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LECCIÓN 9: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A EXACTAS.

JUSTIFICACIÓN

En esta lección, centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones diferenciales que no siendo exactas pueden transformarse en exactas, multiplicando la educación diferencial por una función conveniente denominada factor integrante.

OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1- Identificar si la función dada no es exacta.

2- Determinar un factor integrante (esto es, determinar una función tal que, al multiplicar la ecuación diferencial dada por dicha función, la ecuación diferencial se transforme en exacta.

3- Obtener la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden reducible a exacta

PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE.

INTRODUCCIÓN:

¿Qué aspectos estudiamos en la lección 8?

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♦ Estudiamos algunos conceptos relacionados con la teoría de diferenciales de funciones de dos variables.

¿Cuáles fueron esos conceptos? ♦ Las derivadas parciales de una función, de diferencial total, la diferencial exacta. Bien. Si por ejemplo les doy F(x,y) = 2yx2 + xe-y ¿Cuáles son sus derivadas parciales de primer orden? ♦ Las derivadas parciales de primer orden para la función dada son ∂F( x , y) = 4 yx + e − y ∂x

∂F( x, y) = 2x 2 − xe − y ∂y

Muy bien. ¿Quién es la diferencial total de F(x,y)? ♦ La diferencial total viene dada por la ecuación ⎡ ∂F( x, y) ⎤ ⎡ ∂F( x , y) ⎤ dx + ⎢ dF (x, y) = ⎢ ⎥ dy ⎥ ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂y ⎦ por lo tanto, para la función F(x,y) = 2yx2 + xe-y la diferencial total es dF(x,y) = ( 4 yx + e − y ) dx + ( 2 x 2 − xe − y ) dy

¿Cómo se denomina la expresión ( 4 yx + e − y ) dx + ( 2 x 2 − xe − y )dy? ¿por qué?

♦ La expresión ( 4 yx + e − y ) dx + ( 2 x 2 − xe − y )dy, se denomina diferencial exacta ya que representa la diferencial total de la función F(x,y) = 2yx2 + xe-y

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Correcto. ¿Qué otro aspecto analizamos? ♦ Una proposición, la cual establece un criterio, que nos permite determinar cuando la expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy, es una diferencial exacta.

Muy bien. ¿Qué dice esa proposición? ♦ La proposición dice que si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas y diferenciables, entonces P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, si y sólo si ⎛ ∂P( x , y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

¿Qué nos permite llegar a esa conclusión? ♦ El hecho de que si P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, entonces ⎛ ∂F( x, y) ⎞ existe F(x,y), tal que ⎜ ⎟ = P(x,y) ⎝ ∂x ⎠

⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = Q(x,y) además, como ⎝ ∂y ⎠

P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas y diferenciables, entonces las derivadas cruzadas de segundo orden de F(x,y) son iguales, esto es:

∂ 2 F( x, y) ∂P( x, y) ∂ 2 F( x, y) ∂Q( x, y) = = = ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂x ⎛ ∂P( x, y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞ ⎟⎟ = ⎜ de aquí que ⎜⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

Excelente. ¿Qué otro aspecto estudiamos en esa lección? ♦ Estudiamos los pasos a seguir para obtención de la solución general de una educación diferencial exacta.

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¿Cómo chequean si la ecuación diferencial dada P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, es una ecuación diferencial exacta? ♦ Probando que la expresión P(x,y) dx + Q(x,y) dy es una diferencial exacta, es ⎛ ∂P( x , y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞ ⎟⎟ = ⎜ decir, que satisface la proposición: ⎜⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

Muy bien. ¿Podrían mencionarme los pasos a seguir en la obtención de la solución general? ♦ Suponer que existe una función F(x,y) tal que ⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = Q (x, y). ⎝ ∂y ⎠

⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎜ ⎟ = P(x,y) ⎝ ∂x ⎠

♦ Tomar una de esas dos derivadas parciales e integrarla parcialmente, digamos ⎛ ∂F( x, y) ⎞ por ejemplo: ⎜ ⎟ = P (x, y) se integra parcialmente respecto de "x", en cuyo ⎝ ∂x ⎠

caso se asume “y” como constante

∫

∂F( x , y) ∂x = ∂x

x

x

∫ P(x, y) dx

⇒

y = ctte

F(x,y) =

∫ P(x, y) dx + h (y)

y = ctte

♦ La función F(x,y) obtenida en el paso anterior se deriva parcialmente respecto de “y”: ∂F( x , y) = ∂y

⎡ x ⎤ ⎛ dh ( y) ⎞ ∂ ⎢ ⎟ P( x , y)dx ⎥ + ⎜⎜ ⎥ ⎝ dy ⎟⎠ ∂y ⎢ ⎣ y =ctte ⎦

∫

♦ Este resultado se compara con Q (x, y)

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⎤ ⎡ x ⎛ dh ( y) ⎞ ∂ ⎢ ⎟ = Q (x, y) P( x , y)dx ⎥ + ⎜⎜ ⎥ ⎝ dy ⎟⎠ ∂y ⎢ ⎦ ⎣ y =ctte

∫

⎛ dh ( y) ⎞ ⎟⎟ se despeja ⎜⎜ ⎝ dy ⎠

⎡ x ⎤ ⎛ dh ( y) ⎞ ∂ ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ = Q (x, y) P( x , y)dx ⎥ ⎢ ⎥ ∂ y dy ⎝ ⎠ ⎣ y =ctte ⎦

∫

y luego se integra para conseguir h(y) h (y) =

∫

⎡ ⎞⎤ ⎛ x ∂ ⎢Q( x , y) − ⎜ P( x , y)dx ⎟⎥ dy + C ⎟⎟⎥ ⎢ ∂y ⎜⎜ ⎠⎦ ⎝ y =ctte ⎣

∫

♦ Este resultado se sustituye en la función F(x,y) obtenido en el segundo paso x

F(x,y) =

∫ P(x, y) dx + ∫

x = ctte

⎡ ⎞⎤ ⎛ x ⎢Q( x , y) − ∂ ⎜ P( x , y)dx ⎟⎥ dy + C ⎟⎟⎥ ⎢ ∂y ⎜⎜ y = ctte ⎠⎦ ⎝ ⎣

∫

♦ Luego se concluye que la función x

∫ P(x, y) dx + ∫

x = ctte

⎡ ⎞⎤ ⎛ x ⎢Q( x , y) − ∂ ⎜ P( x , y)dx ⎟⎥ dy + C = 0 ⎟⎟⎥ ⎢ ∂y ⎜⎜ ⎠⎦ ⎝ y =ctte ⎣

∫

es la solución general de la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0.

Vamos a estudiar en esta lección un tipo de ecuación diferencial de la forma: P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 ⎛ ∂P( x, y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞ ⎟⎟ ≠ ⎜ la cual no es exacta, es decir satisface ⎜⎜ ⎟, ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

pero puede

transformarse en una ecuación diferencial exacta multiplicando por una función

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denominado factor integrante y denotada µ (x, y), la cual explicaremos como se determina.

Considérese el siguiente ejemplo (3x + 6xy + y2) dx + (2x2 + 3xy) dy = 0 e identifiquemos P (x, y) = 3x + 6xy + y2 ⎛ ∂P( x, y) ⎞ ⎟⎟ y ¿qué se obtiene al calcular ⎜⎜ ⎝ ∂y ⎠

Q (x, y) = 2x2 + 3x ⎛ ∂Q( x , y) ⎞ ⎜ ⎟? ⎝ ∂x ⎠

♦ Se obtiene ∂P( x, y) = 6x + 2 y ∂y

∂Q( x , y) = 4 x + 3y ∂x

¿Será la ecuación diferencial dada una ecuación diferencial exacta? ⎛ ∂P( x, ) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞ ⎟⎟ ≠ ⎜ ♦ Por supuesto que no, ya que ⎜⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠

Muy bien.

Consideren la función µ(x) = x, si multiplican la ecuación

diferencial dada por la función µ(x), ¿Qué obtienen? ♦ Se obtiene la ecuación diferencial. (3x + 6xy + y2) dx + (2x2 + 3xy) dy = 0

¿Es esta una ecuación diferencial exacta? ♦ Para verificarlo, debemos probar que si identificamos

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M (x, y) = 3x + 6xy + y2

N (x, y) = 2x2 + 3xy

⎛ ∂M ( x, y) ⎞ ⎛ ∂N( x , y) ⎞ ⎟⎟ = ⎜ entonces, ⎜⎜ ⎟. ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ♦ En efecto, al calcular las derivadas ∂N( x, y) = 6x 2 + 6xy ∂y

∂M ( x, y) = 6 x 2 + 6xy ∂y

resultan iguales, por lo tanto, la ecuación diferencial (3x2 + 6x2y + 3xy2) dx + (2x3 + 3x2y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta.

Correcto. ¿Qué debemos hacer para conseguir la solución general de esa ecuación diferencial? ♦ Debemos determinar una función F(x,y), tal que: ⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = N(x,y) = 2x3 + 3x2y ⎝ ∂y ⎠

⎛ ∂F( x , y) ⎞ 2 2 2 ⎜ ⎟ = M ( x , y) = 3x + 6x y + 3xy ⎝ ∂x ⎠

Bien. ¿Qué paso deberá realizarse a continuación? ♦ A continuación debemos integrar parcialmente respecto de “y” la derivada ⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎟⎟ considerando “x” como constante. Así parcial ⎜⎜ ⎝ ∂y ⎠

∫

⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∂y = ⎝ ∂y ⎠

y

∫ (2x

3

+ 3x 2 y) dy

x = ctte

F (x, y) = 2x3y +

3x 2 y 2 + h (x) 2

229

Exacto. ¿Qué debemos hacer para obtener h (x)? ♦ Para obtener h (x) debemos derivar parcialmente respecto de x la función F(x,y) obtenida en el paso anterior, ∂F( x , y) dh ( y) = 6x2y + 3xy2 + ∂y dy

¿Esta derivada, con quién la comparan? ♦ La comparamos con la función M(x,y) 6x2y + 3xy2 + simplificando

dh ( x ) = M (x, y) = 3x2 + 6x2y + y2 dx

dh ( y) = 3x2 dy

Muy bien. ¿Cómo obtienen h (x)? ♦ h (x) se obtiene integrando dh(x) = 3x2 dx

∫

∫

dh ( x ) = 3x 2 dx ⇒ h (x) = x3 + C

¿Qué deben hacer con esta función h (x)?

♦ Debe sustituirse en F (x, y) = 2x3y +

3x 2 y 2 + h (x), obteniéndose 2

3x 2 y 2 + x3 + C F(x,y) = 2x y + 2 3

♦ Ya tienen la función F(x,y). ¿Qué concluyen?

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♦ Concluimos que la función F(x,y) = 2x3y +

3x 2 y 2 + x3 + C = 0 es la solución 2

general de la ecuación diferencial (3x2 + 6x2y + y2) dx + (2x2 + 3x2 y) dy = 0

3x 2 y 2 ¿Cómo pueden probar que la función F(x,y) = 2x y + + x3 + C = 0 es 2 3

efectivamente la solución general de la ecuación diferencial dada? ♦ Determinando a diferencial total de la función F (x, y) y verificando que resulta exactamente igual a la ecuación diferencial que resolvimos. Recordando que la diferencial total de una función viene dada por la ecuación ⎛ ∂F( x, y) ⎞ dF(x,y) = ⎜ ⎟ dx + ⎝ ∂x ⎠

⎛ ∂F( x, y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ dy ⎝ ∂y ⎠

al efectuar los cálculos obtenemos ∂F( x , y) = 6x2y + 3x2y + 3x2 ∂x

∂F( x , y) = 2x3 + 3x2y ∂y

por lo tanto, la diferencial total es dF(x,y) = (6x2y + 3x2y + 3x2) dx + (2x3 + 3x2y) dy la cual coincide con la diferencial exacta dada en la ecuación diferencial.

Abran sus guías en la página 37 y leamos la definición que allí aparece FACTOR INTEGRANTE Considere la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 la cual no es exacta. Si existe una función µ (x,y) tal que la ecuación diferencial µ (x,y) P(x,y) dx + µ (x,y) Q(x,y) dy = 0 es exacta, entonces se dice que la función µ (x,y) es un factor integrante para la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0

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En el ejemplo que acabamos de hacer, yo les indiqué quién era µ (x, y) ¿Cómo hacer para determinar algún factor integrante µ (x, y) correspondiente a una ecuación diferencial no exacta P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 ? Hemos dicho que si µ(x,y) es un factor integrante para la ecuación diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 entonces de acuerdo con la definición se tiene que µ (x,y) P(x,y) dx + µ(x,y) Q(x,y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta. ¿Cómo verifican que efectivamente la ecuación µ (x,y) P(x,y) dx + µ(x,y) Q(x,y) dy = 0 es exacta? ♦ Se verifica chequeando que: ∂ ∂ [µ (x, y) P (x, y)] = [µ (x, y) Q (x, y)] ∂y ∂x

¿Qué resultados obtienen al calcular esas derivadas parciales? ♦ Se obtiene: ⎡ ∂µ( x, y) ⎤ ⎡ ∂P( x, y) ⎤ ∂ [µ (x, y) P (x, y)] = P (x, y) ⎢ + µ (x, y) ⎢ ⎥ ⎥ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ⎣ ∂y ⎦ ∂ ⎡ ∂µ( x, y) ⎤ ⎡ ∂Q( x , y) ⎤ [µ (x, y) Q (x, y)] = Q (x, y)] ⎢ + µ (x, y) ⎢ ⎥ ∂x ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎥⎦

Al sustituir en la condición de exactitud ¿Qué les queda? ♦ Queda

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⎡ ∂µ( x, y) ⎤ ⎡ ∂P( x, y) ⎤ ⎡ ∂µ( x, y) ⎤ ⎡ ∂Q( x , y) ⎤ P(x,y) ⎢ + µ(x,y) ⎢ + µ(x,y) ⎢ = Q(x,y) ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎥⎦ ⎣ ∂y ⎦ ⎣ ∂y ⎦

¿Se puede simplificar de alguna forma esta igualdad? ♦ Podemos simplificarla, sacando factor común µ(x,y) ⎡ ∂P( x, y) ∂Q( x, y) ⎤ ⎡ ∂µ( x, y) ⎤ ⎡ ∂µ( x, y) ⎤ − = Q(x,y) ⎢ - P(x,y) ⎢ µ(x,y) ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂y ⎣ ∂y ⎦

Muy bien. Esta ecuación que hemos obtenido, es una ecuación diferencial en derivadas parciales, la cual no estamos, aún en condiciones de resolver. Para poderla resolver nos tendremos que valer de cierto artificio matemático. Aquí tendremos que la función µ(x,y) puede depender de v = x, v = y, v = x + y, v = x – y, v = xy, v = x2 + y2, es decir, µ(x,y) = f(v) ¿Qué se obtiene al calcular

∂ µ( x , y) ∂ µ ( x , y) ? y ∂y ∂x

♦ Se obtiene ∂ f ( x , y) ∂ v( x , y) ∂ v( x , y) ∂ µ( x , y) = = f ' (v) ∂x ∂v ∂x ∂x

∂ µ( x , y) ∂ f ( x , y ) ∂ v( x , y) ∂ v( x , y) = = f ' (v) ∂y ∂y ∂y ∂v

Al sustituir en la última ecuación ¿Qué resulta? ♦ Resulta que ⎡ ∂P( x, y) ∂Q( x, y) ⎤ ∂ v( x , y) ∂ v( x , y) - P(x,y) f '(v) − = Q(x,y) f '(v) f(v) ⎢ ⎥ ∂y ∂x ⎦ ∂x ⎣ ∂y

233

¿Se podrá simplificar esta igualdad? ♦ Sí. Sacando sacar factor común f '(v) ⎡ ∂P( x, y) ∂Q( x, y) ⎤ f(v) ⎢ − = f '(v) ∂x ⎥⎦ ⎣ ∂y

⎡ ⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤ ⎛ ∂v( x, y) ⎞ ⎟⎟⎥ ⎟ − P( x, y)⎜⎜ ⎢Q( x, y)⎜ ∂ ∂ x y ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎣

Separando las variables ⎡ ∂P( x, y) ∂Q( x, y) ⎤ − ⎢ y ∂x ⎥⎦ f ' ( v) ⎣ = f ( v) ⎡ ⎛ ∂v( x , y) ⎞⎤ ⎛ ∂v( x , y) ⎞ ⎟⎟⎥ ⎟ − P( x, y)⎜⎜ ⎢Q( x , y)⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎣

Muy bien. Sabrían decirme ¿De qué variable queda dependiendo el cociente?

⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x, y) ⎤ − ⎢ y ∂x ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤ ⎛ ∂v( x, y) ⎞ ⎟⎟⎥ ⎟ − P( x, y)⎜⎜ ⎢Q( x, y)⎜ ∂ x y ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ♦ Queda dependiendo sólo de “v”

Correcto, llamemos g(v) ese cociente ⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x, y) ⎤ − ⎢ y ∂x ⎥⎦ ⎣ g(v) = ⎡ ⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤ ⎛ ∂v( x, y) ⎞ ⎟⎟⎥ ⎟ − P( x, y)⎜⎜ ⎢Q( x, y)⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎣

¿Será posible conseguir la función f(v)?

234

♦ La función f(v) podemos obtenerla integrando la última ecuación

∫

∫

f ' ( v) dv = g ( v) dv f ( v)

resolviendo la integral a la izquierda de la igualdad, la cual es inmediata, se tiene que ln f (v) =

∫ g(v) dv

de aquí se despeja f(v) aplicando "e" a ambos lados

f ( v) = e ∫

Excelente.

Si

g ( v) dv

devuelven el cambio de variable ¿quién será el factor

integrante µ (x, y)? ♦ El factor integrante µ (x, y) será g ( v ) dv µ (x, y) = e ∫

donde ⎡ ∂P( x , y) ∂Q( x, y) ⎤ − ⎢ y ∂x ⎥⎦ ⎣ g(v) = ⎡ ⎛ ∂v( x, y) ⎞⎤ ⎛ ∂v( x, y) ⎞ ⎟⎟⎥ ⎟ − P( x, y)⎜⎜ ⎢Q( x, y)⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎣

Todo esto se resume en el teorema que aparece en sus guías en la página 37 TEOREMA: La ecuación diferencial P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, admite un factor integrante de la forma µ (x,y) = e ∫

g ( v ) dv

si y solo si g(v) viene dado por

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∂P ( x , y ) ∂Q ( x , y ) − ∂x ∂y g( v ) = ⎛ ∂v ( x , y ) ⎞ ⎛ ∂v ( x , y ) ⎞ ⎟⎟ Q( x , y ) ⎜ ⎟ − P( x, y ) ⎜⎜ ∂ y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ (v puede ser: x, y, x+y, x-y, x.y x2+y2)

Resolvamos ahora el Problema 1 que tienen en sus guías en la página 38 Disponen de 10 minutos para ello. Trabajen en forma individual

PROBLEMA 1:

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial: (x2y – y3) dx + (x3 + 3xy2) dy = 0

¿Cuál será el primer paso que deben realizar? ♦ Lo primero que debemos hacer es chequear si la ecuación diferencial dada es o no exacta, para lo cual debemos calcular

∂P( x , y) , ∂y

∂Q( x, y) y compararlas, donde ∂x

P (x, y) = x2y – y3 Q (x, y) = x3 + 3xy2

Muy bien. ¿Qué obtienen?

♦ Obtenemos

∂P( x , y) ∂y

¿Qué concluyen?

= x2 – 3y2

∂Q( x , y) = 3x2 + 3y2 ∂x