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Mecánica de Maquinaria II

Ecuaciones de Lagrange Ing. Eduardo Orcés P. 2015-I Ing. Eduardo Orcés

Julio 2015

TEMAS Obtención de las ecuaciones del movimiento de sistemas mecánicos  Ecuaciones de Lagrange 

Ing. Eduardo Orcés

2015-I

Obtención de las Ecuaciones del Movimiento de Sistemas • Las ecuaciones que rigen el movimiento de los sistemas mecánicos se las puede obtener por diferentes métodos, entre los que se cuentan los siguientes: 1) Ecuaciones de Newton-Euler 2) Métodos energéticos (Trabajo Virtual, etc.) 3) Ecuaciones de Lagrange 4) Ecuaciones de Kane 5) Métodos especializados (usados en Robótica, por ejemplo). Ing. Eduardo Orcés P.

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• Ejemplo: Usando el Principio de Trabajo Virtual, determine la ecuación del movimiento para pequeñas oscilaciones de la viga rígida de masa M, cargada como se muestra en la figura. Solución: Se dibuja la viga en la posición de equilibrio θ, y se le da un desplazamiento virtual δθ. Calculamos el trabajo virtual hecho por cada fuerza. •

Fuerza de inercia:  Ml  δU = − θ δθ  3  2

•

Fuerza del resorte:  l l  2 2

δU = − k θ  δθ

•

Fuerza del amortiguador: δU = −(c lθ ) lδθ

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l2 δU = ∫ ( po f (t )dx) xδθ = po f (t ) δθ 0 2 l

•

Carga distribuida:

•

Sumando los trabajos virtuales, e igualando a cero, se obtiene la ecuación del movimiento angular de la viga alrededor de la posición de equilibrio estático:  Ml 2   l2 l2 2   θ + (cl )θ + k θ = po f (t ) 4 2  3 

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• Ejercicio 1: Dos péndulos simples están conectados entre sí, con la masa en el extremo inferior restringida a moverse en una guía vertical, como se muestra en la figura. El sistema es de 1 GDL con respecto a la coordenada θ. Aplicando Trabajo Virtual, determine la ecuación del movimiento del sistema y su frecuencia natural.

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Ecuaciones de Lagrange Ref.: Housner/Hudson, Applied Mechanics: Dynamics

• Expresa las ecuaciones del movimiento en términos de coordenadas generalizadas. • Las coordenadas generalizadas (q1, q2,…,qn ) son un conjunto de coordenadas iguales en número a los grados de libertad del sistema. • Por ejemplo, en el caso de un péndulo, el ángulo de inclinación θ constituye una coordenada generalizada, mientras que las coordenadas (x,y) de la masa en el extremo, necesitan la ecuación de constricción adicional √(x2 + y2) = constante. En general, se cumple que n – c = GDL. Ing. Eduardo Orcés P.

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• Para el caso de una partícula, se puede escribir la ecuación de trabajo virtual:

Fxδx + Fyδy + Fzδz = mxδx + myδy + mzδz (1) • Haciendo la transformación de coordenadas de (x,y,z) al sistema (q1, q2, q3) de coordenadas generalizadas, se obtiene los desplazamientos δx, δy, δz: ∂x ∂x ∂x δx = δq1 + δq2 + δq3 ∂q1

∂q2

∂q3

∂y ∂y ∂y δy = δq1 + δq2 + δq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3

(2)

∂z ∂z ∂z δz = δq1 + δq2 + δq3 ∂q1 ∂q2 ∂q3 Ing. Eduardo Orcés P.

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• Para simplificar, asumamos que solo se varía δq1, y que δq2 = δq3 = 0. ∂x ∂y ∂z δx = δq1 , δy = δq1 , δz = δq1 ∂q1 ∂q1 ∂q1

(3)

• Substituyendo estos valores en (1), se obtiene:   ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z  ∂x δq1 =  mx δq1  Fx + my + mz + Fy + Fz ∂q1  ∂q1 ∂q1  ∂q1  ∂q1  ∂q1

(4)

• El lado de la izquierda de la Ec. (4), es el trabajo total realizado por las fuerzas externas durante el desplazamiento δq1. Definimos la fuerza generalizada Q1: ∂x ∂y ∂z Q1 = Fx

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∂q1

+ Fy

∂q1

+ Fz

∂q1 2015-I

(5)

• A continuación, transformamos el lado derecho de la Ec. (4): d  ∂x  ∂x d  ∂x    − x  x =  x dt  ∂q1  ∂q1 dt  ∂q1  d  ∂x  ∂x  − x =  x dt  ∂q1  ∂q1

(6)

d  ∂  x 2  ∂  x 2      − =  dt  ∂q1  2  ∂q1  2 

• Substituyendo en la Ec. (4), se obtiene entonces:  d  ∂  x 2  ∂  x 2    −   Q1δq1 = m   dt  ∂q1  2  ∂q1  2  Ing. Eduardo Orcés P.

(7)

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• Sumando expresiones similares para (y,z) se obtiene la energía cinética T de la partícula, y se puede escribir la ecuación de Lagrange para la coordenada generalizada q1: d  ∂T  ∂T  −  = Q1 dt  ∂q1  ∂q1

(8)

• En forma general, podemos escribir ecuaciones de Lagrange para una partícula: d  ∂T  ∂T   − = Qi dt  ∂qi  ∂qi Ing. Eduardo Orcés P.

(i = 1,2 ,3 )

(9)

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las

• Para sistemas conservativos de n grados de libertad, se introduce la energía potencial V , y las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir de la siguiente forma:

d  ∂L  ∂L   − =0 dt  ∂qi  ∂qi

(i = 1,2 ,3...n)

(10)

• Donde: L = T – V = Función Lagrangiana

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• Ejemplo: Un péndulo simple formado por una masa concentrada m y un cable liviano de longitud L, está unido a un bloque sin masa el cual está restringido en su movimiento horizontal por un resorte de rigidez k. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema, usando las ecuaciones de Lagrange, y obtenga también la frecuencia para pequeñas oscilaciones del péndulo.

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Solución: Usamos las coordenadas generalizadas (x,θ ). Las energías cinética y potencial en términos de estas coordenadas son: 1 1 T = mv 2 = m(x 2 + L2θ 2 + 2 xLθ cos θ ) 2 2 1 V = kx 2 + mgL(1 − cos θ ) 2 L = T −V

Hallamos la ecuación de Lagrange para la coordenada x:

(

)

d  ∂L  d 2        cos 0 cos = m x + mL θ θ − = m x + mL θ θ − mL θ senθ   dt  ∂x  dt ∂L = 0 − kx ∂x ∴ mx + mLθ cos θ − mLθ 2 senθ + kx = 0 (A) Ing. Eduardo Orcés P.

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Para la coordenada θ:

(

)

d  ∂L  d 2  2   cos 0 = + − = θ θ θ + mLx cos θ − mLxθsenθ mL mL x mL   dt  ∂θ  dt ∂L = −mLxθsenθ − mgLsenθ ∂θ ∴ mL2θ + mLx cos θ + mgLsenθ = 0 (B) La solución de las ecuaciones simultáneas no-lineales (A) y (B) se la puede obtener numéricamente usando Matlab. Para esto, expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

mL cos θ   x  − mLθ 2 senθ + kx  m =0     +  2 mL  θ   mgLsenθ  mL cos θ Ing. Eduardo Orcés P.

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Luego, podemos definir las variables de estado.

 x  q1  θ      q2  {q} {y} =    =   =   = vector de estados  x  q3  {q} θ q4  El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir entonces en la siguiente forma:

q3  [M ]  + {F ({q}, {q})} = 0 q 4 

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• Substituyendo en el sistema original, éste se convierte en un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de 1º orden en las variables de estado, las cuales pueden ser integradas, por ejemplo, usando la función ode23 de Matlab .

q1   q  q3   2  {y} =   = q4  = { f ({q}, {q})} q3    −1 q 4  − [M ] ⋅ {F }

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Para pequeñas oscilaciones del sistema, las ecuaciones se vuelven lineales y su solución se puede encontrar de manera relativamente fácil. Haciendo sen θ ≈ θ, cos θ ≈ 1, y despreciando términos de 2º orden en los desplazamientos y velocidades, se obtiene:

m mL   x kx  1 L    +  gθ  = 0   θ    Eliminando x se obtiene la ecuación diferencial para θ (una ecuación similar se obtiene para x), la cual es la de un movimiento armónico simple con frecuencia ω:

θ +

g θ =0 ∴ ω = mg   L+  k  

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g mg L+ k 2015-I

• Ejercicio 2: En el ejemplo anterior, asuma que el bloque que se desplaza horizontalmente tiene una masa m1 y la masa concentrada en el extremo del péndulo es m2. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema mediante: (a) Las ecuaciones de Newton, (b) Las ecuaciones de Lagrange.

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Tareas  Leer

las siguientes secciones del libro de Norton: - Cap. 11, Análisis de fuerzas dinámicas, Sec. 11.10 .



Leer material sobre las ecuaciones de Lagrange en el siguiente libro, que está en el el Sidweb: o Housner / Hudson, Applied Mechanics: Dynamics, Cap.9, Secs. 9.1 a 9.3.

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