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TAREA 2 DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CALCULO MULTIVARIADO

PRESENTADO POR: Karen Liseth Estupiñan Diaz

Presentado a: Julieth Katherine Rodríguez TUTORA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TEGNOLOGIA E INGENIERIA CEAD FUSAGASUGA 21/10/2019

INTRODUCCION

Una derivada parcial de una función de diversas variables, es La derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en vectorial, geometría diferencial funciones analíticas, física, matemática, etc.

En este trabajo usted encontrará el desarrollo de la actividad (Tarea 2 _Derivadas de Varias Variables) el cual consta de 5 problemas que a su vez cuenta con 5 ejercicios a desarrollar, la temática es que los 5 integrantes del grupo escojan un ejercicio a realizar por cada problema; Se abarcaran temas como: Derivadas Parciales, Derivadas Direccionales, Linealización y Diferenciales, Máximos y Mínimos y Multiplicadores de Lagrange.

Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales

Donde 𝒘 es la altura de la onda, 𝒙 es la variable de distancia, 𝒕 es la variable de tiempo y 𝒄 es la velocidad de propagación de las ondas. Muestre que todas las funciones de los ítems a – e son soluciones de la ecuación de onda:

C. w=e x+ct +3 cos ⁡( x +ct )

SOLUCION

w=e x+ct +3 cos ⁡(x +ct ) dw =w=e x+ct −3 sin ⁡( x+ ct ) dx d2 w x +ct =w=e −3 cos ⁡( x+ ct) 2 dx

dw =ce x+ct + 3 sin ⁡(x +ct)∗c dt dw =ce x+ct + 3 c sin ⁡( x+ ct ) dx

d 2 w 2 x+ct =c e +3 c cos ⁡( x +ct)∗c dt 2 d 2 w 2 x+ct 2 =c e +3 c cos ⁡( x +ct) 2 dt

c 2 e x+ct +3 c 2 cos ( x +ct )=c2 ( e x+ct −3 cos ( x +ct ) ) c 2 e x+ct +3 c 2 cos ( x +ct )=c2 e x+ ct +3 c 2 cos ( x+ ct )

Grupo de ejercicios 2 – Derivadas Direccionales. En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada:

C. f ( x , y , z )=√ x 2 y +2 y 2 z en p ( 2 ,−2, 3 ) , en la direccion de 6 i+2 j +3 k

SOLUCION

sea f ( x , y , z )=√ x2 y +2 y2 z=¿

F x=

∂f 1 = ¿ ∂x 2

1 ¿ ¿ 2

¿¿

¿

xy +2 yz

√ x 2 y+ 2 y 2 z

fx ( p )=

( 2 ) (−2 ) +2 ( 2 ) (3)

√(2)2 (−2 ) +2¿ ¿ ¿

fx ( p )=

4 +4 √ 4 ( 2 ) +8

fx ( p )=

fy=

¿

8 =2 √ 16

∂f 1 = ¿ ∂y 2

x2 2 √ x 2 y +2 y 2 z

(−2)2 fy ( p )= 2√ ¿ ¿ ¿

fy ( p )=

4 2 √ 4∗(2 )+2∗4 (3)

fy ( p )=

4 2 √ 8+8

fy ( p )=

4 2 √ 16

fy ( p )=indeterminada .

fz= ¿

∂f 1 = ¿ ∂z 2

√ x2

x 2 y +2 y 2 z

fz ( p )=Indeterminada

Grupo de ejercicios 3 – Linealización y Diferenciación. Determine la linealización de 𝐿(𝑥, 𝑦) de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en 𝑝0. Luego determine una cota superior 𝑀, para la magnitud |𝐸| del error de la aproximación 𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝐿(𝑥, 𝑦) en el rectángulo R

2 2 C. f ( x , y )=x y + xcos ( y −2 ) en p0 (2,2)

R :|x−1|≤ 0.1 ,| y −2|≤0.1

SOLUCION

f ( 2 , 2 )=x 2 y 2 + x cos ( y−2 ) =5 f x ( 2, 2 )=2 x y2 +cos ( y−2)=9 f y ( 2 , 2 )=2 x 2 y−x sin ( y−2 )=4

L ( x , y )=f ( x0 , y 0 ) + f x ( x 0 , y 0 ) ( x−x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 )( y− y 0 ) ¿ 5+9 ( x−2 ) + 4 ( y−2 ) =5+9 x−9+ 4 y−8=9 x +4 y−12

Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos. Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.

C. f ( x , y )=5 x2 +5 y 2 +20 x−10 y+ 40

SOLUCION

f ( x , y )=5 x2 +5 y 2 +20 x−10 y+ 40

Nota :ejercicio realizado por criterio de derivadas parciales , se utilizo el teorema de extremos relativos , por lo tanto :

∂ f ( x , y) =10 x+ 20=0 ∂x Despejamos a X 10 x+ 20=0 x=

−20 =−2 10

∂ f ( x , y) =10 y−10=0 ∂x Despejamos a X

10 y−10=0 y=

10 =1 10

Por tanto el punto critico es (−2,1)

Ahora se realiza la prueba de segunda derivada para comprobar si el punto critico esun extrmo relativo , un minimo relativo , maximo relativo , no es un extremo relativo , no es oncluyente

fxx=10 x +20=10 fyy=10 y −10=10

D= fxx fyx

|

fxy =fxx . fyy−¿ fyy

|

D= (10 )( 10 ) −¿