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Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs

CAPITULO II APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO 

Crecimiento y descomposición – Desintegración Radioactiva La rapidez de descomposición de una sustancia radiactiva en un tiempo

particular “t” es proporcional la cantidad presente en ese tiempo. Entonces lo que debemos saber: 𝑑𝑠 = −𝑘𝑠 𝑑𝑡

→ 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑑𝑠 = 𝑘𝑠 → 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑡 Sabemos que “k” es una constante Dada la ecuación diferencial es conocida, ya sea lineal o cambio de variable resulta: 𝑠(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑘𝑡 S (t)=cantidad de unidades existentes luego de “t” unidades de tiempo

Ejemplos:

Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas, solamente permanecía el 80% de la masa original: Hallar a)

La cantidad restante de masa en cualquier instante.

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs

b)

Qué cantidad de material hay después de 5 horas

c)

Cuanto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto

de la cantidad inicial. Solución: 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 𝑑𝑡 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑘𝑡 𝑥(0) = 60 = 𝐴 80 ∗ 60 100 4 3𝑘 = ln ( ) 5

𝑥(3) = 60𝑒 3𝑘 =

𝑘 = −0.07438118377 Rpta a: cantidad de masa en cualquier instante = 𝑥(𝑡) = 60𝑒 −0.07438𝑡 Rpta b: material después de 5 horas= 𝑥(5) = 60𝑒 −0.0743811837∗5 𝑥(5) = 41.365 Rpta c: tiempo que transcurre en un cuarto de la cantidad inicial. 𝑥(𝑡) = 60𝑒 −0.07438118𝑡 = 15 𝑡 = 18.64 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N° de bacterias para t=1 hora, en número de bacterias medido es 3N°. Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número d bacterias se triplique. Solución: 𝑑𝑥 = 𝑥𝑘 𝑑𝑡 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑘𝑡 𝑥(0) = 𝐴 = 𝑁 𝑥(1) =

3 ∗𝑁 2

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 𝑁𝑒 𝑘1 =

3 ∗𝑁 2 3

𝑘 = ln(2) 𝑡 = 3𝑁 3

𝑡 = ln(0.4054651081) 𝑡 = 2.7 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de C (14). Determinar la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida del C (14) es 5600 años. Solución: 𝑥(𝑡) = 𝑥°𝑒 5600𝑘 2 1

ln (2) = 5600𝑘 𝑘 = −0.0001237762822 𝑥(𝑡)𝑥°𝑒 −0.0001237762822𝑡 =

𝑥° 100

𝑡 = 55.808 𝑎ñ𝑜𝑠

Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva después de 6 horas, disminuyo en un 3%. Si en un instante cualquiera la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia presente, determinar la cantidad que queda después de 24 horas. Solución:

Dice que al cabo de 6 horas disminuye 3% 𝒅𝒄 = 𝒌𝒄 𝒅𝒕 𝑐(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑘𝑡 𝑐(0) = 𝐴 = 100 𝑐(6) = 100𝑒 6𝑘 = 97 𝑒 6𝑘 =

97 100

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 𝑘 = −0.005076534581 𝑐(𝑡) = 100𝑒 −0.0005076534581𝑡 𝑐(24) = 100𝑒 −0.1218369 𝑐(24) = 88.5 𝑚𝑔



Ley del enfriamiento de Newton Todo cuerpo que se está enfriando la tasa de cambio de temperatura es

T (t) con respecto al tiempo (t) es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T y la temperatura del medio que lo rodea (Tm):

Dada la siguiente ecuación diferencial: 𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑡 Integrando: 𝑇(𝑥) = 𝑇𝑚 + 𝑒 𝑘𝑡

Ejemplos Un cuerpo a una temperatura de 50°F se coloca al aire libre donde la temperatura es de 100°F. Si después de 4 minutos la temperatura del cuerpo es de 60°F. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del cuerpo sea de 75°F. ¿Cuál será su temperatura después de 20 minutos? Solución: 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑡𝑚 + 𝑐𝑒 𝑘𝑡 𝑡(𝑜) = 50 = 100 + 𝑐𝑒 0𝑘 C= -50 𝑡(4) = 100 − 50𝑒 4𝑘 = 60

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 4 = 𝑒 4𝑘 5 4 𝑙𝑛 ( ) = 4𝑘 5 𝑘 = 0.05578588783

Reemplazo: 𝑇(𝑡) = 75° = 100 − 50𝑒 −0.05578588783∗𝑡 1 𝑙𝑛 ( ) = −0.05578588783𝑡 2 𝑡´´ = 12.425 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Ahora su temperatura después de 20 minutos: 𝑡(20) = 𝑇 = 100 − 50𝑒 −0.05578588783∗20 𝑻 = 𝟖𝟑. 𝟔𝟏𝟔

Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30°F. Si después de 10 minutos la temperatura del cuerpo es de 0°F y después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15°F. ¿Cuál es la temperatura inicial (desconocida) del cuerpo? Solución: 𝐷𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑡𝑚) 𝑑𝑡 𝑇; 𝑡𝑚 + 𝑐𝑒 𝑘𝑡 𝑡(0) =?

𝑡(0) = 30 + 𝑐

𝑡(10) = 0° 𝑡(20) = 15° 𝑡(10) = 0 = 30 + 𝑐𝑒 10𝑘 𝑡(20) = 15 = 30 + 𝑐𝑒 20𝑘 1 𝑙𝑛 ( ) = 10𝑘 2 𝑘 = −0.0693471806 Reemplazo k en la ecuación: C=-60

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 𝑡(0) = 30 − 60 = −30



Mezclas Es toda sustancia “S” que fluye hacia una mezcla en un recipiente con una

cierta rapidez y la mezcla se mantiene uniforme mediante agitación, entonces la mezcla uniforme sale del recipiente y pasa a otro. Nos interesa determinar la cantidad de la sustancia s presente en la mezcla para el tiempo t”.

Dada la siguiente ecuación diferencial: 𝑑𝐴 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡 La razón de cambio de mezcla en un cierto tiempo es proporcional a la diferencia de la razón o la rapidez que entra “R1” y la razón con la que sale “R2”. A (t) es la cantidad de soluto en un cierto “t”. Ejemplos: Un gran depósito está lleno con 500 litros de agua pura. Una salmuera que contiene 2 gramos de sal por litro se bombea al interior a razón de 5L/min; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósito en un instante cualquiera. Solución: 𝑥(𝑡)=gramos de sal en el interior en el instante “t” 𝑑𝑥 𝑥 =5∗2−5 𝑑𝑡 500 𝑑𝑥 1.000 − 𝑥 = 𝑑𝑡 100 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1000 − 𝑥 100 𝑡 𝑙𝑛(1000 − 𝑥) = − +𝑐 100 𝑡

1000 − 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑒 −100 𝑡

𝑥(𝑡) = 1000 + 𝑐𝑒 −100

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 𝑥(0) = 0 0 = 1000 + 𝑐 𝑐 = −100 𝑡

𝑥(𝑡) = 1000 − 1000𝑒 −100 Una solución de salmuera de sal fluye a razón constante de 6L/min. Hacia el interior de un deposito que inicialmente contiene 50L de solución de salmuera en la cual se disolvieron 5kg de sal. La solución contenida en el depósito se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 0.5kg/L, determinar la cantidad de sal presente en el depósito al cabo de t minutos. ¿Cuánto alcanzara la concentración de sal presente en el depósito el valor de 0.3kg/L? Solución: 𝑥(𝑡) = 𝑘𝑔 De sal dentro del depósito en el instante t 𝑑𝑥 𝑥 = 6 ∗ 0.5 − 6 𝑑𝑡 50 𝑑𝑥 75 − 3𝑥 = 𝑑𝑡 25 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 75 − 3𝑥 25 1 𝑡 − 𝑙𝑛(75 − 3𝑥) = +𝑐 3 25 3𝑡 𝑙𝑛(75) − 3𝑥) = − + 𝑐 25 3𝑡 𝑙𝑛(75 − 3𝑥) = − + 𝑐 25 3𝑡

75 − 3𝑥 = 𝑐𝑒 −25 3𝑡

𝑥(𝑡) = 25 + 𝑐𝑒 −25 𝑥(0) = 5 Entonces 5 = 25+c

por lo tanto c= -20 3𝑡

𝑥(𝑡) = 25 − 20𝑒 −25 Así la concentración será igual a: 𝑐(𝑡) =

𝑥(𝑡) 1 2 − 3𝑡 = − 𝑒 25 50 2 5 3𝑡

0.3 = 0.5 − 0.4𝑒 −25

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 3𝑡

−0.2 = −0.4𝑒 −25 3𝑡

0.5 = 𝑒 −25 𝑡=



25𝑙𝑛2 3

Circuitos Eléctricos En este caso aplicamos la segunda ley de Kirchhoff que describe el

comportamiento de los circuitos eléctricos.

𝐿

𝑑𝑖 = 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡

Dada la siguiente ecuación diferencial explicamos: 𝑑𝑖

La suma de las caídas de potencial a través del inductor 𝐿 𝑑𝑡 y de la Ri, es igual a la fuerza electromotriz Et aplicada al circuito, es decir:

Resolviendo la siguiente ecuación diferencial obtenemos: 𝐼(𝑡) =

−𝑟 𝐸 + 𝐶𝑒 𝑙 ∗𝑡 𝐼(𝑡) 𝑅

Ejemplos: Un acumulador de 12 V se conecta a un circuito R-L, con una inductancia de 1 y una resistencia de 10. Determinar i, si la corriente inicial es cero. 2

Solución: 1 𝑑𝑖 + 10𝑖 = 12 2 𝑑𝑡 𝑑𝑖 + 20𝑖 = 24 𝑑𝑡 Resuelvo mi ecuación diferencial obtengo como solución general: 𝑖(𝑡) =

6 𝑐 + 20𝑡 5 𝑒

Con la corriente inicial igual a cero, tenemos sustituyendo y despejando.

Capítulo II

Aplicaciones de las EDOs 𝑐 = 𝑒 20𝑡 𝑖(𝑡) −

6 5

𝑐 = 𝑒 20(𝑜) 𝑖(0) −

𝑐=−

𝑖(𝑡) =

6 5

6 5

6 6 − 20𝑡 5 5𝑒