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• Zhantiago Urbinoski

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‖𝑐(𝑡)‖ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑡)2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑡)2

Operando: ‖𝑐(𝑡)‖ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (cos 2 𝑡 + sin2 𝑡)

Pero sin2 𝑡 + cos 2 𝑡 = 1: ‖𝑐(𝑡)‖ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 Se cancela la raíz cuadrado con la potencia 2: ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡

Derivamos las componentes de la ecuacion paramétrica: 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑡 − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑡)𝒊 + (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑡 + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑡)𝒋

Sacamos factor común:

𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡)) 𝒊 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡)) 𝒋

La velocidad de la curva está está dada por lo hallado en el numeral 2: 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡)) 𝒊 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡)) 𝒋 La rapidez es la magnitud de la velocidad:

2

2

𝑠(𝑡) = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡)) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡))

𝑠(𝑡) = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡)2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡)2

𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √(𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡)2 + (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡)2 Expandiendo: 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 cos2 𝑡 − 2𝑏 sin 𝑡 cos 𝑡 + sin2 𝑡 + 𝑏 2 sin2 𝑡 + 2𝑏 sin 𝑡 cos 𝑡 + cos 2 𝑡

𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 cos 2 𝑡 + sin2 𝑡 + 𝑏 2 sin2 𝑡 + cos2 𝑡

𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 (cos2 𝑡 + sin2 𝑡) + sin2 𝑡 + cos2 𝑡

𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1

Por la definición del producto punto entre dos vectores: 𝑐(𝑡) ∙ 𝑐 ′ (𝑡) = ‖𝑐(𝑡)‖‖𝑐 ′ (𝑡)‖ cos 𝛼

Despejamos el angulo alfa: cos 𝛼 =

𝑐(𝑡) ∙ 𝑐 ′ (𝑡) ‖𝑐(𝑡)‖‖𝑐 ′ (𝑡)‖

𝛼 = cos −1 (

𝛼 = cos

−1

𝑐(𝑡) ∙ 𝑐 ′ (𝑡) ) ‖𝑐(𝑡)‖‖𝑐 ′ (𝑡)‖

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑡 , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑡) ∙ (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡), 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡)) ( ) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 + 1)

2

𝛼 = cos

−1

(𝑎𝑒 𝑏𝑡 ) (cos 𝑡 , sin 𝑡) ∙ ((𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡), (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡)) ( ) 𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏2 + 1)

𝛼 = cos −1 (

𝛼 = cos

(cos 𝑡 , sin 𝑡) ∙ ((𝑏 cos 𝑡 − sin 𝑡), (𝑏 sin 𝑡 + cos 𝑡))

−1

(√𝑏 2 + 1)

(

𝑏 cos2 𝑡 − sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑏 sin2 𝑡 + sin 𝑡 cos 𝑡 (√𝑏 2 + 1)

𝛼 = cos −1 (

𝑏(cos2 𝑡 + sin2 𝑡) ) (√𝑏 2 + 1)

𝑏 𝛼 = cos −1 ( ) 2 √𝑏 + 1

Si 𝑏 → 0 entonces: 0 𝜋 𝛼 = cos −1 ( ) = cos −1 (0) = 1 2

)

)

La línea radial:

‖𝑐 (𝑡 )‖ = 𝑎𝑒 (0)𝑡 = 𝑎

La línea tangencial:

𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒 (0)𝑡 √(0)2 + 1

𝑠 (𝑡 ) = 𝑎

Angulo: lim 𝛼 = lim cos−1 (

𝑏→∞

𝑏→∞

𝑏 √𝑏 2 + 1

𝑏

= cos−1 ( lim

𝑏→∞ √𝑏 2

= cos−1

lim

+1

)

1

𝑏→∞ √𝑏 2

( = cos−1

lim

𝑏→∞

(

= cos−1

lim

𝑏→∞

(

= cos−1 (

+1 √𝑏2 ) 1

2 1 √𝑏 + 𝑏2 )

1 √1 + 12 𝑏 )

1 √1 + 0

)

)

= cos−1(1)

=0

Es decir que 𝛼 → 0 Línea radial: lim ‖𝑐(𝑡)‖ = lim 𝑎𝑒 𝑏𝑡 = ∞

𝑏→∞

𝑏→∞

Es decir que ‖𝑐(𝑡)‖ → ∞ Línea tangencial: lim 𝑠(𝑡) = lim 𝑎𝑒 𝑏𝑡 √𝑏 2 + 1 = ∞

𝑏→∞

𝑏→∞

Es decir que 𝑠(𝑡) → ∞

El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira mirabilis «la espiral maravillosa». Bernoulli escogió la figura de la espiral logarítmica como emblema y el epitafio en latín Eadem mutata resurgo ("Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo") para su tumba; contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en el crecimiento de su radio), la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes. Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto. Fuente: la wikipedia