promedio de seis números es x ; si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia positiva entre x y el número retirado A) 22 D) 18

B) 20 E) 26

14.

3 2 9 D) 4

A)

C) 24

RESOLUCIÓN

suma5

MH 4   MH  4K MA 9

 suma6  6 x …



MA = 9K



Restando ordenadamente:



Nro. mayor = 6 x  5 x  20

MG  MH MA MG  6 K MG 6 3 Luego:   MH 4 2 RPTA.: A



sT

Nro. mayor = x  20





Piden: x  20  x  20

lo

15.

ar

RPTA.: B

sé C

¿Qué sucede con el promedio aritmético de un conjunto de números si a la tercera parte de ellos se disminuye en 6 unidades a cada uno? A) Disminuye 2 unidades B) Disminuye 3 unidades C) No varia D) Se reduce un sexto E) Se reduce un tercio

C) 7

ab c  7  a  b  c  21 3 2 MG  3 a b c  a b c  a3

MA 

b c  a2 3 abc 36 MH   ab  bc  ac 7 2 a a 12  2 ab  a  ac 7 2 a 12  a6 21 7

n: cantidad de números Sn : suma de n números

Luego: PA 

B) 3 E) 4

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN Sea

La media aritmética de 3 números es 7. La media geométrica es par e igual a uno de los números y su media armónica es 36/7. Halle el menor de dichos números.

A) 6 D) 8

Jo

13.

7 3

RESOLUCIÓN

 suma5  5 x  4 ………

5

C)

po

x4

6

1 2 16 E) 9 B)

ur

Si x 

suma6

Si la MH y la MA de dos cantidades están en la relación de 4 a 9, ¿en que relación se encuentra la MG y la MH?

Sn n

Si a la tercera parte se reduce 6 unidades.

n Sn  6    3  Sn P   2  PA  2 n n

b + c = 15

b c  36

202

José Carlos Turpo

72K2  100K  200  70K 2  60K  400 2K2  40K  20  0 K2  20K  100  0  K  10

12 3 Piden menor #: C = 3

RPTA.: B 16.

r = 20

RPTA.: B

La MA de 5 números enteros es 11, donde dos de ellos son 2 y 4. El resto forma una proporción geométrica continua. Calcule la MG de dichos números restantes, si estos son impares. A) 12 D) 15

B) 11 E) 10

18.

C) 13

A) 250 D) 280

RESOLUCIÓN ab c2 4  11 5

a b  b c

sT

ur

a b   a c  b2 (impares) b c

3

sé C

MG  3 abc  b  b MG  15

ar

3

lo

25 9 15 a = 25 b = 15 c=9



RPTA.: D

Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética. A) 10 D) 25

B) 28 E) 30

a  b  400

b  c  6 400

*

a  c  b  b  400  6 400

b2

b2  400  6 400

b = 40

a = 10 c = 160 a + b + b + c = 250

RPTA.: A 19.

Jo

17.

C) 240

RESOLUCIÓN

a + b + c = 49

Cumple para:

B) 320 E) 260

po

MA 

En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Halle dicha proporción y dar como respuesta la suma de sus 4 términos.

C) 20

Dado un conjunto de “n” números cuya media aritmética es “p”. Si a la tercera parte de ellos se les aumenta “a” unidades a cada uno, a los 3/5 del resto se les aumenta “b” a cada uno y a los restantes se les resta “c” a cada uno ¿En cuánto variará el promedio? A) a + b + c

B) 2a +3 b -c

ab c 6a  3b  4c D) 15 15 5a  6b  4c E) 15 C)

RESOLUCIÓN 9K – 7K = 10K -8K =r

9K  10 10K  20  7K  20 8K  20

RESOLUCIÓN

203

José Carlos Turpo

 MA  TOTAL 

-C

1 2 4 na  nb  nc 3 5 15  n  a 2b 4 c  n   3 5 15    n 5a  6b  4c  15 RPTA.: E

A) 26 D) 32

B) 24 E) 36

C) 28

A x Alumnos MA= 68,4

B (x+16 ) Alumnos MA =71,2

MA  TOTAL   70

68, 4 x  71,2  x  16 

2 x  16 

 70

1 400 x +11 200=1 396 x + 11 392 4 x = 192  x = 48 x + 16 = 64

RPTA.: A

B 92  ; C 20  2

Jo

C 85  D 95

RESOLUCIÓN

sé C

RESOLUCIÓN A 26  ; B 36

C) 24

lo

La edad de “A” es a la de “B” como 2 es a 3; la edad de “B” es a la de “C” como 9 es a 20; la edad de “C” es a la de “D” como 8 es a 9. Si cuando “B” nació, “D” tenía 27 años, ¿cuánto tenía “C” cuando “A” nació?

B) 40 E) 36

ar

20.

A) 64 D) 48

po

 MA  TOTAL 

+b

ur

 MA  TOTAL 

4 n 15

sT

AMA

2 n 5

1 n 3 +a

la de A en 16 ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?

A B C D    12K 18K 40K 45K D  B  27  27 K  K  1 C –A = 28

RPTA.: C 21.

El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes de la clase B excede a

204

José Carlos Turpo

MAGNITUDES PROPORCIONALES 6

II.

¿Cuántos son verdaderos? Si A DP B y B DP C entonces A DP C Si A IP B2 , B3 IP C 2 entonces A3 IP C 4 Si A3 DP B; B2 IP

IV.

entonces A DP D  A  B DP C D DP C entonces

x A) 7 D) 4

1 D  C  B) 1 E) 4

B) 6 E) 3

C) 5

En la curva IP se cumple 6.3 = 3y y=6 C) 2

DP se cumple

I: V II: F III: V IV: V

ar

lo

RPTA.: D ¿Cuántos son falsos? A DP B entonces (A – B) DP B A IP B entonces (A + B ) I P B A IP B, B IP C entonces A DP C

IV.

A DP B, B IP C, C DP

V.

A DP D El tiempo es IP a la velocidad en MRU

sé C

2. I. II. III.

6 2 x=1  3 x RPTA.: A

Sabiendo que A DP B; si B  15 y A IP B2 ; si B  15 cuando A vale 4, B vale 5. Hallar el valor de A cuando B es 30.

sT

4.

A) 2 D) 6

B) 3 E) 1

C) 4

RESOLUCIÓN

1 entonces D

A B

Jo B) 2 E) 5

y

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

A) 1 D) 4

3

po

A) 0 D) 3

IP

2

1 ; C DP D6 C

III.

 A  B

3

ur

1. I.

C) 3

4 x y 5 15 30

4 x  5 15

x 152  y 302

x = 12

y =3

RPTA.: B

RESOLUCIÓN I: V II: F III: V IV: V V: V

RPTA.: A

3.

Calcule (x +y ) en la figura:

205

José Carlos Turpo

P 2 1 3

Si se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes M y N. A B

324 2

144 3

36 6

16 9

9 12

P = 18

5 1 r

4 18

r=5

Se afirma:

m 2 1 4

B) A IPB3 1 D) A2 DP B

A) A IP B 1 C) IP B A 1 E) DP B2 A

m = 32

7 1 n

RESOLUCIÓN

po

n=7

Se observa: Los valores de A disminuyen Los valores de B aumentan Entonces son IP

o

A IP B2

ar

1 DP B2 A

o

sé C

P 3

72 6

A) 60 D) 48

Jo

Dada las siguientes magnitudes “L” y “ A” con el cuadro siguiente: Halle: (p + r + m + n) L A

50 r

338 13

B) 62 E) 50

m 4

2 98 1 n

*

C) 70

* *

m L P 36 25 169 1 49 2 2 2 5 13 7 P 6 m 1 2 2 3

6

r

13

4

1

B) 9 E) 3

Planteamos las proporcionalidad.

Ordenando los valores tenemos: L P 72 50 338 m 2 98

A

L = 4. Halle “E” cuando L  2 3 18

C) 4

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

L 2

Si: “E” es D.P. al cubo de “V”; el cuadrado de “V” es D.P. a la raíz cuadrada de “M” y “M” es I.P. al cuadrado de “L”; si cuando E =3;

A) 8 D) 2

RPTA.: E 6.

RPTA.: B

sT

A IP B

Entonces

7.

144 3 = K

lo

Luego: 324 2  Se observa

p + r + m + n = 62

ur

5.

relaciones

de

K E  K1  E  1 3 V L3 K K K V2 ; V   K2  V2  2 L L M K M L2  K3  23 ; L K M L Reemplazando: E = 3; E = ? L=4

L = 2 3 18

E  L3  K

 3 

N

K=1



64  E

144

2=E

206

José Carlos Turpo

RPTA.: D Se tiene 2 magnitudes A y B en el siguiente cuadro, se muestran los valores que toman sus variaciones. Halle “x”. A

2

3

4

6

12

B

72

32

18

8

x

A) 1

B) 2 1 E) 3

D) 4

RPTA.: D 10.

C) 3

sT lo *

Si: f 6   7 y f x  es una función de proporcionalidad inversa; halle

B2  30

Jo

RPTA.: C 11.

C) 7,42

Relación es I.P.

f 6

B = 60

A 4  ;A  8 60 30

RESOLUCIÓN

K   7;K  42 6

; ;

f  8

B) 7,68 E) 6,24

f x 

A  K B  30  B

A2  4

f 5 f 10 

K  x

6  20  30  A2 4  A2

A=?

sé C

RPTA.: B

A) 8,12 D) 6,72

A  B  K; B  30 

A = 6; B = 20

ar

x=2

C) 8

RESOLUCIÓN

*

A2  B  K (constante) 4  72  9  32  K  288 144  x  K 144  x  288;

B) 4 E) 6

po

A) 2 D) 3

12 144 x

Deduce:

el valor de : E 

Si: A = 6; B = 20;

¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 60?

Del cuadro tenemos: 3 4 6 A2 9 16 36 A²  4 32 18 8 B  72

9.

B  30

“B”

RESOLUCIÓN



Sean dos magnitudes A y B tal que: “A” I.P. B B  30  ; “A” D.P.

ur

8.

 42   42   5   10    E   42   8    42  8 E  6,72 5  10

Si A IP B. Cuando A = a ; B =b. Si A aumenta una unidad, B disminuye una unidad. Además se cumple:

a1 x y   . Halle b 8 19 A) 2 D) 7

B) 3 E) 11

3

xy C) 5

RESOLUCIÓN

Piden hallar: *

A B  a b   a  1 b  1

a b  a b  a a1

207

José Carlos Turpo

b=a+1 *

a1 x 4   b 8 19 b x y   x  8 b 8 19

Peso2

y = 19 3

8  19 

3

27  3

14.

en

partes a3

;2

;2a 4 Se

po

observa que el menor recibe bc (b < c). Halle “a + b +c”.

ur

A) 10 D) 18

C) 15

sT

B) 111 E) 21

A  2a1  210 a  2  2

sé C

ar

lo

abc

A B  36 36  A 144  A  18 RPTA.: A

abc

Jo

13 bc  100 a  bc 12 bc  100 a 3 bc  a  25 a = 3 bc  25 b = 2; c = 5  a + b + c = 10

RPTA.: A

RESOLUCIÓN

3179

x

A  1K  bc B  4K C  8K 13 K  abc

15.

20

C  2a 4  210 a  24  16

13 K

B) 4 100 D) 4 400

17

B  2a 3  210 a  23  8

Simplificando factor común:

Se vende una joya en determinadas condiciones de proporcionalidad, para un peso de 13 gramos su precio es de 1859, y si el peso fuera de 17 gramos su precio ascendería a 3179 soles. Calcule el precio si la joya pesa 20 gramos.

Precio 1859

abc

RESOLUCIÓN

B = 36

13

Repartir

proporcionales a 2

C) 22

A B3  32  63  A 123  A  4 A 4 A    A  36 2 2 B 12 362

Peso

x

a1

RESOLUCIÓN

A) 4 000 C) 4 200 E) 5 500

3179

RPTA.: D

A IP B si B  36 Si se sabe que A = 32 cuando B = 6. Halle A cuando B = 144.

13.

Precio 1859

x = 4 400

A IP B3 si B  12 A DP B2 si 12  B  36

B) 20 E) 36

400

169 289 400 1    1859 3179 x 11

A y B son dos magnitudes que se relacionan de la siguiente manera:

A) 18 D) 24

289

Se observa:

RPTA.: B 12.

169

208

La magnitud A es IP a la magnitud B para valores de B menores o iguales es 12; pero la magnitud A es DP al cuadrado de B para valores de B mayores o iguales a 12. Si cuando A es igual a 240, B

José Carlos Turpo

toma valor 4. ¿Cuál será el valor de A cuando B sea 15? A) 100 D) 125 A

B) 120 E) 75

E) S/. 360 000

RESOLUCIÓN

C) 150

12

B  45

20 4  90  40K

C  50

25 1

H

RESOLUCIÓN

9

2

240

a



9 K = 9 000  K = 1 000 H = 121 (1 000) = 121 000

15

A IP B

4  240  a  12



RPTA.: D Las magnitudes A, B y C que intervienen en un fenómeno varían de la siguiente forma: Cuando C permanece constante:

sT

a = 80 *

C – A = 9 000

ur

12

2

A DP B

ar

lo

a x  2 12 152 x = 125

16.

Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir su herencia se reparta entre sus 3 sirvientes I.P. a sus edades pero DP a sus años de servicio. Al morir dicho anciano, las edades de sus sirvientes eran 30, 45 y 50 años, y tenían 12; 20 y 25 años de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observó que el que tenía más años de servicio recibió 9 000 soles más que el más joven. Determinar la herencia repartida.



A B

1 144

8 72

27 48

64 36

Cuando B permanece constante: A C

sé C



H = 121 K

*

17.

B 4

 90  45K

po

x

*

2

5  90  36K

A  30

RPTA.: D

1 36

2 144

3 324

4 576

Jo

Si cuando A =4, B = 9 y C = 16. Calcule A cuando B = 3 y C = 4 A) 3 D) 27

B) 63 E) 21

C) 54

RESOLUCIÓN De la tabla 3

A IP BA IP B3

A  B3 C

A DP B ADP C 4  93 16

A) S/. 240 000 B) S/. 232 000 C) S/. 242 000 D) S/. 121 000



x 33 4

 K....

I

 x  54

RPTA.: C 18.

209

En un proceso de producción se descubre que dicha producción es D.P. al número de máquinas e I.P

José Carlos Turpo

a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso; si se consiguen 8 máquinas más con 4 años de antigüedad cada una. Calcule la relación de lo producido actualmente con lo producido anteriormente. B) 9 a 4 E) 8 a 3

20.

Si: “A” D.P. “B” y “C” I.P. “D”, halle: (x + y + z)

A y 12

C) 5 a 4

10

RESOLUCIÓN P

A M

4

 K.......... I

P

P1

P2

M A

15 9

8 4

C

ar

Tres amigos se asocian y forman una empresa, el primero aporta S/.600 durante 6 años, el segundo S/. 800 durante 8 años. Si el tercero aportó S/.2000. ¿Cuánto tiempo estuvo en el negocio, si además se sabe que al repartirse los 1 500 soles de ganancia, a él le tocó la mitad del total?

z x A) 10 D) 25

Jo

A) 3 años C) 4 años E) 5 años

B) 5 años, 6 años D) 6 años, 8 meses

DP: Capital x tiempo 1  600 x 6 9 K

20 B) 15 E) 30

D C) 20

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN = 750

2  800 x 8 16 K

*

(A 2)DP B 8 10 y  2   4 x x2 x=5 y = 16

*

C IP D yx = 20z z=4 Luego: x + y + z = 25

RPTA.: D

3  2000 x t 5 tK = 750 

B

y

sé C

19.

x+2

lo

P1 9 P2 4 P 5   1  15 8 P2 4 RPTA.: C

x

ur

A

P IP

sT

P DP M

2

po

A) 9 a 5 D) 8 a 5

RPTA.: E

25 K = 750  K = 30 5t K = 750  t = 5 años

210

José Carlos Turpo

REGLA DE TRES TANTO POR CIENTO En una sastrería los sastres A; B y C confeccionar 5; 6 y 7 ternos respectivamente en un mismo tiempo. Además A y B juntos confeccionan 8 ternos en 28 días. ¿En cuantos días confecciona “C” 4 ternos? A) 21 D) 22

B) 18 E) 24

25

X

Obreros:

días  eficiencia  k  cons tan te  . obra

5 8

W1

25

25+n

5 / 8  25  10



W1

 25  n



ur

x

C

8 4 28 5  6   x 7 x = 22

lo

RPTA.: D

ar

5 25 obreros hacen de una obra en 8

3.

Jo

sé C

10 días. A partir de ese momento se contrata “n” obreros más cada día, terminando 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubiera continuado la obra solos. Halle “n”. B) 2 E) 6

;x=6

W2

W3

W4

25+2n

25+3n

25+4n

W2

 25  2n



W3

 25  3n



W4

 25  4n

5 3 8 8  ;n  5  25  10  100  10 n RPTA.: D

sT



5 8 3 8

obra  k (Constante). obreros  días

Eficiencia A; B y C  respectivamente (5; 6 y 7). Dato: A y B: 8 ternos; 28 días. C: 4 ternos; x días.

A) 3 D) 5

10

C) 19

Aplicamos el método (TEN/DO).

2.

25

Con los 25 obreros terminaron en 16 días pero como terminaron 2 días antes.

RESOLUCIÓN

28  A  B 

obra.

po

1.

Obreros días

ab empleados deben realizar un trabajo en “2a” días trabajado 2 horas diarias, si se retiran 9 (a -b) empleados deberán trabajar “a” horas diarias durante 7 días. ¿Cuántos días demorarán (3a + b) empleados en hacer el mismo trabajo laborando “2b” horas cada día?

A) 9 D) 15

C) 4

B) 10 C) 12 E) 16

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

Planteando Empleados

Si todo hubieras sido normal. Tendríamos:

2a

2

ba  12

7 x

a=2 2b=2

3a+7 

# días h/d

ab

2a 2  7 a ab 7 21   4 12 ba

ba  ab 

a= 2 b= 1

211

José Carlos Turpo

6. Reemplazando valores:

x  7

12 2  7 2

x = 12

RPTA.: C Un grupo de 15 obreros abrieron una zanja de 2 m de ancho, 1,2 m de profundidad y 100 m de largo, en 28 días. Luego otro grupo de 12 obreros del triple de rapidez que los anteriores, en 21 días abrieron otra zanja de 1,8 m de ancho y 1,5 m de profundidad. La longitud de la segunda zanja es:

A) 100 m D) 150 m

A) 81,25 gr. C) 81,20 gr. E) 82,15 gr.

RESOLUCIÓN Detergente

B) 110 m C) 120 m E) 160 m



12 21 3   15 28 1

de  :

ar

lo

432  160 m 2, 7

x  50

3

5  4  6  15 20 39  15  6  4 24

x  81 25 gr.

RPTA.: A

sé C

Dieciocho obreros hacen en 8 días los

1 de una obra; si en los siguientes 3 3

7.

Jo

días por día ingresan “x” obreros más, concluyendo la obra, hallar “x”. A) 12 D) 18

B) 20 E) 15

C) 30

RESOLUCIÓN Planteando

Obra

obreros  día 18  8

1 3  

Un hombre con dos mujeres pueden hacer una obra en 10 días. Determinar el tiempo necesario para que 2 hombres con 1 mujer puedan hacer el trabajo que tiene 4 veces la dificultad del anterior sabiendo que el trabajo de un hombre y el de una mujer está en la misma relación que los números 3 y 2.

A) 25 D) 30

B) 28 E) 40

C) 35

RESOLUCIÓN

2   3

18  x  3  18  2x   2  18  3x  

Eficiencia Hombre: 3 Mujer: 2 Luego:

108  10x  18  8  2 10 x  180 x = 18

6 4 15

ur

3

RPTA.: E 5.

Días

P 5  C 6

sT

21

1,8  1,5  x  2  1,2  100  x

12 P 15 C 3P+4C

12 P  6  15 C  4

Obreros Zanja # días Rapidez 2  12  100 15 28 1

1,8  1,5  x

Prendas por día

50 50 x Nota:

RESOLUCIÓN 12

B) 81,5 gr. D) 85,25 gr.

po

4.

Si se sabe que un ama de casa puede lavar con 50 gramos de detergente 12 pantalones al día por un periodo de 6 días o 15 camisas diarias durante 4 días. ¿Cuántos gramos de detergente necesitará para lavar 3 pantalones y 4 camisas por día durante 15 días?

IP Eficiencia total

1  3  2  2  

RPTA.: D

212

días

10

DP dificultad

1

José Carlos Turpo

2  3  1  2  x  10

x

2º Cocina

4

m2 de pared = 20

4 7  x  35 1 8

7  35 4

m2 de piso = 24

RPTA.: C 7 7 2 8 4

8. Se contratan “2n” obreros para hacer un obra y a partir del segundo día se despedirá 1 obrero cada día hasta terminar la obra, trabajando el último día un solo obrero. Calcular “n”, sabiendo que si hubiesen trabajado “n” obreros sin despido alguno, terminarían la obra en 37 días. B) 18 E) 25

6

Área total 20 + 12 35 + 48

C) 20 

10.

2

………

2

1

 n 37  n = 18

ar

Si por en mayolicar las paredes y piso de una cocina de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2 m de alto se pagó 3 200 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará por enmayolicar solo las paredes de otra cocina del doble de largo, una vez mas

sé C

de ancho y siendo

A) 1 750 B)1 900 D)1 000 E) 1 650

C) 2 150

Área total pintada de la Sala = (perímetro del alto) x altura = 10  6  10  6 2

1 menos de alto, si 8

= 64 m2

el costo de enmayolicar la pared es la mitad al del piso? A) 7 900 C) 4 500 E) 9 500

Para pintar las paredes de una sala rectangular de 10 m de largo, 6 m de ancho y 2 m de altura pago 5 600 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará por pintar las paredes de un dormitorio de 3 m x 2 m x 2m?

RESOLUCIÓN

Jo

9.

lo

RPTA.: B

RPTA.: D

sT

 2n  1  2n  2

po

n  37

 2n  2n  1

83 32

x = 8 300

RESOLUCIÓN

 2n

x  3200 

Precio 3200 X

ur

A) 15 D) 21

4

Área total pintada del dormitorio =  3  2  3  2 2  20m2

B) 11 900 D) 8 300

Área total pintada Precio 64 5 600 20 x

RESOLUCIÓN

2

1º Cocina m2 de pared = 10 2  20 2

m de piso = 6

20 64



x = 5 600



x = S/. 1750

2

2 6

10

RPTA.: A

2 11.

2 3

213

Si una cuadrilla de 30 obreros de igual eficiencia pueden hacer una obra en 50 días otra cuadrilla de 20 obreros de igual eficiencia lo pueden hacer en 60

José Carlos Turpo

Hombres días obra

días y una tercera cuadrilla de 25 obreros harían la misma obra en 70 días. ¿En cuantos días terminaran la misma obra los 75 obreros?

2 105 103 2 100 C) 107 300 E) 13

20 1

20 1

60 20 x 60

3 10 5

13.

RPTA.: C

po

¿Qué cantidad de obreros pueden hacen una obra en 12 días trabajando 6 horas diarias, después de iniciado se quiere terminar en 8 días, reduciendo

ur

1 de la obra y aumentando a 8 horas 6

diarias el trabajo diario? ¿cuántos días trabajaron 8 horas diarias?

RPTA.: C

12. Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer un trabajo en 15 días, otra formado por 10 hombres hacen el mismo trabajo en 30 días. ¿Cuántos hombres mas se necesitarán para realizar el trabajo en

B) 10 días D) 7 días

Días 12 x

H/D 6 6

8-x

8

 IP  

3 los parte del tiempo empleado por 5 los 30 hombres? B) 18 E) 30

A) 16 días C) 5 días E) 8 días

RESOLUCIÓN

sé C

x

ar

50

Jo

5 6 30  20  25 4 7 30 x  50 535 7 2 100 x días 107

lo

sT

30 50 6  25 70 7 1º + 2º + 3º días 30

10 6

X = 20

Eficiencia del 3º respecto al 1º:

 

C) 20

Obra 1 x 12

12  x 1  12 6

DP 

 12  x 1  x 6   6  12 8x   x  8   12  x=2 Número de días que trabajaron 8 h/d =8–x=6

RPTA.: E

14.

RESOLUCIÓN 1º cuadrilla

300 10

25 70 1 25 x70

30 50 5  20 60 4

A) 15 D) 25

días

1 30

Nota: 30 + x = 30

Eficiencia del 2º respecto al 1º:



Hombres

30 + x

1º cuadrilla 2º cuadrilla 3º cuadrilla Obreros días Obreros días Obreros días

50 30 x 50

10 30 1 1 10.30 1

Entonces se pueden agrupar:

B)

RESOLUCIÓN 30 1

Hombres días obra

1 1

Igual eficiencia

1 500 57 251 D) 7

A)

15 20 .15

2º cuadrilla

214

Un banquero perdió el 20% de dinero que tenia a su cargo. ¿Con que

José Carlos Turpo

porcentaje del resto deberá reparar lo perdido? A) 20 D) 30

B) 15 E) 40

17.

C) 25

RESOLUCIÓN

RPTA.: C

E)

Un trabajo puede ser hacho por 10 hombres en 15 días; 6 días después de iniciado la obra 4 de ellos aumentará su eficiencia en 20% y el resto baja en x %. Halle “x” si la obra se termino en 16 días? A) 10 D) 40

B) 20 E) 50

10 homb 6 días 10 homb 1  x  6  4 1,2   15  6  6 6x  4,8

 a  b b a

18.

El precio de un automóvil sufre una devaluación del 5% cada año. Si en el año 2002 se compró un automóvil nuevo en S/. 20 000 ¿Cuál fue el precio en el año 2004? A) 18 050 C) 17 050 E) 19 150

Jo

15  6,8  6x 6x  1, 8 ; x  0, 3

B) 19 050 D) 17 100

RESOLUCIÓN

RPTA.: C

AÑO :2002

Ana tiene 20 años ¿En que tanto por ciento se habrá incrementado dicha edad, cuando cumpla 32 años? B) 20%

2

sT

sé C

ar

lo

10 Homb; 15 días

A) 40% 60% E) 80

 a  b

c a  Pf   1    1   Pi  Pi b b   a  c  b  a 1 b b b2 b2 bc cb ab ab ab c ab RPTA.: C

C) 30

Aplicando: Parte –Todo

16.

E)

ab ab ab

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

x = 30 %

B)

po

15.

ab ab ab C) ab A)

ur



Pierde 20 % Queda 80 % x % (80 %) = 20% x = 25

Un libro se ofrece recargándole el “a” por “b” del precio de costo. Un estudiante consigue una rebaja del “c” por “b”. Si el vendedor no ganó ni pedio. ¿Cuál es el valor de “c”?

20 000

C) 50% D)

AÑO : 2003 5% disminuye

2003 2004

RESOLUCIÓN

M

Descuento 5% 5%

AÑO : 2004 5%

X

disminuye

Queda 95% 95 %

x  95%  95% 20 000

Si x % es el incremento Planteando el enunciado

x 

20  x% 20  32 x%(20)  12 x%  60%

95 95   20 000 100 100

x = S/. 18 050

RPTA.: A

RPTA.:D

215

José Carlos Turpo

A yn  AB xy

18. Una tienda a nuncio una rebaja de 30% sobre el precio de lista de cualquier objeto. ¿Cuál será el precio de lista de un objeto que cuesta 2 000 soles si la empresa recibe un beneficio del 40% del costo al venderlo, haciéndole la rebaja anunciada?

RPTA.: B 21.

Una persona compró cierta cantidad de artículos en S/.60 cada uno, si los vendió con una ganancia neta de S/.1 200 y los gastos ascendieron al 20% de ganancia bruta. ¿Cuántos artículos compró, si recaudó en total S/. 2 100?

A) S/. 3 000 B) S/. 5 000 C) S/. 4 500 D) S/. 4 000 E) S/. 3 500

RESOLUCIÓN

A) 15 D) 8

PL  Precio de lista PC  2 000 (precio de costo)

PV  40 % Pc (ganancia)

# Artículos = n PCT  60n

po

Como = g = 40 % PC

Gastos = 20 % GB

ur

PL = 2  Pc

GNT  1200  GB  20%GB

PL = 2  2 000 PL = S/. 4 000

80  2 100  60n 100 1500  2100  60 n  n  10

sé C

ar

lo

Una parte de una mercadería se vende con x % de pérdida y el resto se vende ganando y %. ¿Qué parte del total se vendió en la primera venta si en total se perdió n %?

sT

1200 

RPTA.: D

x2  y2 n

B)

Jo

xn xyn E) x n  y

C)

GB  2100  60n

PVT  2 100

70 % PL = 140 % Pc

A)

C) 12

RESOLUCIÓN

Rebaja = 30 % PL  PV  70% PL

20.

B) 10 E) 20

D)

GNeta

Nota: = GBruta  Gastos o impuestos RPTA.: B

yn xy

n x  y xy

RESOLUCIÓN *

Precio de venta : Sea A y B la primera y segunda venta respectivamente Pv1  100  x  %Pc  A (se pierde) Pv2  100  y  %Pc  B (se gana).

Pv1  Pv2  100  x  A  100  y  B  100  n A  B 

Resolviendo: B  y  n  A  x  n A yn  B xn

216

José Carlos Turpo

INTERÉS Y DESCUENTO 1.

C  R%  3  2 C 2  100 % 3 200 R%  % 3

R% 

Una persona tiene S/. 16 000 que presta al 5% trimestral y otra tiene S/. 20 000 que en presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuanto tiempo los montos serán iguales?

A) 10 años C) 14 años E) 20 años

Me piden cuando; 15 200 I  3 000   %; 12 3 500  5  100 I 100 I  2500

B) 11 años D) 18 años

RPTA.: D

RESOLUCIÓN C = 16 000 5% trimestral 20 % anual M1

ur

C2  20 000

Jo

sé C

ar

lo

Por dato: 20 15     C1 1   t   C2 1   t 100 100     4  3    4 1  t   5 1  t 20 20     4 3 4 t  5  t 5 4 t  1; t  20 años 20

sT

5 % cuatrimestral 15 % anual. M2

2.

RPTA.: E

B) 2 850 E) 2 250

C) 2 750

A) S/. 120000 C) S/. 136000 E) S/. 210000

B) S/. 176000 D) S/. 130000

RESOLUCIÓN Capital: 40 000 Tasas: T

Años 50 % anual 6 años

Meses 5% mensual 4 meses

Días 2% diario 10 días

I = 40000 (50%  6 + 5%4 + 2%  10 ) 340 I  400 00  136000 100 M = 40000 + 136000 = 176000

Después de prestar por 3 años un capital se obtiene un monto igual al triple del capital prestado. Al prestar S/. 3 000 a la misma tasa de interés por un año y 3 meses. ¿Cuál será el interés a recibir? A) 3 000 D) 2 500

Se prestó S/. 40000 durante 6 años, 4 meses y 10 días de tal manera que por los años completos se recibe el 25% semestral, por los meses completos excedentes el 15% trimestral y por los días excedentes el 14% semanal. ¿Cuál fue el monto final?

po

3.

RPTA.: B 4.

RESOLUCIÓN 3 años; C; R % Dato: M=3C C+I=3C I=2C

217

Si Carlos impone su capital por 1 año y 9 meses al 5%, los intereses producidos los reparte entre sus 3 sobrinas: a una le da 3 4 los a la segunda los y a la 11 7 tercera 64000 soles. ¿Cuánto es su capital?

José Carlos Turpo

A) 2 100 000 C) 2 875 000 E) 3 500 000

RPTA.: A

B) 1 500 000 D) 3 520 000

6.

RESOLUCIÓN Sea el capital C C 21 5 I 1200 7C I 80 1º + 2º 3 4 61   7 11 77

A) 11 D) 12.50

x x x 1 100 10 M  x  1  11

7.

7 C 16 80 77 C  3 520 000

C) 7



RESOLUCIÓN

8.

2º capital B 5% I2 en 4 años = 4.5 % B



A) 18 000 C) 11 000 E) 21 000

B) 17 500 D) 20 100

r % C . t = 800 7 7 r % 6 c 5t  6 5  800   21000 8 8

RPTA.: E

1º Capital A 3% I1 en 1 año = 3 % A

I1 5 A 25    I2 4 B 3 A+ B = 2 800 A = 25 000 B = 3 000  cifras deB  3

Si un capital C, al r % anual produce en t años 800 nuevos soles. ¿Cuanto producirá otro capital que es 5 veces más que al anterior, en el quíntuplo del tiempo, impuesto a una tasa que 1 es menos? 8

RESOLUCIÓN

Jo

B) 5 E) 11

RPTA.: A

ur

sé C

ar

lo

Un capital es impuesto al 3% anual y otro capital al 5 %. Y la suma de los capitales es 28 000 nuevos soles. Si el interés anual que produce el primero es al interés cuatrianual que produce el segundo como 5 es a 4. Halle la suma de cifras del menor capital.

x = 10

sT

RPTA.: D

Luego:

C) 12

po

3º 16 77

64 000 

A) 3 D) 9

B) 11.50 E) 13

RESOLUCIÓN

Luego:

5.

Si al x%; un capital “x”, produce x en años un nuevo sol, halle el 10 monto.

El 40% de un capital se impone al 32% anual ¿a cuanto se debe imponer el resto para que al cabo de un año el monto acumulado sea el 120% del capital? A) 4 D) 10

B) 6 E) 12

C) 8

y

RESOLUCIÓN

218

José Carlos Turpo

Monto= 40 % C 

420 100  4 t 5 años  t 445 100  9t 4 Reemplazando en   

40% C 32 60 % C x 120  60 % C   C 100 100 100

x = 12

4 200  C 

RPTA.: E 9.

B) 15% E) 30%

M  4 000 

11.

C) 20%

po

ur sT

C) 10%

ar

sé C

M5 años  M3,5 años  1350

I1,5años  1350  I5años  900  5  4500 Dato: C = 9 000



Se depositó un capital al 4% y el monto fue de S/. 4 200, pero si hubiera depositado al 9% el monto hubiera sido S/.4 450. Halle el monto si se hubiera depositado al 10%.

I = 4 500 = 9 000 

r  5  10 100

RPTA.: C

Jo

12.

C) 4500

RESOLUCIÓN Monto = capital + intereses. C4t 100 C 9 t 4 450  C  100 Dividiendo       

B) 17,5% E) 12%

RESOLUCIÓN

RPTA.: C

4200  C 

Al imponer un capital durante 5 años se obtuvo un monto superior en S/. 1 350 al que se obtuvo en 3 años y medio. ¿A qué tasa anual se ha colocado dicho capital si este es de S/. 9 000? A) 5% D) 15%

lo

1 5i   i  80% 6 2 400 En 3 meses: C  80  3 I 1 I     20% 1200 C 5

B) 5000 E) 3500

100

5 4

RPTA.: C

Monto = Capital + intereses C  i  10 5  C  i  15  C  C  1200 6 1200 

A) 3000 D) 4000

4 000  10 

M = 4 500

RESOLUCIÓN

10.

5 4  c  4 000

100 al 10 % el monto será:

Se tiene un capital cuyo monto 5 alcanzado en 10 meses es los 6 del monto obtenido en 15 meses. En 3 meses. ¿Qué tanto por ciento del capital gana? A) 10% D) 25%

C4

Si deseamos colocar un capital en una financiera al 20% capitalizable semestralmente, observamos que gana en 1 año y medio S/. 580 menos que si lo colocamos al 4% bimestral de interés simple en el mismo tiempo. ¿Cuánto fue el capital?

 

A) 26 000 C) 24 000 E) 16 000

 

RESOLUCIÓN *

219

B) 58 000 D) 20 000

Tasa = 20 % anual = 10 % semestral T = 1,5 años = 3 semestres Capitalizable semestralmente.

José Carlos Turpo

3

 110  MC    1,331C  I= 0,331C  100  Tasa = 4% bimestral T= 1,5 años = 9 bimestral 4 I  C  9  0,36 C 100

*

2 3 1  5% t   10  20% t  9  45% t 3 5 1  2% t

1

sea x meses mas I1  3 C1

Por conclusión: 0,36 C  0,331C  580

C1 

29 c  580  C  20 000 1000

sT

ur

po

La suma y deferencia de los descuentos matemáticos y externos de una letra se encuentran en la misma relación que los números 486 y 6; siendo el valor actual racional S/. 16 000 ¿Cuál es el valor nominal de la letra?

A) 16 840 D) 17 200

B) 16 420 E) 16 428

Dc  DR

D1

Vn 

C1 3  C2 5

Va2

6 meses

D3

Va3

actual

9 meses

Vn



VaR  Vn  DR  16 000  1640k  40k

k = 10 Vn  1640k  S /.16 400

vencimiento

2 años

tasas : 15 % trimestral : 8 % cuatrimestral



DC  DR  41k   40 k ; Vn  DC  DR k Vn  1640k

Jo

9 meses

Hace 9 meses

sé C

RESOLUCIÓN D2

C) 16 400

RESOLUCIÓN 486 81k  DC  DR 6 1k DC  41k;DR  40K

Va1

*

B) 30 meses D) 40 meses

14.

ar

A) 20 meses C) 25 meses E) 56 meses

RPTA.: E

lo

Dos capitales están en la relación de 3 a 5 depositadas a tasas del 15% trimestral y 8% cuatrimestral respectivamente, al cabo de cierto tiempo los montos producidos estarán en la relación de 2 a 3 respectivamente. En cuánto tiempo más se cumplirá que el interés producido por el primer capital es el triple de dicho capital.

15  4  x    3 C1 100  3 

x = 56 meses

RPTA.: D 13.

25 t  t  4 meses 100

RPTA.: C

tiempo

15.

t meses t meses

t  C1  1  15%  M1 2 3    t M2 3  C2  1  8%   4 

220

Se tiene 4 letras de iguales valores nominales y los tiempos que faltan para sus vencimientos en días están dado por 4 potencias consecutivas de 2. Si el tiempo de vencimiento común es 240 días. Halle dentro de cuantos días vencerá la primera de las letras.

José Carlos Turpo

A) 32 D) 64

B) 16 E) 512

Caso III: Va3  ?? Vn3  Vn  D3

C) 128

Aplicando vencimiento común. Vn1 Vn2 Vn3 Vn4  4 Vn 2x

2 x 1

2x  2

2x  3

Va3

Va3  9 625

RPTA.: A

240 17.

“t” tiempo de vencimiento en días V  2x  Vn  2x 1  Vn  2x 2  Vn  2x 3 240  n 4 Vn

Se tiene tres letras de S/. 8 800, S/.5 100 y S/. 7 000 pagaderas dentro de 90, 120, y 150 días respectivamente. Calcule el valor nominal de una letra pagadera dentro de 108 días, que produzca el mismo valor actual que la suma de los valores actuales de las tres letras. Se tomará descuento racional al 40% anual.

po

240  4  2x 1  2  22  23  15 x x 16  4  2 ; 2  64  26 ; x = 6

T ra Letra : 2x  64 días.

ar

sé C

RESOLUCIÓN

Letra: T

B) 9 620 D) 9 370

8 000

5 000

3m (I)

4m (II)

7 000

Vnu

5 m 108 días (III) letra única

VaRu  VaRI  VaRII  VaRIII

Varu 

Jo

A) 9 625 C) 9 580 E) 9 525

B) 19 720 D) 1 800

sT

A) 19 000 C) 19 712 E) 18 500

lo

Si se hubiera hecho efectiva una letra hace 9 meses, cuando faltaba 2 años para su vencimiento, se hubiera recibido el 90% de su valor. Si se hace efectiva hoy se recibiría S/. 9 375. ¿Cuánto se recibiría dentro de 6 meses?

ur

RPTA.: D 16.

10 000  9  5  375 1200  10 000  375 D3 

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

Varu 

Caso I: Va1  90% Vn  Va1  Vn  D1 D1  10% Vn

Vnu  108  40 36 000  108  40

 Vn I  VnII  VnIII 

DRI  DRII  DRIII 

3 Vnu 25  20 000   2400   V  17 600 28 28 nu 8 800  3  40  800 1200  3  40 5 100  4  40 DRII   600 1200  4  40 7 000  5  40 DRIII   1000 1200  5  40 DRI 

Reemplazando: Vn  2  R 10 Vn  R 5 100 100 Caso II: Hoy faltan 15 meses. V  15  5 V Va2  Vn  D2;D2  n  n 1 200 16 Dato: V Va2  9 375  Vn  n  Vn  10 000 16

Vnu  19 712

RPTA.: C

221

José Carlos Turpo

18.

Se negocian dos letras pagaderas a los 80 y 120 días respectivamente, siendo el descuento total de S/. 19 500 al 18%. Si las dos letras se hubieran descontado 15 días más tarde el descuento total hubiese sido S/.16 500. ¿Cuál es el valor nominal de una de las letras?

A) 174 000 C) 175 000 E) 176 000

dentro de un año. Si se desea cancelar dentro de 2 meses con un descuento racional del 24% anual. ¿Cuánto se pagó por la letra (valor actual) y cuánto se descontó? A) B) C) D) E)

B) 173 000 D) 145 000

R = 18 % anual

D

po

Tasa = 24% anual

Vn2 : t2  120 días

1 800

2 meses

ur

 

DC1  DC2  19500

Vn1 : t2'  120  15  105 días.

RPTA.: B 20.

Jo

D'C1  D'C2  16 500

Vn1  65  18 Vn2  105  18   16 500 36 000 36 000

13 Vn1  21 Vn2  6 600 000

1800  2%  10 180  2  360  5   6 1  2%  10 6 5 DR  300  VaR  1800  300  1500

ar

sé C

Dato: Vn1 : t1'  80  15  65 días

cancela

DR 

lo

Vn1  80  18 Vn2  120  18   19500 36 000 36 000 2 Vn1  3 Vn2  975 000

1 800 10 meses

sT

hoy

de    y   

S/. 200 S/. 300 S/. 100 S/. 400 S/. 600

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN Dato: Vn1 : t1  80 días

1600 y 1500 y 1700 y 1400 y 1200 y

 

Una letra vence dentro de 4 meses y se observa que dentro de 2 meses, los descuentos comercial y racional están en la relación de 7 a 6. Si hoy la letra tiene un valor de S/. 270. Calcule el valor nominal de dicha letra.

A) S/. 540 C) S/. 405 E) S/. 650

Vn1  225 000

B) S/. 450 D) S/. 560

Vn2  175 000

RPTA.: C

19.

RESOLUCIÓN

Se compró un artefacto a crédito y se firmó por esta una letra de cambio de S/. 1 800 que vence

Va  270 2 meses hoy

222

Vn

Vn 2 meses

t

vence José Carlos Turpo

DC DR

Vn 

7k 6 k  42k 7k  6 k

Va  270  Vn  D4meses 270  42k  14k  k 

270  405 28

ar

lo

sT

ur

po

RPTA.: C

sé C

Vn  42

270 28

Jo



7k 6k

223

José Carlos Turpo