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• Alexander Peralta Rojas

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POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO

Ejemplos: a) 1   5

Potencia de Exponente Entero

a

=

Base

1   2

P

4

 2 4  16

Ejercicios Básicos

Potencia

a)

2 .2 .2 .......... 2  _______________  ..

1. Exponente natural: a; si: n  1 an  a  a  a  ...... a; (n  IN, n  2)

219 veces

b)

3 .3 .3 .......... 3  _______________  ..  2003 veces

"n" veces

Ejemplos:

5

b)

exponente

n

1

c)

a)

x .x .x .......... x  _______________  ..  (2x ) veces

10

2  2.2.2.........2  1024 10 veces

x x x x x .x.x .......... .x  _______________  

b)

10 veces

3

a3  a  a a a         3  3 3 3 27      

Calcular: a) (32  23)0 = ________________________

c)

(22 )(22 )(22 )......... .(22 )  (22 )219  2 438 

b) (125 + 64 + 1000)0 = ________________

219 veces

d)

c) (23 + 34 + 56)0 = ____________________

no tendría sentido pues  IN 2. Exponente cero:

d) (200320003 - 219219)0 = _________________

a0 = 1;  a IR a  0

Teoremas:

1. am . an = am+n

Ejemplos:

am

2.

a) (-219)0 = 1

an

También: ((((am)n)p)q......)

 amnpq......

4. (abc) = abc

3. Exponente negativo:

;  a  IR  {0};

 am n ; a  0

3. (am)n = am . n

d) -40 = -1 (El exponente cero solo afecta al 4) e) (-4)0 = 1 (El exponente cero afecta al -4)

1

n

a

b) (2003)0 = 1 c) (219129 - 2003)0 = 1

an 

(x  IN)

d)

 

 

n  IN 



a a ;     b  b 

b0 

TALLER Nº 01 1. Calcular: 54 + 33

6. Reducir: (x5)3 . (x-2)7 . (x3)4

2. Calcular: 56.59.510.511

7. Reducir:

3. Reducir:

8. Reducir:

(a3b4 )5 .a3 a18 .b19

x 9 .x11 .x 21 8

12

x .x .x

(ax )6 (ab)5 (bx)7

20

(abx )11

4. Calcular:

 1 1  1 1  1 1           3  5    2 

1

9. Calcular: 3n + 2 Si: 3n = 5

10. Hallar:

5. Calcular: 0

30  40  20  2 3  (3)0  (4)0

2 x 1  2 x  2 2x

PRACTIQUEMOS. 8. Reducir: 1. Efectuar: 1   4 J  4 1  5     2(6 0 )  (219)0    7  

a) 216

b) 343

d) 729

e) 1000

 1 U     2

3

 1     3

2

b) 50

d) 1

e) 27

a) 3

b) 9

d) 1

e) 27

S  (5)2  23

1 c) 9

e) nx

11. Reducir:

{[( xy)2 x]3 y} 4 {(x 2 y)2 y} 8 b) x2y2 e) x3y4

a) xy d) (xy)4 210 1024

c) 1

c) (xy)3

12. Si: k2005 = 32 - a, el valor de:

(a  )

2005

k M2 .2 .2 .2 .......... .2  2  es : (a 1) factores

a) 416 d) 168

6. Reducir: 2

b) 48

c) 264

e) Hay 2 correctas

13. Simplifique:

(3 4 ) 5 b) 3 e) 5

x0

c) xn

b)

d) x-n

e) 5

(3 2 ) 4  (3 3 ) 2

c) 1

x 2 .x 4 .x 6 .x 8 ........." n" factores ; x 3 .x 5 .x 7 .x 9 ........." n" factores

a) 1

U

e) -1

c) 65

b) 72 e) 66

S = [....... [[(-2)-3]0]3......]81 a) 219 b) 0 d) 281 e) 281

Q

1 b) 2

d) 

c) 4

2 x  5  2(2 x  3 )  6(2 x 1 )  4(2 x 1 )

D

36(2 x  2 )  2 x  4

a) 2 d) 3

7. Calcular:

A

6m3.4m 8m.3m1

10. Simplifique:

352 . 452

b) 0

c) 1

9. Efectuar:

c)

a) 

b) 1/2 e) 4

c) 16

1 1 1   N  1     .......... ......  2 3 4  

a) 2 d) 1

m2

a) 36

5. Simplificar:

M

. 16

8. Efectuar:

152 . 25 . 49

1 5

x 2

a) 1/4 d) 2

x 2m

c) 512

3. Simplificar: A = 310 . 39 . 38 ............. 3-7 . 3-8 . 3-17

1 a) 3

.4

d) 48

a) 48

4. Reducir: M 

x 3

8

3

2. Calcular:

d)

2

M

b) 1/5 e) 1

c) 1/3

2 m  4 m  8 m  16 m 2 3 m7  2 7 m3

a) 1 d) 1024

b) 2 e) 64

14. Reducir: c) 512

Q

5 x  4  5 x  3  5 x  2  5 x 1  5 x 5 x  4  5 x  3  5 x  2  5 x 1  5 x

a) 5

b) 25

d) 625

e) 3125

c) 125

TAREA DOMICILIARIA Nº 01. 1. Calcular:

15. Efectuar:

J = (21.30 - 5 × 22 - 4 × 2-1 + 50)2

4

V

2. Calcular:

 1 U     2

4

 1     3

3

 (3)2  24

10

8

 974 729.9 .9  72  97  A 968

   

N = (123456789219 - 20052006)0

d) x63

e) x51

9

 27     125 

1    1  2 N 

4

b) 281

d) 123

e) 435

(x )

154 . 14 9 . 302

x

(x )

.x

2

b) 1

d) 3

e) 4

"x" veces x

x

x

(x . x . x ... x)(x . x . x ... x ) 0 1 x x

. (x

 ) . x ac . x ac ...... x ac

a) 0

E

"30" veces

4

.x

(-2)

4

.x

-2

5

7

-7

y+1

-5

x+1

20. Si: aa = 4 2aa 1

Calcular: D = a

21. Si: xy = a; xa = 2a

10. Efectuar: V = (-m)2(m-2)(-m)-2 (-m-2)

11. Simplifique: x 2

x 5

c) 235

bc a

19. Si: 5x = 7y, calcular el valor de: x+3 y+2

9. Reducir la expresión:

2

4

((x3a )b )c

216 . 353 . 803

5.2

1    1  4  

"b" veces

a bc

8. Reducir:

E

3

1

18. Halle el exponente final de “x”.

8m2  16n  2

E

1    1  3   

a) 287

2m 3  4m 2n

M

1

2

7. Efectuar:

T

c) x57

17. Simplificar:

416  164  516  165

 25    9

x . x3 . x5 . x7 .......x37

b) x54

216  164  316  814

3 T    5

x 4 . x6 . x8 . x10 ........ x 40

a) x60

5. Calcular:

6. Obtener: 6

11

16. Efectuar:

4. Simplificar:

A

4

M 2

5

3 . 5 . 10

3. Calcular: 63

3

12 . 5 . 2 . 15

 2

x 4 x

 6.2

 15 . 2  2 . 2

x 1

x 3

y

xy . xx . xx

xy

22. El valor simplificado de: n 813 3

3n 1

[ 83

Es:

n 33

]

c) 2

1

LEYES DE EXPONENTES II

3. m n n (x) n  ( x )m  xm

Ejm.:

RADICACIÓN

n

; n0

a b

n: es el índice; n  N  n  2

3



( 27 )2 / 3  (  27 )2  ( 3)2  9



25

-3/2



64

4/3

=

a: es el radicando =

b: es la raíz enésima TEOREMAS Ejm.: 

3

I)

125  5 ,

el índice es

______________

el radicando

______________

la raíz cúbica

______________

RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA n



1.

 x  y  yn  x

n

x.

n

y

Ejm.:

DEFINICIONES

n

xy 

; nN  n2



3

2.3 

3

5 .

4

8 .

3 4

3

2.

3

3

25  32 

(x  R, además, cuando n es par, x  0) II)

RAÍZ DE UNA DIVISIÓN

Ejm.:

n x 

2



3



4



y

2

25  5  5  25  8  2  16  2 

1

n

x

; n0

3



3





41 / 2 



27

1/3

=



81

1/4

=

2

4 2

81 3

10



2x 3

Ejm.:

n

x y

Ejm.:

2.

(x) n 

n

3

2 16

3





81 3  27  3 3

; y0

III) RAÍZ DE RAÍZ

5. Reducir: m n p

4 5 6



3



2 

120

m.n.p

x 

x

M

2

3 4

7  22 .

24

73

24

3

7 2 

a) 0

b) 1

d) 4

e) N.A.

24

72

73 8

7

c) 2

3 

6. Reducir: 5 4



1 024 

M

5 3

5 5

CASOS ESPECIALES m



r

x .

n

s

y .

p

z

t



m. n . p

r.n.p

x

.y

s.p

.z

t

15 2

5

10

a) 4

b) 2

d) 1

e) 3

5

6

60

5 .

60

c) 0

Ejm.: 3



x2

3

x2

3

7. Reducir:

x2 

PROBLEMAS PROPUESTOS

1  2a Ra 1  2 a

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

1. Realiza las sumas:

N b

8. Reducir:

1  3b 1  3 b

a.

a) 1

b) 2

b.

d) 4

e) 5

c.

a b

d.

S

9. Calcular: a) 1

2. Halla las sumas:

72a  21 a b

P

10. Calcular:

d. 6

R

3. Reducir:

4 .

4

5

4

d) 1/4

e) 1 3 2

4. Reducir: N  a .

d) a11

a 47

4

72b

7 a b

c) 3,5

22 . (11)

2y x y

x y

a) 7

b) 10

d) 22

e) 21

 (11)

2x x y

11x  y

c) 13

4 

b) 1/2

a)

20

4 .

a) 2

12

3

4 .

a b

e) 2

b. c.

c) 3

b) 10

d) 7

a.

c) 3

4

c) 4 11. Calcular: a) 0 3

a

.

a

b) 1

5

d) 3 3 12 11

b) a46/12 c) a e) a47

a

1

3  1   3  3 T  64  ( 32) 5     

e) 4

c) 2

5

73

3

S  ( x2

12. Calcular:

4

x3

a) 1/x

b) 1/x

d) x2

e)

I

13. Calcular: 3

a)

3

3

4

3

b)

d) 2 2

x4 ) (

2

23

x)

ECUACIONES EXPONENCIALES

c) x Son aquellas en las que la incógnita esta como exponente y también como base y exponente a la vez.

x

22

2

3 4 5

5

3

5

27

240

8

c)

Ejm.:

3

4

e) 1



3x + 3x+1 + 3x+2 = 39



x-x = 4

PROPIEDAD 45 factores

  

3

A

x .

3

3

x .......... x

x . x .......... x   



x 3 x

1.

1

d) x-4

Resolver: 25x-1 = 1252-x

c) x9

b) x

Después de expresar 25 y 125 como potencias de 5, tenemos:

e) x-7

(52)x-1 = (53)2-x

15. Efectuar: 48 radicales

Efectuando operaciones en los exponentes:



8

F

;  a  0, 1, -1

Ejemplo:

44 factores

14. Efectuar: a) x6

Si: am = an  m = n

x .

8

x ..........

8

x .

8

x

52x-2 = 56-3x

3 3 3 x . x .......... x x 10 xx.    96 radicales

b) x2

a) x

Bases iguales, exponentes iguales: 2x – 2 = 6 – 3x

c) x3

Resolvemos y obtenemos que: d) x

4

e) x

E  20

16. Calcular:

5

x

8 5

220  320

320  220

17. Efectúa:

2.

Si: xx = aa  x = a Ejemplo: Resolver: x-x = 4

a) 2 2  5 2  3 2

b)

8 3 xy  3 3 xy  2 3 xy

4

b)

1 x

18. Efectúa: a)

Expresar el exponente negativo y el 4 como potencia de 2:

4

( 3 ) ( 27 )  (5 3 ) (2 5 ) 

x

 22

Efectuando operaciones: xx 

1

22

El 22 también se puede expresar (-2)2: xx 

1

( 2)2

Por exponente negativo:

d) 2

xx = (-2)(-2)

7.

Por analogía: x = -2 8. 3.

a =b  a=b  a>0  b>0 Además: Si: x = 0  a  b x

x

e) 3

Resolver: 3x-1 + 3x-2 = 108 a) 3 b) 5 d) 7

e) 1/5

Resolver: x x  3

4

a) 2/3

b) 2

d) 4

e) 5/2

9

c) 3/2

Ejemplo: 9.

Resolver: x

(5n) = (n + 2)

n

Hallar “x” en: (nx)x  nn a) nn-1

b) nn+1

d) nn

e)

Efectuando operaciones: 1 2

PROBLEMAS PROPUESTOS x 3

d) 4 2.

d) -2

e) -4

c) 4

3

x

n veces

5.

e) -2

(n  2) veces

c) 8

Resolver: 2 a) -2

+2

x+4

+2 b) -1

15

c) 19/9

x+3

= 28 c) 1

3

18

3

5 5

5

b)

15

e) 5

x

c) 3

3 5

15

c)

5

5

2

x

a) 1/4

b) -1/4

d) -1/2

e) 1 / 2

14. Resolver: x + 2 = 6x4-x a) 4 b) 7/2

c) 1/2

c) 3/2

e) 1

1 15. Resolver: 3 

e) 6 x+5

15



d) 2

Resolver: 2x . 23x-5 . 25x-9 = 25 a) 1 b) 2 d) 3

6.

c) 3

. 8 ........8  4 . 4 .......4 Resolver: 8.8     

d) -8

20

12. Resolver: xx

d)

3

e)

Calcular: E 

e) 3/4

b) 2

3

13. Resolver: x 2

Hallar “x” en: 83  29 a) 2 b) 4

a) 4

6

6

c) 2

b) 2

2 x

e) 3 x



a) 2

a)

Resolver: 814x-1 = 9x+5 a) 1 b) 2

d) -1 4.

c) -3

18

n

4

b) 4

d)

e) -1

d) 5 3.

x

n

a) 2

11. Resolver: x x

 225 Hallar “x” en: 25 a) 1 b) 3

x2 2

10. Resolver: x x

5n = n + 2

1.

c) n

x

De la ecuación se deduce:

n

c) 9

x

2x

x  4x  2

a) 1/4

b) 1/3

d) 1/16

e) 2

c) 1/2

81 x

TAREA DOMICILIARIA 1.

x4

2.

4.

d) 10

e) 9

9.

3

5

9x

c) 36

x 1

c) 3

c) 3

12. Hallar (x . y)6 si:

3x

x3

y . 2y

a) 30

b) 72

d) 84

e) 42

2

 108

c) 36

n

a) 4

b) 5

d) 7

e) 8

x

n n-5

x ( x 1)

2

 2x  1

1 x

b) 4

d) 7

e) 10

d) {0; 4} c) 3

Si: 4x – 4x-1 = 24 Calcular el valor de: N = (2x)2x a) 5

b) 5/2

d) 55

e) 5-1

c) (5/2)5/2

4x

Calcular el valor de “x” en: 0,5 256 a) 3/2

b) 2/3

d) 2/5

e) -3/2

4

c) -2/3

2

c) 2 2

b) 2 1

=0 c) 6

a) 2

15. Resolver:

e) 5

e) 2

e) 81

c) 1/9

c) 5

2 x x  x  13  x2  12

a) {-4; +3}

Resolver: (2x)x = 212 a) 1 b) 2

d) 3 2

d) 1/81

c) -1/6

e) 5

2

b) 1/3

Calcular:

e) 1/7

Resolver: 3x+4 + 3x+2 + 3x = 273 a) 1 b) 2

4

a) 3

14. De la igualdad:

Resolver: 32x-1 . 3x-2 . 33x+7 = 27 a) -1/2 b) -1/3

a)

x

n

b) 2

6

4x

64(2 -5) – 729(3 )

 12527

10. Hallar “x” en: xx  2

 81

13. Hallar la suma de valores de “n”:

e) 2/3

d) 4 8.

bn  b27

b) 24

d) 4 7.

4

a) 12

Hallar “x” en: a) 1

c) -10

e) 1

Hallar “n” si: bn .

d) 1/5 6.

c) 6

Resolver: 125x-3 = 252x+1 a) -2 b) -3

d) 4 5.

Hallar: M 

e) 10

d) -11 3.

24

Hallar “x” en: 27  9 a) 2 b) 4 d) 8

11. Si: x 81

b) {4; -3} e) {4; 3}

c) {4}

TALLER

1.

5. Resolver: 5x + 2 = 25x - 1

Resolver: 5x+2 = 54-x

6. Resolver:

2.

Resolver: 273x+2 = 812x+4

7. Resolver:

3. Calcular "x" en: 34x - 5 = 32x + 13

8. Calcular „„x‟‟ si:

4. Hallar "x" Si: 42x = 256

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresión Algebraica Es una expresión matemática en la cual figuran constantes y variables con las que se realizan operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a exponente natural y extracción de una raíz aritmética, en un número limitado de veces

Partes de un término Algebraico Posee dos partes: 1. Parte numérica • Coeficiente o parte constante (incluye el signo) 2. Parte literal • Variable o parte variable. Sea:

Ejm:

 J(x)  x 2  3x 1  x x 2 x 3  M(x)   x  2 x 6  Q(x,y)  3-

3

x 219 2 5  4x y  x 3 y 4 y4

IMPORTANTE

2. Ubique en el recuadro las partes que se indican de cada término algebraico.

J(x)  x  x  x  ...  ¡ No es una expresión algebraica! Porque tiene infinitos términos M(x)  3x x  4x x 1  ¡ No es una expresión algebraica! Porque la variable " x" aparece como exponente.

Término Algebraico

Coeficiente

Parte Variable

M(x) = 5x2

A(x, y) = 2005x6y7 T(x, y) = 3ax4y6

Término Algebraico Es aquella expresión algebraica que solo contiene productos y cocientes de números y letras. Ejm:

 A ( x )  3 x 219

T(x, y) = 219a2b3x6y7 f(x, y, z) = 3e2x6y7z8 S(x, y) = 3p-2 x6 y8

 B ( x , y )  2005x 4 y 13  C( x , y )  IMPORTANTE

16 x 7 9y 8

Clasificación de las Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se pueden clasificar tomando en cuenta la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o número de términos. Según la naturaleza del exponente: I. Expresión Algebraica Racional (E.A.R.).Una expresión algebraica se llama racional, si los exponentes de las variables son números enteros.

Ejm:

 J(x)  4 x 3  2x 2 y  M( x )  3 x 4  x 3  2 x 5

 Q(x , y)  2ex 3  4 

y7 3

III.Expresiones No Algebraicas o Trascendentes:

Las expresiones algebraicas racionales pueden ser: I.1.Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.).Una expresión racional se llama entera respecto de las variables dadas, si no contiene la operación de división por cada variable dada.

Ejm:

 J( x ) 



3x, 2x, ax, (x + y)x 2. Expresión Logarítmica: log x, ln x 3. Expresión Trigonométrica:

3 x 3  2 x 2  3

 M( x , y )  ex 6 

1. Expresión Exponencial:



7  5 xy  1

 Q(x, y, z)  a 1 x 2  b y 6  c

y3 2 z  e

Sen x, Cos x, Tg x Ctg x, Sec x, Csc x

3 4

4. Expresión de infinitos términos: 1 + x + x2 + x3 + x4 +............ 5. Expresión Trigonométrica Circular: arcSen x, arcCos x, arcTg x

I.2.Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (E.A.R.F.) Una expresión racional se llama fraccionaria con respecto de las variables dadas, si contiene la operación de división por cierta expresión en la que figura la variable, o por la propia variable. Ejm:

2005

 J( x )  2 x 219   M( x , y ) 

x



x  y 

 Q(x, y, z) 

2

12ab xy





Sen hx, Cos hx, Tg hx 7. Expresión Integral:



dx x

8. Expresión Vectorial:

3

12 xy

 ex 2 y 3

16bc xz

 A  B  x C  



18ac yz

II. Expresión Algebraica Irracional. Una expresion algebraica se denomina irracional, si en ella se prevee la operación de una raíz aritmética respecto de las variables que la integran. Ejm:

 M( x )  219 x  x  3 x 2  x 4  A(x , y) 

6. Expresión Hiperbólica:

x  y  2 xy

 P(x, y, z)  2 3 x  3 3 y  1   4 z  1

Polinomios Definición: Se denominará polinomio a toda expresión algebraica racional entera respecto de toda variable que figura en dicha expresión.

Un Polinomio es la suma Algebraica de Monomios

Monomio Se llama así a aquella expresión algebraica en la que se definen solamente dos operaciones respecto de las variables que la integran, a saber, multiplicación y elevación a exponente natural.

Ejm:  4 x 3 y 5 ; 3 x 4 y 6 z 7 ; 3a 2 b 3 x 3 y 4

Los polinomios pueden clasificarse como aparece en el cuadro:

Consiste en sustituir las variables por números o constantes efectuando las operaciones indicadas, el valor resultante recibe el nombre de valor numérico de la expresión matemática.

Binomio: es la suma algebraica de dos monomios. Trinomio: es la suma algebraica de tres monomios.

Ejemplos:

Para ‘‘n’’ monomios se llamará polinomio de ‘‘n’’ términos Ejm: 3x + 2y; 3x7 2xyz4 3 + 4x x2; x3 4xyz + 219



Sea: P(x) = 2x  3



Para: x = 2 P (2) = 2(2) - 3 = 1

Son binomios. Son trinomios.



 Sea: P(a,b,c) = Para: a = -2;

b = 1/4;

c = 0,6

Sustituimos las variables por los valores indicados:

Notación de un polinomio Es la representación matemática mediante constantes y variables. Un polinomio de variable „„x‟‟ e „„y‟‟ se puede representar así:

P(x,y) = ax12 + 3bx4y7 - 7cx9y9 + dy7 ¡Cuidado!

Variables

En el caso anterior, la expresión algebraica dada carece de valor numérico para a = -1 debido a que al sustituir la variable por este valor, el denominador se anula y la división entre cero no está definida.

Nombre Genérico

Se lee: "P de x e y" que significa: "P" depende de "x" e "y"

Teoremas

Sabiendo que: x,y a,3b,7c,d

Son variables Son constantes

Sea:

P( x )  a0 x n  a1 x n2  ......  an1 x  an , a0  0 1. Suma de coeficientes:

P (1)  a 0  a1  a 2  a 3  a 4  ......  a n

Polinomio de una Variable

2. Término Independiente:

Forma General:

P (0)  a n

P(x) = a0 xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an-1 x + an

a 0 , a1 , a 2 , a 3 ,......... ., a n  x aº  0

 

an



n Z



Valor numérico de una Expresión Matemática:

Ejemplo: Sea: P(x) = x2 + x + 2 Indicar: 1. Suma de coeficientes: P(1) = (1)2 + (1) + 2 = 4 2. +2=2

Término independiente: P(0) = (0)2 + (0)

4. La expresión: n

TALLER Nº 03 1. Indicar cuáles son polinomios (expresión algebraica racional entera)

x n 3  x 5 n  x 2 Para: n = 4, se clasifica como:

I. P(x) = x4 - 3x2 + 4x - 6 II.

Q(x)  x 7  4x 2  5x 

7

III.

F( x ) 

2 6 1 x  3x 2  3 4 5. Si es polinomio: (exponentes de sus variables enteros positivos)

2. Indicar cuáles son expresiones algebraicas racionales fraccionarias:

n x2



n x3

 x3;

el mínimo entero "n" que cumple es:

I. P(x) = x2 + 3x-4 + 2x + 1 II. F( x ) 

3x 2  2  3x  4 x 1

III. G(x) 

x 2 2x  3  5 7

6. Siendo: P(x) = 2x2 - 3x + 5 Hallar: P(3)

3. Indicar cuáles irracionales.

son

expresiones

algebraicas

I.

M( x )  3 5 x 6  2x 7  3x 2  7 II. F(x) = x2/3 + 3x2 - 3x -2 + 4 III.

G( x )  5 x  3x 2  7 x  1 IV. H( x )  2 x 3  3 

1 x 1

(n  0)

7. Siendo: M(x;y) = x2 - xy + y2 Hallar: M(-2;2)

PRACTIQUEMOS 1. Si: P(x) = 3x + 5 Hallar: P(P(0))

9. 1  Si : Q 1    4 x 2  2 x  5 x  Calcular:

2. Siendo: F(x + 1) = 3x + 5

3 Q   2

Hallar: F(4) 3. Siendo: R(2x - 3) = 4x + 6 Hallar: R(7)

a) 12

b) 15

d) 16

e) 13

10. Sean las expresiones: P(x + 1) = x + 3

4. Siendo: P(x) 

x2  1 x

Q(x - 1) = 2x - 1 M(x3 - 7) = x

Q(x) 

x2  1 x

N(x + 2) = 1

F( x , y ) 

x y  y x

Calcular: P(Q(M(N(10))))

Calcular: F[P(2) , Q(2)] a) 15/16 d) 2

c) 14

b) 16/15 e) 16/5

a) 0 d) 8

c) 1

b) 20 e) 10

c) 7

11. Si: F(x3 - 1) = x + 5

5. Cuál es el valor numérico de la expresión 1  1     x  1   3  x            3  x     

a) 1/4 d) 2

b) 1/2 e) 4

1

Para : x  

c) 9/2

c) -72

7.

c) 11

b) 3 e) 7

c) 1

a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

c) 5

a) -2 d) 6

b) 0 e) 8

c) 4

14. Si: P(x - 1) = x2 + 2 Determinar: P(x)

x 1 x 1

Determine el valor de P(P(P(64))) a) 2 d) 8

b) 0 e) 2

Calcular: A(B(x))  B(A(x))

8. Si se tiene que: P( x ) 

a) 1 d) 2

13. Si: A(x) = 3x - 1 B(x) = 2 - 5x

2x  5; Si " x " es par Si : F(x)   2 x  2; Si " x " es impar Calcular: F(F(4)) a) 6 b) 9 d) 14 e) 16

Halle: "y"

P(Q(x)) = 6x + 5 Calcular: Q(5)

Calcular: E = P(2) + P(1) + P(1) b) -143 e) - 66

F(F(...........F(7)...........)) = F(F(y)+1)

12. Si: P(x) = 3x + 8

6. Si: P(x) = 2x99 - 64x94 + x - 5

a) -141 d) -75

1 3

c) 2

a) x2 - 2x + 3 c) x2 + 2x + 3 e) x2 + 1

b) x2 + 2x - 3 d) x2 - 2x - 3

TAREA DOMICILIARIA Nº 03 1. Si: F(x) = x

7. Si: P(x + 2) = 6x + 1 P[F(x)] = 12x - 17

F[P(x) + Q(x)] = x 2 + 2x + 4 F[P(x) - Q(x)] = x2 - 2x - 2 Indicar: Q(x)

Hallar: F(10)

a) 2x + 3 d) x - 3 2. P(x) = ax + b

b) 2x - 3 e) 2x

c) x + 3 8. Si: P(2x - 3) = 2x + 7

(a < 0)

Determinar: P(8 - 3x)

P(P(x)) = 16(x - 1) Calcular: P(a + b) a) 0 b) 7 d) 3

c) 5

e) 1

Calcular: P(Q(1))

3. Si : P(x) = ax + b Además: P(4) = 22 ^ P(3) = 17

10. Si: P(x) = ax + b P(P(x)) = 9x + 20

Calcular: P(5) a) 5 d) 29

b) 25 e) 27

c) 39

Indicar la suma de soluciones de "a" y "b".

11. Si: P(x) = ax + b

4. Si el polinomio:

Además: P(2) = 7 ^ P(3) = 12

P(x + 1) = (2x + 1)n + (x + 2)n 18(x  1) + 2 Es tal que al adicionar la suma de coeficientes y su término independiente se obtiene 125. Calcular el valor de „„n‟‟ a) 2 b) 4 d) 8

9. Si: P(x) + Q(x) = ax + b P(x) - Q(x) = a + bx P(5) = 4

c) 6

e) 10

Calcular: P(P(P(0)))

d) 7

e) 14

c) 4

b) 2 - 3x

d) 2 - 5x

e) 5x – 1

Es 6. Señalar el término independiente.

14. Si: F(x) = 2x + 5 g(x) = 3x - 1 Calcular: A = F[g(x)]

10. Si: P(x) = x - 2 G(x) = x + 1

6. Si : P(3x + 2) = 3x + 1 Determinar: P(35x) a) 3x - 1

P(x) = 4x5 + 5x4 - 6x3 + (7 - n)x + 3n

Calcular: F(g(3))

P(x) P(x 1) + P(x 2), además: P(1) = 3; P(2) = 4.

b) 3

12. La suma de coeficientes del polinomio:

13. Si: F(x) = 4x + 7; y además: F(g(x)) = 8x + 19

5. Dada la expresión: P(x), tal que:

a) 1

Calcular: P(6)

Hallar: E = P[G[P(2)]] + G[P[G(-1)]] c) 2 + 5x

G.R. (y) = 8 G.A. (M) = 12

Grado Es una característica de los polinomios, depende de los exponentes que afectan a sus variables. Para Polinomios de una variable: El grado es el mayor exponente de dicha variable. Sea: P(x) = axn + a1xn1 + a2xn2 +......+ an1x + an

En General: Para 2 o más polinomios de 1 o más variables. 1. En las sumas o restas predomina el grado del mayor. 2. En la multiplicación se suman los grados. 3. En la división se restan los grados. 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente. 5. En la radicación el grado queda dividido por el índice de la raíz.

Donde: n = grado

OJO

Si no se especifica el tipo de grado se asumirá que es grado absoluto.

Ejm: Siendo G: grado

J( x )  4 x 2  7 x  6  G J  2 M( x )  5  6 x  7 x 3  6 x 2  G M  3 Puedes decir de qué grado son los siguientes polinomios:

Ejemplo: 1. Si: P(x) = x6 - 3x4 + 2x8 + 1

es de grado:

8 M( x )  219  x 12  33 x 45  3 x 4  G M  ________________ Q ( x )  4 x 6  3 x 4  2 x 5  7 x 7  2 x 2  G Q  ______________

Para Polinomios de dos o más variables: Grados de un monomio: a) Grado Relativo (G.R.). Respecto a una variable es el exponente de dicha variable. b) Grado Absoluto (G.A.). Está dado por la suma de los grados relativos de las variables. Ejemplo: * Sea:

M( x , y , z )  3a 2 b 3 x 4 y 9 z13 G.R .( x )  4 G.R .( y )  9 G.R .( z )  13 G.A.(M)  26 Grados de un Polinomio. a) Grado Relativo (G.R.). Respecto a una variable, está dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio. b) Grado Absoluto (G.A.). Está dado por el mayor grado absoluto que presentan los términos del polinomio. Ejemplo:

Q(x) = 1 - x + x3 + 2x2

es de grado:

3 Entonces: (P(x) +_ Q(x)) es de grado: 8 Términos Semejantes: Dos o más términos son semejantes si poseen las mismas variables afectadas de los mismos exponentes; no importa la naturaleza de los coeficientes. Ejemplo: 2x4y5 y √ Son términos semejantes. Más no lo serán con: x5y4 Sean los monomios: 3 M(x, y, z)  x 4 y 6 z8 5 A(x, y, z)  2ex 6 y 4 z8 T(x, y, z)  x 8 y 4 z6 (x, y, z)  a2b2 c 2 x 4 y 6 z8 S(x, y, z) 





7  1 x 6 y 4 z8 4 6 8

K(x, y, z)  1, 6x y z

Podemos afirmar: M ; K

Son términos semejantes

AyS

Son términos semejantes

MyA

No son términos semejantes

TyK

No son términos semejantes

* Sea: M(x,y) = 22x4y8  33x2y6 + 44x5y5 G.R. (x) = 5

Recuerda: para sumar dos o más términos semejantes, se halla la suma algebraica de sus

coeficientes y al resultado se le multiplica por la parte variable.

1. Del siguiente monomio: M(x;y) = -7x4y7z3

6. En el polinomio: P(x;y) = axa + 3 + byb - 2 + xy se sabe que el grado relativo de "x" es 7 y el grado relativo de "y" es 5. Hallar la suma de coeficientes de P(x;y).

hallar: GR(x) + GR(y) + GA(M)

2. Dado: M(x;y) = 4xn - 2ym + 3 si el grado relativo de "x" es 7 y el grado relativo de "y" es 11, hallar: m × n

3. En: F(x;y) = 2ax2a - 3ya + 5

7. Si el grado de: √

√

es 6, hallar "n"

8. Si P es de grado 7; Q es de grado 5; hallar el grado de: P2 . Q3

el grado absoluto es 29; hallar el coeficiente.

4. En el polinomio: P(x;y) = 4x5y6 + 7x3y7 - 4x10 + y12 hallar: GR(x) + GR(y) + GA(P)

9. Siendo: P(x) = x49 + x45 + x10 + x2 + 1 Q(x) = x31 + x4 + x + 1 hallar el grado de: [P(x) . Q(x)] 2

5. En: M(x;y) = 3xm - 1y5 + 4xm + 2ym + 3 si el grado relativo de "x" es 9, hallar el grado relativo de "y"

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si el monomio: M(x,y)

= 2abx3a+b . yab

7. En el polinomio:

P ( x ; y )  2 x m y m 4 

es de grado 12 y GR(x) = 11 Indicar su coeficiente. a) 2

b) 12

d) 250

e) 500

c) 18

b) 4

d) 6

e) 2

10.

a) 0

b) 3

d) 21

e) 42

a) 2 d) 5





G.A. 4 PQ  3



3



G.A. P  Q  4 ¿Cuál es el grado de Q(x)?

b) 3 e) 6

c) 4

P(x,y) = 5xn+3ym-2z6-n + xn+2ym-3zn+m Dónde:

G.R.( x )  G.R.( y )  3 G.A.(P )  13

Calcular: 2m  n a) 5 b) 9 d) 11 e) 12

nn

b) 4 e) 10

c) 7

Si : P ( x , y , z )  x mn y p m z n 6  x m2 n y p 3 n z n 4  x m  3 n y p 2 m z n  2 Contiene término independiente para cada una de sus variables. Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) c) 40

n2

xn

a) 1 d) 6

6.

b) 36 e) 28

a) 2 d) 8

c) 6

11. Si el grado de la expresión:

5. En el siguiente polinomio:

a) 38 d) 24

c) 7

Dados los polinomios: P(x) y Q(x) de los que se conoce:

igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular: G.R.(y)

c) 5

principal diferentes Calcular: G.A.(P7  Q3)

c) 17

4. Si el grado absoluto de: P(x,y) = x2ay3b+1 + 7xay3b1  5xay3b3, es

a) 3

G.A.(P . Q) = 10 Siendo "P"  "Q" polinomios de coeficiente

relativos de „„x‟‟ e „„y‟‟ es 2 y además que el menor exponente de „„y‟‟ es 3, hallar su grado absoluto.

e) 21

e) 19

9. Si: G.A.(P) = a ^ G.A.(Q) = b (b > a) Sabiendo: G.A.(P + Q) = 7

Se verifica que la relación entre los grados

b) 16

d) 18

c) 17

P  Q(P  Q) 2

c) 3

P(x,y) = 4xm+n2ym-3 + 8xm+n+5ym4 + 7xm+n6ym+2

d) 18

b) 16

(P 4  Q 3 ) R

3. Si en el polinomio:

a) 15

a) 15

R(x) es de 3er grado. Hallar el grado de:

x7b  y 4 3a b) 2 e) 9

x m y m7  x m y m5  5 x 2 m6 y 3

8. Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado.

x a4  yb1

a) 1 d) 4

3

Calcular el G.A.(P) mínimo.

2. Si el G.R.(x) es „„a‟‟ y el G.R.(y) es „„b‟‟, ¿cuál es el G.A.(M)?

M(x; y) 

1

es 729; b) 2 e) 9

el valor de "n" es: c) 3

TAREA DOMICILIARIA Nº 01 1. Dado el polinomio: F(x) = 2x15 + 2x19 - x + 4 I. Su grado es 19. II. El término independiente es 4. III. El polinomio tiene 4 términos. IV. La suma de coeficientes es 10. V. Su mayor coeficiente es 3. ¿Cuántos enunciados verdaderos hay? a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

2. Dado el polinomio: P(x,y) =

a2x6y4  2b2x5y7 + 219x7y6

Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones: I. G.R.(x) > G.R.(y) II. G.A.(P) = 14

III. La suma de coeficientes es: a2  2b2 + 219. a) FFV

b) FVV

d) VVV

e) FVF

c) VFV

M(x,y) = (n2 1)x2n3y3n+2

Se tiene: G.R.(x) = 7 Calcular: G.R.(y) + coeficiente (M) b) 20

d) 35

e) 41

c) 2

xm+2yn1 + xm+6yn  xm+4yn+4

Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y). a) 22

b) 20

d) 24

e) 28

c) 18

P(x) = (x5 + x + 1)9 Q(x) = x9 - 7x12 + 3x18 - 219 Calcular: 9

G.A.( P  Q ) b) 3 e) 6

•

G.A.3 Q  1

•

G.A.(P2 + Q4) = 14 G.A.(P2 - Q7) = 0 G.A.(P.Q4) = 19

•

G.A.(P3 + Q6) = 3

• •

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

7. Sabiendo que los términos: 5x2a+9yb+3 ; 6xa+16y3b-5 son semejantes, reconocer otro término semejante a los anteriores a) x7y23 b) x23y7 c) x21y4 4 21 5 20 d) x y e) x y

n1

R ( x )  x 2  3x

11n 3

 219 es un polinomio.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y) Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M) a) 28

b) 21

d) 7

e) 1

c) 14

10. Dado el monomio: M(x,y) = (n3 8)x2n23yn+7

5. Dados los polinomios:

a) 2 d) 5

•

G.A.(P + Q) = 7 G.A.(P - Q) = 3 G.A.(P . Q) = 10 G.A.(P3) = 21

9. Dado el monomio: M(x,y) = (3n + 1)x6n-5y2n+3

4. Dado el polinomio: P(x,y) =

• • •

8. Indique el grado de „„R‟‟, sabiendo que:

3. Dado el monomio:

a) 17

6. Dados los polinomios: P(x) y Q(x) en el cual: G.A. (P) = 7 G.A.(Q) = 3 Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas:

c) 4

Se tiene: G.R.(x) = 5 Calcular: coeficiente (M) + n a) 0 d) 16

b) 2 c) 18 e) más de una es correcta.

11. Sabiendo que los términos:

219 x 2 a 7 y 8 b ; 2005x a12 y b 2 son semejantes, indicar: ab