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CARRERA DE ING CIVIL TEORÍA DE CONJUNTOS

1. Idea de Conjunto: Es la reunión de elementos que tienen una característica común. 2. Determinación de Conjuntos: 2.1 Por Comprensión: Es cuando se menciona la regla que caracteriza a los elementos del conjunto. Ejm. A = {x/x es una vocal},



B  x  Z / x2  4



2.2 Por extensión: Es cuando se enumera cada uno de los elementos del conjunto. Ejm. A = {a,e,i,o,u}, B = {-2,2} 3. Relaciones entre Conjuntos: 3.1 Relación de Igualdad: Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Ejm. A = {2,5} , B 4 ,5 , por lo tanto A = B A = B  AB  BA





3.2 Relación de Pertenencia: Relación entre elemento y su respectivo conjunto. Ejm. A = {1,2,3}, por lo tanto 2ÎA, 4ÏA 3.3 Relación de Inclusión: Relación entre conjuntos, donde uno de ellos tiene todos los elementos del otro. Ejm.

A = {1,2,3} y B = {1,2},

Por lo tanto se dice: “A contiene a B” o “ A incluye a B”, se representa: A É B. También se dice: “B está contenido en A”, ”B está incluido en A” o “B es subconjunto de A”, y se representaría: B Ì A. 4.

Clases de Conjuntos:

4.1 Conjunto Universal (U): Es aquel que contiene a todos los conjuntos o tiene todos los elementos en análisis. 4.2 Conjunto Vacío (Æ): Es aquel que no tiene elementos. 4.3 Conjunto Unitario: Es aquel que tiene un elemento. 4.4 Conjunto Binario: Es aquel que tiene dos elementos. 4.3 Conjunto Ternario: Es aquel que tiene tres elementos. 4.5 Conjunto Finito: Es aquel que tiene un número determinado de elementos.

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4.6 Conjunto Infinito: Es aquel donde no se puede determinar cuantos elementos tiene. Cardinal de un Conjunto: es el número de elementos de un conjunto, se denota por n(A) o A. Ejm.: Si A = {a,e,i,o,u}, entonces n(A) = A = 5 5.

Operaciones con Conjuntos: UNION A U B = {x/ xÎA Ú xÎB} Conjuntos Comparables

Conjuntos Diferentes

Conjuntos Disjuntos

INTERSECCION A Ç B = {x/ xÎA Ù xÎB} Conjuntos Comparables

Conjuntos Diferentes

Conjuntos Disjuntos

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DIFERENCIA A – B = {x/ xÎA Ù xÏB} Conjuntos Comparables

Conjuntos Diferentes

Conjuntos Disjuntos

DIFERENCIA SIMETRICA A D B = {x/ xÎ(A-B)(B-A)} Conjuntos Comparables

Conjuntos Diferentes

Conjuntos Disjuntos

COMPLEMENTO Ac = A’ = CA = {xÎU/ xÏA}

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PROPIEDADES 1.- Idempotencia 2.- Conmutativa 3.- Asociativa 4.- Absorción

UNION AA=A AB=BA A(BC)=(AB)C A(AB)=A A(BC)=(AB)(A 5.- Distributiva C) 6.- Complemento AA'=U Propiedades de las Operaciones entre Conjuntos

INTERSECCION AA=A AB=BA A(BC)=(AB) C A(AB)=A A(BC)=(AB)( A  6. C) AA'=

Teorema 2. Si A y B son conjuntos finitos AB=A+B -AB Teorema 3. . SI A, B y C son conjuntos finitos,  ABC=A+B +C -AB-AC-BC+ABC 7. Conjunto Potencia: Es el conjunto que contiene a todos los subconjuntos posibles de un determinado conjunto. Teorema: Si n(A)=n entonces n[P(A)] = 2n Ejm Hallar el conjunto potencia de: A = {1,2,3} Primero, hallaremos la cantidad de subconjuntos posibles, mediante: n[P(A)] = 2n,

n[P(A)] = 23 =8 subc.

Los subconjuntos totales de A serían: P(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{2,3},{1},{2},{3},Æ}

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De los cuales sin el subconjunto {1,2,3} a los demás se les llama subconjuntos propios, es decir todo conjunto tiene la cantidad de 2n-1 subconjuntos propios. PROBLEMAS PROPUESTOS





A  x  N / x 2  x  20  0

1.

Determinar por extensión

2.

Halle la suma de los elementos del conjunto: B  {x  IN / x  5  3}

3.

Determine un conjunto por comprensión de: C = {0; 2}

4.

Determine por extensión: E  {x  Z / x 3  x 2  10 x  8  0}

5. 6.

Hallar el cardinal conjunto A = {x Î Z/ 13 < x + 7