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Misión: Formar profesionales de la carrera de ingeniería industrial, que sean agentes de cambios, comprometidos e integrados al desarrollo de su país, emprendedores, analíticos y creativos, que mejoren la productividad de los sistemas generadores de bienes y servicios, mediante el uso eficiente de los recursos disponibles y la incorporación de la alta tecnología. Visión: Ser un departamento que integre la docencia, la vinculación, y la investigación, para formación de ingenieros que respondan a los retos en la generación de bienes y servicios de clase mundial. .

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ESTADÍSTICA II

CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO MONTES TENORIO CRYS RIVAS ÁVILA EDGAR VALDEZ REYES HEROLINDA

Catedrático: Ing. Juan Alfonso Diaz

Fecha: viernes 21 de noviembre de 2008

DISEÑO CUADRADO LATINO El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.

CARACTERÍSTICAS 1) Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. 2)

En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.

3)

Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.

4)

El numero de filas= al número de columnas= al número de tratamientos.

5) Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. 6) La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental. 7) El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones.

FORMACIÓN DEL CUADRADO LATINO Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución).

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes. La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.

n = tamaño del cuadro.

ASIGNACIÓN DE TRATAMIENTOS

Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles.

MODELO ESTADÍSTICO Y X

1

2

3

4

1

A

B

C

D

2

B

C

D

A

3

C

D

A

B

4

D

A

B

C

Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:

H0 : µ 1 = µ 2 =..........= µ a H1 : µ i = µ j para al menos un par ij En este diseño, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variación, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el Bloque(o Factor) Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:

Yij = La i-esima observación µ = Un parámetro General para todas las observaciones, llamado Media Global τ i = El efecto del factor X β j = El efecto del BloqueY

λ

= El efecto del bloque Latino ε ij = El error experimental

k

Continuando con la metodología utilizada hasta aquí, reescribamos estas fuentes de variación, en términos de sumas de cuadrados:

Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror

EJEMPLO Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles):

Lote

1

Operador Lot e 1 2 3 4 5 ∑ Promedio

1 24 17 18 26 22 107 21.4

2 20 24 38 31 30 143 28.6

3 19 30 26 26 20 121 24.2

4 24 27 27 23 29 130 26

5 24 36 21 22 31 134 26.8

∑ 111 134 130 128 132

Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:

SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror Entonces:

SSTotales =

a

b

2

i =1

j =1

ijk

∑ ∑ ∑ck =1 y

y −

2 ...

N

Promedi o 22.2 26.8 26 25.6 26.4

SSTotales =

∑ ∑ ∑k =1 y a

b

i =1

j =1

c

2 ijk

−

y

2 ...

N

SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 +

Lote 1 2 3 +312

SSTotales =

SSLote

676

2

2 Y ... i .. Y = − ∑ a

i =1

b

N

-

635 25

172 +.............+ 292

2

1 24 17 18

Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.

A

1

La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia: Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFórmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 = Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, se puede calcular la tabla ANOVA: Fuente de Suma de Grados de Grados de variación cuadrados libertad Medios

Lote Operador Formula Error

68 150 330 128

4 4 4 12

17 37.5 82.5 10.67

Totales

676

24

147.67

Fo

1.59 3.52 7.73

Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribución Fisher:

Fa,γ 1,γ

2

-= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar contra la F calculada de las tres fuentes de variación, ya que

estas tienen los mismos grados de libertad.

Para el lote: respuesta.

Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces

Para el Operador:

se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la

Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en la explosividad de la misma.

Para la Formula: Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces se Rechaza Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a la explosividad de la misma.

DISEÑO CUADRADO GRECO-LATINO  Es un diseño con cuatro factores a k niveles  Se asume que no hay interacciones  Requiere k2 observaciones  El diseño factorial completo requiere k4  Cada nivel de un factor aparece una vez con cada nivel de los otros factores  Superposición de dos cuadrados latinos Superposición de dos cuadrados latinos

Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en cada columna y una con cada letra latina

El modelo es

donde

son independientes αi es el efecto fila, βj efecto columna,

γk efecto de letra latina y δl efecto de letra griega

La notación yij (kl) indica que k y l dependen de ij Tabla ANOVA.

En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina Componente GRIEGO, ya que se utilizan letras griegas para identificar sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le llama Diseño Cuadrado Greco-Latino. Continuemos con el ejemplo de la formulación de dinamita. El experimentador desea considerar La línea de ensamble en su diseño, ya que sospecha que estas son fuente de variación. Para hacer esto, decide utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuación (Por razones prácticas, se utilizaran los mismos datos que en el ejemplo anterior):

Operador Lote

1 A

1

B

2

C

3

D

4

E

5

24 17 18 26 22

2 α B β

C

γ

D

δ

E

ε

A

3

20 24 38 31 30

γ

C

δ

D

ε

E

α

A

β

B

19 30 26 26 20

4 ε

D

24

α E β

A

γ

B

δ

C

27 27 23 29

5 β

E

γ

A

δ

B

ε

C

α D

24 36 21 22 31

Totales

107

143

121

130

134

Promedio

21.4

28.6

24.2

26

26.8

Totales δ ε α β γ

Promedio

111

22.2

134

26.8

130

26

128

25.6

132

26.4

635

Gran total

Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los cálculos y resultados para las sumas de cuadrados para los componentes Lote, Operador, Fórmula y Suma Total son los mismos también:

SSTotales

a

b

2

i =1

j =1

ijkl

∑ ∑ ∑ck =1 ∑ dl = 1 y = 2

2 Y .... ∑ i ... − Y a

SSLote= i = 1

a

N

= 68

−

y

2 ....

N

= 676

2

2 Y ...l − Y .... ∑ d

N

d

SSOperador= k = 1

= 150

2

2 Y . j .. − Y ... ∑ c

SSFromula= k =1

N

c

= 330

Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las sumas naturales totales por nivel:

Nivel Griego

Total

α β γ δ ε

Y..1. Y..2. Y..3. Y..4. Y..5.

= = = = =

Entonces: 2

2 Y ..k . − Y .... ∑ b

SSLinea= k = 1

b

N

SSLinea = 1352 + 1192 +1222 +1212 +1382 5

( 635 ) 25 -

2

= 62

La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente por diferencia:

SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea = 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66 Una vez calculados todos los componentes de la variación por separado, se puede elaborar la tabla anova:

Fuente de Suma de

Grados de Cuadrados

Variacion Cuadrados Libertad

Fo

Medios

68.00

4

17.00

2.06

Operador

150.00

4

37.50

4.55

Formula

330.00

4

82.50

10.00

Linea

62.00

4

15.50

1.88

Error

66.00

8

8.25

676.00

24

Lote

Totales

Como este es también un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para compararse después con las calculadas por factor y evaluar nuestra hipótesis (que es la misma analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza:

Fo,γ 1,γ

2

-= F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces tenemos:

Para el lote: respuesta.

Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces

se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la

Para el Operador Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el operador es fuente de variación para la respuesta. Para la Formula respuesta.

Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3. 84, entonces

se Rechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variación para la

Para La Línea de ensamble: respuesta.

Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la línea de ensamble no es fuente de variación para la