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ECUACIONES DE LAGRANGE

NATHALIA MEJIA ALEJANDRO CARDENAS

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL ARMENIA 2016

ECUACIONES DE LAGRANGE

NATHALIA MEJIA ALEJANDRO CARDENAS

Consulta

Profesor CLAUDIA HELENA SANCHEZ BOTERO

Materia ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL ARMENIA 2016

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCION…………………………………………………………………….5

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE D'ALAMBERT – LAGRANGE……………...6

2. EJEMPLOS………………………………………………………………………..8

3. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………...10

RESUMEN

En el presente trabajo se hace una descripción general de la ecuación diferencial ordinaria de LaGrange y se muestra el método general de solución con algunos ejemplos donde se puede resolver por el método de separación de las variables o por el de factor integrante.

INTRODUCCION Historia En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Prácticamente se dividen en 2 tipos, resueltas respecto a la derivada y no resueltas respecto a la derivada. Las ecuaciones de LaGrange y Clairaut son un caso particular del s e g u n d o tipo, no resueltas respecto a la derivada. Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada Análisis Basado en la Ecuación Diferencial de Primer Orden F (x, y, y`)=0

(1)

Para esta ecuación podemos llegar a su soluci´ón de dos maneras: Resuelta respecto a la derivada: y`=f(x,y) (2) Empleando diferentes m´etodos para este tipo de ecuaciones llegamos a su solución. No resuelta respecto a la derivada: En este tipo de ecuaciones llegamos a que no es posible despejar dicha derivada como en (2), entonces se tendrá que despejar alguna de las otras dos ya sea la función dependiente o la variable independiente. y=f (x, y` )

x = g(y, y`)

(3)

Para encontrar el tipo de solución que tendremos como resultado de resolver cualquiera de los dos tipos de (3), necesitamos resolver para una solución general y=f (x, y`) Se resuelve esta ecuación empleando un parámetro p(x)=y`=dy/dx y su diferencial dy= p(x)dx obtenemos la solución de la ecuación original en forma paramétrica. x = φ(p, c)

y = f (φ(p))

(4)

x = g(y, y`) Con la implementación del mismo parámetro p(x)= y`=dy/dx 5

Obtenemos la solución general

y = φ(p, c)

x = g(φ(p))

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1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE D'ALAMBERT - LAGRANGE. La ecuación de D’ALAMBERT – LAGRANGE es un tipo de ecuaciones diferenciales lineales en "x" e "y" que toman la forma:

Si se deriva esta expresión respecto de x se obtiene:

O lo que es igual:

Tomando x como variable dependiente podemos poner:

Que es una ecuación lineal en x integrable por métodos ya desarrollados. Se puede recordar que en las ecuaciones lineales el factor integrante y la solución general vienen dados por:

De donde se tiene:

Y sustituyendo el valor del factor integrante en la otra ecuación

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Se obtiene de ese modo una ecuación de la forma x = x (p, C) que, junto a la ecuación (1 DL), permite llegar a una solución de la forma h(x, y, C) = 0.

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2. EJEMPLOS Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial de Lagrange: y = x (y’)2 + (y’)2 Para ello se hace y’ = p, entonces tenemos:

y = x p2 + p2

Se deriva la ecuación respecto a x:

Que puede ser expresada en forma de ecuación diferencial lineal:

que tras ser resuelta se tiene:

Ahora para hallar la solución general de la ecuación diferencial de Lagrange, se elimina p, entre las dos ecuaciones en p:

lo que da la solución general

Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial de LaGrange y=( p−1 ) x + p+1

Derivando la ecuación dada con respecto a x se obtiene: p= p−1+ x

dp dp + dx dx

O bien: 1=( x+1)

dp dx

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La solución general de esta ecuación es p=ln ( x +1 ) +C

Con este valor de p, reemplazando en la ecuación dada, se obtiene su solución general: y=( x +1 ) ln ( x +1 ) +C ( 1+ x ) +(1−x) Ejemplo 3: Resolver

y=x + y −3( y )2

Esta es una ecuación de LaGrange con f(p)= 1 y g(p)=

y −3 ( y )2

Después de derivar con respecto a x se obtiene: p=1+ p −6 pp

Es decir ( p−1 ) dx=( 1−6 p ) dp

(

dx= −6−

que se puede poner en variables separadas

5 dp p−1

)

Integrándola se tiene

x=−6 p−5 ln ( p−1 ) +C

Sustituyendo esto en la primera ecuación y sustituyendo y`=p se obtiene y=−5 p−3 p2−5 ln ( p−1 )+C Así las curvas paramétricas x=−6 p−5 ln ( p−1 ) +C

y=−5 p−3 p2−5 ln ( p−1 )+C Son soluciones de la ecuación de LaGrange de la que partimos

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BIBLIOGRAFIA

Gorostizaga, Juan Carlos. Introducción a las ecuaciones diferenciales http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/ec_diferenciales.htm Franquet, Josep Maria. (2013) Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas: Curso Práctico. UNED Tortosa. Pág 194

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