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CUADRADO LATINO Y FACTORIALES

7/16/2018

 En este diseño es necesario que el número de bloques sea igual al número de tratamientos.

Diseño de CUADRADO LATINO

 Esto es: r= c= t.

 El número total de unidades experimentales en el experimento debe ser igual a r2 .  Por ejemplo si el número de tratamientos es de 4, el número de bloques y el número de columnas debe ser también 4 y el número total de unidades igual a 16.

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Cuadrado Latino con una Observación por Parcela Experimental

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sociología, donde el precio de hortalizas o cualquier otro cultivo varía en los días de la semana (una dirección) y en función a los diferentes mercados (otra dirección).

3

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 Si se pierde ligeramente un bloque o columna el

Ventajas.  Disminuyen los efectos de dos fuentes de variabilidad de las unidades experimentales en los promedios de los tratamientos y en el error experimental.  El análisis de varianza es simple, aún cuando es ligeramente más complicado que el DBCA.  En el caso de que se pierdan todas las unidades experimentales de un mismo tratamiento, el resto de tratamientos siguen ajustados a las características del cuadrado latino. UNC- FCV-2018

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 En la toma de los datos de mercadeo, economía,

Usos. Se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio, donde las condiciones cambian entre planta y planta (una dirección) y hoja a hoja por tamaño y posición en la misma planta (otra dirección).

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BIOMETRIA VETERINARIA

diseño queda ajustado al DBCA.  Cuando

los

bloques

y las columnas

están

relacionados con variaciones definidas de dos criterios de clasificación, entonces ellos pueden ser considerados como tratamientos 5

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1

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 El error experimental tiende a incrementarse de

acuerdo al ancho de los bloques y el largo de

Desventajas

columnas, como consecuencia principalmente del

 Como el número de tratamientos depende del número de bloques y columnas y por consiguiente el número de unidades experimentales, esto le resta flexibilidad al diseño para su uso. Es por eso que no es recomendable para mayor número de tratamientos.  A igualdad de número de tratamientos y repeticiones, este diseño tiene menos grados de libertad para el error experimental. UNC- FCV-2018

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aumento del número de tratamientos.  Si es que existe interacción entre los efectos de las

dos fuentes de clasificación

o entre los tres

(tratamientos, bloques y columnas), entonces el valor de F no se distribuye de acuerdo al valor tabular de F, y por consiguiente no se puede hacer una prueba válida de significación. 7

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Restricción.  Es por esto que en los casos en que el

 Tiene dos restricciones.

experimentador no está en condiciones de asumir la ausencia de interacciones de este tipo, es preferible no emplear el

una vez en la columna

cuadrado

b) Un

latino.

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tratamiento

cualquiera

debe

aparecer

solamente una vez en una hilera

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 Los tratamientos son asignados al azar en las unidades

experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.  El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.  Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques.  La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental. Biometria Veterinaria JFCL

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 Debe

Características.

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a) Un tratamiento cualquiera debe estar solamente

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existir homogeneidad de las unidades experimentales dentro de las hileras y dentro de las columnas, pero entre hileras y columnas debe existir heterogeneidad para que el diseño sea eficiente.  Debe utilizarse este diseño cuando los tratamientos varían de 3 a 10, no es muy recomendable cuando existen muchos tratamientos, principalmente por las características mismas del diseño.  Es un diseño más preciso

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2

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 Ejemplo 1: Camadas diferentes (hileras), y

Croquis de Campo:  El diseño de campo presenta la configuración

sistemas de crianzas diferentes (columnas), también utilizando periodos de producción debido a las estaciones del año (hileras) y edad de los animales (columnas).  Ejemplo 2: Si se tiene un terreno con diferentes niveles de pendiente en doble sentido, para instalar un experimento se podrán distribuir del siguiente modo, en un ensayo de 4 tratamientos

idealizada siguiente.

HILERAS

COLUMNAS A

B

C

C

A

B

B

C

A

Tratamientos: (A,B,C) UNC- FCV-2018

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PENDIENTE

 Ejemplo 3: Si se quiere realizar un experimento en el

PENDIENTE

que se utiliza sistemas de crianza, en animales de 4 camadas diferentes, para determinar los incrementos de pesos de los animales por alimentos diferentes (tratamientos) podemos realizarlo en cuadrado latino.

H1 H2 H3 H4

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SISTEMA DE CRIANZA

Formación de cuadrados latinos  Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos

CAMADAS

H1 H2

tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la

H3

primera fila y en la primera columna se tiene la

H4

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misma distribución).

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La siguiente tabla permite relacionar el numero de cuadros en función del tamaño. A B C D

B A D C

C D B A

D C A B

A B C D

B C D A

C D A B

D A D C

A B C D

B D A C

C A D B

D C B A

A B B A C D DC

C D A B

D C B A

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferente, en total se tienen 576 cuadros diferentes

Tamaño del Cuadrado

Número de formas Típicas

Valor de n! (n-1)!

3x3

1

12

Número total de cuadrados diferentes 12

4x4

4

144

576

5x5

56

2880

161280

6x6

9408

86400

812851200

n = tamaño del cuadro. Asignación de tratamientos. Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles. UNC- FCV-2018

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Modelo estadístico.

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Donde:

 Yijk = Es la variable respuesta o resultado de la unidad

 Cada observación del experimento es expresado como

una relación lineal de los efectos involucrados ( tratamiento, fila y columna ), así:



Yijk     i  H j  Ck   ( i ) jk ;

 

i  1,2,...., t



j  1,2,...., t k  1,2,......, t UNC- FCV-2018

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

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experimental clasificada en el j-ésimo nivel de bloque-fila, k-ésimo nivel de bloque-columna y que ha recibido el tratamiento i-ésimo, el cual por estar comprendido en la combinación “jk” se llama factor “anidado. µ= Constante, media de la población a la cual pertenecen las observaciones. Շi = Es el verdadero efecto del i-ésimo tratamiento. H j = Es el verdadero efecto del j-ésimo fila o nivel del factor que dio lugar a bloque fila. Ck=Efecto de la k-ésima columna o nivel del factor que dio lugar a bloque-columna. ξ(i)jk = Término de error. Son variables aleatorias ξ ijk ~DNI (0, σ2).

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Tabla de Análisis de Varianza: Fórmulas

Hipótesis

S.C.

F.V.

HIPOTESIS:

Modelo I

Modelo II

Respecto a tratamientos:

Ho: Ti = 0 HA : Ti # 0

Ho: σ2i= 0 H A : σ2t # 0

Respecto a Fila

Ho: Hj = 0 HA : Hj # 0

Ho: σ2H= 0 H A : σ2H # 0

Ho: Ck= 0 HA : Ck # 0

σ2

G.L.

Fórmulas de definición

Fórmulas de Cálculo r

Respecto a columna

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Hileras

r-1

rΣ(Ŷi. –Ŷ..)2

 j 1

Y. 2j . r

 TC

Columnas

r-1

rΣ(Ŷ.j –Ŷ..)2

Y..2k  TC  r k 1

Tratamientos

r-1

rΣ(Ŷt –Ŷ..)2



Error Exptal (EE)

(r-1)(t-2)

rΣ(Yij –Ŷi.-Ŷ.j -Ŷi.+2Ŷ…)2

Total

r 2-1

Σ(Yij –Ŷ..)2

r

r

Ho: C= 0 H A : σ2C # 0

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i 1

Yi ..2  TC r

∑∑Y2IJ -ΣY2 i./n-∑Y2.j/n-∑Y2(k)/n +2FC

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VACA 1

Periodo

Ejemplo  En un experimento se probaron tres dietas diferentes

(A,B y C) para medir su efecto en la producción de leche. Las dietas se aplicaron a tres vacas en tres periodos de lactancia diferente. Los resultados son los siguientes:

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I

A 608

II III Cj A B C

B 715 C 884 2207 608 715 884

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2 3 B C 940 885 C 1087 A 766 A 711 B 832 2683 2538 711 766 885 832 1087 940 Y…=

Hk 2433 2568 2427 Y…=7428 2085 2432 2911 7428

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Suma de Cuadrados TC 

Y...2

r2

 7428

2

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Tabla :Análisis de Varianza

 6130576

24332  25682  2427 2  6130576  114680.6 3 2 2 2 2433  2568  2427 SC Periodos   6130576  4238 3 2 2 2 2207  2683  2583 SCVacas   6130576  39684.667 3 2 2 SCtotal  608  ....832  6130576  164664 SCtratamientos 

SCerrorexpt .  6295240  (6245256.67  6134814  6170260.67)  2(TC )

F.V. Periodos

G.L. 2

S.C. 4238.00

C.M 2119.00 19842.30

Vacas

2

39687.60

Tratamiento s Error Exptal

2

114680.60 57340.30

2

6060.80

Total

8

164664.00

FC 0.70 ns

0.05 0.01 4.46 8.65

6.55* 18.92**

3030.40

 6295240  18550331.3  2(6130576)  6060.7 UNC- FCV-2018

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 Decidido el diseño el objetivo planteado hasta ahora ha sido estudiar cuanto la variabilidad total fue explicada por los tratamientos o por otras fuentes explicadas de la variabilidad (esto depende del diseño) y cuanto es debido a la variabilidad natural de las unidades experimentales.  Pero ahora, dada la forma en que están constituidos los tratamientos , se dividirá la variabilidad producto de los diferentes tratamientos en cuanto se debe a un factor, por ejemplo a un factor A, cuanto se debe a un factor B y cuanto se debe a la interacción de esos factores. UNC- FCV-2018

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 El experimento factorial, si mismo, no es considerado

como un diseño experimental.  La forma de diseñar los tratamientos determina si el experimento es o no factorial.  Por el simbolismo los tratamientos se designan por la combinación de letras minúsculas, siendo las respectivas mayúsculas los factores en estudio.  Así un factor designado por A estará constituido por niveles a1, a2, a3, mientras que otro factor B estará constituido por niveles b1, b2, b3 siendo los tratamientos las combinaciones de los niveles de estos factores. UNC- FCV-2018

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A

B

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Ejemplo.  El tratamiento a1b2, está conformado por el nivel 1 del

Factor A y el nivel 2 del Factor B, las letras minúsculas además de identificador o asociar algún factor, sirven para identificar el efecto de algún factor.  Lo más importante es definir es el concepto de efecto medio de un factor y el concepto de interacción de factores.  Para estas definiciones un ejemplo.

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 Las diferencias a2 -

a1

a2

Media

a2 - a1

b1

30

32

31

2

b2

36

44

40

8

Media

33

38

355

5

b2 - b1

6

12

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a1 , a cada nivel de B y las diferencias de b2 - b1, a cada nivel de A se llaman efectos simples. Así el efecto simple de a2 sobre a1 al nivel b1 de B es 2. El efecto simple del factor B al nivel mas alto de A es 12.

 Cuando los efectos simples son promediados los

resultados son llamados efectos medios, los que son denotados por letras mayúsculas al igual que los factores.  El efecto medio del factor A es 5.

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 A = ½ [(32-30) + (44-36)]= ½ [2+8] = 5  B = ½ [(44-32) + (36-30)]= ½ [12+6] = 9

 En el cuadro anterior se aprecia que el efecto simple del factor A depende del nivel del factor B.  Así el efecto a2

- a1, para b1 es igual a 2, mientras que el efecto a2- a1 para b2 es igual a 8.  Esto implica que el efecto simple de A no es único, sino dependiente de si se calcula en presencia de b1 o b2.  Que el efecto simple de un factor independiente del nivel del otro factor se conoce como interacción de factores. UNC- FCV-2018

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 Es decir, en el caso de que no exista interacción el efecto simple de un factor digamos A es independiente del nivel del otro factor.

 Entonces, la interacción será cero cuando el efecto simple de A para el nivel b1 (a2b1-a1b1) sea igual al efecto simple de A para el nivel b2 (a2b2-a1b2).  Entonces AB= 0 cuando a2b1-a1b1 =a2b2-a1b2.  Por otra parte existirá interacción igualdad no se mantenga

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cuando esa

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 Si la prueba nos indica que es sustancialmente mayor,      

De existir interacción este efecto se calcula como : AB= ½(a2b1-a1b1 )-(a2b2-a1b2) Que en nuestro ejemplo. AB = ½(44-36 )-(32-30) AB = ½(8-2) =½ (6) = 3 Si el efecto medio de la interacción es diferente de cero necesitaríamos una prueba estadística que nos proporcione antecedentes de esta diferencia de cero es una diferencia real, esto es, si ese efecto expresado en términos de varianza es sustancialmente mayor que la variabilidad natural de las unidades experimentales

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 Todo lo anterior se refiere a la evaluación simultanea de    

dos o más factores en un experimento. Para diseñar un experimento factorial, se utilizan los diseños básicos, esto es: (DCA, DBCA, DCL). Así, por ejemplo, el diseño experimental es bloques completamente al azar el modelo es: Yij=µ +Շi + β j + ξij Respuesta = media general+ Efecto tratamiento+ Efecto de bloque + Error

implica que los factores no son dependientes, lo que quiere decir que el efecto simple de un factor digamos A es diferente si ese efecto se calcula a diferentes niveles del factor B.  Esto último, significa que no se puede hablar en términos generales del efecto del factor A ya que su efecto depende del nivel del otro factor Igual si se refiere al factor B.  Por otra parte si la interacción no es significativa , significa que ambos factores son independientes.

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 Si se trata de un diseño factorial, los

tratamientos se forman combinando los niveles de los factores en estudio, de manera que el efecto de tratamiento Շi se considera compuesto de los efectos de los factores y sus interacciones.  Por ejemplo, si se tiene dos factores en estudio se tiene:  Շ i =Շkl = αk +ϒl +દ kl  Tratamiento = Factor A+ Factor B + Interacción AB

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suponiendo que el factor A tiene k niveles y el factor B l: k

l

1 2 3 .. T

1 1 1 .. K

1 2 3 .. L

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Otra forma.

 Haciendo una equivalencia de los factores de i y los k y l i

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 Yijk=µ+αi +βj+ (αβ) ij + ξijk  Donde:  µ = representa al promedio general.  αi = representa el efecto del nivel i del factor α  βj = representa el efecto del nivel j del factor β

El Modelo Resultante es:

 (αβ) = representa el efecto de interacción entre los

yklj     k  rl   kl   j   klj

nivele ij de los factores α y β la variabilidad natural de las unidades experimentales sometidos al mismo tratamiento ij.

 ξijk =representa

Es poco usual tener diseños experimentales muy complicados en los experimentos factoriales , ya que se dificulta el análisis y la interpretación. UNC- FCV-2018

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BIOMETRIA VETERINARIA

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 La necesidad de estudiar conjuntamente varios

factores obedece a la posibilidad de que el efecto de un factor cambie según los niveles de otros factores, esto es, que los factores interactúen, o exista interacción.  También se utilizan los arreglos factoriales cuando se quiere optimizar la respuesta o variable dependiente, esto es, se quiere encontrar la combinación de niveles de los factores que producen un valor óptimo de la variable dependiente. (superficie de respuesta).  Si se investiga un factor por separado, el resultado puede ser diferente al estudio conjunto y es mucho más difícil describir el comportamiento general del proceso o encontrar el óptimo. UNC- FCV-2018

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Ventajas  Las ventajas de los experimentos factoriales son:

Economía en el material experimental al obtener información sobre varios factores sin aumentar el tamaño del experimento. Todas las unidades experimentales se utilizan para la evacuación de los efectos. 2. Se amplia la base de la inferencia en relación a un factor, ya que se estudia en las diferentes condiciones representadas por los niveles de otros factores. Se amplia el rango de validez del experimento 1.

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Desventajas Una desventaja de los experimentos factoriales es que requiere un gran número de unidades experimentales, sobre todo cuando se prueba muchos factores o muchos niveles de algunos factores, es decir, se tiene un número grande de tratamientos ( factoriales fraccionales). 2. Una desventaja real del experimento factorial es el gran y prohibitivo número de combinaciones necesarias para estudiar varios factores a varios niveles 3. Esto lleva asociado que a medida que aumenta el número de combinaciones de tratamientos requeridos disminuye la eficiencia de un experimento debido al aumento del tamaño de repetición. 1.

3. Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el grado y forma en la cual se modifica el efecto de un factor por los niveles de los otros factores. 4. Los efectos son evaluados sobre un amplio rango de condiciones 5. El componente de tratamientos provenientes de una estructura factorial es el óptimo para estimar los efectos principales e interacciones

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Interacción.  Suponga un diseño con dos factores: A con a niveles y B

con b niveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a x b completo, balanceado, efectos fijos).  Sea yijk la respuesta para la k-ésima unidad experimental del nivel i de A y j de B. yijk     i   j  rij   ijk i  1,....., a j  1,....., b k  1,...., n Las hipótesis que se prueban son : H 01 : rij  0  i, j H 02 :  i  r ij  0  i H o3 :  j  r . j  0  UNC- FCV-2018

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BIOMETRIA VETERINARIA

j

Figura B

Figura A 47

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 El efecto de un factor se define como el cambio en

respuesta producido por un cambio en el nivel del factor. En algunos experimentos podemos encontrar que la diferencia en respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles del otro factor.  Cuando esto ocurre se dice que hay iteración entre los factores.  Como podemos ver en la figura A la interacción no está presente ya que cuando cambio el factor A de su nivel 1 al nivel 2 la respuesta aumenta no importando en qué nivel esté el factor B.  Sin embargo, en la figura B podemos apreciar el comportamiento del gráfico cuando existe interacción entre los factores. UNC- FCV-2018

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 El factorial más pequeño es el que tiene 2 factores con

2 niveles cada uno.  Las posibles combinaciones de este experimento

forman los vértices de un cuadrado como se muestra en la figura anterior.  Si utilizamos el método de variar un factor a la vez para explorar cada una de las combinaciones nos encontramos que éste método es inefectivo debido a que (como se muestra en la figura C) una de las posibles combinaciones queda sin explorar.  Además, para factoriales con más de 2 factores resultaría ineficiente e inadecuado. UNC- FCV-2018

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 Si tenemos un factorial con 3 factores cada uno con 2

niveles, las posibles combinaciones de este experimento forman los vértices de un cubo como se muestra en la figura D.  Al variar un factor a la vez solo se pueden explorar la mitad de las posibles combinaciones.  En la figura C podemos notar los espacios vacíos de las combinaciones sin explorar. Figura: Gráfica que ilustra cuando se varía un factor a la vez en un factorial de 2 factores

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 Variar un factor a la vez resulta un método ineficiente y

nunca va a llegar a su valor óptimo.  Es por esto que una de las ventajas de un diseño

factorial es que son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.  Además, un diseño factorial es necesario cuando pueden haber iteraciones presentes para evitar conclusiones engañosas.  Finalmente, los diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor a varios niveles de los otros factores, generando conclusiones válidas sobre un rango de condiciones experimentales.

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 Los experimentos a menos dimensiones me dan más

réplicas. Si tengo un experimento con tres dimensiones (A, B y C) y elimino la dimensión C, es como si se trasladara la capa superior hacia abajo resultándome 2 datos por cada vértice del cuadrado resultante como se puede apreciar en la figura E.

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 Conocer la interacción es más útil que conocer los  

  

efectos principales. Una interacción significativa frecuentemente oscurece la significancia de los efectos principales. Cuando hay interacción significativa, se deberán examinar los niveles de un factor, digamos A, con los niveles del o de los otros factores fijos, para tener conclusiones acerca del efecto principal A.. Dos factores con a niveles y B con b niveles. Se dice que se tiene factorial a x b, con diseño completamente al azar (bloques, etc.). Se tiene ab tratamientos.

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 Con la aplicación de métodos de mínimos cuadrados

se logra la estimación de los parámetros identificados anteriormente.

Yijk  Y  (Y i..  Y )  (Y . j.  Y )  (Y ij.  Y i..  Y . j.  Y )  (Yijk  Y ij. )

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Ejemplo Numérico:  Tenemos 2 factores (A y B) a dos niveles cada uno (1 y

Realizamos la suma por fila y por columnas para facilidad de los cálculos.

2) donde cada combinación tiene dos réplicas.

A

 Se quiere calcular la suma de cuadrados de cada efecto,

(tratamientos A y B, la interacción, el error y el total). Los datos se encuentra en la siguiente tabla:

2

Σ

1

8 9

4 3

24

B

A 1

2

2

14 16

52

4 3

10 12

1

8 9

Σ

39

37

76

2

10 12

14 16

B

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1

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Calculando la suma de cuadrados de los efectos

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tenemos :

39 2  37 2 76 2 SS A    0.5 4 8 2 2 24  52 76 ssB    98 4 8 ssTotal  82  9 2  ......  14 2  16 2 

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76 2  144 8

a1b1

a2b1

a1b2

a2b2

8

4

10

14

9

3

12

16

17

7

22

30

76

Para poder buscar la interacción hacemos una expansión (booleana)

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17 2  7 2  22 2  30 2 76 2   139 2 8  SStratamiento  SS A  SS B

SStratamiento  SS AB

 139  0.5  98  40.5 SS error  SStotal  SS A  SS B  SS AB  144  0.5  98  40.5  5 Si todos los factores en un experimento factorial tienen 2 niveles, conocemos estos factores como 2k donde k es el número de factores. 2k = número de tratamientos o condiciones experimentales En la siguiente figura se muestra como se verían representados los tratamientos o combinaciones de este tipo de diseño experimental tomando diferentes valores de k. UNC- FCV-2018

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BIOMETRIA VETERINARIA

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CUADRADO LATINO Y FACTORIALES

7/16/2018

 Como

podemos apreciar en la figura anterior, a mayor número de factores mayor es el número de tratamientos o combinaciones a realizar dentro del experimento.  En los siguientes temas se discutirá el diseño factorial 2k y el diseño factorial 2k con bloques, que es cuando no se pueden realizar cada una de las posibles combinaciones o tratamientos. UNC- FCV-2018

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 El tipo de análisis con posterioridad al recién

efectuado dependerá del resultado del análisis previo, en el sentido de si la interacción fue o no significativa y también va a depender de los factores, si son cualitativos o cuantitativos.  En la siguiente tabla se presenta un resumen del análisis que se sugiere el cual dependerá como se ha manifestado de si la interacción es o no significativa, y del tipo de factores.

 Si el diseño básico hubiese sido de bloques completos

al azar el modelo matemático sería:

yklj    Bk   i   j  ( )ij  ijk  Si el diseño básico hubiese sido de cuadrado latino el

modelo habría sido.

ykljl    H k  Cl   i   j  ( )ij  ijk

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Efecto

Tipo de Factor

Cualitativos sin relación entre niveles

Cualitativo niveles con cierta relación

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Procedimiento para cuantificar el análisis

AB

A

B

**

?

?

Procedimientos de comparación múltiple aplicado a los tratamientos para cada nivel de un factor

n/s

**

**

PCM aplicados a los promedios de los niveles de un factor

**

?

?

n/s

**

**

**

?

?

Regresión entre los niveles de un factor y la respuesta de los tratamientos a cada nivel del otro factor

n/s

**

**

Regresión entre los niveles de un factor y la respuesta promedio de los niveles del otro factor

Cuantitativos niveles graduados

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Contrastes aplicado a los tratamientos para cada nivel de un factor

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