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Unidad 1 - El Concepto De Integral

Entregado por: Gonzalo José Viveros Erazo Código: 1085332899 Mario Fernando Pantoja Código: 1085304083

Presentado a: Edgar Rodrigo Enríquez Rosero

Grupo: 100411_195

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia - UNAD Escuela De Ciencias Básicas Tecnología E Ingeniería San Juan de Pasto 2 de Octubre del 2019

Introducción El presente trabajo es para dar de evidencia sobre los diferentes temas estudiados sobre la aplicación y el aprendizaje del cálculo integral aplicando el uso de las herramientas ofimáticas en el cual se establece las distintas actividades hacia el desarrollo de los diversos casos que se presentan en la vida cotidiana proponiendo sus adecuadas formulaciones que dan como resultado la solución y participación del a conocer dando sus puntos de vista.

Plan de Acción

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Grupo de ejercicios a desarrollar

Álvaro Santacruz Rendón

Compilador

El estudiante desarrolla el ejercicio A en todos los 4 Tipo de ejercicios.

Nohora Nathaly Cabrera Mera

Entregas

El estudiante desarrolla el ejercicio B en todos los 4 Tipo de ejercicios

Brayan Alexis Mesías

Alerta

El estudiante desarrolla el ejercicio C en todos los 4 Tipo de ejercicios

Mario Fernando Pantoja

Revisor

El estudiante desarrolla el ejercicio D en todos los 4 Tipo de ejercicios

Gonzalo José Viveros Erazo

Evaluador

El estudiante desarrolla el ejercicio E en todos los 4 Tipo de ejercicios

Ejercicio de Integrales Inmediatas Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 1. a. b. c. d. Ejercicio de Mario Fernando Pantoja ∫[

𝑇𝑎𝑛(𝑥) + 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥)

Simplificando el integrando se obtiene: ∫

𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠 (𝑥)

𝑆𝑒𝑛 (𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥)

+ 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫

=∫

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

1 + 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) + 𝐶𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝒕𝒂𝒏(𝒙) − 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙) + 𝑪 Derivando la solución anterior se obtiene: 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) =

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

Multiplicando numerador y denominador por Sen(x) se obtiene: 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Separando cosenos y por ley de la oreja: 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) cos(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)

+ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) =

𝒕𝒂𝒏 (𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 𝒔𝒆𝒏 (𝒙)𝐜𝐨𝐬(𝒙)

Que es el valor del integrando original.

e. Ejercicio de Gonzalo José Viveros Erazo Primero que todo realizamos una transformación en la ecuación a factores manejables convirtiéndolos en fracciones. ∫ (5

3

√𝑥2

3

∫(

− 52 ) 𝑑𝑥 = √𝑥

3

∫

𝑥

5

2 5

−∫

−

2

1 ) 𝑑𝑥 𝑥5 𝑥 Utilizamos las propiedades de la integral que aplicaríamos en la ecuación. 3 2 ∫ 2 − 1 𝑑𝑥 𝑥5 𝑥5 Cuando tenemos la ecuación de la integral indefinida, aplicamos el cálculo de la integral indefinida, utilizando las propiedades de las integrales. 3 2 ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥 𝑥5 𝑥5 Resolvemos cada integral indefinida usando cada parte de la integral y posteriormente juntamos las 2 ecuaciones al final. 2 5

𝑑𝑥 = 5 √𝑥3

2 1

5

𝑑𝑥 = −

𝑥5

5 √𝑥4

2

Cuando resolvemos cada parte de la integral agregamos la constante de integración Cϵ R 5

5

5 √𝑥3 −

5 √𝑥4

2

+ C, C ϵ R

La Suma de RIEMANN Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios

a) b) c) d) Ejercicio de Mario Fernando Pantoja:  Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 1| en el intervalo [−1, 2], en donde use una partición de n=8. Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

-

Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (8) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (16) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).



Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 8 y n=16.

Se observa que cuando se usaron 8 rectángulos se tiene un área de 1.78 𝒖𝟐 , mientras que cuando se usan 16 rectángulos, el área de la función es de 2.21 𝒖𝟐 . Ahora, al usar una cantidad infinita de rectángulos, es decir al calcular la integral en el intervalo [-1,2] se obtiene un área de 2.67𝒖𝟐 . Entonces, se concluye que al usar una mayor cantidad de rectángulos el área calculada se aproxima al valor real. e) Ejercicio de Gonzalo José Viveros Erazo i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 en el intervalo [−2,2], en donde use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f(x) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 en el intervalo [-2,2], en donde use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función f(x) en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

Solución. i. Grafica y pantallazo del problema: 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1

Grafica desde el intervalo: [−2, 2]: a 6 rectángulos

Utilizamos la función de Geogebra para realizar 6 rectángulos iguales.

∆𝑥 =

𝑏−𝑎 𝑛

∆𝑥 =

𝑏 − 𝑎 2 − (−2) 4 = = = 0,66 𝑛 6 6

∆𝑥 = 0.66 Formula a manejar 𝑥2 = 𝑎 + 1 ∗ (∆𝑥) → 𝑥6 = 𝑎 + 5 ∗ (∆𝑥) 𝑥1 = −2 𝑥2 = −2 + 1 ∗ 0,66 = −1,34 𝑥3 = −2 + 2 ∗ 0,66 = −0,68 𝑥4 = −2 + 3 ∗ 0,66 = −0,02 𝑥5 = −2 + 4 ∗ 0,66 = 0,64 𝑥6 = −2 + 5 ∗ 0,66 = 1,30

6

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(−2)0,66 + 𝑓(−1,34)0,66 + 𝑓(−0,68)0,66 + 𝑓(−0,02)0,66 𝑖=1

+ 𝑓(0,64)0,66 + 𝑓(1,30)0,66

Se realiza la evaluación en la función 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) y se obtiene los siguientes datos: 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−2) = −𝑆𝑒𝑛(2) = −0,91 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−1,34) = −𝑆𝑒𝑛(1,34) = −0,97 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−0,68) = −𝑆𝑒𝑛(0,68) = −0,63 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−0,02) = −𝑆𝑒𝑛(0,02) = −0,02 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(0,64) = 0,60 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(1,30) = 0,96 6

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(−0,91)0,66 + 𝑓(−0,97)0,66 + 𝑓(−0,63)0,66 + 𝑓(−0,02)0,66 𝑖=1

+ 𝑓(0,60)0,66 + 𝑓(0,96)0,66 = −0,97

ii.

Gráfica y pantallazo del problema: 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1

Grafica desde el intervalo: [−2, 2]: a 12 rectángulos

Utilizamos la función de Geogebra para realizar 12 rectángulos iguales.

𝑏−𝑎 𝑛 𝑏 − 𝑎 2 − (−2) 4 ∆𝑥 = = = = 0,33 𝑛 12 12 ∆𝑥 = 0.07 ∆𝑥 =

Formula a manejar 𝑥2 = 𝑎 + 1 ∗ (∆𝑥) → 𝑥12 = 𝑎 + 11 ∗ (∆𝑥) 𝑥1 = −2 𝑥2 = −2 + 1 ∗ 0,33 = −1,67 𝑥3 = −2 + 2 ∗ 0,33 = −1,34 𝑥4 = −2 + 3 ∗ 0,33 = −1,01 𝑥5 = −2 + 4 ∗ 0,33 = −0,68 𝑥6 = −2 + 5 ∗ 0,33 = −0,35 𝑥7 = −2 + 6 ∗ 0,33 = −0,02 𝑥8 = −2 + 7 ∗ 0,33 = 0,31 𝑥9 = −2 + 8 ∗ 0,33 = 0,64 𝑥10 = −2 + 9 ∗ 0,33 = 0,97

𝑥11 = −2 + 10 ∗ 0,33 = 1,3 𝑥12 = −2 + 11 ∗ 0,33 = 1,63

12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(−2)0,33 + 𝑓(−1,67)0,33 + 𝑓(−1,34)0,33 + 𝑓(−1,01)0,33 𝑖=1

+ 𝑓(−0,68)0,33 + 𝑓(−0,35)0,33 + 𝑓(−0,02)0,33 + 𝑓(0,31)0,33 + 𝑓(0,64)0,33 + 𝑓(0,97)0,33 + 𝑓(1,30)0,33 + 𝑓(1,63)0,33 Se realiza la evaluación en la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 y se obtiene los siguientes datos: 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−2) = −0,91 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−1,67) = −0,99 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−1,34) = −0,97 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−1,01) = −0,85 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−0,68) = −0,63 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−0,35) = −0,34 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(−0,02) = −0,02 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(0,31) = 0,31 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(0,64) = 0,60 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(0,97) = 0,82 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(1,30) = 0,96 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(1,63) = 1,00 12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(−0,91)0,33 + 𝑓(−0,99)0,33 + 𝑓(−0,97)0,33 + 𝑓(−0,85)0,33 𝑖=1

+ 𝑓(−0,63)0,33 + 𝑓(−0,34)0,33 + 𝑓(−0,02)0,33 + 𝑓(0,31)0,33 + 𝑓(0,60)0,33 + 𝑓(0,82)0,33 + 𝑓(0,96)0,33 + 𝑓(1,00)0,33 = −1,02

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

n=6 6

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(−0,91)0,66 + 𝑓(−0,97)0,66 + 𝑓(−0,63)0,66 + 𝑓(−0,02)0,66 𝑖=1

+ 𝑓(0,60)0,66 + 𝑓(0,96)0,66 = −0,97

n = 12 12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(−0,91)0,33 + 𝑓(−0,99)0,33 + 𝑓(−0,97)0,33 + 𝑓(−0,85)0,33 𝑖=1

+ 𝑓(−0,63)0,33 + 𝑓(−0,34)0,33 + 𝑓(−0,02)0,33 + 𝑓(0,31)0,33 + 𝑓(0,60)0,33 + 𝑓(0,82)0,33 + 𝑓(0,96)0,33 + 𝑓(1,00)0,33 = −1,02

•

Teorema de Integración Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 3.

a) b) c) d) Ejercicio de Mario Fernando Pantoja

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′(𝑥) de las siguientes funciones:

𝑥

1 𝑑𝑡 2 1/𝑥 1 − 𝑡

𝐹(𝑥) = ∫

Se sabe que por el primer teorema fundamental del cálculo integral: 𝒖(𝒙) 𝒅 𝒅𝒖 𝒅𝒗 [∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕] = 𝒇(𝒖) − 𝒇(𝒗) 𝒅𝒙 𝒗(𝒙) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

(𝟏)

Con 𝑢(𝑥) = 𝑥, 𝑣(𝑥) =

1 1 , 𝑓(𝑡) = 𝑥 1 − 𝑡2

Entonces, derivando la función integral y sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene: 𝐹 ′ (𝑥) = 𝐹

′ (𝑥)

1 1 (1) − 2 1−𝑥 1−

1 𝑥2

(−

1 ) 𝑥2

1 1 1 1 1 𝑥2 = + = + 1 − 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 −1 1 − 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 − 1 𝑥2

1 1 1 1 𝐹´(𝑥) = + = − =𝟎 1 − 𝑥2 𝑥2 − 1 1 − 𝑥2 1 − 𝑥2

e) Ejercicio de Gonzalo José Viveros Erazo 2√𝑥

𝐹(𝑥) = ∫

(2 + 𝑡) 𝑑𝑡

√𝑥

Resolvemos este ejercicio: 2√𝑥

𝐹(𝑥) = ∫

(2 + 𝑡) 𝑑𝑡

√𝑥

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado 2√𝑥

∫

2√𝑥

2 𝑑𝑡 + ∫

√𝑥

𝑡 𝑑𝑡

√𝑥

Para Calcular la integral definida, primero debemos calcular la integral indefinida. ∫ 2 + 𝑡 𝑑𝑡 Calculamos la integral indefinida 𝑡2 ∫ 2 + 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑡 + 2 Calculamos la integral definida, donde se sustituya cada límite de la integración 𝑡2 𝑡 2 2√𝑥 2𝑡 + = (2𝑡 + ) | 2 2 √𝑥 Calculamos la expresión 2

2

𝑡2 2 𝑥 (2√𝑥) √𝑥 (2𝑡 + ) | √ = 2 ∗ 2√𝑥 + − (2√𝑥 + ) 2 2 2 √𝑥 Simplificamos la Expresión 2

2

(2√𝑥) 3 √𝑥 2 ∗ 2√𝑥 + − (2√𝑥 + ) = 2√𝑥 + 𝑥 2 2 2

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Integral definida Desarrollo de los ejercicios a, b, c, d y e del Tipo de ejercicios 4.

a) b) c) d) Ejercicio de Mario Fernando Pantoja

5

∫ ( 1

2𝑡 2 + 𝑡 2 √𝑡 − 1 ) 𝑑𝑡 𝑡2

Separando el integrando se obtiene: 5

5 5 1 2𝑡 2 𝑡 2 √𝑡 1 −2 ∫ ( 2 + 2 − 2 ) 𝑑𝑡 = ∫ 2 + √𝑡 − 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 2 + 𝑡 2 − 𝑡 −2 𝑑𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 1 1 1

Integrando se obtiene: 2 3 1 2 3 1 2 3 51 2 11 (2𝑡 + 𝑡 2 + )15 = [2(5) + 52 + ] − [2(1) + 12 + 1] = + (11.18) − 3 𝑡 3 5 3 5 3 3 = 𝟏𝟑. 𝟗𝟖𝟔𝟔𝟔

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica.

e) Ejercicio de Gonzalo José Viveros Erazo. Calcular la siguiente integral definida:

𝜋

∫ ( 0

𝑐𝑜𝑠𝑐(𝑥) ) 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)

Siga los siguientes pasos: -

Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. Tome un pantallazo de la gráfica. Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida. 𝑐𝑜𝑠𝑐(𝑥)

Función 1+𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)

Puntos 𝐴 = (0,0) Y 𝐵 = (𝜋, 0)

Intervalos (0, 𝜋)

8. Tabla links videos explicativos. Nombre Ejercicios Link video explicativo Estudiante sustentados

Mario Fernando Pantoja Gonzalo José Viveros Erazo

Punto 4 – https://youtu.be/lxhZYdZAI4U Ejercicio D

CONCLUSIONES 

El desarrollo de todos los ejercicios ayuda en fortalecer el conocimiento de manera creativa e innovada utilizando las herramientas ofimáticas donde se aplica el uso de Word y el uso de fórmulas a través de ecuaciones y símbolos en el cual se está aplicando el trabajo individual y colaborativo ya que se juega el papel fundamental para la corrección, realización de aportes y publicación del trabajo final.



Fortalece el aprendizaje utilizando nuevas estrategias de aprendizaje, aplicándolas en el desarrollo de ejercicios que se presentan en las carreras profesionales de los ingenieros de sistemas o en otras carreras relacionadas al cálculo o calculo integral, donde apliquemos las matemáticas, el razonamiento y la solución de problemáticas.

Referencias Bibliográficas 

Geogebra, (2019). Referencia tomada de: https://www.geogebra.org/

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Ortiz, F (2015). Cálculo diferencial (2a. ed.) Grupo editorial patria. (pp. 121-128). Referencia recuperado de: https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=5&docID=4569 616&tm=1538439310132

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García, G. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Editorial Instituto Politécnico Nacional. (pp. 109-125). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live

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Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live

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Sumas de Riemann. Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Recuperado de: https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=3227 578&tm=1536935311791

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Teoremas de integración. Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53). Recuperado de: :http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?di rect=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live

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La integral definida. Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?dir ect=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live