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• Herberth Pinto

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ARITMETICA A RITMtTICA

NQCIQNES DE TEORIA TEQRIA NOCIONES CQNJUNTQS DE CONJUNTOS

BREVE HISTORIA DE GEORG FERDINAND FERDlNAND LUDWIG PHILIPP PHILlPP CANTOR

Los Los primeros primeros estudios esrudios de Cantor fueron fu eron semejantes sem ejantes aa los matemá ticos eminenem inenlos de de la la mayor m ayor parte parte de los los matematicos tes. interés absorbente absorbente por por los los tes. Su gran talento talento yy su interes estudios estudios matematicos matem á ticos fueron fueron reconocidos reconocidos precozprecozmente (antes de de cumplir cumplir los los 15 15 anos). años) . mente (antes Su Su primera primer a educacion educ ación fue fue confiada confiada aa un un preceptor preceptor particular, particular, yy despues después siguio siguió un un curso curso en en la la escuela escuela elemental San Petersburgo. Petersburgo. elemental de de San Cuando Cuando la la familia familia se s e traslado trasladó aa Alemania, Alem ania, Cantor Cantor asistio asistió aa algunas algunas escuelas escuelas privadas privadas de de Francfort Francfort yy de de Damstadt, ingresando luego luego en en ellnstituto el Instituto de de WiesWiesDamstadt, ingresando baden tenía 15 15 anos. años. haden en en 1860, 1860, cuando cuando tenia

Con Kummer Kurnmer yy Kronecker Kronecker en Berlin, Berltn , la la atmosfera atmós fera matemática estaba estaba altamente altamente cargada cargada de de Aritmetica. Aritm ética. matematica Cantor Cantor hizo hizo un un profundo profundo estudio estudio de de las las "Disquisi"Disquisiciones de Gauss, Gauss, yy en en 1867 1867 escribio, escribió, cione.s Arithmeticae" Arithmeticae" de disenación , que que fue fu e aceptada aceptada para para aspirar aspirar al al titulo titulo su disertacion, Doctor yy verso versó sobre sobre un un punto punto dificil dificil que que Gauss Gauss de Doctor un lado, lado, respecto respecto aa la la solucion solución en en minúdejado aa un habia dejado enteros x, x, y,y, zz de de la la ecuacion ecuación deterrninada detenninada sisimeros enteros meros guiente: guiente:

GX

2 CZ2 = = 0O I y2 ++ CZ I ax22 ++ bby2

donde a,a, b, b, cc son son mimeros números enteros. enteros. Era Era un un excelente excelente donde trabajo, pero pero puede puede afirrnarse afirmarse que que ninglin ningún matematimatemátitrabajo, que 10 lo leyera leyera podria podrta vaticinar vaticinar que que el el autor, autor, de de 22 22 co que co llegarta aa ser ser uno uno de de los los mas más originales originales creadocreadoaños, llegaria anos, de la la matematica. matemática. No No hay hay duda duda de de res de de la la historia his toria de res que el el talento talento se se refleja refleja en en este este primer primer ensayo ensayo pero pero que

-- 11 11 --

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w

w

w

.L I

B R

El padre habia habla nacido en Copenhague, Copenhague. Dinamarca, pero emigr6 emigró siendo joven a San Petersburgo, Rusia, claude donde nacio nació el matematico matemático Georg Cantor, Can tor, el 3 de marzo de 1845. Una enfennedad pulmonar fue causa de que el padre se trasladara, rrasladara, en 1856, l SS6, a Francfort, Frnncfon, Alemania, Alemania , claude donde vivi6 vivió en un comado cómodo retiro hasta has ta su mueIte, muerte, en 1863. 1863, Debido aa esta curiosa curiosa mezcla de nacionalidades, diversos paises países reclaman aa Cantor Ca ntor como hijo. hij o. Cantor se inclino inclinó hacia Alemania, Alem ania, pero per o no puede puede decirse que que Alemania Ie le haya acogido acogido liUy muy cordiahnente.

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og

O SP

D

de Marta Maria Bohm. Bohm.

Dividió su interes inter és entre las dos primeras, primer as, y jamas jamás tuDividio vo una verdadera aficion afición por la Fisica. En MatematiMatemátifu eron: Kummer, Kummer, Weierstrass Wciers trass y su ca, sus profesores fueron: Kronecker. Siguiendo la costumbre futuro enemigo, Kronecker. pasó breve breve tiempo en otra universiuniversialemana, Cantor paso alemana, de esta manera, maner a, curso cursó el semestre semestre de de 1866 1866 en dad y, de Gottingen. Gottingen .

F1 .b l

,pescendiente pescendiente de judios, jumos, Georg Cantor fue fu e hijo hij o mayor del prospera prósp ero comerciante Georg Waldemar Cantor y

sp o

t.c

om

Comenzó Zurich, en Comenzo sus estudios universitarios en Zurich, año, despues después de la muerte muen e de 1862, pero al siguiente ano, su padre, paso pasó ala a la Universidad de &ilin. Berlín . En &rlin Berlín Fisica. se esp ecializó en Matematica, Matem ática, Filosofia yy Fisica. especializo

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,

estudio de los infinitos, par parte de Cantor, fue considerado por Kronecker como una locura matematica. Creyendo que la matematica seria llevada al manicomio bajo la direccion de Cantor, Kronecker 10 ataco vigorosamente con todas las armas que tuvo en su mano, con el tragico resultado de que no fue la teo ria de conjuntos la que cayo en el manicomio, sino el propio Cantor.

Eran excelentes pero padrian haber sido hechas por cualquier hombre brillante que hubiera comprendido totalmente, como Cantor 10 hizo, el concepto de las demostraciones rigurosas de Gauss y Weierstrass.

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no se ve el genio. No hay un solo indicio de gran creador en esta disertacion, rigurosamente clasica. Lo mismo puede decirse de todas las obras publicadas par Cantor antes de los 29 afios.

£1 murio en Halle, el6 de enero de 1918, a los 73 afios de edad. Ya Ie habia sido concedidos multiples honores y tambien su obra habia logrado ser reconocida.

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w

w

w

.L

IB

R

O

SP

D

F1

.b

lo

gs po

t.c

om

En 1874, aparecio el primer trabajo revolucionario de Cantor, sobre la TEORIA DE CONJUNTOS. EI

- 12 -

ARITMETICA

SE LEE

aEA

El elemento a "pertenece" al conjunto A

a$A

El elemento a "no pertenece" al canjunto A SE LEE

ISIMBOLO I

Canjunto Vacio

A=B

El conjunto A es "igual" al conjunto B

3x!

"Existe un x y s610 un x" (Cuantificador de unidad)

A"B

El conjunto A es "diferente" al conjunto B

3,1'1

"Existe", "No existe"

BCA

El conjunto B "esta incluido" en el conjunto A El conjunto B "esta incluido estrictamente" en

"lmplica que", "Entonces si", "Es suficiente para", etc.

t.c

om

=>

el canjunto A

BttA

El conjunto B "no esta incluido" mel conjunto A

A:JB

El conjunto A "incluye" al conjunto B

AUB

A "union" B (Reunion de dos conjuntos)

AnB

A "intersecci6n" B (Intersecci6n de dos canjuntos)

"Sf Y5610 si" (Doble imphcaci6n)

F1 .b l

og

~

sp o

B~A

"Cardinal del conjunto A "6" Ntimero de elementos del conjunto A"

n(A)

I

Conjunto de las partes del conjunto A

peA)

Potencia del conjunto A

AIIB

El conjunto A"es coordinable con" el conjunto B

w

w

w

.L I

B R

O SP

D

'lP(A)

/

"Tal que"

1\

"y" (Canectiva 16gica de canjunci6n)

-

"Es coormnable"

V

"0"

+

"No es coordinable"

fI.

"0 ...

IJ

"Canjunta Universal"

Afl.B

"Diferencia simetrica" de los canjuntos A y B

AxB

"Producta cartesiana" de los canjuntos A y B

Vx

"Para tada x" (Cuantificadar Universal)

3x

"Existe x" (Cuantificador existencial)

Ii, C A


»

- 13 -

(Canectiva 16gica de disyunci6n inclusiva)

a ... " (Canectiva 16gica de disyunci6n exclusiva)

"Camplemmta del canjunto A can respecta al canjunto universal U "Es menar que" "Es mucha menar que" "Es mayor que" "Es mucha mayor que"

:5

"Es menar a igual que"

'"

"Es mayor a igual que"

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0

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ISIMBOLO I

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SIMBOLOGIA Y TERMINOLOGIA

CONJUNTOS NUMERICOS

=

I\j

={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... j

iZ

=

0, el mimero es

• Si a = 0 y b ~ 0, el numero es imaginario puro.

conjunto de los numeros naturales.

Ejemplo:

5 + 2i . 1..-

conjunto de los numeros enteros.

9

.1..-. 2

8;

-{7; -2-Y3

Z ={ ... , -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4, ... j

iZ*= conjunto de los numeros enteros no nulos. Z*={ ... , -3, -2, -1,1,2,3, ... j

DIAGRAMA DE CONjUNTOS NUMERlCOS

E Z

1\

b EZ

b .. OJ

1\

og

sp o

b

t.c

iQ ={x/x=-"-;a

om

Q = conjunto de los mimeros racionales.

.2..._JL

~ = {

D B R

conjunto de los numeros irracionales

.L I

~ =

-43

3

O SP

7

F1 .b l

Ejemplos:

w

w

w

x / x es un numero no racional}

{numeros decimles ilimitados no peri6dicos}

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~ =

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N

~

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• Si a = 0 y b complejo real.

A 10 largo del tiempo, el hombre ha inventado conjuntos de numeros que Ie han permitido realizar diferentes operaciones (suma, resta, multiplicacion, division, potenciacion, etc.) y resolver diferentes problemas. Estos conjuntos son:

Ejemplos:

-{2;

-Y3; \17;

n ; e

[R. = conjunto de los mimeros reales. G;£ = {xix E iQ v x E

n

Ejemplos:

5 .2. _C-.r.:7 '3' -7;~3 ;-5~1l C

=

conjunto de los mimeros complejos.

c

=

{x / x

=

a + bi donde a E R, b E

R

=

.y::l}

A

i

- 14 -

ARITMETICA

Se lee: "V es el conjunto de los elementos x, tal que x es una vocal".

CONJUNTOS La noci6n simple de una colecci6n 0 conjunto de objetos es fundamental en la estructura basica de la matematica. Fue Georg Cantor, por los afios de 1870, quien primero llam6 la atenci6n de los matematicos a este respecto.

Conjunto Finito: Aquel conjunto que calista de cierto numero de elementos distintos cuyo proceso de con teo tiene termino. Ejemplo: =

es un rio del Peru}

Que se lee como: "M es el conjunto de los x, tal que x es un rio del Peru". M es un conjunto finito porque sf es posible contar todos los rios del Peru.

1) Los alumnos de un aula 2) Las 5 vacales 3) Los numeros impares

Conjunto Infinito: Un conjunto es infinito cuando el

4) Tu lapicero, este libra, un cuaderno

numero de sus elementos es infinito. Su proceso de con teo nunca acaba.

om

Los conjuntos se denota con letras mayusculas: A, B, C, ... ; mientras que los elementos del conjunto, con letras minusculas: a, b, c, ... , encerrados dentro de llaves: { }

=

una estrella en el cielo}

og

sp o

t.c

B = {y/y

=

{a, b, c, d, e}

O SP

D

A

Que se lee como: "B es el conjunto de las y, tal que y es una estrella en el cielo". B es un conjunto infinito porque el mimero de estrellas en el cielo no se termina nunca de contar, es infinito.

F1 .b l

Ejemplo:

.L I

B R

Que se lee: "A es un conjunto cuyos elementos son a, b, c, d, e".

NOCION DE PERTENENCIA

I.

Por extension

forma constmctiva.

0

w

w

w

FORMAS DE EXPRESAR UN CON/UNTO

Se dec lara individualmente todos los elementos del conjunto.

Ejemplos: A

=

{a, b, c, d}

M

=

{2; 4; 6; 8}

II. Por comprensi6n

0

forma simb6lica.

Cada uno de los elementos de un conjunto pertenece a dicho conjunto. Para indicar la pertenencia del elemento al conjunto se usa el sfmbolo "E" que se lee "pertenece". Para indicar que un elemento no pertenece al conjunto se usa el sfmbolo "ft." que se lee "no pertenece" . Ejemplos: Sean los conjuntos siguientes:

Se declara una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

x

=

{x, y, u, w}

x E X; se lee: "x pertenece al conjunto X"

Ejemplo:

v=

{las vocales}

m

En esta expresi6n se comprende que es un conjunto cuyos elementos son todas las vacales. Este mismo ejemplo se puede escribir asi:

v=

{xix es una vocal}

X; se lee: "m no pertenece al conjunto X" A

=

{conjunto de mimeros pares}

2 E A; se lee: "2 pertenece al conjunto A" 5

- 15 -

ft.

ft. A;

se lee: "5 no pertenece al conjunto A"

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M = {xix

Son ejemplos de conjuntos:

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Se entiende por "conjunto" la reunion, agrupaci6n 0 colecci6n de objetos 0 entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sf, a los que se denomina "elementos".

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CON/UNTOS FINITOS E INFINITOS

IGUALDAD DE CON/UNTOS

ii) B = { x / 3x = 12 } = { 4 }

Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, aunque no esten dispuestos en el mismo orden.

iii) C = { x / 5x + 4 = 9 } = { 1 } iv) D =

{

mimeros impares entre 1 y 5 } = {3 }

entonces: A

=

Es el conjunto que contiene a todos los elementos de otros conjuntos. Se llama tambien conjunto referencial. Se denota usualmente con la letra "IU".

B = {m, a, q, r}

B

Ejemplos:

Se lee: "El conjunto A es igual al conjunto B".

i) C

=

{todos los numeros}

CONIUNTOS DISIUNTOS

Este es un conjunto universal porque contiene todos los numeros de los conjuntos lR., Q, iZ, N, ~, -2, 1m, -GlI y C.

Conjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGUN elemento comun entre ellos. Ejemplos:

ii) Sean los conjuntos universales: a, b, c} Y B =

= {

{

3, 8, 10 }

A = {Los Incas del Peru}

A Y B son disjuntos, porque no tienen ningun elemento en comun.

{Los ingenieros que trabajan en Lima}

t.c sp o C

0, p, q, r } y T = { s, t, u, r}

O SP

D

My T no son disjuntos, porque tienen el elemento comun "r".

=

{Los presidentes de los paises del mundo}

A su vez, el conjunto universal de estos conjuntos es: IU

= {

personas}

B R

iii) Sean los conjuntos:

.L I

CON/UNTO VAdo

=

og

= {

F1 .b l

ii) M

B

om

i) A

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A = {a, m, r, q};

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CONIUNTO UNIVERSAL

Ejemplos:

w

A = {a, e}

w

Es un conjunto que carece de elementos. Tambien, se llama conjunto uuIo. Se Ie denota por el simbolo 0.

w

B

=

{a, i, u}

C = {a, e, o} =0>

Se lee: "A es un conjunto vacio junto nuIo".

"0"

lJ

=

{vocales}

0

lJ

=

{a, e, i,

0,

iv) Si el universo es el colegio San Jose, lcuales sedan los conjuntos que lo forman?

Ejemplos: i) A = {mujeres mayores de 4DO afios}

A = {alumnos}

=0

B = {profesores}

ii) B = {xix = presidentes vivos del siglo XIX} = 0 iii) C = { y/y = 8

A

u}

A es un con-

C = {carpetas}

Y = impar } = 0

=0>

lJ

=

{colegio San Jose}

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A=06A={}

CONIUNTO UNITARIO 0 SINGLETON

SUBCON/UNTO

Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Es aquel conjunto incluido en otro. De esta manera, si todos los elementos del conjunto A estan incluidos en el conjunto B, entonces A es un subconjunto de B. Se denota con el simbolo "e", que se lee: "esta incluido en".

Ejemplos:

i)

A = {Los dfas de la semana cuyo nombre empieza con L}

= {

Lunes }

- 16 -

ARITMETICA

Ejemplo:

Es aquel conjunto integrado por la totalidad de subconjuntos que se puede formar a partir de un conjunto dado. Se denota qp (A) Y se lee: "conjunto de partes de A".

entonces: A C B Se lee: "A esta incluido en B" 6

"A es un subconjunto de B".

Ejemplo:

Alternativamente, en lugar de escribir A C B, que indica que A esta incluido en B, se puede escribir:

B ::J A, que se lee:

Sea el conjunto:

"B incluye a A"

A

Tambien puede escribirse: B = { A, u, w}. Como se ve, el conjunto A esta incluido en el conjunto B.

a, b, c }

Los subconjuntos de A que se puede formar son:

Pera, si A no esti incluido totalmente en B, A no es un subconjunto de B, 10 eual se denota asi: A B, Y se lee: "A no esti incluido en B" 6 "A no es un 5ubconjunto de B".

0; {a}; {b}; {e}; {a, b}; {a, e}; {b, e} y {a, b, e}

et

Por consiguiente el conjunto de partes del conjunto A se denota:

Ejemplo:

om

'!P CA)= {0,{a},{b},{e},{a, c},{b, e}, {a,b},{a,b,e}}

t.c

A = {I, 2, 3, 4}; B = {3, 4,5, 6}

sp o

et B

CON/UNTO POTENCIA "P(A)"

F1 .b l

og

entonces A

= {

~

B C A

A

A C B.

2)

w

w

w

.L I

B R

Es decir, los conjuntos A y B son iguales si y solamente si B esta incluido en A y A esta incluido en B.

O SP

B

=

El conjunto patencia de un conjunto A esta formado par la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. Tienen la misma connotaci6n del conjunto de conjuntos. Por 10 tanto, el conjunto potencia es el numero de subconjuntos que se puede formar con elementos del conjunto, incluyendo el vacio. Se calcula y se denota asi:

D

NOTA: 1) Si A

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B = { x, y, z, u, w }

El conjunto vacio "0" se considera sub conjunto de todo conjunto.

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A = { x, y, z };

CON/UNTO DE CON/UNTOS 0 CON/UNTO DE PARTES

Donde: n

=

numero de elementos del conjunto A, o "cardinal el conjunto A".

Ejemplo:

SUBCON/UNTO PROPIO

Calcular el numero de subconjuntos 0 conjunto potencia del conjunto A, del ejemplo anterior.

Dado A C B, entonces el subconjunto A es sub conjunto propio del conjunto B, si por 10 menos un elemento del conjunto B no es elemento del conjunto A. Pero si todos los elementos de A son iguales a los elementos de B, ya no es un subconjunto, en este caso los conjuntos son iguales.

A Aqui: n

=

= {

a, b, c }

3; por consiguiente:

peA)

=

23 = 8

Ejemplo: A = { p, q, r }

B

= { m, n, 0,

~

p, q, r, s }

A es subconjunto propio de B.

Efectivamente, el numero de conjuntos que se puede formar con los elementos que tiene el conjunto de conjuntos de A es 8. 0, el numero de subconjuntos de A es 8. 0, el conjunto potencia de A es 8. 0, el cardinal de '!P(A) es 8.

- 17 -

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peA) = 2"

3) SiA no es subconjunto de B (A rt. B) entonces hay por 10 menos un elemento de A que no pertenece a B.

"A Y B son conjuntos disjuntos. C no esti incluido en D".

D1AGRAMACION DE CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN

DIAGRAMAS LINEALES

B

El conjunto Universo es representado por un rectingulo, y contiene los conjuntos, representados a su vez por circulos 0 elipses. Opcionalmente, puede indicarse 0 representarse los elementos del conjunto.

A ACB

Ejemplos: "A esta incluido en B"

i) Representaci6n del conjunto A = { a, b, c }, mediante un Diagrama de Venn:

i) Sean los conjuntos:

om

IJ

A={x,y}

B = {a, b, c} C= {a, b, c, x, y}

.L I

B R

O SP

D

F1 .b l

og

sp o

t.c

IJ

Ejemplos:

w

ii) La inclusion del conjunto A en el conjunto B:

C

A

w

A ACC

w

IJ

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Es otra manera uti! de presentar relaciones entre conjuntos. Si A C B, se ubica a B rruis arriba que A; unidos ambos por un segmento.

B BCC

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Para un mejor entendimiento de la teo ria de conjuntos, especialmente para relacionar los conjuntos y sus elementos de una manera fiUy sencilla se usa diagramas pIanos para representar conjuntos. Los diagramas son una poderosa herramienta para resolver problemas. Se les llama Diagramas de Venn en honor a su creador.

A = {a}

B={a,b} C={a,b,c} "A esta incluida en B" 6 "A es un subconjunto de B". En este caso, A es subconjunto propio de B.

D= {a, b, d)

iii) La no inclusion de un conjunto en otro:

IJ

IJ

00 CQj A (t B

A

C(tD

ACB;BCC;BCD

- 18 -

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ii) Trazar el diagrama de inclusion lineal de A, B, CyD.

ARITMETICA

iii) Si: M

OPERACIONES CON CONJUNTOS

{a, b, x, q} Y N

=

=

{x, q, m, n};

M U N = {a, b, x, q, m, n}

Mientras que en aritmetica se realiza operaciones de suma, resta y multiplicaci6n, en el caso de conjuntos se realiza operaciones de union intersecci6n y diferencia de conjuntos, con un comportamiento similar al de la aritmetica.

UNION 0 REUNION DE CONIUNTOS

iv) Si: H

=

y Q

{a, b, r, s}

=

{r, s};

H U Q = {a, b, r, s} = H

Simb6licamente se escribe asi:

IJ

A U B = {xix E A v x E B}

H

a

Que se lee asi: "A union B es igual al conjunto de los x tal que x pertenece a A 0 x pertenece a B".

om sp o og

HUQ

F1 .b l

recomen-

s

O SP

D UNION DE VARIOS CONIUNTOS

B R

Ejemplos:

.L I

i) Hallar A U B, si:

w

v) Si A C

w

Y B={4,5,6};

= =

{a, b, c, d}; B = {c, d, m, n} y {a, q, r):

w

A={l,2,3,4}

AU B U C = {a, b, c, d, m, n, q, r)

Soluci6n: A U B = {l, 2, 3, 4, 5, 6}

IJ

NOTA:

B m

En la union de conjuntos no se repite los elementos que pertenecen a ambos conjuntos; en este caso, e14.

A

C

b

d

a

ii) Si: A

=

{a, b, c, d} y B = {m, n};

q

entonces: A U B = {a, b, c, d, m, n}

IJ

r

AUBUC

PROPIEDADES DE LA UNION DE CONIUNTOS I) La union de conjuntos es conmutativa.- Es decir, el orden de los conjuntos no altera la union.

AU B

AUB=BUA

- 19 -

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fiUy

r

t.c

La union de conjuntos se puede escribir tambien como A + By se llama suma de conjuntos. Para la soluci6n de problemas es dable el diagrama de Venn.

b

Q

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La union 0 reunion de dos conjuntos A y B es el conjunto farmada por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto Boa ambos conjuntos. El simbolo de la union es "U" y se lee "union" 0 "reunion". Se denota A U B.

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IJ

II) La union de conjuntos es asociativa.- Si son rruis de dos conjuntos los que se unen, pueden asociarse de manera libre, asi:

La intersecci6n se puede denotar tambien como: AB

Ejemplo:

A={l,2,3,4} Y B={3,4,5} Al resolver una asociaci6n de conjuntos, es recomendable operar primero con el conjunto que esta entre parentesis.

=0>

A

n

B = {3, 4}

IJ

Representaci6n de la Uni6n de conjuntos mediante un diagrama lineal: Sean los conjuntos: A

=

=0>

{a, b, c} y B = {m, n}

AU B = {a, b, c, m, n} AnB AUB

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Sean los conjuntos:

(AUB) UC =AU (BUC)

om

Tambien se puede representar la intersecci6n de conjuntos, mediante el diagrama lineal, asi:

D O SP

AnB

B R

La intersecci6n de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos comunes a A y B.

A

(A n B) C B

B; que se lee: "A intersecci6n B".

w

n

INTERSECCION DE VARIOS CONJUNTOS

w

Se denota: A

w

.L I

(A n B) C A

Su representaci6n mediante el diagrama de Venn es la siguiente:

Ejemplo:

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INTERSECCION DE CONJUNTOS

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sp o

Be (A U B)

og

1\

F1 .b l

A C (A U B)

t.c

B

A

SiA = {a,b,c,d,e}; B = {a,b,m,n} y C = {a,c,m,q}; entonces A n B n C = {a}

IJ

El unico elemento comun a los tres conjuntos es a. Representando en el diagrama de Venn:

IJ AnB La parte sombreada (regi6n anaranjada) es la parte donde estan los elementos comunes a A y B.

En forma simb6lica: A n B = { X/X E A

A X

E B}

que se lee: "A intersecci6n B es igual al conjunto de las x, tal que x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B".

- 20 -

AnBnc

ARITMETICA

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CON/UNTOS I) La intersecci6n de conjuntos es conmutativa. Esto es, el orden de los conjuntos no ahera la intersecci6n.

COMPLEMENTO DE UN CON/UNTO Sea un conjunto A y el conjunto universalllJ, se define como complemento del conjunto A, al conjunto de elementos de IlJ que no pertenecen al conjunto A. Se denota como 1\..

II) La intersecci6n de conjuntos es asociativa. Es posible cambiar el orden de asociaci6n y no se altera el resultado. B)

n

C = A

n

(B

n

I\. = IlJ - A; se lee: complemento de A"

C)

Ejempla:

DIFERENCIA DE CON/UNTOS

Sean los conjuntos:

La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto farmada por elementos del conjunto A que no son elementos del conjunto B.

lJ

=

{m, n, a, p, q, r} N

=

{p, q, r}

=

{lJ - A}

~

N

=

{m, n, a}

lJ

F1 .b l

og

La diferencia A - B, tambien se denota:

t.c

om

Con el diagrama de Venn, I\. se grafica asi:

'i B}

sp o

A X

A

entonces:

En forma simb6lica: A - B = {x I x E A

Y

D

A/B6A-B

B R Y B = {a, e, c};

A - B = {b, d}

w

w

{a, b, c, d, e}

w

=

.L I

Sean los conjuntos:

A

N={lJ-A}

O SP

Ejempla:

~

El complemento de A es 1\.: En el grafico, se muestra en color anarnajado.

Usando el diagrama de Venn:

En forma simb6lica:

IJ

N = { xix E lJ

A X

'i A }

{xlx'iA}

NOTAS: °AUN=lJ • A Y I\. son disjuntos • El complemento del conjunto universal es vacio y viceversa: IlJ' = 0 ; 0' = IlJ

A - B = {b, d}

Usando el diagrama lineal, la diferencia de conjuntos se representa como:

• El complemento del complemento de un conjunto A es el mismo conjunto A: (1\.)' = A • Una diferencia de conjuntos, se puede expresar como:

A A-B

xl x E A

A X

'i B } ,a

A - B = { xl x E A

A X

E B' }

A-B=

A -'--- B

- 21 -

{

tambien cama

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n

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(A

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NOTA: Las canjuntas (A - B) ; ( A n B ) y (B - A ) san mutuamente disjuntos.

DIFERENCIA SIMETRICA (f,.) Para dos conjuntos A y B, la diferencia simetrica es 10 que queda de ambos conjuntos despues de eliminar los elementos de su intersecci6n.

3x + 2y

=

11

Resolviendo el sistema: x

A

-5

A

=

=

3x -2y

1; y

=

4

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Para que estos pares sean iguales, los primeros componentes y los segundos componentes deben ser respectivamente iguales entre sf; en otros terminos:

Luego, se sustituye estos valores en cada par ordenado para verificar la igualdad: 1) Ox + 2y; -5) = (3,1 + 2,4; -5) = (11; -5) 2) (11 ; 3x -2y) = (11; 3,1 - 2,4) = (11; -5)

cALCULO DEL PRODUCTO CARTESIANO

A~B={~xEAvxEBAX~AnB}

Dados dos conjuntos M y N no vados, se llama producto cartesiano 0 conjunto producto M . N, al conjunto de pares ordenados, [ormados por todos los elementos de M, como primeros componentes, asociados a los elementos de N, como segundos componentes.

PRODUCTO CARTESIANO 0 PRODUCTO PAR ORDENADO

om

Ejemplo:

M. N = {(2, a); (2, ~); (2, y); (2,0);

O SP

D

Entonces: (4, a); (4, ~); (4, y); (4,0);

.L I

B R

El par ordenado se escribe entre parentesis, separado par una coma: Ca, b).

iii)

(-Y3, 8)

Los elementos: a, x, componentes".

~);

(6, y); (6,o)}

w

ii) (x, y)

w

i) (a, b)

(6, a); (6,

Simb6licamente:

w

Ejemplos:

M = {2, 4, 6} Y N = {a, ~, y, 0}

og

sp o

t.c

Sean los conjuntos:

F1 .b l

Dados dos conjuntos un par ordenado esta farmada par dos elementos, uno por cada conjunto, guarciancio un orden estricto tal que esten claramente sefialados, uno como el PRIMERO Y el otro como el SEGUNDO componente.

M. N = {(x, y) / x E MAy E N}

iv) (Juan, Teresa)

.y;: Juan, son los "primeros

Se puede representar tambien mediante un "diagrama de arbot":

M

Los elementos: b, y, 8, Teresa, son los "segundos componentes". IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

( x, y ) = ( m, n ) ~ [ x = mAy = n

4

I

Ejemplo: Determinar el valor numerico de los pares ordenados iguales:

N

MxN

~a

. (2, a)

2~~:::::'::::::::

Dos pares ordenados son iguales si y solamente si sus primeros componentes son iguales y sus segundos componentes tambien son iguales. Simb6licamente se expresa asf:

$

(2, ~) (2, y) (2, $)

~a

. (4, a)

$

(4, ~) (4, y) . (4, $)

~a

. (6, a)

~~:::::::::::::::

6~~:::::::::::: $

(3x + 2y; -5) = ( 11 ; 3x -2)

- 22 -

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A 8. B = zona en color verde

(6, ~) (6, y) (6, $)

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A ~ B = (A - B) U (B - A)

ARITMETICA

0, mediante un diagrama de Venn: N

MxN

El producto cartesiano de UN CONJUNTO esta dado por el conjunto de los pares ordenados de los elementos del mismo conjunto.

00 02

Ejemplos:

o~

04

i) Sea el conjunto A

x

a, b, c }

= {

Su producto cartesiano es:

oy

A. A

06

=

{(a, a); (a, b); (a, c); (b, a); (b, b); (b, c); (c, a); (c, b); (c, c)}

ii) Sea el conjunto A

=

{

2,4, 6 }

Su producto cartesiano es: Por ultimo, tambien se puede representar en un papel cuadriculado: en la linea horizontal, los elementos del conjunto M; y en la vertical, los elementos del conjunto N. Asi:

A. B = {(2, 2); (2,4); (2,6); (4, 2); (4,4); (4,6); (6, 2) (6,4); (6, 6)}

Al producto cartesiano de A . A tambien se Ie representa como A 2 .

M = {2, 4, 6} N = {a,~, y, }

om

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO ·(4,