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Tarea3: Derivadas Grupo 100410_639

Presentado por: Jhon Alexander Villegas M. Código: 14569894

Presentado a: Bibiana Rosero Tutora

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Programa Ingeniería industrial Cálculo Diferencial 100410A_614 Cartago Valle, noviembre de 2019

Ejercicios tarea 3 – Derivadas – Jhon Alexander Villegas

1) De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 3

f ( x )=3 x 2−x

Solución: Primero debo hallar: f ( x )=3 x 2−x f ( x +h ) =3( x +h)2−(x +h) Luego reemplazo en la siguiente derivada de la función: f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h )−f ( x) Entonces tenemos: h

f ´ ( x )=lim 3(x +h)2−( x +h )− h →0

(3 x ¿¿ 2−x ) ¿ Posteriormente se realizan las operaciones h

indicadas: 3 ( x 2 +2 xh+h2 ) −x−h−3 x 2 + x Ahora elimino los paréntesis resolviendo la f ´ ( x )=lim h h →0 ecuación: 3 x 2 +6 xh+3 h2−x −h−3 x 2 + x ( ) sumo termino semejantes: f ´ x =lim h h →0 f ´ ( x )=lim h →0

6 xh+ 3 h2−h Ahora factorizo la h en el numerador por ser un término en h

común: h(6 x+ 3 h−1) elimino la h que multiplica en el numerador y divide en el h h →0 denominador: f ´ ( x )=lim

f ´ ( x )=lim 6 x+ 3 h−1 Ahora reemplazo el límite de h cuando tiende a cero: h →0

f ´ ( x )=lim 6 x+ 3 ( o )−1 realizando operaciones nos da: h →0

f ´ ( x )=lim 6 x−1 Este es el resultado. h →0

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2) Estudiante 3

f ( x )=( √ x+2)(2 x3 −x)

Solución: f ( x )=( √ x +2 ) ( 2 x 3−x ) Para resolver esta derivada aplicamos la derivada de un producto, posteriormente resolvemos según la regla ( fg ' + f ' g ) : pero antes se puede reescribir

√ x=x

1 2

1 2

f ( x )=( x +2 ) ( 2 x − x ) Ahora resolvemos la derivada aplicando la regla: 3

1

(

−1

)

1 3 f ' ( x )= x 2 + 2 ( 6 x2−1 )+( x 2 )¿ 2 x −x ¿ Ahora resolvemos las multiplicaciones: 2 5

1

5

1

f ' ( x )=6 x 2 −x 2 +12 x 2−2+ x 2 −x 2 Ahora sumo los terminos semejantes: 5

1

f ' ( x )=7 x 2 −2 x 2 +12 x2 −2 Este es el resultado. 3) Estudiante 3

x 3−1 ( ) f x= √ x−1

Solución: f ( x )= f ( x )=

x 3−1 esta función se puede reescribir de la siguiente manera: √ x−1 x 3−1 1 2

ahora resolvemos esta derivada aplicando la regla de un cociente:

x −1 f ' ( x )∗g ( x ) −f ( x )∗g' ( x ) Por lo tanto: 2 ( g ( x) )

1 2

f ' ( x )=

1 (3 x ¿¿ 2) ( x −1 )−(x −1)( x 2 3

−1 2

)

1 2

¿ paso seguido resuelvo las operaciones de

(x −1)2 multiplicación en el numerador: 5

f ' ( x )=

5

1 1 3 x 2 −3 x 2− x 2 − x 2 2

−1 2

1 2

ahora sumo términos semejantes:

(x −1)2 5

f ' ( x )=

3 1 −3 x2 − x 2 − x 2 2 1 2

−1 2

Este es el resultado, también lo puedo expresar de la siguiente

2

( x −1) manera:

f ' ( x )=

5

3 1 −3 x − x 2 − 2 2√x 2

2

( √ x−1)

4) Estudiante 3

3

f ( x )=( 3 x 2−5 x ) . ( x 2−2 )

2x

Solución: 3 2x f ( x )=( 3 x 2−5 x ) . ( x 2−2 ) Esta derivada se puede desarrollar utilizando la regla del producto y la regla de la cadena:

d ( f ∗g )=f ' g+ g ' f regla del producto dx d [ U n ]=nU n−1∗dU regla de la cadena dx Ahora procedo a resolver, primero hallo las derivadas de la regla del producto: f ' ( x )=3 x 2−5 x=6 x−5

2x 2 x2 ' 2 2 g ( x )= ( x −2 ) =2( ln ( x −2 ) + 2 )¿ en esta derivada se aplica a x =lna x −2

f ( u )=u3 ∴ f ' ( u ) =3u 2 u=3 x 2−5 x Teniendo estas ecuaciones o funciones procedo a reemplazar según la regla del producto y de la cadena: 2 2x 2 x2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x =3 3 x −5 x 6 x−5 x −2 +2( ln x −2 + 2 )¿ x −2 '

Ahora resuelvo las operaciones indicadas, simplificando: 2x 2 x2 ' 4 3 3 2 2 f ( x )=3 ( 9 x −30 x +25 x ) ( 6 x−5 ) ( x −2 ) + 2(ln ( x −2 ) + 2 ) ¿ entonces: x −2 2x 2 x2 ' 4 3 3 2 2 f ( x )=( 27 x −90 x +75 x ) ( 6 x−5 ) ( x −2 ) +2(ln ( x −2 ) + 2 )¿ Este es el resultado x −2

5) Calcule la derivada implícita de la Siguiente función. Estudiante 3

x 4 +3 y 3−cos x=2

Solución: x 4 +3 y 3−cos x=2 para hallar la derivada implícita derivo según la regla de la suma: 4 x3 + 9 y 2 y ' + sen x=0 ahora despejo la y ' : '

y=

−4 x 3 −sen x lo puedo reescribir de la siguiente manera: 9 y2

d ( ) −4 x3 −sen x y= este es el resultado dx 9 y2 6) Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Estudiante 3

f ( x )=x 4 + 2 x 2 + √ x

5

3 f (x)=24 x+ x 2 8 '' '

Solución: f ( x )=x 4 + 2 x 2 + √ x puedo reescribir la función de la siguiente manera: 1

f ( x )=x 4 + 2 x 2 + x 2 Ahora resuelvo hallando la primera derivada según la regla de la suma: 1 f ' ( x )=4 x3 + 4 x + x 2

−1 2

1 f ' ' ( x ) =12 x 2 +4− x 4

−3 2

Ahora resuelvo hallando la segunda derivada:

Ahora resuelvo hallando la tercera derivada:

5

3 f ' ' ' ( x )=24 x+ x 2 Este es el resultado 8

Gráficas y problemas tarea 3 – Derivadas – Jhon Alexander Villegas Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que, graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra). 1) Estudiante 3

a. f ( x )=x 2 +2 x

b. f ( x )=e x

a) f ( x )=x 2 +2 x para resolver esta derivada aplico la regla de la suma f ' ( x )=2 x+ 2 Este es el resultado de la primera derivada. Ahora para hallar la pendiente de la recta le doy valor a x en la función original y en la función derivada: Si x=2 f ( x )=22 +2(2) f ( x )=4+ 4=8 f ' ( x )=2 x+ 2 f ' ( x )=2(2)+2 f ' ( x )=4+2=6

En la anterior grafica se puede evidenciar que la pendiente de la tangente es la derivada de la función f ( x )=x 2 +2 x su derivada es f ' (x )=2 x+ 2 , cuando la (x) toma algún valor en la gráfica (para este caso tomó el valor de 2) la pendiente de esta siempre será el resultado de la derivada al reemplazar x

b) f ( x )=e x para resolver esta derivada aplico la siguiente regla: e x =e x , por lo tanto: f ' ( x )=e x ahora le doy valor a x=2 f ( x )=e2=7,3 f ' ( x )=e 2=7,3 pendiente de la recta tangente en este punto de la función

En la anterior grafica se puede evidenciar que la pendiente de la tangente es la derivada de la función f ( x )=e x su derivada es f ' (x )=e x , cuando la (x) toma algún valor en la gráfica (para este caso tomó el valor de 2) la pendiente de esta siempre será el resultado de la derivada al reemplazar x 2) Problemas aplicación de las derivadas A Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por x ( t )=40−t 2 +6 t donde x se da en metros y t está dado en segundos, con t ≥ 0, Estudiante 3

a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula. b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=8s B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 1 f ( x )= x3 −5 x +3 6

Solución: a) Expresión para la aceleración de la partícula: x ( t )=40−t 2 +6 t para hallar una expresión para la aceleración primero debo hallar una expresión para la velocidad y se halla derivando la función posición: v ( t )=−2 t+ 6 ahora para hallar la expresión para la aceleración debo hallar la derivada de la función velocidad: a ( t )=−2 Esta es expresión para la aceleración de la partícula.

b) Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=8s m para este caso la aceleración en constante para cualquier tiempo en seg2 segundos.

a ( 8 )=−2

1 3 c) Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f ( x )= x −5 x +3 6 Puntos críticos: Primero hallo la derivada de la función: 1 f ( x )= x3 −5 x +3 6 3 f ' ( x )= x 2−5 ahora la función la igualamos a cero(o): 6 3 2 x −5=0 ∴ x 2=10 6 x 2=10 ahora para eliminar la x elevada al cuadrado debo aplicar raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación: √2 x 2=√2 10 en este punto cancele la raíz con la potencia de la x, por lo tanto, queda: x=± 3.16 se deben dar los dos resultados: x=3,16 x=−3,16 Para saber cuál es el punto máximo y mínimo hallo la segunda derivada: 3 f ' ( x )= x 2−5 6 6 f ' ' ( x ) = x ahora reemplazamos los dos valores hallados de los puntos críticos: 6 6 f ' ' ( 3,16 )= (3,16 )=3,16 el resultado es mayor que cero, por lo tanto, es mínimo 6 6 f ' ' (−3,16 )= (−3,16 )=−3,16 el resultado es menor que cero, por lo tanto, es 6 máximo Entonces tenemos: x=3,16 Punto mínimo x=−3,16 Punto máximo Ahora puedo hallar las coordenadas: 1 f ( x )= x3 −5 x +3 en esta función reemplazo los puntos mínimos y máximos: 6 1 f ( 3,16 )= (3,16)3 −5 ( 3,16 ) +3=−7,54 el punto de minimo sería: 6 ( 3.16 ,−7.54 )

1 f (−3,16 )= (3,16)3−5 (−3,16 ) +3=13,54 el punto maximo sería: 6 (−3.16 , 13.54 ) Punto de inflexión, tomamos la segunda derivada y la igualamos a cero: 6 f '' ( x) = x 6 6 0 x=0∴ x= =0 6 6 x=0 punto de inflexión Para hallar el punto se reemplaza la x por el cero en la función: 1 f ( x )= x3 −5 x +3 6 1 f ( 0 )= (0)3−5 ( 0 ) +3=3 6 El punto de inflexión está en ( 0 , 3 )

Enlace de sustentación de 1 ejercicio y 1 problema http://youtu.be/i4JYVykM3mw?hd=1