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DISEÑO EXPERIMENTAL Recopilación documental...

DISEÑO CUADRADO LATINO (DCL)

Prof. Ing. Cecibel Torres M - MBA

DISEÑO EN CUADRADO

LATINO Recopilación documental...

Es el diseño en el que se controlan dos factores de bloque y uno de tratamientos;  los tres factores tienen la misma cantidad de niveles.  Los tratamientos se representan por letras latinas y se distribuyen en forma adecuada en un cuadro. 

1

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GENERALIDADES El diseño cuadrado latino intenta al igual que otros diseños , reducir el error de los residuos de un experimento. Este diseño se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemáticas, o sea, que permite analizar sistemáticamente por bloques en dos direcciones. En este diseño, los renglones y las columnas representan, en realidad, dos restricciones de aleatorización.



El arreglo Cuadrado Latino se deriva de las letras del alfabeto latino dispuestas en un arreglo cuadrado de manera que cada letra aparece una vez en cada columna y una vez en cada fila del cuadrado.



En las aplicaciones a experimentos, las filas y las columnas del arreglo se identifican con los dos criterios de bloque y las letras latinas con los niveles del factor de interés.



En general, un cuadrado latino t x t, es un cuadrado que contiene t renglones y t columnas. Cada una de la t2 celdas contiene una de las t letras que corresponden a las observaciones, y cada letra aparece una sola vez en cada renglón y columna

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

0

DEFINICION DEL PROBLEMA Recopilación documental...

IDENTIFICACION DE FACTOR DE INTERES, BLOQUES Y VARIABLE DE RESPUESTA

2

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Yijk     i   j  k   ijk

1

i  1....t j  1....t k  1....t ( representado por las letras latinas) para la i-ésima fila y la j-ésima columna. =

es la media general

I = es el efecto de la i-ésima fila sobre la Variable de Respuesta

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Yijk = es la observación correspondiente al k-ésimo nivel del factor de interés

 j = es el efecto de la j-ésima columna sobre la Variable de Respuesta k = es el efecto del k-ésimo nivel del factor de interés (letra latina) sobre la variable de respuesta εijk= error experimental

Para sacar conclusiones válidas se deben cumplir los siguientes supuestos:

2. Las variables aleatorias son normales con media y varianza 3. Aditividad del modelo, es decir ausencia de interacciones entre filas, columnas y niveles del factor de interés

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1. Las variables aleatorias son independientes (no correlacionadas)

3

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2

FILAS H0 = 1 = 2 = ... t COLUMNAS H0 = 1 = 2 = ... t H1 = al menos una de las medias de las columnas es diferente... LETRAS LATINAS H0 = 1 = 2 = ... t

Recopilación documental...

H1 = al menos una de las medias de las filas es diferente...

H1 = al menos una de las medias de los niveles es diferente...

REGLA DE DECISIÓN (se aplica a todas las hipótesis) Descartar H0 si Fc  F, gln, gld

gln= t -1

gld= (t -1)(t -2)

3

Se selecciona al azar uno de los cuadrados estándar, de tal forma que a cada fila y a cada columna se le asignan aleatoriamente cada uno de los niveles del Factor de Interés ( representados por las letras latinas).

4x4

5x5

6X6

A BDC

ADBEC

ADCEBF

BCAD

DACBE

BAECFD

CDBA

CBEDA

CEDFAB

DACB

BEACD

DCFBEA

ECDAB

FBADCE

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Ejemplos de Configuraciones Estándar para la Aleatorización en un Cuadrado Latino

EFBADC

4

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4

Registro de datos

Observaciones

1

2

1

Y11(t)

Y12(t)

..........

Y21(t)

Y22(t)

.

.

.

Totales por Fila

Y1t(t) Y1..

.......... Y2t(t) .......... . .......... .

Y2.. .

.

.

.

.

.

.

t

Yt1(t)

Yt2(t)

Totales por Columna

Y.1.

Y.2.

5

L

e

t

r

. .......... . .......... .......... Ytt(t)

.

. Yt..

Y.t. ..........

a

s

2

YA1

YB1

YA2

YB2

.

.

.

.

a

t

..........

.......... .......... .

..........

Y...

Gran Total

i

n

a

s

t YZ1 Y2tt . .

Recopilación documental...

1

L

Recopilación documental...

2

t

..........

Totales por Letras Latinas

.

.

YAt

YBt

Y..1

Y..2

.......... .......... ..........

. Yttt Y..t

5

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Como se verifican los supuestos del modelo? GRAFICO DE PROBABILIDAD NORMAL

NORMALIDAD

PRUEBA DE SAHPIRO-WILKS

GRAFICA DE NIVELES DE FACTOR CONTRA RESIDUOS

VARIANZA CONSTANTE

PRUEBA DE BARLETT PARA HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS

GRAFICO DEL ORDEN EN QUE SE COLECTAN LOS DATOS VS RESIDUO CORRESPONDIENTE

INDEPENDENCIA

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GRAFICO DE VALORES PREDICHOS VS LOS RESIDUOS

ANALISIS DE VARIANZA F.V.

FILAS (F)

LETRAS LATINAS (LL)

E.E.

S.C.

C.M.

Fc

F, gln,gld

t-1

SCF

SCF/(t-1)

CMF/CME

F, (t-1),(t-2)(t-1)

t-1

SCC

SCC/(t-1)

CMC/CME

F, (t-1),(t-2)(t-1)

t-1

SCLL

SCLL/(t-1)

CMLL/CME

F, (t-1),(t-2)(t-1)

(t-2)(t-1)

SCE

SCE/(t-1)(t-2)

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COLUMNAS (C)

gl

TOTAL

(T)

t2 - 1

SCT

6

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1 t 2 Y...2 SCF   Yi..  t 2 t i 1

Y 1 2 Y   . j. t j 1

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SCC 

(TC)Termino de Corrección de la suma de Cuadrados

2 ... t2

t

1 t 2 Y...2 SCLL   Y..k  t 2 t k 1 t

t

t

Tot   Y  i 1 j 1 k 1

2 ijk

Y...2 t2

SCE = Tot – SCLL – SCF - SCC

7 CALCULOS DE LOS PARAMETROS Parámetros del Modelo: t

² = CMEE

Estimación de las medias de los niveles

..k  Y

.. k

k= 1........t

 Y...

t

  Y i 1

j 1 k 1 2

ijk

t

Estimación de las medias de las columnas

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

t

. j.  Y . j.  Y.. j= 1........t

7

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7

CALCULOS DE LOS PARAMETROS ( CONTINUACIÓN)

i..  Y

i ..

 Y...

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Estimación de las medias de las filas

i= 1........t

8

Intervalos de Confianza

Para las medias de los niveles del factor de interés

IC k  y .. k  t / 2 ,( t 1)( t  2 ) CMEE t

IC j  y . j .  t / 2,( t 1)( t  2 ) CMEE t

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Para las medias de las columnas

Para las medias de las filas

IC i  y i ..  t / 2,( t 1)( t  2 ) CMEE t

8

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Coeficiente de Determinación:

R² = (SCF + SCC + SCLL) / SCTo

Es un valor entre 0 y 1 Indica que el modelo explica en ese porcentaje la variabilidad de los datos

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Interpretación:

PROBLEMA: EJEMPLO 5.4 Mongomery: Suponga que un experimentador está estudiando el efecto de cinco fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la fuerza de explosión observada.

Las mezclas las preparan cinco operarios, pudiendo existir una diferencia sustancial en la habilidad y experiencia entre ellos. Debido a estos dos efectos extraños , el diseño apropiado consiste en probar cada fórmula exactamente una vez, utilizando cada lote de materia prima, y en que cada fórmula sea preparada exactamente una vez por cada uno de cinco operarios

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Cada fórmula se prepara usando un lote de materia prima, lo suficientemente grande para que se puedan hacer cinco mezclas.

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P R O B L E M

Determinar el efecto de cinco formulas ( A, B, C, D Y E) diferentes sobre la fuerza de explosión de la dinamita, preparadas por cinco operarios diferentes, utilizando cinco lotes de materia prima Determinar si hay diferencias significativas en la fuerza de explosión promedio de la dinamita para cinco fórmulas diferentes preparadas por cinco operarios distintos con 5 lotes de materia prima

A

M O

E L O

E S T A D Í S

i = 1...5

j = 1...5

k = 1...5

Yijk = es la fuerza de explosión observada para la dinamita preparada con la k´esima fórmula con el i-ésimo lote de materia prima, por el j-ésimo operador.

 = fuerza explosiva

i = es el efecto del i-ésimo lote de materia prima

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Yijk =  + i + j + k + εijk

D

j = es el efecto del j-ésimo operario

k = es el efecto de la k-ésima fórmula (letra latina)

T I C

εijk

= es el error experimental

O

PLANTEAMIENTO DE LAS HIPÓTESIS LOTES DE MATERIA PRIMA H0 = 1 = 2 = ... 5

OPERADORES H0 = 1 = 2 = ... 5 H1 = al menos una de las fuerzas promedio de explosión es diferente...

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H1 = al menos una de las fuerzas promedio de explosión es diferente...

FACTOR DE INTERES H0 = 1 = 2 = ... 5 H1 = al menos una de las fuerzas promedio de explosión es diferente... REGLA DE DECISIÓN (igual para todas las hipótesis) Descartar H0 si Fc  F0.05, 4, 12

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ALEATORIZACIÓN: Todas las fórmulas son preparadas por cada uno de los operarios utilizando cada uno de los lotes de materia prima A cada lote y a cada operario se le asignan aleatoriamente cada uno de las fórmulas. Una configuración de aleatorización posible es la siguiente:

Lotes de Materia prima

1

2

3

4

5

1

A

B

C

D

E

2

B

C

D

E

A

3

C

D

E

A

B

4

D

E

A

B

C

5

E

A

B

C

D

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OPERARIOS

Registro de los Datos

Lotes de Materia prima

1

2

3

4

5

1

A=24

B=20

C=19

D=24

E=24

2

B=17

C=24

D=30

E=27

A=36

3

C=18

D=38

E=26

A=27

B=21

4

D=26

E=31

A=26

B=23

C=22

5

E=22

A=30

B=20

C=29

D=31

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OPERADORES

11

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OPERARIOS 1

2

3

4

5

Totales por Lotes

1

A=24

B=20

C=19

D=24

E=24

111111

2

B=17

C=24

D=30

E=27

A=36

134134

3

C=18

D=38

E=26

A=27

B=21

111130

4

D=26

E=31

A=26

B=23

C=22

111128

5

E=22

A=30

B=20

C=29

D=31

111132

107

TTotales por Operario

143

121

130

134

111635

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Lotes de Materia prima

Totales por Fórmula A

B

C

D

E

143

101

112

149

130

ANDEVA Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado Medio

Fc

F, gln, gld

Fórmulas

330.00

4

82.50

7.73

3.259

68.00

4

17.00

1.59

3.259

3.51

3.259

LL

Filas Operarios

150.00

4

37.50

Columnas Error

128.00

12

Total

676.00

24

² =10.67

10.67

R 2  (330  68  150) / 676 R  0.8 2

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Lotes de material

635

  25  25.4

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Estimación de las Medias de los Niveles



..2

 Y..2  Y...  20 .2  25 .4  3.2

..3

 Y..3  Y...  22 .2  25 .4  3.0

..4

 Y..4  Y...  29 .8  25 .4  4.4

..5

 Y..5  Y...  26 .0  25 .4  0.6



 

 Y..1  Y...  28 .5  25 .4  3.2 Recopilación documental...



..1

CONCLUSIONES : observando los resultados del Análisis de Varianza se puede conluir lo siguiente: La fuerza de explosión promedio es de 25.4 con una variabilidad de 10.67 El coeficiente de determinación es 0.8 , lo cual indica que el 80 % de la variabilidad en la fuerza de explosión se debe a los factores estudiados

Fc  F, gln, gld, por lo tanto se rechaza H0 Se concluye que existe diferencia significativa en la fuerza de explosión promedio para las cinco fórmulas Para los lotes En cuanto a los lotes de materia prima, se observa que Fc es menor F, gln, gld.

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Para las fórmulas:

Por lo tanto no hay evidencias de que los lotes sean diferentes. Para los operarios En cuanto a los operarios, Fc es mayor F, gln, gld, por lo tanto se concluye que existe diferencia significativa en cuanto a su habilidad para preparar las fórmulas. En términos generales se puede concluir que no esra necesario el bloque en ninguna de las dos direcciones

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Intervalos de Confianza Para las medias de los niveles

IC  1  28.5  2.1788 10.67 5

IC  3  22.2  2.1788 10.67 5

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IC  2  20.2  2.1788 10.67 5

IC  4  29.8  2.1788 10.67 / 5 IC  5  26.0  2.1788 10.67 / 5

Bibliografía Douglas Montgomery. Diseño y Análisis de Experimentos. Grupo Editorial Iberoamerica Robert Kuehl. Diseño de Experimentos. Thomson & Learning Berenson & Levine. Estadística Básica en Administración. Prentice Hall

Design and Analysis of Experiments Volumen I.Klaus Hinkelmann - Oscar Kempthorne. John Wiley and Sons, INC 1994 Bioestadistica Principios y Procedimientos. Steel and Torrie. 2ªEdición. Mc Graw Hill,1988.

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Miller & Freund. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall

Statistical methods in agriculture and experimental biology. R. Mead, N. Curnow and A.M. Hasted. Editorial Chapman & Hall. 1.993. Biometría. Principios y métodos estadísticos en la investigación. Robert R. Sokal y F. James Rohlf. Bioestadística. William C. Schefler. Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1981.

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