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• Gerardo Upqroo

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CAPlTULO Vl DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION. APLICACIONES

53. Definición de las derivadas sucesivas. Hemos visto que, en general, la derivada de una función de x es también una función de x, Puede ocurrir que esta nueva función sea también derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva , Análogamente, la derivada de la segunda derivada se llama la tercera den'vada, y así , sucesivamente, hasta la enés~ma derivada, Así, si

dy

- = 12 x 3 dx

!! (dY) = dx dx

36

'

x~ '

:X[!(~~)J=72X,

Etc ,

Notación , Los símbolos para las derivadas sucesivas se ahrevian ord}nariamente como sigue:

Si y = j(x), las derivadas sucesivas se representan tamnién por la notación d d2y Yx = y/ = j'(x); -dx2 = y" = 1"(x) ,. d d3

d:a = 11"/

= jll/(x);

...

,

drly

dxn = yen)

= j(n)(x) ,

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90

CALCULO

En el ejemplo anterior, y

= 3 x4,

v"

4.

= 36 x2,

= 72 x,

y"l

Obtención

u

= v'

sucesivas en funciones d2y

Para mostrar el procedimien to, hallaremos

implícitas.

G.

(}2.

s

de la ecuación de la

.J2

",x

+

x2

5'Y=a+x'

de las derivadas

a2

= 72

yIV

es la más cómoda. 54.

se

DERIV ADAS

la notación

= 12 x3,

yl

DIFERENCIAL

x3

7.f(x)=1_x·

hipérbola

2 x2

-

(1) 8.

Derivando con respecto a x (Art. 41) , 2 b2x -

2 a2y dy dx

2

y=--. x

=

O

+1

'

o sea,

10.

y2 = 4 ax.

12.

ax2

13.

x3

(2)

Derivando otra vez, teniendo en cuenta que resulta: d2y dx2 =

dy _ dx2 -

es una función de x,

a2yb2 _ b2xa2 dy dx a4y2

+J +

b x i;

=

y3

2 a2b2y _ a2b2x (b x)

b2(b2X~

a2y

a4y2

d2y dx2

En los problemas dados de las variables.

_ a2y2) a4y~

_ 15.

= -

1.

una

de las siguientes

b4 a2y3'

v'

a

+ bt

2.

s =

3.

a bx t¡ =----. . a - bx

+

derivaciones. 2

t¡=3x4-2x3+6x.

dy dx2

=

36 x2

-

d3s

.

12

a2

.i=

y=v'ax+

+

4 ab2

dx2 = (a -

bX)3

16.

y=v'25-3x;

x=

17.

y=xv'x2+9;

x=

18.

x2 - 4 y2

9;

x

19.

x2+4 xy+y2+3

=

=

5

=

O;

20.

Y = (3

21.

Y

22.

Y

= v' = ..;¡

23.

Y

=

24.

y2 +2

25.

x3

X.

3 b3 dt3 = 8(a bt ) %' d2y

15 a 25.

vax

PROBLEMAS cada

br,¡2 =

l.

Pero, según la ecuación dada, b2x2 - a2y2 = a2b2.

Demostrar

+

ddY por su valor según (2) , tendremos, x

Reemplazando

2

y

-

x :

x

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DERIVADAS SUCES IVA S DE UNA F U NC IO N

4. 5. 6.

u

= V

u= a

a2

d 2U _

+ x'

d X2 d2

s

x3

= 1

f(x)

8.

y =

9.

x2

+1 2 x2

-

flV -

(a

s

dt2

"! ~

2)

%.

2 a2 x) a

+

-(t+2) = (2 t

(x)

=

+ 1) %' 4 _1.

( 1 - x)

5

)"1

=

10.

y2=4ax.

11.

b 2 x2

d2 u __ r 2 dx 2 y 3'

r2.

d 2 y _ _ 4 a2

7 '

dX 2 -

+ a 2 y2

12.

ax 2

13 .

x3

14.

x' + 2 x2y2

=

d2u

a 26 2 .

= -~; a2 y3

dX2

+ by2

-I-} h .q¡

+ y3

+u

d"y _ 2 (- 1 n dxn - (x+l) 1>+ 1

2 x+ l

+ y2

a2

du 2 = ( a 2

X2

V2 t 7.

d 2u

+ u2.

91

d2 y _ h2 d~2 - (hx

= 1.

-

ab

+ b U)3

d2y _ _ 2 x dx i ys'

= 1.

d 2y _ 2 y4 - x2y2 - x ·1 X 2 3 -- - ' y

= a4.

dx2 -

E n los problemas 15 a 25, ()btener los valor es d e y' y y" para lo s valore dados d e las va ri a bles.

15.

_ y = vax+

a2

-=:

x

=

x =

3,

a.

So l .

y' = 0,

1 2 a

y" = - .

Vax

V25 - 3

16.

y =

17.

y

18.

x2 - 4y2=9:

19.

x 2+4 xy+y2 +3

= x

V

X2

x:

+ 9:

x = 4. x=5 ,

= O;

x

y=2.

= 2,

y

4;

= -1.

20.

y= (3 - X2)

21.

y =V 1

22.

Y =

23.

Y = xV 3 x - 2;

24.

y2

25.

X3_ xy 2+y3 = 8:

y'

= ' }Is,

y'

= %'

y' = 0,

x= 1.

+ 2 x: x = 4. ~ x2 + 4: x = 2.

+ 2 xy

= 16:

x = 2. x= 3,

y

x=2,

= 2. y=2 .

y" y" y"

=

23r;25 .

= - Yt 28 . = - Ys.

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CALCULO DIFERENCIAL 2

Hallar d y en cada un e de los ejercicios siguientes: dX2

26.

y=X3_~ x

X2

29.

y=xVa 2 - x 2 y 2 _ 4 xy

27.

y=~.

30.

28.

y=":;2-3x.

31.

.

= 16.

55. Sentido de la concavidad de una curva. Si el punto p(x, y) describe una curva, la pendiente de la tangente en P varía. Cuando la tangente queda debajo de la curva (fig. 37), el arco es cóncavo hacia arriba; si la tangen te queda arriba de la curva (fig. 38) , el arco es cóncavo hacia abajo . En la figura 37 la pendiente de la tangente aumenta cuando P describe el arco AP'. Luego j'(x) es una función creciente de x. Por otra parte, en la figura 38, cuando P describe el y

x Fig . 37

x Fig. 38

arco QB la pendiente disminuye, y j' (x) es una función dec reciente. Por tanto, en el primer caso jl/(x) es positiva y en el ::;egundo caso es negativa . De aquí el siguiente criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto: La gráfica de y = f (x) es cóncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es posit~'va; es cóncava hacia abajo si esta dcrivada es negativa . 56. Segundo método para determinar maxlmos y mllllmos. En el punto A, de la figura 37, el arco es cóncavo hacia arriba y la orde·nada tiene un valor mínimo. En este caso, 1'( x) = O Y j" (x) es positiva . En el punto B de la figura 38, se tiene j' (x) = O Y j" (x negativa. Las condiciones suficientes para máximos y mínimos de j (x) correspondientes a valores críticos de la variable son, pues, las siguient-es:

r

¡(x) es un máximo si f'(x) = O Y ¡"(x) es negativa. ¡(x) es un mínimo si ¡,(x) = O Y ¡"(x) es positiva.