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ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA INDUSTRIAL

DIEGO ALFONSO GIL HENAO

INGENIERIA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES MANIZALES 2019

INTRODUCCION

Entendiendo la ingeniería como la técnica de aplicar los conocimientos científicos para resolver diferentes problemas, en este caso al ser ingeniería industrial seria la técnica de resolver los problemas de la industria, es decir problemas a nivel empresarial. Con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se pueden resolver problemas de la ingeniería industrial, en este caso vamos a plantearnos un problema de conocimiento de un producto por una determinada población, con este dato la empresa sabrá la cantidad de producto a fabricar con algunos meses de anticipación.

PROBLEMA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

Super de alimentos decide sacar un nuevo producto que consta de un paquete de tres trozos de galleta cubierta de chocolate blanco, para realizar un estudio de conocimiento y aceptación del producto decide lanzarlo primero a nivel local, es decir, un lanzamiento parcial del producto solo en la ciudad de Manizales.

Para lograr el objetivo principal de conocer el numero aproximado de personas que conocen y aceptan el producto a meses futuros se deben obtener algunos datos como: Numero de personas que conocen y aceptan el producto en el primer mes, numero de población potencial total en Manizales.

Datos: Clientes potenciales: Según el DANE existe un estimado de 48.258.494 habitantes en Manizales, pero para la empresa los clientes potenciales de este producto se encuentran entre los 15 y los 65 años por lo que se reduce a el 68,2% de la población, es decir 32.912.293 clientes potenciales, este sería el 100% Personas que conocen y aceptan el producto en el primer mes: La empresa realiza un estudio después de un mes del lanzamiento del producto, y se obtuvo que 13.652.277 personas ya habían conocido el producto, es decir el 41,4% aproximadamente

Planteamiento de la ecuación: P: Cantidad personas que conocen el producto (1-P): Cantidad de personas que no conocen el producto t: Tiempo que lleva el producto en el mercado K: Constante de cambio 𝑑𝑝 : 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑡

𝑑𝑝 = 𝐾(1 − 𝑝) 𝑑𝑡

Solución de la ecuación: 𝑑𝑝 𝑑𝑝 = 𝐾(1 − 𝑝) ≫≫≫ = 𝐾 𝑑𝑡 (1 − 𝑝) 𝑑𝑡

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Integrando 𝑑𝑝 = ∫ 𝐾 𝑑𝑡 (1 − 𝑝)

∫

−𝑙𝑛|1 − 𝑝| = 𝐾𝑡 + 𝐶

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Aplicando algebra para despejar p 𝑙𝑛|1 − 𝑝| = −𝐾𝑡 + 𝐶 (1 − 𝑝) = 𝑒 −𝐾𝑡+𝐶 𝑝 = 1 − 𝑒 −𝐾𝑡+𝐶 𝑝 = 1 − 𝐶𝑒 −𝐾𝑡

Hallamos la constante C Cuando t = 0

P=0 0 = 1 − 𝐶𝑒 −𝐾(0) 0= 1−𝐶 𝐶=1 𝑝 = 1 − 𝑒 −𝐾(𝑡)

Hallamos la constante de cambio K Cuando t = 1

P = 0,414 0,414 = 1 − 𝑒 −𝐾 𝑒 −𝐾 = 0,586

𝐾 = −ln(0,586) 𝐾 = 0,534 𝑝 = 1 − 𝑒 −0,534(𝑡)

Ya tenemos la ecuación lista para obtener cuantas personas aproximadas conocerán el producto en meses futuros.

Para tres meses: 𝑝 = 1 − 𝑒 −0,534(3) 𝑝 = 0,798 Es decir, a los tres meses aproximadamente el 79,8% de los clientes potenciales conocerán el producto. 𝑝 = 79,8% ∗ 32.912.293 = 26.264.010 A los tres meses 26.264.010 personas aproximadamente conocerán el producto.