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“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” I.E.P Corpus Christi

Monografía:

Derivadas

Nombres: Apellidos: Docente: Grado:

Sección:

Chimbote-Perú 2018

DEDICATORIA

Dedico este trabajo principalmente a Dios, por haberme dado la vida y darme una buena salud. A mi madre, por ser el pilar más importante y por demostrarme siempre su cariño y apoyo incondicional sin importar nuestras diferencias de opiniones. A mi padre que él me ayuda y me da consejos y alienta a cumplir todos mis trabajos. A mis Familiares, quien comparten momentos significativos conmigo y por siempre estar dispuestos a escucharme y ayudarme en cualquier momento. A mis compañeros, porque ellos me alientan a seguir adelante y lograr todos mis metas.

AGRADECIMIENTO

Agradezco a Dios por protegerme durante todo mi camino y darme fuerzas para superar obstáculos y dificultades a lo largo de toda mi vida. A mi Madre, que con su demostración de una madre ejemplar me ha enseñado a no desfallecer ni rendirme ante nada y siempre perseverar a través de sus sabios consejos. Gracias a todas las personas que ayudaron directa e indirectamente en la realización de este proyecto.

INDICE Introducción .................................................................................................................................. 1 Objetivos ....................................................................................................................................... 2 Marco Teórico ............................................................................................................................... 3 Capítulo I .................................................................................................................................... 3.1 Derivada de una función ............................................................................................................ 3.2 Definición ................................................................................................................................ 3.2.1 Recta Tangente.............................................................................................................................. 4 Recta Normal.............................................................................................................................. 4.1 Ejemplo.......................................................................................................................................... 5 Derivada de la Función Exponencial .......................................................................................... 5.1 Derivadas de Funciones Exponenciales Generalizadas ................................................................. 7 Derivadas de Orden Superior ........................................................................................................ 8 Derivación Implícita....................................................................................................................... 9 Derivadas de las Funciones Trigonométricas .............................................................................. 10 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas ................................................................ 12 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas ................................................................ 12 Derivada Lateral .......................................................................................................................... 13 Diferencia entre Limite lateral de la derivada y Derivada Lateral............................................... 14 Derivadas Logarítmicas ............................................................................................................... 15 Conclusiones ............................................................................................................................... 19 Anexos ......................................................................................................................................... 20 Bibliografía .................................................................................................................................. 22

INTRODUCCION Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Diferencial, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz). En lo que respecta a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial. Se suele imaginar la derivada en un punto x para la función como la pendiente (inclinación) que existe en el punto. En la gráfica de una función, la pendiente representa la rapidez con que cambia dicha función: si la pendiente es muy grande, entonces la función en este punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces la función crece muy despacio en ese punto. En términos geométricos, ésta pendiente es "la inclinación" de una línea recta que toca el punto en el que se evalúa la derivada de la función. Esta inclinación (un valor numérico) depende de la forma que tiene la función en esa zona del gráfico que la representa en el plano cartesiano. Derivar una función no es en absoluto complicado si se sabe utilizar las reglas de derivación descubiertas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lógico. La derivabilidad de una función en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) está asociada al de continuidad. Este aspecto también será tratado en esta unidad. Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.). En este tema, además de definir tales conceptos, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral

1

OBJETIVOS  Adquirir con claridad el concepto de derivada de una función en un punto.  Distinguir entre derivada en un punto x=x0 de una función f(x) y función derivada de f(x).

 Calcular rectas tangentes a una curva f(x).  Aprender la técnica de derivación de funciones f(x).

 Interpretar aspectos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad de funciones a partir de la función derivada y derivada segunda de una función f(x).

 Determinación de valores máximos y mínimos de funciones f(x) y resolver problemas de optimización

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MARCO TEORICO Capítulo I

LA DERIVADA

I.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

I.1 DEFINICIÓN: Dada una función𝐟(𝐱) y un punto𝐱𝟎 en el dominio de 𝐟(𝐱)se llama derivada de 𝐟(𝐱)en el punto 𝐱𝟎 al valor numérico: 𝐟(𝐱 +𝐡)−𝐟(𝐱𝟎 ) 𝐟 , (𝐱𝟎 ) = 𝐥𝐢𝐦 𝟎 , Si solo sí el límite exista. 𝐡→𝟎

𝐡

𝑫𝒐𝒎𝒇, = 𝑫𝒐𝒎𝒇

El dominio de una función derivada de 𝒇(𝒙) es 𝑫𝒇, = {𝒙 ∈ 𝑫𝒇 /𝒇, (𝒙) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆}.

DEFINICIÓN: SIGNIFICADO GEOMÉTRICO: Consideremos una función𝐟(𝐱)derivable en𝐚, 𝐏(𝐚; 𝐟(𝐚)) el punto de tangencia y 𝐐𝐡 (𝐚 + 𝐡; 𝐟(𝐚 + 𝐡))otro punto sobre la gráfica de 𝐟(𝐱). La pendiente de la recta secante𝐏𝐐𝐡 es: 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒎𝒉 = = (𝒂 + 𝒉) − 𝒂 𝒉 En el gráfico: Cuando𝐡 → 𝟎, el punto 𝐐𝐡 varía sobre la gráfica tendiendo hacia𝐏. Entonces 𝛂𝐡 → 𝛂, en donde 𝛂 es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la gráfica de 𝐟(𝐱)en el punto 𝐏. Luego las pendientes de las rectas secantes ̅̅̅̅̅̅ 𝐏𝐐𝐡 tienden a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝐲 = 𝐟(𝐱) en el punto 𝐏. 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) = 𝒎𝑻 = 𝒇, (𝒂) 𝒉→𝟎 𝒉

𝐥𝐢𝐦 𝒎𝒉 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎

Por lo tanto,𝐟 , (𝐚), es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝐲 = 𝐟(𝐱)en el punto 𝐏(𝐚; 𝐟(𝐚)).

OTRAS NOCIONES DE LA DERIVADA:

a) Si 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒉 → 𝒉 = 𝒙 − 𝒙𝟎 ; y 𝒇, (𝒙𝟎 ) =

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) , 𝒙→𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎

𝒍𝒊𝒎

b) Al incremento de 𝒉 en la variable 𝒙 se denota ∆𝒙 = 𝒉 = 𝒙 − 𝒙𝟎 , y para tal incremento existe un incremento en el valor de la funcion al que se le denota: ∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) De lo cual se tiene:

3

𝒇, (𝒙𝟎 ) =

𝒍𝒊𝒎

∆𝒙→𝟎

𝒇, (𝒙𝟎 ) = 𝒅𝒇

𝒅𝒇

𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) ∆𝒙 ∆𝒚 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙

c) 𝒇, = 𝒅𝒙 → 𝒇, (𝒙𝟎 ) = 𝒅𝒙 (𝒙𝟎 )

Se lee: derivada de𝒇(𝒙)con respecto a 𝒙 en el punto𝒙𝟎 . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: DEFINICIÓN: Sea 𝒇: 𝑹 → 𝑹una función definida en el punto𝒂 ∈ 𝑫𝒇 se dice que es derivable de𝒇 en 𝒂 si el siguiente límite existe: 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) 𝒇, (𝒂) = 𝒍𝒊𝒎 𝒉→𝟎 𝒉 Si la función𝒇, es derivable en 𝒂, 𝒇, (𝒂) se llama derivada de𝒇en la notación𝒇, (𝒂) se debe a LaGrange Otras notaciones: 𝑫𝒙 𝒇(𝒂): Notación de Cauchy. 𝒅𝒇(𝒙) 𝐱 𝒅𝒙

= 𝐚: Notación de Leibniz.

𝒇, (𝒙): Notación de Newton.

II.

RECTA TANGENTE:

II. DEFINICIÓN: La recta tangente 𝐋𝐓 a la gráfica de una función 𝐟(𝐱) en el punto 𝐏𝐨 = (𝐱𝟎 , 𝐟(𝐱𝟎 )) es la recta que pasa por𝐏𝐨 y que tiene pendiente𝐟 , (𝐱𝟎 ), cuando existe, es decir: 𝑳𝑻 : 𝒚 − 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒇, (𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟎 )

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III.

RECTA NORMAL: Se llama recta normal 𝐋𝐍 a la gráfica de𝐟(𝐱) en 𝐏𝐨 = (𝐱𝟎 , 𝐟(𝐱𝟎 )) ala recta que pasa por 𝐏𝐨 y que es perpendicular a la recta tangente 𝐋𝐓 en 𝐏𝐨 .

EJEMPLO: Hallar el área del triángulo limitado por las ecuaciones de la tangente y de la normal a la gráfica de la ecuación: 𝟒𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱𝐲 𝟐 + 𝟔𝐱 𝟐 − 𝟓𝐱𝐲 − 𝟖𝐲 𝟐 + 𝟗𝐱 + 𝟏𝟒 = 𝟎 een el punto P (-2; 3) y el eje X. Solución: Derivando la ecuación implícita respecto de x, se tiene: 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟑(𝟐𝒙𝒚𝒚′ + 𝒚𝟐 ) + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓(𝒙𝒚′ + 𝒚) − 𝟏𝟔𝒚𝒚′ + 𝟗 = 𝟎 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟗 ⟹ 𝒚′ = 𝟔𝒙𝒚 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 Para el punto P (-2; 3) obtenemos: 𝐦𝐭 = 𝐲 ′ (−𝟐; 𝟑) = −𝟗/𝟐 𝟗

Ecuación de la tangente: 𝐲 − 𝟑 = − 𝟐 (𝐱 + 𝟐) ⟺ 𝐥𝐭 : 𝟗𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟐

Ecuación de la normal: 𝒚 − 𝟑 = 𝟗 (𝒙 + 𝟐) ⟺ 𝒍𝒏 : 𝟐𝒙 − 𝟗𝒚 + 𝟑𝟏 = 𝟎 𝒍𝒕 ∩ (Eje X): 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟗𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 ⇔ 𝒙𝟏 = −𝟒/𝟑 𝒍𝒏 ∩ (Eje Y): 𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝟑𝟏 = 𝟎 ⟺ 𝒙𝟐 = −𝟑𝟏/𝟐 Base del triángulo:𝒃 = |𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 | 𝟒 𝟑𝟏 𝟖𝟓 ⟹ 𝒃 = |− + | = ; 𝒉 = 𝒚𝟎 = 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟏 𝟏 𝟖𝟓 𝟖𝟓 𝟐 𝒂(△) = (𝒃𝒉) = ( ) (𝟑) = 𝒖 𝟐 𝟐 𝟔 𝟒

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EJEMPLO 1: Hallar el ángulo de intersección de las curvas: 𝐩𝟏 : 𝐲 = (𝐱 − 𝟐)𝟐 y𝐩𝟐 : 𝐲 = −𝟒 + 𝟔𝐱 − 𝐱 𝟐 Solución: los pasos a seguir son los siguientes: a. Cálculo de los puntos de intersección: Si (𝐱 − 𝟐)𝟐 = −𝟒 + 𝟔𝐱 − 𝐱 𝟐 ⟹ 𝐱 𝟐 − 𝟓𝐱 + 𝟒 = 𝟎 ⟺ 𝐱𝟏 = 𝟏 ⋁ 𝐱𝟐 = 𝟒 Luego: 𝐏𝟏 (𝟏; 𝟏) 𝐲 𝐏𝟐 (𝟒; 𝟒) son los puntos de intersección. b. Cálculo de las pendientes en 𝐏𝟏 (𝟏; 𝟏) 𝐏𝟏 : 𝐲 ′ = 𝟐(𝐱 − 𝟐), 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 = 𝟏 ⟹ 𝐦𝟏 = −𝟐 𝐏𝟐 : 𝐲 ′ = 𝟔 − 𝟐𝐱 , 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 = 𝟏 ⟹ 𝐦𝟐 = 𝟒 c. Cálculo del ángulo de intersección: 𝐦𝟐− 𝐦𝟏 𝟒 − (−𝟐) 𝟔 𝐓𝐠𝛉 = | |=| |= 𝟏 + 𝐦𝟏 . 𝐦𝟐 𝟏−𝟖 𝟕 ⟹ 𝛉 = 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠(𝟔/𝟕) = 𝟒𝟎° 𝟑𝟔′ d. Para el punto 𝐏𝟐 (𝟒; 𝟒) se obtiene el mismo resultado, esto se debe a la simetría de ambas curvas en los puntos de intersección. EJEMPLO 2: Hallar la derivada de función f ( x) 

2x  3 x2

Solución: Siguiendo el método de los cuatro pasos se tiene:

2( x  h)  3 2 x  2h  3  ( x  h)  2 xh2

1.

f ( x  h) 

2.

f ( x  h)  f ( x ) 

2 x  2h  3 2 x  3 7h   xh2 x2 ( x  h  2)( x  2)

3. Formando el cociente

4. Luego: lim

h 0

f ( x  h)  f ( x) 7 , resulta :  h ( x  h  2)( x  2)

f ( x  h)  f ( x ) 7 7   f ' ( x)   h ( x  2)( x  2) ( x  2) 2

EJEMPLO 3: Hallar la ecuación de la tangente y la normal a la función f ( x)  x x  1 , en el punto de abscisa x=2

Solución: Punto de tangencia: si x  2  y  2 2  1  2  P(2,2)

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Como f está definida x  1, podemos escribir

f ( x)  x 2 ( x  1)  x3  x 2 Ahora hallaremos la derivada de f por el método de los cuatro pasos 1.

f ( x  h)  ( x  h)3  ( x  h) 2

2.

f ( x  h)  f ( x)  ( x  h) 3  ( x  h) 2  x 3  x 2 

h(3x 2  3hx  h 2  h  2 x) ( x  h) 3  ( x  h) 2  x 3  x 2

f ( x  h)  f ( x ) 3x 2  3hx  h 2  h  2 x  h ( x  h) 3  ( x  h) 2  x 3  x 2

3.

f ( x  h)  f ( x ) 3x 2  2 x 3x  2   f ' ( x)  , x  1 4. lim 3 2 h 0 h 2 x 1 2 x x 62 En particular, para x  2  Dom ( f ' ), m  f ' (2)  2 2 2 1 Por tanto, la ecuación de la tangente es: y  2  2( x  2)  l t : 2 x  y  2  0 y la ecuación de la normal es: y  2  

1 ( x  2)  l n : x  2 y  6  0 2

IV. DERIVADAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: Sea 𝐚 un número real positivo(𝐚 ≠ 𝟏) y sea 𝐮una función de𝐱 derivable en todo su dominio, entonces: 𝐝  𝐝𝐱 (𝐚𝐱 ) = (𝐥𝐧 𝐚)𝐚𝐱 

𝐝 (𝐚𝐮 ) 𝐝𝐱

𝐝𝐮 𝐝𝐱

= (𝐥𝐧 𝐚)𝐚𝐮 . ( )

DERIVADA DE 𝐞𝐱 : Sea 𝒚 = 𝒆𝒙 sabemos que esto significa: 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒚 de modo que por teoría de la derivada de la función inversa: 𝟏 𝟏 𝑫𝒙 𝒆𝒙 = 𝑫𝒙 𝒍𝒏−𝟏 (𝒙) = = = 𝒚 = 𝒆𝒙 𝑫𝒚 𝐥𝐧(𝒚) (𝟏) 𝒚 Obteniendo uno de los resultados, considerado, más importante del cálculo matemático: 𝐃𝐱 𝐞𝐱 = 𝐞𝐱 , ∀𝐱 ∈ 𝐑 En consecuencia para toda constante c: 𝐃𝐱 (𝐜𝐞𝐱 ) = 𝐜𝐞𝐱 , ∀𝐱 ∈ 𝐑 Asimismo es una función derivable: 𝐃𝐱 [𝐞𝐟(𝐱) ] = 𝐞𝐟(𝐱) . 𝐟 , (𝐱), ∀𝐱 ∈ 𝐑 En efecto, si hacemos𝐮 = 𝐟(𝒙); por la regla de la cadena resulta: 𝒅 𝒇(𝒙) 𝒅 𝒖 𝒅 𝒖 𝒅𝒖 (𝒆 ). 𝒆 = 𝒆 = = 𝒆𝒖 . 𝒇, (𝒙) 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙

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 TEOREMA 01: Una exponencial de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒆𝒌𝒙 satisfactoriamente de que su derivada 𝒇, (𝒙)es proporcional a la misma función𝒇(𝒙) en todo su dominio. Es decir ∀𝒙 ∈ 𝑹, 𝒇, (𝒙) = 𝒄(𝒆𝒌𝒙 . 𝒌) = 𝒌. 𝒇(𝒙)

NOTA: La constate 𝒄 = 𝒇(𝟎)es llamada “valor inicial” de la función 𝒇 y 𝒌 es su constante de proporcionalidad.

V.

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES GENERALIZADAS: Si 𝐟(𝐱)y 𝐠(𝐱) son derivables,𝐟(𝐱) > 0, se puede calcular la derivada de la funcion exponencial generalizada: 𝐲 = 𝐲(𝐱) = [𝐟(𝐱)]𝐠(𝐱) Al expresarla como: 𝐲(𝐱) = 𝐞𝐠(𝐱).𝐥𝐧[𝐟(𝐱)] Al derivar: , 𝐲(𝐱) = 𝐞𝐠(𝐱).𝐥𝐧[𝐟(𝐱)] . {𝐠(𝐱). 𝐥𝐧[𝐟(𝐱)]}, , 𝐲(𝐱)

= 𝐲(𝐱). {𝐠

, (𝐱).

𝐟 , (𝐱) 𝐥𝐧[𝐟(𝐱)] + 𝐠(𝐱). } 𝐟(𝐱)

VI. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: XII.1 DEFINICIÓN 01: Si 𝐃𝐧 𝐟 y 𝐃𝐧 𝐠 existen en un intervalo 𝐈entonces 𝐃𝐧 (𝐟 + 𝐠) y 𝐃𝐧 (𝐟 ∗ 𝐠) existen sobre 𝐈 y además: 𝐃𝐧 (𝐟 + 𝐠) = 𝐃𝐧 𝐟 + 𝐃𝐧 𝐠 Según Leibniz: 𝐧

𝐧 (𝐟

𝐃

𝐧 ∗ 𝐠) = ∑ ( ) [𝐃𝐧−𝐤 𝐟] ∗ [𝐃𝐤 𝐠 ] 𝐤 𝐤=𝟏

XII.2 DEFINICIÓN 02: Sea 𝐲 = 𝐟(𝐱) una función derivable, la derivada de la función 𝐟 ′ (𝐱) se denomina segunda derivada de f, y ees indicada con una de las notaciones: 𝐟 ′′ (𝐱), 𝐃𝟐𝐱 𝐟(𝐱),

𝐝𝟐 𝐟(𝐱) 𝐝𝟐 𝐲 , ¨𝐟(𝐱), 𝐝𝐱 𝟐 𝐝𝐱 𝟐

Si𝐟′′(𝐱𝟎 ) eexiste, see dice que f es dos veces derivable en x0 y el número 𝐟′′(𝐱 𝟎 ) se denomina segunda derivada de 𝐟 en 𝐱𝟎 .

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Si 𝐟′′(𝐱) es una función derivable, su derivada (𝐟 ′′ )′ , (derivada de la segunda derivada) se denomina tercera derivada de f y se denota con uno de los símbolos: 𝐟 ′′′ (𝐱), 𝐃𝟑𝐱 𝐟(𝐱),

𝐝𝟑 𝐟(𝐱) 𝐝𝟑 𝐲 , 𝐝𝐱 𝟑 𝐝𝐱 𝟑

De esta manera, derivando sucesivamente la función f (siempre quee sea posible), se obtiene la n-ésima derivada o derivada de orden n de f y se indica con una de las notaciones: 𝐟 (𝐧) (𝐱), 𝐃𝐧𝐱 𝐟(𝐱),

𝐝𝐧 𝐟(𝐱) 𝐝𝐧 𝐲 , 𝐝𝐱 𝐧 𝐝𝐱 𝐧

PROPOSICIÓN: Fórmula de Leibniz: supongamos que las funciones 𝐮(𝐱) y 𝐯(𝐱) son definidas y derivables hasta el orden n en A y se tiene: 𝐲 (𝐧) = (𝐮′ . 𝐯 + 𝐯 ′ )(𝐧) 𝐧 𝐧 𝐧 𝐧 = ( ) 𝐮(𝐧) . 𝐯 + ( ) 𝐮(𝐧−𝟏) . 𝐯 ′ + ⋯ + + ( ) 𝐮(𝐧−𝐤) . 𝐯 𝐤 + ⋯ + ( ) 𝐮. 𝐯 (𝐧) 𝟎 𝟏 𝐤 𝐧 En esta fórmula se entiende que: 𝐮(𝟎) = 𝐮, 𝐯 𝟎 = 𝐯, 𝐮(𝟏) = 𝐮′ ,

VII.

𝐮(𝟐) = 𝐮′′ ,

𝐞𝐭𝐜.

DERIVACIÓN IMPLÍCITA:

Definición01: Sea 𝐄(𝐱, 𝐲) = 𝟎 una ecuación de variables x e y. Si al remplazar y por 𝐟(𝐱), la ecuación se transforma en una identidad, entonces la ecuación definida por 𝐲 = 𝐟(𝐱) es llamada Función Implícita determinada por la ecuación 𝐄(𝐱, 𝐲) = 𝟎. Definición 02: Dado la ecuación en dos variables𝐅(𝐱, 𝐲) = 𝟎 con 𝐲 = 𝐟(𝐱)necesitamosalgún procedimiento para 𝐝𝐲 hallar 𝐝𝐱sin tener necesitad de despejar𝐲en términos de𝐱. 𝐝𝐲

Existen dos procedimientos para hallar la 𝐝𝐱en una ecuación 𝐅(𝐱, 𝐲) = 𝟎, con 𝐲 = 𝐟(𝐱). 𝐝𝐲

1° Método: aplicamos en ambos miembros de la ecuación𝐅(𝐱, 𝐲) = 𝟎, el𝐝𝐱y usamos todas las reglas de derivación para finalmente despejar𝐲. 𝐝𝐲

2° Método: usamos derivadas parciales en la fórmula:𝐝𝐱 =

𝛛𝐅 𝛛𝐱 𝛛𝐅 𝛛𝐲

Donde: 𝛛𝐅 :Es la derivada parcial de F con respecto a𝐱. Este caso, consideramos sólo a𝐱 como 𝛛𝐱 variable y el resto de letras se consideran como constante. 𝛛𝐅 : Es la derivada parcial de F con respecto a𝐲. Este caso, consideramos sólo a𝐲 como 𝛛𝐲 variable y el resto de letras se consideran como constante.

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EJEMPLO: 1. 𝐱 𝟐 − 𝐱𝐲 + 𝟐𝐲 𝟐 = 𝐚𝟐 /𝟕 , hallar y′′′ mediante derivación implícita. a. Cálculo de la primera derivada: 𝟐𝒙 − 𝒚 𝟐𝒙 − (𝒙𝒚′ + 𝒚) + 𝟒𝒚 𝒚′ = 𝟎 ⇒ 𝒚′ = 𝒙 − 𝟒𝒚 b. Por regla del cociente: (𝒙 − 𝟒𝒚)(𝟐 − 𝒚′ ) − (𝟐𝒙 − 𝒚)(𝟏 − 𝟒𝒚′ ) (𝒙 − 𝟒𝒚)𝟐 Ahora sustituimos la expresión obtenida en (a) para y′, esto es: 𝟐𝒙 − 𝒚 𝟖𝒙 − 𝟒𝒚 (𝒙 − 𝟒𝒚) (𝟐 − ) − (𝟐𝒙 − 𝒚) (𝟏 − ) 𝟏𝟒(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐 ) 𝒙 − 𝟒𝒚 𝒙 − 𝟒𝒚 ′′ 𝒚 = = (𝒙 − 𝟒𝒚)𝟐 (𝒙 − 𝟒𝒚)𝟑 𝒚′′ =

c. Nótese que el paréntesis del numerador es el primer miembro de la ecuación original. 𝟏𝟒(𝒂𝟐 /𝟕) ⇒ 𝒚′′ = = 𝟐𝒂𝟐 (𝒙 − 𝟒𝒚)−𝟑 (𝒙 − 𝟒𝒚)𝟑 d. 𝒚′′ = −𝟔𝒂𝟐 (𝒙 − 𝟒𝒚)−𝟒 (𝟏 − 𝟒𝒚′ ) = −𝟔𝒂𝟐 (𝒙 − 𝟒𝒚)−𝟒 (𝟏 − ∴ 𝒚′′′ =

𝟖𝒙−𝟒𝒚 ) 𝒙−𝟒𝒚

𝟒𝟐𝒂𝟐 𝒙 (𝒙 − 𝟒𝒚)𝟓

VIII. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: PROPOSICIÓN: Las funciones trigonométricas son derivables en sus dominios respectivos. Se cumple:  𝐟(𝐱) = 𝐬𝐞𝐧 𝐱, entonces𝐟 ′ (𝐱) = 𝐜𝐨𝐬 𝐱.  𝐟(𝐱) = 𝐜𝐨𝐬 𝐱, entonces𝐟 ′ (𝐱) = −𝐬𝐞𝐧 𝐱.  𝐟(𝐱) = 𝐭𝐚𝐧 𝐱, entonces f ′ (𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐱.  𝐟(𝐱) = 𝐜𝐨𝐭 𝐱, entonces𝐟 ′ (𝐱) = −𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝐱.  𝐟(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝐱, entonces𝐟 ′ (𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝐭𝐚𝐧 𝐱.  𝐟(𝐱) = 𝐜𝐬𝐜 𝐱, entonces𝐟 ′ (𝐱) = −𝐜𝐬𝐜 𝐱 𝐜𝐨𝐭 𝐱. COROLARIO: Si 𝐮 = 𝐮(𝐱) es una función derivable, entonces tenemos:  𝐃𝐱 (𝐬𝐞𝐧 𝐮) = 𝐜𝐨𝐬 𝐮. 𝐃𝐱 (𝐮)  𝐃𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝐮) = −𝐬𝐞𝐧 𝐮. 𝐃𝐱 (𝐮)  𝐃𝐱 (𝐭𝐚𝐧 𝐮) = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐮. 𝐃𝐱 (𝐮)  𝐃𝐱 (𝐜𝐨𝐭 𝐮) = −𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝐮. 𝐃𝐱 (𝐮)  𝐃𝐱 (𝐬𝐞𝐜 𝐮) = 𝐬𝐞𝐜 𝐮 𝐭𝐚𝐧 𝐮. 𝐃𝐱(𝐮) 

𝐃𝐱 (𝐜𝐬𝐜 𝐮) = −𝐜𝐬𝐜 𝐮 𝐜𝐨𝐭 𝐮. 𝐃𝐱 (𝐮)

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EJEMPLO 1: Hallar la derivada de la función: 𝐲 = 𝐭𝐠[𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱)] Solución: sin entrar en todos los detalles, el cálculo de la derivada viene a ser el que sigue: 𝒅𝒚 𝒅 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)]. [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)] 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)]. 𝟐 𝒔𝒆𝒄(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) . [𝒔𝒆𝒄(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)] 𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)]. 𝒔𝒆𝒄(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)[𝒔𝒆𝒄(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) . 𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)](𝟐𝒙 + 𝟐) = 𝟒(𝒙 + 𝟏)𝒔𝒆𝒄𝟐 [𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)]. 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙). 𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)

EJEMPLO 2: 𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱√𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝐱 − 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐞𝟑 𝐱 En primer lugar, rescribir la función en términos de seno y coseno: 𝐟(𝐱) =

𝐟(𝐱) =

𝐬𝐞𝐧𝟑 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝐬𝐞𝐧𝟑 𝐱 √𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 √ − 𝟏 = ( ) 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝐬𝐞𝐧𝐱

= 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝟐𝐱(𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟏/𝟐 Ahora, derivar la función por la regla del producto: 𝟏 𝐝 𝐝 𝐟 ′ (𝐱) = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝟐𝐱. (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟏/𝟐 + (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟐 . (𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱) 𝐝𝐱 𝐝𝐱 𝟑 𝟏 𝟏 − = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱[− (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱) 𝟐 (−𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱)] + (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟐 (𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱) 𝟐 = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱[𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱(𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟑/𝟐 ] + (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟏/𝟐 (𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱) = 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱(𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)−𝟑/𝟐 [𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱) 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 = [𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱 + (𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱)] (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)𝟑/𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱. 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 ∴ 𝐟(𝐱) = (𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱)𝟑/𝟐 EJEMPLO 3: Derivar: 𝟏

𝐲=

√𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝐬𝐞𝐧𝐱 + ⋯ + ∞ Solución: elevando al cuadro: 𝟏

𝐲𝟐 =

𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝐬𝐞𝐧𝐱 + ⋯ + ∞ El segundo sumando del denominador es la recíproca de la función dada, luego, si: 𝟏 𝐲𝟐 = ⇒ 𝐲 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝐲 = 𝟏 𝟏 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝐲 Entonces pro derivación implícita obtenemos:

11

𝒚𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒚𝒚′ 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒚′ = 𝟎 ⇒ 𝒚′ =

𝒚𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏 + 𝟐𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙

IX.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Sea 𝐮 una función derivable de𝐱, entonces: 𝟏



𝐃𝐱 (𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 𝐮) =



𝐃𝐱 (𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝐮) = −

   

√𝟏−𝐮𝟐 𝟏

. 𝐃𝐱 (𝐮)

. 𝐃𝐱 (𝐮) √𝟏−𝐮𝟐 𝟏 𝐃𝐱 (𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝐮) = 𝟏+𝐮𝟐 . 𝐃𝐱 (𝐮) 𝟏 𝐃𝐱 (𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝐮) = − 𝟏+𝐮𝟐 . 𝐃𝐱 (𝐮) 𝟏 𝐃𝐱 (𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝐮) = . 𝐃𝐱(𝐮) |𝐮|√𝐮𝟐 −𝟏 𝟏 𝐃𝐱 (𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝐮) = − . 𝐃𝐱 (𝐮) |𝐮|√𝐮𝟐 −𝟏

EJEMPLO 1:

Derivar la función:

𝐱 𝟐𝐧 −𝟏 ) 𝐱 𝟐𝐧 +𝟏

𝐲 = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬 ( Solución:

𝐝𝐲 =− 𝐝𝐱

𝟏 𝟐𝐧

√(𝟏 − 𝐱 𝟐𝐧 − 𝟏) 𝐱 +𝟏

(𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏)(𝟐𝐧𝐱 𝟐𝐧−𝟏 ) − (𝐱 𝟐𝐧 − 𝟏)(𝟐𝐧𝐱 𝟐𝐧−𝟏 ) [ ] (𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏)𝟐 𝟐 𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏

𝟒𝐧𝐱 𝟐𝐧−𝟏 =− [ 𝟐𝐧 ] 𝟐 √(𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏)𝟐 − (𝐱 𝟐𝐧 − 𝟏)𝟐 (𝐱 + 𝟏) 𝟒𝐧𝐱 𝟐𝐧−𝟏 𝟐𝐧𝐱 𝟐𝐧−𝟏 ] = |𝐱|𝐧 (𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏) √𝟒𝐱 𝟐𝐧 𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏 𝟐𝐧|𝐱|𝟐𝐧 𝟐𝐧|𝐱|𝐧 = =− 𝐱|𝐱|𝐧 (𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏) 𝐱(𝐱 𝟐𝐧 + 𝟏)

=−

𝟏

[

12

EJEMPLO 2: 𝟐𝐱

Probar que la función 𝐟(𝐱) = 𝟐𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠𝐱 + 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 (𝟏+𝐱𝟐 ) es constante cuando 𝐱 > 1. Demostración: probaremos que si 𝐟 ′ (𝐱) = 𝟎 ⇒ 𝐟(𝐱) = 𝐤, cuando 𝐱 > 1. 𝐟(𝐱) =

𝟐 + 𝟏 + 𝐱𝟐

= =

𝟏 √𝟏 − ( 𝟐𝐱 𝟐 ) 𝟏+𝐱

(𝟏 + 𝐱 𝟐 )(𝟐) − 𝟐𝐱(𝟐𝐱) [ ] 𝟐 )𝟐 (𝟏 + 𝐱 𝟐

𝟐 𝟏 + 𝐱𝟐 𝟐 − 𝟐𝐱 𝟐 + [ ] 𝟏 + 𝐱 𝟐 √(𝟏 + 𝐱 𝟐 )𝟐 − 𝟒𝐱 𝟐 (𝟏 + 𝐱 𝟐 )𝟐

(𝟏 − 𝐱 𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝟐(𝟏 − 𝐱 𝟐 ) 𝟐 𝟐 + [ ] = + ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 |𝟏 − 𝐱 | 𝟏 + 𝐱 𝟐 𝟏+𝐱 𝟏+𝐱 √(𝟏 − 𝐱 𝟐 )𝟐 𝟏 + 𝐱

Pero si: 𝐱 > 1 ⇒ 𝐱 𝟐 > 1 ⇔ 1 − 𝐱 𝟐 < 0 ⇒ |𝟏 − 𝐱 𝟐 | = −(𝟏 − 𝐱 𝟐 ) 𝟐

𝟏−𝐱 𝟐

𝟐

Luego, en (1): 𝐟 ′ (𝐱) = 𝟏+𝐱𝟐 − 𝟏−𝐱𝟐 (𝟏+𝐱𝟐 )=0 Por lo tanto, si 𝐟 ′ (𝐱) = 𝟎 ⇒ 𝐟(𝐱) = 𝐤 es constante cuando 𝐱 > 1.

X. DERIVADAS LATERALES: 1 DERIVADA LATERAL DERECHA: Se llama derivada lateral derecha de 𝐟(𝐱) en el punto𝐱 𝟎 ∈ 𝐃𝐨𝐦𝐟 al límite real: 𝐟(𝐱 𝟎 +𝐡) − 𝐟(𝐱𝟎 ) 𝐟+, (𝐱𝟎 ) = 𝐥𝐢𝐦 + 𝐡→𝟎 𝐡

2 DERIVADA LATERAL IZQUIERDA: Se llama derivada lateral izquierda de 𝐟(𝐱) en el punto𝐱 𝟎 ∈ 𝐃𝐨𝐦𝐟 al límite real: 𝐟−, (𝐱𝟎 ) =

𝐥𝐢𝐦

𝐡→𝟎−

𝐟(𝐱𝟎 +𝐡) − 𝐟(𝐱𝟎 ) 𝐡

 TEOREMA 01: La función 𝐟: 𝐑 → 𝐑 es derivable en el punto𝐱 𝟎 ∈ 𝐃𝐨𝐦𝐟 si solo si existen y son iguales𝐟+, (𝐱 𝟎 ) = 𝐟−, (𝐱 𝟎 ).

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 TEOREMA 02:

OBSERVACIÓN: Para hallar las derivadas laterales de las funciones definidas e los putos donde la función cambia de regla de correspondencia es útil tener en cuenta las propiedades siguientes: Si 𝒇(𝒙)es derivable para 𝒙 < 𝒙𝟎 , 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 )y existe 𝒍𝒊𝒎− 𝒇, (𝒙) = 𝑳

I.

𝒙→𝒙𝟎

entonces𝒇, (𝒙− 𝟎)

𝒙→𝒙𝟎

= 𝑳. II. Si 𝒇(𝒙)es derivable para 𝒙 > 𝒙𝟎 , 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 )y existe 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇, (𝒙) = 𝑳 𝒙→𝒙𝟎

entonces𝒇, (𝒙+ 𝟎 ) = 𝑳.

𝒙→𝒙𝟎

III. IV.

XI. DIFERENCIA ENTRE LÍMITE LATERAL DE LA DERIVADA Y DERIVADA LATERAL 

El límite lateral derecho de 𝐟(𝐱)en𝐱 = 𝐚: 𝐟(𝐚+ ) =



𝐥𝐢𝐦

𝐱→𝐚+

𝐟(𝐱)

El cual puede existir cuando𝐟(𝐚) no está definido, es decir cuando el punto 𝐱 = 𝐚 no pertenezca al dominio de la funcion de 𝐟(𝐱). Tenemos que por extensión 𝐟 , (𝐚+ ) es el límite lateral derecho de la funcion derivada de 𝐟(𝐱)en el punto 𝐱 = 𝐚: 𝐟 , (𝐚+ ) =

𝐥𝐢𝐦

𝐱→𝐚+

𝐟 , (𝐱)

El cual puede existir cuando𝐚 no pertenezca al dominio de la funcion de 𝐟(𝐱)no incluso cuando aún no exista la derivada𝐟 , (𝐚). Sin embargo, 𝐟 , (𝐚+ )no representa la derivada lateral derecho de 𝐟(𝐱) en 𝐱 = 𝐚: 𝐟+, (𝐱𝟎 ) la que, por definición, es igual: 𝐟+, (𝐱𝟎 ) =

𝐥𝐢𝐦

𝐡→𝟎+

𝐟(𝐱 𝟎 +𝐡) − 𝐟(𝐱𝟎 ) 𝐡

Por lo tanto: 𝒇(𝒂+ ) ≠ 𝒇,+ (𝒙𝟎 ), a menos que sea continua por la derecha en y exista 𝒇, (𝒂+ ) 𝒚 𝒇,+ (𝒙𝟎 ).

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XII. DERIVADAS LOGARÍTMICAS: a). Derivada de una función logarítmica de base b: Si 𝐮es una función derivable de𝐱 tal que 𝐮 ≠ 𝟎 entonces: 𝐝

𝟏

𝐝𝐮



(𝐥𝐢𝐦 𝐮) = (𝐥𝐢𝐦 𝐞) (𝐱) ( 𝐝𝐱 ) 𝐝𝐱



𝒅

𝐛

𝒅𝒙

𝐛 𝟏

𝟏

𝒅𝒖

(𝒍𝒊𝒎 𝒖) = (𝐥𝐧 𝒃) (𝒙) (𝒅𝒙 ) 𝒃

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa C. Pág. 452

EJEMPLO 1: 𝐬𝐞𝐧𝐱

Derivar la función: 𝐲 = 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐱 − 𝐋𝐧√𝐭𝐠(𝛑⁄𝟒 − 𝐱⁄𝟐) Solución: 𝟏

𝟏

𝐲 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐱 − 𝟐 𝐋𝐧 𝐭𝐠(𝛑⁄𝟒 , 𝐱⁄𝟐) Derivando se tiene: 𝟏 𝟏 𝐬𝐞𝐧𝐱(𝟐𝐬𝐞𝐧𝐗. 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐭𝐠𝐱) + 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐱. 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝟐 𝟐 𝟏 𝛑 𝐱 𝟏 𝟐 − 𝛑 𝐱 [𝐬𝐞𝐜 ( 𝟒 − 𝟐)] (− 𝟐) 𝟐𝐭𝐠 ( 𝟒 − 𝟐) 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝟏 𝟏 𝐲 ′ = 𝐬𝐞𝐜𝐱. 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐱 ( ) + 𝐬𝐞𝐜𝐱 + 𝛑 𝐱 𝛑 𝐱 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝟐 𝟒 𝐬𝐞𝐧 (𝟒 − 𝟐) 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟒 − 𝟐) 𝟏 𝟏 𝛑 𝐲 ′ = 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝐱 + 𝐬𝐞𝐜𝐱 + (𝐬𝐞𝐧 ( − 𝐱) = 𝐜𝐨𝐬𝐱) 𝛑 𝟐 𝟐 𝟐𝐬𝐞𝐧 ( 𝟐 − 𝐱) 𝟏 𝟏 𝐲 ′ = (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐱)𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝐱 + 𝐬𝐞𝐜𝐱 + 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝟐 𝟐 𝐲 ′ = 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝐱 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝐱 + 𝐬𝐞𝐜𝐱 = 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝐱 − 𝐬𝐞𝐜𝐱 + 𝐬𝐞𝐜𝐱 ∴ 𝐲′ = 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝐱 𝐲′ =

EJEMPLO 2: 𝟏

Derivar: 𝐲 = 𝟑 𝐋𝐧 (

𝐱+𝟏

)+

√𝐱 𝟐 −𝐱+𝟏

𝟏 √𝟑

𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠(

𝟐𝐱−𝟏 √𝟑

)

Solución: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐𝐱 − 𝟏 𝐋𝐧(𝐱 + 𝟏) − 𝐋𝐧(𝐱 𝟐 − 𝐱 + 𝟏) + 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠( ) 𝟑 𝟔 √𝟑 √𝟑 Ahora, efectuando la derivación obtenemos: 𝐲=

𝒚′ =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 ( )− ( 𝟐 ) (𝟐𝒙 − 𝟏) + ( )( ) 𝟐 𝟑 𝒙+𝟏 𝟔 𝒙 −𝒙+𝟏 √𝟑 𝟏 + [(𝟐𝒙 − 𝟏)⁄√𝟑] √𝟑

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𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟔 − + 𝟐 𝟑(𝒙 + 𝟏) 𝟔(𝒙 − 𝒙 + 𝟏) 𝟑[𝟑 + (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟐 ] 𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏) − (𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟏) 𝟏 𝒚′ = + 𝟐 𝟐 𝟔(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝒙 + 𝟏) 𝟐(𝒙 − 𝒙 + 𝟏) (𝟏 − 𝒙) + (𝒙 + 𝟏) = 𝟐(𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏) 𝒚′ =

𝟏

Por lo tanto: 𝒚′ = 𝒙𝟑 +𝟏

EJEMPLO 3: 𝐛+𝐚 𝐂𝐨𝐬𝐱+√𝐛 𝟐 −𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱

𝐲 = 𝐋𝐧 (

Derivar:

𝐚+𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱

) , 𝟎 ≤ |𝐚| < |b|

Solución: 𝐲 = 𝐋𝐧(𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱) − 𝐋𝐧(𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱) 𝟏 𝐲′ = (−𝐚 𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐱) 𝟐 𝟐 𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 − 𝐚 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝟏 − (−𝐛 𝐬𝐞𝐧𝐱) 𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱 −𝐚 𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐛 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐲′ = + 𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐲′ =

(𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱)(√𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐱 − 𝐚 𝐬𝐞𝐧𝐱) + 𝐛 𝐬𝐞𝐧𝐱(𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱) (𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱)(𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱) Simplificando términos en el numerador se tiene: 𝐛√𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 (𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝐱) + 𝐚√𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐱 + (𝐛𝟐 − 𝐚𝟐 )𝐬𝐞𝐧𝐱 ′ 𝐲 = (𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱)(𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧) 𝐲′ =

√𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 (𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱) (𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱)(𝐛 + 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝐱 + √𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐱)

b). Derivada de una función logarítmica de base e: Si 𝐟es una función 𝐱 de derivable en todo su dominio, entonces: 𝐝(𝐥𝐧 𝐱) 𝟏 = , ∀𝐱 > 0 𝐝𝐱 𝐱 TEOREMA: Si 𝐮es una función derivable de𝐱 tal que 𝐮 ≠ 𝟎 entonces: 𝐝(𝐥𝐧 𝐮) 𝟏 𝐝𝐮 = ( ) , ∀𝐱 > 0 𝐝𝐱 𝐮 𝐝𝐱 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Autor: R. Figueroa C. Pág. 451

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=

√𝐛 𝟐 − 𝐚𝟐 𝐚 + 𝐛 𝐜𝐨𝐬𝐱

EJEMPLO 1: 𝐱 Hallar la derivada de 𝐟(𝐱) = 𝐱 𝐱 𝐞 Solución: 𝐝 𝐞𝐱 (𝐱 . 𝐋𝐧𝐱)] 𝐝𝐱 Aplicando la regla del producto y nuevamente el teorema 4.20. se tiene: 𝟏 𝒅 𝒙 𝒇′ (𝒙) = 𝒙𝒙 𝒆 {𝒙𝒆 𝒙 ( ) + 𝑳𝒏𝒙. 𝒙𝒆 𝒙 [ (𝒆𝒙 . 𝑳𝒏𝒙)]} 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝒙 𝒇′ (𝒙) = 𝒙𝒙 𝒆 . 𝒙𝒆 𝒙 { + (𝑳𝒏𝒙) [𝒆𝒙 ( ) + 𝒆𝒙 𝑳𝒏𝒙]} 𝒙 𝒙 𝒙 𝟏 𝒆 𝒙 𝒇′ (𝒙) = 𝒙𝒙 𝒆 . 𝒙𝒆 𝒙 { + (𝑳𝒏𝒙)[𝟏 + 𝒙𝑳𝒏𝒙]} 𝒙 𝒙 ′ (𝒙) 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒙 −𝟏 𝒇 = 𝒙 .𝒙 [𝟏 + 𝒆𝒙 (𝟏 + 𝒙𝑳𝒏𝒙)𝑳𝒏𝒙] 𝐱

𝐟 ′ (𝐱) = 𝐱 𝐱 𝐞 [

EJEMPLO 2: 𝟐

Hallar y′, si: 𝐲 =

𝟐

𝐞−𝐱 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐞𝐧(𝐞−𝐱 ) √𝟏−𝐞−𝟐𝐱 𝟐

𝟐

𝟏

+ 𝟐 𝐋𝐧 (𝟏 − 𝐞−𝟐𝐱 )

Solución: Sea 𝐮 = 𝐞−𝐱 𝟐 ⟹ 𝐲 =

𝐮.𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 𝐮 √𝟏−𝐮𝟐

𝟏

+ 𝟐 𝐋𝐧(𝟏 − 𝐮𝟐 )

Derivando y respecto de u, se tiene: 𝐝𝐲 𝐮 𝟏 𝐝 𝐮 𝟏 −𝟐𝐮 = ( ) + 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 𝐮 [ ( )+ ( )] 𝐝𝐮 √𝟏 − 𝐮𝟐 √𝟏 − 𝐮𝟐 𝐝𝐮 √𝟏 − 𝐮𝟐 𝟐 𝟏 − 𝐮𝟐 𝐝𝐲 𝐮 𝟏 𝐮 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 𝐮 = + 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 𝐮 [ ]− = 𝟐 𝟐 𝐝𝐮 𝟏 − 𝐮 𝟏−𝐮 √(𝟏 − 𝐮𝟐 )𝟑 √(𝟏 − 𝐮𝟐 )𝟑 Dado que: 𝐮 = 𝐞−𝐱 𝟐 ⟹

𝐝𝐮 𝐝𝐱

= 𝐞−𝐱 𝟐 (−𝟐𝐱) = −𝟐𝐱 𝐞−𝐱 𝟐 𝐝𝐲

𝐝𝐲

𝐝𝐲

Aplicando la regla de la cadena, 𝐝𝐱 = (𝐝𝐮) (𝐝𝐮) obtenemos: 𝟐𝐱 𝐞𝐱 𝟐 . 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧(𝐞𝐱 𝟐 ) 𝐝𝐲 =− ,𝐱 ≠ 𝟎 𝐝𝐱 √(𝟏 − 𝐮𝟐 )𝟑

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EJEMPLO 3: 𝐲 = (𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬𝐱)𝟐 [𝐋𝐧𝟐 (𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬𝐱) − 𝐋𝐧(𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬𝐱) + 𝟏/𝟐]

Derivar:

Solución: introduciendo la variable intermedia 𝐮 = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬𝐱, se tiene: 𝒚 = 𝒖𝟐 (𝑳𝒏𝟐 𝒖 − 𝑳𝒏𝒖 + 𝟏/𝟐) 𝒅𝒚 𝟏 𝟏 ⟹ = 𝒖𝟐 [(𝒔 𝑳𝒏𝒖 − 𝟏) − ] + 𝟐𝒖(𝑳𝒏𝟐 𝒖 − 𝑳𝒏𝒖 + 𝟏⁄𝟐) 𝒅𝒙 𝒖 𝒖 = 𝒖(𝟐 𝑳𝒏𝒖 − 𝟏) + 𝒖(𝟐𝑳𝒏𝟐 𝒖 − 𝟐𝑳𝒏𝒖 + 𝟏) = 𝟐𝒖𝑳𝒏𝟐 𝒖 Si: 𝒖 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒙 ⟹

𝒅𝒖 𝒅𝒙

=−

𝟏 √𝟏−𝒙𝟐 𝐝𝐲

𝐝𝐲

𝐝𝐮

Luego, por la regla de la cadena: 𝐝𝐱 = (𝐝𝐮) (𝐝𝐱 ) ⟹

𝒅𝒚 −𝟏 𝟐(𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝑳𝒏𝟐 (𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒙) = (𝟐𝒖 𝑳𝒏𝟐 𝒖) ( )=− 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐

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CONCLUSIONES Cada derivada tiene un grado de dificultad que influye en el tiempo de solución de un problema, la mejor forma de mejorar el tiempo que se emplea en resolver dicha derivada es practicar. A pesar de la existencia de mucha bibliografía e incluso de artículos enfocados a la enseñanza de la derivada, se tiene la ventaja de que las reglas de derivación son las mismas, por lo tanto el resultado de un ejercicio idéntico en diferentes bibliografías siempre debe ser el igual. El único problema en torno a las derivadas es la simbología que utiliza cada autor, y que crece durante el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que cada alumno se identifica con la primera simbología aprendida. Por lo tanto, es necesario enseñar a los alumnos la mayoría de simbologías existentes en el cálculo diferencial, para posteriormente llegar a un acuerdo en la utilización del mismo. La derivada se considera una de las operaciones más importantes cuando estamos estudiando funciones reales, ya que con ella podemos conocer la variación, tanto instantánea como en un valor concreto, de dichas funciones. Finalmente la aplicación de mayor importancia de la derivada es en los problemas de optimización de funciones.

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Anexos

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21

BIBLIOGRAFIA Anton, H., 1991. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 1. Limusa. México. Anton, H., 1997. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 2. Limusa. México. Arya, J. y Larner, R., 1992. Matemáticas aplicadas a la Administración. Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Prentice Hall Hispanoamericana. Méjico. Baum, A.; Milles, S. y Schultz, H., 1992. Cálculo Aplicado. Limusa. Grupo Noriega Editores. México. Bittinger, M., 2002. Cálculo para Ciencias Económicas-Administrativas. Séptima Edición. Addison Wesley. Colombia.

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