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• Jorge Luis Ortiz Quispe

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Matemáticas (MAT-100) – Contaduría Pública (CURSOS: 1ros C, D y E)

TEMA 4:

DERIVADAS

OBJETIVO: “Definir el concepto, calcular e interpretar correctamente la derivada de una función matemática y sus aplicaciones; determinar las condiciones de optimización de las funciones matemáticas y aplicar la derivada en la resolución de problemas que se presentan en el área económica, contable, financiera y administrativa”.

4.1 LA DERIVADA Y LA DERIVACIÓN 4.1.1 INTRODUCCIÓN La derivada de una función es una operación muy importante en el cálculo, y en general en la matemática. Distintos fenómenos o procesos que observamos en la naturaleza, se los podrá analizar y estudiar gracias a la derivada. Esta operación establece la variación entre dos magnitudes en un determinado instante, o el cambio que se da considerando dos unidades que están relacionadas entre sí; y tiene variedad de aplicaciones que incluye, por ejemplo:   

El trazado de curvas (graficar funciones) La optimización de funciones El análisis de razones de cambio.

4.1.2 NOTACIÓN A la derivada de un función “ f x  ” se lo denota de las siguientes formas: o y dy df y y f  x ; y ; Lim ; ; ; Dx ; ; f x  x ; D x 0 x dx dx x '

'

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4.1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Fig. 4.1: Interpretación geométrica de la derivada

DEMOSTRACIÓN:

y f x  x   f x   (4.1) x x y ms  x f ( x  x)  f ( x) ms  x Pero en el puntode tangencia: ms  mt La razón de cambio instantánea de una función continua puede representarse geométricamente mediante la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto de tangencia.

f ( x  x )  f ( x ) x x  0 Por lo tanto, podemosafirmar que :

mt  lim

mt 

dy ; dx

ó

dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x0 x

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Fig. 4.2: Interpretación geométrica de la derivada

4.1.4 DEFINICIÓN DE LA DERIVADA A partir de la demostración realizada anteriormente, podemos decir, que la derivada de la función “ f x  ” es otra función, que está dada por el límite del cociente incremental de las variables dependientes e independientes en cualquier punto de su dominio, y simbólicamente se lo representa de la siguiente forma:

y f  x  x   f  x   Lim x 0 x x  0 x

f '  x   Lim

(4.2)

Conviene señalar los siguientes puntos en relación con esta definición: I. II.

III. IV.

La ecuación (4.2) es la expresión general para la derivada de la función f. La derivada representa la razón de cambio instantánea en la variable dependiente, dado un cambio en la variable independiente. La notación dy/dx se utiliza para representar la razón de cambio instantánea en y con respecto de un cambio en x. La notación es distinta de lo que representa y / x , que es la razón de cambio promedio. La derivada es una expresión general para la pendiente de la gráfica de f para cualquier punto en el dominio. Si el límite en la ecuación (4.2) no existe, la derivada tampoco existe.

Por lo tanto, podemos afirmar que: “Geométricamente la derivada de una función en un punto P(x, y); es la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en cualquier punto del dominio de la función”. 4.1.5 APROXIMACIÓN DEL LÍMITE PARA ENCONTRAR LA DERIVADA O DERIVACIÓN POR DEFINICIÓN Para hallar la derivada de una función por definición, debemos seguir los siguientes pasos: Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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 

Paso 1: Determine el cociente de la diferencia para f haciendo uso de la ecuación (4.1). Paso 2: Encuentre el límite del cociente de la diferencia a medida que x  0 ó empleando la ecuación (4.2).

Los siguientes ejemplos ilustran la Aproximación Del Límite o Derivación Por Definición.  1).- Encuentre la derivada de f ( x)  5 x  9 La función f ( x)  5 x  9 es lineal con una pendiente de -5. Como la pendiente siempre es -5, deberá encontrarse que la derivada de f es -5. Es decir:

dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx  2).- Encuentre la derivada de

f ( x  x )  f ( x ) x x  0  5( x  x)  9  (5 x  9)  lim x x  0  5 x  5 x  9  5 x  9  lim x x  0  5x  lim x x  0  lim

 5

f ( x)  x 2 dy f ( x  x )  f ( x )  lim dx x 0 x dy ( x  x ) 2  x 2  lim dx x 0 x dy x 2  2 xx  x 2  x 2  dx lim x x  0 dy x ( 2 x  x )  lim dx x 0 x dy  2x dx

NOTA: Para determinar la Razón De Cambio Instantánea (o, de forma equivalente, la pendiente) en cualquier punto de la gráfica de una función f, se sustituye el valor de la variable independiente en la expresión correspondiente a dy/dx.

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4.1.6 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función no es continua en un punto, no puede tener una derivada en ese punto. Sin embargo, algunas funciones son continuas y, pese a ello, hay algunos puntos dentro del dominio donde no existe la derivada. Es decir, no todas las funciones tienen una derivada para cada valor de “x”. En la figura 2, se representan tres funciones que no tienen derivada cuando x = 0.

a) y  2 x

b) y  x

2 3

c) y 

1 x

Fig. 4.3: Derivabilidad y continuidad

Se dice que una función es derivable para todos los valores de “x” en su dominio se denomina Función Derivable. La gráfica de una función derivable debe ser “suave”, en el sentido de que exista una recta tangente no vertical en cada punto de la gráfica. La gráfica de una función derivable no puede tener una “esquina” aguda, una cúspide o una rotura. “Toda Función Derivable Es Continua, Pero, No Toda Función Continua Es Derivable”

4.1.7 TÉCNICAS O REGLAS DE DERIVACIÓN En la práctica, para derivar funciones, es muy conveniente el uso de la TABLA DE DERIVADAS. (Como la variable es siempre “x” en la mayoría de las funciones que estudiaremos, se usará la notación directa de: f x y f ' x  para una Función y su respectiva Derivada). a) Derivada por definición:

f ' x   Lim x 0

f x  x   f x  x

b) Derivada De Una Función Potencia: Para hallar la derivada de una función potencia, redúzcase en 1 la potencia de “x” y multiplíquese por la potencia original.

f  x   x m  f ' x   mx m 1 Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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c) Derivada De Una Constante: La derivada de cualquier función constante es cero.

f  x   a  f ' x   0 d) Derivada De Una Constante Por Una Función: La derivada de una constante multiplicada por una función

g ( x ) , es igual a la constante por la derivada de la función.

f ( x )  ag( x )  f

'

x

 ag '  x 

e) Derivada De Una Función Exponencial: La derivada de una función Exponencial es la misma Exponencial, multiplicada por el logaritmo natural de su base.

f  x   a x  f ' x   a x Ln a

f  x   e x  f ' x   e x f)

Derivada De Otras Funciones:

f  x   Sen x  f '  x   Cos x f  x   Cos x  f '  x    Sen x f  x   Ln x  f '  x  

1 x

f  x   Log a x  f '  x  

1 x Ln a

g) Derivada De Una Suma De Funciones: La derivada de una suma de funciones, es la suma de las derivadas individuales.

f  x   u x   v x   f ' x   u' x  v' x  h) Derivada De Un Producto De Funciones: La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada del primer factor multiplicado por el segundo, más el primer factor por la derivada del segundo.

f  x   u x v x   f ' x   u' x  v x   u x v' x  i)

Derivada De Un Cociente De Funciones:

fx  

u x  v x 

 f ' x  

u ' x  v x   u x v' x 

v  

2

x

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EJERCICIOS PROPUESTOS (# 26) 

Derivar Las Siguientes Funciones:

1.- y  5

x

 x 5  5x  5

5.- y  3e

x

9.- y  3x

5

 e3

3

16.- y

6.- y  π

 4x3  9x  6

12.- y  2 x 

4  2 x

 e x Cosx

x6 20.- y  Lnx

2.- y  7Lnx  xLn7 3.- y  2Secx  2cosx 3

10.- y 

3

x3

1 x

1 8 1 6 x  x x2 4 2

13.- y  x 17.- y

7.- y 

 Ln5

7

Senx

 x 3SenxLnx

x 4 1 21.- y  4 x 1

14.- y  x

18.- y  x

1 1 1  2 x x x 15.- y  x

Lnx 6 x

e Lnx

x  Senx 22.- y  1  Cosx

y  8Senx  xsen8

1 8.- y  Tg 3  Tg   3

11.- y  8

4.-

19.- y



4 x

7

Senx x4

2x 2 Lnx 23.- y  xe x  e x

4.1.8 LA REGLA DE LA CADENA Es una regla o método que funciona como un cambio o sustitución de variable, por lo tanto, es una función compuesta donde resulta que su derivada se la realiza en relación a la variable del dominio de la primera función y con el dominio de imagen de la supuesta última función. Esto quiere decir que las operaciones de la derivada se los efectúan de afuera hacia adentro, teniendo en cuenta que la variable del dominio que está dentro resulta ser la primera función. La Regla de la Cadena se utiliza o se aplica para derivar funciones Compuestas. Es decir:

Si g es derivableen " x" y f en g ( x ), entoncesla función compuesta F  f  g definidamedianteF ( x )  f ( g ( x)), es derivableen " x" y F ' está dada por el producto:

F '  f ' ( g ( x)).g ' ( x) En la notaciónde Leibniz, si y  f (u ) como u  g ( x ) son funcionesdiferenciables, por lo tanto :

dy dy du  * dx du dx Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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EJERCICIOS PROPUESTOS (# 27) Derivar (por Regla De La Cadena): 1.- y 

x  1 6

9

3.- y  Ln

2.- y  x  x  1 4

2

 

5.- y  Sen3x  1  Ln6x  Cos x 7x x 7.- y  e  e

4

x 2

 1 t 2  t 

10.- y  2 Ln

 esenx  73x

3

6.-

8

 x3



5

 

2 11.- y  Ln x  1  x

 Lnx    x 

4.- y  Sen 

y  Senx   Lnx   Cosx

8.- y  3 e 2x  Sen 2x 4



   

x



7

9.- y 

 

9

x 5Cosx  37x

12.- y  Ln  Tg

x  2

4.1.9 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS Para derivar este tipo de funciones se procede de la siguiente manera: a) b) c) d)

Se derivan ambas variables (dependiente e independiente) Se debe tener en cuenta que “x” es la variable independiente, y “y” la variable dependiente Aplicar la regla de la cadena Despejar la derivada “y’” realizando posteriormente operaciones algebraicas.

De manera general, para derivar implícitamente, se aplican las reglas de derivación y la regla de la cadena a cada variable, considerando que cada vez que se deriva una variable, se multiplica por la derivada de la misma variable, tomando en cuenta que:

dx dy  x'  1 y  y' dx dx EJERCICIOS PROPUESTOS (# 28) Derivar las siguientes funciones implícitas: 1.-

x 4  y3  x 2  y  1

x 2  y4 1 5.- 3 x  y6 2

2.- Lny  Lnx 6.-

e xy  1  y 2

2

9.- x 3  y 3  1

 ex  ey

10.-

x2 

7.-

3.-



x 2 y 4  Senx  Seny  0



Sen x 4 y 2  1  y 2

x y x y

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8

8.- e

y

4.-

yx  x y

Sen x  Cos x e x

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4.1.10 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Se llama derivada de orden superior a la derivada sucesiva de una función y  f  x  . Así

f ' x 

derivada, si volvemos a derivar

tendremos la segunda derivada o derivada de segundo orden

sucesivamente, hasta obtener la enésima derivada

Gráficamente, por ejemplo para

f ' x  representa la primera f ''  x 

y así

f nx .

f ( x)   x 2 , tenemos:

Fig. 4.4: Derivadas de orden superior

EJERCICIOS PROPUESTOS (# 29) Hallar la segunda derivada en las funciones indicadas: 1.- y  x

3

 4x 2  7

5.- y  Ln

x

9.- y  Ln x

4

 x2

2.- y  x



6.- y  e

y  e Lnx

 e x  Lnx

5x

3

3

14.- x



3.- y 

 7 x  Sen3x

10.- y  2xSen x

2

1  Sen y 13.- x  Ln 1  Sen y 17.-

2

 2e

y

7.- y 

Sen x x4

11.- x  y  xy

1

Aplicar la propiedad:

4.- y  Sen

x 3Lnx

15.-

2

yx e

2 x

e Ln a  a

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9

x  1

8.- y

6

 xe x

12.- y  Sen x  Cos x 16.-

 x 5 y    x 1 

1

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4.1.11 DERIVADA DE FUNCIONES PARAMÉTRICAS Una función paramétrica la conforman las variables “x” y “y” que se pueden representar en función de otra variable, llamada Parámetro (t); es decir:

La derivada de una Función Paramétrica se basa en la derivación compuesta o Regla de la Cadena, donde se deriva “y” sobre la derivada de”x”; es decir:

EJERCICIOS PROPUESTOS (# 30) Hallar la derivada paramétrica de las siguientes funciones: 1.-

x  1 t 2, y  2  t  t 2

4.-

x

7.-

x  t, y  3 t

1 , t3

2.-

y  t 3  3t

1 xt , t 5.-

8.-

yt

1 t

3.-

x  2t  t 2 , y  3t  t 3

x

6.-

1 , y  t2  3 2 t  1

1 xt , t

y  t 1

t 1

x  t 2  1, y 

t 2 1

4.1.12 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando se presentan funciones exponenciales, donde la base y el exponente son funciones, o sea, se tiene:

 

f x   g x 

hx



Donde: la base g  x  , debe ser positiva y diferente a uno.

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Para poder hallar la derivada, se procede de la siguiente manera: a) Se aplican logaritmos a ambos términos de la igualdad. b) Se aplican las propiedades de los logaritmos, cuantas veces sea necesario. c) Se deriva implícitamente. d) Se despeja la derivada buscada e) Finalmente se reemplaza

y' .

y.

Este método de Derivación Logarítmica, también puede ser empleada en el caso de tratarse de derivadas complejas. De manera que aplicando logarítmicos, se puede facilitar el proceso de cálculo. Por ejemplo, este método también permite la demostración de algunas reglas de Derivación:

y  xm

 

Ln y  Ln x m

Ln y  m Ln x  y'  m

1 ' 1 y m y x

1 1 y  m x m  mx m 1 x x

EJERCICIOS PROPUESTOS (# 31) Derivar (Aplicando Logaritmos): 1.- y 

e 

x Cos x

5.- y  x  5 8.- y 

3



x4 .e x 4 x 8

x 1 x2

Ln x 12.- y  e

Sen x Cos x x 3  3x  2 6.- y  e

9.2

4 3  x  1 x  3 3.- y  x  22

sen x 2.- y  x

y  25x

( 3 x 2 6 )

Ln ( x 3 x 10) 13.- y  e 4

Cos x

2x 7.- y  e Cos x 

yx

x3

2

(Aplicar la propiedad:

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11

 LnCos x 

x  x 



10.-

4.- y

11.-

yx

e Ln a  a

e( x

2  1)

3

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MISCELANEA: 

Derivar:

a). - Calcular la derivada y simplificar a su mínima expresión: 1.- y  3x

5.- y 

3

x

6.- y  1  x



1

2.- y  2x 2  4x  5

3

9.- y  e  1

3.- y 

6

x3 1 x2

 x 2  10    y  7.x  

2



10.- y  x  x

x

4.- y 

3

14.-

y  x Sen x

3x 18.- y  e

1  Sen x 17.- y  Ln 3 1  Sen x

 6x  2 2   x a 

21.- y  2x

20.- y  Log

1 x 1 x

3

5



3

25.- y  Ln x1  x 

 x 33.- y   e 

15.- y 

1 x e

  

x x

  

3





2

 x3

3



23.- y  Sen 1  x 27.- y  log2

31.-

x

2

1

a

3x x2

2

x

Sen x  e x 1  Cos x

 

x 34.- y  2

e

16.- y 

30.- y  Sen Ln1 3x 

x



2

12.- y  Ln

19.- y  Loga

26.- y  Ln 3

sen 5x 

e2 x 32.- y  x



22.- y  Ln

e

29.- y  Tg



 1 x2  x    1 x2  x   

2 x 2 3

28.- y  3 Log 4 3x

3

2x 3 1

x 13 x  24

8.- y  3x  2 1  5x

11.- y  x  2x Cos 2x

3

3

1  x4 13.- y  x

24.- y  Log



10

x  12 2



 4x 2  5x  8

x

4

2 x

e

 3x





y  logSenx x

35.- y 

2 x

e 6 x 1

b). - Hallar el valor de la derivada de las funciones, en los puntos dados:

y  x 2  4x  9 ; x = 3 y

x 1 x2

y

x 3 ;x=0 x2

y  3xCosx ; x = 0

y  esenx ; x = 0

;x=0

y

x4 ;x=e Lnx

c).- En los siguientes ejercicios, encuentre la razón de cambio de la función dada f  x  con respecto a “x” para el valor dado de “x”:

f x   x 3  3x  5 ; x = 2







f x   x 2  3 x  2x3 ; x = 1



f  x   x  5x ; x = 4 f x  





f x   x 2  2 x  x ; x = 4

2x  1 ;x=1 3x  5

f x   x 

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3 ;x=0 2  4x

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4.1.13 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN f(x) La diferencial de una función

y  f  x  , es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable

independiente, es decir:

Despejando se obtiene la derivada:

Geométricamente la diferencial se representa como:

Fig. 4.5: Diferencial de una función

La expresión expresión

f '  x  x

, se llama algunas veces diferencial de

dy x se conoce como la diferencial de dx

Puesto que la pendiente de la tangente es correspondiente a un cambio de

y

f

y se denota por

y se simboliza como

df

. De igual manera, la

dy .

dy dy x , es el cambio en la altura de la tangente , la diferencial dy  dx dx

x a x  x .

Reglas De Diferenciación: Las reglas son las mismas que se utilizan para obtener las derivadas, es decir, se utilizan las mismas técnicas de derivación que ya hemos estudiado, con solo multiplicar cada una de ellas por “dx”. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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EJERCICIOS PROPUESTOS (# 32) Hallar la diferencial de cada una de las siguientes funciones: 2.- y 

1.- y  x  3x  2 x  1 3

4.- y 

2



1 Ln x 2  y 2 2



x2 1 x

3.- y  Ln sen x

2 5.- y  x 4  x

7.- Calcular y y dy de la función y  3x 8.- Calcular y y dy de la función

2

 x , para

r   Cos 

x  1 y x  0.01

y  x 2  3x  5 , para

9.- Calcular y y dy de la función y 

6.-

x  5 y x  0.3

x  3 , para x  4 y x  0.2 x 1

4.1.14 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES - DERIVADAS PARCIALES En general una función de varias variables se define:

En numerosos problemas (por ejemplo), donde aparecen funciones de dos variables:

x, y  Son las variables independientes y

z

z  f x, y  vemos que

variable dependiente; el objetivo es hallar la rapidez de cambio de la

función con respecto a una de sus variables, cuando la otra se mantiene constante. Esto es, el objetivo es derivar la función con respecto a la variable particular en cuestión mientras se mantiene fija la otra variable. Este proceso se conoce como Derivación Parcial, y se dice que la derivada resultante es una derivada parcial de primer orden de la función, que se la representa de la siguiente manera:

z f y  x, y    zy y

z f x  x, y    zx x 

Definición De La Derivada Parcial: a) Por definición, la derivada parcial de

f x x, y  ; esta dada por:

f x  x, y   Lim h 0

b) Por definición, la derivada parcial de

f x  h, y   f x, y  h

f y x, y  ; esta dada por:

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f y x, y   Lim h 0

f  x, y  h   f  x, y  h

Para derivar estas funciones de dos variables se procede de la siguiente forma: a) Si “ y ” se mantiene constante, “

z ”es una función sólo de “ x ” y se puede calcular la derivada parcial de

z ” con respecto a “ x ” y se simboliza por: “ xz ”. Si “ x ” se mantiene constante, “ z ”es una función sólo de “ y ” y se puede calcular la derivada parcial de “

b)

z

“

z ” con respecto a “ y ” y se simboliza por: “ y ”. EJERCICIOS PROPUESTOS (# 33)

Dadas las siguientes funciones encontrar las derivadas parciales con respecto a “X” ^ “Y”. 1.- f  x, y   5xy  2

5 2 2 x y

2.- f  x, y 

5.- f  x, y,z   y  2x  x  3z 3

8.-

z  x 3  y3  3axy

 Sen xy  6.- f  x, y 

2



3.- f  x, y 

z  a x  y  x 3  y 2  10x5

13.-

z  e3  π.xy





12.-

y

4.- f  x, y   10ye x



7.- f x, y   Ln x  y  Ln 10y

 e5x  2y4

2 2 9.- z  Ln x  x  y

11.-

 xy  Ln xy  2

2

10.- f  x, y   Ax  2Bxy  Cy 2



2



z  Sen x 2  y 2  Senxy  e xy

4.1.15 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO La derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también sirve para determinar la Razón De Cambio de una variable respecto a otra; es decir: “La razón de cambio es la medida en la cual una variable cambia respecto a otra variable”; lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones. Algunos ejemplos son las tasas de crecimiento de poblaciones, las tasas de producción, las tasas de flujo de un líquido, la velocidad y la aceleración.

y Razón de Cambio  x

Si : x es pequeño



x  dx y  dy 

Razón de cambio 

y dy  x dx

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dy  f ' x  dx

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4.1.15.1 TIPOS DE RAZONES DE CAMBIO DE f x  a.- Razón De Cambio Promedio:

b.- Razón De Cambio Instantanea:

C.-Razón De Cambio Relativa:

d.- Razón De Cambio Porcentual:

Donde:

4.1.15.3 LA DERIVADA Y LAS FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA Suponiendo que “x” es el número de unidades de un bien, y “y” el precio de cada unidad, entonces las funciones de oferta y demanda se pueden representar por:

y  f  x  , de donde deducimos lo siguiente:

Si:

f ' x   0 , la función representa una Oferta

Si:

f ' x   0 , la función representa una Demanda

Nota: Para valores de x  0 .

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Fig.: 4.6: Oferta y demanda

CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA DE DEMANDA Y OFERTA LA DEMANDA LA OFERTA 







La función demanda es DECRECIENTE, La función oferta es CRECIENTE, por tanto: por tanto, su pendiente es NEGATIVA, p dp > 0 ó > 0 es decir: x dx p dp < 0 ó < 0 x dx (pendiente negativa) Generalmente cuando el precio de un bien se incrementa, la cantidad demandada decrece. Esto implica que la capacidad de compra de los consumidores disminuye y se ven obligados a sustituir un bien por otro. La curva de demanda indica la máxima cantidad del bien X que los consumidores desean comprar a un precio dado por unidad en un lapso de tiempo. La demanda, es el máximo precio que los consumidores están dispuestos a pagar por consumir una cierta cantidad del bien X en un cierto tiempo.







(pendiente positiva) Cuando el precio de un bien se incrementa, los productores tienden a incrementar su producción. La curva de oferta indica la máxima cantidad de un bien que algún productor está dispuesto a lanzar al mercado a un precio dado en un cierto tiempo. La curva de oferta es el mínimo precio que exigirá el productor para producir una cierta cantidad de un bien y lanzarlo al mercado en un cierto tiempo.

p x  f 1  x 

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PROBLEMAS PROPUESTOS (# 34) 1.- Encuentre la razón de cambio porcentual en la función f  x   x x  3 con respecto a “x”, cuando x = 3. 2

6 miles. t 1 Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de t años. a) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año? b) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el segundo año? c) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 7 años? d) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo plazo?

2.- Se estima que dentro de “t” años la población de cierta comunidad suburbana será: P t   20 

3 2

3.- Se proyecta que dentro de “x” meses la población de cierto pueblo será P x   2x  4x  5000 . a) ¿A qué tasa cambiará la población con respecto al tiempo, dentro de 9 meses? b) ¿A qué tasa porcentual cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 9 meses? 4.- Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron: G t   0.1 t  10 t  20 millones de dólares “t” años 2

después de su formación en el 2014. a). - ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales brutas de la compañía con respecto al tiempo en el 2019? b). - ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo, en el 2019? 5.- Los registros indican que “x” años después del 2013, el impuesto medio sobre la propiedad de una casa de tres habitaciones en cierta comunidad era: T x   20x  40x  600 dólares. 2

a) ¿A qué razón aumentó el impuesto sobre la propiedad con respecto al tiempo, en el 2019? b) ¿A qué razón porcentual creció el impuesto sobre la propiedad con respecto al tiempo en el 2019? 6.- Su salario inicial será de 24000 $ y obtendrá un aumento de 2000 $ cada año. Exprese la razón de cambio porcentual de su salario como una función del tiempo y dibuje la gráfica. a). - ¿A qué razón porcentual se incrementará su salario después de 1 año? b). - ¿Qué sucederá con la razón de cambio porcentual de su salario a largo plazo? 7.- El producto interno bruto (PIB) de cierto país crece a una razón constante. En el 2013, el PIB era de 125000 millones de dólares y en el 2015, 155000 millones de dólares. ¿A qué razón porcentual aumento el PIB en el 2019? 8.- Si se invierten “ x ” miles de dólares en investigaciones, se obtienen “ y ” miles de dólares en ventas de acuerdo con

x 2  2 xy  2  y 2 .

Además se sabe que “ x ” e “ y ” dependen del tiempo “ t ”, en semanas. Si

actualmente se hacen ventas por 3000 $ y se sabe que en este nivel las ventas están disminuyendo a razón de 3000 $/semana. ¿Cuál es la razón de cambio de los gastos de investigación con respecto al tiempo?

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9.- Un estudio determina que al cabo de t meses se fabricarán un total de 10 t . Si el costo total por la fabricación de x unidades es: x  12  2 t 1



x

unidades de un producto, en dónde



3

C  10 x 2  5 x  24 2 $ Hallar: a. La razón de cambio del costo con respecto a la cantidad ( x ), cuando x  15 . b. La razón de cambio del costo con respecto al tiempo, al cabo de 3 meses. 10.- En una fábrica se elaboran

x

unidades durante las primeras

t

horas de una jornada de producción, según

2 15 . El costo de producir x unidades es C  x  6 x  108 miles de dólares, hallar la razón de t 1 cambio del costo de fabricación con respecto al tiempo, 4 horas después de iniciada la producción.

x  15 

11.- Se proyecta que dentro de “t” años la población de cierto país será Q t   50e

0.02t

millones.

a) ¿A qué ritmo cambiará la población con respecto al tiempo dentro de 10 años? b) ¿A qué ritmo porcentual cambiará la población con respecto al tiempo dentro de “t” años?; ¿depende este ritmo porcentual de “t” o es constante? 12.- Se deposita dinero en un banco que ofrece un interés a una tasa anual del 6% capitalizado continuamente. Halle la razón porcentual de cambio del saldo con respecto al tiempo. 13.- Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de “t” años es Q t   20000e

-0.4 t

dólares. a) ¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 años? b) ¿A qué ritmo porcentual cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de “t” años?; ¿depende este ritmo porcentual de “t” o es constante? 14.- El gerente de una empresa que produce celulares determina que si se producen venderán en su totalidad cuando el precio sea: p  x   a. ¿A qué razón está cambiando la demanda

x

miles de celulares, estos se

1000 dólares/ celular . 0.3x 2  8

p x 

con respecto a su nivel de producción

x

cuando se

producen 3000 (x = 3) celulares? b. El ingreso derivado de la venta de x miles de celulares es

I  x   xp x  miles de celulares. ¿A qué razón

está cambiando el ingreso cuando se producen 3000 celulares? En ese nivel de producción, ¿Está disminuyendo o aumentando el ingreso? 15.- El gerente de la joyería “Perla”, modela las ventas totales mediante la función: S t   2000t

4  0.3 t

tiempo (años) desde el 2018 y S se mide en miles de dólares.

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donde t es el

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a. ¿A qué razón estaban cambiando las ventas en el año 2020? b. ¿Qué pasa con las ventas “a largo plazo”? ( t   ) 16.- Conforme el uso de Internet crece, también lo hace el número de consumidores que compra en línea. Dicho número, como porcentaje de usuarios de la red, se espera que sea: N t   16.3t

0,8766

(1  t  6)

Donde “t” se mide en años, con “t = 1” corresponde a inicios de 2014. a) ¿Cuántos compradores en línea, como porcentaje de usuarios en la red, hubo a principios de 2017? b) ¿Qué tan rápido fue el cambio en el número de compradores en línea, como porcentaje de usuarios en la red a principios de 2019? 17.- Las funciones de demanda para las lámparas de escritorio Luminar está dada por:

p  f x   0.1x 2  0.4 x  35

Donde “x” es la cantidad demandada en miles y “p” el precio unitario en dólares. a) Determine f '  x  . b) ¿Cuál es la tasa de cambio en el precio unitario cuando la cantidad demandada es de 10,000 unidades (x = 10)? c) ¿Cuál es el precio unitario a ese nivel de demanda? 18.- El índice de precios al consumidor (IPC) de una economía es descrito por la función:

I t   0.2t 3  3t 2  100

(0  t  10)

Donde “t = 0” corresponde a 2010. a) ¿A qué tasa porcentual cambió el (IPC) en 2015? ¿En 2017? ¿En 2020? b) ¿Cuál fue la tasa de incremento promedio del IPC durante el periodo de 2015 a 2020? 19.- La relación entre la cantidad de dinero “x” que una empresa gasta en publicidad y las ventas totales de la empresa S(x) está dada por la función:

S x   0.002x3  0.6 x 2  x  500

(0  x  200)

Donde “x” se mide en miles de dólares. Determine la tasa de cambio de las ventas con respecto a la cantidad de dinero gastado en publicidad. ¿Las ventas totales de la empresa están aumentando a una tasa más rápida cuando la cantidad de dinero gastado en publicidad (a) $100,000 o (b) $150,000? 20.- Hace cinco años, el gobierno de un estado de las islas del pacífico lanzó una extensa campaña de propaganda para contener el crecimiento de la población del país. Según el Departamento del Censo, la población (medida en 1 miles de personas) para los siguientes 4 años era de: Pt    t 3  64t  3000 , donde t se mide en años y “t = 0” 3 corresponde al inicio de la campaña. Determine la tasa de cambio de la población a finales de los años 1, 2, 3 y 4. ¿El plan funcionó? 21.- Las funciones de demanda para las lámparas de escritorio Lux está dada por:

p  f x   0.1x 2  0.4 x  35

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Donde x es la cantidad demandada en miles y p el precio unitario en dólares. a) Determine f x  . b) ¿Cuál es la tasa de cambio en el precio unitario cuando la cantidad demandada es de 10,000 unidades ( x  10 )? ¿Cuál es el precio unitario a ese nivel de demanda? 22.- La ecuación de la demanda por el reloj de pulsera Rolex A está dada por:

x  f  p   10 Donde

x

50  p p

0  p  50

(medida en unidades de mil) es la cantidad demandada por semana y p es el precio unitario en dólares.

Determine la tasa de cambio de la cantidad demandada de los relojes de pulsera con respecto al precio unitario cuando este es de $25. 4.1.16 LA DERIVADA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE SE PRESENTAN EN: ECONOMIA, CONTABILIDAD, FINANZAS Y ADMINISTRACIÓN 4.1.16.1 LA REGLA DE LA CADENA En muchos problemas de la vida práctica se presenta una magnitud como función de una variable, que a su vez se puede escribir como función de una segunda variable, y el objetivo es determinar la razón de cambio de la magnitud original con respecto a la segunda variable. Por ejemplo, el costo total en cierta fábrica es una función del número de unidades producidas, que, a su vez, es una función del número de horas que la fábrica ha estado operando. Si C , q y t denotan el costo, las unidades producidas y el tiempo, respectivamente, entonces:

dC Razón de cambio del cos to  dq respectoa la producción

($ / unidad)

y

dq Razón de cambio de la producción  (unidades/ hora) dt respectoal tiempo El producto de estas dos razones es la razón de cambio del costo con respecto al tiempo, es decir:

dC dC dq  dt dq dt

($ / hora)

(Regla De La Cadena)

PROBLEMAS PROPUESTOS (# 35) 1.- En cierta fábrica, el costo total de fabricar “q” unidades durante la jornada de producción diaria es

Cq   0.2q2  q  900 dólares. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente q t   t 2  100t unidades se producen durante las primeras “t” horas de una jornada de producción. Calcule la razón a la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción.

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2.- Cuando las licuadoras eléctricas se vendan a “p” dólares cada una, los consumidores locales comprarán D p  

8000 licuadoras al mes. Se estima que dentro de “t” meses el precio de las licuadoras será p 3

p  t   0.04t 2  15 dólares. Calcule el ritmo al cual cambiará la demanda mensual de licuadoras con respecto al tiempo dentro de 25 meses. ¿Aumentará o disminuirá la demanda? 3.- Cuando un determinado artículo se venda a “p” dólares por unidad, los consumidores compraran 3 40000 D p   unidades al mes. Se estima que dentro de “t” meses el precio del artículo será p  t   0.4t 2  6.8 p

dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo con respecto al tiempo dentro de 4 meses? 4.- La cantidad demandada por mes, x , de una cierta marca de computadora personal (PC) se relaciona con el precio unitario promedio, p (en dólares) de la PC por la ecuación: x  f  p 

100 810000 p 2 9 Se estima que en t meses, a partir de ahora, el precio promedio de una PC estará dada por: 400 0  t  60 pt    200 1 1 t 8 dólares. Determine la tasa en la que la cantidad demandada por mes de las PC cambiará en 16 meses a partir de ahora.

5.- Un fabricante determina que “n” trabajadores fabricarían un total de 2 3

x

unidades mensuales de un producto,

en dónde x  100n . Si la ecuación de la demanda para el producto es p 

22500 . Donde p es el precio por x  100

unidad cuando x unidades son demandadas, determinar: a. b. c. d.

La razón de cambio el precio con respecto al número de trabajadores, cuando n  64 . La variación porcentual aproximada en el precio, cuando la cantidad demandada aumenta de 1600 a 1605. La variación porcentual aproximada en el precio, cuando el número de trabajadores aumenta de 64 a 65. La variación porcentual aproximada en el ingreso, cuando el número de trabajadores aumenta de 64 a 65.

4.1.16.2 DERIVACIÓN IMPLÍCITA La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la “y” (variable dependiente) no esta despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar “y” para encontrar la derivada. Para conseguir la derivada de “y” con respecto a “x” (variable independiente), dy/dx: Primero se deriva ambos miembros de la ecuación con respecto a “x”, tomando en cuenta en todo momento que, “y” es función de “x”, y por consiguiente al tener que derivar “y” con respecto a “x”, hay que aplicar la regla de la cadena. Finalmente, se despejar dy/dx. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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PROBLEMAS PROPUESTOS (# 36) 1.- La producción en cierta planta es

Q  0.08 x 2  0.12 xy  0.03 y 2

unidades al día, donde “x” es la cantidad de

horas de mano de obra calificada que se utiliza e “y” el número de horas de mano de obra no calificada que se emplea. En la actualidad, cada día se utilizan 80 horas de mano de obra calificada y 200 horas de mano de obra no calificada. Emplee el cálculo para estimar el cambio que debería realizarse en la mano de obra no calificada para compensar un incremento de 1 hora en la mano de obra calificada, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 2.- En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos “x” e “y” mediante la ecuación

Q  2x3  3x2 y2  1  y

3

. Si los niveles actuales de insumos son x = 30 e y = 20, utilice el cálculo para estimar el

cambio que debería realizarse en el insumo “y” para compensar una disminución de 0.8 unidades en el insumo “x”, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 3.-

Se

estima

que

la

producción

semanal

en

cierta

planta

está

dada

por

la

función:

Q x,y   1200x  500y  x y  x  y unidades, donde “x” es el número de trabajadores calificados y “y” el 2

3

2

número de trabajadores no calificados empleados en la planta. En la actualidad la fuerza laboral está conformada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplique el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al adicionar un trabajador calificado, si el número de trabajadores no calificados no cambia. 4.- Cuando el precio de cierto artículo es p $us por unidad, los clientes demandan x cientos de unidades de dicho producto, donde:

x 2  3 px  p 2  79 . ¿Con que rapidez cambia la demanda x con respecto al tiempo cuando el

precio es de 5 $us por unidad y disminuye a una razón de 30 ctvs por mes?. 5.- La producción en cierta planta es

Q  0.06 x 2  0.14 xy  0.05 y 2

unidades al día, donde “x” es la cantidad de

horas de mano de obra calificada que se utiliza e “y” el número de horas de mano de obra no calificada que se emplea. Actualmente, cada día se utilizan 60 horas de mano de obra calificada y 300 horas de mano de obra no calificada. Aplique el cálculo para estimar el cambio que debería realizarse en la mano de obra no calificada para compensar una disminución de 1 hora en la mano de obra calificada, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 4.1.16.3 DERIVACIÓN SUPERIOR La segunda derivada de una función es la derivada de su derivada. La segunda derivada proporciona la razón de cambio de la tasa de cambio de la función original. En economía, veces es necesario calcular la razón de cambio de una función que en sí misma es una razón de cambio. Por ejemplo, en tiempos de Inflación (incremento del nivel de precios de los artículos) se puede escuchar a un economista asegurar a la población que, aunque la inflación está aumentando, lo está haciendo a una tasa decreciente. Es decir, los precios aún se incrementan, pero no tan rápidamente como lo hacían antes.

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PROBLEMAS PROPUESTOS (# 37) 1.- Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá producido Qt   t  8t  15t unidades “t” horas más tarde. 3

2

a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9:00 a.m. b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a la 9:00 a.m.? c) Aplique el cálculo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 y las 9:15 a.m. d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 y las 9:15 a.m. 2.- Se proyecta que dentro de “t” meses el precio medio por unidad de artículos en un determinado sector de la economía será P t   t  7t  200t  300 dólares. 3

2

a) ¿A qué tasa se incrementará el precio medio por unidad con respecto al tiempo dentro de 5 meses? b) ¿A qué tasa cambiará el incremento de la tasa de precios con respecto al tiempo dentro de 5 meses? c) Emplee el cálculo para estimar el cambio en el incremento de la tasa de precios durante la primera mitad del sexto mes. d) Calcule el cambio real en el incremento de la tasa de precios durante la primera mitad del sexto mes. 3.- El producto interno bruto (PIB) de un país en vías de desarrollo desde 2015 hasta 2023 es aproximado por la función: Gt   0.2t  2.4t  60 (0  t  8), donde G t  está medido en miles de millones de dólares, con ”t = 3

2

0” correspondiente a principios de 2014. a) Calcule G’(0), G’(1), . . . , G’(8). b) Calcule G’’(0), G’’(1), . . . , G’’(8). c) Utilice los resultados obtenidos en los incisos (a) y (b), demuestre que después de una tasa de crecimiento espectacular en los primeros años, el crecimiento del PIB se congeló.

4.- En un estudio elaborado en 2016, el porcentaje de hogares que utiliza la banca en línea se prevé que 0.78t sea: f t   1.5 e

(0 ≤ t ≤ 4), donde “t” se mide en años, con "t = 0” corresponde a principios de 2016.

a) ¿Cuál fue el porcentaje proyectado de hogares que utiliza la banca en línea a principios de 2020? b) ¿Qué tan rápido fue el cambio en el porcentaje proyectado de hogares que usa la banca en línea al inicio de 2020? c) ¿Qué tan rápido fue el cambio de la tasa del porcentaje proyectado de hogares que usa la banca en línea a principios de 2020? 5.- Suponga que una proyección a 5 años de las tendencias de la población indica que dentro de “t” años la población de determinada comunidad será P t    t  9t  48t  200 miles. 3

2

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a.- ¿A qué tasa crecerá la población dentro de 3 años? b.- ¿A qué razón cambiará la tasa de crecimiento de la población con respecto al tiempo dentro de 3 años? c.- Utilice el cálculo para estimar el cambio en la tasa de crecimiento de la población durante el primer mes del cuarto año d.- Calcule el cambio real en la tasa de crecimiento de la población durante el primer mes del cuarto año. 4.1.16.4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (Derivadas Parciales De Primer Orden) Dado el papel tan importante que tienen las funciones de varias variables en Economía, los economistas emplean a menudo en sus análisis las derivadas parciales. Pensemos por ejemplo en la función de producción de una empresa, que relaciona combinaciones de capital y trabajo (inputs) con el número de unidades producidas de bienes o servicios (outputs) a partir de los primeros. Si derivamos la función de producción con respecto al capital, obtendremos la productividad marginal del capital ( QK ), es decir, cuánto varía la producción cuando añadimos una unidad más de capital al proceso productivo. Mientras tanto, si derivamos la función con respecto al trabajo, obtendremos la productividad marginal del trabajo ( QL ), esto es, cuánto varía la producción al emplear una unidad más de trabajo.

PROBLEMAS PROPUESTOS (# 38) 1.- Suponga que en cierta fábrica, la producción está dada por la función de producción Cobb-Douglas: 1 3

2 3

Q K , L   60K L unidades, donde K es la inversión de capital medida en unidades de $us 1000 y L es el tamaño de la fuerza laboral, medida en horas-trabajador. a) Calcule la producción si la inversión de capital es de $us. 512000 y usa una fuerza laboral de 1000 horastrabajador. b) Demuestre que la producción en el inciso (a) se duplicará si se duplican la inversión de capital y el tamaño de la fuerza laboral. 2

1

2.- La producción de cierta fábrica es: Q K , L   1200K 3 L3 unidades, donde K es la inversión de capital, medida en unidades de $us 1000, y L es la fuerza laboral medida en horas-trabajador. a) Calcule la producción si la inversión de capital es de $us. 125000 y la fuerza laboral es de 1331 horastrabajador. b) ¿Qué ocurrirá a la producción del inciso (a) si tanto el nivel de la inversión de capital y la fuerza laboral se reducen a la mitad? 3.- Un fabricante con derechos exclusivos para una nueva y avanzada máquina industrial está planeando vender un número limitado de esas máquinas a empresas extranjeras y del país. El precio que el fabricante puede recibir por las máquinas dependerá del número de máquinas de que disponga. Se estima que, si el fabricante suministra “x” máquinas al mercado nacional y “y” máquinas al mercado extranjero, las máquinas se venderan en 60 

y x x y  miles de dólares por unidad en el país, y 50  miles de dólares por unidad en el extranjero.  10 20 5 20

Exprese el ingreso I como función de “x” y “y”.

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25

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4.- Un fabricante está planeando vender un nuevo producto al precio de A dólares por unidad y estima que si “x” miles de dólares se gastan en su perfeccionamiento y “y” dólares en su promoción, los consumidores comprarán 320 y 160 x aproximadamente unidades del producto. Si los costos de fabricación son $us. 50 por unidad,  y2 x4 exprese la utilidad en términos de “x” y “y”. 5.-

Se

estima

que

la

producción

semanal

de

cierta

planta

está

dada

por

la

función

Q x, y   1200 x  500 y  x y  x  y unidades, donde “x” es el número de trabajadores calificados y “y” el de 2

3

2

trabajadores no calificados que se emplean en la planta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de 1 trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no cambia. 6.- Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por la función de Cobb-Douglas

Q K , L   50K 0.4 L0.6 donde K es el capital en unidades de $us. 1000 y L es la fuerza laboral medida en horastrabajador.

Qk  , y la productividad marginal del trabajo, Q L  cuando

a) Encuentre la productividad marginal del capital,

el capital es $us. 750000 y el nivel de la fuerza laboral es 991 horas-trabajador. b) ¿El fabricante debe considerar invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la producción? 7.- Un fabricante estima que la producción anual en cierta fábrica está dada por Q K , L   30K L unidades, 0.3 0.7

donde K es el capital en unidades de $us 1000 y L es la fuerza laboral en horas-trabajador.

Qk  y la productividad marginal del trabajo Q L  cuando

a) Encuentre la productividad marginal del capital

el capital es $us 630000 y el nivel de la fuerza laboral es 830 horas-trabajador. b) ¿Debe el fabricante considerar agregar una unidad de capital o una unidad de trabajo para aumentar más rápidamente la producción? 1

2

8.- La productividad de cierto pais esta dada por Q K , L   90K 3 L3 unidades, donde K es el capital en unidades de $us. 1millon y L es la fuerza laboral en miles de horas-trabajador.

Qk  y la productividad marginal del trabajo Q L  , cuando

a) Encuentre la productividad marginal del capital

el capital es 5495 miles de millones de dolares (K = 5495) y el nivel de la fuerza laboral es 4’587,000 horastrabajador (L = 4587). b) ¿Debe el gobierno del pais estimular la inversión de capital o el incremento de la fuerza laboral para aumentar la productividad tan rapidamente como sea posible? 9.- La utilidad diarias de un abarrotero por la venta de dos marcas de jugo de manzana es

P x, y   x  3070  5x  4 y    y  4080  6x  7 y 

centavos, donde “x” es el precio por lata de la primera

marca y “y” es el precio por lata de la segunda. Actualmente, la primera marca se vende en 50 centavos por lata y la segunda en 52 centavos por lata. Utilice el análisis marginal para estimar el cambio en la utilidad diaria que Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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resultará si el abarrotero sube en un centavo por lata el precio de la segunda marca, pero mantiene sin cambio el precio de la primera marca. 10.- Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor por “x” unidades de una mercancía, así como “y” de una segunda mercancía, está dada por la función de utilidad: U  x , y 

 2 x3 y 2 . El consumidor posee actualmente x  5

unidades de la primera mercancía y y  4 unidades de la segunda. Encuentre el nivel actual del consumidor y trace la correspondiente curva de indiferencia. 11.- La utilidad obtenida por un consumidor por “x” unidades de una mercancía, así como “y” unidades de una segunda, está dada por la función de utilidad: U  x, y 

 x  1 y  2 . El consumidor posee actualmente x  25

unidades de la primera mercancía y y  8 unidades de la segunda. Encuentre el nivel actual de utilidad del consumidor y trace la correspondiente curva de indiferencia. 4.1.17 ANÁLISIS MARGINAL En economía, el uso de la derivada para aproximar el cambio producido en una función por un cambio de 1 unidad en su variable independiente, se denomina Análisis Marginal. En otras palabras, la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la variable independiente. El Análisis Marginal es un método de maximización de beneficios empleado en el análisis de rentabilidad que compara el Ingreso Marginal y el Costo Marginal. El Ingreso Marginal es el cambio en el Ingreso Total originado por la venta de una unidad adicional de producción; por su parte, el Costo Marginal es el cambio en el Costo Total originado por la elaboración de una unidad adicional de producción. Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por sí misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual fuere, la función económica que se esté considerando: Costo, ingreso, utilidad, producción, etc. De hecho, las funciones de costo, ingreso, utilidad o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, utilidad y producción total, respectivamente. 4.1.17.1 FUNCIONES DE COSTOS Supongamos que la función de Costo Total se la representa mediante la siguiente expresión:

y  f x  o y  C x 

Ix  x * y  x * fx Donde:

Entonces podemos definir los siguientes conceptos:

I  x  = Ingreso Total

a.- COSTO PROMEDIO O COSTO MEDIO:

Cp 

“x” el número de unidades demandadas y “y” el precio por unidad de cantidad demandada.

x = Cantidad demandada y = Precio

C x  x

A partir del Ingreso Total podemos definir los

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Donde:

siguientes conceptos: a.- INGRESO MARGINAL: Con respecto a la demanda:

C  x  = Costo Total

x = Número de unidades de un bien b.- COSTO MARGINAL: Es la primera derivada del Costo Total.

CMg 

dC x  dx

I Mg = Ingreso Marginal

I  x  = Ingreso Total

 C ' x 

b.- INGRESO PROMEDIO O INGRESO MEDIO

Ix

Ip 

C Mg = Costo Marginal

x

Donde:

c.- COSTO PROMEDIO MARGINAL: Es la primera derivada del Costo Promedio:

C pm 

dC p

Ingreso Total y “ C  x  ” el Costo Total, entonces la Utilidad “ U  x  ” será:

d.- PROPIEDADES DE LAS CURVAS DE COSTO:  Cuando no se produce ninguna unidad, el costo es cero o positivo es decir: f 0   0 , Si f 0   0 , los costos fijos de

producción. El Costo Total se incrementará a medida que “x” se incrementa, así

fx

siempre será positivo.

y  fx ,

U x   I  x   C x  Donde:

U  x  = Utilidad o Ganancia

I  x  = Ingreso Total C  x  = Costo Total a.- UTILIDAD MARGINAL: Es la primera derivada de la Utilidad.

4.1.17.2 FUNCIONES DE INGRESO Para cualquier función de demanda

I  x  = Ingreso Total Si “x” es el número de unidades, siendo “ I  x  ” el

C pm = Costo Promedio Marginal

f  0  representa

I p = Ingreso Promedio 4.1.17.3 UTILIDAD O GANANCIA

dx

Donde:



dx

Donde:

Donde:

entonces

dI x 

I Mg 

C p = Costo Promedio

el Ingreso

Total “ I  x  ” está dado por el producto de:

U Mg 

dI( x ) dx



dC( x ) dx

Donde:

U Mg = Utilidad Marginal. 4.1.17.4 RELACIÓN ENTRE COSTO PROMEDIO Y COSTO MARGINAL El Costo Marginal es (aproximadamente): “El costo de producir una unidad adicional”. Si producir esa unidad adicional vale menos que el Costo Promedio de las unidades existentes (es decir, si

CMg  C p ), entonces esta

unidad menos costosa hará que el Costo Promedio por unidad disminuya. Por otra parte, si la unidad adicional vale más que el Costo Promedio de las unidades existentes (es decir, si

C Mg  C p ), entonces esta unidad más

costosa hará que el Costo Promedio por unidad se incremente. Si el Costo de la unidad adicional es igual al Costo Promedio de las unidades existentes (es decir,

C Mg  C p ), entonces el Costo Promedio no se incrementará ni

disminuirá; es decir. Tendrá un punto crítico (usualmente un mínimo relativo). Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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Formulación matemática:

Cp 

Cx x

Cp '

Derivando:

Despejando:

xC' x  C x  1 C ' x  

C x  x

xC' x  C x   0

Igualando a cero

x2

demostramos qué:

C Mg  C p

4.1.17.5 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA La demanda de consumo de un producto está usualmente relacionada con su precio. En la mayor parte de los casos, la demanda disminuye a medida que el precio se incrementa. La sensibilidad de la demanda ante los cambios en el precio varía de un producto a otro. La sensibilidad de la demanda se mide comunmente como el cociente de la tasa porcentual del cambio en la cantidad demandada, entre la tasa porcentual del cambio en el precio. Este cociente es aproximadamente igual al cambio producido en la demanda por el cambio de 1% en el precio unitario, entonces:

 dq   p dp Cambio porcentual en q  100   q Si, en particular, el cambio en p es un incremento del 1%, entonces p  0.01 p , entonces:

 dq   0.01p  dp pdq Cambio porcentual en q  100    q qdp La expresión del miembro de la derecha de esta aproximación se conoce en economía como ELASTICIDAD DE LA DEMANDA:

Ed 

p dq q dp

Y tiene la siguiente interpretación:

Ed = Tasa de cambio porcentual de la demanda q , producida por una tasa de cambio de

1% en el precio p .

NOTA: 

Si Ed > 1 (Demanda elástica), significa que, ante una variación porcentual en el precio, será mayor la variación porcentual en la cantidad demandada.



Si Ed < 1 (Demanda inelástica), significa que, ante una variación porcentual en el precio, será menor la variación porcentual en la cantidad demandada.



Si Ed = 1 (Elasticidad unitaria), significa que, ante una variación porcentual en el precio, la variación porcentual en la cantidad demandada es casi la misma. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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PROBLEMAS PROPUESTOS (# 39) 1.- Suponga que el costo total de fabricación C en determinada fábrica es una función de la cantidad “q” de unidades producidas, que a su vez es una función de la cantidad “t” de horas durante la cual la fábrica ha estado operando. a) ¿Qué cantidad representa la derivada

dC ? ¿En qué unidades se mide esta cantidad? dq

b) ¿Qué cantidad representa la derivada

dq ? ¿En qué unidades se mide esta cantidad? dt

c) ¿Qué cantidad representa el producto

dC dq ? ¿En qué unidades se mide esta cantidad? dq dt

2.- La Compañía Fabricante de Máquinas y Herramientas para el Agro, tiene una función de costo total representada mediante la ecuación CT = 2q3 – 3q2 – 12q. a. ¿Cuál es la ecuación que representa la función de Costo Marginal? b. ¿Cuál es la ecuación para la función de Costo Promedio? 3.- Supongamos que el costo total de producir y que se puede vender cada unidad a p x  

x

unidades de un cierto bien de consumo es C  x  

2 2 x  3 x  10 5

1 45  x  miles de dólares. 5

a) Halle la función marginal b) Halle el precio cuando el coste marginal es de 23 miles de dólares. c) Halle el costo real de producir la undécima unidad (x=11) 4.- Suponga que el costo total, en dólares, de fabricar “q” unidades de cierto artículo es C( q )  3q  5q  75 . 2

a. ¿En qué nivel de producción el costo medio por unidad es igual al costo marginal? b. En el mismo conjunto de ejes, trace la gráfica de las funciones de costo medio y marginal para q > 0. 5.- El costo total de un fabricante es de Cq   0.1 q  5 q  500 q  200 miles de dólares, donde q es el número 3

2

de unidades producidas. a) Use el análisis marginal para estimar el costo de fabricar la cuarta unidad. b) Halle el costo real de fabricar la cuarta unidad. 6.- Una compañía ha determinado que x unidades de su producto son demandadas cuando el precio por unidad 20x  80 es p dólares, donde p  . El costo total de la compañía por la producción de x unidades de su producto x 1 es: C  20x 3  5 x  100 dólares. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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a) b) c) d)

Hallar el costo marginal, cuando x  4 . Hallar el ingreso marginal, cuando x  4 . Hallar la utilidad marginal, cuando x  4 . Interpretar el resultado encontrado en (c).

7.- El departamento de mercadotecnia de una compañía ha determinado que demandadas cuando el precio por unidad es p dólares, donde:

x unidades de su producto son

p  0.04 x  800 , 0  x  20000 Hallar el ingreso marginal cuando x  5000 . Interprete su resultado. 8.- Producir “x”unidades cuesta C  0.1x  10 x  4000 dólares. Si la ecuación de demanda es x  800 2.5 p , donde p es el precio unitario en dólares. 2

a) Encuentre la razón de cambio del costo con respecto al precio, cuando p  80 $. b) Encuentre la razón de cambio de la utilidad con respecto al precio, cuando p  80 $.

9.- Una división de Ditton Industries fabrica el modelo Futura de hornos de microondas. El costo diario (en dólares) de fabricación de estos hornos es: C x   0.0002 x  0.06 x  120 x  5000. Donde, ”x” representa el número 3

2

de unidades fabricado. a) ¿Cuál es el costo en que incurre en la fabricación del horno número 101? ¿Del 201? ¿Del 301? b) ¿Cuál es el costo marginal cuando x = 100, 200 y 300? 10.- Custom Office fabrica una línea de escritorios ejecutiva. Se estima que el costo total de fabricación de “x” unidades de su modelo Ejecutivo es: C x   100x  200000 dólares por año. a) Determine la función del costo promedio. b) Determine la función del costo marginal promedio c) ¿Qué le sucede al costo promedio cuando “x” es muy grande? Interprete sus resultados. 11.- La demanda semanal de un televisor Smart TV es: p  600 0.05x

(0 ≤ x ≤ 1200)

Donde “p” denota el precio unitario de venta al mayoreo en dólares y “x” denota la cantidad demandada. La función del costo total semanal asociada con la manufactura del Pulsar 25 está dada por:

C x   0.000002x 3  0.03x 2  400x  80000, donde C(x) denota el costo total obtenido en la fabricación de “x” aparatos. a) Determine la función de ingreso I  x  y la función de utilidad U  x  . b) Determine la función del costo marginal

C '  x  , la función de ingreso marginal I ' x  y la función de utilidad

marginal U '  x  .

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c) Calcule

C '  x  (2000), I ' x  (2000) y U '  x  (2000) e interprete sus resultados.

d) Elabore las gráficas de las funciones

C  x  , I  x  y U  x  e interprete los incisos (b) y (c), utilizando las

gráficas obtenidas. 12.- Determine la función del costo promedio asociado con la función del costo total del ejercicio 9. a) ¿Cuál es la función de costo marginal promedio? b) Calcule el costo marginal promedio, cuando: x  5000 y resultados. c) Elabore la gráfica del costo marginal promedio. 13.- Supongamos que el ingreso total (en euros) por la venta de

x  10000 e interprete sus

x unidades de un cierto bien de consumo es:

I x   2 x 2  68x  128

a. ¿A qué nivel de ventas el ingreso medio unitario es igual al ingreso marginal? b. Compruebe que el ingreso medio es creciente si el nivel de ventas es menor que el de la parte (a) y decreciente si es mayor. c. Dibuje sobre los mismos ejes las partes relevantes de los gráficos de las funciones de ingreso medio y marginal. 14.- Si la demanda es

q  200 10 p

y el costo promedio es Cp  5 

q . Determine la función de utilidad, el 50

costo marginal y el ingreso marginal. 15.- La ecuación de la demanda para un cierto bien es

p  2 x 1  6

y la función de costo total está dada por

C( x )  2 x 2  x . a) Determinar los valores permisibles de “x”. b) Encontrar las funciones de ingreso marginal. 16.- Si la ecuación de la demanda es: 10 p  x  0.01x  700 y la de costo total es 2

C ( x)  1000  0.01x 2

,

evalué la función de utilidad marginal si: (a) x  100 y (b) p  10 . 17.- Cuando una peluquera fija una cuota de $4 por corte de cabello, advierte que el número de clientes que atiende en una semana es de 100, en promedio. Al elevar la tarifa a $5, el número de clientes por semana baja a 80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número de clientes, determine la función de ingreso marginal. Encuentre entonces el precio que produce un ingreso marginal igual a cero. 18.- El editor de una revista descubre que si fija un precio de $1 a su revista, vende 20,000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio fijado es de $1.50, sus ventas sólo serán por 15,000 ejemplares. El costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de $10,000 al mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal, calcule su función de utilidad marginal y determine el precio de la revista que haga la utilidad marginal igual a cero. Evalúe la utilidad misma cuando el precio es: a) $1.80 b) $1.90 c) $2

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19.- La función de consumo de cierta nación está dada por C I   4  0.36 I  0.48 I 4 . Encuentre las tendencias marginales a consumir y a ahorrar, si el ingreso nacional es I  16 mil millones. 20.- Suponga que la función del consumo de cierta economía es: C x   0.873 x

1.1

 20.34 ; donde C  x  y “x” se

miden en miles de millones de dólares. Determine la propensión marginal al consumo cuando x  10 . 21.- La productividad física p se define como la producción física de un número dado de trabajadores o máquinas y es, entonces, una función del número x de trabajadores o máquinas. En el caso de cierta empresa, p  200( x  1) 2  100 . Determine la productividad física marginal dp/dx cuando x  2 . 22.- Un fabricante de calzados puede utilizar su planta para producir zapatos para dama o caballero. Si él fabrica x (en miles de pares) zapatos para caballero y y (en miles de pares) zapatos para dama a la semana, entonces, x y y están relacionados por la ecuación:

2 x 2  y 2  25

(Ésta es la ecuación de transformación del producto). Si la

utilidad es de $10 por cada par de zapatos, calcule la Utilidad Marginal con respecto a x sí x  2 . 23.- Calcule la elasticidad de la demanda, si la función de demanda es:

a.  D p   1.3 p  10; p  4 b.  D p   1.5 p  25; p  12 c.  D p   200  p 2 ; p  10 d .  D p   400  0.01p 2 ; p  120 3000  100; p  10 p 2000 f .  D p   2 ; p  5 p

e.  D p  

24.- Suponga que la demanda q y el precio p de cierto artículo están relacionados por la ecuación lineal

q  240  2 p  para 0  p  120 .

a) Exprese la elasticidad de la demanda respecto al precio como una función de “p”. b) Calcule la elasticidad de la demanda respecto al precio cuando el precio es p = 100. Interprete su respuesta. c) Calcule la elasticidad de la demanda respecto al precio cuando el precio es p = 50. Interprete su respuesta. d) ¿A qué precio es igual la elasticidad de la demanda respecto al precio a (-1)? ¿Cuál es la importancia económica de este precio?

----------------------------------------------0------------------------------------------------

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4.2 APLICACIONES DE LA DERIVADA

4.2.1 INTRODUCCIÓN Es muy frecuente que en distintas ciencias nos encontremos en la necesidad de determinar, por ejemplo: máxima o mínima área, máximo o mínimo volumen; o para resolver una gran variedad de problemas de optimización, como determinar qué nivel de producción generará utilidades máximas para una empresa, qué nivel de producción resultará un costo mínimo a una empresa. De la misma manera la derivada es una herramienta que ayuda a analizar las propiedades de las funciones, la información obtenida puede utilizarse entonces para elaborar gráficas precisas de las funciones; tambien las derivadas se las pueden emplear para el cálculo de límites, para determinar ceros o raíces en funciones, puntos de intersección entre funciones, etc.

4.2.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS El hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al eje x . También se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente. 4.2.2.1 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS a) Máximo Relativo: Se dice que el punto

x  x0

es un Máximo Relativo de la función f (x ) sí y sólo sí

f ( x0 )  f ( x0  x) para todos los valores suficientemente pequeños de x (x  0) , cuando:

x0  ] a, b [

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Fig.4.7: Máximo relativo

b) Mínimo Relativo: Se dice que el punto

x  x0

es un Mínimo Relativo de la función f (x ) sí y sólo sí

f ( x0 )  f ( x0  x) para todos los valores suficientemente pequeños de x (x  0) , cuando:

x0  ] a, b [

Fig. 4.8: Mínimo relativo

4.2.2.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS a) Máximo Absoluto: El punto

f x0  será Máximo Absoluto de f x si solo si: f  x0   f  x 

 x D f

Fig. 4.9: Máximo absoluto Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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b) Mínimo Absoluto: El punto

f x0  será Mínimo Absoluto de f x si solo si: f  x0   f  x 

 x D f

Fig. 4.10: Mínimo absoluto

En general se tiene MÁXIMO cuando la función pasa de creciente cuando pasa de decreciente

f ' x   0 a decreciente f ' x   0

y MÍNIMO

f ' x   0 a creciente f ' x   0 , como se observa en la figura. En síntesis: “Un máximo

absoluto, es el máximo de los máximos. Un mínimo absoluto, es el mínimo de los mínimos”.

Fig. 4.11: Funciones crecientes y decrecientes

Ejemplos de Aplicación de Intervalos Crecientes y Decrecientes: 1.- Las ventas de los productos alimenticios funcionales, aquéllos que prometen beneficios más allá de la nutrición básica, han aumentado estrepitosamente en años recientes. Las ventas (en miles de millones de dólares) en alimentos y bebidas a base de hierbas y otros aditivos se aproximan por la función: Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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St   0.46 t  2.22 t  6.21t  17.25 3

2

(0 ≤ t ≤ 4), donde “t” se mide en años, con “t = 0” correspondiente a

principios de 2017. Justifique que S es creciente sobre el intervalo [0, 4]. 2.- El gasto de una compañía telefónica de un país en conexiones de fibra óptica para hogares y empresas de 2015 a 2020 se proyecta así: St   2.315t  34.325t  1.32 t  23 3

2

(0 ≤ t ≤ 5) miles de millones de dólares al año

“t”, donde “t” se mide en años con t = 0, correspondiente a 2015. Determine que

S't  > 0 para toda “t” en el

intervalo [0, 5] ¿Qué conclusiones puede formular a partir de este resultado?

4.2.3 PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN Llamados también puntos estacionarios, son los puntos donde se tendrán máximos o mínimos relativos. 4.2.3.1 DEFINICIÓN Los puntos críticos de una función f x  definida en un intervalo

I  D f  x  son los puntos de la gráfica donde:

a) La derivada de la función es cero (Los puntos x  I , tal que

f ' x   0 )

b) La derivada de la función no está definida (Los puntos x  I , tal que

f ' x   ∄ o que f ' x    )

Con frecuencia, los puntos que satisfacen la condición 1, se conocen como PUNTOS CRÍTICOS. Estos son puntos sobre la gráfica de una función en donde la pendiente de la tangente es igual a 0. La ubicación de estos puntos se encuentra igualando

f ' x   0 y resolviendo para los valores de x (si existe) que satisfagan la ecuación.

Fig. 4.12: Puntos críticos

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4.2.3.2 PUNTO DE INFLEXIÓN Es el punto donde la función cambia de máximo a mínimo o de mínimo a máximo, o cambia de concavidad.

Fig. 4.13: Punto de inflexión

Ejemplos de Aplicación de Puntos De inflexión: 1.- Con base en reportes financieros de la empresa, las reservas de efectivo de ITACAMBA a principios del año son aproximadas por la función: Rt   1.5 t  14 t  25.4 t  64 t  290 4

3

2

(0 ≤ t ≤ 6), donde R(t) se mide en

millones de dólares y “t” en años, con t = 0 que corresponde a los inicios de 2014. a) Determine el punto de inflexión de R. b) Utilice el resultado del inciso (a) para mostrar que las reservas en efectivo de la empresa crecieron a la tasa más alta a principios de 2018. 2.- El índice de precios al consumidor (IPC) en una economía es descrito por la función:

I t   0.2 t 3  3 t 2  100

(0 ≤ t ≤ 10), donde t = 0 corresponde al año 2012. Determine el punto de inflexión de la

función I t  y comente su significado. 3.- El producto interno bruto de cierta país (PIB) (en millones de dólares) en el año “t” es descrito por la función:

PIBt   2 t 3  45t 2  20t  6000 (0 ≤ t ≤ 11), donde t = 0 corresponde a los inicios de 2015. Encuentre el punto de inflexión de la función

PIBt  y comente su significado.

4.2.4 CÁLCULO DE PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE f x  Se pueden utilizar dos criterios que son: 4.2.4.1 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS Se siguen los siguientes pasos: 1. Hallar 2. Igualar

f 'x 

f '  x  a cero, para encontrar los puntos críticos ( x0 ) Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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3. Tomar valores

x1  x0 ; x2  x0

4. Verificar para cada punto crítico: a.

f ' x1   0  f ' x2   0 ; Es decir la pendiente pasa de (+) a (-), entonces se tiene MÁXIMO RELATIVO en

b.

x0

f ' x1   0  f ' x2   0 ; RELATIVO en

Es decir la pendiente pasa de (-) a (+), entonces se tiene MÍNIMO

x0

Fig. 4.14: Criterio de la primera derivada

4.2.4.2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS Se siguen los siguientes pasos: 1. Hallar 2. Igualar

f ' x  f ' x  a cero, para encontrar los puntos críticos ( x0 )

3. Hallar la segunda derivada

f ' ' x 

4. Verificar:

f ' ' x   0 ; Se tiene MÍNIMO RELATIVO en ( x0 ) f ' ' x   0 ; Se tiene MÁXIMO RELATIVO en ( x0 ) f ' ' x   0 ; El criterio no es concluyente, puede existir un máximo o un mínimo relativo.

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Fig. 4.15: Ejemplos de funciones que poseen puntos máximos y mínimos

EJERCICIOS PROPUESTOS (# 40) Hallar los puntos críticos (Puntos máximos, mínimos y puntos de inflexión); y graficar, analizando las características de las siguientes funciones. 1.- y = 2x3 + 3x2 - 12x - 7

2.- y = 6x3 – 18x2 + 12x - 15

3.- y = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 17

4.- y = x3 + 9x2 + 24x - 13

5.- y = 3x5 - 25x3 + 60x

6.- y = 3x4 - 4x3 + 1

7.- y = 3x5 - 5x3

4.2.5 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES La Optimización es el proceso de encontrar el conjunto de condiciones requeridas para conseguir el mejor resultado; en Matemáticas cuando hablamos de Optimización, nos vamos a referir al máximo o al mínimo de una función f x  . De este modo, mediante los criterios estudiados, podemos hallar todos los valores, a los que se denomina óptimos de distintas funciones 4.2.5.1 APLICACIONES DE LA DERIVADA EN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN EL ÁREA ECONÓMICA En el ámbito económico, la Optimización es un proceso mediante el cual el ser humano tiende siempre a buscar la manera de obtener el mayor rendimiento posible empleando la mínima cantidad de recursos, o reduciendo costos que puedan calificarse de innecesarios. En este sentido, para que algo sea rentable, siempre se tiende a buscar la forma de optimizar los recursos de que se dispone para, además, asegurar la sustentabilidad de la actividad económica. Por ejemplo: Maximizar la ganancia de una empresa, maximizar la utilidad de un consumidor, maximizar la tasa de crecimiento de una empresa (o de la economía de un país) o minimizar el costo total de producción de una empresa, etc. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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No se dispone de un método rígido para desarrollar problemas de optimización, por lo que se recomienda tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Establecer la variable a optimizar. Graficar o esquematizar las condiciones del problema asignando las variables que se presentan. Establecer fórmulas y relaciones matemáticas que existen entre estas variables. Expresar la variable a optimizar en función a una sola variable independiente. Mediante los criterios establecidos determinar los óptimos buscados. Verificar los resultados en las condiciones originales del problema.

De todos estos pasos, el paso uno (establecer la variable a optimizar), es fundamental, dado que es un indicador de que el problema se ha entendido. Por otra parte, el paso cuatro (expresar la variable a optimizar en función a una sola variable independiente), nos permite aplicar de una manera adecuada los criterios de optimización.

Fig. 4.16: Proceso de optimización de funciones

PROBLEMAS PROPUESTOS (# 41) 1.- Para la siguiente función de costo promedio:

C  x   25  8 x  x2

obtenga el valor mínimo del costo promedio

mínimo, y demuestre que dicho costo promedio mínimo, el costo marginal y el costo promedio son iguales. 2.- El número de dólares del costo total de la producción de “x” unidades de una mercancía es C x   x  4 x  8 . 2

Encontrar la ecuación que defina: a) El costo promedio. b) El costo marginal y costo promedio marginal. c) Encontrar el mínimo absoluto del costo unitario promedio. d) Trazar las curvas del costo total, del costo promedio y del costo marginal en el mismo sistema de coordenadas. Verificar que los costos promedios y marginales son iguales cuando el costo promedio tiene un valor mínimo. 3.- El costo total mensual (en dólares) determinado por la empresa Bravo’s para la fabricación de “x” unidades de un nuevo modelo de cámara digital, está dado por la función:

C x   0.0025x 2  80 x  10000 a) Determine la función del costo promedio. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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b) Determine el nivel de fabricación que dé como resultado el costo promedio de producción mínimo. c) Determine el nivel de producción al cual el costo promedio es igual al costo marginal. d) Compare los resultados del inciso (c) con los del inciso (b). 4.- Un fabricante sabe que, cuando vende un cierto artículo por miles de $, venderá x  380  20 p unidades. A este nivel de producción, el costo medio es CM  x   5 

x . 50 a) Halle las funciones de ingreso y costo total y exprese el beneficio en función de x . b) ¿Qué precio de venta produce el beneficio máximo? ¿Cuál es este beneficio?

5.- El costo total de una empresa que fabrica “x” bicicletas es: C x  

x3  5 x 2  170x  300 . 12

a) ¿A qué nivel de producción decrece el costo marginal? b) ¿A qué nivel de producción crece el costo marginal? c) ¿Cuál es el mínimo costo marginal? 6.- Un fabricante de accesorios eléctricos tienen unos costos de producción diarios de: C x   800  10x 

x2 . 4

¿Cuántos accesorios “x” se habrían de producir cada día para minimizar los costos? 7.- Una empresa que fabrica y vende escritorios, trabaja en competición perfecta y puede vender a un precio de 200 $ el escritorio. Si “x” escritorios se produce y se vende cada semana y

C  x  dólares es el costo total de la

producción semanal, entonces C x   x  4 x  3000. Determine cuántos escritorios deberán fabricarse por 2

semana para que la empresa obtenga la mayor utilidad total por semana. ¿Cuál es dicha utilidad total máxima por semana? 8.- Suponiendo que la función precio está dado por: P  24  8q y la función costo por: Cq   4q  10 . 8

Supóngase además que el gobierno grava las ventas con un impuesto de “t%” por cada unidad. a) Determinar en términos de “t”, la cantidad de producción que maximiza la utilidad. b) Determinar también el valor de t que maximiza la renta del gobierno por concepto del impuesto. 9.- Un fabricante de raquetas de tenis determina que el costo total

C  x  (en dólares) de fabricación de “x”

raquetas por día está dado por: C x   400  4 x  0.0001x . Cada raqueta puede venderse a un precio de ”p” 2

dólares, donde “p” está relacionada con “x” por la ecuación de demanda: p  10  0.0004x . Si todas las raquetas fabricadas pueden venderse, determine el nivel de fabricación diario que producirá utilidades máximas para el fabricante. 10.- Una empresa tiene una producción de “x” toneladas de cierto artículo con un costo variable total dado por

C x   ax3  bx2  cx . Demostrar que la curva de costo medio es una parábola, hallar la producción que corresponde al costo medio mínimo y el valor del costo medio respectivo.

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11.- La curva del costo total del producto ó artículo está dado por

y  15x  8 x  2 x

, de donde “y” representa

el costo total y “x” representa la cantidad producida. Suponga que las condiciones del mercado indican que deberán producirse entre 3 y 10 unidades (esto es 3  x  10 ). Determine la cantidad en este intervalo para lo cual el costo medio ó promedio es mínimo. 12.- Un fabricante de radios averigua que puede vender “q” instrumentos por semana a P pesos cada uno, siendo 5q  375  3P . El costo de la producción es ( 500  15q 

q2 ) pesos. Demostrar que se obtiene la máxima 5

ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana. 13.- Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y la cantidad de producción aumenta a razón de 2 unidades por semana. Si

C  q  dólares es el costo de producción de “q” unidades donde:

Cq   0.08q 3  q 2  10q  48 , calcule la rapidez actual a la que el costo de producción aumenta. 14.- En cierto mercado, la demanda por una clase especial de cereal para el desayuno está indicada por la ecuación de la demanda: Px  25P  400 , donde P centavos es el precio de una caja y “x” miles de cajas es la cantidad semanal demandada. Si el precio actual de dicho cereal es de 80 centavos por caja y ese precio aumenta a razón de 0.2 centavos semanales, calcule la razón de cambio de la demanda. 15.- La ecuación de la oferta de cierta mercancía es: q  1000 3 p 2  20 p donde cada mes se surten “q” unidades cuando “p” dólares es el precio por unidad. Calcule la razón de cambio en el suministro si el precio actual es de 20 $ por unidad y está aumentando a razón de 0.50 $ por mes. 16.- Suponga que “y” es el número de trabajadores en la fuerza laboral necesaria para producir “x” unidades de cierta mercancía y,

x  4 y 2 . Si la producción de esta mercancía, este año, es de 250000 unidades y la producción

aumenta a razón de 18000 unidades anuales. ¿Cuál es la razón actual a la que se debe incrementar dicha fuerza laboral? 17.- Un monopolista determina que si C  q  centavos es el costo total de la producción de “q” unidades de cierta mercancía, entonces Cq   25 q  20000, la ecuación de la demanda es: q  50 p  5000 , donde son demandadas “q” unidades cada semana, cuando el precio unitario es de “P” centavos, si se desea maximizar la utilidad semanal encontrar: a) El número de unidades que deben producirse cada semana. b) El precio de cada unidad 18.- La ecuación de la demanda de cierta mercancía es de

p   x  8 y la función del costo total está dada por 2

C x   18x  x 2 donde C  x  dólares es el costo total cuando se compra “x” unidades. a) Determinar los valore permisibles de “x”. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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b) Encontrar las funciones del ingreso marginal y del costo marginal. c) Encontrar el valor de “x” que rinde la máxima utilidad d) Trazar las gráficas de las funciones del ingreso marginal y del costo en el mismo sistema de coordenadas. 19.- La función de ingreso total de la empresa de Muebles Coloniales se expresa mediante la ecuación

I  x   24x  3 x 2 11, en la que I  x  es el ingreso y “x” es la cantidad vendida. a) ¿Cuál es el ingreso máximo que la empresa puede esperar suponiendo que la ecuación anterior es válida? b) ¿Cuál es la ecuación correspondiente a la función de ingreso marginal de esta empresa? 20.- Suponga que en una situación de monopolio la ecuación de la demanda de cierto artículo es 1 p  6 x  100 , donde “P” dólares es el precio por artículo cuando se demanda “x” artículos y 5 x  100, 1000 . Si

C  x  dólares es el costo total de la producción de “x” artículos, entonces: C x   2x  100 .

a) Encuentre las funciones del ingreso marginal y del costo marginal. b) Calcule el valor de “x” que arroje la máxima utilidad. 21.- En competencia perfecta, una firma puede vender a un precio de 100 $ por unidad todo lo que produce de una cierta mercancía. Si a diario se produce “x” unidades, el número de pesos del costo total de la producción diaria es: x  20 x  700 . Hallar el número de unidades que deben producirse diariamente para que la firma obtenga la máxima utilidad total diaria. 2

22.- Un fabricante en la producción de cierto artículo, ha descubierto que la demanda del artículo viene representado por: x  2500 , suponiendo que el ingreso total 2 p

producción de “x” artículos está dado por:

I  x  está dada por I  x   xp ; y que el costo de

C x   05x  500 . Hallar el precio por unidad que de un beneficio

máximo.

x2 23.- Un cierto artículo tiene una función de demanda dada por: p  100  y la función de costo total es 2 C x   40x  375 a) ¿Qué precio da el beneficio máximo? b) ¿Cuál es el costo medio por unidad si se produce para obtener el beneficio máximo? 24.- Un fabricante de equipos de sonido determina que con el fin de vender “x” unidades de un nuevo modelo, el precio por unidad debe ser p  1000  x . El fabricante también determina que el costo total de producir “x” unidades está dado por. C x   3000  20 x a) b) c) d) e)

Hallar el ingreso total. Hallar la utilidad total ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima? ¿Qué precio por unidad se debe cobrar con el fin de obtener esta utilidad máxima? Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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25.- Una firma de confecciones determina que con el fin de vender “x” prendas, el precio por cada una debe ser: p  150 0.5 x ; también determina que el costo total de producir “x” prendas está dado por:

C x   4000  0.25x 2 a) b) c) d)

Hallar el ingreso total. Hallar la utilidad total ¿Cuántos vestidos debe producir y vender la empresa con el fin de maximizar las utilidades? ¿Cuál es la máxima utilidad?

26.- Una empresa estima que la demanda de su producto fluctúa con su precio, la función de demanda anual es: q  180000 250p donde “q” es el número de unidades demandadas y “p” el precio en dólares, el costo de producir “q” unidades se estima con la función:

Cq   350000 300 q  0.001q 2 Determine cuantas unidades “q” deberían producirse con el objeto de maximizar la utilidad anual. a) ¿Qué precio debería fijarse? b) ¿Cuál se espera que sea la utilidad anual? 27.- La demanda del producto de una compañía varía según el precio que se fije al producto, la compañía ha descubierto que el Ingreso anual “IT” (expresado en miles de dólares) es:

I  p   50 p 2  500 p a) Determinar qué precio debería fijarse con el objeto de maximizar el Ingreso Total b) ¿Cuál es el valor máximo del Ingreso anual? c) Graficar la función Ingreso. 28- La utilidad anual de una compañía depende del número de unidades producidas, la función que describe la relación existente entre la utilidad U  x  (en dólares) y el número de unidades producidas “x” es:

U  x   0.12 x 2  600 x  25000 a) Determine el número de unidades “x” que producirán la utilidad Máxima b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 29.- Un fabricante puede producir cuanto mucho 120 unidades de cierto artículo al año, la ecuación de demanda para ese producto es:

Y  f X   X 2  100X  3200 , en el cual “X” representa la cantidad y “Y” el precio. Si la función de costo promedio de producción del fabricante está dada por:

C (X)  a) b) c) d) e)

2 2 10000 X  40X  3 X

Encontrar la función de ingreso total Encontrar la función de costo total Encontrar la función de utilidad. Determinar cuántas unidades deben producirse y venderse para maximizar las utilidades. Encontrar las utilidades máximas. Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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f)

¿Qué precio por unidad es el que produce la utilidad máxima?

30.- La demanda semanal de un televisor LED de 55 pulgadas está dada por la ecuación de la demanda:

0  x  12000

p  0.05x  600

Donde “p” indica el precio unitario al mayoreo en dólares y “x” indica la cantidad demandada. La función del costo total semanal asociada con la fabricación de estos aparatos está dada por:

C x   0.000002x 3  0.03x 2  400x  80000 Donde

C  x  indica el costo total en que se incurre al fabricar “x” aparatos. Determine el nivel de fabricación que

producirá utilidades máximas para el fabricante. 31.- Suponga que la cantidad demandada por semana de cierto vestido está relacionada con el precio unitario p por la ecuación de demanda

p  800  x donde “p” está en dólares y “x” es el número de vestidos fabricados.

Para maximizar los ingresos, ¿cuántos vestidos deberían fabricarse y venderse cada semana? 32.- El producto interno bruto (PIB) de un país en vías de desarrollo desde 2012 a 2020 es aproximado por la función:

PIBt   0.2t 3  2.4t 2  60

0  t  8

Donde el PIB t  se mide en miles de millones de dólares y t  0 correspondiente al 2012. Demuestre que la tasa de crecimiento del PIB de un país fue máxima en 2016. 33.- Un fabricante puede producir artículos a un costo de 20 $ cada una. Calcular que si las vende a “x” pesos cada una podrá vender aproximadamente ( 120  x ) artículos al mes. Determinar el precio de venta “x” que producirá la mayor utilidad para el fabricante. 34.- Un fabricante puede tener una utilidad de 20 $ en cada artículo si se producen semanalmente no más de 800 artículos. La utilidad decrece a 2 centavos por artículo que sobre pasa los 800. ¿Cuántos artículos deben fabricarse a la semana para obtener la utilidad máxima? 35.- Un fabricante de televisores desea vender un promedio de 1000 televisores al mes a 500 $. El fabricante piensa que puede vender 100 televisores adicionales al mes por cada 20 $ de reducción en el precio. ¿Cuál es el precio que produce el mayor ingreso? 36.- Un vendedor de autos, recibe mensualmente 18 movilidades para venderlas a 2400 $ c/u. Sin embargo, observando la Demanda, el vendedor nota que por cada auto que no coloca en venta, sus clientes están dispuestos a pagarle 200 $ más. ¿Cuántos autos deberán venderse para un Máximo Ingreso? 37.- Una mueblería vende mesas a 1200 $ c/u, ofreciendo una rebaja de 10 $ por cada mesa por encima de 80 que pueda vender, la rebaja afecta a todas las mesas vendidas. Hallar el Máximo Ingreso bajo este plan de ventas. 38.- Una entidad bancaria, cobra una tarifa de 20 $, por cada 1000 $ de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de 0.1 $ por cada 1000 $ por encima del monto de 100000. Hallar su Máximo Ingreso si: Lic. Marcelo Coppe Flores – Gestión Académica 2020

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a) La rebaja afecta al monto total de la transacción. b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de 100000 $. 39.- A los usuarios de una Agencia de Servicios, se les cobra 60 $/mes; este precio se reduce en 0.3 $ por cada usuario arriba de 100. Cuantos usuarios (X) le producen un ingreso total máximo. 40.- Un fabricante de anillos los vende en lotes de 1000, cobrando 2 $ por c/u, ofrece una rebaja de 0.05 $ por cada millar de anillos que le compren. Su costo de producción es de de 1 $ por c/u de los anillos. Cuantos millares “x” debe vender para obtener una Ganancia Máxima. 41.- Una tienda ha estado vendiendo monopatines a 40 euros por unidad, y las ventas mensuales han sido de 50 unidades. El propietario de la tienda quiere subir los precios y estima que, por cada euro de subida, venderá 3 monopatines menos. Si cada monopatín le cuesta a la tienda 25 euros. ¿A qué precio se deben vender los monopatines para que el beneficio sea máximo? 42.- Una agencia de viajes está organizando uno y ya tiene 100 pasajeros. El precio del billete es de 2000 euros por persona. La agencia ha alquilado un avión de 150 plazas por 125000 euros. Además, la agencia debe pagar unos gastos incidentales de 500 euros por persona. Por cada 5 euros de rebaja del billete, una nueva persona se apuntará al viaje, Halle el precio del billete que hace máximo el beneficio para la agencia. 43.- Un cultivador de naranjas de Monteagudo, estima que, si planta 60 naranjas, obtendrá una cosecha media de 4000 naranjas por árbol. Este número bajará 4 unidades por cada árbol más que se plante en el mismo terreno. Halle el número de árboles que hace máxima la cosecha. 44.- Un vinicultor de Villa Abecia estima que, si planta 50 viñas por unidad de superficie, cada una producirá 75 Kg de uvas. Por cada viña adicional (hasta 20) que plante por unidad de superficie reducirá en 1 Kg. La producción. Halle el número de viñas que hace máxima la producción por unidad de superficie. 45.- Si se registran exactamente 200 personas para un vuelo Charter, y la empresa aérea cobra $300 por persona. Sin embargo, si más de 200 personas se registran para el vuelo (asuma que éste es el caso) entonces la tarifa se reduce a $1 por cada persona adicional. Determine cuántos pasajeros producirán un ingreso máximo para la agencia de viajes. ¿Cuál es el ingreso máximo? ¿Cuál sería la tarifa por pasajero en este caso? 46.- Don Tomás, el propietario de un viñedo en Villa Abecia, calcula que por las primeras 10,000 botellas de vino producidas en esta temporada obtendrá una utilidad de $5 por botella. Pero si se producen más de 10,000 botellas, entonces la utilidad por botella para el lote completo se reducirá $0.0002 por cada unidad adicional que venda. Suponiendo que se producen y venden por lo menos 10,000 botellas de vino, ¿cuál será la utilidad máxima? 47.- Un estudio de eficacia del turno de la mañana en una fábrica indica que un trabajador medio que llega a las 8:00 habrá producido Qt   t 3  9t 2  12t unidades al cabo de

t

horas ¿A qué hora de la mañana tiene el

trabajador su rendimiento máximo?

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48.- Un estudio de eficiencia del turno matinal (de las 8:00 a.m. a las 12.00 a.m.) en una fábrica indica que un trabajador promedio que llega a las 8:00 a.m. habrá producido Q  t    t  3

9 2 t  15t unidades “t” horas 2

después. a) ¿En qué momento de la mañana opera el trabajador con la eficiencia máxima? b) ¿En qué momento de la mañana opera el trabajador con la eficiencia mínima? 49.- Una proyección a 5 años de las tendencias de la población señala que dentro de t años la población de cierta comunidad será P t   t  9t  48t  50 miles de hab. 3

2

a) ¿En qué momento, durante el periodo de 5 años, crecerá la población con mayor rapidez? b) ¿En qué momento, durante el periodo de 5 años, crecerá la población con menor rapidez? 50.- Cada máquina de cierta fábrica puede producir 50 unidades por hora. El costo de puesta en marcha es 80 $ por máquina y el costo de operación es 5 $ por hora. ¿Cuántas máquinas deben emplearse para producir 8000 unidades al menor costo posible? (Recuerde que la respuesta debe ser un número entero).

51.- La demanda de consumo de cierto artículo es

Dp   3000e0.01p unidades por mes cuando el precio de

mercado es “p” dólares por unidad. Exprese el gasto total mensual de los consumidores del artículo como una función de “p” y determine el precio de mercado que generará el máximo gasto de consumo. 52.- Un fabricante puede producir radios a un costo de 5 $ cada uno y calcula que si se venden a “x” dólares la unidad, los consumidores compraran aproximadamente vender los radios para maximizar las utilidades?

1000e 0.1x radios por semana. ¿A qué precio debería

53.- Un fabricante de bicicletas compra 6000 llantas al año a un distribuidor. El costo por la orden y el transporte es de $us. 20 por pedido, el costo de almacenamiento es 96 centavos por llanta al año, y cada llanta cuesta $us. 5.75. Suponga que las llantas se utilizan a una razón constante durante todo el año y que cada pedido llega justo cuando se está acabando el pedido anterior. ¿Cuántas llantas debe ordenar el fabricante en cada pedido para minimizar el costo?

54.- Un almacén espera vender 800 frascos de perfume este año. El perfume cuesta $us. 20 por frasco, los gastos de envío son $us. 10 por pedido, y el costo de almacenamiento del perfume son 40 centavos por frasco cada año. El perfume se consume a un ritmo constante a lo largo del año y cada pedido llega justo cuando el anterior se ha agotado. a. ¿Cuántos frascos debe solicitar el almacén en cada pedido para minimizar el costo? b. ¿Con qué frecuencia el almacén debe pedir el perfume? 55.- La demanda de neumáticos “Los Negritos” es 1,000,000 por año. El costo establecido para cada corrida de producción es $4,000 y el costo de fabricación de $20 por neumático. El costo anual de almacenaje de cada

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neumático es $2. Suponiendo uniformidad de la demanda durante el año y producción al instante, determine cuántos neumáticos podrían fabricarse con el fin de mantener el costo de producción al mínimo. 56.- SAS importa una cierta marca de cerveza. La demanda, que puede asumirse será uniforme, es de 8,000,000 cajas al año. El costo por ordenar un embarque de cerveza es $500, el costo anual por almacenar cada caja de cerveza es $2. Determine cuántas cajas de cerveza deberá tener cada embarque si los costos por ordenar y almacenar serán mínimos (suponga que cada embarque de cerveza llega justo al momento que el previo se ha vendido).

4.2.6 APLICACIONES DE LA DERIVADA - REGLA DE L’HOPITAL La Regla de L’Hopital, es un nuevo recurso, para calcular límites que presenten indeterminaciones, esta regla hace uso de las derivadas. 0  4.2.6.1 INDETERMINACIONES DE LA FORMA ( ; ) 0  La Regla de L’Hopital (Llamada también Regla de L’Hopital – Bernouilli), expresa que si se presentan indeterminaciones de las formas:

fx 

Lim x a

gx 

0   ; 0 

Entonces se cumple:

Lim x a

f x g x

 Lim x a

f ' x  g ' x 

 Lim x a

f ' ' x  g ' ' x 

 Lim x a

f ' ' ' x  g ' ' ' x 

....

Por tanto, para calcular un límite, se usa tanto la derivada del numerador como del denominador (No se usa la Regla del Cociente); si persiste la Indeterminación, se vuelve a derivar hasta obtener el resultado del límite. 4.2.6.2 INDETERMINACIONES DE LA FORMA ( 0. ) Si el límite se presenta de la siguiente forma:

Lim f  x .g x   0. x a

0  Este tipo de indeterminación se debe llevar a la forma ( ; ), de la siguiente manera: 0 

Lim f  x .g  x   Lim x a

x a

fx  0  ; 1 0 gx 

Lim f  x .g  x   Lim x a

x a

gx    1  fx

4.2.6.3 INDETERMINACIONES DE LA FORMA (    ) Si el límite se presenta de la siguiente forma:

 1 1  Lim      x a f   x  g  x   Este tipo de indeterminación se debe llevar a la forma (

0 ), de la siguiente manera: 0

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 1 g f 1  0 Lim    Lim  x   x    x a f x a f  x  .g  x  0   x  g  x   

4.2.6.4 INDETERMINACIONES DE LA FORMA ( 1 

Para las indeterminaciones de las Formas: ( 1

; 00 ;  0 )

; 00 ;  0 ) es conveniente aplicar la identidad: e Ln f ( x )  f  x 

EJERCICIOS PROPUESTOS (# 42) Aplicando la Regla de L’Hopital, resolver los siguientes límites:

x 2  16 1.- Lim x 4 2x  8

x 4 1 2.- Lim 2 x 1 x  1

8x 2  1 x3 1

6.- Lim

5.- Lim x 

x 

x2  x  6 3.- Lim x 2 x2  4 ex x100

7.- Lim x 2

3x  1 9.- Lim x 0 Sen x

xe x  1 10.- Lim x 0 x  e x

xe x  x Lim 13.x 1 Sen 2 2x

Sen πx 14.- Lim x 1 1 - x 2

Lim x 2 Ln x

21.-

Lim π  2x 

25.-

Lim x 2  1  x

Lim x 3e  x

x 

π 2

33.- Lim x  4x  4 3

2

x 

2  Lnx  Lim x 

x

11.- Lim x 0

8.- Lim x 0

Sen 8x 2x

8x  1 2x 1

12.- Lim x 0

e  1  x x 15.- Lim x 0 x



19.-

x 

Cos x

3x 2  7 29.- Lim 3 x  x  2x

37.-

18.-

x 0



x x2 x2

Ln x x 2 1

1

17.-

x

6x 2  8x 4.- Lim 2 x  x  x  1

22.-

Lim Sen x Ln x

x 1

27.- Lim x x 1

x 0

x 1

5x 4  3x 2  2 30.- Lim x  x 2  4x3

2 x x2

31.- Lim x2

34.- Lim1  2xx  5

35.- Lim x 

x 

x 0

28.- Lim x  32.- Lim x 0

1  3x 3 2x 3  6x  2

LimSen2x 

3x

x 0

40.- Lim x 0

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24.-

Lim x

1 x

x 

2x 2  x 3  x2

Senx e x  ex

36.- Lim x 

1  Cosx Senx

----------------------------------O-------------------------------50



Lim e x  1 Ln x

1

1

39.-



1 - Cos x 2 x 2Senx 2

1  1 23.- Lim   x  x 0  x e 1 

Lim Ln x Ln 1  x 

T gx

20.-

x0

26.- Lim Cos x x

1 38.- Lim  x 0 x

16.- Lim x 1

e 2x 3x 41.- Lim x 

x Lnx

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BIBLIOGRAFÍA 1. Ayres, Frank – Elliot Mendelso - Cálculo Diferencial e Integral – Serie Schaum – Tercera Edición Editorial Mc Graw Hill – México, 2000. 2. Arya J - Lardner, W. et – al – Matemáticas Aplicadas a la administración y a la economía - Editorial Prentice Hall – Cuarta Edición - México, 2002. 3. Budnick, Frank - Matemáticas Aplicadas Para Administración, Economía y Ciencias Sociales – Cuarta Edición - Ed. Mcgraw-Hill - México, 2007. 4. Castrillo, Tomás Bayron – Cálculo I con aplicaciones – Primera Edición – Ed. WATALO – La Paz-Bolivia, 2012. 5. Chumacero Nogales, José Luís – Algebra Lineal – Décima edición – imprenta Universitaria – Potosí – Bolivia, 2015. 6. Chungara, Victor – Cálculo I – La Paz - Bolivia, 2011. 7. Chungara, Victor – Algebra Lineal – La Paz - Bolivia, 2010. 8. Draper, Jean – Matemáticas Para Administración Y Economía – Editorial Harper – México, 1996. 9. Espinoza Ramos, Eduardo – Análisis Matemático (Tomos I y II) – Sexta Edición - Editorial Edukperu – Perú, 2012. 10. Hoffmann, Laurence – Gerald Bradley - Cálculo Aplicado a Administración, Economía, Contaduría y Ciencias Sociales – Octava Edición - Editorial Mc Graw Hill – México, 2006. 11. Kleiman, Ariel - Matrices Aplicaciones Matemáticas En Economía Y Administración - Editorial Limusa – México, 2002. 12. Larson, Hostetler, Edwars – Cálculo I – Novena Edición - Ed. Mcgraw-Hill - México, 2010. 13. Relos Santiago – Cálculo – Sexta Edición – Editorial Serrano – Cochabamba Bolivia, 2012. 14. Stewart James – Cálculo de una variable (Edición revisada) – Sexta Edición – Editorial CENGAGE Learning – México (2008). 15. Soo Tang Tan – Matemáticas Aplicada a los negocios, las ciencias sociales y de la vida – Quinta Edición - Editorial Thomsom Learnig – México, 2011. 16. Thomas Jr, George – Cálculo-Una variable – Decimosegunda edición- Editorial Pearson Educación – México (2010) 17. Weber, Jean - Matemáticas para Administración y Economía – Cuarta Edición – Editorial Harla – México, 2003.

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APÉNDICE 1.- NÚMEROS REALES 1.1.- Clasificación

1.2.- Propiedades de los números reales Si a, b y c, son números reales, entonces:

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PROPIEDAD

EJEMPLO

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2.- FÓRMULAS DE FACTORIZACIÓN Son casos frecuentes de multiplicación de polinomios, se usan para descomposición de los polinomios a multiplicadores, la simplificación de fórmulas, la simplificación de polinomios. FÓRMULAS DE CUADRADOS

FÓRMULAS DE CUBOS

FÓRMULAS PARA LA CUARTA POTENCIA

FÓRMULAS PARA ƞ POTENCIA

3.- POTENCIA PROPIEDADES Y FÓRMULAS El Número c se llama n potencia del número a, si:

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Potencia propiedades y fórmulas se usan en la reducción y simplificación de expresiones complejas, también cuando calculamos unas ecuaciones y desigualdades.

4.- PROPIEDADES DE LOS RADICALES - FÓRMULAS La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que,

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5.- PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS - FÓRMULAS Logaritmo del número b con la base a (loga b) se define como el índice de la potencia a que hay que elevar el número a, para sacar b (el logaritmo tienen sólo los números positivos).

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

6.- PROPIEDADES DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA - FÓRMULAS Progresión aritmética es secuencia numerativa a1, a2, a3,..., donde cada miembro, empezando por segundo, equivale al suma del miembro anterior y el tal número constante d, que se llama diferencia de la progresión.

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7.- PROPIEDADES DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA - FÓRMULAS Progresión geométrica — es secuencia numerativa b1, b2, b3,..., en que cada número siguiente, empezando por segundo, sale del anterior mediante su multiplicación por un cierto número q (razón de la progresión), где b1 ≠ 0, q ≠ 0.

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8.- IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Identidades Trigonométricas. - Son expresiones matemáticas que frecuentan para las funciones trigonométricas que se cumplen con todos los valores del argumento.  Razones trigonométricas  Relaciones básicas  Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos  Razones trigonométricas del ángulo doble  Razones trigonométricas del ángulo triple  Identidades para la reducción de exponentes  Transformaciones de sumas en productos  Transformaciones de productos en sumas  Substitución trigonométrica universal 8.1.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

8.2.- RELACIONES BÁSICAS

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8.3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

8.4.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

8.5.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE

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8.6.- IDENTIDADES PARA LA REDUCCIÓN DE EXPONENTES

8.7.- TRANSFORMACIONES DE SUMAS EN PRODUCTOS

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8.8.- TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS EN SUMAS

8.9.- SUBSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA UNIVERSAL

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9.- TABLA DE DERIVADAS

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10.- TABLA DE INTEGRALES

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