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ECUACIONES DE LAGRANGE

NATHALIA MEJIA ALEJANDRO CARDENAS

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD INGENIERIA PROGRAMA INGENIERIA CIVIL ARMENIA 2015

ECUACIONES DE LAGRANGE

NATHALIA MEJIA ALEJANDRO CARDENAS

Consulta

Profesor CLAUDIA HELENA SANCHEZ BOTERO

Materia ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD INGENIERIA PROGRAMA INGENIERIA CIVIL ARMENIA 2015

CONTENIDO

RESUMEN

En el presente trabajo se hace una descripción general de las ecuaciones de LaGrange que son el resultado de la rama de la matemática conocida como cálculo de variaciones que es una herramienta muy potente con la cual se pueden resolver problemas en matemática pura como también deducir la mecánica newtoniana

INTRODUCCION

Uno de los objetivos de los matemáticos del siglo XVIII era el de descubrir un principio general del que fuera deducible la mecánica de Newton. En la búsqueda de sus claves llegaron a observar un cierto número de hechos curiosos de física elemental: por ejemplo, que un rayo de luz sigue el camino más rápido al viajar por un medio óptico; que la forma de equilibrio de una cadena colgante minimiza su energía potencial; y que las pompas de jabón adoptan la forma que produce área mínima para un volumen prefijado. Estos y otros hechos sugirieron a Euler que la naturaleza persigue sus diversos fines por los medios más económicos y eficientes, y que esa simplicidad oculta subyace al aparente caos de los fenómenos. Fue esta idea metafísica la que le indujo a crear el cálculo de variaciones como técnica para la investigación de tales cuestiones. El sueño de Euler fue hecho realidad casi un siglo después por Hamilton cuando estableció el principio que lleva su nombre y que es el origen de las ecuaciones de LaGrange

1. DEDUCCION DE LA ECUACION DE LAGRANGE Para comprender el origen de las ecuaciones de LaGrange se hace necesario introducir el concepto de acción para una partícula que se define como 𝑡2

A = ∫𝑡1 (𝑇 − 𝑉)𝑑𝑡 Donde T es la energía cinética y V la energía potencial de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa entre los tiempos t1 y t2, la expresión T-V se conoce como el lagrangiano y se denota por L Principio de Hamilton: si una partícula va de un punto P1 a otro punto P2 en un intervalo de tiempo t1≤t≤t2, la trayectoria que sigue es necesariamente una que hace estacionaria a la acción. En el principio enunciado se puede interpretar una estacionaria como un valor mínimo. Este principio puede ampliarse sin dificultad a un sistema de n partículas que se mueven bajo el influjo de fuerzas conservativas

Para entender la conexión del principio de Hamilton con las ecuaciones de LaGrange se hace necesario definir grados de libertad y coordenadas generalizadas. Una única partícula que se mueve libremente por el espacio tridimensional se dice que tiene tres grados de libertad, por estar su posición determinada por tres coordenadas independientes x,y,z. Si está obligada a moverse sobre una superficie G(x,y,z)=0, se reduce a dos sus grados de libertad, porque una coordenada puede expresarse en términos de las otras dos. Análogamente, un sistema de n partículas sin ligaduras tiene 3n grados de libertad, y el efecto de introducir ligaduras es reducir el número de coordenadas independientes necesarias para describir sus configuraciones. Si las coordenadas rectangulares de las partículas son xi, yi y zi (i=1,2,…,n) y las ligaduras vienen descritas por k ecuaciones consistentes e independientes de la forma Gj(x1, y1,z1, …,xn,yn,zn)=0, j=1,2,…,k, El número de grados de libertad es m=3n-k. En principio, se pueden usar estas ecuaciones para reducir el número de coordenadas de 3n a m sin más que expresar los 3n números xi,yi y zi (i=1,2,…,n) en términos de m de ellos. No obstante, es más conveniente introducir coordenadas generalizadas de Lagrange q1,q2,…,qm, entendiendo por tales cualesquiera m coordenadas independientes cuyos valores determinen las configuraciones del sistema. Eso otorga plena libertad para elegir cualesquiera coordenadas adaptadas al problema entre manos y hace que el análisis sea independiente de cualquier sistema particular de coordenadas. Se procede a expresar ahora las coordenadas rectangulares de las partículas en términos de estas coordenadas generalizadas y se observa que las formulas resultantes incluyen automaticamene las ligaduras: xi=xi(q1,…,qm), yi=yi(q1,…,qm), y zi(q1,…,qm), donde i=1,2,…,n.

Si mi es la masa de la i-esima partícula, la energía cinética del sistema es

 dxi 2  dyi 2  dzi 2  T  1/ 2 mi        dt dt      dt   i 1  n

Y en términos de las coordenadas generalizadas eso se escribe

 m x dq 2  m y dq 2  m z dq 2  j j j T  1/ 2 mi   i  i  i           q dt  q dt  q dt  i 1   j 1 j   j 1 j    j 1 j n

Se supone que la energía potencial V del sistema es una función de las qj solamente, de modo que el lagrangiano L=T-V es una función de la forma

dqm dq1 dq2 L  L(q1 , q 2 ,..., q m , , ,..., ) dt dt dt El principio de Hamilton nos dice que el movimiento se produce de manera tal t2

que la acción  Ldt es estacionaria en cualquier intervalo de tiempo t1≤t≤t2, luego t1

las ecuaciones de Euler han de satisfacerse. En este caso, esas ecuaciones son

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− =0 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑗 𝜕𝑞𝑗 para j=1,2,…,m Que se conocen como ecuaciones de LaGrange. Constituyen un sistema de m ecuaciones diferenciales de segundo orden cuya solución dará las qj como funciones de t.

2. EJEMPLOS

2.1 Si una partícula de masa m se mueve en un plano bajo la acción de una fuerza gravitacional de magnitud km/r2 dirigida hacia el origen, es natural tomar las coordenadas polares como coordenadas generalizadas: q1=r, q2=θ. Es fácil ver que 𝐦

𝐓 = ( 𝟐 )( 𝐫̇ 2+r2𝛉̇2) y V=-km/r, luego el lagrangiano es

𝐦 L=T-V=( )( 𝐫̇ 2+r2𝛉̇2)+km/r 𝟐

Y las ecuaciones de Lagrange son 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 ( )− = 𝟎 (𝟏) 𝒅𝒕 𝝏𝐫̇ 𝝏𝐫 𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 ( )− = 𝟎 (𝟐) 𝒅𝒕 𝝏𝛉̇ 𝝏𝛉

Dado que L no depende explícitamente de θ, la ecuación (2) prueba que 𝝏𝑳 𝝏𝛉̇

= 𝒎𝒓𝟐 𝛉 es constante, así que 𝒓𝟐

𝒅𝛉 =𝒉 𝒅𝒕

Para alguna constante h que se supone positiva. Seguidamente se observa que (1) se reescribe como 2

d 2r k  dθ   r     dt 2 r2  dt  Que corresponde a una sección cónica.

2.2 Considere el problema de un péndulo simple moviéndose en el plano xy. El péndulo tiene una longitud l y se mueve bajo la acción de la gravedad de modo que su energía potencial es mgh. Se pueden usar coordenadas cartesianas x y y para describir la posición del péndulo pero x y y no son independientes. De hecho desde que la longitud del péndulo es constante se relacionan por

Es más natural usar el ángulo para describir el movimiento.

que el péndulo hace con respecto a la vertical

¿Pero cuál sería la ecuación de movimiento para ? Con el fin de encontrarla solo se necesita encontrar el lagraniano en términos de . Ahora el lagraniano en términos de x y y esta dado por

Donde se ha introducido la función potencial general, de cualquier modo para este ejemplo se sabe que la función potencial está dada por U(x,y) = -mgy. Las coordenadas cartesianas están relacionadas con por el conjunto de transformaciones x=lsen y=lcos

Con el fin de hallar la energía cinética en términos de transformaciones con respecto al tiempo y se obtiene

derivamos las

Sustituyendo las transformaciones y sus derivadas en el lagraniano da

Ahora teniendo el lagraniano reemplazamos los valores correspondientes en la ecuación de LaGrange

Y la ecuación de movimiento es