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INGENIERÍA CIVIL

TRABAJO DE ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA : APLICACIONES DE PRIMER ORDEN

INTEGRANTES: 1. GONZALES PARI ALEXANDER 2. LEON TAIPE WENDY SHARMELEE 3. MOSCOSO ALVIZURI YORDAN ALESSANDRO 4. RAMOS VILCA LAURA 5. TICONA GUTIERRES LUIS ROMARIO

Contenido RESUMEN: .................................................................................................................................. 3 INTRODUCCIÓN: ...................................................................................................................... 4 PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO: ................................................................................. 4 HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN: ...................................................................................... 4 OBJETIVOS: ................................................................................................................................ 5 OBJETIVO GENERAL: .................................................................................................................... 5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ............................................................................................................. 5 MARCO TEÓRICO ..................................................................................................................... 5 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? ..................................................................................... 6 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN?.................................. 6 METODOLOGÍA:........................................................................................................................ 6 1.

FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA CIENTÍFICO: .............................................. 6

2.

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES:......................................................................................... 7

3.

INTERPRETACIÓN CIENTÍFICA DE LA SOLUCIÓN: ................................................................ 7

RESULTADOS: ........................................................................................................................... 8 CONCLUSIONES: .................................................................................................................... 89 RECOMENDACIONES ........................................................................................................... 89

RESUMEN: En el trabajo investigativo se desarrolló el tema de ecuaciones diferenciales de primer orden y como las aplicamos en nuestro vivir diario, iremos viendo algo de teoría respecto al tema, como usar los diferentes teoremas, ejemplos de resolución de aplicaciones en diferentes aspectos, como en la ingeniería, en la medicina, en la matemática, etc. El fin del trabajo es el de conocer un poco más acerca de las ecuaciones diferenciales de primer orden, conocer cómo usarlas en ejercicios, como plantear los problemas, como resolverlos usando los distintos métodos y teoremas. Finalizando la lectura del trabajo se debe de conocer ampliamente los teoremas y métodos del tema, se debe de saber diferenciar entre estos para aplicarlos en los distintos tipos de ejercicios y problemas. Con el trabajo realizado logramos conocer un poco más acerca de estas ecuaciones, de los métodos a aplicar en distintas circunstancias, su importancia en los problemas que se nos pueden ser planteados a lo largo de la carrera y como dar solución a estos.

INTRODUCCIÓN: Ecuaciones diferenciales de primer orden y sus aplicaciones en la Ingeniería. A lo largo del tiempo fueron surgiendo inconvenientes, por ejemplo, cómo saber en cuanto tiempo se volverá a repetir un hecho, como conocer la velocidad de un elemento y su cambio de aceleración, como saber en cuanto tiempo algún objeto alcanzará la temperatura ambiente, entre otros acontecimientos. Y claro que fue necesario encontrar una manera de resolver estos problemas. Para resolver estos problemas se recurrió a las ecuaciones diferenciales, las cuales brindan una solución adecuada para cada caso. En el siguiente trabajo veremos los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden en sus distintas formas, estudiando cada una de ellas, también veremos las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en los distintos ámbitos profesionales, poniendo mayor énfasis en esto último.

PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO: Nuestro proyecto se basa en resolver las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a la ingeniería y usar todos estos artificios para así poder tener aproximaciones de medidas que se necesitan en la ingeniería como por ejemplo crecimiento y decrecimiento en cada instante de tiempo o la corriente que recorre un circuito por cada unidad de tiempo y así muchas más aplicaciones que iremos desarrollando a continuación.

HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN:

Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de la informática. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemáticas.

OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL: Con el uso de las soluciones conocidas, el matemático o físico puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones gráficas y tablas para poder comparar la teoría con lo obtenido de los experimentos. Puede, incluso, basar una investigación posterior en las interpretaciones de experimentos previos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Poder usar estas aplicaciones en determinado tema ya que son útiles y nos brinda la facilidad de hallar relaciones que nos conllevan a soluciones aproximadas de variables que necesitamos.  Comprender las técnicas básicas de análisis cualitativo de las soluciones para ecuaciones de primer orden y sistemas lineales ç  Identificar las situaciones físicas en las que intervienen las ecuaciones diferenciales.

MARCO TEÓRICO La presente investigación se trata sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería y más específico en la ingeniería civil, para conocer a fondo sus aplicaciones es necesario saber primero algunos conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales y las áreas de trabajo de la ingeniería civil.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen de una a más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respeto a una sola variable independiente Ecuaciones diferéncieles parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN? Una ecuación diferencial odiaría de primer orden es una ecuación diferencial dónde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explicita Existen variaos métodos para resolver ecuaciones diferenciales los cuales son: 1. Variables separables 2. Ecuaciones lineales 3. Ecuaciones exactas 4. Soluciones por sustitución 5. Un método numérico

METODOLOGÍA: 1. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA CIENTÍFICO: Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. Si la intuición o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan útil es ese modelo.

2. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES: Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de la informática. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemáticas. 3. INTERPRETACIÓN CIENTÍFICA DE LA SOLUCIÓN: Con el uso de las soluciones conocidas, estamos en la capacidad de interpretar lo que está sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones gráficas y tablas para poder comparar la teoría con lo obtenido de los experimentos.

RESULTADOS: MEZCLAS: Dennis G. Zill modelos no lineales (problema 20) 1. Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es R  10 pies , que el agua se bombea a una rapidez 3 de  pies / min y que al inicio el tanque está vacío. Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de

evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es k  0.01 . dv a. La rapidez de cambio dt del volumen del agua al tiempo

t es una

rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El volumen de agua 1 que se muestra en la figura es V   Rh 2   h3 , donde R  10 . Exprese 3 2 el área de la superficie del agua A   r en términos de h . r 2  (10  h) 2  102 r 2  20h  h 2 dv    k r 2 dt 2 k r  k (20h  h 2 ) dV    k (20h  h 2 )........................................(1) dt 1 derivamos la ecuacion :V   Rh 2   h3 3 dV dh  (20 h   h 2 ) .........................................(2) dt dt igualamos (1) y (2) remplazamos en :

dh    k (20h  h 2 ) dt dh 1  20kh  kh 2  dt 20h  h 2

(20 h   h 2 )

b. Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) Separando variables e integrando: dh 1  20kh  kh 2  dt 20h  h 2  1   1  2 1  20  h  h dh 100  100     dt 20h  h 2 100(20h  h 2 ) dt  dh 100  20h  h 2 100h(20  h) dt  dh 2  h  10  100h(20  h)

  h  10  (

2

dh   dt  c

d 100h 2  1000h  10000 ( ))dh  t  c dh 10  h

100h2  1000h  10000 t c 10  h …………………………. (1) h(0)  0

Cuando , entonces: 2 100h  1000h  10000 t c 10  h 100(0) 2  1000(0)  10000  0c 10  0 c  1000 Reemplazando en (1):

100h2  1000h  10000  t  1000 10  h h  0.005( t 2  4000t  t ) h(t )  0.005( t 2  4000t  t )

c. Si no hubiera evaporación, ¿cuánto tardaría en llenarse el tanque? Determinamos el volumen del tanque y lo dividimos entre la velocidad a la cual se llena el tanque.

2 3 10  pies3 3 v  cte   pies 3 / min V t v 2 3 10  pies3 t 3  pies 3 / min t  666.67 min

V

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 21) 2. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A (t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. Hallando la ecuación diferencial: dA A  4 dt 50 dA dt  200  A 50 

t

A  200  Ce 50 Para un tiempo t=0 A(0)  30 Hallando la constante: A(0)  200  Ce0  30

C  170 La ecuación es: A(t)  200  170e

t 50

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 21) 3. Resuelva el problema 2 suponiendo que al tanque entra agua pura.

dA A  dt 50 dA dt  A    50 t ln A   50  t /50 A  Ce A(0)  30, C  30 A(t)  30e  t /50

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 22) 4. Un gran tanque de 500 galones está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Determine la cantidad A (t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t.

dA A  2*5  *5 dt 500 dA A  10  dt 100 dA dt  1000  A 100 t  ln(1000  A)  100  t /100 1000  A  Ce A(t)  1000  Ce t /100 para A(0)  0 c  1000 A(t)  1000  1000et /100

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 24) 5. En el problema 4, ¿cuál es la concentración c (t) de sal en el tanque al tiempo t? ¿Y al tiempo t=5 min? ¿Cuál es la concentración en el tanque después de un largo tiempo, es decir, conforme t   ? ¿Para qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite?

1000e  t /100 c(t)  A(t) / 500  2  2e t /100 c0  2  2e  t /100 hallamos c(5) c(5)  2  2e 5/100 c(5)  0.0975 para t   c(t )  2 hallamos t para c(t )  1 c(t)  1  2  2e t /100 2e  t /100  1 t  ln(0.5).100 t  69.3min

TIEMPO DE VIDA MEDIA: Dennis G. Zill modelos lineales (problema 5) 1. El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una razón proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90% A(t )  A dA  kA dt 1 A(3.3)  A0 , A0  1, A(t )  0.1A0 2 Hallamos la ecuación diferencial: dA  kdt A ln A  kt  c

A(t )  Ce kt Hallamos las constantes:

A(0)  Cek (0)  1 C 1 1 A(3.3)  e3.3k  2 ln(0.5) k 3.3 k  0.21 Hallamos A (t): A(t )  e0.21(t )  0.1 ln(0.1) t 0.21 t  10.964  11

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 6) 2. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas. A(t )  kA dA  kA dt A(0)  100, A(6)  97, A(24)  ? Hallamos la ecuación diferencial: dA  kdt A ln( A)  kt  c A  Ce kt

Hallamos la constante: A(0)  Cek (0)  100 C  100 A(6)  100e6 k  97 97 1 k  ln( )* 100 6 k  5.077 *103 Hallamos A (24): A(24)  100e5.077*10 A(24)  88.528

3

(24)

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 7) 3. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 2 1 A(t )  A0 2 3 1 A(t )  e 5.077*10 *100  100 2 ln(0.5) t 5.077 *103 t  136.526

Dennis G. Zill modelos lineales (problema 8) 4. a. El problema con valores iniciales A / t  kA, A(0)  A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T  (ln 2) / k . dA  kA dt A(0)  A0 Hallamos la ecuación diferencial: dA  kdt A ln A  kt  c

A(t )  Ce kt Hallando constantes: A(0)  Cek 0  A0 C  A0

Hallando la vida media: A A(T)  A0 e kT  0 2 1 e kT   21 2  ln 2 T k b. Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t )  A0 2 t /T . Reemplazando k en la ecuación inicial:

 ln 2 T A(t)  A0 e kt

k

A(t)  A0 e

 ln 2( t )

A(t )  A0 2

t

1 T

1 T

c. Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ¿cuánto tiempo le tomará a una cantidad inicial A0 de sustancia decaer a

1 A0 ? 8

A(t )  A0 2

t

1 T



A0 8

t T

2  23 t  3T 5. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 sea por respiración o alimentación. Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil con la razón constante que hay en la atmósfera El método se basa en que se sabe que la vida media del C-l4 radiactivo es de aproximadamente 5 600 años. Hallando la constante k para el carbono 14, sabiendo el tiempo de vida media. 1 A(5600)  A0 2 1 A0  A0 e k 5600 2 1 ln  ln ek 5600 2 1 ln 2 k 5600 k  0.00012378 Entonces

A(t)  A0e0.00012378t 6. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para fechar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en Lascaux, Francia. Vea la fi gura 3.1.8. Utilice la información de la página 84 para precisar la edad aproximada de una

pieza de madera quemada, si se determinó que 85.5% de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado.

d ( A)  kA d (t ) A(t)  A0 e 0.00012378t A(t)  0.145 A0 0.145 A0  A0 e 0.00012378t ln 0.145  ln e 0.00012378t ln 0.145 t 0.00012378 t  15600 años 7. El sudario de Turín muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret.. En 1988 el Vaticano concedió permiso para fechar con carbono el sudario. Tres laboratorios científicos independientes analizaron el paño y concluyeron que el sudario tenía una antigüedad de 660 años,* una antigüedad consistente con su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine qué porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paño en 1988.

d ( A)  kA d (t ) A(t)  A0 e 0.00012378t A(0)  A0 A(660)  A 0 e 0.00012378(660)  0.921553 A0 A0  100% 0.921553 A0  x% x  92%

CAIDA LIBRE CON RESISTENCIA DEL AIRE: La caída libre es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuya

aceleración es producida por la atracción gravitacional entre la tierra y el cuerpo. Si la misma prueba se lleva a cabo bajo las condiciones de la atmosfera terrestre, existirá variabilidad en el tiempo de caída. El objetivo de esta sección es el de modelar un problema de caída libre tomando en cuenta la resistencia del aire, resuelto por una ecuación diferencial, para así determinar la velocidad de nuestro objeto en caída libre en cualquier instante t. Debido a la resistencia del aire los objetos no caen con una aceleración constante. La diferencia de velocidad en las que caen los objetos se debe a la resistencia del aire. Esta resistencia ocurre en sentido contrario a la velocidad por lo que la fuerza se opone al avance del cuerpo a través del aire. Al modelar una ecuación en caída libre sin resistencia del aire se obtiene lo siguiente:

ma  mg m

dv ………………………………………..(1)  mg dt

Cuando trabajemos con resistencia del aire, se modela la ecuación a una diferente, en el que la aceleración del cuerpo no es la misma que la gravedad, ya que existe una fuerza opuesta a la caída libre obstaculizando el movimiento, el modelo es el siguiente: ma  mg  kv …………………………………………(2) dv m  mg  kv dt

También se puede modelar de la siguiente forma: d 2s ds ………………………….……………(3) m 2  mg  k dt dt

m: masa del objeto. k: constante, resistencia del medio. g: gravedad. v: velocidad del objeto. a: aceleración del objeto. Ejercicios propuestos, Differential Equations for Engineers, Autor Xie W.-C 1. Supongamos que la resistencia del aire en un paracaídas es proporcional al área efectiva A del paracaídas, que es el área del paracaídas proyectada

en el plano horizontal, y al cuadrado de su velocidad v , es decir, R  kAv 2 ,donde k es una constante. Un paracaídas de masa m cae con velocidad inicial cero, es decir, x  t   0 y v  t   0 cuando t  0 .

De acuerdo al enunciando del problema podemos afirmar que la ecuación a modelar será una con resistencia del aire. Usamos la ecuación (2). Procedemos a formar las ecuaciones: dv ma  mg  R  m  mg  kAv 2 dt dv kA  g  v2 dt m Hacemos el siguiente cambio: kA n m Sustituyendo las ecuaciones: dv dv  dt    dt 2 g  nv g  nv 2  Resolviendo la integral: 1 dv 1 dv  2   n v g n n v g n v g n







Por fracciones parciales e integrando:  n g n g 1    dt  n 2 v g n 2 v g n





1 ln v  2 ng

   1 g n ln  v  2 ng



g n t c

 

 

 v g n  1  t c ln   2 ng v g n     2 g n  ln 1   t  c  2 ng  v  g n      2 g n  2 ngt k 1    e v  g n  



1  e2

ngt

k



2 g n v g n

Despejando v:

2 g n

v t  

 g n 1  e2 ngt k g  1  e2 ngt k  v t     n  1  e2 ngt k  Reemplazando n: kA  2 g t  m  gm  1  e k gm kA  v t   v t  tanh g      kA  kA  kA m  2 g t   m k  1 e Trabajamos con las condiciones iniciales para hallar el valor de la constante: 1  e0 c mg v(0)  0  ( ) 1  e0 c kA 1  c mg 1 c 0( )   0  1  c  0  c  1 1  c kA 1 c Entonces obtenemos:

v(t )  (

1 e

1 e

2 g

kA t m

kA 2 g t m

) c

mg kA

a. Muestre que la velocidad terminal del paracaídas es:

vT  lim v(t )   t 0

mg kA

vT  lim v(t )  (  t 

vT  lim v(t )   t 

vT 

1 e

1 e

2 g

2

kA t m

2 g

mg 1 e ) ( kA kA g t 2 m c 1 e

g

kA   m

kA  t m



c

mg 1  e mg ) ( )  kA kA 1 e

1  0 mg mg  1  0 kA kA

mg kA

b. Muestre que la velocidad y el desplazamiento son: gt v(t )  VT tanh( ) VT

V 2T gt x(t )  ln cosh( ) g VT kA  2 g t  m gm  1  e k v t     kA kA  2 g t m k   1 e  gm kA  v t   tanh  g t  kA m     gt  kA  v  t   VT tanh  g t   VT tanh   mg   VT  

 gt  ds  v  t   VT tanh   dt  VT   gt  s  t    VT tanh   dt  VT   gt  VT 2 s t   ln cosh   g  VT  2. Un explorador submarino que viaja a lo largo de una línea en dirección horizontal es propulsado por una fuerza constante T. Suponiendo que la fuerza de resistencia R  a  bv 2 , donde 0  a  T y b  0 son constantes, y V es la velocidad del explorador.

a. Si el explorador está en reposo en el tiempo t  0 , muestre que la velocidad

b

del

explorador

es

v(t )   tanh  t ,



T a , b

1 b(T  a ) . m m Usamos la ley de Newton, en la cual la sumatoria de fuerzas es el peso del objeto menos la resistencia que ofrece el aire, ecuación número 2. mA   F





mA  T  (a  bv 2 )

Como sabemos la aceleración A 

dv , usando estas dos últimas dt

ecuaciones formamos una nueva ecuación: dv T  a  bv 2  dt m La cual resolveremos de la siguiente manera: dv T  a  bv 2  dt m dv dt  T  a  bv2   m 1 dv t  c  T  a 1  b v2 m T a  1 T a b  t arg tanh  v    c T a b  T a  m Despejamos v:  1 T a b  t arg tanh  v    c T a b T  a   m

 b  t  arg tanh  v     c  b(T  a)   T a  m b  t   v  tanh   c  b(T  a)  T a   m  v

T a  t   tanh   c  b(T  a)  b   m 

En t  0 y v  0 , entonces:

T a tanh  0  c  b(T  a)  b como : tanh(0)  0 c0 Por lo que la ecuación seria: 0

T a t  tanh  b(T  a)  b m 

v

b. Determine la distancia x(t ) recorrida en el tiempo t . dx Como sabemos que  v reemplazamos: dt

dx T a t   tanh  b(T  a)  dt b m  Resolvemos la nueva ecuación: dx 

T a t  tanh  b(T  a)  dt b m 

 dx   x x

T a t  tanh  b(T  a)  dt b m 

T a t  tanh  b(T  a)  dt  b m  m   t  ln cos  b(T  a)   b  m 

3. Una masa

sube la pendiente con velocidad inicial de 10 m

s como se muestra en la siguiente figura. Suponiendo que el coeficiente de fricción entre la masa y la pendiente es 0.25 . Al observar el diagrama y teniendo en cuenta las leyes de Newton, podemos decir que la modelación del sistema es con resistencia, en este caso la resistencia viene a ser la fuerza de friccion.

a. Determine el desplazamiento máximo xmax que la masa puede subir en el tiempo en el que lo hace. Realizamos un diagrama de fuerzas para tener todas las variables para el modelado con ecuaciones diferenciales.

Ya con el diagrama de fuerzas realizamos las ecuaciones de movimiento de Newton: f x  m * a

F  m * g * sen(300 )  fr  m * a F  m * g * sen(300 )  uk * N  m * a f y  0 N  m * g *cos(300 )  0 m * g *cos(300 )  N Reemplazamos ambas ecuaciones: F  m * g * sen(300 )  uk * m * g *cos(300 )  m * a Ya con la ecuación obtenida modelamos sabiendo que a 

dv : dt

dv  F  m * g * sen(300 )  uk * m * g *cos(300 ) dt La masa alcanza su xmax es cuando la velocidad llega ser cero es decir m

cuando F=0: dv m  0  m * g * sen(300 )  uk * m * g *cos(300 ) dt dv m  m( g * sen(300 )  uk * g *cos(300 )) dt dv   g * sen(300 )  uk * g *cos(300 ) dt 0 0  dv   g *   sen(30 )  uk *cos(30 ) dt Si uk  0.25 y g  9.81

m s2

 v  9.81*  (0.7165)dt  v(t )  7.028* t  C v(0)  7.028*0  C  10  C  10 v(t )  7.028t  10 Como se dijo anteriormente llega a su xmax la velocidad debe ser cero, entonces: v(t )  7.028t  10  0  7.028t  10 10  t  t  1.422s 7.028 t  1.42 s Ya con el tiempo obtenido y la ecuación de velocidad hallamos la ecuación del desplazamiento: dx v(t )  7.028t  10   7.028t  10   dx   (7.028t  10)dt dt x(t )  3.514t 2  10t  K  x(0)  0  K  0

x(t )  3.514t 2  10t x(1.422)  3.514*(1.422)2  10*(1.422)  xmax  7.12m xmax  7.12m b. Determinar el tiempo que le toma a la masa regresar a su posición original y su respectiva velocidad. Al llegar a su xmax se pierde la fuerza que lo impulso en un principio, por lo que se procede a realizar el nuevo diagrama fuerzas.

Realizamos nuevamente las ecuaciones de movimiento de Newton: f x  m * a

m * g * sen(300 )  fr  m * a m * g * sen(300 )  uk * N  m * a f y  0 N  m * g *cos(300 )  0 m * g *cos(300 )  N Reemplazamos ambas ecuaciones: m * g * sen(300 )  uk * m * g *cos(300 )  m * a mg *( sen(300 )  uk *cos(300 ))  m * a g *( sen(300 )  uk *cos(300 ))  a

Ya con la ecuación modelamos sabiendo que a 

dv : dt

dv  g *( sen(300 )  uk *cos(300 )) dt m Si uk  0.25 y g  9.81 2 : s

dv  9,81*( sen(300 )  0.25*cos(300 ))  dv  [9,81*(0.283)]dt dt

 dv   [9,81*(0.283)]dt  v(t )  2.781t  C En este caso al llegar a su xmax empieza a regresar, en este momento m su v0  0 : s

v(0)  2.781*(0)  C  0  C  0 v(t )  2.781t

Ya con la ecuación de la velocidad hallaremos la ecuación de desplazamiento teniendo en cuenta que su x0  0m , es decir nuestro origen es donde empieza el desplazadito hacia abajo y también para q sean más fácil los cálculos. dx v(t )  2.781t   2.781t   dx   (2.781t )dt dt x(t )  1.391t 2  K  x(0)  0 x(t )  1.391t 2

Si queremos hallar el tiempo de regreso debemos igualar la ecuación de desplazamiento obtenida a la distancia xmax , por ser la distancia que se alejó la masa desde su punto de origen inicial. x(t )  1.391t 2  7.12  1.391t 2  t  2.26

t  2.26s Pero el tiempo hallado solo es el de regreso, pero no todo el recorrido, para hallar el tiempo del recorrido total, también sumaremos lo que demoro en subir a lo que demoro para bajar. ttotal  2.26  1.42  ttotal  3.38s ttotal  3.38s Para hallar la velocidad con que llega a su punto de origen se usa el tiempo de regreso en la ecuación de velocidad hallada para este caso. m v(t )  2.781t  v(2.26)  2.781* 2.26  v(2.26)  6.29 s

v(2.26)  6.29

m s

Ejercicio Ecuaciones diferenciales, Dennis G. Zill 4. Una parte de una cadena de 8 pies de longitud esta enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de 3 pies, que la cadena pesa 2lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo. Comenzando en t=0segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t>0, entonces v=dx/dt es su velocidad. Cuando se desprecien todas las fuerzas

de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x esta dado por: dv xv  v 2  32 x dx a. Resuelva la ED para v en términos de x, determinando un factor integrante adecuado: La resolución de la ecuación no se hará con alguna ecuación de resistencia. Procederemos a determinar un factor integrante para llegar a una ecuación diferencial exacta.

v

2

 32 x  dx  xvdv  0

M  v 2  32 x  M v  2v N  xv P  x 

 Nx  v 2v  v 1  xv x dx

P  x  dx   x   e  e x  x

Una vez hallado el factor integrante se multiplicará por este a toda la ecuación, para obtener una ecuación exacta:

 xv  32 x  dx  x vdv  0   xv  32 x  dx  c 2

2

2

2

2

x 2v 2 32 x3  c 2 3 Despejamos v de la ecuación hallada:

2c 64 x  x2 3 Reemplazamos la ecuación inicial para hallar c: v  3  0 v  x 

v  3 

2c  64  0 9

c  288 576 64 x  x2 3 b. Determine la velocidad con que la cadena abandona la plataforma: v  x 

576 64  8   82 3 pies v  8   12.715 s

v 8 

5. Un montón de cadena uniforme se cuelga en una polea lisa de tamaño despreciable con y (t )  0 y v(t )  0 cuando t  0 , como se muestra aquí.

Los eslabones de la cadena caen en el momento t  0 y tira de los enlaces restantes. Los eslabones en el soporte que están inicialmente en reposo, adquieren de repente la velocidad de la cadena sin ninguna interferencia o interferencia. Demuestre que la velocidad v en función de y viene dada por:

v

y y  2g  h   2h  y 3 

Aplicamos el PRINCIPIO DE IMPULSO MOMENTO: Observando la gráfica, deducimos lo siguiente: - Momento en el tiempo t  (2h  y ). .v -

Momento en el tiempo t  t   .[2h  y  y ].(v  v) Impulso durante t   . y.g.t

(Momento en el tiempo t ) + (Duración del impulso t ) = (Momento en el tiempo t  t ) Reemplazando:

(2h  y ) *  * v   * y * g t   *[2h  y  y ]*(v  v)

Desarrollamos la ecuación y simplificamos, luego dividimos entre t , teniendo en cuenta que t  0 , por la tanto:

(2h  y )v  vy  yg t dv dy (2h  y )  v  yg dt dt

Observamos detenidamente, y vemos que existe en la ecuación la derivada de un producto, así obtenemos:

d  2h  y  * v   y * g dt  Hacemos:

V  v *(2h  v) Tomamos en cuenta que:

v

dy dy  dt  dt v

REEMPLAZANDO EN LA ECUACION:

d [V ]  y*g dt dV  y*g dy v dV v  y*g dy Ahora multiplicamos por (2h  y ) :

dV  y*g dy dV (2h  y )* v  y * g *(2h  y ) dy

[(2h  y )* v]

Luego la ecuación quedaría de la siguiente manera:

dV  y * g *(2h  y) dy dV V  2 y * g * h  y * y * g  dy [V ]

Separando Variables:

VdV  [2 ygh  gy 2 ]dy Integramos:

 VdV   [2 ygh  gy

2

]dy

V2 y2 y3  2 gh  g  C 2 2 3 Utilizamos las condiciones iniciales y (0)  0 y v (0)  0 . Cuando t=0, así obtenemos C  0 . Por lo tanto:

V2 y2 y3  2 gh  g 2 2 3  2h  y  * v  y3  ghy 2  g 2 3 2 2 (2h  y ) * v y   gy 2 *  h   2 3  2

(2h  y ) 2 * v 2 y   gy 2 *  h   2 3  y  (2h  y ) * v  2 * y * g *  h   3  v

y y  * 2g * h   (2h  y ) 3 

6. Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras se dispara verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de v0  300 pies/s. La respuesta a la pregunta “¿Qué tanto sube la bala de cañón?”, depende de si se considera la resistencia del aire. a. Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del cañón está dado por  2 s / t 2   g (ecuación (1)). Puesto que s / t  v(t ) la última ecuación diferencial es la misma que la ecuación v / t   g , donde se toma g = 32 pies/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de cañón al tiempo t. dv  g dt

v(t )    gdt v(t )   gt  c  v(0)  c  300 v(t )  300  32t b. Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de cañón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura máxima que alcanza la bala.

Si v  0  t  9.375 v(t ) 

s  300  32t t

s (t )   300  32t dt s (t )  300t  16t 2  c1  s (0)  c1  0 s (t )  300t  16t 2 s (9.375)  1406.25 pies

7. Todo lo que sube, baja. Sea t el tiempo que tarda la bala de cañón en alcanzar su altura máxima que es 823.843 y t el tiempo que tarda en caer de su altura máxima hasta el suelo dv m  mg  kv 2 , v (0)  0 dt Al analizar la situación, la bala del objeto cae, por lo que la velocidad inicial es cero, y al existir la resistencia del aire la ecuación se modela como la ecuación (2), en este caso por el problema la resistencia del aire será kv2 Integrando la ecuación por separación de variables: m dv  dt mg  kv 2 m  mg  kv 2 dv   dt

 k  m arctanh  v   t  c gk mg   Tenemos:

v(t ) 

mg kg tanh t k m

Volviendo a integrar para obtener el desplazamiento:

ds  dt

mg tanh k

k ds  tanh mg



k ds  mg

s (t ) 

kg t m kg tdt m

 tanh

m  ln   cosh k 

kg tdt m kg  t m  

Sabemos que el tiempo de ascenso es igual al tiempo de descenso y la velocidad inicial es igual a la final. Entonces resolviendo la ecuación tenemos:

s(t ) 

m  kg  ln  cosh t   823.843 k  m 

 16 0.0003*32  ln  cosh t  0.0003  16  t  7.77882

823.843 

Ahora reemplazamos el valor de t para hallar la velocidad:

16*32 0.0003*32 tanh 7.77882 0.0003 16 v(7.77882)  182.998

v(7.77882) 

8. Paracaidismo, un paracaidista está equipado con un cronometro y un altímetro. El paracaidista abre su paracaídas 25 segundos después de saltar del avión que vuela a una altitud de 20000 pies y observa que su altitud es de 14800 pies. dv m  mg  kv 2 dt Y velocidad terminal:

vt 

mg k

mg mg k  k vt 2

vt 

dv  mg  kv 2 dt dv mg 2 m  mg  v dt vt 2

m

dv g  g  2 v2 dt vt   dv 1  g 1  2 v 2  dt vt   Integramos por separación de variables

1

dv  dt  1 2 g 1  2 v  vt   1   1 2 dv   dt g 1  2 v  vt   gt  gt  c vt

vt tanh 1

Como la velocidad inicial es cero reemplazando en la última ecuación obtenemos c=0. Entonces

v(t )  vt tanh 1

gt vt

Para hallar la distancia tendremos que integrar la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

ds gt  vt tanh 1 dt vt ds  vt tanh 1

 ds   v

t

gt dt vt

tanh 1

gt dt vt

vt 2 gt   s (t )  ln  cosh   c g vt  

Reemplazando para t=0, s=0 hallamos q c=0 entonces:

s(t ) 

vt 2  gt  ln  cosh  g vt  

a. Para t=25 segundos obtenemos la distancia haciendo la diferencia: 20000-14800=5200. Ahora reemplazamos en la ecuación para encontrar

5200 

vt .

vt 2  32*25  ln  cosh  32  vt 

vt  271.711 Entonces la ecuación s(t) es:

s(t )  2307.08ln  cosh0.117772t 

b. Para t= 15 podemos hallar su distancia y velocidad reemplazando en sus respectivas ecuaciones: s(15)  2307.08ln  cosh 0.117772*15  s(15)  2542.94 v(15)  271.711tanh 1

32*15 271.711

v(15  256.287

9. Impacto en el fondo, un helicóptero sobrevuela 425 pies por arriba de un gran tanque abierto lleno de líquido (no agua) Se deja caer un objeto compacto y denso que pesa 160 libras. Determine el tiempo y la velocidad de impacto cuando el objeto golpea el fondo del tanque. Primero encontramos la velocidad del objeto justo antes de entrar en el líquido, para esto tenemos que hallar una ecuación de la distancia que dependa del tiempo, según el problema la ecuación diferencial que satisface esto, está dada por, ecuación (2).

m

dv  mg  kv dt

1 m  160, k  , g  32 4

Reemplazando los datos del problema: 1 m  160, k  , g  32 4 dv 1 160  160*32  v dt 4 dv 20480  v 640   dv  dt dt 640 20480  v Integrando: 640  20480  vdv   dt 2480  v  u   dv  du 640  u du   dt t

640 ln u  t  u  e 640 c t

v  20480  e 640 c v(0)=0 0  20480  1c  c  20480 entonces: t

v(t )  20480  20480e 640

Volvemos a integrar para hallar una ecuación de la distancia que dependa del tiempo: t ds  20480  20480e 640 dt Por separación de variables:

 ds   20480  20480e

t 640

dt

t

s  20480t  13107200e 640  c para hallar c hacemos s(0)=0 segun el problema 0=13107200  c  c  13107200 entonces : s (t )  13107200  20480t  13107200e

t 640

Ahora hallamos el tiempo en q estuvo el objeto en el aire, para lo cual hacemos s(t)=425 y reemplazamos:

425=  13107200  20480t  13107200e

t 640

t=5.16018 Hallamos la velocidad justo antes de entrar al líquido reemplazando el tiempo obtenido: 5.16018

v(5.16018)  20480  20480e 640 v(5.16018)  164.482 Luego hacemos el mismo procedimiento para hallar la velocidad y el tiempo del objeto en el interior del líquido, la constante de resistencia es 1/10 y este tiene una altura de 75 pies. dv m  mg  kv 2 dt dv 51200  v 2  dt 1600 1600  51200  v dv   dt

2 v  160 2 1 ln  tc 640 v  160 2 160 v(0)=164.482 c=-0.00407537 ahora despejamos v y obtenemos: v(t ) 

13964.6  2208.29e

2t 5 2t

61.7153  9.75937e 5 integramos por separacion de variables

 ds  

13964.6  2208.29e

2t 5 2t 5

dt

61.7153  9.75937e 2t   5 s (t )  226.275t  1600 ln  6.3237  e   c     Procedemos con los cálculos para hallar la constante, el tiempo en que llega al fondo del cilindro y la velocidad con que llega:

s(0)=0 c=3185.78  s(t )  226.275t  1600ln  6.3237  e   hallamos t para s=75  75=226.275t  1600ln  6.3237  e   t=0.466273 v(0.466273) 

13964.6  2208.29e

61.7153  9.75937e v(0.466273)  157.1026

2t 5

2t 5

   3185.78 

   3185.78 

2*0.466273 5 2*0.466273 5

POBLACIÓN: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Uno de los primeros intentos de modelar el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. En esencia, la idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t) de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras más personas hayan en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar: dP dP  P osea  kP dt dt

donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo la inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de EE.UU. desde 1790 hasta 1860. La E.D anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante ciertos intervalos.

1. ECUACIÓN DEL FIN DEL MUNDO:

dp  kp1 c Considere la ecuación diferencial dt , donde k˃0 y c≥0. En la sección dp  kp1 3.1 vimos que cuando c=0 la ecuación diferencial lineal dt es un

modelo matemático de una población

p(t )

que representa un crecimiento

no acotado sobre un intervalo de tiempo infinito conforme

t .

0.  , es decir

p(t )  

dp  kp1.01 c  0.01 dt a. Suponga para que la ecuación diferencial no lineal ,

k˃0 es un modelo matemático par una población de pequeños animales, donde

t se mide en meses. Resuelva la ecuación diferencial sujeta a la p  10

condición inicial (0) duplicado en 5 meses. Modelo:

y al de que la población de animales se ha

dp  kp1 c dt , k˃0

p(t0 )  p0 De acuerdo al enunciado:

p(t )  p La población de pequeños animales en un instante t dado en meses. Nos pide:

t  50 y t  100 Sabiendo que:

p(0)  10 c  0.01 p(5)  20 dp  kp1.01 dt , k ˃0

Separando variables e integrando:

dp

p

  kdt  c

1.01

p 1.011  kt  c 1.01  1 p 0.01  kt  c 0.01 p 0.01  0.01kt  0.01c 1  0.01kt  0.01c 1 100 p 1

1 0.01kt  0.01c 1 p( )100 0.01kt  0.01c 1 p (0.01kt  0.01c)100 1 p(t )  (0.01kt  0.01c)100

p 100 

Hallando c: 1 (0.01k (0)  0.01c)100 1 10  200 100 10 c 1 c100  199 10 p(0) 

199 100

c  10 Entonces reemplazamos c:

p(t )  p(t ) 

1 (0.01kt  0.01c)100 1 2

199 100

(0.01kt  10 (10 ))100 1 p(t )  (0.01kt  100.01 )100

Hallando k cuando

p(5)  20

:

1 (0.01k (t )  100.01 )100 1 p(5)  (0.01k (5)  100.01 )100 1 20  (0.05k  100.01 )100 1 100 20  0.05k  100.01 100 20(0.05k )  100 20(100.01 )  1 p( t ) 

1  100 2 (0, 05)(100.01 )(100 2) k  0.1350

k

Entonces reemplazamos k : 1 p(t )  (0.01(0.1350)t  100.01 )100 1 p(t )  (0.001350t  100.01 )100 b. La ecuación diferencial del inciso a) se denomina ecuación del fin del mundo porque la población

p(t )

presenta un crecimiento no acotado

sobre un intervalo de tiempo finito

 0,T  , es decir, hay algún tiempo

T tal que p(t )   conforme t  T . Encuentre T . t  T p(T )   T

Cuando

,

determine

:

1 (0.01(0.1350)t  100.01 )100 1 p(T )  (0.001350T  100.01 )100 1  (0.001350T  100.01 ) p(t ) 

0  0.001350T  100.01 100.01 0.001350 T  723.87 T  724

T

c. A partir del inciso a) , para 1 p(t )  (0.001350t  100.01 )100

p(50)

y

p(100)

:

1 (0.001350(50)  100.01 )100  12839

p(50)  p(50)

p(t )  p(100) p(100)

1 (0.001350t  100.01 )100 1  (0.001350(100)  100.01 )100  28630966

2. FIN DEL MUNDO O EXTINCIÓN: dP  P (bP  a ) Suponga que el modelo poblacional (4) se modifica así: dt

-

Integramos la ecuación original del problema

dP  P(bP  a ) dt integramos por separacion de variables: 1  P(bP  a)dP   dt usamos el metodo de fracciones parciales A(bP-a)+bP=1 1 b A ,B  a a 1 1 b 1 dP   t  a P a bP  a 1  bP  a  ln   tc a  P   bP  a  ln    at  ac  P  a P(t )  b  ke at Resolvemos la ecuación con los valores dados en el inciso:

dP  P (0.0005 P  0.1) dt P(0)  300, b  0.0005, a  0.1 reemplazamos valores en la ecuacion obtenida anteriormente: a P(t )  b  ke at bP  a  e at k P 0.0005 P  0.1 at e k P para P(0)=300 0.0005*300  0.1 0 e k 300 k  0.00017 entonces la ecuacion es: 0.1 P(t )  0.0005  0.00017e0.1t

-

Resolvemos de la misma manera para hallar la ecuación sujeto a P(0)=100 bP  a  e at k P 0.0005 P  0.1 at e k P para P(0)=100 0.0005*100  0.1 0 e k 100 k  0.0005 entonces la ecuacion es: P (t ) 

0.1 0.0005  0.0005e0.1t

3. Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? dP  kP dt P (0)  P0 P (5)  2 P0 P (t1 )  3 P0 P (t2 )  4 P0 Hallamos la ecuación diferencial: dP  kP dt dP kdt P ln P  kt  c

P (t )  Ce kt Hallaremos las constantes C y k:

P (t )  Ce kt P (0)  Ce0( k )  P0 C  P0 P (5)  P0e5 k  2 P0 e5 k  2 k  0.139 Hallaremos t1 y t2 P(t )  P0e0.139t

P(t1 )  P0e0.139t1  3P0 e0.139t1  3 t1  7.904 P(t2 )  P0e0.139t2  4 P0 e0.139t2  4 t2  9.973 4. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 3 es de 10 000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P0 ? ¿Cuál será la población en 10 años?, ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t=10? Hallaremos la población inicial: P(t )  P0e0.139t P(3)  P0 e0.139(3)  10000 10000 e0.139(3) P0  6590.209

P0 

La población en 10 años: P(t )  6590.209e0.139t

P(10)  6590.209e0.139(10) P(10)  26458.701 La razón de cambio en un t=10:

dP  kP dt dP  26458.701(0.139) dt dP  3677.759 dt

5. La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t=30? dP  kP dt P(0)  500

P(10)  115%(500) P(30)  ? Hallamos la ecuación de crecimiento de la población: dP  kP dt dP kdt P ln P  kt  c

P (t )  Ce kt Hallamos las constantes C y k: P(t )  Ce kt P(0)  Cek (0)  500 C  500 P(10)  500ek (10)  500(115%) ek (10)  1.15 k  0.014 Población cuando pasen 30 años: P(t )  500e0.014t

P(30)  500e0.014(30) P(30)  760.981 La razón de crecimiento de la población pasados los 30 años será:

dP  Pk dt dP  760.981(0.014) dt dP  10.654 dt

6. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2000 bacterias presentes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? dB  Bk dt B(3)  400

B(10)  2000 B0  ? Hallamos la ecuación diferencial: dB  Bk dt dB  kdt B ln B  kt  c B (t)  Ce kt

Procedemos a hallar las constantes: B(3)  Ce3k  400

B(10)  Ce10 k  2000 Ce10 k 2000  Ce3k 400 7k e 5 k  0.23 Ce10(0.23)  2000 C  200.517 Hallaremos B0 : B(0)  Ce0 k  B0 B0  C  200.517 7. POBLACIÓN FLUCTUANTE

La ecuación diferencial P / t  (k cos t ) P , donde k es una constante positiva, es un modelo matemático para una población P(t) que experimenta fluctuaciones anuales. Resuelva la ecuación sujeta a P(0)  P0 . Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución para diferentes elecciones de P0 .

dP  k cos(t ) P dt P(0)  P0 |Hallamos la ecuación dP  k cos(t ) P dt dP  k cos(t )dt P ln P  k sen(t )  c P (t )  Ce k sen ( t ) Hallando la constante C: P(0)  P0

P(0)  Cek sen (0)  P0 C  P0 La ecuación es:

P(t)  P0ek sen (t) 8. MODELO POBLACIONAL En un modelo del cambio de población de P(t) de una comunidad, se supone que

P B D D B , donde y son las tasas de natalidad y   t t t t t

mortandad, respectivamente. a. Determine P(t) si

B D = k1 P y = k2 P . t t

Reemplazando en la ecuación inicial y obteniendo la ecuación del cambio de la población:

P B D   t t t P  k1 P  k2 P  P(k1  k2 ) t P  (k1  k2 )t P ln P  (k1  k2 )t  c P(t )  Ce( k1  k2 )t b. Analice los casos k1  k2 , k1  k2 y k1  k2 . k1  k2

En la ecuación el exponente de épsilon tendrá un valor positivo, lo cual favorece el crecimiento de la población en función del tiempo P(t )  Ce( k1 k2 )t

(k1  k2 )  0 P(t )  Ce(  )t k1  k2

En este caso, el exponente de épsilon seria cero, la función nos da un resultado final constante, con lo cual el crecimiento de la población no varia, sino se mantiene de una forma física. P(t )  Ce( k1 k2 )t

(k1  k2 )  0 P(t )  Ce(0)t k1  k2

El exponente de épsilon seria negativo y al efectuar la solución de esta potencia, nos daría cifras decimales, lo cual disminuiría notablemente el crecimiento de la población, llegando a generar disminución de la población. 9. MODELO DE COSECHA CONSTANTE Un modelo que describe la población de una pesquería en la que se cosecha con una razón constante está dada por constantes positivas. a. Resuelva la ED sujeta a P(0)  P0 .

P  kP  h , donde k y h son t

dP  kP  h dt dP  dt kP  h kdP  kdt kP  h ln (kP  h)  kt  c kP  h  Ce kt Ce kt  h k Ce0 k  h P(0)   P0 k C  h  kP0 P (t ) 

C  kP0  h (kP0  h)e kt  h k b. Describa el comportamiento de la población P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos kP0  h , kP0  h y 0  kP0  h . P(t ) 

kP0  h La solución será positiva, con lo cual hay un incremento de la población: kP0  h  0 Ce kt  h P (t )  k

kP0  h La constante C será cero, con lo cual el incremento de la población será constante. P (t ) 

h k

0  kP0  h El signo de la constante será negativo, dándonos una muestra de que la población ira disminuyendo.

P(t ) 

Cekt  h k

c. Utilice los resultados del inciso b. para determinar si la población de peces desaparecerá en un tiempo finito, es decir, si existe un tiempo T > 0 tal que P(T) = 0. Si la población desaparecerá, entonces determine en qué tiempo T.

(kP0  h)e kT  h k ( P0 k  h) kT h e  k k h e kT  h  P0 k P (T ) 

T

1 h ln( ) k h  P0 k

CABLES COLGANTES: Considérese un cable o una cuerda que cuelga de dos pontos, A y B como se muestra en la figura, no necesariamente del mismo nivel. Se asume que el cable es flexible de modo que debido a su carga (la cual puede ser debido a su propio peso, o a fuerzas externas actuantes, o una combinación de éstas) toma la forma como en la figura. De donde:

∑ 𝐹𝑥 = 0;  𝑇1 − 𝑇2 cos𝜃 = 0 𝑇1 = 𝑇2 cos𝜃    (1) ∑ 𝐹𝑦 = 0;  𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑄 = 0 𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑊𝑆   (2) Dividiendo: 𝑑𝑦 𝑇2 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑑𝑥 𝑇2 cos𝜃 Nos queda: dy W  dx T1



x

0

1 (

dy 2 ) dx dx

Aplicando el teorema fundamental del calculo tenemos: d2y W dy  1  ( )2 2 dx T1 dx

1. Un cable pesa 0.5 Lb/ft cuelga de dos soportes que están a un mismo nivel y a 100 ft de separación. Si la pendiente del cable en uno de los soportes es 12.5. a) encuentre la tensión del cable en su punto más bajo, b) determinar una ecuación para la curva en la cual el cable cuelga

d2y W dy  1  ( )2 2 dx T1 dx sustituyendo dy du d 2 y y  dx dx dx 2 du W  1  (u ) 2 dx T1

u



du 1  (u ) 2



W dx T1 

W x T1 Despejando u nos queda : W u  sinh( x) T1 dy W  sinh( x) dx T1 W  dy   sinh( T1 x)dx T W y  1 cosh( x)  C2 W T1 Condiciones iniciales y (0)  0, x  0 T 0  1 cosh(0)  C2 W T C2   1 W T T W y  1 cosh( x)  1 W T1 W

sinh 1 u 

Como W es 0,5lb/ft y la pendiente 12/5 a una distancia de 50ft, se sustituye en la ecuación anterior:

12 0.5  sinh( 50) 5 T1 12 25 sinh 1 ( )  5 T1 T1 

25000 1609

a) Tensión en el punto mas bajo del cable

T1  15.5lb b) Se sustituyen los valores obtenidos en la solución general para obtener la curva que describe la forma que adopta el cable quedando y  31cosh(

X )  31 31

2. Un cable flexible de peso despreciable soporta un puente uniforme, como se muestra en la figura. Las dimensiones son como se indican: P el punto mínimo de la curva APB. Usando un conjunto apropiados de ejes, determine una ecuación para la curva APB.

Como el peso del cable es constante, en este caso la ecuación es:

d2y Q dy du d 2 y  Como : u  ;  dx 2 T1 dx dx dx 2 du Q  dx T1 Q

 du  T  dx 1

Q u  x  C1 T1 Como u (0)  0 y x  0 Q 0  (0)  C1 T1 C1  0 u

Q x T1

dy Q  x dx T1 Q

 dy  T  xdx 1

y

Q1 2 x  C2 T1 2

Como y  40 y x  0 Q1 2 40  (0)  C2 T1 2 C2  40 Entonces la ecuacion queda : Q1 2 y x  40 T1 2

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO:

MODELADO

La tasa de cambio de la temperatura de la superficie es proporcional entre la temperatura del objetivo y la temperatura del ambiente:

dT  (T  T0 )k dt ln(T  T0 )  tk T  T0  cetk T (t )  T0  cetk T (t0 )  T0

; T (t1 )  T1

Observación:

Si

T  Tm Tm  T

dT 0 dt dT 0 dt

ENFRIAMIENTO

CALENTAMIENTO

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO: 1. En una escena del crimen, un técnico forense estableció que la temperatura del cuerpo de la víctima es de 33°C a las 6:00 pm. Una hora después, el juez de instrucción llegó y estableció que la temperatura del cadáver cayó hasta 31.5°C. El técnico forense determino que el cambio en la temperatura atmosférica podía ser modelado satisfactoriamente como en el espacio de tiempo de horas empezando a las 6:00pm. Es sabido que la temperatura corporal de una persona viva es de 37°C. ¿Cuándo fue asesinada la víctima? Tomando en cuentas las condiciones iniciales que nos menciona el problema. T ( X )  33C T ( X  1)  31.5 C dT  20e 0.02t dt T  100e 0.02t 4  100e 0.02t Siendo t el tiempo que se encuentra sin vida. t  160.94 min

t  2.68horas respuesta :3.42 p.m

Libro de referencia: Differential Equations for Engineers - Wei-Chau Xie Respuesta correcta dada por el libro 2. Un termómetro se cambia de una habitación donde la temperatura es de 70° F al exterior, donde la temperatura del aire es de 10° F. Después de medio minuto el termómetro indica 50° F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en t = 1 min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los 15° F? Tomando en cuentas las condiciones iniciales que nos menciona el problema.

T (t )  TM  C. e kt T (t)  10  C. e kt T (0)  70 10  C. e0  70 C  60 1 T ( )  50 2 Resolviendo la ecuación inicial con las condiciones iniciales k 2

10  60. e  50 2 k  2 ln 3 T (t)  10  60. e

2 2ln t 3

T (1)  10  60. e T (1)  36.67

2ln

2 3

T (t )  15  10  60. e

2 2ln t 3

2 2ln t 3

5  60. e t  3.06 segundos

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 3. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5° F. Después de 1 minuto, el termómetro indica 55° F y después de 5 minutos indica 30° F. ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación?

T (t ) 5  e kt .C T(1)  55 T (5)  5 50  e k .C ...(1) 25  e5 k .C ...(2) (1) en (2) 25  50. e 4 k 1 ln  4k 2 1 1 k  ln 4 2 C  59.4611 1

1 ln t

T (t )  5  e 4 2 (59.4611) T (0)  5  e(59.4611)  64.4611!

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta no dada por el libro 4. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar los 98° C?

T (t ) 100  e kt .C T(0)  20 T (1)  22 80  C 78  80e k 0.0253  k

T (t )  100  80e 0.0253t T (t)  90 90  100  80e 0.0253t 1 ln  0.0253t 8 t  82.1seg. T (t1 )  98 98  100  80e 0.0253t1 1  0.0253t1 40 t1  145.7 seg . ln

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 5. Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0° C y a 100° C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100° C, se sumerge dentro del tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90° C. Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10° C. ¿Cuánto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99?9° C? A

(t ) e kt .C

TA (0)  100 100  C TA (1)  90 90  100. e kt k  ln 0.9 TA (t ) eln 0.9t .100 TA (2) eln 0.9(2) .100  81 TB (t ) 100  e kt .C TB (0)  81 100  C  81

C  19 TB (1)  91 91  100  19e k 9 ln k  19 1 TB (t )  100  19e

ln

9 t 19

TB (t)  99.9 99.9  100  19e t

ln

9 t 19

ln  0.1/19  ln  9 /19 

t  7.02seg.

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta no dada por el libro 6. Un termómetro que indica 70° F se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A través de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termómetro lee 110° F después de 1/2 minuto y 145° F después de 1 minuto. ¿Cuál es la temperatura del horno? T (t )  TM  C.e kt T (0)  70 70  TM  C.e0 C  70  TM 1 T    TM   70  TM  e 2  110 2 T 1  TM   70  TM  e k  145 k

k

e2 

110  TM 70  TM

 110  TM  e    70  TM 

2

k

2

 110  TM  145  TM    70  TM  70  TM 

110  TM 

2

 145  TM  70  TM 

12100  220TM  TM 2  10150  215TM  TM 2 TM  390

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 7. Al tiempo t _ 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño líquido. La temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 80°F. El baño líquido tiene una temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por Tm (t)  100  40e 0.1t t  0, donde t se mide en minutos. a. Suponga que k = -0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cómo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia química a corto plazo. Y a largo plazo. La temperatura inicial del baño es Tm (0)  60 , así que en el corto plazo la temperatura del Químico, que comienza a 80 °, debe disminuir o enfriar. Con el tiempo, 0.1t la temperatura del baño .Aumentará hacia 100 ° ya que e disminuye de 1 a 0 cuando t aumenta de 0. Así, en el largo plazo, la temperatura del producto químico debe aumentar o calentarse hacia 100 °. b. Resuelva el problema con valores iniciales. Use un programa de graficación para trazar la gráfica de T(t) en diferentes intervalos de tiempo. ¿Las gráficas concuerdan con sus predicciones del inciso a)?

dT  0.1T  100  40e 0.1t  dt T0  80 dT  0.1T  10  4e 0.1t dt 0.1dt e  e0.1t d e0.1t T 

 10e0.1t  4 dt e0.1t T  100e 0.1t  4t  c T (0)  80 100  C  80 C  20 T (t )  100  4te 0.1t  20e 0.1t T (t )  100  (4t  20)e 0.1t

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta no dada por el libro 8. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70° F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85° F. Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80° F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6° F. Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que t1 > 0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.]

T (t )  70  C.e kt T (0)  98.6 98.6  70  C.e0 C  28.6 T  t1   70  28.6e kt1  85 T  t1  1  70  28.6e k (t1 1)  80 15 28.6 10 e k (t1 1)  28.6

e kt1 

e kt1  k  e kt1 .e k 

10 28.6

2 3 k  0.405465 1 15 t1  ln k 28.6 t1  1,5916 horas ek 

t1  1.6 horas Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 9. La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta S. Si S es una constante, entonces una modificación de la ecuación (2) es: dT  kS (T  Tm ) dt Donde k < 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del café es de 150° F. El área superficial del café en la taza B es del doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30 min la temperatura del café en la taza A es de 100° F. Si Tm = 70° F, entonces ¿cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 min?

dT  kS (T  Tm ) dt T (t )  TM  T0  TM  .e kSt T (0)  T0 TA  t   70  80e kSt TA  30   70  80e kSt  110 3 8 TB  t   70  80e 2 kSt e kS 30 

TB  30   70  80  e kS 30  3 TB  30   70  80   8 TB  30   81.25

2

2

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta no dada por el libro 10. Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. Él sirvió dos tazas de café. Blanca le agregó crema suficiente como para bajar la temperatura de su café 1°F. Después de 5min, Luis agregó suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en 1°F. Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frío? Primero hallaremos la ecuación de la temperatura de la tasa de Blanca:

 dT  k (T  Ta )   dt  T (0)  T0  1 Resolviendo la ecuación diferencial tenemos:

T (t )  Ta  ce kt como :T (0)  T0  1 T (t )  Ta  (T0  Ta  1)e kt Ahora hallaremos la ecuación de la temperatura de la tasa de Luis:

 dT  k (T  Ta )   dt  T (0)  T0

Resolviendo la ecuación diferencial tenemos:

T (t )  Ta  ce kt como :T (0)  T0 T (t )  Ta  (T0  Ta )e kt Ahora comparamos las temperaturas a los 5 segundos:

T (5) B  Ta  (T0  Ta  1)e5k T (5) L  Ta  (T0  Ta )e5k  1 De aquí tenemos la igualdad:

T (5) B  T (5) L  1  e5 k T (5) B  T (5) L  1 

1 e5 k

1 es positivo entonces T (5) L es menor que T (5) B por lo tanto la tasa de e5 k Luis está más fría que la de Blanca. Como 1 

Libro de referencia: ecdiferenciales.weebly Respuesta correcta, dada por el libro CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor di (L( )) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje dt aplicado E(t) al circuito.

L

di  Ri  E  t  …………………………… (1) dt

donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i  t  se llama, también respuesta del sistema.

La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q  t  / C , donde q es la carga del capacitor. Por tanto, para el circuito en serie que se muestra en la figura

La segunda ley de Kirchhoff da: Ri 

1 q  E  t  ………………………………… (2) C

Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i =

dq ,así la ecuación (2) se dt

convierte en la ecuación diferencial lineal: R

dq 1  q  E  t  ……………………………… (3) dt C

CIRCUITOS ELECTRICOS: 1. Resuelva la ecuación de circuitos suponiendo que E (t)  E0 sen t y que i(0)  i0 .

di  iR  E (t ) dt di R E (t )  i dt L L

L

R

dt   (t )  e  L R t L

 e .E (t ) (e .i )  t L R R t t E e L .i (t )  0  e L . sen t t L R t L

R

t

*I   e L . sen t t R t L

cos t

R t L

R   e . .( cos t ) t  L R R t cos t t R L I  eL .  e .cos t t   L

I e .

R t L

I e .

cos t



R t sen t R R  (eL .  L  L

e

R t L

. sen t t )

R t R e L ( sen t   cos t ) L I C R  2  ( )2 L R R  t E0 ( L sen t   cos t ) i (t )  .  C.e L R 2 L 2  ( ) L E0  cos   i (0)  i0 , C  i0  ( ) L  2  ( R )2 L R ( sen t   cos t ) R  t E E  cos  i (t )  0 . L  ( i0  0 ( ).e L R L L  2  ( R )2  2  ( )2 L L

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro

2. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 104 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q (0)  0 . Encuentre la corriente i(t). dq 1 R  q  E (t ) dt C dq 1 200  4 q  100 dt 10 dq 1  50q  dt 2 50 dt   (t )  e   50t e50t (e .q)  t 2 50 t e e50t .q   dt 2

e50t C 100 q (t )  102  Ce 50t

e50t .q 

 q(0)  102  C  0 C  102 q (t ) 102  102 e 50t i (t ) 

e50t 2

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro

3. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 V a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5.10 6 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0)=0.4 amperes. Determine la carga y la corriente en t = 0.005 s. Encuentre la carga conforme t   .

dq 1  q  E (t ) dt C dq 1 1000  q  200 dt 5.106 dq 1  200q  dt 5 200 dt   (t )  e  R

 200t e 200t (e .q)  t 5 200 t e e 200t .q   dt 5

e 200t C 1000 q (t )  103  Ce 200t

e 200t .q 

C.e 200t i (t )  200 C  i (0)    0.4, C  80 200 (1) q (t )  103  80e 200t i (t ) 

(2) q(0.005)  29.429c

2.e 200t 5

i (0.005)  0.147 A

 3 qt 

q (t )  103  80e 200t e 200t  0 q (t )  103

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 0  t  20 120, 4. Se aplica una fuerza electromotriz E (t )   a un circuito en t  20 0, serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0)=0. di L  iR  E (t ) dt di 20  2i  E (t ) dt di 1 1  i  E (t ). dt 10 20 1

  (t )  e  10

dt 1

t

 101 t e10 .E (t ) (e .i )  t 20 1 1 t 10

t

e10 .E (t ) e .i   20 1 1 t 10

t

e10 .E (t ) e .i  C 2

1  t E (t ) 10 i (t )   Ce 2

 i (0)  60  C  0, C  60

Si 0  t  20  i (t )  60  60e Si t  20



1 t 10

 i (t )  60(e  1)e 2



1 t 10

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 5. Suponga que un circuito en serie RC tiene un resistor variable. Si la resistencia al tiempo t está dada por R  k1  k2t , donde k1 y k2 son constantes positivas, entonces la ecuación se convierte en: q 1 (k1  k2t )  q  E (t ) t C Si E (t )  E0 y q(0)  q0 , donde E0 y q0 son constantes, muestre que: k q(t )  E0C  (q0  E0C )( 1 )1/Ck2 k1  k2t

q 1  q  E (t ) t C q 1 E (t )  q t C (k1  k2t ) (k1  k2t )

(k1  k2t )

1

  (t )  e

 C ( k1  k2t ) dt

 (k1  k2t )1/ Ck2

(k  k t )1/ Ck2 .E (t )  ((k1  k2t )1/ Ck2 .q )  1 2 t (k1  k2t ) (k1  k2t )1/ Ck2 .q  E0  (k1  k2t )1/ Ck2 1dt (k1  k2t )1/ Ck2 .q  E0 .

1 .(k1  k2t )1/ Ck2 .Ck2  c1 k2

q (t )  E0 .C  c1 (k1  k 2t ) 1/ Ck2  q (0)  E0 .C  c1 (k1 ) 1/ Ck2  q0 C

q0  E0 .C (k1 ) 1/ Ck2

q (t )  E0 .C  (q0  E0 .C )(

k1 1/ Ck2 ) k1  k2t

Libro de referencia: Dennis G. Zill

Respuesta correcta, dada por el libro MODELOS NO LINEALES DINÁMICA POBLACIONAL Si P  t  es el tamaño de una población al tiempo

t 

dP  kP dt para cierta k  0 En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por :

, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que

dP / dt (1) P es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población. Por lo que, para otros modelos, se puede esperar que la razón (1) decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. La hipótesis de que la tasa con que crece (o decrece) una población sólo depende del número presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, tales como los fenómenos estacionales, se puede enunciar como:

dP / dt dP  Pf ( P )  f ( P) o (2) dt P Esta ecuación diferencial, que se adopta en muchos modelos de población de animales, se llama hipótesis de dependencia de densidad.

ECUACIÓN LOGÍSTICA Supóngase que un medio ambiente es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. Así para la función f en la ecuación (2) se tiene que f (K)  0 y simplemente hacemos f (0)  r .La hipótesis más sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f ( P)  c1P  c2 . Si aplicamos las condiciones f (K)  0 f (0)  r , tenemos que c2  r c1  r / K , respectivamente, y así f adopta la forma f ( P)  r  (r / K) P Entonces la ecuación (2) se convierte en: dP r  P (r  P ) (3) dt K Redefiniendo las constantes, la ecuación no lineal (3) es igual a: dP  P (a  bP ) dt 1. ¿Qué tan alto? Resistencia del aire no lineal: considere la bala de cañon de 16 libras que se dispara verticalmente hacia arriba en los problemas 36 y 37 en los ejercicios 3.1 con una velocidad inicial v0  300 pies / s .

Determine la altura máxima que alcanza la bala si se supone que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Suponga que la dirección positiva es hacia arriba y tome k  0.0003 . -

Modelo: m

dv   mg  kv 2 dt , k 0

v( t0 )  v0 -

De acuerdo al enunciado:

v( t )  v Velocidad de una bala de cañón que cae sujeta a la resistencia del aire -

y su peso en un instante t Nos pide hallar la altura máxima alcanzada por una bala de cañón Sabiendo que:

v0  300 pies / s k  0.0003 Separando variables e integrando: dv m  mg  kv 2 dt dv 1   dt 2 mg  kv m dv 1   dt 2 2 m ( mg )  ( kv)

dv 1   dt  c 2 m mg )  ( kv) …………….……………(1) Realizando un cambio de variable: u  kv du  k dv du dv  k Reemplazando en (1)

(

2

du 1 k  ( mg )2  (u)2    m dt  c 1 k

(

du 1    dt  c 2 2 m mg )  (u )

1 1 u t ( )(arctan( ))    c m k mg mg 1 1 kv t ( )(arctan( ))    c m k mg mg 1 kv t arctan( )   c m kmg mg arctan(

kv kg ) t  c1 m mg

kv kg  tan( t  c1 ) m mg v

mg kg tan( t  c1 ) k m

v(t ) 

mg kg tan( t  c1 ) k m

Hallando la constante c1:

v(t ) 

mg kg tan( t  c1 ) k m

v(0) 

mg kg tan( (0)  c1 ) k m

300 

mg tan(c1 ) k

c1  arctan(300

k ) mg

c1  arctan(300

0.0003 ) 1 32 2

c1  0,914743 Hallando s:

mg kg tan( t  c1 ) k m v(t )  (230.94) tan(0.13856t  0,914743)

v(t ) 

ds  (230.94) tan(0.13856t  0,914743) dt ds  (230.94) tan(0.13856t  0,914743)dt

 ds  (230.94) tan(0.13856t  0,914743)dt  c

2

……………….. (2)

Realizando un cambio de variable: l  0.13856t  0,914743 dl  0.13856 dt dl dt   0.13856 Reemplazando en (2): dl  ds  (230.94) tan(l )( 0.13856 )  c2 s  1666.71(ln(sec(l )))  c2

s  1666.71(ln(sec(0.13856t  0,914743)))  c2 s(t )  1666.71(ln(sec(0.13856t  0,914743)))  c2 Hallando c2:

s(t )  1666.71(ln(sec(0.13856t  0,914743)))  c2 s(0)  1666.71(ln(sec(0.13856(0)  0,914743)))  c2 0  1666.71(ln(sec(0.13856(0)  0,914743)))  c2 c2  823.843 Hallando T:

v(t )  (230.94) tan( 0.13856t  0,914743) v(T )  (230.94) tan( 0.13856T  0,914743) 0  (230.94) tan(0.13856T  0,914743) T  6.6016 Hallando la altura máxima alcanzada por la bala disparada del cañón

s(t )  1666.71(ln(sec(0.13856t  0,914743)))  c2 s(t )  1666.71(ln(sec(0.13856t  0,914743)))  823.843 s(T )  1666.71(ln(sec(0.13856T  0,914743)))  823.843 s(6.6016)  1666.71(ln(sec(0.13856(6.6016)  0,914743)))  823.843

s(6.6016)  823.843 Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 2. Esa sensación de hundimiento: a) Determine una ecuación diferencial para la velocidad

v( t )

de una masa

m que

se hunde en agua que le da una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y también ejerce una fuerza boyante hacia arriba cuya magnitud está dada por el principio de Arquímedes. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. Cuando una masa m que se hunde en fluido, este experimenta una resistencia que se opone a su movimiento, al mismo tiempo esta experimenta una fuerza de flotación producto del volumen desplazado por el cuerpo y por lo tanto la única fuerza a favor del cuerpo vendría a ser la fuerza de atracción gravitacional. m

dv  mg  kv 2  V dt

b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Separando variables e integrando: dv m  mg  kv 2  V dt dv k   g  v2  V dt m m dv  dt  c   2 k 2  ( g  V ) ( v) m m ………………...……(1) Realizando un cambio de variable:

u

k v m

du k  dv m dv  Reemplazando en (1):

m du k



m du k ( g m k

 m

V )  (u ) 2

2

  dt  c

du ( g

 m

V )  (u ) 2

2

  dt  c

  u g V  m 1 m  ln( k    u g V 2 g V m m 

Reemplazando u:  k  v g V  m 1 m  ln( m k   k  v g V 2 g V m m m 

  )  t  c   

  )  t  c   

k  v g V m )  2( kmg  k V )(t  c) ln( m m k  v g  V m m k   v g V 2 m m  e  k  v g V m m

kmg  k V m

  ( t  c ) 

 kmg  k V m

2  k  k  v g V ( v  g  V )(e  m m m m  kmg  k V m

2  k v(1  e  m

( g  v

 m

  ( t  c ) 

V )(1  e

)  ( g 

 kmg  k V 2  m 

 kmg  k V m

2  k ( )(1  e  m

 m

  ( t  c ) 

  ( t  c ) 

V )(1  e

  ( t  c ) 

 kmg  k V 2  m 

)   ( t  c ) 

)

)

)

c) Determine la velocidad limite, o terminal, de la masa hundida.

v(

 kmg  k V mg  V ) tanh(  k m 

  (t  c)) 

v(

 kmg  k V mg  V ) tanh(  k m 

  t  c1 ) 

v( t )  (

 kmg  k V mg  V ) tanh(  k m 

  t  c1 ) 

Cuando un cuerpo alcanza la velocidad terminal, se desplaza a velocidad constante y por lo tan tanto la aceleración es igual a 0 , es dv 0 decir dt .

dv  mg  kv 2  V dt m(0)  mg  kv 2  V

m

0  mg  kv 2  V kv 2  mg  V v

mg  V k

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 3. Colector solar: dy  x  x 2  y 2  y La ecuación diferencial dx describa la forma de una curva plana c que refleja los haces de luz entrantes al mismo punto y podría ser un modelo para el espejo de un telescopio reflector, una antena de satélite o un colector solar. Hay varias formas de resolver esta ED.

a. Compruebe que la ED es homogénea. Demuestre que la sustitución dx udu  y  ux produce x u 2  1(1  u 2  1) utilice un SAC (u otra sustitución adecuada) para integrar el lado izquierdo de la ecuación. Muestre que la curva c debe ser una parábola con foco en el origen y simétrico respeto al eje x.

dy  x  x 2  y 2  dx y dy x   dx y

x2 y 2  y2 y2

Como son ecuaciones homogéneas, entonces la escribimos en función

dy gy ( ) dx x : de dy x x    ( )2  1 dx y y y x y  ux dy du ux dx dx

u

Reemplazamos u: 

x x du  ( )2  1  u  x y y dx

1 1 du   ( )2  1  u  x u u dx 1 u2 1 du ( )2  1  ( )x u u dx dx du  x 1 2 u2 1 ( ) 1  ( ) u u dx du  2 x u 1 u2 1 ( ) u2 u dx udu  2 x u  1  (u 2  1) dx udu  2 x u  1(1  u 2  1)

Separando variables e integrando: dx udu  2 x u  1(1  u 2  1)



udu u 2  1(1  u 2  1)



dx c x

………………………. (1)

Realizando un cambio de variable:

w  1 u2 1 udu dw  u2 1 du 

 u2 1 dw u

Reemplazando en:

  u 2  1  dx  u 2  1(1  u 2  1)  u dw   x  c     u 2  1  dx u  u 2  1(w)  u dw   x  c   dw dx  w   x c  ln( w)  ln( x)  c u

 ln(1  u 2  1)  ln( x)  c u 2  1  1  x  ec u  (1  x  ec ) 2  1 u( x )  (1  x  ec ) 2  1 b. Demuestre que la ecuación diferencial puede también resolverse por medio de la sustitución u  x  y . 2

2

dy  x  x 2  y 2  dx y

Asiendo que u  x  y , despejando y y derivando implícitamente con respecto a x: 2

2

u  x2  y 2 y  u  x2 du dy .2 x dx   2 dx 2 u  x 2 u  x2 Reemplazando:

du  x  x2  y 2 .2 x dx   2 y 2 ux 2 u  x2 du x  u .2 x dx   2 2 ux 2 ux 2 u  x2 1 du x  u  x  2 dx du dx  2 u Separando variables e integrando: du dx  2 u du  dx   2 u  c

x  u c u  xc u  ( x  c)2 u  x 2  2 xc  c 2

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 4. TSUNAMI: a) Un modelo simple para la forma de un tsunami o maremoto, está dado dw  w 4  2w por dx donde

w( x )

˃ 0 es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Examinando, encuentre todas las soluciones constantes de la ED. Modelo: dw  w 4  2w dx ,

w(0)

˃0

w( t0 )  w0 De acuerdo al enunciado:

w( t )  w

es la altura de la ola expresada como una función de su posición respecto a un punto en altamar. Nos pide: Una gráfica de las soluciones que satisfacen la condición inicial

w(0)  2 Si w  cte entonces

dw 0 dx

dw  w 4  2w dx 0  w 4  2w w0 4  2w  0 w2

b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Un SAC puede ser útil para la integración. dw  w 4  2w dx

Separando variables e integrando:

w

dw  dx  c 4  2w  ……..…………………….. (1)

Realizando un cambio de variable: t 2  4  2w

t  4  2w dt 2  dw 2 4  2w dw   4  2wdt Además: t 2  4  2w w

Reemplazando en (1):

4  t2 2

 4  2 wdt   dx  c 4  t2 ( )( 4  2 w ) 2 2dt  4  t2  x  c dt 2 2  xc t 4 1 t2  2  ln( )  x  c 4 t2  1 t2 ln( )  xc 2 t2 t 2 ln( )  2 x  2c t2 t 2  e 2( x  c ) t2 t  2  t (e 2( x  c ) )  2(e 2( x  c ) )



t (1  e 2( x  c ) )  2(1  e 2( x  c ) ) t

2(1  e 2( x  c ) ) (1  e 2( x  c ) )

t 

2(1  e 2( x  c ) ) (e 2( x  c )  1)

Reemplazando t :  4  2 w  2 tanh( x  c) 4  2 w  4(tanh( x  c)) 2 1

w  (tanh( x  c)) 2 2

w  1  (tanh( x  c)) 2 2 w  (sec h( x  c)) 2 2 w  2(sec h( x  c)) 2

w( x )  2(sec h( x  c))2

………………………………..(2)

c) Use un programa de graficación para obtener las gráficas de las soluciones que satisfacen la condición inicial Hallando c:

w(0)  2

.

w( x )  2(sec h( x  c)) 2 w(0)  2(sec h(0  c)) 2 2  2(sec h(0  c)) 2 2  2(sec h(0  c)) 2 1  sec h(0  c) c  arc sec h(1) c0

Reescribiendo (2):

w( x )  2(sec h( x  c))2

w( x )  2(sec h( x  0))2 w( x)  2(sec h( x))2

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 5. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razón con que decrece su intensidad I es proporcional a I (t) , donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies debajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial I 0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies debajo de la superficie? dI  kI dt I (0)  I 0

I0 4 I (15)  ? Hallamos la ecuación diferencial: I (3) 

dI  kI dt dI  kdt I ln I  kt  c I (t )  Ce kt Hallamos las constantes: I (t )  Ce kt I (0)  I 0  Ce k (0) C  I0 I (3)  I 0 e3k 

I0 4

k  0.462

Hallamos I(15):

I (t )  I 0 e 0.462t I (15)  I 0 e0.462(15) I (15)  0.000978I 0 Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro 6.Cuando el interés es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una razón proporcional a la cantidad presente S al tiempo t, es decir, s / t  rS donde r es la razón de interés anual. Obteniendo la ecuación: dS  Sr dt dS  rdt S ln S  rt  c

S (t )  Ce rt Hallando la constante:

S (0)  Cer (0)  S0 C  S0  5000 r  5.75% a. Calcule la cantidad reunida al final de 5 años cuando se depositan 3 $5000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5 % de interés anual 4 compuesto continuamente.

S (t)  Cer (t) S (5)  5000e0.0575(5) S (5)  6665.452 b. ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? S (t)  Cer (t) S (t)  5000e0.0575(t)  10000 t  12.055

Libro de referencia: Dennis G. Zill Respuesta correcta, dada por el libro ECUACION DE LA ONDA: 1. Resolver la ecuación de la onda: u  0, t   u  , t   0 utt  100uxx

y  x, 0   x    x  yt  x, 0   0

0 x  t 0

Las condiciones del problema son: u  0, t   0  C.F .    u  , t   0 

 y  x, 0   x   x   C.I .     yt  x, 0   0  Entonces procedemos a hallar las incógnitas para la ecuación: 2   n  An    x  x 2  sin  x  dx 0     2  An     x sin  nx  dx   x 2 sin  nx  dx   0   0 Integraremos por partes ambos términos. La integración del primer término es la siguiente:





0

 x sin  nx  dx  m x

dm   dx

dn  sin  nx  dx









0

0

n

cos  nx  n

 cos  nx   x  cos  nx      dx n  n 0 0 

 x sin  nx  dx   





 x     x sin  nx  dx    cos  nx     2 sin  nx    n 0  n 0

Procederemos a integrar el segundo término:





0





0

x 2 sin  nx  dx  m  x2

dm  2 xdx

dn  sin  nx 

n

cos  nx 

 2x  x2  x 2 sin  nx  dx    cos  nx     cos  nx  dx  n 0 0 n m  2x dm  2dx

dn 





0

n



cos  nx  n

dx









n

sin  nx  n2

 2  x2   2x  x sin  nx  dx    cos  nx     2 sin  nx     2 sin  nx  dx 0 0 n  n 0  n 2



 x2   2x  2  x sin nx dx      cos  nx     2 sin  nx     3 cos  nx   0 0  n 0  n 0  n Juntando ambos términos:  2  An     x sin  nx  dx   x 2 sin  nx  dx    0 0  

2



 2  x  x2 2x 2 An    cos  nx   2 sin  nx   cos  nx   2 sin  nx   3 cos  nx    n n n n n 0 Reemplazando los valores en la variable x: Valores impares en n: 2 2 2 2  2 2 An   0  0 3   0 0 0 0 3   n n n   n 

An 

8  n3

Valores pares en n: 2  2 2 2  2 2 An    0  0 3   0 0 0 0 3   n n n   n  An  0

Hallando la incógnita Bn: 2   n  Bn  2  0sin  x  dx 0  n    Bn  0 Formamos la ecuación de la onda:   n c   n c    n  u  x, t     An cos  t   Bn sin  t   sin  x            8  u  x, t     3 cos 10nt   sin  nx   impar   n 2. Resolver la ecuación de la onda sujeto a las condiciones :

d 2u d 2u  25 0 dt 2 dx 2 u (0, t )  0, u ( , t )  0 u ( x, 0)  0, ut ( x, 0)  sen( x) Teniendo las condiciones pasaremos a hallar cada una de nuestras incognitas: 2  n x An   0sen( )dx





0

An  0 Bn 

2





0

sen( x) sen(

n x

)dx n  2  Bn  2  sen( x) sen(nx)dx n 0 Por propiedad : 2 1 Bn  2  (cos( x  nx)  cos( x  nx))dx n 0 2 1  Bn  2  (cos( x  nx)  cos( x  nx))dx n 0 2

Nos quedan dos condiciones:

1   Bn  2  (cos( x  nx)  cos( x  nx))dx ; n  1   n 0   B  1  1  cos(2 x)dx ; n 1 n   2 0  Integrando tenemos:

Cuando n  1 : 

1  sen((1  n) x) sen((1  n) x)  Bn  2    n  1 n 1 n 0 Bn  0 Cuando n  1 : 

1  sen(2 x)  Bn  2  x     2 0 1  sen(2 ) sen(0)  Bn  2    0    2 2  1 Bn 



Nuestras condiciones quedarían: 0; n  1  Bn   1 ; n 1   Entonces reemplazando en nuestra ecuación quedaría:  1  u ( x, t )  0    sen  5nt   sen(nx)  n2    1  u ( x, t )    sen  5nt   sen(nx)  n2   3. Determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el problema con valores iniciales y en la frontera dado. d 2u d 2u  , 0  x  1, t  0 dt 2 dx 2 u (0, t )  u (1, t )  0 , t  0 u ( x, 0)  x(1  x) , 0  x  1 du ( x, 0)  sen(7 x), 0  x  1 dt

.

Solución de la forma:

utt  c 2u xx ( x, t ), 0  x  L u (0, t )  u ( L, t )  0 u ( x, 0)  f ( x) u  x, t  





  A n 1

n

cos(

ut ( x, 0)  g ( x) n c n c  n x t )  Bn sen( t )  sen( ) L L L 

2 n x f ( x)sen( ) dx  L0 L L

An  Bn 

L

2 n L

u  x, t  

 g ( x)sen( 0

n x ) dx L

 n c  n x n c  n x   A cos( t ) sen ( )  Bn sen( t )  sen( ) n      L L L L   n 1  n 1  

Sacando datos de la condiciones de frontera:

L 

c2

f ( x)  x (  x) 2

g ( x)  0

Calculando las constantes de la solución: 1

An 

2 x(1  x) sin(n x)dx 1 0

1 1  An  2   x sin(n x)dx   x 2 sin(n x)dx  0 0  1

1

1

 x sin(n x)dx   n cos(n )   n (1)

n

0

1

x

2

1 2  1 1  cos(n )  2 2   cos(n )   n n   n n  1 2 n  (1) n  3 3  1  1  n n 

sin(n x)dx  

0

An  

4  n 1  1 3   n 3

0, n par  An   8  n3 3 , n impar

1

Bn 

2 sin(7 x) sin(n x)dx n 0

sin(a) sin(b)  1 2  cos( a  b)  cos( a  b)  Bn 

1  1    cos(7 x  n x)  cos(7 x  n x)dx  n  0 

n7 1 Bn  7

1 0 1  cos(14 x)dx  7 1

1  sin(14 x)  1  14   7 0 1

n7 1  sin(7 x  n x) sin(7 x  n x)  Bn    n  7  n 7  n 0 1  sin(7  n ) sin(7  n )  Bn   n  7  n 7  n  1

1  sin(7 ) cos(n )  cos(7 ) sin( n ) sin(7 ) cos( n )  cos(7 ) sin(n )    n  7  n 7  n Bn  0

Bn 

0, n  7  Bn   1  7 , n  7

Reemplazando en la ecuación: u ( x, t ) 

 1 8 sin(7 t )sin(7 x)   cos((2k  1) t ) sen((2k  1) x) k  0 7 ((2k  1) )3

Libro de referencia: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera Nagle,saff,snider Respuesta correcta, dada por el libro

4. La cuerda pulsada. Una cuerda vibrante queda descrita mediante el problema con valores iniciales y en la frontera (1)-(4).Si la cuerda se levanta hasta una altura ho x  a y se suelta , entonces las condiciones iniciales son

0  x  a, ho x / a, f (x)   ho  L  x  /  L  a  , a  x  L y g (x)  0: Determine una solucion formal primero notamos que este problema es consistente porque: g (0)  0  g (L) y f (0)  0  f(L) Resolviendo :  n  n x  g (x)  0   bn sin   L  L  n 1   n t   n x  u ( x, t )   an cos   sin    L   L  n 1 L a L 2 2  h0 Lx  n x   n x   n x   an   f  x  sin  dx  x sin dx  h sin    0     dx  L0 La 0 La  L   L   L   a a L L 2h0  1 L 1  n x   n x   n x   x sin dx  sin d x  x sin         dx    L a 0 La a La a  L   L   L   usando la integracion por partes



2 xL  n x   n x  2 L  n x   x sin  L  dx   n cos  L   L n2 2 sin  L 

Libro de referencia: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de frontera Nagle,saff,snider Respuesta correcta, dada por el libro

RECOMENDACIONES Para desarrollar tal capacidad en los estudiantes tanto éstos como los profesores deben ser protagonistas del aprendizaje por lo cual se entiende la enseñanza de manera consciente y planificada, tener conocimiento de las reglas generales y especiales de la heurística para la solución de problemas, o sea, impulsos o indicaciones que faciliten el descubrir, hallar, inventar vías de

solución a problemas así como el reconocimiento de aquellos conocimientos de uso indispensable para alcanzar el éxito. A lo largo del tratamiento del desarrollo de temas se aborda la resolución de los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y segundo grado: 

Ecuaciones de variables separadas, de variables separables y reducibles a éstas.



Ecuaciones exactas.



Ecuaciones reducibles a exactas mediante la multiplicación por un factor integrante que depende de una sola variable.



Ecuaciones lineales. Propuesta de metodología para abordar la resolución de ecuaciones diferenciales de 1er orden y 1er grado.