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UNIVERSIDAD ESTATATAL DE BOLIVAR FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS RECURSOS NATURALES Y DEL AMBIENTE ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Nombre: Jordani Sanabria Ciclo: sexto Tema: Cuadrado latino Materia: Diseño experimental Docente: Ing. Danilo Montero Fecha: 10 de julio del 2014 DISEÑO CUADRADO LATINO: DCL

Este diseño se utiliza para conducir experimentos en condiciones heterogéneas donde las propiedades cambian en dos direcciones como ocurre en la toma de muestras para análisis de laboratorio, donde las condiciones cambian entre planta y planta (una dirección) y de hoja a hoja por tamaño o posición en la misma planta (otra dirección). El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

Un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos, en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila. Las siguientes matrices son cuadrados latinos:

Los cuadrados latinos se dan como una Tabla de multiplicar (Tabla Cayley) de quasigrupos. Estos tienen su aplicación en el diseño de experimentos. El nombre de Cuadrados Latinos se origina con Leonhard Euler quién utilizó caracteres Latinos como símbolos. Un cuadrado latino se dice que está reducido (o normalizado o de forma estandarizada) si la primera fila y la primera columna están en orden natural. Por ejemplo, el primer cuadrado está reducido, porque la primera fila y la primera columna son 1, 2, 3. Es posible hacer un cuadrado latino permutando (reordenando) las filas y las columnas.

Características: 1. Las u.e. se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. 2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos. 3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna. 4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos. 5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental. El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones. Formación de cuadrados latinos Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estandar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferente, en total se tienen 576 cuadros diferentes. La siguiente tabla permite relacionar el numero de cuadros en función del tamaño.

Ventajas Controla las fuentes de variación en las dos direcciones: hileras y columnas, es decir se extrae del error experimental la variación debida a tratamientos, hileras y columnas. Desventajas Se pierden grados de libertad en el error experimental, sacrificando la precisión del diseño experimental. Debido a que el número de hileras y columnas debe ser igual al de tratamientos, el número de tratamientos es limitado. Restricciones Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una columna Un tratamiento cualquiera debe estar solamente una vez en una columna El análisis de varianza El diseño permite partir la variación total en 4 componentes:

Hileras

Error experimental

Columnas

Tratamientos

y las fórmulas de trabajo son como sigue:

ANDEVA Fuentes Variación

de

SC

GL

CM

F

Hileras

SYi²/n-FC

n-1

SCH/GL

CMH/CME

Columnas

SYj²/n-FC

n-1

SCC/GL

CMC/CME

Tratamientos

SYk²/n-FC

n-1

SCT/GL

CMT/CME

Error exp.

por diferencia

(n-1)*(n-2)

SCE/GLE

Total Ejemplo:

Sy²ij-FC

n²-1

Hileras

Columnas

Yi

Yi²

Yk

Yk²

D 8.1

28.7

823.7

A 27.8

772.8

B 7.9

C 8.4

32.7

1069.3

B 30.3

918.1

D 8.0

A 6.0

B 6.2

27.7

767.3

C 33.3

1108.9

B 9.4

C 9.9

D 10.5

A 8.0

37.8

1428.8

D 35.5

1260.3

Yi

32.1

32.2

31.9

30.7

126.9

4089.1

Yj²

1030.4

1036.8

1017.6

942.5

1

2

3

4

1

A 6.3

B 6.8

C 7.5

2

D 8.9

A 7.5

3

C 7.5

4

4060.1

4027.3

===> SYi² = 4089.1 SYk² = 4060.1 SYj² = 4027.3 SY²ij = 1031.5 ANDEVA Fuentes de variación

SC

GL

CM

F

Hileras

4089/4-1006 = 15.79

4-1 = 3

5.2658 88.37

Columnas

4027/4-1006 = 0.3575

4-1 = 3

0.1192 2.00

Tratamientos

4060/4-1006 = 8.53

4-1 = 3

2.8458 47.76

Error exp.

0.3575

(4-1)(4-2) = 6

0.0596

Total

1031-1006 = 25.05

4² - 1 = 15

PASOS PARA OBTENER UN CUADRADO LATINO ALEATORIZADO 1. Partir de un cuadrado latino estándar del tamaño requerido: Supongamos que necesitamos un cuadrado 4*4 y arbitrariamente hemos seleccionado el planteado anteriormente, donde se observa el orden alfabético de las letras en la primera fila y la primera columna; 2. Aleatorizar todas las columnas del cuadrado elegido: Para este efecto existen tablas de permutaciones o simplemente se elige un orden aleatorio (con ayuda de la calculadora o de tablas de números aleatorios) de las “t” columnas; para este caso, con ayuda de la calculadora se encontraron los valores: 1,3,4. • 1: Quiere decir que la primera columna permanece como estaba. • 3: Entonces, la que antes era la tercera columna, ahora pasa a ser la segunda. • 4: La que inicialmente era la cuarta columna, ahora pasa a ser la tercera, por descarte, entonces, la que originalmente era la segunda columna, ahora pasa a ser la cuarta, con lo que el cuadrado quedaría: A

C D B

B

D A C

C

A B D

D

B C A

3. Aleatorizar todas las filas del cuadrado encontrado: Nuevamente, con ayuda de la calculadora, el orden aleatorio encontrado fue: 3, 4, 1. • 3: La que en el último cuadrado era la tercera fila, ahora pasa a ser la primera. • 4: La que era la cuarta fila, ahora se convierte en la segunda. • 1: La primera fila debe ser ahora la tercera y por descarte, la segunda fila pasa a ser la cuarta, quedando el siguiente cuadrado, que sería el definitivo: C

A B D

D

B C A

A

C D B

B

D A C

ANÁLISIS DE VARIANZA Para realizar el análisis de varianza se requieren los siguientes términos: Y = ΣΣ Y = Gran total ...

ijk

Y = Total del tratamiento “i” i..

Y = Σ Y = Total de la fila “j” .j.

ijk

Y = Σ Y = Total de la columna “k” ..k

ijk

Tabla de Anova F de V

GL

Tratamientos

Suma de cuadrados 2

t-1

Filas

Cuadrados medios T = ΣY /t -TC

SC = T/ (t - 1)

F = Σ Y /t -TC

SC = F / (t - 1)

i.. 2

t-1

FC T

F

.j.

Columnas

2

t-1

Error

C=ΣY

(t-1)(t-2)

..k

/t -TC

E =Tot - T - F - C 2

Total

t -1

SC = C / (t - 1) C

SC = E / (t-1)(t-2) E

2

Tot =ΣΣ y

ijk

-TC

Donde: F de V: Fuente de Variación GL: Grados de libertad t : Número de tratamientos = Número de filas = Número de columnas 2

TC: Término de corrección = Y ... / t

2

Nota 1: Así como en el diseño de bloques al azar, el efecto de los bloques no se evaluaba, en el diseño de cuadrados latinos, los efectos de filas y columnas tampoco se evalúan, pues por diseño se espera que existan diferencias entre ellas. Nota 2: Los grados de libertad del error también se pueden calcular como la diferencia entre los grados de libertad totales y los grados de libertad de las otras fuentes de variación (tratamiento, filas y columnas).

EJERCICIO: Aquí deben plantear un experimento que ustedes consideren se debe evaluar bajo un diseño de cuadrados latinos, como siempre, deben indicar, quién es el factor con sus niveles, la unidad experimental, la variable respuesta y quienes son las fuentes de variación “filas” y “columnas”. Deben hacer la aleatorización del cuadrado latino, luego van a suponer los datos de la variable respuesta y los deben analizar con el alfa que deseen.

EJEMPLO: Un investigador quiere evaluar la productividad de cuatro variedades de aguacate y decide realizar el ensayo en un terreno que posee un gradiente de pendiente de oriente a occidente y además, diferencias en la disponibilidad de Nitrógeno de norte a sur, para controlar los efectos de la pendiente y la disponibilidad de Nitrógeno, utilizó un diseño de cuadrado latino, las variedades son: A, B, C y D, los datos corresponden a la producción en kg/parcela.

Aquí el juego de hipótesis a probar sería: Ho = μ μ μ μ A=

B=

C=

D

Ha = μ ≠ μ para cualquier “i” diferente de “j”. i

j

El análisis de varianza queda: (Tarea: Verificarlo)

A partir de la cuál se rechaza la hipótesis nula y se concluye que existen por lo menos dos variedades de aguacate con diferentes niveles de producción, para evaluar entre quienes está la diferencia debe realizarse una prueba de comparación de medias, esto te queda de tarea.

SUPUESTOS EN UN DISEÑO DE CUADRADOS LATINOS Para que el análisis de varianza en un diseño de cuadrados latinos tenga validez, deben cumplirse los mismos supuestos mencionados para el diseño de bloques al azar: Normalidad, Homocedasticidad e Independencia; adicionalmente debe cumplirse el supuesto de aditividad entre filas, columnas y tratamientos, es decir, no debe haber interacción entre los mismos. Respecto a la normalidad y la independencia, el procedimiento es el mismo que en el caso de un diseño completamente al azar y de un diseño en bloques al azar, la normalidad se evaluará con ayuda del programa SAS y la prueba de Shapiro – Wilk y la independencia se garantizará con la asignación aleatoria de los tratamientos a las unidades experimentales. En el caso del supuesto de homocedasticidad, para el diseño de cuadrados latinos se presenta el mismo problema de índole computacional que habíamos mencionado para el diseño de bloques al azar, pues los programas estadísticos actuales son incapaces de evaluar el supuesto en cualquier diseño diferente al completamente al azar, razón por la cual se debe asumir que el supuesto se cumple. DISEÑOS “CROSS-OVER” Un diseño muy parecido al de cuadrados latinos, es el diseño “cross-over” o “changeover” o de intercambio, donde por poca disponibilidad de unidades experimentales, cada unidad experimental recibe en diferentes momentos de tiempo todos los tratamientos a evaluar; esta situación en el contexto agropecuario rara vez se presenta con material vegetal por lo que prácticamente se limita a ensayos donde las unidades experimentales son animales. Un esquema de un diseño “cross-over” es el siguiente:

Las unidades experimentales se podrían considerar efectos “columna” y los períodos de tiempo se consideran como efectos “fila”, por lo que nuevamente se está en presencia de un doble “bloqueo” y cada unidad experimental recibe en orden aleatorio todos los tratamientos; aquí es importante señalar que debido al uso repetido de la misma unidad experimental con diferentes tratamientos, debe existir absoluta certeza de la No Existencia de efectos residuales de los tratamientos, si no es así, entonces debe utilizarse un período de descanso entre cada par de períodos consecutivos. Aquí siempre el número de períodos de tiempo será igual al número de tratamientos, pero no existe restricción respecto al número de unidades experimentales, se podrían tener más unidades experimentales (una especie de Rectángulo latino) pero siempre el número total de unidades experimentales deberá ser un número múltiplo del número de tratamientos, de tal manera que en cada período de tiempo, cada tratamiento aparezca el mismo número de veces. El modelo a plantear y el análisis de los datos es igual que en el diseño de cuadrado latino.