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CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1 Definición: Una Ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida con respecto a una o mas variables obs: La función desconocida es la variable dependiente

Si la función desconocida depende de una sola variable, la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria Si la función desconocida depende de dos o mas variables, la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial Ejemplos: diga si las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias o parciales.

1)

d2y  4y  0 dx 2

Es ordinaria, ya que la función desconocida “y” depende solo de “x”.

 2v  2v 2) 2  2  0 y x

Es parcial, ya que la función desconocida “v” depende de dos variables: “x” y “y”.

3)

y y  4  8t x t

Es parcial, ya que la función desconocida “y” depende de dos variables: “x” y “t”.

4) h 2

 2 u u  x 2 t



Es parcial, ya que la función desconocida “u” depende de dos variables: “x” y “y”.



5) x 2  y 2 dx  6 xydy  0 Es ordinaria, ya que aquí puede inferirse implícitamente una

derivada por la presencia de diferenciales. La ecuación puede tener a “y” como función desconocida y a “x” como la variable independiente o viceversa.

Definición 1.2: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que aparece en la ecuación. Ejemplos: mencione el orden y el tipo de las siguientes ecuaciones diferenciales 4

1)

d2y  dy   7   8 y  0 2 dx  dx 

Tiene orden 2 y es ordinaria

3

 d 2w  dw 2)  2   xy  4 xy  0 dx  dx  3)

d 3x dx  x  10 y  0 3 dy dy

Tiene orden 2 y es ordinaria

Tiene orden 3 y es ordinaria

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

1

4) x

f f y  nf x y

Tiene orden 1 y es parcial

Definición 1.3: Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si puede escribirse en la forma:

a n x 

dny d n 1 y d2y dy     a x a x   ...   a1  x   ao  x  y  g  x   n 1 2 n n 1 2 dx dx dx dx

es decir, debe cumplir con lo siguiente: La variable dependiente y y todas sus derivadas son de grado 1 g(x) y todos los coeficientes a n  x , a n 1  x , ...a 2  x , a1  x  y a o  x  dependen solo de la variable independiente x.

i) ii)

Ejemplos: mencione el tipo, el orden y la linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales. Si la ecuación es no lineal, mencionar el porqué.

d2y dy  x 2  3  5 y  Cosx 3 dx dx dx

2 d 1) 1  x 

2) 10t

3)

y

Es ordinaria, orden 3 y Lineal

d4y dy  t  2   4 y 2   x 4 dt dt

Es ordinaria, orden 4 y No Lineal porque en el tercer término, la variable dependiente “y” no es de primer grado

d 2w  tw  0 dt 2

4) x 4

5)

3

Es ordinaria, orden 2 y Lineal

d 5z d 3z dz  10  4  z  Tanz x 5 3 dx dx dx

Es ordinaria, orden 5 y No Lineal porque Tanz no depende de la variable independiente “x”

u  2 u  2 u   t x 2 y 2

Es parcial de orden 2 y, por ser parcial, no puede ser Lineal, ya que todas las Lineales son ordinarias

1.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Definición 1.4: Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface a la ecuación, esto es, la reduce a una identidad. Ejemplo 1: demuestre que la función Demostración: Derivando

y  e  x  x  1 es solución de la ecuación diferencial y '  y  x

y  e  x  x  1 con respecto a x: y '  e  x  1

sustituyendo en

y '  y  x , se tiene: (  e  x  1 )  ( e  x  x  1 )  x

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

2

x  x

eliminando términos semejantes se tiene la identidad Ejemplo 2: demuestre que la función

y

Demostración:

ln x  c 2 ' es solución de la ecuación diferencial x y  xy  1 x

ln x  c ' Derivando y  con respecto a x: y  x

x

1  ln x  c 1  c  ln x x  2 x x2

 1  c  ln x   ln x  c  x2   x  1 x2    x  1  c  ln x  ln x  c  1 eliminando términos semejantes se tiene la identidad 1  1 Sustituyendo en

x 2 y '  xy  1 se tiene:

1.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL Definición 1.5: Cuando una ecuación diferencial se resuelve sujeta a condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer, su solución se llama particular, además: Si las condiciones se dan en un valor de la variable independiente, el problema se llama problema de valor inicial. Mas formalmente: El problema: Resolver

dy  f  x, y  dx

Sujeta a: y  x o   y o Se llama problema de valor inicial. La condición dada se llama condición inicial. Definición 1.6: La solución de una ecuación diferencial que no tiene condiciones se llama solución general. Ejemplo1: Una partícula P se mueve a lo largo del eje x con una velocidad instantánea de Cuando el tiempo t es de un segundo, está localizada en x  5 .

v  12  3t 2 .

a) Establezca un problema de valor inicial que describa el movimiento b) Resuelva la ecuación por integración Solución: a) El movimiento que describe la partícula es horizontal por lo que x = posición y t = tiempo, además,

dx es la velocidad de la partícula dt La ecuación diferencial sin condiciones es

dx  12  3t 2 dt

Esta ecuación va a generar una solución general, pero, al tomar en cuenta la condición del problema: si

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

3

t =1 entonces x  5 , la ecuación diferencial siguiente establece un problema de valor inicial así:

dx  12  3t 2 dt Sujeta a : x1  5 b) Integrando ambos lados de

dx  12  3t 2 con respecto a t se tiene: dt

dx

 dt   (12  3t

2

)dt

x(t )  12t  t 3  c es la solución general para obtener el valor de la constante c se sustituye la condición dada

x1  5

 5  12(1)  (1) 3  c c  16 sustituyendo en la solución general se tiene que:

x(t )  12t  t 3  16 es la solución particular. Ejemplo 2: resuelva por integración el problema de valor inicial

dy  12 x(4  x) dx Sujeta a: y 0   7 Solución:

dy  12 x(4  x) dx Integrando ambos lados con respecto a x

dy

 dx   (48 x  12 x

2

)dx

y  24 x 2  4 x 3  c es la solución general al sustituir la condición así,

y 0   7 se obtiene que c  7 y  24 x 2  4 x 3  7 es la solución particular

1.4 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de una solución, y que esta sea única en un problema de valor inicial, las dá el teorema siguiente:

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

4

Teorema de existencia y unicidad: si R es una región rectangular en el plano xy definida por a  x  b, c  y  d que contiene al punto  x o , y o  . Si f  x, y  y

f son continuas en R, entonces y

existe un intervalo I con centro en x o y única función y(x) definida en I que satisfacen el problema de valor inicial.

1.5 METODO DE SEPARACION DE VARIABLES Definición 1.7: Una ecuación diferencial de la forma

dy g  x  es separable, o bien, se dice que  dx h y 

tiene las variables separables. La solución de esta ecuación sugiere separar las variables e integrar ambos lados de la igualdad con respecto a la variable correspondiente, así

dy g  x   dx h y  h y dy  g  x dx

Solución:

 h y dy   g x dx +c Ejemplo 1:

xy  x dx  x 2 y 2  x 2  y 2  1dy

Solución: Asociando términos y factorizando el primer miembro se tiene:





x y  1dx  x 2 ( y 2  1)  ( y 2  1) dy factorizando el segundo miembro







x y  1dx  y 2  1 x 2  1 dy separando las variables integrando en ambos lados

x y2 1  dx dy y 1 x2 1 x y2 1  dx  x 2  1  y  1 dy

la primer integral es un logaritmo natural, para resolver la segunda se aplicará un artificio algebráico





y2 111 dy y 1



1 y2 1 dy  2 dy y 1 y 1

1 2

ln x  1  

1 2

ln x 2  1  



2

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

5

  y y1y1  1dy  2 lny  1  1    y  1dy  2 ln y  1

1 2

 ln x

1 2

ln x 2  1 

ln x 2  1  

1 2

2





y2  y  2 ln y  1  c 2

multiplicar por 2 ambos lados para simplificar el resultado





ln x 2  1  y 2  2 y  4 ln y  1  c1 donde c1  2c agrupando los logaritmos y aplicando propiedades





ln x 2  1  ln  y  1  y 2  2 y  c1  x2 1 ln 4   y  1

4

   y 2  2 y  c1  

aplicando el exponencial en ambos lados se tiene:

e

 x 2 1 ln    y 14 

x2 1

 y  1

x Ejemplo 2:

2

4

   

 ey

 ey

2

2

 2 y  c1

2 y

e c1



 1  C  y  1 e y 4

2

2 y

dy  4Costdy  ySentdt 

Solución: Desarrollando para separar las variables

dy  4Costdy  4 ySentdt agrupando los términos de la misma variable

1  4Cost dy  4 ySentdt 1 4Sent dy  dt 1  4Cost y

así

integrando ambos lados

1

4Sent

 y dy   1  4Cost dt

ln y   ln1  4Cost   c

agrupando los logaritmos y aplicando propiedades

y   c ln  1  4Cost  M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

6

es la solución general

e

y   ln    14 Cost 

 ec

y  c1 1  4Cost y  c1 1  4Cost 

es la solución general

1.5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS O REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES Definición 1.8: se dice que f  x, y  es una función homogénea de grado n, si para algún número real n, se tiene que f tx, ty   t n f x, y 

Ejemplo:

f  x, y   x  3 xy  5 y f tx, ty   tx  3 txty  5ty

Solución:

 tx  3 t 2 xy  5ty

 tx  3t xy  5ty





f tx, ty   t x  3 xy  5 y  tf  x, y  la función dada es homogénea de grado 1 obs: para decidir la homogeneidad se puede aplicar un procedimiento intuitivo, únicamente observando que los exponentes de cada término en la función sean iguales, así 1) La función f  x, y   2 x término en la función es 4 2) La función

4

 x 2 y 2  3 x 3 y es homogénea de grado 4 porque el exponente de cada

f  x, y   ln x 2  2 ln y es homogénea de grado 0 ya que al aplicar propiedades de los

x2 logaritmos , la función es f  x, y   ln 2 y 3) La función

f  x, y   x 2  xy  3 no es homogénea

4) La función

f  x, y   1  x 2 no es homogénea

Definición 1.9: una ecuación diferencial de la forma M  x, y dx  N  x, y dy  0 se llama homogénea de grado n si tiene la propiedad M tx, ty   t n M  x, y  y N tx, ty   t n N  x, y  .

Esta ecuación se puede reducir a una de variables separables haciendo cualquiera de las sustituciones y  ux o bien x  vy

dy  udx  xdu

dx  vdy  ydv

obs: con frecuencia se utiliza la primer sustitución cuando N es de estructura más simple que M, y la segunda cuando M es de estructura más simple que N.

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

7

Ejemplo 1:

x

dy  y  x2  y2 dx

Solución: Para observar la homogeneidad de la ecuación dada, le daremos la forma

M  x, y dx  N  x, y dy  0

  xdy   x  y  y dx  0  x  y  y dx  xdy  0 xdy  y  x 2  y 2 dx 2

2

2

2

se observa que la ecuación es homogénea de grado 1. La sustitución sugerida es

dy  udx  xdu

x

así

2



 ux   ux  dx  xudx  xdu   0 2

desarrollar para separar las variables

x 2  u 2 x 2 dx  uxdx  xudx  x 2 du  0 simplificando

integrando ambos lados

x 1  u 2 dx   x 2 du 1 1 dx  du x 1 u2 1 1   dx   du x 1 u2

 ln x  Senh 1u  c simplificando y aplicando propiedades de los logaritmos 1

e ln x  e  Senh u c y c despejando x y sustituyendo u  así como c1  e x x  c1e

Ejemplo 2: Solución:

x 

y 2  xy

 y  Senh 1   x

es la solución general

 dydx  y x 



y 2  xy dy  ydx

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

8

y  ux

y





ydx  x  y 2  xy dy  0 se observa que la ecuación es homogénea de grado 1. La sustitución sugerida es

dx  vdy  ydv



x  vy

y



y vdy  ydv   vy  y 2  vy 2 dy  0 desarrollar para separar las variables

yvdy  y 2 dv  vydy  y 1  v dy  0

y 2 dv  y 1  v dy

1 1 dv  dy y 1 v integrando ambos lados



1 1 dv   dy y 1 v

 1  v 

1 2

dv  ln y 1

 21  v  2  ln y  c simplificando

y sustituyendo

v

x y

 2 1 2

x  ln y  c y

yx  ln y  c y

2 yx 

y ln y  c y

es la solución general

1.6 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Definición 1.10: La ecuación diferencial M  x, y dx  N  x, y dy  0 es una diferencial exacta si

M N  x y La solución de esta ecuación es F  x, y   c en donde las derivadas parciales de esta función respecto a “x” y a “y” darán como resultado, respectivamente, las funciones M(x , y) y N(x , y) El procedimiento formal para resolver una ecuación diferencial exacta es el siguiente:

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9

F F  M y 2  N x y F se integra 1 con respecto a x:  x   Mdx la primer integral es la función 3 F  x, y    Mdx  g  y 

1

Sabiendo que

donde g(y) es la “ constante de integración”; para determinarla, se deriva parcialmente 3 con respecto a “y” y se iguala a (2). El resultado que se obtiene de esta igualación se integra con respecto a “y” y se obtiene g(y). Finalmente, g(y) se sustituye en (3) y se tiene la solución general F  x, y   c . Obs: se pudo haber iniciado, integrando (2) con respecto a y. Ejemplo 1:

1  y x dx  x 2

2



y  y dy  0

Solución: Para comprobar la exactitud de la ecuación diferencial se derivan parcialmente las funciones

M  x, y   1  y 2 x

N  x, y   x 2 y  y

y

respectivamente con respecto a “y” y a “ x”

M  2 yx y

N  2 xy x

y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  1 y2x

2 F

y

y

 N  x2 y  y

Para determinar F, se integra la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante De esto se obtiene

3F  x 

y2 x2  Cy 2

donde C(y) es una constante de integración desconocida. Para determinar C(y) se toma en cuenta que la función F de la ecuación (3) debe también satisfacer la ecuación (2). Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

se obtiene que

F  yx 2  C ´  y   N  x 2 y  y y C´ y  y

integrando ambos lados respecto a y se obtiene que

Cy 

y2 2

no hay necesidad de agregar una constante arbitraria, ya que esta se está considerando al final en

F  x, y   c

Sustituyendo

C  y  en (3) se llega a la solución general

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

10

F  x, y   x  Ejemplo 2:

y2x2 y2  c 2 2

ó

2 x  y 2 x 2  y 2  c1

Cos2 y  3x y dx  Cos 2 y  2 xSen2 y  2 x y dy  0 2

2

3

Solución: Para comprobar la exactitud de la ecuación diferencial se derivan parcialmente las funciones

M  x, y   Cos 2 y  3 x 2 y 2

y

N  x, y   Cos 2 y  2 xSen2 y  2 x 3 y

y

N  2 Sen2 y  6 x 2 y x

respectivamente con respecto a y y a x

M  2Sen2 y  6 x 2 y y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  Cos 2 y  3 x 2 y 2

2 F

y

y

 N  Cos 2 y  2 xSen2 y  2 x 3 y

Para determinar F, se integra la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F  xCos 2 y  y 2 x 3  C  y  Para determinar C(y) derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  2 xSen2 y  2 yx 3  C ´  y   Cos 2 y  2 xSen2 y  2 x 3 y y donde C ´  y   Cos 2 y 1 integrando ambos lados respecto a y se obtiene C  y   Sen 2 y 2 sustituyendo C  y  en (3) se llega a la solución general F  xCos 2 y  y 2 x 3 

1 Sen2 y  c ó 2 xCos 2 y  2 y 2 x 3  Sen2 y  c1 2

Un procedimiento informal para resolver las ecuaciones diferenciales exactas, sugiere que en las igualdades 1

F M x

y

2

F  N la primera se integre con respecto a x y la segunda y

con respecto a y. La solución de la ecuación diferencial son todos los términos de estas integraciones pero sin repetirlos. Se aplicará este procedimiento a los ejemplos dados. Ejemplo 3:

1  y x dx  x 2

2



y  y dy  0

Solución:

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11

Ya se comprobó que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  1 y2x

2 F

y

y

 N  x2 y  y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y (no se agregará constante de integración, recondar que el procedimeinto es informal y que esta constante aparece hasta el final)

y2 x2 3F  x  2

y2 x2 y2 4F   2 2

agrupar en una sola función los términos que quedan evitando repetirlos, así, la solución es

F  x, y   x  Ejemplo 4:

y2 x2 y2   c ó 2 x  y 2 x 2  y 2  c1 2 2

Cos2 y  3x y dx  Cos2 y  2 xSen2 y  2 x y dy  0 2

2

3

Solución: La ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  Cos 2 y  3 x 2 y 2

2 F

y

y

 N  Cos 2 y  2 xSen2 y  2 x 3 y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

4F  1 Sen2 y  xCos 2 y  y 2 x 3

3F  xCos 2 y  y 2 x 3

2

agrupar en una sola función los términos que quedan evitando repetirlos, así, la solución es

F  xCos 2 y  y 2 x 3 

1 Sen2 y  c ó 2 xCos 2 y  2 y 2 x 3  Sen2 y  c1 2

1.6.1ECUACIONES INTEGRANTES

DIFERENCIALES

EXACTAS

CON

FACTORES

Cuando la ecuación diferencial M  x, y dx  N  x, y dy  0 no es exacta, esta se puede multiplicar por el factor   x, y  llamado factor integrante , de tal modo que la nueva ecuación

 x, y M  x, y dx   x, y N x, y dy  0 si es exacta Ejemplo 1:





6 xydx  4 y  9 x 2 dy  0

  x, y   y 2

Solución: Derivar parcialmente las funciones

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

12

M  x, y   6 xy

N  x, y   4 y  9 x 2

y

respectivamente con respecto a y y a x

M  6x y

N  18 x x

y

Concluimos que la ecuación no es exacta y la multiplicaremos por el factor integrante



  x, y   y 2



6 xy 3 dx  4 y 3  9 x 2 y 2 dy  0

Así

derivar nuevamente con respecto a y y a x

M  18xy 2 y

N  18xy 2 x

y

concluimos que la nueva ecuación diferencial es exacta así,

1 F x

 M  6 xy 3

2 F

y

y

 N  4 y 3  9x 2 y 2

Para determinar F, podemos integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante o visceversa

3F  3x 2 y 3  C  y  Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  9 y 2 x 2  C ´  y   N  4 y 3  9 x 2 y 2 , de aquí C ´  y   4 y 3 y 4 integrando ambos lados respecto a y se obtiene C  y   y sustituyendo

C  y  en (3) se llega a la solución general F  3x 2 y 3  y 4  C

con el método informal se tiene,

1 F x

 M  6 xy 3

y

2 F y

 N  4 y 3  9x 2 y 2

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  3x 2 y 3

4F  y 4  3x 2 y 3

agrupar en una sola función los términos que quedan evitando repetirlos, así, la solución es

F  3x 2 y 3  y 4  c

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

13





  x, y  

 y 2 dx  x 2  xy dy  0

Ejemplo 2:

1 x2 y

Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y    y 2

N  x, y   x 2  xy

y

respectivamente con respecto a y y a x

M  2 y y

N  2x  y x

y

Concluimos que la ecuación no es exacta y la multiplicaremos por el factor integrante

  x, y  

1 x2 y

 x2 y2 xy   2 dx   2  2 dy  0 x y x y x y 

1 1 y dx    dy  0 2 x  y x

derivar nuevamente con respecto a y y a x

M  1  2 y x

y

N  1  x x 2

concluimos que la nueva ecuación diferencial es exacta así,

1 F x

M 

y x2

y

2 F y

N

1 1  y x

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante así

3F 

y  C y x

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F 1 1 1   C´ y  N   y x y x 1 C´ y  entonces y integrando ambos lados respecto a y se obtiene C  y   ln y sustituyendo

C  y  en (3) se llega a la solución general y F   ln y  c x

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14

con el método informal se tiene,

1 F x

M 

y x2

2 F

y

y

N

1 1  y x

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F 

y x

4F  ln y  y x

agrupar en una sola función los términos que quedan evitando repetirlos, así, la solución es

F

y  ln y  c x

1.7 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Definición 1.11: la Ecuación

dy  p  x  y  f  x  se llama Ecuación Diferencial Lineal de dx

primer orden El procedimiento formal para resolver una ecuación lineal sugiere que esta se multiplique por el factor integrante conocido F.I  e 

e

p  x dx

p  x dx

así, la ecuación quedaría

p  x dx p  x dx dy p x  y  e  f x   e dx

el resultado obtenido en el primer lado de la igualdad es la derivada del producto de

e

p  x dx

.y

por lo tanto la ecuación se transforma en la siguiente identidad

d   p  x dx   p  x dx f  x  e . y e   dx  se observa que la variable dependiente y , la cual es la solución buscada, se puede despejar integrando ambos lados con respecto a x p  x dx d   p  x dx  . y  dx   e  f  x dx 

 dx e

e  p  x dx . y   e  p  x dx f  x dx   

e y

 p  x dx f  x dx p  x dx e

o y

 F .I  f x dx F .I

es la solución general buscada

este procedimiento se puede excluir, ya que la solución general

y

 F .I  f x dx F .I

utilizada como fórmula algoritmica para resolver ecuaciones diferenciales lineales

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15

puede ser

Ejemplo 1:

1  x  dy  xy  e x x  x 2  dx

Solución: Dividiendo entre

1  x 

y simplificando para darle la forma



dy  px  y  f x  dx

dy x ex x  x2  y dx 1  x 1 x



dy x e x x1  x   y dx 1  x 1 x dy x  y  ex x dx 1  x donde:

px  

x 1 x

es ecuación Lineal en y

f x   e x x

y

El factor integrante es:

F .I  e 

p ( x ) dx

e



x

 1 x dx

e



F .I  e  x 1  x  sustituyendo en la fórmula

y



x 11 1 x

e



 dx 

1

 1 x dx

e

 x  ln 1 x

 e x e

ln 1 x

 e  x 1  x 

 F .I  f ( x) dx F .I

x2 x3  c e 1  x e xdx  x  x dx  2 3 y  x  x e  x 1  x  e 1  x  e 1  x  x



x

2



3 x 2  2 x 3  c1 simplificando, la solución general sería y  donde c1  6c 6e  x 1  x 

y

o bien

e x (3 x 2  2 x 3  c1 ) 61  x 

Cuando x es la función desconocida (variable dependiente) , la ecuación diferencial puede ser Lineal de la forma

dx  p y x  f  y  como en el caso siguiente dy

Ejemplo 2:





ydx  x  2 xy 2  2 y dy  0

Solución:

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16

Dividiendo entre

ydy y simplificando dx x   2 xy  2  0 dy y dx x   2 xy  2 dy y  dx  1    2 y  x  2 es Lineal en x dy  y 

así, la ecuacion diferencial donde:

p y  

1  2y y

El factor integrante es:

f y  2

y

1    2 y  dy 

 p ( y ) dy F .I  e  e y

F .I  ye y

ln y  y 2

 ye y

2

2

x

sustituyendo en la fórmula

e

 F .I  f ( y)dy F .I  ye 2dy y2

x

ye y

2

2

ey  c



ye y

2

2

x

luego,

Ejemplo 3:



ey  c ye y

es la solución general

2



dy  2 y  x e 3 x  e 2 x Sujeta a : y 0  2 dx

Solución:



donde:



p  x   2

El factor integrante es:

F .I  e 

sustituyendo en la fórmula

y

y



dy  2 y  x e 3 x  e 2 x es Lineal en y dx y f x   x e 3 x  e 2 x

e

2 x

y  xe



xe

3x

e

e 2 x 3x

e

3x

p ( x ) dx



 2 dx  e   e 2 x

 F .I  f ( x) dx F .I 2x

dx  xe 

x



 x dx

e 2 x



xe x  e x 

x 2e 2x   ce 2 x es la solución general 2

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17

e 2 x

x2 c 2

sustituir la condición

y 0  2 2  o e 0  e 0 

o 2 e 0

2 c3

2  1  c

 ce 0

sustitiyendo c  3 en la solución general se tiene la solución particular

y  xe

3x

e

3x

x 2e2x   3e 2 x 2

1.8 ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI dy  p x  y  f  x  y n se llama Ecuación Diferencial de Bernoulli dx dw Para resolverla, se llevará esta ecuación a la ecuación Lineal  1  n  p x w  1  n  f  x  dx haciendo la sustitución w  y 1 n con n  0 y n  1 siendo w nueva variable dependiente. Definición 1.12: La ecuación

Ejemplo 1: :

x

Solución:

dy  1  x  y  xy 2 dx

Daremos a la ecuación diferencial la forma

dy 1  x  y  y 2 es de Bernoulli en y dx x 1 x y f x   1 px    x n2 1  n  1 w  y 1 dw  (1  n) p( x) w  (1  n) f ( x) dx 1 x dw  (1)( ) w  (1)(1) dx x dw 1  x  w  1 ecuación Lineal en w dx x

donde: aquí: sustituir en

donde:

px  

1 x x

El factor integrante es:

sustituyendo en la fórmula

dy  p ( x) y  f  x  y n dividiendo entre x y simplificando dx

f  x   1

y

F .I  e 

w

p ( x ) dx

e



1 x dx x

 e ln x  x  e ln x e x  xe x

 F .I  f ( x) dx F .I

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18

 xe  1dx    xe w x

xe x

w  y 1 

sustituir

x

dx

xe x



xe x  e x  c  xe x  e x  c = xe x xe x

1 ya que la ecuación de Bernoulli tiene a y como la variable dependiente y

1  xe x  e x  c xe x  y o bien  es la solución general y xe x  xe x  e x  c Ejemplo 2:





6 y 2 dx  x 2 x 3  y dy  0

Solución:

dx  p ( y ) x  f  y x n dy 6 y 2 dx  x 2 x 3  y dy dx 6y2  2 x 4  xy dy

Daremos a la ecuación diferencial la forma



dividiendo entre dy dividir entre

dx 2 x 4 xy  2  2 dy 6 y 6y

6y2

dx x4 x  2  dy 3 y 6y 1 dx 1  x  2 x 4 es de Bernoulli en x dy 6 y 3y 1 1 y f y  2 p y    6y 3y

donde:

n4

aquí: sustituir en

donde:



p y  

1 2y

w  x 3

1  n  3

dw  (1  n) p ( y ) w  (1  n) f ( y ) dy 1 1 dw  3( ) w  3( 2 ) 6y dy 3y dw 1 1 w   2 es Lineal en w  dy 2 y y 1 y f y   2 y 1 1

 p ( y ) dy  e 2  y El factor integrante es: F .I  e

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dy

1

 e2

19

ln y

1

 y2

sustituyendo en la fórmula

w

 F .I  f ( y) dy F .I 1

1

y2 2 2  cy 2 1  c   c 1   3 1 1 1  y 2   y 2 dy   y 2 dy  12 2  cy 2 y2 y2      w 1 1 1 1 1 y y2 y2 y2 y2 y2 sustituir

w  x 3 , así

x 3 

2  cy y

1 2

1

simplificando se tiene o bien

1 2  cy 2  y x3 y x3  1

es la solución general

2  cy 2 1.9 SUSTITUCIONES DIVERSAS

dy  f ax  by  c  con b  o se puede dx reducir a una ecuación de variables separables por medio de la sustitución u  ax  by  c Definición 1.13: Una ecuación diferencial de la forma

Ejemplo 1:

dy  Cos  x  y  dx

u  x y du dy derivando implícitamente con respecto a x: 1 dx dx despejando

dy se tiene dx

sustituyendo en la ecuación diferencial, separando variables

racionalizando en la primer integral

dy du  1 dx dx du 1  Cosu dx du  1  Cosu dx 1 du  dx 1  Cosu 1  1  Cosu du   dx 1  Cosu  1  Cosu 1  Cosu du  x

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20

1  Cosu du  x 2 u

 1  Cos

  1  Cos 2 en el denominador 1  Cosu  Sen 2 u du  x 1 Cosu separando en dos integrales  Sen 2 u du   Sen 2 u  x 1 2 aplicando la identidad Csc   en la primer integral Sen 2 2 2  Csc udu   Senu  Cosudu  x aplicando la identidad Sen

2

la segunda integral se resuelve con un cambio de variable

1  Senu   Cotu   1

 xc

o bien

1  xc Senu  Cotu  Cscu  x  c

sustituyendo u  x  y

 Cot  x  y   Csc x  y   x  c es la solución general

 Cotu 

obs: No siempre es posible establecer una forma general que deba tener una ecuación diferencial para decidir el tipo de sustitución que ayude a resolverla; en todo caso, solamente mediante el ingenio y la exploración, es decir, intentando algo, tal vez ecuaciones diferenciales aparentemente complicadas podrían llegar a resolverse. Ejemplo 2:

xy

dy  y2  x 1 dx

Esta ecuación diferencial no es de variables separables, ni homogénea, ni exacta, ni lineal, ni de Bernoulli, por lo tanto ninguno de los métodos estudiados funcionará. Pero si se observa en el primer término, la expresión

y

dy du dy 2 sugiere que se pruebe con la sustitución u  y , ya que  2 y . Primero se multiplicará la dx dx dx

ecuación por 2

dy  2 y 2  2x  2 dx du  2u  2 x  1 x dx

2 xy hacer las sustituciones sugeridas

al dividir entre x, la ecuación se estará transformando en una ecuación Lineal con u como variable dependiente

donde:

px  

2 x

du 2  1  u  21   dx x  x  1 y f  x   21   x 

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21

2

p ( x ) dx    dx 2 ln x El factor integrante es: F .I  e   e x  e  x2

u

sustituyendo en la fórmula

 F .I  f ( x)dx F .I

1 2  2x3 2 x 3  3 x 2  3c 2  2 1 x dx 2   x c     x  2 x  x dx 3 3 luego,    u 2 2 2 x x x x2 3 2 2 x  3 x  c1 y2  si c1  3c entonces es la solución general 3x 2





x

dx Ejemplo 3: y  x  ey dy Nuevamente ninguno de los métodos estudiados funcionará. Sin embargo, observar la ecuación al multiplicarla por dy. x y

ydx  xdy  e dy x ydx  xdy 2 con la sustitución u  el diferencial sería du  ó y du  ydx  xdy 2 y y al sustituir en la ecuación diferencial, esta se transforma en:

y 2 du  e u dy la cual es de variables separables, así

e u du  y 2 dy

e

u

du   y 2 dy

 e u   y 1  c 1 1   c1 donde c1  c y eu 1 1 y  eu    c1 eu y ye u o bien

y  e u  c1 ye u x y

y  e  c1 ye

x y

es la solución general

1.10 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.10.1 A LA MECÁNICA PROBLEMA 1: Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, partiendo del reposo y bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la resistencia del aire es despreciable, establezca la ecuación diferencial que describa el movimiento y resuélvala.

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22

Solución: El problema trata de los cuerpos que caen libremente, el siguiente diagrama dá una visión de la caída t=0 x

dx dt

m

x es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. El peso

w  ma por la segunda Ley de Newton, además a 

ó

w es la fuerza que está actuando en la caída, y

2

d x , luego si w  mg , se tiene que dt 2

d 2x mg  m 2 dt 2 d x  g donde g  9.8m / s 2 ó g  32 pies / s 2 2 dt

la ecuación diferencial que describe el movimiento es:

d 2x g dt 2 x0  0 Sujeta a: v0  0

donde

v

dx dt

esta ecuación es de orden superior teniendo a x como la variable dependiente ( función desconocida), por lo que se llevará a una de primer orden para resolverla por el método de variables separables teniendo a v como variable dependiente así,

dv g dt

sujeta a: v (0)=0 Solución:

dv g dt dv  gdt

 dv  g  dt

v  gt  c 0  g 0   c luego c  0

aplicando la condición v (0)=0 la solución de la ecuación diferencial de primer orden es una relación entre la velocidad de caída y el tiempo transcurrido v  gt pero, como

v

dx , entonces, otra ecuación diferencial de primer orden es dt

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23

dx  gt dt



Sujeta a: x 0  0 aquí la variable dependiente es x y se rsuelve nuevamente por variables separables

dx  gt dt

dx  gtdt

 dx  g  tdt xg aplicando la condición

x0  0 0

t2 1  c ó x  gt 2  c 2 2

1 2 g 0   c luego c  0 2

la solución de la ecuación diferencial de primer orden es una relación entre la distancia de caída x y el tiempo transcurrido t, así

x

1 2 1 gt ó xt   gt 2 2 2

resumiendo: la distancia que recorren los cuerpos en caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo empleado, y su velocidad es directamente proporcional al tiempo.

1.10.2 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO En biología se ha comprobado que la rapidez con que, en cada instante, cierta población de bacterias se multiplica, es proporcional al número de bacterias presentes en dicho instante. Si x(t) es la cantidad de bacterias presentes, entonces la ecuación diferencial que describe el crecimiento es

dx  kx dt PROBLEMA 2: Un cultivo tiene inicialmente 100 bacterias. Al cabo de 1 hora el cultivo medido es de 300 bacterias. Determine el tiempo en el que el número de bacterias será de 1000. Solución: si x(t) es el número de bacterias presentes en el tiempo t entonces la ecuación diferencial que describe el crecimiento es

dx  kx dt Sujeta a:

Por separación de variables se tiene:

x0  100 x1  300

dx  kx dt 1 dx  kdt x

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24

1

 x dx  k  dt ln x  kt  c aplicando la condición:

x0  100 ln 100  k 0  c ln 100  c ln x  kt  ln 100

así

para determinar la constante de proporcionalidad k se aplicará la segunda condición:

ln 300  k 1  ln 100

x1  300

aplicando propiedades de los logaritmos para despejar k:

ln 300  ln 100  k

o bien, luego

 300  ln k  100  ln 3  k k  1.098 ln x  1.098t  ln 100

este resultado representa una relación entre la cantidad de bacterias presentes y el tiempo transcurrido. Para determinar el tiempo en el que el número de bacterias será de 1000, se sustituye este valor en x y se despeja t.

ln 1000  1.098t  ln 100 aplicando propiedades de los logaritmos para despejar t:

ln 1000  ln 100  1.098t  1000  ln   1.098t  100  ln 10  1.098t 2.3 t  2.09 1.098

aproximadamente a los 2 segundos la cantidad de bacterias es de 1000. Para tener una idea de cómo se va dando el crecimiento, en el resultado despejará x y se elaborará la gráfica:

ln x  1.098t  ln 100 ln x  ln 100  1.098t

 x  ln   1.098t  100  e

 x  ln    100 

 e1.098t

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25

ln x  1.098t  ln 100 se

así

x  e1.098t 100 xt   100e1.098t

se observa que el crecimiento es exponencial y la gráfica es la siguiente:

x(t)

100 50

t

PROBLEMA 3: Inicialmente había 200 mg de una sustancia radioactiva. Al transcurrir 5 horas la masa disminuye en un 4%. Si la rapidez de desintegración en un instante cualquiera es proporcional a la cantidad de sustancia presente, determine la vida media de la sustancia. Encuentre una relación entre la cantidad de sustancia presente y el tiempo transcurrido. Solución: Si llamamos A(t) a la cantidad de sustancia en un instante cualquiera, entonces inicial. De aquí, que la vida media es el tiempo t en el cual

At  

A0  A0 es la cantidad A0 . Luego, si la rapidez de 2

desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia presente, entonces la ecuación diferencial que describe el decrecimiento es:

dA  kA dt A0  200

Sujeta a:

Por separación de variables se tiene:

A5  1  0.04 A0  0.96 A0

dA  kA dt 1 dA  kdt A

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26

1

 AdA  k  dt  kt  c ln A  kt  c aplicando la condición:

A0  A0

ln A0  k 0   c ln A0  c ln A  kt  ln A0

así

para determinar la constante de proporcionalidad k se aplicará la segunda condición:

ln 0.96 A0  k 5  ln A0

A5  0.96 A0

aplicando propiedades de los logaritmos para despejar k:

ln 0.96 A0  ln A0  5k ln

0.96 A0  5k A0

5k  ln 0.96 o bien, luego para obtener la vida media, aplicar

 0.040821995  0.00816439 5 ln A  0.00816439t  ln A0 k

At  

ln

A0 2

A0  0.00816439t  ln A0 2

usar propiedades de los logaritmos para despejar t

A0 ln 2  0.00816439t A0 1 ln   0.69314718 2  t  84.898  85horas  0.00816439  0.00816439 es decir, aproximadamente al transcurrir 85 horas, la cantidad de sustancia presente será igual a la mitad de la sustancia inicial Finalmente despejar A(x ) de

ln A  0.00816439t  ln A0

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27

ln A  0.00816439t  ln 200  A  ln   0.00816439t  200   A  ln    200 

e  e 0.00816439t A  e 0.00816439t 200 At   200e 0.00816439t

así

se observa que el decrecimiento es exponencial

1.10.3 ENFRIAMIENTO La Ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con la que la temperatura T(t) cambia, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura T0 del medio que lo rodea. Si T(t) es la temperatura del cuerpo, entonces la ecuación diferencial que describe el enfriamiento es

dT  k T  T0  dt 0

PROBLEMA 4: Un termómetro marca en una habitación 71 F , luego es sacado al exterior, donde la 0

temperatura ambiente es de 12 F . Al transcurrir ½ minuto el termómetro marca termómetro cuando transcurre 1 minuto?

55 0 F ¿cuánto marcará el

Solución: La ecuación diferencial con condiciones es:

dT  k T  12 dt T 0   71 sujeta a:

1 T    55 2

La ecuación diferencial es de variables separables, pero también se le puede dar la forma de una ecuación

El factor integrante es:

dT  kT  12k dt dT  kT  12k dt  k dt F .I  e   e kt

Sustituyendo en la fórmula

T t  

lineal, así

T t   así aplicando la primer condición

 F .I  f t dt F .I  e  12k dt  kt



12e kt  c  12  ce kt  kt e

e  kt T t   12  ce kt T 0   71 para obtener c

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28

71  12  ce k 0  59  c ó c  59 T t   12  59e kt para obtener el valor de k se aplicará la segunda condición

55  12  59e

k

1 T    55 2

1 2 1

0.72881356  e 2

k

 1k  ln 0.72881356  ln e 2    k  0.31633733  ó k  0.63267466 2 luego, la relación entre la temperatura del termómetro y el tiempo que transcurre es

T t   12  59e 0.63267466t

finalmente se obtendrá la temperatura que marcará el termómetro cuando transcurre 1 minuto

T t   12  59e 0.632674661  43

así, al cabo de un minuto, la temperatura que registrará el termómetro será de

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29

43F 0 aproximadamente.

1.11 PROBLEMAS RESUELTOS DEL CAPÍTULO 1 I CLASIFIQUE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES

di  Ri  E dt dy 2)  1  xy  y 2 dx

1) L

   y 

3)t y ´´

3

' 2

Ordinaria, Orden 1 y Lineal Ordinaria, Orden 1 y No Lineal

y0

Ordinaria, Orden 2 y No Lineal

4) xdx  ydy  0

Ordinaria, Orden 1 y No Lineal

5) y "  2 y '8 y  x 3  Senx

Ordinaria, Orden 2 y Lineal

2

3

 d 3w   dw  6) 3   3   xw  0  dx   dx  7) x  y dx  3 x 2  1 dy  0



Ordinaria, Orden 3 y No Lineal



Ordinaria, Orden 1 y Lineal si “y” es la variable dependiente

d 2 y dy   6y  0 dx 2 dx d4y 9) 4  xy dx  2u  2u  2u 10) 2  2  2  0 dy z x 8)

Ordinaria, Orden 2 y Lineal Ordinaria, Orden 4 y No Lineal Parcial, Orden 2 y No Lineal

2w 2w  2 t 2 dx 4  v v 12) 4  2 0 dx t

11)

Parcial, Orden 2 y No Lineal Parcial, Orden 4 y No Lineal

II DEMUESTRE QUE LA FUNCIÓN DADA ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE

d 2s  9s  0 dt 2 Derivando s  8Cos3t  6 Sen3t dos veces con respecto a t ds  24 Sen3t  18Cos3t dt d 2s  72Cos3t  54 Sen3t dt 2 d 2s Sustituyendo en  9s  0 se tiene: dt 2

1) s  8Cos3t  6 Sen3t de

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30

 72Cos3t  54Sen3t  98Cos3t  6Sen3t   72Cos3t  54Sen3t  72Cos3t  54Sen3t  0 2)  e   y  x  5   x Derivando

dy  1  e y  x 5 dx

de

 e  y  x5  x

implícitamente con respecto a x





 e  ( y  x 5)  y '  1  1 y ' e  ( y  x  5)  e  ( y  x  5 )  1

1  e  ( y  x 5 )  e y  x 5  1 e ( y  x  5 ) y '  e y  x 5  1

y' 

Sustituyendo en

dy  1  e y  x 5 se tiene: dx e y  x 5  1  e y  x 5  1

III RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES

1)1  x 

dy  y3 dx

separando variables se tiene:

integrando ambos lados multiplicando por –2

1 1 dy  dx 3 1 x y 1 3  y dy   1  x dx 1   ln 1  x  c 2y2 1  2 ln 1  x  c1 donde c1  2c y2

despejando el logaritmo natural y aplicando propiedades

1  c1 y2

ln 1  x   2

1

e

ln 1 x 2

1  x 

e

y2

 c1

1 2

 c2 e

y2

ó

y 2 ln 1  x   1  c 2 y 2 es la solución general

2) SenSentd  CosCostdt  0 separando variables SenSentd  CosCostdt

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31

2

Sen  Cost dt d  Cos Sent integrando ambos lados y aplicando identidades

Sen

Cost

 Cos d    Sent dt ln Sec   ln Sent  c asociando los logaritmos y aplicando propiedades

ln SecSent  c ln SecSent

e  ec SecSent  c1

3) xydx   x  2 dy  0 separando variables

integrando ambos lados

separando en dos integrales

ó

Sent  c1Cos es la solución general

xydx   x  2 dy 1 x dx  dy x2 y 1 x  x  2dx   y dy x22  x  2 dx  ln y x2

1

 x  2dx  2 x  2 dx  ln y x  2 ln x  2  ln y  c

agrupando los logaritmos y aplicando propiedades

ln y  ln x  2   x  c 2

ln y x  2  x  c 2

e ln y  x  2    e x  c 2 y  x  2   c1 e x 2

4) xCos 2 ydx  Tanydy  0 separando variables

integrando ambos lados

xCos 2 ydx  Tanydy Tany xdx   dy Cos 2 y Tany  xdx    Cos 2 y dy

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32

es la solución general

Seny x Cosy   dy 2 Cos 2 y 2

aplicando identidades

x2 Seny   dy 2 Cos 3 y

x2 3   Cosy   Seny dy 2 2 x 2 Cosy   c 2 2 simplificando y aplicando identidades

x2 1  c 2 2Cos 2 y x 2   Sec 2 y  c1 donde c1  2c x 2  Sec 2 y  c1 es la solución general 5) xy 3 dx   y  1e  x dy  0 separando variables

integrando ambos lados

xy 3 dx   y  1e  x dy x  y  1 dy dx   x e y3  y  1 x  e  x dx    y 3 dy 1 1 x  xe dx   ( y 2  y 3 )dy

 xe

x

dx    y 2 dy   y 3 dy

xe x  e x  simplificando

1 1  2 c y 2y

2 y 2 xe x  2 y 2 e x  2 y  1  2cy 2 2 y 2 xe x  2 y 2 e x  2 y  1  c1 y 2 es la solución general donde c1  2c

6) y '  Cos 2 xCosy separando variables integrando ambos lados

1 dy  Cos 2 xdx Cosy 1 2  Cosy dy   Cos xdx

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33

aplicando identidades

simplificando

Cos 2 x )dx 2 x Sen2 x ln Secy  Tany   c 2 4 4 ln Secy  Tany  2 x  Sen2 x  c1 es la solución general 1

 Secydy   ( 2 

donde

c1  4c

7) y '  yCscx separando variables

1 dy  Cscxdx y

integrando ambos lados

 y dy   Cscxdx

1

ln y  ln Cscx  Cotx  c simplificando y aplicando propiedades

e

y   ln    Cscx  Cotx 

 ec

y  c1 donde c1  e c Cscx  Cotx

y  c1 Cscx  Cotx  es la solución general 8) xdx  4  x 2 dy  0

xdx  4  x 2 dy x dx  dy 4  x2 x integrando ambos lados  4  x 2 dx   dy 1 1 2 completando la primer integral:   4  x  2  2 xdx   y 2 separando variables



1 4  x2 1 2 2 simplificando



 4  x2



1 2



1 2

 yc

 yc

9) x ln t ln xdt  dx  0 separando variables

x ln t ln xdt  dx 1 dx ln tdt  x ln x

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34

ó

4  x 2   y  c  es la solución general 2

integrando ambos lados

1

 ln tdt   x ln x dx t ln t  t   ln ln x  c t ln t  t  ln ln x  c es la solución general

10)

2 dy  xe y  x dx sujeta a : y 0  0

separando variables

integrando ambos lados

2 dy  xe y e  x dx 2 1 dy  xe  x dx y e y  x2  e dy   xe dx

 1 x2 e c 2 2 es la solución general donde c1  2c  e  x  c1

 ey  simplificando

2e  y

 e 0  c1 2  1  c1 c1  1

sustituyendo la condición y(0) = 0: 2e

0

2

2e  y  e  x  1 es la solución particular





11) 2  y 2 dy  y 3 Senxdx sujeta a : y 0   1

separando variables

2  y2 dy  Senxdx y3

simplificando e integrando ambos lados

2 y 3 dy  

simplificando

1 dy   Senxdx y

2 y 2  ln y  Cosx  c 2 1  ln y  Cosx  c es la solución general y2

sustituyendo la condición y(0) = 1

 1  ln 1  1  c de aquí c  0 1  ln y  Cosx ó 1  y 2 ln y  y 2 Cosx es la solución 2 y particular

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35





12) e  y  1 Senxdx  1  Cosx dy   sujeta a : y   0 2 separando variables integrando ambos lados simplificando ambas integrales

1 Senx dx   y dy 1  Cosx  e 1 Senx 1  1  Cosx dx   e  y  1 dy

Senx 1  Cosx 

 1  Cosx 1  Cosx  dx  

1 dy e 1 y

simplificando y aplicando propiedades





Senx 1  Cosx  dx   1  Cos 2 x

1 dy 1 1 ey Senx  SenxCosx ey dx   1  e y dy Sen 2 x





 Cscxdx  

Cosx ey dx   dy Senx 1 ey

ln Cscx  Cotx  ln Senx  ln 1  e y  c

 Cscx  Cotx  ln  c y   Senx 1  e 









Cscx  Cotx  c1 1  e y Senx

es la solución general donde

c1  e c

sustituyendo la condición y(/2) =0

Csc

    Cot  c1 1  e 0 Sen 2 2 2

1  0  c1 (2)1 c1 

1 2

Cscx  Cotx 





1 1  e y Senx es la solución particular 2

IV INDIQUE EL GRADO DE HOMOGENEIDAD DE CADA ECUACIÓN Y RESUÉLVALA





1) y 2  yx dx  x 2 dy  0 Solución: se observa que la ecuación es homogénea de grado 2 sustitución sugerida: y =ux dy=udx + xdu

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36

ux 

2



 ux x dx  x 2 udx  xdu   0

desarrollar para separar las variables

u 2 x 2 dx  ux 2 dx  x 2 udx  x 3 du  0

integrando ambos lados

u 2 x 2 dx  x 3 du 1 1 dx  2 du x u 1 2  x dx   u du 1 c ln x  u

simplificando y sustituyendo u =y/x

1

e

ln x

eu

c

1 y x

x  e c1 x  c1e 2) y

dx  x  4 ye dy

x y

es la solución general donde

c1  e c

2 x y

Solución:

2 x    ydx  x  4 ye y dy  0    

se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: x =vy

dx=vdy + ydv

2 vy     y vdy  ydv   vy  4 ye y dy  0    

desarrollar para separar las variables

yvdy  y 2 dv  vydy  4 ye 2 v dy  0

integrando ambos lados

y 2 dv  4 ye 2 v dy 4 e 2 v dv  dy y 1 2v  e dv  4 y dy 1 2v e  4 ln y  c 2

simplificando y sustituyendo v =x/y

x

1 2y e  4 ln y  c 2

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37





e

2x y

 8 ln y  c1 es la solución general donde c1  2c

3) x 2  xy  y 2 dx  xydy  0 Solución: se observa que la ecuación es homogénea de grado 2 sustitución sugerida: y =ux dy=udx + xdu

x

2



 xux   ux  dx  xux udx  xdu   0 2

desarrollar para separar las variables

x 2 dx  ux 2 dx  x 2 u 2 dx  u 2 x 2 dx  ux 3 du  0

integrando ambos lados

x 2 1  u dx  ux 3 du 1 u du dx  x 1 u 1 u  x dx   u  1du

sumando y restando 1 en la segunda integral se tiene

u 11 du u 1 1 du ln x    du   u 1 ln x  u  ln u  1  c 1

 x dx  

simplificando y sustituyendo u =y/x

y y  ln  1  c x x yx y ln x  ln   c x x

ln x  

simplificando aplicando propiedades de los logaritmos

ln

ln ln

e

x y   c yx x x

x2 y   c yx x x2 y x

e

2

y c x

y

x  e x ec yx x  c1  y  x e 2

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y x

38

es la solución general donde

c1  e c

dy y x 2 4)   1 dx x y 2 Solución:

dy y 3  x 3  xy 2  dx xy 2





xy 2 dy  y 3  x 3  xy 2 dx

y

3



 x  xy dx  xy dy  0 3

2

2

se observa que la ecuación es homogénea de grado 3 sustitución sugerida: y =ux

dy=udx + xdu

ux 

3



 x 3  xux  dx  xux  udx  xdu   0 2

2

desarrollar para separar las variables

u 3 x 3 dx  x 3 dx  x 3 u 2 dx  u 3 x 3 dx  u 2 x 4 du  0 x 3 dx  x 3u 2 dx  u 2 x 4 du x 3 1  u 2 dx  u 2 x 4 du

integrando ambos lados

1 u2 du dx  x 1 u2 1 u2  x dx   1  u 2 du

sumando y restando 1 en la segunda integral, se tiene

u 2 1 1 du 1 u2 1 du ln x   du   1 u2 ln x  u  Tan 1u  c

ln x  

simplificando y sustituyendo u =y/x

y y  Tan 1  c x x y x ln x  y  xTan 1  cx es la solución general x ln x 

5)

dy y y  ln dx x x

Solución:

x dy  ln y  ln x dx y ln y  ln x dx  x dy  0 y se observa que la ecuación es homogénea de grado 0 sustitución sugerida: y =ux dy=udx + xdu

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39

ln(ux)  ln x dx 

x udx  xdu   0 ux

desarrollar para separar las variables

ln(ux)dx  ln xdx  dx  aplicando propiedades de los logaritmos

x du  0 u

ux x )dx  dx  du x u x ln udx  dx  du u ln u 1dx  x du u 1 1 dx  du x u ln u  1 1 1  x dx   uln u  1du ln x  ln ln u  1  c ln(

integrando ambos lados

simplificando y sustituyendo u =y/x

ln x  ln ln

y 1  c x

simplificando aplicando propiedades de los logaritmos

e ln x  e

y  ln ln  1   c x 

 yx c x  c1 ln  es la solución general donde c1  e x  

y   6) xCsc  y dx  xdy  0 x   Solución: se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: y =ux

dy = udx + xdu

ux    xCsc  ux dx  xudx  xdu   0 x   desarrollar para separar las variables

xCscudx  uxdx  xudu  x 2 du  0 xCscudx   x 2 du 

1 1 dx  du x Cscu

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40

integrando ambos lados

1 1   dx   du x Cscu  ln x   Senudu  ln x  Cosu  c

simplificando y sustituyendo u =y/x

 ln x  Cos

y c x

ó

ln x  Cos e ln x  e

x  c2 e

y  c1 donde c1  c x

y Cos  c1 x

Cos

y x

es la solución general

7) x  y ln y  y ln x dx  xln y  ln x dy  0 Solución: se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: y = ux

dy = udx + xdu

x  ux  lnux   ux  ln x dx  xlnux   ln x udx  xdu   0 desarrollar para separar las variables

xdx  ux ln ux dx  ux ln xdx  xu lnux dx  x 2 ln ux du  xu ln xdx  x 2 ln xdu  0 xdx  x 2 ln xdu  x 2 ln ux du

aplicando propiedades de los logaritmos

xdx  x 2 ln x  ln u  ln xdu

integrando ambos lados

sustituyendo u = y/x

xdx   x 2 ln udu 1  dx  ln udu x 1   dx   ln udu x  ln x  u ln u  u  c  ln x 

y y y ln   c x x x

simplificando aplicando propiedades de los logaritmos

y  y  cx x  x ln x  y ln y  y ln x  y  cx es la solución general  x ln x  y ln

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41





8) ydx  x  y 2  x 2 dy



Solución: ydx  x  y  x se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: x =vy dx=vdy + ydv 2

2

dy  0





y vdy  ydv   vy  y 2  v 2 y 2 dy  0 desarrollar para separar las variables





yvdy  y 2 dv  vydy  y 2 1  v 2 dy  0 y 2 dv  y 1  v 2 dy 1 1 dv  dy y 1 v2 1 1  1  v 2 dv   y dy

integrando ambos lados

Sen 1v  ln y  c Sen 1

sustituyendo v = x/y





x  ln y  c y

es la solución general

9) 3 x 2  2 xy  3 y 2 dx  4 xydy



2

3x

2

Solución: 3x  2 xy  3 y se observa que la ecuación es homogénea de grado 2 sustitución sugerida: y = ux dy = udx+xdu

2

dx  4 xydy  0



 2 xux  3ux  dx  4 xuxudx  xdu   0 2

desarrollar para separar las variables

3x 2 dx  2 x 2 udx  3u 2 x 2 dx  4 x 2 u 2 dx  4 x 3 udu  0 x 2 3  2u  u 2 dx  4 x 3udu 1  4u du dx  2 x u  2u  3 1 2u  x dx  2 u 2  2u  3 du



integrando ambos lados



sumar y restar 2 en la segunda integral

2u  2  2 du u 2  2u  3 2u  1 1 du  4  2 du ln x  2  2 u  2u  3 u  2u  3 ln x  2 

factorizando

2u  1 1 du  4  du u  3u  1 u  3u  1 1 1 ln x  4  du  4 du u  3 u  3u  1 ln x  2 

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42

 1  u 3 ln x  4 ln u  3  4 c  ln   4  u 1 sustituyendo u = y/x y aplicando propiedades de los logaritmos

y 3 y ln x  4 ln  3  ln x c y x 1 x y y y ln x  4 ln  3  ln  3  ln  1  c x x x y  3x yx ln x  3 ln  ln c x x 3

yx  y  3x  ln x  ln  c   ln x  x  3

 y  3x   y  x  ln x    c  x   x  ln

 y  3 x 3  y  x 

 ec  y  3x 3  y  x   c 1 x3  y  3x 3  y  x   c1 x 3 es la solución general

e

x3

dy  3xy  y 2 dx sujeta a y 1  2

10)2 x 2



Solución: 2 x dy  3 xy  y se observa que la ecuación es homogénea de grado 2 sustitución sugerida: y = ux dy = udx + xdu 2

2

dx  0





2 x 2 udx  xdu   3 xux   ux  dx  0 2

desarrollar para separar las variables

integrando ambos lados

2 x 2 udx  2 x 3 du  3 x 2 udx  u 2 x 2 dx  0  x 2 udx  u 2 x 2 dx  2 x 3 du  x 2 u 1  u dx  2 x 3 du 1 2 dx  du x u 1  u  1 2  x dx   u1  u du

resolviendo la segunda integral por fracciones parciales o por alguna fórmula se tiene:

1 1 du ln x   du   u u 1

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

43

ln x  ln u  ln u  1  c simplificando y sustituyendo u = y/x

ln x  ln

y y  ln  1  c x x

simplificando aplicando propiedades de los logaritmos

y yx  ln  ln x  c x x y y  x  ln c x3 ln

ln

y 2  yx x3

e  ec y 2  xy  c1 x 3 es la solución general sustituir la condición

y 1  2 para obtener la solución particular

 22  1 2  c1 13 4  2  c1 c1  2

y 2  xy  2x 3 es la solución particular

  x 11) ydx   yCos    x dy  0  y   sujeta a y 0   2 Solución: se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: x = vy dx = vdy + ydv

   vy  y vdy  ydv    yCos   vy dy  0  y   desarrollar para separar las variables

yvdy  y 2 dv  yCosv dy  vydy  0

integrando ambos lados

y 2 dv   yCosv dy 1 1 dv   dy Cosv y 1 1  Cosv dv    y dy

 Secvdv   ln y ln Secv  Tanv   ln y  c simplificando y sustituyendo v = x/y

ln Sec

x x  Tan   ln y  c y y

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

44

simplificando aplicando propiedades de los logaritmos

 x ln y Sec  Tan y 

x  c y 

 x x ln y  Sec Tan  y y 

 ec  x x y Sec  Tan   c1 es la solución general y y 

e

sustituir la condición y(0) = 2 para obtener la solución particular

0 0  2 Sec  Tan   c1 2 2  2Sec0  Tan0   c1 21  0   c1 c1  2

 x y Sec  Tan y 



12) x  y 2  xy

x   2 es la solución particular y 

 dydx  y

1 sujeta a y   1 2



Solución: ydx  x  y  se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: x = vy dx = vdy + ydv 2



xy dy  0





y vdy  ydv   vy  y 2  vyy dy  0

desarrollar para separar las variables

yvdy  y 2 dv  vydy  y 1  v dy  0

integrando ambos lados

y 2 dv  y 1  v dy 1 1 dv  dy y 1 v 1 1  1  v dv   y dy 1 1 2 dv    1  v   y dy 1

 21  v  2  ln y  c simplificando y sustituyendo v =x/y 1

 x 2  21    ln y  c y 

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

45

2

yx  ln y  c y

2 yx 

y ln y  c y es la solución general

sustituyendo la condición y(1/2)=1

 2 1

1  1 ln 1  c 1 2

1 c 2 c 2 2 yx  2

simplificando

y ln y  2 y es la solución particular

y dy y   Cosh x dx x sujeta a y 1  0

13)

dy y y   Cosh dx x x y y  dy   Cosh  dx x x  y   xdy   xCosh  y dx x   y    xCosh  y dx  xdy  0 x  

Solución:

se observa que la ecuación es homogénea de grado 1 sustitución sugerida: y = ux dy = udx+xdu

ux    xCosh  ux dx  xudx  xdu   0 x   desarrollar para separar las variables

xCoshudx  uxdx  xudx  x 2 du  0 xCoshudx  x 2 du 1 1 dx  du x Coshu 1 1  x dx   Coshu du ln x   Sechudu

integrando ambos lados

ln x  2Tan 1e u  c simplificando y sustituyendo u =y/x y 1 x

ln x  2Tan e  c sustituyendo la condición y(1)=0 0 1 1

ln 1  2Tan e  c M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

46

es la solución general

02

 c 4 1

c y x

ln x  2Tan e 

 2

 2

es la solución particular

V VERIFIQUE QUE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEA EXACTA Y RESUÉLVALA









1) 2 xy  3x 2 dx  x 2  2 y dy  0 Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y   2 xy  3x 2

y

N  x, y   x 2  2 y

y

N  2x x

respectivamente con respecto a y y a x

M  2x y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  2 xy  3x 2

2 F

y

y

 N  x2  2y

Para determinar F, se integra la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F  yx 2  x 3  C  y 

C(y) es una constante de integración desconocida, para determinala se toma en cuenta que la función F de la ecuación (3) debe también satisfacer la ecuación (2). Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  x2  C´ y  x2  2 y y C´ y  2 y

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

C y  y 2

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  x, y   yx 2  x 3  y 2  C Procedimiento informal: Ya se comprobó que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  2 xy  3x 2

2 F

y

y

 N  x2  2y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y (no se agregará constante de integración, recordar que el procedimeinto es informal y que esta constante aparece hasta el final)

3F  x 2 y  x 3

4F  x 2 y  y 2

agrupar en una sola función los términos que quedan evitando repetirlos, así, la solución es

F  x, y   x 2 y  x 3  y 2  c

2)r  Sen  Cos dr  r Sen  Cos d  0 Solución: Derivar parcialmente las funciones

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

47

M r ,    r  Sen  Cos

y

respectivamente con respecto a y y a x

M  Cos  Sen 

N r ,    rSen  rCos N  Sen  Cos r

y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(r,)=c

1 F r

 r  Sen  Cos

2 F

y

 rSen  rCos



Para determinar F, se integra la ecuación (1) con respecto a r, manteniendo  constante

3F  r

2

 rSen  rCos  C  

2

Derivar (3) con respecto a  e igualar a (2).

F  rCos  rSen  C ´    rSen  rCos  C ´    0

integrando ambos lados respecto a  se obtiene

C    0

sustituyendo C() en (3) se llega a la solución general

r2  rSen  rCos  C ó r 2  2rSen  2rCos  C1 2

F r ,   Procedimiento informal:

1 F r

 M  r  Sen  Cos

2 F

y



integrar la ecuación (1) con respecto a r, y la (2) con respecto a θ

3F  r

2

4F  rCos  rSen

 rSen  rCos

2

 N  rSen  rCos

agrupar en una sola función los términos que quedan evitando repetirlos, así, la solución es

F r ,  





r2  rSen  rCos  C 2



ó

r 2  2rSen  2rCos  C1



3) y 3  y 2 Senx  x dx  3xy 2  2 yCosx dy  0 Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y   y 3  y 2 Senx  x

y

respectivamente con respecto a y y a x

M  3 y 2  2 ySenx y

N  x, y   3 xy 2  2 yCosx N  3 y 2  2 ySenx x

y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  y 3  y 2 Senx  x

y

2 F y

 N  3 xy 2  2 yCosx

Para determinar F, se integra la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F  y 3 x  y 2 Cosx  x

2

2

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

 Cy

48

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  3 y 2 x  2 yCosx  C ´  y   3 xy 2  2 yCosx y C´ y  0

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

Cy  0

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  x, y   y 3 x  y 2 Cosx 

x2 C ó 2

2 y 3 x  2 y 2 Cosx  x 2  C1

Procedimiento informal:

1 F x

 M  y 3  y 2 Senx  x

2 F

y

y

 N  3 xy 2  2 yCosx

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  y 3 x  y 2 Cosx  x

2

4F  xy 3  y 2 Cosx

2

agrupando términos la solución es

F  x, y   y 3 x  y 2 Cosx 







x2 C ó 2

2 y 3 x  2 y 2 Cosx  x 2  C1



4) 3 x 2 y  e y dx  x 3  xe y  2 y dy  0 Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y   3 x 2 y  e y

y

N  x, y   x 3  xe y  2 y

y

N  3x 2  e y x

respectivamente con respecto a y y a x

M  3x 2  e y y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  3x 2 y  e y

y

2 F y

 N  x 3  xe y  2 y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F  yx 3  xe y  C  y 

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  x 3  xe y  C ´  y   x 3  xe y  2 y y C ´  y   2 y

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

C y   y 2

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  x, y   yx 3  xe y  y 2  C Procedimiento informal:

1 F x

 M  3x 2 y  e y

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

2 F

y

y

49

 N  x 3  xe y  2 y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  x 3 y  xe y

4F  yx 3  xe y  y 2

agrupando términos la solución es

F  x, y   yx 3  xe y  y 2  C

 3   3  5)1   y dx  1   x dy  0 y  x    Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y   1 

3 y x

N  x, y   1 

y

respectivamente con respecto a y y a x

M 1 y

3 x y

N 1 x

y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  1

3 y x

y

2 F y

 N  1

3 x y

 N  1

3 x y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F  x  3 ln x  yx  C  y 

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F 3  x  C´ y  1   x y y 3 C´ y  1  y

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

C  y   y  3 ln y

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  x, y   x  3 ln x  yx  y  3 ln y  C

Procedimiento informal:

1 F x

 M  1

3 y x

y

2 F y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  x  3 ln x  yx

4F  y  3 ln y  xy

agrupando términos la solución es

F  x, y   x  3 ln x  yx  y  3 ln y  C

1  dx  6) x 2 y 3   x3 y 2  0 2  1  9 x  dy  1   2 3 Solución: dx  x 3 y 2 dy  0 x y  2  1  9x   Derivar parcialmente las funciones

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

50

M  x, y   x 2 y 3 

1 1  9x 2

N  x, y   x 3 y 2

y

respectivamente con respecto a y y a x

M  3x 2 y 2 y

N  3x 2 y 2 x

y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M  x2 y3 

1 1  9x 2

y

2 F y

 N  x3 y 2

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F 

y3 x3 1  Tan 1 3x   C  y  3 3

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  y 2 x3  C´ y  x3 y 2 y C´ y  0

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

Cy   0

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F

y3 x3 1  Tan 1 3 x   C ó F  y 3 x 3  Tan 1 3 x   C1 3 3

Procedimiento informal:

1 F x

 M  x2 y3 

1 1  9x 2

y

2 F y

 N  x3 y 2

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  x

3

y3 1  Tan 1 3 x  3 3

4F  x

agrupando términos la solución es

F

3

y3 3

y3 x3 1  Tan 1 3 x   C ó F  y 3 x 3  Tan 1 3 x   C1 3 3

 1  dy 7)  y  y  Senx   Cosx  2 xy  2 1  y  dx  1  Solución:  y 2  ysenx dx    Cosx  2 xy dy  0 2 1  y 





Derivar parcialmente las funciones

M  x, y    y 2  ySenx

N  x, y  

y

N  2 y  Senx x

respectivamente con respecto a y y a x

M  2 y  Senx y

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

1  Cosx  2 xy 1 y2

y

51

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

 M   y 2  ySenx

2 F

y

y

N

1  Cosx  2 xy 1 y2

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante

3F   y 2 x  yCosx  C  y 

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F 1  2 yx  Cosx  C ´  y    Cosx  2 xy y 1 y2 1 C´ y  1 y2

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

C  y   Tan 1 y

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  x, y    y 2 x  yCosx  Tan 1 y  C Procedimiento informal:

1 F x

 M   y 2  ySenx

2 F

y

y

N

1  Cosx  2 xy 1 y2

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F   y 2 x  yCosx

4F  Tan 1 y  yCosx  xy 2

agrupando términos la solución es

F   y 2 x  yCosx  Tan 1 y  C

8)

 1  1 dx    3 y 2 dy  0 x y x y  Sujeta a :y(0)=1

Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y  

1 x y

N  x, y  

y

respectivamente con respecto a y y a x

M 1  y  x  y 2

1  3y2 x y

N 1  x  x  y 2

y

Concluimos que la ecuación es exacta y su solución es F(x,y)=c

1 F x

M 

1 x y

y

2 F y

N

1  3y 2 x y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante o visceversa

3F  ln x  y  C  y 

Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

52

F 1 1   C´ y  N   3y2 y x  y x y ´ 2 C  y   3y integrando ambos lados respecto a y se obtiene

Cy  y 3

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  x, y   ln x  y  y 3  C

sustituyendo la condición y(0)= 1

ln 0  1  1  C 3

ln 1  1  C C=1

F  x, y   ln x  y  y 3  1 es la solución particular

Procedimiento informal:

1 F x

M 

1 x y

2 F

y

y

N

1  3y 2 x y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  ln x  y

4F  ln x  y  y 3

agrupando términos la solución general es

F  x, y   ln x  y  y 3  C

VI COMPRUEBE QUE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL NO ES EXACTA, MULTIPLÍQUELA POR EL FACTOR INTEGRANTE DADO Y RESUÉLVALA

1) y  x  y  1dx   x  2 y dy  0

  x, y   e x

Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y   yx  y 2  y

respectivamente con respecto a

N  x, y   x  2 y

y

y yax

N 1 x x la ecuación no es exacta, la multiplicaremos por el factor integrante   x, y   e M  x  2y 1 y

yxe

x

y







 y 2 e x  ye x dx  xe x  2 ye x dy  0

derivar nuevamente con respecto a y y a x

M  x, y   yxe x  y 2 e x  ye x M  xe x  2 ye x  e x y

N  x, y   xe x  2 ye x N  xe x  e x  2 ye x x

y y

concluimos que la nueva ecuación diferencial es exacta así,

1 F x

 M  yxe x  y 2 e x  ye x

y

2 F y

 N  xe x  2 ye x

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante o visceversa

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

53

3F  yxe x  ye x  y 2 e x  ye x  C  y  3F  yxe x  y 2 e x  C  y  Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2)

F  xe x  2 ye x  C ´  y   N  xe x  2 ye x y C´ y  0

integrando ambos lados respecto a y se obtiene

Cy  0

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  yxe x  y 2 e x  C Procedimiento informal:

1 F x

 M  yxe x  y 2 e x  ye x

y

2 F y

 N  xe x  2 ye x

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  yxe x  y 2 e x

4F  yxe x  y 2 e x

agrupando términos la solución es

F  yxe x  y 2 e x  C





2) 2 y 2  3 x dx  2 xydy  0

  x, y   x

Solución: Derivar parcialmente las funciones

M  x, y   2 y 2  3 x

y

N  x, y   2 xy

respectivamente con respecto a y y a x

M  4y y

N  2y x la ecuación no es exacta y la multiplicaremos por el factor integrante   x, y   x

2 xy

2

y



 3x 2 dx  2 x 2 ydy  0

derivar nuevamente con respecto a y y a x

M  x, y   2 xy 2  3x 2 M  4 xy y

y y

la nueva ecuación diferencial es exacta así,

1 F x

 M  2 xy 2  3x 2

y

N  x, y   2 x 2 y N  4 xy x

2 F y

 N  2x 2 y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, manteniendo y constante o visceversa

3F  y 2 x 2  x 3  C  y  Derivar (3) con respecto a y e igualar a (2).

F  2 yx 2  C ´  y   N  2 x 2 y y

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

54

C´ y  0 integrando ambos lados respecto a y se obtiene

Cy  0

sustituyendo C(y) en (3) se llega a la solución general

F  y 2 x2  x3  C Procedimiento informal:

1 F x

 M  2 xy 2  3x 2

y

2 F y

 N  2x 2 y

integrar la ecuación (1) con respecto a x, y la (2) con respecto a y

3F  x 2 y 2  x 3

4F  x 2 y 2

agrupando términos la solución es

F  y 2 x2  x3  C VII RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1)

x2

dy  xy  1 dx

Solución:

2

Dividiendo entre x y simplificando

El factor integrante es:

1 1 dy 1 1  y  2 es lineal donde p x   , f x   2 dx x x x x 1

Sustituyendo en

2)

p  x dx  dx ln x F .I  e  e x e x  1  x 2 dx   F . I   f  x   dx ln x  c x  y     x x F .I ln x  c y es la solución general. x

x  4 y dy  2 ydx  0 2

Solución: Dividiendo entre Darle la forma

x  4 y 2 y simplificando se observa que

2y dy   0 no es lineal en y dx x  4 y 2

dx  p y x  f  y  dy

Aplicando la recíproca en ambos lados de

dy  2y  dx x  4 y 2

dx x  4 y 2  dy  2y M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

55

dx 1  x  2y dy 2y dx 1  x  2 y ecuación lineal en x donde dy 2 y 1 , f  y   2 y p y   2y el factor integrante es:

F .I  e 

F .I 

p  y dy

1

 e2

1

 y dy

1

 e2

ln y

 eln

y



y

y Sustituyendo en ¿

x

 F .I  f  y dy  

x 3)

F .I

c 4 2 y  5 y

5 2

y y  2 y dy  2  y dy  4 5  c   1 y y y 2 3/ 2

Es la solución general.

xdy  4 y  x3  x dx Solución: Dividiendo entre x y simplificando

dy 4  y  x2  1 dx x

donde

px  

4 , x

f x   x 2  1

1

El factor integrante es:

Sustituyendo en

4) xy   1  Solución:

4  dx 4 4 ln x F .I  e x  e  e ln x  x 4 F .I  x 4 F .I  f x dx  x 4 x 2  1 dx  x 6  x 4 dx  y   F .I x4 x4 x7 x5  c x3 x c 5 x 7  7 x 5  35c 5  7    c1  35c  7 5 x4 x4 35 x 4 5 x 7  7 x5  c1 Es la solución general. y 35 x 4



x  y  e  xSen 2 x

dy  1  e  x Sen2 x    1 y  dx  x  x x 1 e Sen2 x p x    1, f  x   x x

Dividiendo entre x y simplificando Donde



M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

56





1

El factor integrante es:

F .I  e



  x 1 dx

e

ln x  x

e

ln x

.e x  xe x

F .I  xe x Sustituyendo en la fórmula

e  xe  x

y

5)



x

Sen2 x  dx x 

xe x



xe x  Cos 2 x  c1 y 2 xe x

Es la solución general.

dy 1  e 2 x y x dx e  e x p x   1,

Solución:

El factor integrante es: F .I Sustituyendo en la fórmula

 e

f x  

dx

 1 e  e 

2 x

y

x

e e ex ln e x  e  x  c x

y

1  e 2 x e x  e x

 ex

x

6)

1  Cos 2 x  c  Cos 2 x  2c  2  x xe 2 xe x

 Sen2 xdx

ex

 e x  e x dx dx    e x  e x ex es la solución general.

y  Cos x dx  Cosxdy  0 2

Solución:





Cosxdy  Cos 2 x  y dx dy  Cos 2 x  y Cosx dx

Dividiendo entre Cosx y simplificando

dy 1  Cosx  y dx Cosx dy 1  y  Cosx o dx cos x Donde: El factor integrante es:|

p x   Secx,

dy  Secxy  Cosx lineal en y dx

f  x   Cosx

Secxdx ln Secx tan x F .I  e  e  Secx  Tanx F .I  Secx  Tanx

sustituyendo en la fórmula

y

 Secx  Tanx Cosxdx Secx  Tanx

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

57

c1  2c



7)

 SecxCosxdx   TanxCosxdx   dx   Senxdx  x  Cosx  c

1  x  dy  3x dx 3

Secx  Tanx Secx  Tanx Secx  Tanx x  Cosx  c es la solución general. y Secx  Tanx

2

y

Solución:

Dividiendo entre 1 

x3 y simplificando

el factor integrante es:

dy 3 x 2 y  dx 1  x 3 dy 3 x 2  y  0 lineal en y donde dx 1  x 3 3 x 2

 1 x3 dx

F .I  e F .I  1  x 3

e

ln 1 x 3

px  

 1  x3

sustitución en la misma formula

 1  x 0dx  y 3

1 x

y

8)

x

c 1  x3

3

0c 1  x3

es la solución general.

dy  2 y  e x  ln x dx

Solución:

Dividiendo entre x y simplificando donde:

p x  

2 , x

dy 2 e x  ln x lineal en y  y dx x x e x  ln x f x   x

2

2  dx 2 ln x F .I  e x  e  eln x  x 2 F .I  x 2

sustituyendo en la fórmula x 2  e  ln x   x   x dx  xe x dx   x ln xdx  y x2 x2

integrando ambas integrales por partes

y

xe x  e x 

x2 x2 ln x   c 2 4 2 x

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

58

 3x 2 , 1  x3

f x   0

y

x

9)

2

4 xe x  4e x  2 x 2 ln x  x 2  c1 4x2

es la solución general

c1  4c .

 dy  2 y   x  1 dx

2

1

Solución:

dividiendo entre x  1 y simplificando 2

dy 2 x  1 y 2  2 dx x  1 x 1 x  1x  1 dy 2  2 y dx x  1 x  1x  1 dy 2 x 1 2 lineal en y donde p x   2  2 , y dx x  1 x 1 x 1 2

2

usando una fórmula

F .I  e

F .I  sustituyendo en la fórmula

 x 2 1dx

e

 1 x 1  2  ln   2 x 1 

x 1 x 1 x 1 x 1

y



 x  1. x  1 dx



 dx

x 1 x 1



xc x 1 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1 x  1x  c  es la solución general. y x 1 dy  yCotx  2Cosx dx dy Solución:  (Cotx ) y  2Cosx lineal en y dx Donde p x   Cotx, f  x   2Cosx

10)

Cotxdx ln senx F .I  e  e  Senx F .I  Senx

sustituyendo en la fórmula

y

 Senx2Cosx dx  2 SenxCosxdx

integrando por cambio de variable

Senx

Senx

2Senx  c Sen 2 x  c c 2   Senx  y Senx Senx Senx y  senx  cCscx es la solución general 2

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

59

f x  

x 1 x 1

11)





ydx  ye y  2 x dy

Solución:

y

dx  ye y  2 x dy dx  p y x  f  y  dy

Dividir  y para que la ecuación diferencial tenga la forma

dx 2  ey  x dy y dx 2 2   e y es lineal en x donde p y   , y dy y F .I  e

2

f y  e y

1

 y dy

e

2 ln y

2

 e ln y  y 2

F .I  y 2 sustituyendo en

 F .I  f  y dy   y x F .I

2

e y dy

y2

integrando dos veces por partes

x

y 2 e y  2 ye y  2e y  c es la solución general y2

dy  y 1 dx Sujeta a: y  0  3

12)

Cos 2 x

Solución:

donde

dy 1 1  y 2 dx Cos x Cos 2 x dy  ( Sec 2 x) y  Sec 2 x lineal en y dx p x   Sec 2 x, f  x   Sec 2 x

El factor integrante es

F .I  e 

Dividir

 Cos 2 x

sustituyendo en la formula

y

Sec 2 xdx

 e Tanx  F .I  f x dx

F .I

e 

Tanx

Sec 2 xdx

e Tanx

Tanx

es la solución general y  1  ce sustituyendo la condición y  0  3

 3  1  ceTan 0   4  ceº c  4 y  1  4e Tanx es la solución particular

dy  2y  0 dx Sujeta a: y 3  6

13)

xx  2

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

60

e Tanx  c  e Tanx

Solución: Dividir entre

x x  2  y simplificar dy 2 2  y  0 lineal en y donde p x   , xx  2 dx x x  2  2

el factor integrante es

F .I  e

e

2

 x  x  2  dx

e

1

 x 2 2 x 11

F .I  e

x2 ln x

e 

2

2

1

 x  x  2  dx

e

1

  x 12 1 dx

e

2

f x   0

1

 x 2  2 xdx

 1  x 11  2  ln   2  x 11 

x2 x

se completó cuadrados en el denominador de la integral y se usó una formula de integración.

entonces

x2 0dx 0  c cx x   y x2 x2 x2 x x cx Es la solución general. y x2



sustituyendo la condición

entonces

y 3  6 c3 c2 6 32 2x es la solución particular. y x2

VIII RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE BERNOULLI 1)

x

dy 1 y 2 dx y

Solución: dividir entre x donde: sustituir en

dy 1 1  y  y  2 es de Bernoulli en y dx x x 1 1 p x   , f  x   , n  2, 1  n  3, w  y 3 x x dw  1  n  p x w  1  n  f  x  dx dw  1  1  3  w  3  dx  x x dw 3 3 3 3 es lineal en w donde p x   , f  x    w x x dx x x 3

el factor integrante es

F .I  e

 x dx

 e3 ln x  x 3

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

61

 F .I  f x dx w  F .I 

sustituir en



x

3

3  dx 3 x 2 dx x3  c  x    x3 x3 x3

x3  c x3 x3  c y3  Es la solución general. x3

w sustituir

2)

w  y3

dy  y  ex y2 dx

Solución:

p x   1,

es de Bernoulli en y donde

dw  1  n  p x w  1  n  f  x  dx dw   1 1w   1e x dx dw  w  e x lineal en w donde dx dx F .I  e   e x

sustituir en

el factor integrante es

w

sustituir en

w

w  y 1 

F .I

 

x x  e  e dx



  e 2 x dx ex

1  e2 x  c  2 x e

c1  2c

1 y

1  e 2 x  c1  y 2e x

y

3)



2e x es la solución general. c1  e 2 x



dy  y xy 3  1 dx

Solución:

p x   1,

 F .I  f x dx

ex  e 2 x  2c w 2e x

sustituir

f  x   e x , n  2, 1  n  1, w  y 1

dy  xy 4  y dx dy  y  xy 4 Bernoulli en y dx

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

62

f  x   e x

donde sustituir en la fórmula

p x   1,

f  x   x, n  4, 1  n  3, w  y 3

el factor integrante es

dw   31w   3x dx dw  3w  3x lineal en w donde p x   3, dx  3 dx F .I  e   e 3 x

sustituir en la fórmula

 e  3x dx   3 e w 3 x

integrando por partes

sustituir

w  y 3 

3 x

f  x   3 x

xdx

e3x e 3 x 1  1   3  xe 3 x   e  3 x dx  xe 3 x  1 e 3 x  c 3  3   3 w 3 x e e 3 x 1 w  x   ce3 x 3 1 y simplificar y3

1 3 x  1  3ce3 x  c1  3c y3 3 3 es la solución general y3  3x  1  c1e3 x 4)

x

dy  1  x  y  xy 2 dx

Solución: dividir entre x donde sustituir en la fórmula

el factor integrante es

dy 1  x   y  y 2 Bernoulli en y dx x 1  x  , f x   1, n  2, 1  n  1, w  y 1 px    x

dw   1  x     1  w   11 dx  x  dw 1  x 1 x  w  1 lineal en w donde p x   , x dx x 

1 x dx x

F .I  e F .I  xe x sustituir en la fórmula

1

e



  x 1 dx

e

ln x  x

e

 xe  1dx    xe dx   xe w x

xe

x

x

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

xe

x

63

ln x

x

.e x  xe x



 ex  c xe x

f  x   1

 xe x  e x  c xe x 1  xe x  e x  c  y xe x

w sustituir

1 y

w  y 1 

xe x y  xe x  e x  c

5)

x2

es la solución general

dy  y 2  xy dx

Solución:

dividir entre x

dy 1 2 1  y  y dx x 2 x

2

dy 1 1  y   2 y 2 Bernoulli en y dx x x 1 1 px   , f  x   2 , n  2, 1  n  1, w  y 1 x x

donde sustituir en la fórmula

dw  1   1   1   w   1  2  dx  x   x dw 1 1  w  2 lineal en w donde dx x x 1 dx  ln x F .I  e x  e x

el factor integrante es sustituir en la fórmula

 1 dx 2   w  x ln x  c w x

 x x

sustituir

w  y 1 



3 1  x2

Solución: dividir entre

 dy  2 xy  y dx



x



ln x  c x

1 y y

6)

1

 x dx

3

x es la solución general. ln x  c



1



3 1  x 2 y simplificar

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

64

px  

1 , x

f x  

1 x2





dy 2 xy y 3  1 2 xy 4 2 xy    2 2 dx 31 x 31 x 3 1  x2 2x 2x dy  y y 4 Bernoulli en y 2 dx 3 1  x 3 1 x2 2x 2x px   , f x   , n  4, 1  n  .3, w  y 3 2 2 31  x  31  x 







donde

sustituir en la fórmula





w

1



2





2dy y x   2 dx x y Sujeta a: y  1  1

Solución: dividir entre 2



ln 1 x 2



2

1 c 2 dx  1  x  1 c 1 x2 1 1 x2

w  1  c 1  x2 1  3 y 1  1  c 1  x2 y3 1 Es la solución general. y3  1  c1  x 2 



7)

2x

 1 x 2 dx

  2 x  dx 2  2   1  x     2 x 1  x 1 1 2 1 x 1 x2

  1  x

w  y 3





F .I  e e e 2 1  1 1  eln 1 x   1  x 2   1  x2 1 F .I  1  x2



sustituir





2 x

sustituir en la fórmula



2 x  w  3 2 x  dw   3 dx 3 1  x2 3 1  x2 dw 2x  2x lineal en w  w 2 dx 1  x 1  x2  2x  2x px   , f x   2 1 x 1 x2  1 x 2 dx

el factor integrante es

 





donde



dy y x   2 dx 2 x 2 y

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

65





dy 1  x 2 Bernoulli en y  y y dx 2 x 2 1 x p x    , f  x   , n  2, 1  n  3, w  y 3 2x 2

donde

sustituir en la fórmula

dw   1   x  3  w  3  dx  2x   2  dw 3 3x w  lineal en w dx 2 x 2 3 3 px    , f x    x 2x 2

donde

3

3

el factor integrante es

F .I  e

  2 x dx

e2

ln x

3

 e ln x

2

x

3

2

3

F .I  x 2 sustituir en la fórmula 1

3 x 2 c 3   3x   3 12 2 2 1 1 x dx   x dx   2    3x 2  c 2 2 w w   3 3 3 3 x 2 x 2 x 2 x 2 3 1 w  x 2   3 x 2  c    3 1 3 sustituir w  y y 3  x 2   3x 2  c    3 2 3/ 2 es la solución general. y  3 x  cx sustituir la condición y 1  1

13  312  c1 2 3

1  3  c c4

y 3  3 x 2  4 x

entonces

3

2

es la solución particular

3 dy  y 2 1 dx Sujeta a: y (0)  4

8)

y

1

2

Solucion: dividir entre

y

1

2

y simplificar

dy 1  y  y 2 Bernoulli en y dx donde

p x   1,

3

1 3 f x   1, n   , 1  n  , w  y 2 2 2

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

66

dw 3 3  w dx 2 2

sustituir en la fórmula

3

F .I  e

el factor integrante es

sustituir en la fórmula

w

e

 2dx

w y

3

2

sustituir la condición

px  

3 , 2

f x  

3 2

3 x 2

3 x 2

3 3 x dx 2 2 =e c 3 x 3 x e2 e 2

w  1  ce sustituir

e

lineal en w donde

3 x 2

3

y 2  1  ce y 0  4

3 x 2

es la solución general

4 2  1  ceº 3

8 1  c

y

entonces

3

2

c7

 1  7e

3 x 2

es la solución particular

IX HAGA LA SUSTITUCIÓN ADECUADA PARA LLEVAR LA ECUACIÓN DIFERENCIAL A UNA DE VARIABLES SEPARABLES

1)

dy 1  x  y  dx x y

u  x y

du dy  1 dx dx

derivando implícitamente con respecto a x despejando

dy se tiene dx

dy du  1 dx dx

sustituyendo en la ecuación diferencial, se tiene

separando variables

integrando ambos lados

du 1 u 1  dx u du 1  u  1 dx u du 1  u  u  dx u du 1  dx u udu  dx  udu   dx u2  xc 2

simplificando y sustituyendo u = x + y

 x  y 2

 2 x  c1 donde c1  2c es la solución general

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67

2)

dy  2  y  2x  3 dx

u  y  2x  3

du dy  2 dx dx

derivando implícitamente con respecto a x despejando

dy dx

dy du  2 dx dx

sustituyendo en la ecuación diferencial, se tiene

separando variables integrando ambos lados

du 2  2 u dx 1 du  dx u 1  u du   dx 1

 u 2 du   dx 1

2u 2  x  c sustituyendo u = y – 2x + 3

2 y  2 x  3  x  c es la solución general APLICACIONES 1) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 160pies/seg. Obtenga la velocidad después de 3, 5 y 7 segundos. Explique el movimiento Solución: El diagrama siguiente describe el movimiento

dx dt

m

x

t=0

x es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido. El peso subida y la aceleración es

2

w  ma es una fuerza que está actuando en la

d x dv o bien a   porque el movimiento es hacia arriba, así 2 dt dt dv mg  m dt

a

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68

ó

dv  g dt

entonces la ecuación diferencial que decribe el movimiento es

dv  g dt

Sujeta a: v(o) = 160

Esta ecuación se resuelve por el método de variables separables teniendo a v como variable dependiente así,

dv  g dt dv   gdt

Solución:

 dv   g  dt

v   gt  c 2 aplicando la condición v (0)=160: 160   g 0   c luego c  160 y g  32 pies / s v  32t  160 es la solución general si t = 3 si t = 5 si t =7

v3  323  160  64 v5  325  160  0 v7   327   160  64

A los 3 segundos, el objeto sube alcanzando una velocidad de v  64 pies / s . En t = 5 segundos alcanza su altura máxima, luego, a los 7 segundos va de vualta hacia abajo con una velocidad de

v  64 pies / s .

2) Se sabe que la poblacion inicial de una comunidad es de 6 500 habitantes. Despues de 3 años es de 10000 habitantes. ¿ Cual sera la poblacion en 10 años ? Solución x t  Numero de habitantes presentes



dx  kx dt Sujeta a :

separando variables

integrando

aplicando la condición

x0  6500 x3  10000

dx  kx dt dx  kdt x dx  x  k  dt ln | x | kt  c

x0  6500 ln | 6500 | k 0   c

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69

así aplicando la condición

obtener la población en 10 años

c  8.77955746 ln | x | kt  8.77955746 x3  10000 ln | 10000 | k 3  8.77955746 k  0.1435943 ln | x | 0.1435943t  8.77955746

ln | x | 0.143594310   8.77955746 ln | x | 10.21550046

aplicando propiedades de los logaritmos

e ln| x|  e10.21550046 así, la población de habitantes en 10 años es x t   27,323 aproximadamente 3) Al cabo de 2 horas, la cantidad de bacterias en un cultivo es de 400 y, al transcurrir 10 horas hay 1800 ¿ Cuál sera el número inicial de bacterias ? Solución N(t)=Numero de bacterias presentes

separando variables

integrando

aplicando la condición

dN  kN dt Sujeta a: N 0   N 0 Cantidad Inicial N 2  400 N 10  1800 dN  kN dt dN  kNdt dN  kdt N dN  N  k  dt ln | N | kt  c N 0  | N 0

ln | N 0 | k 0  c

c  ln | N 0 | ln | N | kt  ln | N 0 | simplificando aplicando propiedades de los logaritmos

ln | N |  ln | N 0 | kt N ln | | kt N0 e

ln|

N | N0

 e kt

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70

N  e kt N0

luego aplicando las condiciones

N t   N 0 e kt

N 2   400 y N 10  1800 1 400  N 0 e k 2 

2

1800  N 0 e k 10 

Despejando N 0 de la primera ecuación

3

N0 

400 e 2k

y sustituir en la segunda ecuación para obtener el valor de K

1800 

400 10 k e e 2k

1800  e 8k 400 4.5  e 8 k aplicando las propiedades de los logaritmos

ln | 4.5 | ne 8k 1.5040774  8k k  0.1880096 Sustituir k en (3) para obtener el número de bacterias inicial

N0  luego

400

2 0.1880096 

e N 0  275 bacterias, aproximadamente es la población inicial

4) El isótopo radioactivo de plomo pb 209, se desintegra, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante, y tiene una vida media de 3.3 horas. Si inicialmente hay 2 gramos de plomo, ¿ Cuanto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento? Solución At   cantidad de plomo restante

separando variables

dA  kA dt Sujeta a: A0  2 Ao 1 A3.3  2 dA  kdt A dA  A  k  dt ln | A |  kt  c

aplicando la condición

A0  2

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71

ln | 2 | k 0   c ln 2   c ln | A | kt  ln | 2 | Aplicando propiedades de los logaritmos para simplificacar

ln | A |  ln | 2 | kt A ln | | kt 2 ln

así aplicando la condición

luego

A 2

e | e kt A  e kt 2 A  2e kt At   2e kt Ao 1 A3.3  2 1  2e k 3.3 1  e 3.3k 2 1 ln | | ln e 3.3k 2 ln | 1 |  ln | 2 | 3.3k  0.69314718  3.3k k  0.2100446 A (t )  2 e 0.2100446 t



Para que se desintegre el 90% : A t  10%  0.1 Este dato se sustituye en la ecuación anterior para obtener el valor de t

0 . 1  2 e  0 . 2100446 t 0.05  e 0.2100446 t ln 0.05  0.2100446t  2.995732  0.21004467t de donde, aproximadamente, en t  14 horas se desintegrará el 90% del plomo 209

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72

1.12 PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO I I CLASIFIQUE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES. ESPECIFIQUE LAS VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

1)

d 2x  4x  0 dt 2





2) x 2  y 2 dx  10 xydy  0

5)

dx  1  tx  x 2 dt d2y 7) 2  16 y  0 dx

2w 2w  16 t 2 x 2 dy 6)  Cosx dx   2u  2u  u  16 2  2  8) t y   x

d 2i di 1  R  i  EwCoswt 2 dt C dt dy 11) y  ty  Sent dt

d2y  dy   2   y  0 2 dx  dx  2 d y 12) 2  x 2 y  Tanx dx

13) y ''  3 xy  Tany ' dy  x 15)  dx y

14) y ''

3) y '''  3 y '  2 y  0

9) L

dV V2 dM w 2w 19)  10 2 t x 17)V  M

4)t

3

10)

 

2

 xy '  y  0

 

16) y ''  2 y y '

3

d 2I dI  4  5 I  100 Sen20t 2 dt dt 4    4  4 20) 4  2 2 2  4  x 2  y 2 dx y x y

18)

II DEMUESTRE QUE LA FUNCIÓN DADA ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE

1) x  2 y 2  cy

2) y  SenxCosx  Cosx 3) y  Cscx 4) y  3Cosx  4 5) x  7  2t  4e t 6) x 

t 4 2t 3   4t 2  3t  1 12 3 3

7) s  6u 2  32

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dx  x  2y2 dy dy  (Tanx ) y  Cos 2 x dx dy  (Cosx) y  0 Senx dx dy  3Senx dx dx  4e t  2 dt d 2x  8  4t  t 2 dt 2 ds 9 u du y

73

8)

d2y  12 x(4  x) dx 2 dy y dx dy  Secy dx

y  8 x 3  x 4  14 x  7

9) y  e x

10) x  Seny

III RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES

1) x  1

dy  x6 dx

R  y  x  5 ln x  1  c

dy  e 3x2 y dx 3) xdx  4  x 2 dy  0

R  3e 2 y  2e 3 x  c1

2)

R  y  c  4  x2

2

2

2

4) xy 3 dx  e x dy  0 dy 5) x 2 y  ey dx 6)1  ln x dx  1  ln y dy  0

R  e  x  y 2  c ó

7)dx  y 1  y 2 Sec 2 xdy 8) y ln x ln ydx  dy  0

R  2 x  Sen2 x  c  1  y 2 R  x ln x  ln ln y  x  c

9)16dx  x x 2  16dy

R  x  4 Sec









11) x 2 dx  y  x  1dy  0



R  x y  1  1  cx e y

R  x ln x  y ln y  c





2

yc 4  c2 y 2

R  1  e2x

10) ye 2 x dx  1  e 2 x dy

y 2 e  x  1  cy 2

R  x 2  y 2  2 x  2 ln x  1  c1



 dy y dx



12) e 2 x  1

R  y 2 e 2 y  1  c2 e 2 x

dy  e  y  e 2 x y dx 1 y dy 14)  1 x2 2 1 y2 x dx dy 1 2 x 15)   dx y y dy xy  2 y  x  2 16)  dx xy  3 y  x  3

R  3 ye y  3e y  3e  x  e 3 x  c1

13)e x y



 



1 2

R  1 y2  1 x2  c R  y 2  2 x 2  2 x  c1 R  y  2 ln y  1  x  5 ln x  3  c ó

R   y  1  c1  x  3 e x  y 2



17) x  x

 dy  y dx

y

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R

74



5



2

y  1  c1





x 1

2



18) e x  e  x

 dy y dx

 

R  yTan 1 e x  cy  1

2

 

dy  ln x y dx dy 20)  x2 y2  x2  y2 1 dx

19)

R  ln y  x ln x  x  c

R  3Tan 1 y  x 3  3 x  c1

IV RESUELVA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SUJETA A LA CONDICIÓN DADA

dy y 2  1 sujeta a y (2) =2  dx x 2  1 dx 22)  4 x 2  1 sujeta a x(/4)=1 dy

21)













23) 1  x 4 dy  x 1  4 y 2 dx  0

R   y  1 x  1   x  1 y  1 R  Tan 1 x  4 y 

3 4

 

R  Tan 1 2 y   Tan 1 x 2 

sujeta a y (1) =0

24) x 2



dy  y  xy sujeta a y (-1) =-1 dx



25) e  y  1 Senxdx  1  Cosx dy

 4

R  x ln  xy   1  x





R  1  e y 1  Cosx   1

sujeta a y (0) =0 V RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

1)  x  2 y dx  2 x  y dy  0





xydx  x 2  3 y 2 dy  0 dy 3) x 2  4 x 2  7 xy  2 y 2 dx 4)  x  y 4 x  y dx  x5 x  y dy  0 2)





R  ln x 2  y 2  4 tan 1  y   c1  x 2 2 2 R  x  6 y ln y  c 2 y R  x 2  y  2 x   c y  x  R  x y  x   c y  2 x  2

5) x 2  2 xy  4 y 2 dx  x 2  8 y  4 y 2 dy  0 R  x 2  4 y 2  cx  y  6) x 2  y 2 dx  xydy  0 R  y 2  2 x 2 ln x  c1 x 2 2 2 7) x  y dx  xydy  0 R  x 2 x 2  2 y 2   c1

8) xydx   x  2 y  dy  0 2

R  y 3  x  y   ce

x

y

9) xdx  sen 2  x / y  ydx  xdy   0

 2y  R  4 x ln x  c1 x  2 y  xsen   0  x 

10) y 2 dy  x xdy  ydx e x / y

R  y ln y  c1 y   y  x e

11)  x  y dx  3x  y dy  0 Sujeta a: y 2   1

R  2 x  2 y    x  y  ln  x  y   0

12) y  x 2  y 2 dx  xdy  0

R  x2  9  6y





M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

75

x

y

Sujeta a:



y( 3)  1



2 2 13) y  x  y dx  xdy  0

 

R  x2  2y 1

y 3 1 14) y  7 xy  16 x 2 dx  x 2 dy  0 Sujeta a: y 1  1 Sujeta a:





2





15) y 2 dx  x 2  3 xy  4 y 2 dy  0 Sujeta a: y 2   1

16) xydx  2x 2  2 y 2 dy  0 Sujeta a: y 0   1 17) y 9 x  2 y dx  x6 x  y dy  0 Sujeta a: y 1  1 18) y x 2  y 2 dx  x3 x 2  5 y 2 dy  0 Sujeta a: y 2   1 dy  y3  x3 19) xy 2 dx Sujeta a: y 1  2 dy 20) 2 x 2  3 xy  y 2 dx Sujeta a: y 1  1 21)

x  Sujeta a:

22)

xy

 dy x y  x dx

y 1  1



y 0  1



23)  ydx  x 

25) 26)

y3/ 2



y 2 dx  x 2  xy  y 2 dy  0 Sujeta a:

24)

1 / 2



y/x



y/x





R  y 4 3x 2  4 y 2  4 R  3x 3  x 2 y  2 y 2  0 R  2 y 5  2 x 2 y 3  3x  0

R  y 3  3 x 3 ln x  8 x 3 R  y 2  4 xx  y 

2

R  3x 3 / 2 ln x  3x1 / 2 y  2 y 3 / 2  5 x 3 / 2

R   x  y  ln y  x  0 2

2 x 2 ydx  3x 3  y 3 dy  y  xCot ( y ) dx  xdy  0 x  

x  ye dx  xe

R  42 y  x  ln y  2 y  x

R  4 x  y ln y  c 

xy dy  0



R  x  y   y  4 x  ln x

dy  0



R  y9  c x3  y3 R  xCos y   c  x R  ln x  e

y

x



2

1

Sujeta a: y 1  0

27)

y

2

Sujeta a:

28) 29)







 3xy dx  4 x 2  xy dy

y 1  1

xdy  y  x2  y2 dx x 2 e  y / x  y 2 dx  xydy



R  4 x ln



M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

y  x ln x  y  x  0 x

R  y  x 2  y 2  c1 x 2

R  x ln x  ye y / x  xe y / x  cx

76

30)

dy x  3 y  dx 3 x  y

R  x  y   c2 x  y  4

2

VI RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

x  2 y dx  2 x  y dy  0 6 x  y 2 dx  y2 x  3 y dy  0

R  x 2  4 xy  y 2  c R  3x 2  xy 2  y 3  c

y  2 xy  6 x dx  x  2 xy  2dy  0 R  xy  x y  3x  2 y  c 1  y  xy dx  x y  y  2 xy dy  0 R  2 x  y 1  x   c 2 xy  tan y dx  x  x sec y dy  0 R  x y  x tan y  c x3 xy  4 y  6dx  x  6 x y  1dy  0 R  x y  2 x y  3x  y  c Sen  2rCos  dr  rCos 2rSen  1d  0 R  rSen  r Cos   c 2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

2

3

2 xydx  y 2  x 2 dy  0

2

2

2





x ydx  ln x  3 y dy  0

 2x

2

 

2

2

2

xc

R  x  y  3 xy  c 2

2

R  y ln x  y 3  c



2

 2 xe x y dx  e x  2 y dy  0 R  x 2  e x y  y 2  c 2 2 3 4 14) 2 x  3x y dx  2 x y  5 y dy  0 R  x2  x3 y 2  y5  c 2 2 15) Cos  x  y dx  Cos  x  y   2 ySen y  dy  0 R  Sen x  y   Cos  y   c 13)

3

2

2

2 x  3 y dx  2 y  3x dx  0 2

2

R  x 2  senxy   c

  R  y 3 x  y   c 2 xyCosx   2 xy  1dx  Senx   x dy  0 R  ySenx  yx 1

2

2

2

9)

12)

2

2

2 x  yCosxy dx  xCosxy dy  0

11)

2

2

8)

10)

2





R  3x 2  4 y 2  c

3xdx  4 ydy  0 x y 17) y   x y 2 2 18) 2 xyy   x  y dy x  yCosx 19)  dx Senx  y 16)

20) 21) 22) 23) 24) 25)

R  x 2  2 xy  y 2  c R  3 xy 2  x 3  c R  x 2  y 2  2 ySenx  c

dr r 2 Sen  d 0 2rCos  1 ye  x  Senx dx  e  x  2 y dy  0  2 y  x  dx  ln x  2 y dy  0 x  yy  e x  y  x e  2 xy 2 y  x  y   y  2 x Sujeta a: y 1  2 2 xydx  x 2  1dy  0 Sujeta a: y 1  3

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

R  r 2 Cos  r  c R  ye  x  Cosx  y 2  c R  x 3  3 y ln x  3 y 2  c R  ye x  xy 2  c R  x 2  xy  y 2  3 R  x2 y  y  6  0

77

26) 27) 28)

xCosydy  (2 x  Seny )dx  0 Sujeta a: y 2   0 2 x  2 ye 2 x y   2 xy  2 y 2 e 2 x  0 Sujeta a: y 0  1





4 y  2 x  5dx  6 y  4 x  1dy  0 Sujeta a: y  1  2

 3y 2  x2 29)  y5 

 dy x   4  0  dx 2 y Sujeta a: y 1  1 x y 30) e  y dx  2  x  ye dy  0 Sujeta a: y 0  1

R  x 2  xSeny  4 R  x 2 y  y 2e2x  1 R  4 xy  x 2  5 x  3 y 2  y  c R  f  x, y   

3 2 1 2 4  5 y  x y  2 4 4

R  e x  2 xy  xy  ye y  e y  3

VII DEMUESTRE QUE LA ECUACIÓN NO ES EXACTA. LUEGO, MULTIPLÍQUELA POR EL FACTOR INTEGRANTE Y DEMUESTRE QUE ES EXACTA. RESUÉLVALA 31) 32)

y

2



 2 x 2 dx  xydy  0   x, y   x



R  x2 y2  x4  c



ydx  4 x  y 2 dy  0

R  6 xy 4  y 6  c

33)

  x, y   y 3 Cosxdy  2 ySenx  3dx  0   x, y   Cosx

R  yCos 2 x  3Senx  c

34)

x  y dx  x  y dy  0

R

  x, y   35)





1 x ln x 2  y 2  tan 1  c 2 y

1 x  y2 2

 xySenx  2 yCosx dx  2 xCosxdy  0  x, y   xy

R  x 2 y 2 Cosx  c

VIII RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1)

x

2)

dy  Cscx  yCotx dx

3)

dy   x  3 y dx

4)

dy  x  2 y cot 2 x dx

5)

 y  x  xy cot x dx  xdy  0

4



 2 y dx  xdy  0

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

x 4  cx 2 2 xc Ry Senx 3 x  1  ce 3x R y 9 Sen2 x  2 xCos 2 x  c R y 4 Sen2 x  c  Senx  xCosx  R y xSenx Ry

78





2

2 x y  x 2 dx  dy  0

7)

1  xy dx  1  x 2 dy  0

R  y  x 2  1  ce  x

8)

dx  1  2 x tan y dy  0

R  y  x  c 1 x2 2 y  SenyCosy  c R 2Cos 2 y

9)

dy  1  3 y tan x dx

6)

10) 11) 12)



2

dy  7 y  8e  4 x dx dy  2 y  3e 5 x dx

13)

y   3x 2 y  x 2

14)

xdy   xsenx  y dx

15)

x 2 y   xx  2 y  e x

16)

Cos 2 xSenxdy  yCos 3 x  1 dx  0

17)

ydx  xy  2 x  ye y dy  0

18)

ydx  4 x  y 6 dy  0

19)

ydx  x  2 xy  2 y dy  0

20) 21) 22)

23)

24)

25)













2

1

3Senx  Sen 3 x  c 3Cos 3 x x  Senx  c R Cscx  Cotx R y

y  Sen x dx  Senxdy  0







x  2 dy  5  8 y  4 xy dx y   10  y Coshx dy  5 y  20 dx Sujeta a: y 0   2 dy  5x 4 y dx Sujeta a: y 0  7 dT  k T  50 K  cte dt Sujeta a: T 0   200 dy xx  2  2 y  0 dx Sujeta a: y 3  6 2

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

R  y  8 e 4 x  ce 7 x 3 3 R  y  e 5 x  ce 2 x 7 3 1 R  y   ce  x 3  xCosx  Senx  c Ry x x x e  c1e R y 2x 2 R  y  Secx  Cscx 2 y 2 e y  2 ye y  e y  c1e  y Rx 4y2 R  x  2 y 6  cy 4 1  ce  y Rx y

2

5 x  2  4 Ry  cx  2 3 R  y  10  ce  Senhx 1

R  y  4  2e 5 x

R  y  7 e x

5

R  T t )   50  150e kt

R y

79

2x x2

26)

dy y  dx y  x Sujeta a : y 5  2

Rx

y  1  ce y y2 x  1x  2 ln x  1  c  R y x 1

27)

ydx  2 x  1  yx dy  0

28)

2 ydx  x 2  1 dx  dy 

29)

3x  1 dy  6 y  103x  11 / 3



Rx



dx dx 30) t  6te 2t  x2t  1 dt



 dy  2 y  x dx

31)

x x2 1

32)

dy  x  2 xy dx

2

y 2  16 2y

R  y  23 x  1

1/ 3



3

2



 c e 2t t 3 2 x  1  c1 x 2  1 R y 4x 2 2 1  ce  x R y 2

Rx 1

3t

 c3x  1



2







IX RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE BERNOULLI

dy 1) x  2 xy  3 y 4 dx Sujeta a : y 1  1 2 dy 2 2) xy 1  xy 1 dx 2





y 1  0 y 2 dx  xy  x 3 dy  0 dy  y  2 y 2e x dx

5x 6 R y   9 x 5  49 3

1

Rx

 y2  2  e

1  y2 2

Sujeta a: 3) 4)

xdy  y  3x y dx xdy x2 6) y 2 dx y dy 7)  y  xy 2 dx 5)

8)

x 2 dy 1  xy  dx xy

9)

3x

dy  4y  dx

R  2 x 2  3 y  cx 2 y 3 1 R  y  x ce  e x 2 x3/ 2  c Ry x



R  y 3  3x 2  cx 3 o

Ry Ry

x y

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

R  y3/ 2

80

1 x  1  ce x  1  c1 x 4 x2 x 3 / 2  c1  5x 2

y  3  3 x 2  cx 3

X USE LA SUSTITUCIÓN u = ax + by + c PARA RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES

dy  1  e y  x 5 dx dy 2)  Tan 2  x  y  dx dy 3)  5x  y  2 dx dy 2 4)  3 x  y   3 dx 1 dy 1 5) dx  x  y 2

1)

6)

dy x y  dx x  y  1

dy 2 x  y  1 7)  dx 2x  y

R  e   y  x  5   x  c

R  2 y  Sen2 x  2 y   2 x  c1 R  5 x  y  3  c1e x

R  3 x  y  x  c   1 R   x  y   3 x  c1 3

R  2 y  ln 2 x  2 y  1  2 x  c 2 2

R  2 x  y  Tanc  x 

APLICACIONES 1) La población de cierta comunidad es de 1000 y aumenta un 20% en 10 años. Si esta pobleción crece con una tasa proporcional a la población presente, ¿Cuál será la población en 30 años? R=1728 2) Inicialmente había 150mg de una sustancia radioactiva. La cantidad disminuye en un 4% al transcurrir 5 horas. Si la rapidez de desintegración en un instante cualquiera es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante, calcule la cantidad que queda después de 12 horas. R= 136 3) Un termómetro que inicialmente está en una habitación es sacado al exterior donde la temperatura ambiente es de

10 0 F . Al transcurrir 1 minuto el termómetro marca 45 0 F y después de 10 minutos marca

25 0 F ¿cuál es la temperatura inicial de la habitación? 0

R= 48 F 0

4) La temperatura inicial de una barra de metal es de 25 C , luego se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. ¿En cuánto tiempo alcanzará los segundo?

95 0 C si se sabe que la temperatura aumentó 4 0 C en un

R= 49 seg 5) La población de cierta comunidad aumenta, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 4 años, ¿Cuánto demorará en triplicarse?

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R= 6 años 6) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 120pies/seg. Obtenga la velocidad después de 10 segundos R= -200 pies/seg 7) Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de

300 0 F y la temperatura del medio de 70 0 F .

0

Después de 2 minutos su tempertura es de 180 F . ¿Cuánto tardará es enfriarse hasta una temperatura ambiente de

80 0 F ?

R= 9 minutos 8) Una masa de 200 gms se lanza hacia arriba con una velocidad de 2450 cm/seg encuentre el punto mas alto alcanzado y el tiempo requerido. R= el punto mas alto alcanzado es de 3062.5 cm y se alcanza en un tiempo de 2.5 seg 9) Interés compuesto capitalizado: significa que en un instante cualquiera, la cantidad de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en ese instante. En una cuenta de ahorros se depositan 5000 pesos a un interés compuesto capitalizado del 5 ¾ % anual. Obtenga el dinero acumulado después de 2 años. R= 5609 pesos 10) En el problema anterior, ¿en cuanto tiempo se duplicará la cantidad inicial? R= en 12 años

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