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TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LÁZARO CÁRDENAS

ECUACIONES DIFERENCIALES INVESTIGACION I ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

NOMBRE DEL ALUMNO: APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO Rojas Duarte

CARRERA: Ing. Electrónica GRUPO: 41S SALON: M2 SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2015 FECHA DE ENTREGA: 03 De Enero Del 2016

1.1 TEORIA PRELIMINAR

NOMBRE Billy Joel

1.1.1 DEFINICIONES (ECUACIÓN DIFERENCIAL, ORDEN, GRADO Y LINEALIDAD). Una ecuación diferencial es aquella ecuación qué contiene la derivada o las derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o más variables independientes, dicho esto se debe saber que estas dichas ecuaciones diferenciales se clasifican por: tipo, orden o linealidad. Tipos de ecuaciones diferenciales: (EDO): si una ecuación contiene sólo derivadas de variables dependientes respecto a una sola variable independiente se dice que es una sola ecuación diferencial ordinaria. Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias: ,

.

(EDP): si una ecuación involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de una o más variables independientes se le nombran ecuaciones diferenciales parciales. Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales: ,

.

Orden y grado de una ecuación diferencial : El orden de una ecuación diferencial ya sea ecuación diferencial ordinaria o ecuación diferencial parcial no es nada más que el orden de la mayor derivada en la ecuación, con mayor derivada nos referimos a que si es una primera, segunda, tercera hasta n derivada. En esta clasificación entra

también el grado de dichas ecuación diferencial. El grado de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que esté presente en la ecuación, si esta ecuación diferencial puede expresarse como un polinomio de grado “n” en la n-ésima derivadas se dirá entonces qué es ecuación es el grado “n” siempre y cuando sea finito. Ejemplos de orden y grado de ecuaciones diferenciales:

Clasificación por Linealidad: Una ecuación diferencial solamente es lineal y puede expresarse con un polinomio de la forma que se verá a continuación. Si dichas ecuación diferencial no se puede expresar de esta manera se dice que la ecuación diferencial no es lineal. Nota: Una ecuación diferencial ordinaria de cualquier orden será lineal y sólo si es una función lineal en la variable dependiente.

Ejemplos de linealidad y no linealidad:

1.1.2 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Definición de solución de ecuación diferencial: se dice que si f es una función definida en algún intervalo tal que sustituir la en una ecuación diferencial la satisface, se dice entonces qué f es una solución de la ecuación diferencial. Dicho esto resolver una ecuación diferencial significa determinar una función definida en un intervalo adecuado tal que satisfaga la ecuación. Una función satisface una ecuación diferencial si al sustituirla en ella, la reduce a una identidad. Nota: en general las ecuaciones diferenciales no cuentan con una solución, es decir la mayoría de estas no se han podido resolver ya que existen demasiadas ecuaciones diferenciales de las cuales pocas se pueden resolver mediante métodos con la simplificación el cual se usa demasiado en los casos de resolución. Ejemplos de solución de una ecuación diferencial.

Solución: (a) La ecuación tiene sus variables separadas.

Integrando Obtenemos:

Solución: (b) Separando las variables obtenemos. E integrando con respecto a x llegamos a

Solución: (c) Separando las variables obtiene la solución general

de donde se

sin más que integrar ambos miembros con respecto a la variable x. Obsérvese que, dado cualquier dato inicial y(x0) = y0, la solución sólo existe si

Solución: (d) Separando las variables obtenemos Integrando entonces con respecto a t en ambos miembros de la ecuación encontramos que la solución general de la misma

viene dada por

Existen soluciones de las ecuaciones diferenciales las cuales son implícitas y explícitas. Podemos decir que la solución de la ecuación diferencial está en forma explícita si se puede expresar en la forma

y=f ( x)

bien x=g( y ) . Si Ninguna de las variables está resuelta en términos de la otra, esto quiere decir que la solución de esa ecuación diferencial está dada en forma implícita y se representa como G( x , y )=c .

Esto nos dice que si la solución es expresada de forma despejada es una solución explicita, si no dicha solución es implícita.

1.1.3 PROBLEMA DEL VALOR INICIAL. Los problemas de valor inicial muchas veces nos ayudan a determinar una respuesta única a partir de varias respuestas posibles para la ecuación diferencial que tengamos o se nos presente al modelar un evento real. Pero, aunque es posible establecer varios pre-requisitos iniciales para una ecuación diferencial en particular y sólo unos pocos de ellos nos llevaría a una respuesta única para dicha ecuación. Este pre-requisito es la salida de la función indefinida para algún valor que se encuentra dentro del dominio de la

ecuación diferencial dada. También podemos decir que al tener varios pre-requisitos existen varias respuestas o ninguna para la ecuación diferencial. Esto sucede cuando se intenta resolver un problema real mediante ecuaciones diferenciales. Se representa como: Ejemplo de problemas de valor inicial (PVI). Inciso a) Una partícula se mueve a lo largo del eje manera tal que su aceleración en cualquier tiempo

de está

dada por . Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y está viajando a una velocidad de . De donde el problema de valor inicial sería

Solución: (a) integrando con respecto a

obtenemos

y usando la condición podemos hallar que cual la velocidad en cualquier tiempo sería

, con lo

Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar qué y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo

Inciso b) Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto

está dada por

. ¿Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto ? El problema de valor inicial asociado es

Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar Y usando la condición inicial

obtenemos que

, con

lo cual la curva buscada es 1.1.4 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. El teorema (picard) existencia y única solución de un problema inicial nos dice que existe una solución para los prerequisitos iniciales provistos de la ecuación diferencial y la solución obtenida, es de hecho, una solución única. También no dice que si la derivada parcial de “y” es continua de igual manera que la de “x”, esto nos dice que existe un intervalo abierto el en un espacio de R que satisface el problema del valor inicial. Este teorema no nos dice porque es esa la solución única ni por qué lo es, únicamente nos dice si tiene sentido resolver la ecuación diferencial, que no es nada más que poder ubicar el punto de la condición inicial donde la función existe. Figura 1.1 de la región R. En donde se encuentran el intervalo de la única solución.

Figura 1.1

1.2 E.D. DE VARIABLES SEPARABLES Y REDUCIBLES. Las ecuaciones diferenciales de variables separables no son otra cosa que ecuaciones diferenciales de la forma dy /dx=f ( x ) g( y )

.

Estas ecuaciones se resuelven integrando directamente solo cuando

1 g ( y)

y f ( x) sean integrables en algún intervalo.

Esto quiere decir que integraremos directamente en los dos miembros de la ecuación diferencial. Nota: Sólo es posible aplicar la técnica de separación de variables a aquellas funciones que han sido transformadas, de manera tal, que el diferencial de la variable particular sólo aparece con una función definiendo esta variable y no con otra función. Ejemplos de Ecuaciones diferenciales de variables separables.

dy 1 = 2 dx x +1

Inciso a) Resolver

Solución a) La ecuación diferencial se puede escribir como dy=

1 dx x +1 2

reescribimos

1

∫ dy =∫ x 2 +1 dx y=tan−1 x +c

integramos ambos miembros colocamos solo una constante de integración.

Inciso b) Resolver

dy =f (x ) , en donde dx

f (x)

es una función

integrable en un intervalo. Solución b) La ecuación se resuelve al integrar de manera directa es decir dy=f ( x ) dx

reescribimos

∫ dy =∫ f ( x ) dx y=∫ f ( x ) dx +c=F ( x ) +c

integramos ambos lados .

Estos ejemplos no permite ver cómo es que se separan los miembros de una ecuación diferencial para así poder integrarla de manera directa para llegar a la solución, pero hay muchas dudas como: ¿cuál es la mejor forma de expresar una solución?, ¿Qué tan simplificada debe expresarse la solución?, pero realmente no existen reglas que especifiquen la forma de resolver las ecuaciones por lo tanto no es muy relevante por el momento. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones separables.

Algunas de las ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver de manera directa mediante la integración, es necesario utilizar un método de resolución llamado resolución. Teorema de reducción. La ecuación diferencial de la forma

dy =f (ax+ bx+ c) dx

puede

reducirse a una ecuación diferencial separable. Demostración. Consideremos la ecuación diferencial de la forma dy =f (ax+ bx+ c) . Es evidente que no tiene una clasificación dx

específica, por qué eso depende de la función f ( x ) que se compone. Al definir el cambio de variable u=ax+ bx+ c , tenemos du dy =a+ b dx dx

derivamos u

Al sustituir el cambio de variable en la ecuación diferencial, tenemos dy =f (u) dx

Si combinamos estas dos últimas expresiones, obtenemos du =a+ bf (u) dx

que es una ecuación diferencial separable, cuya solución está dada por du

∫ a+bf (u) =∫ dx

.

1.3 E.D. EXACTA. MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE.

Se dice que la ecuación diferencial exacta si la expresión

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy

es

es el diferencial total

de alguna función z=f ( x , y ) . Esto nos dice que para que la ecuación diferencial M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0 , solo será exacta si las derivadas

parciales son iguales una con respecto a la otra se expresa de esta manera

∂M ∂N = ∂y ∂x .

Esto significa que las derivadas parciales de esa función con respecto a la primera variable debería ser igual a uno de los términos de la ecuación diferencial y las derivadas parciales de esa función con respecto a la segunda variable debería ser igual al segundo término de la ecuación diferencial. Ejemplo de ecuaciones diferenciales exactas. 3 2 2 Inciso a) Resolver la ecuación 8 x y dx +12 x y dy=0.

Solución a) En este ejemplo utilizaremos el procedimiento descrito en la observación 1. Verificamos la ecuación diferencial exacta. Luego: ∂f 2 2 =12 x y ∂y 2

2

∂ f =12 x y ∂ y

∫ ∂ f ∫ 12 x 2 y 2 ∂ y y

f =4 x2 y 3+ c 1 (x)

Resolvemos para ∂ f Integramos parcialmente respecto a

Derivamos esta última expresión obtenida respecto a la variable

y , y consideramos que

∂f 3 =8 x y . ∂x

∂f ∂ = (4 x2 y 3 +c 1 ( x ) ) ∂x ∂x ∂f =8 x y 3 + c '1 ( x ) ∂x 3 3 8 x y +c ' 1 ( x ) =8 x y ∂f ¿ ∂x

Derivamos respecto a

Igualamos

c ' 1 ( x )=0

x

∂f =8 x y 3 ∂x

Resolvemos para c ' 1 ( x )

De esta manera, al integrar respecto a x tenemos c 1 ( x )=c0 , 2 3 por lo que la familia de soluciones buscada es f =4 x y +c 0=¿ 2 3 contante, es decir 4 x y + c .

Método del factor integrante. Definición: se dice que la función

μ( x , y )

integrante de la ecuación diferencial

es un factor

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0

si

tiene la propiedad de que la ecuación diferencial μ( x , y )M ( x , y ) dx + μ(x , y ) N ( x , y ) dy=0

sea exacta.

Este método se usa cuando una ecuación no es exacta, por lo cual es necesario multiplicarla por un factor tal que al hacer la operación para que esta se convierta en una ecuación algebraica equivalente exacta. Caso especial de factor integrante: Si el factor integrante solo depende de x supongamos que μ=μ( x) , entonces π y (x , y )

' y π x ( x , y )=μ ( x ) .

De esta manera, la ecuación μ ( x , y ) M y ( x , y ) + μ y ( x , y ) M ( x , y )=μ ( x , y ) N x ( x , y ) + μ x ( x , y ) N ( x , y )

Se reduce a μ ( x ) M y ( x , y )=μ ( x ) N x ( x , y ) + μ' ( x ) N ( x , y )

donde '

μ ( x ) ( M y ( x , y )−N x ( x , y ) ) =μ ( x ) N (x , y )

Agrupamos

μ ' (x) M y ( x , y )−N x ( x , y ) = π (x) N (x, y)

Separados =∫ ∫ πdμ (x)

M y ( x , y )−N x (x , y ) dx N (x , y )

Integramos

ambos miembros lnμ ( x )=∫

∫

μ ( x ) =e

M y ( x , y ) −N x (x , y ) dx N (x , y )

Despejamos

M y ( x ,y ) −N ( x, y) N (x , y) x

Factor integrante

Es evidente que la expresión anterior está bien definida si la función μ( x) solo depende de la variedad de es necesario que la función

M y ( x , y )−N x ( x , y ) N (x , y )

expresada en términos de

x , y para esto

quede

x.

El caso especial 2 es similar al caso anterior, solo que se hace el procedimiento cuando el factor integrante depende de

y.

1.4 ECUACIONES LINEALES. El estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n inicia considerando la ecuación lineal del primer orden mostrado en la siguiente definición. dy Es una expresión de la forma a1 ( x ) dx + a0 ( x ) y=g( x ) , en donde las

funciones a1 ( x ) , ( x ) y g( x) dependen todas de x y

y

es una

función derivable. Resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y

significa determinar una función

que satisface a la

ecuación en un intervalo donde las funciones

p( x)

y f (x)

son ambas continuas. Los métodos de estas se pueden dividir en homogéneas y no homogéneas. Toda ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es separable, ya sea de la forma

dy + p ( x ) y=0 , o bien dx

dy + f (x) . dx

La ecuación lineal homogénea Demostración

∫

dy + p ( X ) dx=0 y ∫

lny=−∫ p ( x ) dx +c 1 − p ( x ) dx +c 1 y=e ∫

dy + p ( x ) y=0 dx

dy + p ( x ) y=0 dx

es separable.

se puede escribir como,

Separando e integrando la ecuación Simplificamos Tomamos exponencial

− p ( X ) dx y=c e ∫

c1 Escribimos entonces c=e

Es importante también considerar que el procedimiento para resolver una ecuación lineal no homogénea se basa en completarla a una ecuación diferencial exacta para así poder resolverla como tal. Ejemplo de una ecuación lineal. dy 3 lnx + y= 2 dx x x .

Resolver Solución:

Identificando que

p ( x )=

3 x , tenemos que le factor integrante

correspondiente a la ecuación dada es ∫ 3x dx

μ ( x ) =e

=e 3 lnx=x 3

Entonces,

x3

Factor integrante

dy 3 3 lnx +x y =x 3 2 dx x x

( ) ( )

Multiplicamos factor

integrante x d (¿¿ 3 y )=xlnx ¿ x 3 y=∫ xlnxdx

Agrupamos Integramos por partes

ambos miembros 1 2 1 2 3 x y= x lnx− x + c 2 4 y=

c 1 1 + lnx− 3 4 x 2

Integramos por partes

Solución general.

1.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI. La ecuación de Bernoulli utiliza para calcular la cantidad de flujo que pasa en un área dada un determinado tiempo. La ecuación de Bernoulli es de la forma

dy + p ( x ) y=f ( x ) y n dx

,

esta ecuación se puede diferenciar de una ecuación lineal por el hecho que una función de y

una función

x

esta siendo multiplicada por

y la potencia n debe ser mayor a 1, ya que

si la potencia n es 1 esta se resolvería como una ecuación lineal normal. Para poder resolver un caso como la ecuación de Bernoulli es necesario hacer una sustitución que es

y=u1−n

y esto nos

convertirá la ecuación en una ecuación lineal para poder resolverla, esto se verá con más detalle con un ejemplo. Nota: n siempre es un número real mayor que 1 para que esta sea una ecuación de Bernoulli. Ejemplo de ecuación de Bernoulli. Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación cumple con la forma ordinaria

4 1 1 y = y= (1−2 x) y 3 3 '

Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemos sacar los valores siguientes:

1 1 2x p ( x )= f ( x )= − n=4 3 3 3

En este punto sacaremos el valor w. w= y

1−n

=y

1−4

−3

=y

Por lo tanto:

−3

w= y

Expresamos la ecuación en términos de la diferencial: dw 1 1 2x −3 w=−3 − dx 3 3 3

()

(

)

Resolvemos los paréntesis y queda: dw −w=−1+2 x dx

Ahora determinamos el factor integrante: u=e∫

−dx

u=e−x

Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula: w=

1 u q ( x ) dx u∫

Dónde: u es el factor integrante,

q( x)

sería igual al valor

que tiene f ( x ) . Evaluamos la ecuación: e−x (−1+2 x ) dx ∫¿ 1 w= −x ¿ e

y nos queda:

e−x dx+ 2∫ x e−x dx −∫ ¿ 1 w= −x ¿ e

Al analizar la ecuación no damos cuenta que se tendrá que integrar por partes.

w=

1 −x −x −x [e +2( x e −e +c )] −x e

Resolvemos las multiplicaciones

w=−1−2 x+ c e x

Ya que tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de w= y−3 y−3=−1−2 x+ c e x

y el resultado es

√

y= 3

1 −1−2 x +c e x

.

1.6 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería industrial una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con matemáticas. ¿Para qué sirve una ecuación diferencial? Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan, y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Basada especialmente en la idea de Poincaré y Lyapunov se desarrolló la llamada teoría cualitativa, qué consiste en estudiar las propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin resolverla.

La mayoría de los ingenieros incluyendo ingenieros industriales electrónicos usan las matemáticas tales como cálculo y ecuaciones diferenciales, la ingeniería industrial es diferente ya que está basada en matemáticas de “variables discretas”. Mientras que el resto y mayoría de ingenierías se basa en matemáticas de “variables continúas”. Así mismo los ingenieros industriales acentúan el uso de álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales en comparación con el uso de las ecuaciones diferenciales más avanzadas que son de uso frecuente en otras ingenierías como la electrónica en la industria. Ejemplo del uso de ecuaciones diferenciales aplicado. Un depósito contiene 100 galones de salmuera que tienen 200 libras de sal en disolución. En el depósito fluye agua que contiene una libra de sal por galón a razón de 3 galones/minuto, y la mezcla que se mantiene uniforme por agitación, escapa del depósito al mismo ritmo. Calcular la cantidad de sal al cabo de 90 minutos. Solución: Si nombramos al número de libras de sal en el depósito al cabo de t minutos, Entonces

dq dt

es la razón de cambio de

la cantidad de sal en el instante t . Cada minuto entra en el depósito 3 libras de salen 0.03 q libras. Así pues

dq =3−0.03 q . dt

Reordenando, eso significa que da

ln ( 0.03 q−3 ) =−t +c . 0.03

dq =dt , que integrando 3−0.03 q

Cuando t=0 ,

q=200

y

c=

ln3 0.03

así que ln ( 0.03 q−3 )=0.03+ ln 3. Entonces

0.01 q−1=e−0.03 t

y

q=100+100 e−0.03t .

−2.7 Cuando t=90 q=100+100 e =106.72 libras.