• Author / Uploaded
• Lizbeth Ortega

• Categories
• Ecuaciones diferenciales
• Ecuaciones
• Condensador
• Derivado
• Inductor

Citation preview

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

2.1 Ecuaciones lineales

Definición: Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma a1 ( x )

dy + a0 ( x ) y = g ( x ) es una ecuación lineal en la variable dependiente ‘y’ Si dx

g(x)=0 se dice que la ecuación es homogénea, y el método seria por separación de variables.

Forma estándar de la Ecuación

Dividiendo cada término de a1 ( x ) dy + p( x ) y = f ( x ) dx

estándar:

dy + a0 ( x ) y = g ( x ) por a1 ( x ) obtenemos la forma dx

con

p( x ) =

a0 ( x ) g ( x) y f ( x) = a1 ( x ) a1 ( x )

Se busca una

solución de la ED en un intervalo I para la cual ambas funciones P(x) y f(x) son continuas.

Factor Integrante: Un factor ( x ) facilita el hallazgo de la solución de una ecuación lineal de primer orden, dee modo que ( x ) = e 

p ( x ) dx

es un factor integrante.

Método de Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden dy + p( x ) y = f ( x ) dx

(i)

Escriba la ecuación diferencial en su forma estándar

(ii)

Identifique a partir de la forma estándar la función p(x) y luego determine el factor integrante ( x ) = e 

p ( x ) dx

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales (iii)

Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la p ( x ) dx d   p ( x ) dx  e  y = e  f ( x)  dx 

derivada del factor integrante y “y”: (iv)

Integre ambos lados de esta última ecuación y despeje para obtener una solución explicita y =

Ejemplo1: Resolver x

   f ( x)dx 

dy + 2 y = 3x sujeta a y (1) = 5 dx

(i)

Escribimos la ecuación en forma estándar

(ii)

Vemos

que

p ( x) =

2 x

y

el

dy 2 + y =3 dx x

factor

integrante

es

2

dx Ln x 2 2 Ln x  = e x = e =e = x2

(iii)

Multiplicamos ambos lados de la ED. Por el factor integrante d  x 2  y  = 3x 2 dx 

(iv)

Integramos ambos lados solución

y = x+

x 2  y = x3 + c despejamos para obtener la

c , solo falta encontrar el valor de C con y(1)=5, x2

sustituimos en la ecuación la condición inicial tenemos que y = x +

4 . x2

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

5 = 1+

c c=4 y 12

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Ejemplo 2: Resolver dy + (3x 2 y − x 2 )dx = 0

(i). Escribimos la ecuación en forma estándar

dy = 3x 2 y = x 2 dx

(ii .) Vemos que p ( x ) = 3x 2 y el factor integrante es:  = e 

3x 2 dx

= ex

3

(iii). Multiplicamos ambos lados de la ed. Por  e integramos:

d

 dx[e

x3

3 3 1 3 ]  y =  x 2 e x dx  e x  y = e x + c 3

y la solución general es:

y=

Ejemplo 3: Resolver sen2 x

3 1 + ce − x 3

dy + cos 2 x  y = cos 2 xsen2 x dx

(i). Escribimos la ecuación en forma estándar (ii .) Vemos que p ( x ) = cos 2 x

=e

 sen 2 x dx

dy cos 2 x +  y = cos 2 x dx sen 2 x

cos 2 x y el factor integrante es: sen2 x 1

= e2

Ln sen 2 x

= sen 2 x

(iii). Multiplicamos ambos lados de la ed. Por  e integramos. d  sen2 x  y  = cos 2 x sen 2 x dx  3

1 d   = cos 2 x ( sen2 x ) 2 dx  sen 2 x  y  dx   

1 2 ( sen2 x ) 2 sen 2 x  y =  +c 2 3

1 c Despejamos para obtener la solución general explicita: y = sen2 x + 3 sen 2 x

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Tarea 1 Unidad II

Encuentre la solución de las ecuaciones diferenciales

1.

dy + y = e3 x dx

5. x 2 y '+ xy = 1

8. y '+ 2 xy = x3

11. x

 y  2.  3 − 8  dx + 3dy = 0  x 

 3.  x + 

 y  6.  5 − 24 x 2  dx + 5dy = 0  x  9. (1 + e x )

dy + 4 y = x3 − x dx

dy x +e y =0 dx

y  dx − dy = 0 x

4. y '+ 3x 2 y = x 2

7. y ' = 2 y + x 2 + 5

10.

dy Senx + (Sec x Tan x) y = ; y (0) = 6 dx Cos 2 x

12. y '− ( Tan x ) y = x  Sec x ; y (0) = 

13. xdy = ( xe x − 2 y ) dx

2.2 Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de primer orden que puede escribirse de la forma

dy + p( x) y = f ( x) y n dx

donde p(x) y f(x) son continuas en un intervalo (a,b) y n es número real, es una ecuación de Bernoulli. Observe que cuando n = 0 o 1, la ecuación es lineal. La idea de la solución para estas ecuaciones es hacer la sustitución u = y1− n , esta sustitución transforma la ecuación en lineal y se resuelve como tal. •

En realidad hay que sustituir a ‘y’ de la ecuación por lo que despejando u, 1

tenemos y = u 1− n , así mismo se tendrá que sustituir a utilizamos la regla de la cadena obteniendo

dy du dy . = + dx dx du

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

dy , para esto dx

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales dy 5 − 5 y = − xy 3 dx 2

Ejemplo 1. Resolver la ecuación

Vemos que la ecuación ya está en forma estándar y es Bernoulli por y 3 1

−

1

Hacemos las sustituciones: y = u 1−3 = u 2 , derivando a ‘y’ tenemos y por la regla de la cadena

dy 1 −3 =− u 2 du 2

dy 1 − 3 du y efectuamos los cambios en la =− u 2 du 2 dx 3

1 − 1 − 32 du 5  − 12  2 ecuación − u  − 5  u = − x  u  Esta ya es una ecuación lineal solo 2 dx 2  

falta escribirla en forma estándar, para esto multiplicamos toda la ecuación por 3 1 3 − −   1 − 3 du 5 du −2u 2   − u 2  − 5  u 2 = − x  u 2   + 10  u = 5 x dx 2 dx  2 

ya se puede resolver

como lineal. …

Ejemplo 2. Resolver la ecuación y '+ xy = xy

−

1 2

La ecuación ya está en forma estándar y es Bernoulli por y Hacemos las sustituciones: y = u y por la regla de la cadena

1 1 2

1+

−

1 2

2

= u 3 , derivando a ‘y’ tenemos

dy 2 − 13 = u du 3

dy 2 − 13 du y efectuamos los cambios en la = u  du 3 dx

ecuación −

1

2  2 2 2 − 13 du u  + xu 3 = x  u 3  Esta ya es una ecuación lineal solo falta escribirla en 3 dx  

forma estándar, para esto multiplicamos toda la ecuación por 1  2 2 −2    3 13  2 − 13 du du 3 3 u  u  + xu 3 = x  u 3    + x u = x 3 2 dx dx 2 2     

como lineal. …

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

3 13 u 2

ya se puede resolver

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Tarea 2 Unidad II Resuelva las ecuaciones de Bernoulli.

dy 1 +y= 2 dx y

2.

dy − y = ex y2 dx

6. x

1. x

5.

dy = y ( xy 3 − 1) dx

3. t 2

dy − (1 + x ) y = xy 2 dx

dy + y 2 = ty dt

7. y '+

1 2 y = x4 y4 x 3

4. x 2

dy − 2 xy = 3 y 4 ; dx

8. 3xy '− 2 y = x3 y −2

2.3 Ecuaciones Exactas Recordemos primero que cuando tenemos una función de dos variables z = f ( x, y ) , el diferencial total de la función está definido como: dz = z = c = f ( x, y )

Entonces: dz = 0 =

f f dx + dy Pero si x y

f f dx + dy x y

Definición: La forma diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f ( x, y ) . La ecuación M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es exacta si es la diferencial total de alguna función f ( x, y ) = c

Criterio para ED exactas:

Si M ( x, y ) y N ( x, y ) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano xy, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial M ( x, y )dx + N ( x, y )dy Sea una diferencial exacta es que

M N = y x

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Método de solución: Dada la ecuación M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 que

f = M ( x, y ) x

y

Hallar una función f ( x, y ) = c tal

f = N ( x, y ) y

(i)

Comprobar que es exacta, es decir

(ii)

Suponer que

M N = y x

f = M ( x, y ) luego integrar con respecto a x dejando a y x

constante

f ( x, y ) =  M ( x, y )dx + g ( y ).......(1)

(iii)

Derivar con respecto a y la ecuación anterior

f  = M ( x, y )dx + g '( x ) y y 

(iv)

Lo que obtenemos es la derivada parcial de la función f con respecto a ‘y’ e

igualamos

esta

derivada

con

la

función

N

es

decir,

f  = M ( x, y )dx + g '( x ) = N ( x, y ) y despejamos g '( x ) para obtener y y  g '( y ) = N ( x, y ) −

 M ( x, y )dx y 

(v) Integrar la expresión con respecto a y, y sustituir en g ( y ) en …..(1)

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Ejemplo1: Resolver la ecuación: 2 xydx + ( x 2 − 1)dy = 0 Solución: Sean M ( x, y ) = 2 xy y N ( x, y ) = ( x 2 − 1)

M N = 2x = y x

(i)

Comprobar que es exacta

(ii)

Existe f ( x, y ) tal que f ( x, y ) =  M ( x, y )dx =  2 xydx = x 2 y + g ( y )

(iii)

Derivar a f con respecto a y

(iii)

Igualando la derivada anterior con N ( x, y ) tenemos x 2 + g '( y ) = x 2 − 1 y

f  2  x y + g ( y )  = x 2 + g '( y ) = y y

despejamos para obtener: g '( y ) = −1 (iv)

Integramos

 g '( y)dy =  −1dy

ambos

lados

con

respecto

a

‘y’

 g ( y ) = y + c sustituimos en la función para obtener la

solución: f ( x, y ) = x 2 y − y + c

Ejemplo2: Resolver la ecuación: y (1 + cos xy)dx + x(1 + cos xy)dy = 0 Solución: Sean M ( x, y ) = y (1 + cos xy )

i. Comprobar que es exacta

y

N ( x, y) = x(1 + cos xy)

M N = 1 + [− xysenxy + cos xy ] = y x

ii.

Como es exacta f ( x, y ) =  M ( x, y )dx =  ( y + y cos xy ) dx = xy + senxy + g ( y )

iii.

Derivar con respecto a y

iv.

Igualando la derivada anterior con N ( x, y ) tenemos:

f  =  xy + senxy + g ( y )  = x + x cos xy + g '( y ) y y

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales

x + x cos xy + g '( y) = x(1 + cos xy)  0 = g '( y) v.

Integramos ambos lados con respecto a y g ( y) =  g '( y) =  0  dy = c sustituimos en f para obtener la solución

f ( x, y) = xy + senxy + c

Tarea 3 Unidad II Determine si la ecuación es exacta, Si lo es, resuélvala. 1. (2 x - 1) dx + (3 y + 7) dy = 0 2. (5 x + 4 y ) dx + (4 x - 8 y 3 ) dy = 0 3. ( seny - y sen x) dx + (cos x + x cos y - y) dy = 0 4. (2 y 2 x - 3) dx + (2 yx 2 + 4) dy = 0 5. ( x + y )( x - y ) dx + x( x - 2 y) dy = 0 y  6 . 1 + ln x +  dx = (1-1nx)dy x  7 . ( y 3 - y 2 senx - x)dx + (3 xy 2 + 2 y cos x)dy

2.4 Aplicaciones

2.4.1 Ley de enfriamiento de Newton

La Rapidez a la que se enfría o calienta un objeto es proporcional a la diferencia de la temperatura del objeto y la del medio ambiente. Esto se modela como

dT = k (T − Ta ) done T es la temperatura del objeto, Ta es la temperatura ambiente, dt la solución de la ecuación diferencial se puede hacer por separación de variables kt obteniendo T (t ) = Ce + Ta

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Note lo siguiente:

T (t0 )  Ta

si

T (t0 )  Ta

si

La línea horizontal A en cada gráfica, representa la temperatura ambiente Ta, también llamada solución de equilibrio o estabilidad, es donde la pendiente de la curva se anula.

Problema 1: Se van a fundir unas latas de Aluminio en un pequeño horno de crisol que está a una temperatura constante de 1000 oC. Si las latas están a temperatura de 85 oC y al meterlas al horno se observa que su temperatura aumento 150 oC en 2 minutos ¿En cuánto tiempo se fundirá el aluminio? si su punto de fusión es de 660.3 o C Solución: kt De la solución de la ecuación diferencial tenemos T (t ) = Ce + Ta y los datos son:

1. La Ta es de 1000 oC, 2. En t = 0 la T = 850 C es decir T (0) = 85 0C 3. Se sabe qué en t = 2 la T = 85 + 150 = 2350 C o T (2) = 235 0C 4. La pregunta es en t = ? , T = 660.30 C o T (?) = 660.3 oC

Sustituimos los datos y tenemos: De 1 y 2 De 3:

85 = Cek 0 + 1000



235 = −915e2 k + 1000 

C = 85 − 1000 = −915 235 − 1000 = e2 k −915

 T (t ) = −915ekt + 1000

 ln

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

765 = ln e2 k = 2k 915

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales

ln Por lo que K =

765 915 = −0.0895 y la función es T (t ) = −915e−.0895t + 1000 por 2

ultimo para responder la pregunta sustituimos la temperatura de 660.3 es decir

660.3 = −915e−.0895t + 1000



660.3 − 1000 339.7 = e −.0895t  ln = −.0895t −915 915

y por

339.7 915 = 11.07 min. último, el aluminio se derrite en t = −.0895 ln

En la gráfica de la solución de la ecuación diferencial,

1000

800

se grafica la temperatura de fusión,

la

temperatura

ambiente que es la del

600

400

horno. 200

5

10

15

20

25

30

35

2.4.2 Circuitos RC y RL en serie Cuando un circuito en serie sólo contiene un resistor y un inductor (circuito RL), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a través del inductor : L

di y del resistor iR es igual al voltaje aplicado, dt

E(t) al circuito.

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial que describe la corriente i(t), L

di + Ri = E (t ) , Donde L y R son las constantes conocidas como inductancia y dt

resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también, respuesta del sistema., Así mismo, la caída de voltaje capacitancia C es

a través de un capacitor de

1 q(t ) , donde q es la carga del capacitor, por C

lo tanto la segunda ley de Kirchhoff establece que para un circuito en serie RC se tiene: Ri +

1 q = E (t ) C

Pero la corriente i(t) y la carga q(t) se relacionan mediante i ( t ) = anterior se transforma en la ecuación diferencial lineal R

dq , así, la ecuación dt

dq 1 + q = E (t ) dt C

Ejemplo 1: Circuito en serie

Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie RL, con una inductancia de 1/2 Henrio y una resistencia de 10 ohm. Determinar la corriente i(t), si la corriente inicial es cero. Solución: sustituyendo los valores anteriores en el modelo tenemos

1 di + 10i = 12 2 dt

sujeta a la condición inicial i(0) = 0. Resolvemos la ecuación lineal Primero multiplicamos la ecuación diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es  = e20t . A continuación, multiplicamos el factor integrante por la ED. d 20t  e i  = 24e 20 t al integrar cada lado de esta ecuación y despejar i(t) obtenemos dt  i=

6 + ce −20t Si 5

i(0) = 0, entonces 0 =

respuesta es i (t ) =

6 6 + c o bien c = − ; por consiguiente, la 5 5

6 6 −20t − e y la gráfica de la solución es: 5 5 Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Identifique el valor de la solución de equilibrio

Tarea 4 Unidad II

1. Un cuerpo con temperatura inicial de 25 ° F se coloca en una habitación cuya temperatura se mantiene constante a 100 ° F. Si después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 45 °F a. Hallar en cuanto tiempo el cuerpo llegara a una temperatura de 70°F b. Hallar la temperatura del cuerpo después de 15 minutos. 2. Si un cuerpo está en el interior de una habitación a la temperatura de 20 0C, y se saca al exterior en donde la temperatura es de 40 0C, y se observa que a los 2 min. Su temperatura es de 25 0C. ¿En cuánto tiempo su temperatura será de 39 0C

?

3. Un cuerpo tiene una temperatura de 50 ° F y se coloca en un horno cuya temperatura se mantiene a 250° F. Si después de 10 minutos, la temperatura del cuerpo es de 70 ° F, Encontrar el tiempo necesario para el cuerpo llegue a una temperatura de 150 ° F. 4. Un detective encuentra a la víctima de un homicidio a las 9 am. La temperatura medida del cuerpo es 90.30 F. una hora después, esa temperatura es 85.0 0 F. La temperatura de la escena del crimen se ha mantenido constante a 68 0 F a. Suponiendo que el enfriamiento del cuerpo se apega a la ley de temperatura de Newton. Resuelva la ecuación diferencial para estimar la hora del crimen.

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales

5. Un objeto que está a cierta temperatura se introduce en agua hirviendo y se observa que a los 2 min. Su temperatura es de 50 0C y que a los 8 min su temperatura es de 800C , Encuentre la temperatura Inicial del cuerpo

6. Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 0C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de 200

0C.

Suponga que la

temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5 0C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600 0C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso? 7. Un termómetro en el que se lee 80 0F se lleva al exterior. Cinco minutos más tarde el termómetro indica 60 0F. Después de otros 5 min el termómetro señala 50 0F. ¿Cuál es la temperatura del exterior?

8. Un circuito RC tiene una fem de 100 volts, una resistencia de 5 ohm, una capacidad de 0.02 faradios, y una carga inicial de 5 coulomb en el condensador. Hallar (a) una expresión para la carga en el condensador en cualquier tiempo t, y (b) la corriente de la en el circuito en cualquier tiempo t.

9. Un circuito RC no tiene fem aplicada, una resistencia de 10 ohm, una capacidad de 0.04 faradios, y una carga inicial en el condensador de 10 coulomb. Hallar (a) una expresión para la carga en el condensador en cualquier tiempo t, y (b) la corriente en el circuito en cualquier momento t.

10. Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una inductancia de un Henry, y no hay corriente inicial. Buscar (a) la corriente en el circuito en cualquier tiempo t

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.

Notas de Clase de Ecuaciones Diferenciales 11. Un circuito RL tiene una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 1,5 henrios, una fem aplicada de 9 volts, y una corriente inicial de 6 amperios. Hallar (a) la corriente en el circuito en cualquier tiempo.

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II

1. Encuentra la solución de la ecuación lineal 2. Dada la ecuación de Bernoulli

− y '− 3 y = xy

cos x 1 3

dy + ( senx) y = 1 dx

encuentra una sustitución

adecuada para que la ecuación sea lineal

3. Resuelve la Ed. Exacta

( 3x

2

y 3 + y 4 ) dx + ( 3x3 y 2 + y 4 + 4 xy 3 ) dy = 0

4. Una barra de hierro, previamente calentada a 1.200 ° C, se enfría en un gran baño de agua mantenido a una temperatura constante de 100 ° C. La barra se enfría 250 ° en el medio minuto. ¿Cuánto tiempo se necesita para que se enfrié otros de 400 °?

5. Encuentre la carga en el capacitor del circuito si tiene una fem. de 50 volts, una resistencia de 10 ohms, una capacitancia de 0.02 faradios y una carga inicial de cero.

R

dq 1 + q = E (t ) dt C

Mtro. Ricardo Olivares Rodriguez.