• Author / Uploaded
• alter147

• Categories
• Ecuaciones
• Ecuaciones diferenciales
• Cálculo
• Álgebra
• Conceptos matemáticos

Citation preview

ECUACIONES DIFERENCIALES Método de Variación de Parámetros

Ing. Carlos Rojas Serna

MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS 

Consideremos la ecuación diferencial lineal completa

donde



Supongamos que la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea viene dada por



Donde

c1 ( x), c2 ( x),...cn ( x)

son funciones en la variable x que se determinan resolviendo el sistema

Tomado de: http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/P06EDO.pdf

El proceso se resume en los siguientes pasos: 1.

Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de y’’ sea uno.

2.

Resolvemos la ecuación homogénea y obtenemos las raíces de la ecuación auxiliar y su función complementaria.

3.

Se calcula el wronskiano.

4.

Calculamos el wronskiano de cada identificación, obteniendo u’ y

5.

Integramos para obtener u, v y la solución particular.

6.

Para obtener la solución general, sumamos la solución particular mas la complementaria.

v’.

Solución complementaria: 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + 𝑐3 𝑦3 + ⋯ … . . +𝑐𝑛 𝑦𝑛 Solución Particular: 𝑦𝑝 = 𝑐1 𝑥 𝑦1 + 𝑐2 𝑥 𝑦2 + 𝑐3 𝑥 𝑦3 + ⋯ … . . +𝑐𝑛 𝑥 𝑦𝑛 Donde:

𝑐𝑖 𝑥 =

𝑉𝑖 (𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑊(𝑦1 ,….,𝑦𝑛 )

Donde: 𝑉𝑖 𝑥 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑤𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑒𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 i por 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 columna unitario de la forma:

0 0 . . . . 1

Método • En el método para resolver una ecuación como la siguiente por variación de parámetros

a2 y´´a1 y´a0 y  g ( x)

• Primero se encuentra la función complementaria

yc  c1 y1  c2 y2 • Luego se calcula el wronskiano

W ( y1 ( x), y2 ( x))

• Se escribe la ecuación en la forma estándar

y´´ Py´Qy  f ( x) para determinar f(x) Ahora se encuentra u1 y u2 al integrar: W1 y2 f ( x ) u´1   W W

W2 y1 f ( x) u´2   W W

• Donde

W 

y1 y2 y´1 y´2 W2 

W1 

0

y2

f ( x) y´2

y1 0 y´1 f ( x)

Soluciones • Una solución particular puede ser:

y p  u1 y1  u2 y2 • La solución general de la ecuación es:

y  yc  y p

Ejemplo • Se encontrara la solución general de la siguiente ecuación diferencial.

y´´ y  cos( x)

Paso 1 • Se resuelve la ecuación homogénea

• La ecuación característica es

• La solución de Yc es:

Paso 2 • Ahora se plantea el sistema con la ecuación para obtener u1 y u2.

Paso 3 • Se sustituyen los valores para calcular u´1 y u´2

Paso 4 • Se integra u1 y u2

Paso 4 • Reemplazamos en la solución particular

Solución • Solución general de la ecuación

Ejemplo: Resolver

y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)

Solucion de y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex) y’’ + 3y’ + 2y = 0 1. Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogenea asociada: m2 + 3m + 2 = 0

(m + 2)(m + 1) = 0 m1 = -2;

m2 = -1

Y ENCONTRAMOS Y1 Y Y2 yh = C1 e-2x + C2 e-xç y1

y2

2.- Por cramer hallamos W(y1; y2)

W(y1; y2) = e-2x -2e-2x

e-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x -e-x

3.- Hallamos U’1 =

-y2f(x) W(y1; y2)

U’2 = y1f(x) = W(y1; y2)

= -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex) e-3x e-2x sen (ex) = ex sen (ex) e-3x

4.Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx

• u1 =∫ u’1 dx • = ∫-e2x sen (ex) dx haciendo

z= ex dz = ex dx dx = dz/z

= -∫z2 sen(z) dz/z = -∫z sen(z) dz integrando por partes

= z cos z -∫cos z dz = z cos z - sen z = ex cos(ex) - sen (ex)

v=z dv = dz dw = -sen zdz w = cos z

u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx =∫z sen z dz/z = ∫senz dz = -cos z = -cos(ex)

5. La solucion particular yp = u1y1 + u2y2 yp = u1y1 + u2y2 = [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex) = -e-2x sen (ex)

6. La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2

y = yh + yp = C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex) Espero que este ejemplo les haya ayudado

EJEMPLO

1.

y" - 4y' + 4y = (x + 1)e2X

2. m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0 m=2 m=2

Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x

La solución complementaria yc : yc = c1e2x + c2xe2x

3.

W1 



2x

W e , xe

0

2x

xe 2 x

( x  1)e 2 x 2 xe 2 x  e 2 x



e

2x

2e

2x

xe

2x

2 xe  e 2x

2x

e

4x

 x  1xe 4 x

W2 

e2 x 2e 2 x

0

x  1e 2 x

 x  1e 2 x

4. ' 1

u

5.

 x  1xe  e

4x

4x

 x  x 2

 u du    x  xdx ' 1

2

x3 x 2 u1    3 2

u

' 2

 x  1e  e

4x

4x

 x 1

' u  2du   x  1dx

x2 u2   x 2

y p  u1 ( x) y1 ( x)  u2 ( x) y2 ( x)  x3 x 2  2 x  x 2  2 x  x3 x 2  2 x y p     e    x  xe    e  3 2  2  6 2

6.

y  yc  y p 3 2   2x x x 2x 2x y  c1e  c2 xe    e 6 2