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Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de Lagrange

Para los sistemas eléctricos, las herramientas de análisis de redes están tan bien desarrollados que rara vez surge la necesidad de buscar otro método de análisis. Sin embargo, puede ocurrir que en el estudio de los sistemas eléctricos no lineales donde los métodos no son aplicables, o cuando los componentes eléctricos forman parte de un sistema de manejo de energía mixta. Es en los casos de este tipo que los métodos variacionales bien pueden resultar ineficientes o inservibles. La elección entre mallas y el análisis variacional nodal es, en el caso de los sistemas eléctricos, en gran medida subjetivas, aunque por regla general se utiliza el método que requiere la formulación explícita de un menor número de restricciones de interconectividad.

Ecuaciones (relaciones constitutivas, el, lagrangiano, etc.)

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Ecuaciones para el análisis variacional nodal

El lagrangiano está definido por: 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 (1) La ecuación de Euler-Lagrange se expresa en: 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− + = 𝐼𝑗 (𝑡) (2) 𝑑𝑡 𝜕𝜆̇ 𝜕𝜆𝑗 𝜕𝜆𝑗 Las relaciones constitutivas para Obtener 𝑈 ∗, 𝑇, 𝐽 son:

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Ecuaciones para análisis variacional por mallas

El co-lagrangiano se define por:

La ecuación de Euler-Lagrange se expresa en:

Las relaciones constitutivas que expresan a 𝑈 ∗, 𝑇 𝑦 𝐺 son:

Donde L representa al lagrangiano del circuito; L* representa al co-lagrangiano del circuito; U* es la energía co-capacitiva total; T es la energía inductiva total; J es el co-contenido total en los resistores; 𝐼𝑗 es la fuente de corriente generalizada a la j-ésimo enlace de flujo; T es la co-energía inductiva total; U es la energía capacitiva total y G es el contenido total del sistema. Cabe mencionar que las ecuaciones (3), (4), (5), (8), (9) y (10) surgen bajo la suposición de que se encuentra analizando componentes lineales e invariantes en el tiempo, si no fuera así se obtendría una representación matemática más general donde se expresa la no linealidad e las funciones.

Circuitos para análisis variacional nodal

Un nodo se define como el punto de conexión entre dos o más elementos de un circuito. En la figura se puede observar que el sistema tiene tres nodos, los enlaces de flujo están definidos por 𝜆 = [𝜆1 𝜆2 𝜆3 ] que fungen como función de los voltajes en los nodos. Las coordenadas variacionales son [𝛿𝜆1 𝛿𝜆2 𝛿𝜆3 ] dado que ningún enlace de flujo “interactúa” con alguna fuente de voltaje entonces:

La dt es una diferencial de tiempo, esto se hace más que nada para no abusar de la notación matemática a lo largo del documento ya que no es lógico integrar con respecto al tiempo y después “evaluar” bajo las restricciones del mismo tiempo. Dado el circuito, la co-energía capacitiva, la energía inductiva y el co-contenido se ven expresados por (11), (12) y (13):

Entonces el Lagrangiano puede ser expresado como se muestra en (14):

De la ecuación (2) se obtiene cada una de las derivadas parciales y temporales que esta necesita para ser generalizada. El nodo cuenta con la interacción de una fuente de corriente por tanto la expresión dinámica (15) se encuentra “alimentada” por la corriente 𝐼1 :

Siguiendo la metodología pasada; es decir, utilizando las ecuaciones (2), (11), (12) y (13) se pueden llegar a las otras dos ecuaciones restantes para el enlace de flujo 𝜆2 𝑦 𝜆3 como se ve en (16) y (17):

Circuitos para análisis variacional por mallas

Como se puede observar en la figura, el sistema está constituido por dos mallas, estas se encuentran interactuando con una fuente de voltaje. En la sección anterior se analizó el modelado matemático con las ecuaciones de Euler-Lagrange en este caso se realizará lo mismo tomando en cuenta que se usará el co-lagrangiano, la co-energía inductiva total, la energía capacitiva total y el contenido que se encuentra en los resistores. Las coordenadas generalizadas para este sistema son 𝑞1 𝑦 𝑞2 Se obtiene la co-energía inductiva total, la energía capacitiva total y el contenido que se encuentra en los resistores con ayuda de (8), (9) y (10):

Con el uso de la ecuación (7) se obtienen las ecuaciones dinámicas que describen al sistema mostrado en la figura: