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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra

CAPÍTULO

01 OBJETIVOS Al final del tema, el alumno estará en condiciones de: • Conocer la definición de la potenciación. • Manejar operaciones con exponentes, sus posibles transformaciones y sus significados. • Realizar operaciones con potencias de igual base (multiplicación, división).

LECTURA: ¿ES EL CERO UN NÚMERO NATURAL? Si y no. Incluir o no el número 0 en el conjunto N de los números naturales es una cuestión de preferencia personal o, más objetivamente, de conveniencia. El mismo profesor o autor puede, en diferentes circunstancias, escribir 0 ∈ N ó 0 ∉ N. ¿Cómo es esto? Consultemos un tratado de álgebra. Prácticamente en todos ellos encontramos N={0, 1, 2, ...}. Veamos un libro de análisis. Hallaremos casi siempre N={1, 2, 3, ...}. ¿Por qué esas preferencias? Es natural que el autor de un libro de álgebra, cuyo interés principal es el estudio de las operaciones, considere cero como un número natural pues esto le dará un elemento neutro para la adición de números naturales y permitirá que la diferencia x – y sea una operación con valores en N no solamente cuando x>y sino también si x=y. Así, cuando el algebrista considera cero como número natural, está facilitándose la vida, eliminando algunas excepciones. Por otra parte, en análisis, los números naturales aparecen muy frecuentemente como índices de los términos de una sucesión. Una sucesión (digamos, de números reales) es una función x: N → R cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales. El valor de toma la función x en el número natural n se indica con la notación xn(en lugar de x (n)) y se llama el término n–ésimo de la sucesión. Se usa la notación (x1, x2,..., xn,...) para representar la sucesión. Aquí, el primer término de la sucesión es x1, el segundo es x2 y así sucesivamente. Si fuésemos a considerar N={0, 1, 2, ...} entonces la sucesión sería (x0, x1, x2,... xn,... ) en la cual el primer término es x0, el segundo es x1, etc. En general, xn no sería el n–ésimo sino el (n+1) - ésimo término. Para evitar esa discrepancia, es más conveniente tomar el conjunto de los números naturales como N={1, 2, 3, ...}. Para cerrar este tópico, una observación sobre la nomenclatura matemática. No ayuda encaminar la discusión en el sentido de examinar si el número cero es o no “natural” (en oposición a “artificial”). Los nombres de las cosas en matemática no son escogidos generalmente de modo que transmitan una idea sobre lo que deben ser esas cosas. Los ejemplos abundan: un número “imaginario” no es ni más ni menos existente que un número “real”; “grupo” es una palabra que no indica nada sobre su significado matemático y, finalmente, “grupo simple” es un concepto extremadamente complicado, al punto de que algunos de sus ejemplos más famosos son calificados (muy justamente) de "monstruos".

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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra

LEYES DE EXPONENTES I Aquí mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan:

(*) Desarrollar: 2

15 0 32

Luego:

1 . Ley del exponente Cero

2

b =1 0

3

2 15

0

= 23

21

2

= 2 3 = 2 9 = 512

; 4 . Ley del exponente negativo

siempre y cuando: b ≠ 0

b−n =

Ejemplos: •

(3)0 = 1

•

30 = 1

•

(–3)0 = 1

•

–30 = –1

•

3x0 = 3(1) = 3 •

(3x)0 = 1

•

− 1  =1    2

•

–3x0y = –3(1)y = –3y

1 bn

; con b ≠ 0

Caso Particular a    b

−n

b =   a

n

; con: a; b ≠ 0

0

•

3(a + b)0 = 3(1) = 3

Ejemplos: • •

0º es indeterminado.

• •

2 . Ley del exponente Uno bb = b

También:

;

El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende Ejemplos: 1

• • •

51 = 5

1 = 1   3 3

•

1

3 = 3 3x1 = 3x

1

•

(a + b) = (a + b)

•

(

a+b

)

1

= a+b

3 . Ley del exponente de Exponentes: (cadena de exponentes)

1 2  

–3

•

2 3 =   = ( 2) = 8 1  

3   4 

–7

•

4 =   3

x   y

–2

•

y =   x

x

•

Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transformando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos.

•

a

Ejemplos: (*) Desarrollar: 3 2 Luego: 3

22

2

4

= 3 = 81

3

7

2

Recíprocamente: 1 = 2 –1 • 2

de

1 bc

1 1 = 2 9 3 1 1 –2 –3 = – 2 = – 9 3 1 -x x = x x 1 1 (–32)5 = = 5 (–32) –325 3 –2 =

3 5   =   5 3 x2 yz3

•

1 3x

= 3 –x 1–x

–x

•

y   x

x =   y

x–1

= x 2 y –1 z–3

Si la forma del exponente es negativo: 1 b –n = n b Entonces transformamos a una expresión fraccionaria.

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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra

Problema Desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Demostración de potencias de igual base: a m . a n = a m +n

(a ≠ 0)

Demostrar que: (a m )n = a mn ; (m y n ∈  )

(m y n ∈  + )

Resolución:

Resolución: En efecto: a 2 = a .a ...................... (2 factores iguales) a 3 = a .a .a ................... (3 factores iguales) a 4 = a .a .a . a ................ (4 factores iguales) M a m = a .a .a . a ................ (m factores iguales) a n = a .a .a . a ................ (n factores iguales) Luego: a m .a n = a .a . a . a .............. (m + n factores iguales) ∴ a m a n = a m + n ................. l.q.q.d

1.

Indique verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I.

–3

–2

= (–3)

1 II.  −   3

−2

–2

........................... (

)

........................... (

)

3.

P = (1024) (512) (128) (2–10) (2–9) (2–7) Rpta: ..............................................................

=9

4. 42

III. (2)

Calcular:

= (2 )

4 2

........................... (

)

IV. (5 + 3)2 = 5 2 + 3 2 ........................... (

)

Reduzca: E = (27)1− x . (9)1+ x . (3)x − 3

Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................. 5. 2.

Calcular: N = 2 −1 + 3 −1 + 6 −1

Rpta: ..............................................................

Simplifique:  2005 − x  E = 52   

2 x − 2003

Rpta: .............................................................

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Compendio de Ciencias I-C 6.

Álgebra

Reduzca:

12. Calcule:  1  S=   100 

−16 −16

−2 −1

F = (0, 008)−243

−625 −4

−1

Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................. a

7.

13. De: a a = 2 Calcular:

Calcular: P = (88) + 88 0 + 888  0

0 1 −(88)1 −(88)

 aa E = aa  

   

aa

+ aa

a +a a

Rpta: .............................................................. Rpta: ............................................................ 8.

Efectuar: A=

14. Indicar el equivalente de "x".

(−3)8 (−3)12 (−3)5 (−3)23

4

xx = 2

(9)24

Rpta: .............................................................. 9.

Rpta: .............................................................. 15. Efectuar:

Calcular:

(

E = 8 2006

)

1 2006

P = 8 −27

2006  2007

 1+ 1 −  8 2006     

16. Reduzca: R=

10. Indicar el valor de la potencia:

( )

43  42

 

 .....   

−42  −43

  

−0,5

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

     44    ...  4   

−9 −4

    

−44

(21)6 .(35)3 .(80)3 (15)4 .(14)9 .(30)2

Rpta: .............................................................. 17. Simplificar: Q=

Rpta: ..............................................................

6 x + 10 x 2 x +1 + 2 x + 4

Si "x" verifica la ecuación: 3x + 5x = 6 11. Se sabe que: 1 A=  2

−1

1 +  4

1  B=1+  3

−1

−1

1 +  6

1 +  5

−1

−1

 1  + ...... +    100 

 1  + ...... +    99 

−1

−1

Calcular: A – B Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................. 18. A partir de: 3x = 2 Halle:  3x 2x x  N =  3 3 +3   

x

Rpta: ..............................................................

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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra

19. Sabiendo que:

20. Se cumple: 7

x = 52

8

∧ y = 52

mm

Calcular:

3 mm + m 3

= 27 ; n n

2+n2

=4

Evaluar: (2x ) + y 2 2

E=

2

E = m6 n 4

x2 y

Rpta: .............................................................. Rpta: ..............................................................

1.

Reducir:

4. A=

2.

2 x + 5 . 16 x + 4 8 x+3 . 4 x+2

A) 64

B) 128

D) 512

E) 1024

W=

12 x + 20 x 4 x + 2 − 4 x +1

Si se verifica que: 3x + 5x = 24

C) 256

A) 0

B) 1

D) 3

E) 4

C) 2

Calcular: 2006 − x  R =  3 4   

3.

Reduzca:

A) 3

B) 9

D) 81

E) 243

5.

4 x − 2005

Si: x=

9 7 + 9 3 + 81

C) 27

x L=  y 3

( )

 3 E =  33  . 3 3  

D) 27

−3 3

 2 .  33   

B) 1 E)

715 − 713 + 7 5 714 − 712 + 7 4

−6

Calcule:

Calcular:

A) 0

95 + 9 + 1

− 80 ; y =

−2 3

36

. (9)

A) 0

B) 1

D) 3

E) 00

2006

C) –1

C) 3

108

3

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Compendio de Ciencias I-C CAPÍTULO

Álgebra

02 OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno estará en condiciones de: • Conocer la definición de la radicación en los reales y aplicarla cuando sea necesaria. • Transformar un indice en un exponente fraccionario y visceversa. • Realizar operaciones con radicales, aplicando correctamente las leyes respectivas.

Concepto:

Ejemplos:

Aquí mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones.

•

b ×b =b n

m +n

2

5

= 2 x–5

•

x5 = x 5-1 = x 4 x

•

( –m )121 = –m 21 = ( ) ( –m )100

1 . Multiplicación de Bases Iguales m

2x

–m 21

En forma extensiva: b x × b y × b z × b w = b x + y + z+ w

Si se tiene: b m –n

= b m –n–(p –q) = b m –n–p+ q

b p –q Ejemplos:

Luego obtendremos:

•

x × x2 = x1+

2

= x3

•

102 × 104 × 106 = 102+4+6 = 1012

•

a0.2 × a0.7 × a0.1 = a1 = a

•

m × m 2 × m 3 × m 4 = m 10

•

2x × 23 = 2x+3

Regla Práctica:

•

xx × xy × x = xx+y+1

“La base resultante lleva como exponente una forma particular; donde el exponente del numerador mantiene su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos”.

Recíprocamente: •

2x+5 = 2x × 2 5

•

xx+1 = xx × x1

•

10

a+b+2

a

b m −n b p −q

Ejemplos: b

= 10 × 10 × 10

2

• 2 . División de Bases Iguales • bm bn

= b m −n

= b m −n −p +q

; con b ≠ 0

•

2x+ 1 2 x–1 x7 x -7

= 2 x+ 1–x+ 1 = 2 2 = 4

= x 7+ 7 = x14

3 2x–7 3 2x–9

= 3 2x–7–2x+ 9 = 3 2 = 9

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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra

Ejemplos Diversos: • • •

x7 y 4 y x

x5 2x

a 15 b 8 b10 a 9

x

1

y4

×

y2

= x6 y2

Si se tiene: n m×n bm = b

1 5 –3 1 2 x 2 x = x = 2 2 2

=

3

x7

=

2

a 15

=

a9

×

b8 b10

a 15

=

a9

×

1 b 10 b

=

a6 b2

8

⇒

( ) n ( b m ) = bn ⋅ m n m (bm ) = ( bn )

Se observa: a

15 10

b a

x7 yz4 •

=

z7 y5 x 2

8

b

9

6 = a

b

m × n = n × m

2

x5 y4 z3

Luego se cumple: mn

b

3 . Potencia de Potencia ( b m )n = b m.n

;

Ejemplos: • •

  m  b  

( )

n p  

q

m× n× p× q   = b 

•

( x ) = x( )( ) = x 2 ( x 2 ) = x( 2)( 2) = x4 –5

3

3 –5

•

( )

•

( xa )

a –1

  x   

2 2 2 2

•

•

• •

–15

( )

  22    

x

3

3

x

x

( 3 ) =( 3 ) =3 x 2

2 x

x

No confundir:

(bm ) (bm )

= x a× a –1 = x a1–1 = x a 0 = x

n

n

≠ b mn

4 . Potencia de un Producto

(2)(2)(2)(2) = x16   = x  

    

1 0

( )

−1 −2

  

( ) x 3 2x = ( 3 2 ) = 9 x 5 x15 = ( x 3 ) x 3m = x 3

bm n

con

Pues:

3 a a = a 3a

Recíprocamente: •

•

(2 ) = (2 ) = 8 m n (mn ) = ( mm )

Observación

Ejemplos: •

nm

= b

(a m . b n )p = a m.p . b n.p

;

= 2(2)(1)(0)(−1)(−2) = 20 = 1 •

(a × b )

•

(a m × b n × cq )

p

= a p × bp p

= a m× p × b n ×p × c q × p

m

Ejemplos: • •

( x3 y 2 ) = x(3 )(5 ) × y(2 )(5 ) = x15 y10 2 ( 2x5 ) = 2(1)(2) × x(5 )( 2) = 22 x10 = 4x10 5

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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra Ejemplos:

( m 2n 3 p-5 ) = m 8 n12p-20 5 ( 2 2 × 3 3 × 5 ) = 210 × 315 × 5 5 4

• •

5

•

 x2  x10  3  = 15 y y 

•

 2x  2 3x  y  = 3y 3 3 

•

x2 x2 x   = 2 = 4 2 2

•

15 1 1  2  = 5 = 32 2  

3

Recíprocamente: (*) 2x × ax = (2a)x (*) 2x × 3x × 5x = (2 × 3 × 5)x = 30x x (*) x2x × y3x × z4x = (x2y3z4)

2

5

Nota: 3xn ¹ (3x)n 5 . Potencia de un Cociente p

Recíprocamente:

a  a  n  = n ×p b b   m

m× p

; con b ≠ 0

•

• p

p a  = a   b bp

•

Problema Desarrollado 1.

x =  y5  y 

5

6x

x

6 =   = 2x x 3 3 1

34

=

14

1 =  4 3 3

4

Problema por desarrollar 2

Si "a" es un número par entonces a es un número par.

1.

2

Demostrar si a es un número impar, entonces a es un número impar. Resolución:

Resolución: I)

x5

Vamos a simbolizar las proposiciones: * a es un número par ....... Hipótesis 2

* a es un número par ...... Tesis II) Supongamos que: a es un número par. * Si "a" es un número par, entonces a=2n, "n" entero. * Si a=2n, n entero, entonces a=2n ó a=2n. 2

* Si a=2n ó a=2n, entonces a.a=2(2n )=2k. 2

2

* Si a.a=a =2k, entonces a es un número par. ∴ a 2 es un número par

lqqd

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Compendio de Ciencias I-C

1.

Álgebra

A partir de:

7. xx = 2

De la relación: 2a = 3b Calcular:

Calcular el valor de: S=

M=

2a + 3 + 3 b +1 + 2a 3 b +2 − 2a

(x 10 )x + (x 4 )x (x 8 )x + (x 6 )x

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

8.

Calcular: 6

2.

9

2 9  8  P =  .  .   3   4   27 

Calcule: A=

2n + 5 − 2 n + 4

Rpta: ..............................................................

2(2 n +1 )

9.

Evaluar:

Rpta: ..............................................................

.−1

E = 8 −9 3.

−4 −2

Calcular: x=

Rpta: ..............................................................

15 6 . 6 9 27 5 . 10 5

10. Evaluar:

Rpta: .............................................................. 4.

4

Reduzca:

Q = 16

8 −9

−4 .− 2

−1

Rpta: ..............................................................

 −2 7  Q =  43  

    

9 3 7

 7 4 +  25  

    

5

−3 4

Rpta: .............................................................

11. Evaluar:

33 3

33 3 33 3

Rpta: ............................................................. a

5.

12. a =3; calcular el valor de la siguiente expresión:

Reducir: B=

27

x

3

+9

x

2

+ 3x

Rpta: ............................................................. 6.

R = aa

3 x + 2 + 3 x +1

a +1 + 2a

Rpta: ............................................................. 13. Sean las relaciones: m = (x a )2 .................. (I)

Reduzca: W=

a 2x + a −2x a

8x

+a

4x

Rpta: ..............................................................

m = (x b )3 .................. (II) x 2 = (m b . n a )c Halle: E = abc Rpta: ............................................................

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Compendio de Ciencias I-C b

Álgebra

a

14. Sabemos que: a =2 ; b =5. Calcular: E = ab

a +1

+ ba

18. De las relaciones:

b +1

xx

xx

n

= n ; xx = nx

Halle:

Rpta: ..............................................................

E=

15. El valor de:

M=

5 3

2

32 . 2 5

4 .

3 2 4 3

27 2

Rpta: .............................................................. es: 19. Simplificar:

81

x

E=

Rpta: .............................................................. 16. De: aa=ab=2. Calcular: R = ba ba

n xx + 1

2 x + 3 −x x

x

+

6x + 1

x

6x + 1

2−x + 3 x

Rpta: ..............................................................

ba

20. Efectuar: Rpta: ..............................................................  33 Q =  3 3  

17. Calcular: E = 0, 25 −0,2

1.

−1

− 0, 2−0,25

−1

+1

Rpta: ..............................................................

Si:

Calcular:

E=

A) 3 D) 81

E = xx

(x 12 )x

A) 2

(x 8 )x

D)

B) 9 E) 1/9

4

1 2 D) 2 A)

2

4.

5 b +2 − 3a +2

1 4 E) 4

C)

De: x

=2

2

E) 4

De: bb=ab=2. Calcular:

A) 2

E = ab ab B) 4

D) 4a

E) 4b

1 8

5.

ab

C) 16

Si: 3x=2. Halle:  3 x 2x x  E =  33 +3    A) 27

xx

C)

C) 27

5 b +1 − 3 a +1

B)

x+xx

B) 1/2

De la relación: 3a = 5b. Calcular: P=

3.

    

3 3 3 3 +3

Rpta: ..............................................................

xx = 3 Calcular el valor de:

2.

33

D) 729

B) 8

x

C) 81

9

E) 3

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Compendio de Ciencias I-C

Álgebra

CAPÍTULO

03 OBJETIVOS •

• •

Dar ha conocer de manera muy simple; todas las formas de las ecuaciones exponenciales con sus respectivas resoluciones; usando las leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones de acuerdo al nivel que este texto nos exige. Realizar operciones con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial. Aplicar algunos artificios matemáticos de manera que se pueda utilizar algunas propiedades de simetría y así obtener el valor de la incognita.

LECTURA:

Probemos:

En el siglo pasado; fue dado a conocer por primera vez este problema, contando con la simpatía de las personas que gustan mucho de los problemas matemáticos.

0 = 44 – 44

Así se trata de obtener; para toda la serie de números naturales; expresiones en las que aparezca en cuatro ocasiones el número 4; junto con símbolos matemáticos simples. Para expresar la otención de esas expresiones usando 4 veces cuatro; son necesarios los signos de las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división.

Problema Desarrollado 1.

6=4+

4+4 4

1=

44 44

7=

2=

4 4 + 4 4

8 = 4 +4 +4 −4

3=

4 +4 +4 4

9 =4+4+

4 =4+ 5=

4 −4 4

44 −4 4

10 =

4 4

44 − 4 4

(4 × 4) + 4 4

Problema por desarrollar

Sea: x ∈  , y ∈  y n ∈



Demostrar que: (xy)n = x n y n

1.

Si: x ∈  , y ∈ − { 0 } , n ∈



Demostrar que: Resolución:

n

x xn   = n y y

En efecto: * (xy)n = (xy)(xy)(xy)...(xy) 144 42444 3 ........... (Def. de potencia ) n factores de (xy)

* (xy)n = (x)(x)(x)...(x) 14 4244 3 . (y)(y)(y)...(y) 14 4244 3 ... (Prop. Conmutativa) n factores de n

⇒ (x)n (y)n = x n . yn

Resolución:

n factores de y

∴ (xy)n = x n y n ...... lqqd

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Compendio de Ciencias I-C

1.

Álgebra

Resuelva la ecuación exponencial:

7.

Hallar "x", en:

64 x −3 = 2 x + 2

x

9 2 = 8164

Rpta: ..............................................................

2.

Rpta: ..............................................................

Resolver la ecuación:

2 x +3 + 2 x + 2 + 2 x +1 + 2 x = 60

8.

Resolver la ecuación: 2

3

x

=32

9x

Rpta: .............................................................. Rpta: .............................................................. 3.

Resolver la ecuación:

9 x + 2 = 240 + 9 x

9.

Resolver:

4.

Hallar "x".

8 x −1 = 3 4

5

Rpta: ..............................................................

x +3

Rpta: ..............................................................

5 x −3 + 5 x −2 + 5 x −1 = 31 10. Resolver: Rpta: ............................................................. 16 8

5.

−27 − x

=4

De: 52

3x −1

Rpta: ..............................................................

= 625

Calcular: x −1

11. Hallar "x", en:

E = (x + 2)(2006 x)

25

−8 −x

−2 −1

= 0, 2

Rpta: ............................................................. Rpta: ............................................................. 6.

Al resolver: 5

5

81 2x − 4

27 8

=55

12. Resolver la ecuación exponencial:

Dar como respuesta el valor de: 4

H = x + 31

Rpta: ..............................................................

22

2x + 2

= 48

Rpta: .............................................................

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Compendio de Ciencias I-C 13. De la relación:

Álgebra 17. Al resolver la ecuación:

x

16

3 x = 27

xx

= 2

Halle el valor de x8.

Calcular: H = 2x x

x +1

Rpta: .............................................................. Rpta: ............................................................ 18. De la siguiente relación: 5 2x + 4 x = 2(10)x

14. De la igualdad: 2

x1+ x = 2 2

Calcular: E = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2

Hallar el valor de:

x

xx

x2

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

19. Al resolver la ecuación exponencial: 3 x + 9 x + 27 x + 81x = 12 + 4 2

15. ¿Qué valor de "x" verifica la igualdad? Dar como respuesta 3x

5 1 =  25  3 

x

3x − 2

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................. 20. Hallar "x".

16. Al resolver la ecuación trascendental: xx

25

= 55

xx

xN

= 72 + x

72 + x

N

4

Dar como respuesta el valor de x15.

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

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Compendio de Ciencias I-C

1.

Álgebra

Resolver:

4.

De:

2 x +3 − 2 x +2 + 2 x +1 − 2 x = 50 x

2.

A) 1/4

B) 1/5

D) 1/3

E) 1/6

3

x x = 36

C) 1/2

Calcular:

E = x 3 + x6

De la relación: 5

2 2x −1

A) 24

B) 28

D) 42

E) 68

= 25 5.

Dar como respuesta:

Calcular "n", en:

E = (x + 1)x +1

A) 4 5

D) 5

3.

C) 38

B) 27

5 2n − 3 + 5 2n − 2 + 5 2n −1 5 n + 5 n +1 + 5 n + 2

C) 256

6

E) 6

A) 5

B) 4

D) 7

E) 8

= 625 C) 6

Al resolver: x

3 3 = 27 81 Dar como respuesta: (2x–1)2 A) 4

B) 16

D) 81

E) 121

C) 64

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Compendio de Ciencias II-C

Álgebra

CAPÍTULO

04 OBJETIVOS - Identificar los conceptos básicos de la NOTACIÓN FUNCIONAL. - Conocer las relaciones entre conjuntos. - Relacionar los conceptos obtenidos de la teoría con hechos de la realidad.

Problema por desarrollar

Problema desarrollado 1.

2

Demostrar que: P(x) = 3x + 15x + 6 es divisible por 3. Resolución:

{

}

1.

2

Demostrar que: P(x) = 3x + 15x + 6 es divisible por 6. (∀ x ∈ + ) Resolución:

Sea: P = x ∈  + / 3 x 2 + 15 x + 6 es divisible por 3. I.

Para: x = 1. → P(1) = 3(1)2 + 15(1) + 6 = 24 es divisible por 3.

II.

Para: x = 2. → P(2) = 3(2)2 + 15(2) + 6 = 48 es divisible por 3.

III. Para: x = 3. → P(3) = 3(3)2 + 15(3) + 6 = 78 es divisible por 3. M Para: x = n. → P(n) = 3(n)2 + 15(n) + 6 será divisible por 3.

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Compendio de Ciencias II-C

1.

Álgebra

Sea el polinomio entero en x: P(x) = 3x2 + 4x + 5 Evaluar: P(2)

8.

Se sabe que: P(x) = x100 – 4x98 + 5x – 2 Calcular: E = P(0) + P(1) + P(2)

Rpta: .............................................................. 2.

Rpta: ..............................................................

De: 2

Q(x) = x + 4x + 1 9.

Calcular:

F(x) = x200 – 16x196 + 8x + 10 Evaluar:

Q(3) – Q(–3)

N = F(0) + F(1) + F(2) Rpta: .............................................................. Rpta: .............................................................. 3.

De: F(x) = x2 – 11x + 30 Obtener:

10. Sea: P(x) = x2 – 6x + 11

F(1) + F(2) + F(3) Evaluar: Rpta: .............................................................. 4.

Dado el polinomio: P(2x – 1) = x2 + x + 1 Evaluar: P(3) + P(5) + P(7) Rpta: .............................................................

P(P(2))

Rpta: .............................................................. 11. De:

F(x) =

2

x – 5x + 4

Calcular: F(F(F(0)))

5.

Sea el polinomio: Q(x – 3) = x + 5 Calcular: Q(0) + Q(1) + Q(2) Rpta: .............................................................

6.

Sea: P(x) = 2x4 + 4x2 + 5

Rpta: ............................................................. 12. De los polinomios: P( x ) = 3 x − 1 ............. (I) Q( x ) = x − 2 .............. (II) Evaluar: Q(P(2))

Evaluar: P( 3 )

Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................. 13. Si: 7.

De:

P( x x ) = x 2 + x + 3 P( x − 5 ) = x + x + x + 10 6

4

2

Evaluar:

Calcular: P(4)

P(0) Rpta: ..............................................................

Rpta: ............................................................

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Compendio de Ciencias II-C

Álgebra

14. De:

18. Sea: x

2

P(x ) = x + 5x + 1

P( x ) = a x 2 + b ......................... (I)

Evaluar:

P(P( x )) = 8 x 4 + 24 x 2 + c .............. (II)

E = P(27) – P(4)

Hallar: a + b + c.

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

15. Sea: F( x ) =

x + 20 ; ( x ≠ 1) x −1

19. A partir de: P(x) = ax + bx ; además: P(2) = 1

Hallar:

Calcular:

F(F(x))

E=

Rpta: ..............................................................

P(5) − P(7) P(4) + P(3) 2

16. Dado:

P(x) =

Rpta: ..............................................................

x2 – 6x + 11

Calcular: 20. Sea el polinomio: P(x) = ax + b ;

P(P(P(2)))

Además: Rpta: ..............................................................

P(P(P(x ))) = 8 x + 189

Calcular: P(5)

17. A partir de: P( x ) = 2 x + 6 ................ (I) P[F( x )] = 4 x − 6 ................ (II)

Rpta: ..............................................................

Calcular: F(3) Rpta: ..............................................................

1.

2.

3.

P(x) = x3 + x2 + x + 1 Calcular: P(2) A) 12 B) 13 D) 15 E) 16 Dado el polinomio: P(2x – 1) = x2 + x + 1 Evaluar: P(7) A) 17 B) 19 D) 21 E) 23

4. C) 14

C) 20

x + 20 x −1

( x ≠ 1)

Indicar el equivalente de: F(F(x)) A) 0 B) 1 C) x D) 2x 2 E) x

5.

P( x + x −1 ) = x 3 + x −3

Evaluar: P(5) A) 110 C) 125 E) 140

2

Sea: P(n) = n – 6n + 11 Evaluar: P(P(2)) A) 0 B) 2 D) 6 E) 11

Sea la función: F( x ) =

B) 115 D) 130

C) 3

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Compendio de Ciencias II-C CAPÍTULO

Álgebra

05 OBJETIVOS - Identificar los conceptos básicos del GRADO DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. - Conocer las relaciones entre conjuntos. - Relacionar los conceptos obtenidos de la teoría con hechos de la realidad.

DIOFANTO DE ALEJANDRÍA Matemático griego que vivió probablemente en el S. III. Su legado matemático se considera como un precedente del álgebra. Su obra mas importante de Aritmética, de gran originalidad en la literatura matemática griega, pues, en lugar de enunciar teoremas y proposiciones, contiene problemas en su mayoría, entre números abstractos. En la resolución de estos problemas utiliza un simbolismo semejante al actual de los polinomios en una determinada, aplicando métodos diferentes para cada caso particular, llenos de ingenio y que ponen de manifiesto el conocimiento de una gran cantidad de propiedades aritméticas. Se ocupó también de las ecuaciones determinadas, con más variables que ecuaciones, cuyas soluciones pertenece al conjunto de los números enteros. A estas ecuaciones se las denomina hoy ecuaciones diofánticas. Su Aritmética comprende trece libros, de los cuales, desgraciadamente, sólo se conservan seis. En 1460 fue encontrada esta importante obra en la Biblioteca del Vaticano en 1575 una traducción latina con el título Diophanti Alexandrini rerum arithmeticarum libri sex. El texto griego no fue publicado hasta 1621 con una traducción latina superior a la anterior. Fermat, Euler, Lagrange y Gauss se basaron en esta obra para sus investigaciones sobre teoría de números.

GRADOS DE MONOMIOS Y POLINOMIOS GE NE RALID AD ES El grado de una expresión cualquiera viene definida por los exponentes de sus variables, sin interesar la naturaleza de sus coeficientes. Por ejemplo: *

Para la expresión algebraica racional entera:

*

diremos que es el grado 144. Si tenemos la expresión racional fraccionaria:

P(x,y,z )=

2 x 101 +

-

En el nivel elemental, el cálculo de grados absolutos y relativos de expresiones enteras, y la obtención del grado para las distintas operaciones algebraicas.

-

En el nivel intermedio, la determinación del número de raíces complejas de una ecuación polinomial definida en el conjunto C.

-

En el nivel superior, los diversos criterios teóricos en el análisis de las estructuras algebraicas: sistema, campo, anillo y grupo; piedra angular de todo el álgebra contemporánea.

3 y144 - 5 z 136

Q(x )= a 0 x -99 + a 1 x -98 + a 2 x -97 + ..a 97 x -2 + a 98 x -1

*

Por ejemplo:

podemos afirmar que es de grado (–1), es decir, se escoge el mayor exponente de la variable. En la expresión algebraica irracional: R(x,y,z) = (a – b)x 2/3 + (b + c)y –1/6 – (c – a)z5/4 obviamente tomaremos como grado el valor 5/4.

Las aplicaciones diversas de este concepto básico en la álgebra moderna, son de capital importancia en los distintos niveles de esta parte de las matemáticas.

Nuestro interés se centrará en el estudio del grado aplicado exclusivamente a expresiones algebraicas racionales enteras, que será el sustento básico para el posterior análisis de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones elementales.

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Compendio de Ciencias II-C SÍNTESIS TEÓRICA GRADO DE UNA EXPRESIÓN ENTERA Objetivo.- Mostrar que el grado es la propiedad implícita más importante de las expresiones algebraicas racionales enteras, ya que este nos indica el número de raíces para polinomios de una variable, y la dimensión funcional en n, para polinomios de varias variables. Concepto.- El grado es la principal característica de una expresión entera, el cual viene dada por los exponentes naturales que afectan a sus variables. CÁLCULO DEL GRADO DE UNA EXPRESIÓN ENTERA A . Para un Monomio * Grado absoluto (G.A.) Se determina sumando todos los exponentes de las variables. * Grado relativo (G.R.) Se determina ubicando el exponente de la variable referida en dicha expresión. Ejemplo explicativo: Dado el monomio: M(x,y,z )= 2 x 5 y 3 z 4 - El grado absoluto será: G.A.(M) = 5 + 3 + 4 = 12 - Con respecto a una de sus variables: G.R.(x) = 5 G.R.(y) = 3 y el G.R.(z) = 4 B . Para un polinomio * Grado absoluto (G.A.) Se determina tomando el mayor grado absoluto de uno de sus términos. * Grado relativo (G.R.) Se determina ubicando el mayor exponente de la variable referida en dicha expresión. Ejemplo explicativo: Sea el polinomio: P(x,y )= 3123 x 8 y 4 + 7123 x 5 y 6 − 4123 x 2 y7 T1 T2 T3

-

Obtención del grado absoluto de cada término: GA(T1) = 8 + 4 = 12 (es el mayor) GA(T2) = 5 + 6 = 11 GA(T3) = 2 + 7 = 9 Por lo tanto: GA(P) = 12

-

Cálculo del grado relativo: Mayor exponente de x: GR(x) = 8 Mayor exponente de y: GR(y) = 7

Álgebra Ya que se supone, que la variable está elevada a la cero. 2. El grado de la constante nula no está definida Es decir: Si: P(x) = 0 → grado (P) es indifinida. 3. Es indiferente utilizar la terminología grado o grado absoluto. GRADO EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS 1 . ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Dados: grado (P) = m grado (Q) = n; donde m > n Se define:

grado (P + Q)= m grado (P - Q)= m

I I . MULTIPLICAC IÓN Dados: grado (P) = m grado (Q) = n Se define: grado (P × Q)= m + n III. D IV IS IÓ N Dados:

grado (P) = m grado (Q) = n; donde m ≥ n

 P  = m- n Se define: grado  Q 

IV. POTENCIAC IÓN Dado: grado (P) = m, y n un número natural cualquiera. Se define:

grado (P n )= m - n

V. R AD IC AC IÓ N Dado: grado (P) = m, y n un número natural, tal que n ≥ 2. Se define: grado n P = m n Ejemplos explicativos: 1. Dados: grado (P) = 3 y grado (Q) = 2 Determinar el grado de la expresión: E = 9P 4 +8Q 5–6PQ * Calculando por separado el grado de cada término: Grado (9P4) = 3 . 4 = 12 (Es el mayor) Grado (8Q5) = 2 . 5 = 10 Grado (6PQ) = 3 + 2 = 5

Finalmente, debemos tener en cuenta que: 1. El grado de una constante monómica es igual a cero. Veamos: Sea: P(x) = 5 → grado (P) = 0

Por lo tanto: Grado (E) = 12 Observar que los coeficientes de la expresión, 9, 8 y –6, no intervienen en el cálculo de los grados.

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Compendio de Ciencias II-C

2. Calcular el grado de: A = *

P3 Q

2

Álgebra

n

(7P + 6Q)

Grado (M) =

∑

(k 2 + k) =

k= 1

n

∑

k2 +

k= 1

Si: grado (P) = 4 y grado (Q) = 5 Calculando por separado, se tiene:

Grado (M) =

 P3  grado  2  = 4 × 3 - 5 × 2 = 12 - 10 = 2 Q   

Grado (M) =

grado (7P + 6Q) = 5

Efectuando, resulta: grado (M) =

Como ambos se están multiplicando, resultará:

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + 6 2

Dar el grado de: T = 3 P 4 + Q 9 - 4 P 8 - Q9 Analizando por separado el grado de cada radical, se tienen: 4 9 P {+ Q { ⇒ grado (P4 – Q9) = 24 (el mayor) 6.4 2.9

CONCEPTOS PRELIMINARES

Por tanto:

1 . Cero o raíz de un polinomio de una variable

3. Si grado (P) = 6 y grado (Q) = 2.

24 grado 3 P 4 + Q 9 = = 8 3 8 6 P {-Q { ⇒ grado (P8 – Q6) = 48 (el mayor) 6.8 2.6

grado

4

P 8 - Q6 =

48 = 12 4

Luego, en resumen se tiene lo siguiente: T = 3 P 4 + Q 9 - 4 P 8 - Q6 14243 14243 grado 8 grado 12

2n − 1 = 2n − 1 ; n ∈  + 2 −1

5. Determine el grado del multinomio, que se genera al efectuar la productoria: M(x)=(x+a0)2(x2+a1)3(x3+a2)4(x4+a3)5...(xn+an–1)n+1 Donde a0, a1, a2, a3, ..., an–1, son los términos independientes de los factores de la expresión. Por propiedades el grado de M, será: Grado (M) = 1.2 +2.3+ 3.4+4 .5+.. .+n(n+1) n

Grado (M) =

∑

k= 1

P(x)=a 0 x n+a 1x n–1+a 2 xn–2+...+a n–1x+a n ; a 0 ≠ 0 y un número real “r”. Se dice que “r” es un cero o raíz real de P(x), si se verifica: P(r) = 0 ; r ∈ 

El polinomio de 3er grado: P(x) = x3 – 7x+6

4. Calcular el grado de la expresión monómica: T = xy 2z4w8.... Si admite en total “n” variables. * grado (T) = 1+2+4+8+...+“n” sum ando grado (T) = 2 0+2 1 +2 2 +2 3+...+2 n–1 Luego: grado (T) =

Dado un polinomio P(x) de grado “n”.

Por ejemplo:

tomando el mayor de ellos: grado (T) = 12

*

n(n + 1)(n + 2) 3

TEORÍA ELEMENTAL DE LOS POLINOMIOS A diferencia de la rigurosidad teórica del álgebra superior en este nivel nos interesa establecer una visión práctica de los polinomios, de sus características y propiedades generales; y de su relación evidente con las ecuaciones polinomiales, al introducir el concepto de cero o raíz de un polinomio.

grado (A) = 2 + 5 = 7

*

k= 1

(1 2 + 2 2 +3 2 + . .. + n 2 ) + ( 1 + 2 + 3 + .. . + n)

(el mayor grado de los 2 términos) *

n

∑k

K(k + 1) ; k ∈  +

Verifica:

P(1) = (1)3 – 7(1) + 6 = 0 P(2) = (2)3 – 7(2) + 6 = 0 P(–3) = (–3)3 – 7(–3) + 6 = 0

Luego, podemos afirmar que 1, 2 y (–3) son ceros o raíces de la expresión. 2 . Teorema del factor de un polinomio Si en un polinomio P(x) de grado “n”, se cumple que P(r) = 0; r ∈ . Diremos que (x – r) es un factor de dicha expresión. Por ejemplo: Formar un polinomio mónico de 4to grado que verifique las relaciones: P(4) = P(–1) = P(7) = P(–5) = 0 Un polinomio mónico se caracteriza debido a que su coeficiente principal es la unidad. Por los datos mencionados: Si: P(4) = 0 ; entonces (x – 4) es un factor. Si: P(–1) = 0 ; entonces (x + 1) es un factor.

Convertido a pdf por Eddier J. Cuela Humpire

Compendio de Ciencias II-C Si: P(7) = 0 ; entonces (x – 7) es un factor. Si: P(–5) = 0 ; entonces (x + 5) es un factor. Finalmente, podemos concluir que: P(x) = (x – 4)(x + 1)(x – 7)(x + 5)

Álgebra Ejemplos diversos: * En el polinomio de primer grado: P(x) = 2x – 1  1  es su única raíz, ya que P  1  = 0     2 2

3 . Raíces múltiples de un polinomio: Se tiene el polinomio de grado “n”, cuyas raíces r1, r2, r3, ... rm son múltiples tal como se indica:

*

P(x) = a0(x–r1)α (x–r2)β (x–r3)γ ...(x–rm)φ; a0 ≠ 0 donde: m < n y α + β + γ + ... + φ = n

En el polinomio de segundo grado: P(x) = x2 + 3x – 4 (–4) y 1 son sus raíces, debido a que: P(–4) = 0 ; P(1) = 0

Podemos afirmar que: r1 es una raíz de multiplicidad α

*

r2 es una raíz de multiplicidad β r3 es una raíz de multiplicidad γ . . . . . . rm es una raíz de multiplicidad φ Siendo r ∈  y {α, β, γ, ... φ} ⊂ + ≥ 2 Por ejemplo: El polinomio mostrado: P(x) = 5(x – 4)3 (2x + 1)4 (x – 3)2 (4x – 3) es de grado 10. Luego, por el corolario 1, éste admitirá exactamente 10 raíces, de las cuales: 4 es una raíz de multiplicidad 3. –1/2 es una raíz de multiplicidad 4. 3 es una raíz de multiplificidad 2. 3/4 es una raíz simple (no múltiple). 4 . Teorema fundamental del álgebra Todo polinomio P(x) de grado “n” definido en C, admite por lo menos una raíz en C. Este concepto es trascendental en el álgebra superior estructural, cuya demostración se expone en los textos de matemática avanzada.

En el polinomio de tercer grado: P(x) = x3 – 7x + 6 –3, 1 y 2 son sus raíces, ya que verifican: P(–3) = 0 ; P(1) = 0 ; P(2) = 0

FORMAS POLINÓMICAS SEGÚN EL GRADO 1. Forma general de un polinomio de 1er grado. P(x) = ax + b ; a ≠ 0 2. Forma general de un polinomio de 2do grado. P(x) = ax2 + bx + c ; a ≠ 0 3. Forma general de un polinomio de 3er grado. P(x) = ax3 + bx2 + cx + d ; a ≠ 0 M

n.- Forma general de un polinomio de n-mo grado. P(x) = a 0xn+a 1xn–1+a 2xn–2 + ... + a n ; a 0≠ 0 Propiedades Generales A. Para determinar la suma de los coeficientes de un polinomio P(x), se evalúa dicha expresión para x = 1. Es decir: En la expresión general de grado “n”: Σ coeficiente P(x) = P(1) P(1) = a 0(1) n + a 1(1) n–1 + a 2(1) n–2 + ... +a n ∑ coef. P(x)= a 0 + a 1 + a 2 + ...+ a n

B. Para determinar el término independiente de un polinomio P(x), se evalúa dicha expresión para x = 0.

Nos interesa la consecuencia práctica de esta propiedad, para lo cual expongamos:

Es decir: En la expresión general de grado “n”: Término independiente P(x) = P(0)

Corolario 1: Todo polinomio P(x) de grado “n”, acepta exactamente “n” raíces en el conjunto C.

P(0) = a 0(0) n + a 1(0) n–1 + a 2(0) n–2 +...+a n T.I.P.( x )= a n

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Compendio de Ciencias II-C

Álgebra

Ejemplo 1:

Ejemplo 3:

Calcular la suma de los coeficientes de la expresión

Para que valor natural de “n” en la expresión:

entera:

P(x) = (2x + 1)n + (3x + 1)n

P(x) = (2x–1)3 (x+2)4 + (3x+2)2 (x–2)5

La suma de coeficientes excede en 23 al término

Σ Coef. [P(x)] = P(1) =

independiente.

(1)3(3)4

+

(5)2(–1)5

Σ Coef. [P(x)] = 81 – 25 = 56

*

Por dato, se tiene: P(1) – P(0) = 23 Evaluando la expresión para

Ejemplo 2

x = 1: P(1) = 3n + 4n

Muestre el término independiente del polinomio:

x = 0: P(0) = 1n + 1n = 2 En el dato inicial: (3n + 4n) – 2 = 23

P(x) = (5x+2)4 (7x–6) – (4x+5)2 (3x–2)3

Resulta: 3n + 4n = 25

T.I. [P(x)] = P (0) = (2)4(–6) – (5)2 (–2)3

Por simple inspección: n = 2

T.I. [P(x)] = –96 + 200 = 104

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Dado un polinomio denotado por: P(n) = 25. Demostrar que: P(n) = P(n–1) + 4

∀n > 1

Resolución:

A partir de: P(n) = 15 Demostrar que: P(n + 1) = 2P(n) + 1 Resolución:

Haciendo uso de lo demostrado: P(2) = P(1) + 4 = 25 + 4 P(3) = P(2) + 4 = (25 + 4) + 4 = 25 + 2(4) P(4) = P(3) + 4 = [25 + 2(4)] + 4 = 25 + 3(4) M P(n) = 25 + (n − 1)4 = 4 n + 21 Por inducción: P(1)

= 4(1) + 21 = 25 ................... verdadero

P(2)

= 4(2) + 21 = 25 + 4 ............. verdadero

P(3)

= 4(3) + 21 = 25 + 2(4).......... verdadero

M P(n)

= 4(n) + 21........

P(n + 1) = 4(n + 1) + 21 ............. lqqd

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Compendio de Ciencias II-C

1.

Álgebra

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda 5

2

en el polinomio: P(x) = 3x + 2x I. El grado absoluto es 5. II. La suma de coeficientes es 12. III. El término independiente es 3.

+ 6x + 1 ........ ( ) ........ ( ) ........ ( )

Rpta: .............................................................. 2.

8.

Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = 6x4 – 5x3 + 4x2 – 3x + 2

Indicar el grado absoluto del polinomio: P( x,y,z ) = 2 x 8 y 4 z 2 − ( xy )6 z 3 + x 4 y 10 − x 9 y 3 z 2

Rpta: .............................................................. 9.

Sea el polinomio: P( x,y ) = 2 x a + 2 y 2 − 3 x a +1 y b + 5 x 6 y b −1

Donde: GA = 10; GR(y) = 4 Hallar: GR(x)

Rpta: .............................................................. Rpta: .............................................................. 3.

Calcular la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (x + 1)5 + (x + 3)3 + (x + 4)2 + (x + 5) + 6 Rpta: ..............................................................

10. Dado el polinomio: P( x,y,z ) = a x a + 7 y a + 6 z a − 3 + x a y a +10 z a + 5

de grado 30. Indicar el valor de: k = 2a + 1 4.

¿Qué afirmación es verdadera (V) o falsa (F)? En: P(x) = 2x3 + x2 + 6x + 8 I. El término independiente es 8. ........ ( ) II. El grado es 3. ........ ( ) III. El coeficiente del término lineal es 6. ........ ( ) Rpta: .............................................................

5.

Determinar el valor del término independiente del polinomio: P(x) = (x + 4)(x + 5) – (x + 2)(x + 3)

Rpta: .............................................................. 11. Dado el monomio: M( x,y ) = (a + b) x 2a − 2 y 3 b Donde: Coef(M) = GR( x ) GA(M) = 27 Hallar: ab. Rpta: .............................................................

Rpta: ............................................................. 12. Sea el polinomio: 6.

P( x,y ) = 2 x a + 5 y a −1 + 3 x a − 2 y a + 9 + 4 x a + 7 y a − 2

Dado el monomio: M( x ) = (n 2 − 1) x n −1 4

de grado absoluto 33; calcular el valor real de "a".

Calcular el coeficiente si es de segundo grado. Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................. 13. Indicar el grado absoluto de: 7.

Si el monomio: M( x ) = (a − 3) x 3

3

2 a −3

P( x,y ) = 3

x 10 y 5 + x 10 y 11 − y 8 x 6 + x 4 y2 + y6

es de séptimo grado; el coeficiente es: Rpta: ..............................................................

Rpta: ............................................................

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Compendio de Ciencias II-C 14. Hallar n si Q(x) es de segundo grado. Q( x ) = 7 x 10

3

Álgebra 18. Calcular el término independiente de: P( x ) = ( x + 2)5 + ( x − 3)3 − ( x + 2)( x − 3)

xn x6

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................. 15. Hallar el grado de:

19. La suma de coeficientes del polinomio.

P( x ) = ( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 6 + 1).....( x 50 + 1)

P( x ) = (4 x 3 + 3)(5 x 7 − 3)n −4 + (8 x − 9)10 es 449. Hallar: n.

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

16. Hallar el grado absoluto de: M( x,y,z,...,w ) = x 100 y 121 z 144 ..... w1600

20. En el polinomio: P(2 x − 3) = (2 x + 3)4 n + 2(12 x − 6)2 n + (2 x + 1)2 n

Rpta: ..............................................................

Calcular n si su término independiente es igual a 1600.

17. ¿Cuántas letras se deben tomar para que el grado absoluto del monomio? M = a 6 b 24 c 60 d 120 ......... sea : 6006

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

1.

Hallar el coeficiente del monomio de sexto grado:

4.

P( x ) = ( x + 2)5 − ( x + 3)3 + ( x + 2)( x + 3)

M(x ) = 3 n x 4 n A) 9 C) 27 E) 243 2.

P( x,y ) = 3 x 4 y 3 − 2 x 6 y 2 + 210 x 3 y

A) 6 C) 8 E) 17 3.

A) 9 C) 11 E) 13

B) 18 D) 81

Indicar el grado absoluto del polinomio:

B) 7 D) 14

Calcular el término independiente del polinomio:

5.

B) 10 D) 12

Determinar el grado de: P( x ) = ( x + 1) + ( x + 1)4 + ( x + 1)9 + .....( x + 1)400

A) 2700 C) 2870 E) 2743

B) 2840 D) 3049

Hallar el valor de m; para que la expresión: 4 M( x ) = 3 x 2 m . x m sea de tercer grado.

A) 6 C) 4 E) 12

B) 8 D) 10

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Compendio de Ciencias II-C

Álgebra

CAPÍTULO

06 OBJETIVOS - Identificar los conceptos básicos de los POLINOMIOS ESPECIALES. - Conocer las relaciones entre conjuntos. - Relacionar los conceptos obtenidos de la teoría con hechos de la realidad.

CONCEPTO Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado, coeficientes y variables) y por la forma como se presentan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen notables. En este nivel, por sus aplicaciones usuales, nos interesa el estudio de los siguientes polinomios:

Es completo respecto de x, pero incompleto respecto a y. Además el término que no depende de x es (–2y6). Es decir: T.I.( x )= −2 y 6

PROPIEDADES USUALES 1 . Polinomio ordenado Con respecto a una variable, es aquel polinomio en la cual los valores de los exponentes de dicha variable, sólo aumentan o disminuyen según que la ordenación sea CRECIENTE o DECRECIENTE. La variable que presenta esta característica se denomina ORDENATRIZ.

Corolario 2 En todo polinomio completo de una variable, el número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en la unidad. Es decir: # términos = grado + 1

Ejemplos: *

*

Ejemplos:

En el polinomio: P(x,y) = 6x 7y 2 + 5x 5y 4 – 8x 3y 6 + 4y 9 La variable x es ordenatriz decreciente de P. La variable y es ordenatriz creciente de P.

*

P(x) = 4x + 7x3 + 5 + 6x5 + 2x2 + 8x4 # términos = grado (P) + 1 # términos = 5 + 1 = 6

En la expresión racional: Q(x,y) = 2 x 8 y + 3 x 5 y 4 + 0,6 x 9 y 7 - π x 4 y10 No existe una ordenación respecto de x. Respecto de y está ordenado en forma CRECIENTE.

2 . Polinomio completo Con respecto a una variable, es aquel polinomio en la cual, los valores de los exponentes de dicha variable aparecen de manera consecutiva desde el mayor hasta el cero inclusive, sin interesar la ordenación presentada. Por ejemplo: El polinomio mostrado F(x,y) = 6xy 4 + 5x 3y 2 – 7x 2y + 8x 4y 5 – 2y 6

En el polinomio:

Corolario 3 En todo polinomio completo y ordenado de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad. grado (tk)- grado(tk + 1) = 1

Ejemplo: *

En el polinomio: P(x )= a 0x 8+ a 1x 7+ a2x 6+ a3x 5+ a 4x4+ a 5x 3+ a 6x 2+ a7x + a 8 T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

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Compendio de Ciencias II-C

Álgebra

Veamos:

Afirmamos que P y Q son idénticos, debido a que al evaluarlos para:

| grad(t 2 )–grado(t 3 )| = | 7–6| = | 1| = 1 | grado(t 5 )–grado(t 6)| = |4 – 3| = |1| = 1

x = 1 P(1,1) = (1 + 1)4 − (1 − 1)4 = 16  y = 1 Q(1,1) = 8(1)(1)2 (1 + 1)2 = 16

3 . Polinomio homogéneo Un polinomio de dos o más términos y más de una variable es homogéneo, si dichos términos presentan el mismo grado absoluto, denominado grado de homogeniedad.

Del mismo modo, para: x = 1 P(2,1) = (2 + 1)4 − (2 − 1)4 = 81 − 1 = 80  y = 1 Q(2,1) = 8(2)(1)2 (2 + 1)2 = 16(5) = 80 Los valores numéricos resultantes siempre son iguales.

Ejemplo: *

En el polinomio: 11 P(x )= 7123 x 8 y 4 + 9123 x 5 y 7 − 8123 x 3 y 9 + 41xy 23 T1 T2 T3 T4

GA(T1) = GA(T2) = GA(T3) = GA(T4) = 12 Es decir: grado de homogeneidad (P) = 12 Corolario 4 Todo polinomio homogéneo P(x,y) de grado “n” verifica la siguiente sustitución literal: P(m x , m y )= m n P( x,y ) ; m ∈ 

Donde “n” es el grado de homogeneidad y la constante “m” es un escalar real. Ejemplo: Dado el polinomio homogéneo: P(x,y) =4x 3y 2 – 7x 2y 3 + 5xy 4 Sustituyendo: x → mx ; y → my P(mx,my) = 4(mx)3(my)2–7(mx)2(my)3+5(mx)(my)4 P(mx,my) =m 5(4x3y 2 – 7x2y 3 + 5xy 4) Finalmente: P(mx,my) = m5 P(x,y) ; m ∈  Donde: 5 es el grado de homogeneidad. 4 . Polinomios idénticos Dos o más polinomios del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si los valores numéricos resultantes de dichas expresiones son iguales, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables. Es decir: P( x,y ) ≡ Q( x,y ) ↔ P(a, b) = Q(a, b) ; {a, b} ⊂ 

Ejemplo: Dados:

Teorema 1 Dos polinomios de las mismas características, tales como: P(x,y) = a 0 x m + a 1x ny p + a 2x q y r +...+a ky s Q(x,y) = b 0x m + b 1x ny p + b 2 x q y r +...+b ky s son idénticos, si los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, son iguales. Es decir: a0 = b0 ; a1 = b1 ; a2 = b2, ... ,ak = bk

Ejemplo: Si son idénticos los polinomios: P(x,y,z) = (a+b)x 5 + (a+c)y 3 + (x+a)x 4 Q(x,y,z) = 5x 5 + 3y 3 + 4x 4 Calcular el valor de: (a+b+c) *

Por el teorema 1:

a + b = 5 b + c = 3 c + a = 4

Sumando las relaciones: 2(a+b+c) = 12 Simplificando: a + b + c = 6 5 . Polinomio idénticamente nulo Es aquel polinomio de grado no definido, cuyo valor numérico resultante siempre es igual a cero, para cualquier sistema de valores que asumen sus variables. Es decir: Pº (x, y )= 0, P(a, b)= 0

; {a, b} ∈ 

Ejemplo: Dado: P(x, y) = (x+4y)(x+y)–(x+3y)(x+2y)+2y 2 Afirmamos que P es idénticamente nulo, debido a que al evaluarlo para:

P(x,y) = (x + y) 4 – (x – y) 4

x= 1

Q(x,y) = 8xy (x 2 + y 2)

y= 1

P(1,1)= (5)(2)- (4)(3)+ 2 = 0

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Compendio de Ciencias II-C

Álgebra

De igual manera, para: x= 1

*

R( x,y ) = 2 ( xy )18

P(1, −1)= (−3)(0) − (−2)(−1)+ 2 = 0

y = -1

Reemplazando los valores de a, b y c en .

{x

12 + 4 ( −1)

− y6

}

8 6 ( xy )9 x4 - y3 } 123 • {1 24 grado 18 grado 8

Los valores numéricos siempre resultan ser iguales a cero.

∴ Grado (R) = 18 + 8 = 26

Teorema 2

Teorema 3

Un polinomio de la forma:

Si un polinomio de grado “n”, se anula por lo menos para (n+1) valores. Dicho polinomio será identicamente nulo.

P(x) = a0 xm + a1 xm–1 + a2 xm–2 + ... + am–1 x+am es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero. Es decir:

Ejemplo:

a0 = a1 = a2 = ...= am-1 = am = 0

Si el polinomio de 2do grado: P(x) = a(x+1)(x–2)+b(x–1)(x–2)+c(x 2–1)+6

Ejemplo:

Verifica: P(1) = P(2) = P(–1) = 0

Calcular el grado de la expresión:

Calcular el valor de: (a2 + b2 + c2)

R( x,y ) =

1− c

( xy )a + b

{x

b+4 c

− ya

}

Si el polinomio mostrado: P(x) = (x – a)2 + b(x – 3) + cx2 es idénticamente nulo considerando c< a < b.

*

Como P se anula para tres valores, necesariamente: P(x) ≡ 0. Es decir, su valor numérico siempre será igual a cero, para todo x ∈ .

Evaluando para: *

*

Efectuando operaciones en P, se tiene:

x = 1 → a(2)(–1) + 6 = 0 –2a + 6 = 0 → a =3

P(x) = x2 – 2ax + a2 + bx – 3b + cx2 * Agrupando: P(x) = (c+1)x2 + (b–2a)x+ (a2 – 3b) Como P(x) ≡ 0; por el teorema 2, resultan: = 0 → c = –1

*

c + 1

*

b – 2a = 0 → b = 2a ... (a)

*

a2 – 3b = 0 ; por (a). a2 – 6a = 0 a(a – 6) = 0 por la consideración a ≠ 0, luego: a = 6 → b = 12

x = 2 → c(22–1) + 6 = 0 3c + 6 = 0 → c = –2

*

x = –1→ b(–2)(–3) + 6 = 0 6b + 6 = 0 → b = –1

Por lo tanto: a2 + b2 + c2 = (3)2 + (–1)2 + (–2)2 =14

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Compendio de Ciencias II-C

Problema desarrollado

1.

Si:

Álgebra

Problema por desarrollar 1.

P( x,y ) = ( x + y )3

Sea: P( x ) = ( x + 1)4 ; Q( x ) = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1

Q( x,y ) = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3

Demostrar que:

Demostrar que:

P( x ) ≡ Q( x )

P( x,y ) = Q( x,y ) ; (∀ x , y ∈ )

;

(∀ x ∈ )

Resolución:

Resolución: Por inducción: * x = 1; y = 2: (1 + 2)3 = 1 3 + 3(1)2 (2) + 3(1)(2)2 + 2 3 = 27

*

x = 2; y = 3: (2 + 3)3 = 2 3 + 3(2)2 (3) + 3(2)(3)2 + 3 3 = 125

*

x = 2; y = 1: (2 + 1)3 = 2 3 + 3(2)2 (1) + 3(2)(1)2 + 1 3 = 27

*

x = 3; y = 2: (3 + 2)3 = 3 3 + 3(3)2 (2) + 3(3)(2)2 + 2 3 = 125 M ∴ ( x + y )3 ≡ x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 ∴ P(x, y) ≡ Q(x, y)

1.

2.

lqqd

Si: P(x) = xa + b + 2xb + c+3xc + d+ 4xd + 4

3.

Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

es completo y ordenado ascendentemente, calcular abcd

P(x,y)= a2xa+7 – bxa yb + abyb+4

Rpta.: .............................................................

Rpta.: .............................................................

Si el polinomio:

sabiendo que es homogéneo.

4.

Hallar: (a + b)(ab). Si:

P(x) = 18xa –18+ 32xa – b+15 +18xc – b+16

P(x,y) = xa – 2b ya+b –15xb y2b+a +2xa – b y8

es completo y ordenado en forma ascendente, calcular: a + b + c.

Es un polinomio homogéneo.

Rpta.: ............................................................. Rpta.: .............................................................

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Compendio de Ciencias II-C

5.

Calcular: a + b + c; Si ax(x + 1) + b(x + c) + x2 ≡ 3x2 + 8x – 12 Rpta.: .............................................................

6.

Sea el polinomio: P(x) = (ax+b) (x+2) – 3(x2 – c) Si: P(x) ≡ 0. Hallar: a + b + c

Álgebra 13. Si: P(x)=x+b ; además: P(P(x)) ≡ (a–3)x+a+8. Determinar: ab. Rpta.: ............................................................. 14. Sea el polinomio homogéneo: F(x,y) = 2xay4 – 5xb+3y5–b + 2bxb–1 Indicar: a+b. Rpta.: .............................................................

Rpta.: ............................................................. 7.

Dada la identidad:

15. Si: (a+b – 2)x3+(a+c – 3)x+(b+c – 5) ≡ 0 Determinar: a – b + c.

Ax(x – 1)+Bx(x – 2)+C(x – 1)(x – 2) ≡ 5x2 + x– 4 Calcular A.B.C Rpta.: ............................................................. 8.

Sea el polinomio completo y ordenado descendentemente: P(x) = 2xm–2 + 3xm–n+1 + 5xm–p+7 – xp–q–2 Calcular: q. Rpta.: .............................................................

9.

Rpta.: ............................................................. 16. Si el polinomio: P(x,y) = (a – 4)xy2+(a+b – 20)x2y ; se anula para cualquier valor de sus variables. Determinar: ab Rpta.: ............................................................. 17. Dado el polinomio: P(x)= (ab + ac – 3)x2 +(ac+bc – 4)x+(ab+bc–5) Indicar el valor de: N = abc (a+b)(a+c)(b+c) Si: P(x) ≡ 0.

El polinomio completo y ordenado: F(x) = 8xn–2 + 9xn–3 + ...... + xm–10

Rpta.: .............................................................

tiene 20 términos; halle: m+n. Rpta.: .............................................................

18. Calcular: a+b+c; si el polinomio: P(x,y) = xa + 3 y2+5xb – 5 y + 6x8 yc + 4+x10 y9 eshomogéneo.

10. Calcular: a+b, si: P(x,y) = xa+1y2a–5 + x9–nyn+5 + xb–3y8, es homogéneo. Rpta.: ............................................................. 11. Calcular: mn, si P(x,y) es homogéneo: P(x , y ) = 5 x m y 4 − 3 x 6 y 2 − 2 x 3 y 5 + n Rpta.: .............................................................

12. ¿Cuál será el valor de: A+B+C+D, para que el polinomio?

Rpta.: ............................................................. 19. Dado el polinomio completo y ordenado en forma decreciente: P(x) = x4a+3b – 3+5x2a+5b+6+105a – b+5+.... Calcular: a+b Rpta.: ............................................................. 20. Dado los polinomios idénticos: P(x,y) = (a – b)x3+(b – c)y3 Q(x,y) = (c – a)(x3+y3)

P(x)=(A – 3)x3 +2x 2 +2Cx 2 +(9–3B)x+D+8 sea identicamente nulo. Rpta.: .............................................................

Determinar:

a + 2b + 3 c a − 2b + 3c

Rpta.: .............................................................

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Compendio de Ciencias II-C

1.

Sea el polinomio completo y ordenado descendentemente:

Álgebra

4.

P( x ) = x m + ..... + x a + x b + x c + ..... + 1

Calcular: E =

B) 2

C) 0

D) 1/3

E) 3 2.

Calcular: (a + b), en el polinomio homogéneo:

A) 12

B) 30

C) 18

D) 48

E) 24 5.

P( x,y ) = 3 x 3 y a + 9 x 2 y b + x 18

Cuál será el valor de: A + B + C + D para que el polinomio: P( x ) = (A − 3) x 3 + (2 + 2C) x 2 + (9 − 3B)x + D + 8

sea idénticamente nulo.

A) 29

B) 30

A) 4

B) –3

C) 31

D) 32

C) –4

D) 2

E) 1

E) 33 3.

Determinar: ab

a +b+c b

A) 1

Si: P( x ) ≡ x + b además : P(P( x )) ≡ (a − 3)x + a + 8

Calcular: (a + b), si el polinomio: P( x,y ) = x a y b − (n + 1) x 2 n y n +1 + (ab) x 3 n y n −8 es homogéneo. A) 12

B) 28

C) 19

D) 32

E) 9

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Compendio de Ciencias III-C

Álgebra

CAPÍTULO

07 OBJETIVOS • • •

Nos permite efectuar directamente algunas multiplicaciones sin necesidad de aplicar constantemente la propiedad distributiva de la multiplicación. Conoce todas las equivalencias posibles, de tal manera que nos ayude a la factorización de manera directa. Buscar la habilidad operativa en algunos casos para la resolución de ecuaciones.

INT R O D UC CIÓ N

JOSEPH LOUIS LAGRANGE Turin (Italia) 1736 - París 1813 GEÓMETRA Y ASTRÓNOMO FRANCÉS Hijo de una ilustre familia parisina, pasó sus primeros años en Turin, su madurez en Berlín y sus últimos años en París donde logró su mayor fama. A los diecinueve años fue nombrado profesor de matemática en la escuela Real de Artillería de Turín. A los veinticinco obtuvo fama resolviendo el problema isoperimétrico. Inventó un nuevo cálculo de variaciones, que será el tema central de su vida. Después de varios años de esfuerzo (de vez en cuando enfermaba debido al exceso de trabajo) sucedió a Euler en Berlín. Fue llamado por Federico II a formar parte de la Academia de Berlín en 1788, y allí, trabajó con gran esfuerzo y éxito en temas relativos al análisis, la mecánica y la astronomía. Residió en Prusia durante veinte años produciendo obras que culminaron en su Mecánica Analítica publicada en Francia. A la muerte de Federico regresó a su país natal donde se dedicó a la metafísica, la historia, la religión, la filología, la medicina, la botánica y la química. En 1786, Luis XIV de Francia le invitó a trasladarse a París, donde hizo gran amistad con el químico Lavoisier, y en parte agotado por los esfuerzos realizados en Berlín, sufrió fuertes depresiones y desganas para trabajar en matemática. Se dice que cuando en 1788 salió publicada su obra maestra, la Mecánica Analítica, ni siquiera quiso abrir su ejemplar. La época de Terror (1793 - 1794) le trajo más sufrimientos, entre otros, el del guillotinamiento de su amigo Lavoisier. Se le perdonó por ser extranjero e incluso, poco después, los organismos de la Revolución requirieron su ayuda, su esfuerzo estimuló a Cauchay, que siguió un curso más acertado. Cuando Lagrange murió rodeado de honores, Laplace dijo en su elogio fúnebre que él al igual que Newton, “había poseído, en máximo grado, aquel supremo arte que consiste en descubrir los principios generales que constituye la propia esencia de la ciencia”. Lagrange tuvo, efectivamente, la virtud de saber detectar y traducir en fórmulas matemáticas principios básicos, por ejemplo de la Mecánica, de los que se derivan los resultados más insospechados con ayuda del cálculo y que, luego de la experimentación pone de manifiesto. Murió convertido por Napoleón en conde y senador.

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Álgebra

LECTURA

APORTES SUSTANCIALES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Sabemos que la parte teórica de la matemática tiene su origen en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia antigua. Una vez descubiertos los números irracionales, en la aún fortalecida matemática griega, hubo la necesidad de crear para la investigación científica una teoría matemática general adecuada, tanto para los números racionales como para los irracionales. En cuanto se descubrieron los números irracionales resultó que la colección de magnitudes geométricas por ejemplo, los segmentos era más completa que el conjunto de los números racionales, entonces resultó oportuno construir un cálculo más general en forma geométrica. Este cálculo fue creado y recibió el nombre de Algebra Geométrica pues desde este momento los producto notables -conocidos en la actualidad- tienen su interpretación geométrica. Algunos de estos ejemplos se muestran a continuación: 1.

Trinomio Cuadrado Perfecto

a

b

a

b

a2

ab

+ =

+

a2

+

b2

ab

ab

2

b2

ab

2

2

(a+ b) = a + 2ab + b 2.

Diferencia de Cuadrados

b2 a

b

a(a–b) a–b a–b

=

a(a–b)

+

b(a–b)

b a a(a–b) + b(a–b) = (a–b)(a+ b) = a2–b 2

3.

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado a

b

c

a

a2

ab

ac

b

ab

b2

bc

c

ac

bc

c2

=

a2 +

ab

+ ac

ab +

b2

+ ab

ac +

bc

+ c2

+

(a+ b+ c)2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

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Compendio de Ciencias III-C

Álgebra

PRODUCTOS NOTABLES SÍNTESIS TEÓRICA Concepto.- Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. Ello por la forma característica que presentan.

PRINCIPALES EQUIVALENCIAS ALGEBRAICAS 1.

Cuadrado de un binomio 2

2

4.

2

2

2

2

2

2

3

3

(a + b) (a – ab + b ) = a + b

(a + b) = a + 2ab + b 2

Suma y diferencia de cubos

3

3

(a – b) (a + ab + b ) = a – b

2

(a – b) = a – 2ab + b

Al desarrollo del cuadrado de un binomio se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto

Formas particulares usuales:

Identidad de Legendre

• (a – 1) (a + a + 1) = a – 1

2

2

2

3

• (a + 1) (a – a + 1) = a + 1 2

2

3

2

(a + b) + (a – b) = 2(a + b ) 5. 2

2

n

2

2

2

3

3

3

4

4

4

2

2

5

5

5

3

2

(a + b) – (a – b) = 4ab

• a +b = (a+b) – 2ab

Consecuencias importantes:

• a +b = (a+b) – 3ab (a+b)

4

4

• (a + b)

2

2 2

• a +b = (a+b) – 4ab (a+b) +2(ab)

2

+ (a – b) = 2[(a + b ) ] + (2ab) ]

4

4

2

• a +b = (a+b) – 5ab (a+b) +5(ab) (a+b)

2

• (a + b) – (a – b) = 8ab (a + b )

2

6.

Teorema:Todo trinomio de la forma (ax +bc+c) es cuadrado perfecto, si y sólo si, su discriminante es igual 2 2 a cero. Es decir: D = b – 4ac = 0 “ b = 4 ac ”

2.

n

Formas explícitas de a + b

Diferencia de Cuadrados 2

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado 2

2

2

2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2

2

2

2

(ab+bc+ca) = (ab) +(bc) +(ca) +2abc(a+b+c)

7.

Desarrollo de un Trinomio al Cubo

2

(a + b) (a – b) = a – b

Forma expuesta por Cauchy: 3

3

3

3

(a+b+c) = a + b +c +6abc+3ab(a+b)+ 3.

Cubo de un Binomio 3

3

2

2

3bc(c+b)+3ac(a+c)

3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b

Otras formas usuales del desarrollo 3

3

2

2

3

(a – b) = a – 3a b + 3ab – b Identidad de Cauchy 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

• (a+b+c) = a +b +c +3(a+b)(b+c)(c+a) • (a+b+c) = a +b +c +3(a+b+c)(ab+bc+ca)

3

(a + b) = a + b + 3ab (a + b) – 3abc 3

3

3

(a – b) = a – b – 3ab (a – b)

3

Consecuencias importantes: 3

3

3

3

2

• (a + b) + (a – b) = 2a (a + 3b ) 2

2

2

2

• (a+b+c) = 3(a+b+c)(a +b +c ) 3

3

3

–2(a +b +c )+6abc

2

• (a + b) – (a – b) = 2b (3a + b )

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Compendio de Ciencias III-C 8.

Álgebra IGUALDADES CONDICIONADAS

Identidades de Stevin 2

(x+a) (x+b) = x + (a+b)x + ab 3

Si a+b+c = 0; se cumplen las siguientes relaciones: 2

(x+a)(x+b)(x+c) = x +(a+b+c)x +(ab+bc+ca)x +abc 9.

2

2

3

3

2

•

a + b + c = –2(ab+bc+ca)

•

a + b + c = 3abc

•

a + b +c = 2(ab+bc+ca) =

3

(a +a b +b )(a –a b +b )=a +a b +b

•

1 2 2 22 (a +b +c ) 2 5 5 5 a + b + c = –5abc (ab+bc+ca)

Forma general de mayor utilidad:

•

a + b + c = 3(abc) – 2(ab+bc+ca)

•

a + b + c = 7abc(ab+bc+ca)

•

3(a +b +c )(a +b +c )=5(a +b +c )(a +b +c )

Identidad trinómica de Argand 2n

(a

n n

2n

2n

2n

n

n n

2n

2n

4n

4n

2n 2n

4n

2n

+a +1) (a –a+1)=a +a +1

10. Identidades de Lagrange 2

2

2

2

2

• (a +b )(x +y ) = (ax+by) + (ay – bx)

2

2

2

2

2

2

2

2

• (a +b +c )(x +y +z )=(ax+by+cz) +(ay–bx) 2

3

3

3

2

2

4

2

6

6

6

7

7

7

2

2

2

2

5

5

3

5

3

5 5 5  a2 + b 2 + c 2  a +b +c =    5 2  

•

 a3 + b 3 + c 3 6 6 6 a +b +c =3   3 

•

a 7 + b 7 + c7  a 2 + b 2 + c 2  =    7 2  

2

+(bz – cy) +(az – cx)

a +b +c +3abc = (a+b+c)(a +b +c

4

• 2

11. Identidad de Gauss

4

2

   

2

3

2 3

4

4

 a3 + b 3 + c3   3 

4

   

 a2 + b2 + c2  +2     3  

 a5 + b 5 + c 5   5 

3

   

– ab – bc – ca) Para lo cual debemos tener en cuenta que: 1 2 2 2 2 2 2 a +b +c –ab–bc–ca= [(a–b) +(b–c) +(c–a) ] 2

PROPIEDADES VÁLIDAS PARA NÚMEROS REALES 2n

2n

2n

+

1°

Si: A + B + C = 0 ; ∀ n ∈ Z se cumple que: A = B = C = 0

2°

Si: 2n A + 2n B + 2n C = 0 ; ∀ n ∈ Z+ se cumple que: A = B = C = 0

3°

Si: m A + m B + m C = −(D n + E n + F n ) ; siendo m y n números pares. Se verifican las relaciones numéricas simultáneas; A=B=C=0 ∧ D=E=F=0

12. Equivalencias adicionales (a+b+c) (ab+bc+ca) = (a+b)(b+c)(c+a)+abc (a+b) (b+c) (c+a) = ab(a+b) + bc(b+c) +ca(c+a) + 2abc (a – b )(b+c)(c–a) = ab(b– a)+bc(c–b)+ca(a–c)

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Compendio de Ciencias III-C

Álgebra

Problema por desarrollar

Problema desarrollado 1.

Demostrar que (a+b)(a–b)=a2– b2

1.

Demostrar que: (a–b)2=a2 – 2ab + b2

5.

Simplifique:

Demostración En efecto: (a+b)a – (a+b)b=a 2– b 2 a ⋅ a + b ⋅ a − ab − b ⋅ b = a 2 − b 2 a ⋅ a + b ⋅ a + (−ab) − b ⋅ b = a 2 − b 2 a ⋅ a + ba − ba − b ⋅ b = a 2 − b 2 a ⋅ a − b ⋅ b = a2 − b2 2 2 2 2 a − b = a − b ..... lqqd

1.

Reducir: 2

2.

2

L = ( x + 5) − (x + 4) − 2 x

L = ( x + a)( x − a)(x 2 + a 2 )(x 4 + a 4 )(x 8 + a 8 ) + a16

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................

El valor simplificado de: Q=

6.

(x + 7)2 − (x − 7)2

(

P = a+ b

(x + 3)2 − (x − 3)2

Calcular: E=

7.

(

18 + 8

) −( 2

18 − 8

)

2

Indicar verdadero (V) o falso (F) Según corresponde en: 2

)

II.

(a

III.

( x + 1)2 ≡ x 2 + 1

IV.

(a + b )( a − b ) ≡ a

)(a

2

)

(

)

....................

(

)

(

)

− b 2 ≡ a 4 − b 4 ......

2

− b ........

) (a − b ) + b

Rpta: .............................................................

4

Efectuar 6

¿Cuál es el valor de: m2–2m–2? Si: m =

2

(a − b) ≡ (b − a) ...................... ( + b2

)(

+ b a4 + b 2

Rpta: .............................................................. 8.

I.

2

2

Q =  5 + 2 6   5 − 2 6    

Rpta: .............................................................. 4.

) (a

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................. 3.

Reducir:

2 +1

Rpta: .............................................................. 9.

Simplificar

(

 2 2 R= 4  a +b 

) − (a 2

2

−b

)

2 2 2

 

Rpta: ..............................................................

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Compendio de Ciencias III-C

Álgebra

10. Reduzca:

16. Simplifique: ∀x , a ∈  E=

( x + 5)(x + 3) − (x + 4)2 ( x + 6)(x + 4) − (x + 5)

+ 1 42

( x + a )( x + 2 a )( x + 3 a )( x + 4 a ) + a  

2

− x ( x + 5a)

Rpta: .............................................................. Rpta: ............................................................ 11. Simplificar L=

17. Calcular:

(x + 4)(x + 5) − (x + 6)(x + 3) (x + 3)(x + 4) − (x + 5)(x + 2)

P = 32 1 + 3(5)(17)(2 8 + 1)(216 + 1)

Rpta: ............................................................. 12. Simplificar:

Rpta: ............................................................ 18. De las equivalencias:

W = (x + 3)(x + 2)( x + 1) − ( x − 1)(x − 2)(x − 3) − 12 x 2 Rpta: .............................................................

4 3+2

xy = 2 3 − 3

Calcular: S =

13. Dado los números irracionales x = 14 + 7

x +y =

; y = 11 + 7

Entonces el valor de ( x + y ) ⋅ ( x − y ) 4

4

x2 + y2

Rpta: ............................................................ es: 19. Dados los números irracionales

Rpta: ............................................................

Calcular P = x 4 ⋅ y 4

14. El equivalente de: S=

−b +

4 ab + 16 a 4 + 8 a 2b 2 + b 4

Rpta: ............................................................

Rpta: ............................................................ 15. Efectuar:

(

2

T = x − 6x − 1

x = 3 7 − 3 4 ; y = 3 49 + 3 28 + 3 16

20. Reduzca: L=

) − (x 2

2

− 6x − 2

)

2

− 2 ( x − 3)

2

Rpta: ............................................................

(x + 3)(x − 3)( x 2 − 3 x + 9)( x 2 + 3 x + 9) x 6 − 729

Rpta: ............................................................

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Compendio de Ciencias III-C

1.

Álgebra

Efectuar:

4.

2 A = ( x + 6 )( x + 4 ) − ( x + 5 ) + 10   

Dado los números irracionales a = 3 2 +1 ; b = 3 4 − 3 2 +1

0,5

Calcular: a 4 b 4 A) 0 D) 3 2.

B) 1 E) 4

C) 2 B) 64

D) 144

E)

Reducir:  ( a + b )2 − ( a − b )2   B= ab  

A) 0 D) 3 3.

A) 16

B) 1 E) 4

1 2

5.

C) 2 A) 1 C) 3 E) 8

(

)(

D = 16 1 + 8 (10 )( 82 ) 3 + 1 3

A) 3 D) 12

B) 6 E) 15

8

16

+1

20 2

Reducir: M=

Calcular:

C) 81

( a + b ) ( a3 − b 3 ) + (a − b ) (a 3 + b 3 ) 4

a −b

4

B) 2 D) 4

)

C) 9

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Compendio de Ciencias III-C CAPÍTULO

Álgebra

08 Problema por desarrollar

Problema desarrollado 1.

Demostrar que: a c ad + bc + = . ; ( b ≠ 0 ) ∧ (d ≠ 0) b d b⋅d Demostración: a c + b d

= ab

−1

+ cd

a c ac ⋅ = ; (b ≠ 0) ∧ (d ≠ 0) b d bd

1.

Demostrar que:

4.

La suma y producto de dos números es 3 ¿Cuál es la suma de sus cubos?

−1

( ) ( ) = ( ad ) ( b d ) + ( bc ) ( b d ) = ( ad + bc ) ( b d ) ...... = ab −1 dd −1 + cd −1 b ⋅ b −1 −1 −1

−1 −1

−1 −1

Luego: a + c = ad + bc ...... lqqd b d bd

1.

De a+b=5 ∧ ab=5 2 2 Calcular: a +b

Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................. 2.

De las relaciones:

5.

a + b = 4 ∧ ab = 1 3

A partir de: a+b=ab=2 Calcular: E = a + a 2 + a 3 + b 3 + b 2 + b

3

el valor de a +b es: Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................. 6. 3.

De las equivalencias: a + b = 7 ; ab = 2

De las equivalencias: a + b = 12 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (I) 2

2

a + b = 60 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (I I)

Calcular el valor de a4 + b4

el valor de a +b es:

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

3

3

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Compendio de Ciencias III-C 7.

Álgebra

Si: a + b = 5 ........... (I) a3+b3 = 95 ........... (II)

14. Al polinomio P ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 1 se puede representar de la siguiente forma

Calcular E= a2+b2

a(x − b) − c . 2

Rpta: ..............................................................

8.

m=

Rpta: ..............................................................

1+ 3 entonces m(m–1) es: 2

Rpta: .............................................................. 9.

Calcular: abc

15. De: a+b+c=1 2 ........... (I) ab+ac+bc=10 ....... (II) Calcular el valor de a2+b2+c2.

Simplificar:

Rpta: .............................................................. x + 64 3

P=

x − 4 x + 16 2

x − 64 3

+

x + 4 x + 16 2

Rpta: ..............................................................

16. De: a 2 +b 2 +c 2 =9 ........... (I) ab+ac+bc=20 ....... (II) C alcular a+b+c Rpta: ..............................................................

10. Si: a + b + c = 0 ; (a; b y c ≠ 0) 17. Se cumple que:

Calcular el valor de:

ax + by + cz = 0 ; Reducir:

a2 + b 2 + c 2 T= ab + ac + bc

E=

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

11. Se cumple que: a 2 x + a −2 x = 6

18. Se tienen los números irracionales x

–x

Calcular el valor de a – a

x=

+ e−x

2 +1 ; y = 3 4 −3 2 +1

Rpta: ..............................................................

12. Al efectuar x

3

Calcular: E = x 4 y 4

Rpta: .............................................................

(e

(ax )2 (by )2 (cz )2 + bcyz acxz abxy

)( e

4x

+1 + e−4x

)( e

x

− e−x

)

se obtiene:

19. Simplificar: S=

( x + 2 )( x + 5 )  − ( x + 1 )( x + 2 )( x + 5 )( x + 6 ) + 9 2

Rpta: ............................................................. Rpta: .............................................................. 13. Reducir:

(

R = a 2 + ab + b 2

)(

) (

a 2 − ab + b 2 − a 4 + b 4

)

Rpta: ............................................................

20. De: x(x–3)=–1 9

Calcular R = x +x

–9

Rpta: ..............................................................

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1.

Se cumple: x + y = 6 ; xy = 7

Álgebra

4.

Calcular el valor de: x 3 + y 3 . A) 20 C) 60 E) 90 2.

5.

A) 4 C) 24 E) 54

B) 2 D) 3

Se verifica que: a + b

=6

a + b = 30 2

11 + 10 11 − 10 P= + 11 − 10 11 + 10

3.

A) 1 C) 0 E) 6

B) 40 D) 80

Efectuar:

2 1 es: De:  m + 1  = 3 entonces m 3 + m m3 

B) 8 D) 42

2

2

2

Calcular Q = a + b b a A) 63 C) 12 E) 54

B) 48 D) 70

x 3 + y 3 = 28 ; xy (x + y ) = 12 Calcular (x+y) A) 2 C) 4 E) 6

B) 3 D) 5

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Álgebra

CAPÍTULO

09 OBJETIVOS • • • •

Determinación del cociente, utilizando el método de Horner o la regla práctica de Ruffini. Descartando el procedimiento clásico del álgebra tradicional. En la resolución de ecuaciones polinomiales para la obtención de raíces racionales y de raíces irracionales sin aproximación. En el cálculo inmediato del residuo de una división cualquiera, por el teorema de Descartes. Para la factorización de un polinomio de grado superior en el campo racional, se utiliza el criterio de los divisores binómicos, como aplicación de la regla de Ruffini.

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EUCLIDES Siglo IV - III a. de J.C. MATEMÁTICO GRIEGO Llamado por Ptolomeo, rey de Egipto, a la Biblioteca de Alejandría, donde se había creado un gran centro cultural, su cometido consistía en reunir todos los conocimientos matemáticos existentes. Euclides realizó esta labor mediante una serie de grandes compilaciones, la más notable de las cuales se titula Elementos. Se trata de 13 volúmenes, de los cuales, los cuatro primeros se refieren a la Geometría plana; el V y VI, a las proporciones geométricas; los tres siguientes son aritméticos; el X trata de los números irracionales; y los tres últimos, de la Geometría del espacio. Euclides tiene el mérito de haber utilizado por priemera vez un método de gran fecundidad para la ciencia. El método seguido por Euclides es el llamado axiomático: Parte de una hipótesis o principios, de los que se obtiene la teoría de un modo rigurosamente deductivo. Así, por ejemplo, en el llamado Quinto postulado, que se expresa del siguiente modo: “Si una línea recta que corta a otras dos forma ángulos internos del mismo lado de la secante cuya suma sea menor que dos rectas aquellas dos rectas, prolongadas hacia ese lado,se encuentran”. Se ha considerado que este postulado no era evidente para aceptarlo sin demostración, dando lugar al nacimiento de Geometrías no euclidianas (Gauss, Lobachevski, Bolyai)

LECTURA

DIVISIÓN NO EUCLIDEANA DE POLINOMIOS Esta división polinómica no cumple con las propiedades derivadas del algoritmo de Euclides. Para efectuarla se requiere establecer ciertos requisitos, ya que el proceso operativo consiste de infinitas transformaciones. Algunas de estas condiciones especiales son las siguientes: I.

Aplicamos el método de Horner, considerando el orden CRECIENTE de los polinomios dividendo y divisor.

II.

El cociente obtenido de la operación posee infinitos términos.

III. El resto se hace tender a cero, debido a que la variable ordenatriz cumple un requisito especial. IV. Esta división sólo es posible, si dicha variable esta definida dentro de un cierto intervalo de convergencia.

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Compendio de Ciencias III-C

Álgebra

Ejemplos explicativos 1.

numéricos, se extiende también para números enteros, racionales y reales, todos estos sustentados por el ALGORITMO DE EUCLIDES.

Dividir 1 entre (1–x) Aplicando Horner, se tiene:

D= d. q + R 1 1 1 1

0 1 1

0 1 1

0... 1... 1...

0 1 1

Mediante el cual se establece el esquema, el procedimiento y la exposición de las propiedades inherentes de esta operación.

Del cual, se obtiene: siempre y cuando –1 < x < 1 2.

2

Dividir 1 entre (1 – 4x+ 4x ) Efectuado por Horner, resulta: 1

0 4

4 -4 1

4

0

0 -4 16

01…

16 48 -48 32 ........

12

Obteniendo la relación : 1 1 − 4x + 4x solamente si −

3.

2

= 1 + 4 x + 12 x 2 + 32 x 3 + ......

1 1 º R( x )

2.

º q(x )

= º D(x )

− º d (x )

≤ º d (x )

−1

3.

º R( x )

≥ 0

Para una división exacta 6 x 3 + 2x 2 + 5 x 6 x 3 2 x 2 5 x = + + = 6x 2 + 2x + 5 x x x x

Con respecto a una variable definamos los siguientes principios de una división euclídea: 1.

División de un polinomio entre un monomio:

–

Para una división inexacta 5

3

8x + 6x + 5x − 4 2x

2

8x

5

2x

2

+

6x

3

2x

2

+

4x 3 + 3 x +

De esta última relación de orden, se deduce que: máx º R( x )

=

5x − 4 2

2x 5x − 4

= º d (x ) − 1

2x

=

2

Por simple inspección, se puede deducir que: Ejemplos explicativos:

1.

Dado:

ax 2 + bx + c 5 3 mx + nx + px + q

← º D =2↓ ← º d =5↓

3.

Dado: x 10 + ax 7 + bx 4 + cx 2 + d x 3 + mx 2 + n

← º D = 10 ← º d = 3

El grado del cociente: º q = 10 − 3 = 7

-

El máximo grado del residuo es uno menos que el del divisor. Es decir: máx º R = 3 − 1 = 2

Esto significa que el residuo, también puede ser de primer grado o de grado cero.

CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN DE EXPRESIONES ENTERAS 1.

División de monomios abx m

= ax m −n ; b =/ 0 bx n Tener en cuenta que la división de monomios siempre es EXACTA.

q(x) = 4x + 3x

El residuo

:

R(x) = 5x – 4

División de polinomios cualesquiera

Para dividir polinomios existen diversos métodos, cuyos procedimientos presentan reglas particulares que facilitan la resolución de la operación. Presentaremos a continuación algunos criterios para efectuar una división:

Se puede deducir que: -

:

En este caso debemos tener en cuenta todos los principios de una división euclídea y que el proceso de la operación lo vamos a realizar con respecto a una variable tomada como referencia, a la cual se le denomina ORDENATRIZ de la división.

como º D < º d ; la expresión no se puede dividir.. 2.

3

El cociente

I.

MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL Para dividir dos polinomios cualquiera mediante este método, se debe seguir el siguiente procedimiento:

1 º Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente. En el caso de que la división sea exacta, el orden es arbitrario. 2 º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y se obtiene el primer término del cociente. 3 º El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se les cambia de signo, colocándolos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante.

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Álgebra

4 º Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.

Efectuando, se tiene:

5 º Se procede como en el paso número 3.

17

12

10

7

12

10

12

4x 10

5

2

x 2+ 1 3 x+ 2

3 x + 2 x + 3 x+ 7 –3x3 –3x 2

2x 2 –2x

como se puede observar es una división exacta. 12 7 5 donde: Cociente : q(x)= x -2x +3x -1

+7 –2 +5

Residuo : R(x) ≡ 0

Cociente : q(x)= 3x + 2 Resultados obtenidos

I I . MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS Es un procedimiento similar al de la metodología clásica, con la diferencia que en este caso, sólo se utilizan los coeficientes. Debemos tener en cuenta que a parte del ordenamiento, tanto el dividendo como el divisor deben estar completos. Caso contrario, se sustituirán con CEROS los espacios correspondientes de los términos que faltasen.

R (x) ≡ 5

Residuo :

6x 5 − 8 x 4 − 3x 3 − 5x 2 + 4 x + 1

Dividir:

3 x + 2x + 1 2

Del mismo modo, aplicando el procedimiento clásico: 5

4

3

2

6x – 8x – 3x – 5x + 4x+ 1 – 6x 5– 4x 4– 2x 3

Ejemplos explicativos

2

3x + 2x + 1 2x 3– 4x 2+ x–1

–12x4 – 5x3– 5x 2 12x 4+ 8x 3+ 4x 2 3x 3– x 2+ 4x 3x3– 2x2 – x –3x 2+ 3x+ 1 3x 2+ 2x + 1 5 x+ 2

1.

Dividir:

3

4 0 – 4 –6 –6 6

2

Cociente : q(x) =2x – 4x + x – 1 Residuo : R(x) = 5x + 2

Dividir:

3x

17

− 4x

12

+ 9x

10

− 4 x + 3x − 2

3x + 2 5

4 x 6 − 7x 4 + 3x 3 + 8 x + 5 2x + 3

utilizando sólo los coeficientes, se tiene:

Resultados obtenidos:

3.

5

– 3x – 2 5 3x + 2 0

Disponiendo el dividendo y el divisor, según el esquema del método clásico:

2.

5

7

+ 3x 5 – 6x

x2 +1

3

7

7

– 9x 10 – 9x

3 x 3 + 2x 2 + 3 x + 7

5

3x + 2 x – 2x + 3x –1

12

– 6x

5

– 4x + 3x – 2

– 6x + 9x – 4x

Ejemplos aplicativos Dividir :

12

– 3x – 2x

6 º Se continúa la operación hasta que se llegue a la última columna del dividendo.

1.

17

3x – 4x + 9x

7

5

–7

3 0

–7 9 2 3 –2 –3 0 0 0 0 0 0

8

5

2 3 2 –3 1 0

0 4

8 0 8 5 –8 –12 –7

donde: 5

4

3

Cociente: q(x) = 2x – 3x +x +4 Residuo: R(x) =–7

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2.

Dividir :

Álgebra La parte propiamente operativa que nos permitirá hallar el cociente y el residuo, es como sigue:

x 5 + x 4 + 2x 3 + 2 x 2 + x + 2 x4 + 2

4 º Se divide:

del mismo modo, separando los coeficientes: 1 –1

1 0

2 0

2 1 0 –2

2

1 –1

2 0 2

2 –1 2 0 0 –2 2 –1 0

1 0 0 0 2 1 1

0

b0

= C 0 (primer coeficiente del cociente)

5 º Multiplicamos C0 por cada uno de los coeficientes −b − b − b ........y − b ; para luego colocar los 1'

2'

3

n

resultados en una fila, dejando un espacio hacia la derecha.

Por lo tanto:

6 º Se divide:

Cociente : q(x) = x+1 3

a

2

a1 − C 0 b1

Residuo : R(x) = 2x +2x –x

b0

= C 1 (segundo coeficiente del cociente)

I I I . MÉTODO DE GUILLERMO HORNER Es el criterio equivalente del método de los coeficientes separados, y por ello, este procedimiento requiere las mismas condiciones. Su utilidad es muy frecuente, debido a que el DIAGRAMA establecido por Horner, facilita el proceso operativo. A continuación expongamos en síntesis la metodología general.

7 º Multiplicamos C, por cada uno de los coeficientes −b1, − b 2, − b 3, ........y − b n siguiendo el 5to. paso. 8 º Se divide: a 2 − C 0 b 2 − C 1 b1 b0

(Tercer coeficiente del cociente)

Dividir: a x m + a x m −1 + a x m − 2 + a x m − 3 + ....... + a 0

1

2

3

b x n + b x n −1 + b x n − 2 + b x n − 3 + ...... + b 0

= C2

1

2

3

9 º Multiplicamos C2 por cada uno de los coeficientes m

−b − b − b ........y − b siguiendo el 7mo. paso. n 1' 2' 3'

n

donde m ≥ n y los coeficientes principales aº =/ 0 y b =/ 0 . º

1 0 º Se divide: a −C b −C b −C b 3

0

3

PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR 1 º Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente con respecto a una variable (ordenatriz) y completados con ceros si es que faltase algún término.

1

2

2 1

b0

1 1 º Y así sucesivamente, hasta llegar a la última columna que precede a la línea divisoria, para dividir: a

m −n

−C b 0

m −n −1

−C b 2

b0

2 º En el diagrama de Horner se disponen los coeficientes del dividendo en forma horizontal, y los del divisor de manera vertical. Con respecto a estos últimos; el primer coeficiente con su propio signo y los demás con signo cambiado. 3 º La línea divisoria del diagrama que separa los coeficientes del cociente de los del residuo, se traza tomando en cuenta el grado del divisor. Es decir: # columnas [ R( x )] = º d ( x ) = n

 Cuarto coeficiente  =C   3  del cociente 

m −n − 2

... − C

b

m −n −1 1

=C

m −n

que viene a ser el último coeficiente del cociente. 1 2 º Finalmente multiplicamos Cm – n por cada uno de los coeficientes −b − b − b .....y − b siguiendo 1' 2' 3 n los pasos anteriores. 1 3 º Para calcular los coeficientes r1' r2 ' ........rn del residuo, se suman los elementos de las columnas restantes. Los resultados finales, luego de aplicar el procedimiento esquemático de Horner, son los siguientes:

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Álgebra

Cociente:

q ( x ) = C 0 x m −n + C 1 x m −n −1 + C 2 x m −n − 2 + ..... + C m −n Residuo : r( x ) = r1 x n −1 + r2 x n − 2 + r3 x n − 3 + ..... + rn Esbocemos toda esta explicación, en el ingenioso modelo gráfico diseñado por Guillermo Horner, tal como se muestra explícitamente: (m + 1) Coeficientes del Dividendo Mismo signo

b0

a0

a1

a2

a3

.

–b1

– C0 b1 –C0b2 –C0b3

–b 2 Signo cambiado –b3

–C1b1 –C1b2

.

.

.

.

.

am

Siendo : C0 = a 0; C2 = S2 ;................. b0 b0

–C2b1

S1

C1 = S1; C3 = S3 ; Cm–n = Sm–n b0 b0 b0

S2

–bn

S3

(n+ 1) Coeficientes del divisor

Donde los Sk (1 ≤ K ≤ m − n) son los resultados de sumar los elementos de cada columna.

Sm–n Línea Divisoria C0

C1

C2

C3

Cm–n

(m – n+ 1) Coeficientes del cociente

r1 r2

rn

n Coeficientes del residuo

3

1.

R(x)= 6x+11

Dividir: 10 x 5 + 17 x 4 − 18 x 3 + 13 x 2 + 14 x − 19 2x 2 + 3x − 5

2.

Dividir: 6x 7 + 4 x 6 + 3x 5 + 9x 3 + 8x 2 + 5

Del esquema de Horner, se tiene: 2 –3 5

2

Se obtiene: q(x) = 5x +x +2x+6

Ejemplos aplicativos

10

17 – 15

–18 25 –3

13 5 –6

5 1 2 6 144424443 Cociente

3x 3 + 2x 2 −1 14

–19

10 –18 30 6 11 14243 Residuo

Del mismo modo, tenemos: 3

6

–2 0

4

3

0

0

2 0 –2

–4

2

0

1

0

9

8

0

5

0 0 0 3

1 0 3

0 0

8

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Álgebra

cuyos resultados se muestran: 4

Cociente : q(x)

Donde los coeficientes del cociente son:

2

= 2x +x +3

C0=

2

Residuo : R(x) = 3x +8 3.

C1=a1–a0 b C2 =a2 –C1 b

Dividir: x + (a + 1)x + (a + b)x + (b + 1)x + ax + b 5

4

3

2

x + ax + b 2

1

1 ( a+ 1) ( a+ b ) ( b + 1) a

–a –b

–a

1

–b –a

1

:

b

Cn–1 = an–1 – Cn–2b Resultados obtenidos de la división: n− n− n− +C x +C x + ...... + C Cociente:: q(x ) = C 0 x 1 2 n −1 1

–b 0

0 3

C3 =a3 –C2 b :

Dividiendo con respecto a la variable x, se tiene el diagrama adjunto:

0 –a –b

1

0

Ejemplos aplicativos

2

1.

Regla : x − 2 = 0 → x = 2

Es un caso particular del método de Horner y se utiliza para dividir un polinomio de cualquier grado entre un divisor de primer grado o transformable a él, tal como: a x n + a x n −1 + a x n − 2 + ...... + a 2

ax + b

n −1

x +a

n

De acuerdo al valor del coeficiente principal a del divisor, se estudian dos casos:

Divisor de la forma (x+b) Si el coeficiente a=1, el procedimiento simplificado de Ruffini generará directamente el cociente y el residuo de la operación. Veamos: Dada la división: a x n + a x n −1 + a x n − 2 + a x n − 3 + ....... + a 2

3

3

3

–7

2

3

6

3

–1

a0

a1

a2

a3 .........

–a1b –c1b –c2b .....

–b c0

c1

c2

c3 ......... cn R

–2 –4

0

10

–2

5

4

0

2.

R(x) = 4

Dividir: x + 2bx + b(a + 2b)x − (a − b )x + ax + ab x −a+b 5

4

3

3

3

2

a + b3 a–b

a 0

a–ab2

0

a

a2

Regla: x– a+ b=0 → x=a–b n

ab+ 2b 2

2b

2

a–b 1

–cn–1b

–6

Residuo:

a–b

an

5

q (x ) = 3 x 4 − x 3 − 2 x 2 + 5

1

(n+ 1) coeficientes

4

Cociente:

x +b

Regla: x+b=0 → x=–b

0

Los elementos de la división obtenidos son:

1er. Caso:

1

Dividir: 3x 5 − 7x 4 + 4 x 2 + 5x − 6 x−2

IV. REGLA DE PAOLO RUFFINI

0

3

Residuo: R(x) = an–Cn–1b (una constante)

Residuo : R(x) ≡ 0 (División exacta)

1

2

0

Cociente: q(x) = x +x +1

0

a0

2

a–b

a+ b a2+ ab+ b 2

3

ab

Resultados obtenidos: Cociente: q( x ) = x 4 + (a + b )x 3 + (a 2 + ab + b 2 )x 2 + a 2

Residuo: R(x) =a

n coeficientes

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Álgebra

2do. Caso

Se tiene:

Divisor de la forma (ax+b) q(x ) =

Si el coeficiente a =/ 1 , se tendrá: a x n + a x n −1 + a x n − 2 + a x n − 3 + ...... + a 0

1

2

3

q '( x )

=

a

a

x n −1 +

o

a

C

x n−2 +

1

a

C

2

a

x n −3 + ..... +

C

n −1

a

Además el residuo inalterable de la operación es: n

ax + b

R( x ) = a n −

b C ; a =/ 0 (una constante) a n −1

Del algoritmo de Euclides: D(x) ≡ (ax+b) q(x) + R(x)

Ejemplos aplicativos

Llevándolo al primer caso; es decir, haciendo que el coeficiente principal del nuevo divisor sea igual a uno. Se tiene lo siguiente:

1.

Dividir: 6x + 5x −7x + 4 2x − 1 5

b  D( x ) ≡  x +  [aq(x )] + R(x ) a 

4

Regla: 2x – 1= 0 → x =

Se observa que el cociente queda multiplicado por a, generando un nuevo cociente q'(x)' tal que:

6 5 0 0 −7

b  D( x ) ≡  x +  q '(x ) + R(x ) a 

1 2

3 4 2

÷2

↓ ↓ ↓ ↓

4

1

−3

6 8 4 2 −6

1

↓

3 4 2 1 −3

q '(x ) ; a =/ 0 a

Donde: q( x ) =

1 2

Se obtienen los elementos de la operación: En este caso, el residuo es inalterable. Expliquemos todo lo anterior, mediante el esquema diseñado por Ruffini; para lo cual aplicamos la regla: Regla: ax+b=0 (Reducción al 1er. caso). b x=− a (n+ 1) coeficientes a0 –b a

a1

a2

a3 .........

bC bC a –b a 0 –a 1 –a 2 a0

C1

C2

C3 .........Cn–1

an C –b a n–1

4

R(x) = 1

2.

Dividir: 12 x 6 + 19 x 5 + 13 x 4 + 12 x 3 + 15 x + 16 3x + 4 Regla: 3 x + 4 = 0 → x = −

12 C1 a

C2 a

2

4 3

R

÷a a0 a

3

q(x) = 3x +4x +2x +x–3

C3 .........Cn–1 a a

n coeficientes Del diagrama se puede observar que el cociente falso o aparente es: n −1 n−2 n −3 q '( x ) = a x +C x +C x + ..... + C 0 1 2 n −1 Luego como el: cociente = cociente falso o aparente verdadero coeficiente principal del divisor

–4 3

19 –16

13

12

0

15

16

– 4 –12

0

0

–20 –4

12

3

9

0

0

15

4

1

3

0

0

5

÷3

Resultan: 5

4

3

Cociente: q(x)= 4x +x +3x +5 Residuo : R(x) = – 4

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Compendio de Ciencias III-C

Álgebra

Ejercicios Especiales 3.

4.

Dividir: n +1

6(x − 1)

Dividir: 8 x 18 − 2 x 15 + 4 x 9 − 5 x 6 + 9 x 3 − 2 3

Como 18, 15, 9, 6 y 3 son múltiplos de tres, se tiene: 8( x ) − 2( x ) + 4(x ) − 5(x ) + 9(x ) − 2 3 5

3 3

3 2

6(x − 1)n +1 + 2( x − 1)n + 3( x − 1) + 5 3(x − 1) + 1

3

4x −1 3

Sustituyendo : x – 1 = a Resulta:

3

Sustituyendo : x =y 6a

n +1

Resulta: 8 y 6 − 2y 5 + 4 y 3 − 5 y 2 + 9 y 3 − 2 4y −1

Regla: 4y –1= 0 → y =

6 –1 3

0

4 –5

2

0

0

0

0

4 –4

+ 2a + 3 a + 5 3a + 1 n

Regla: 3a+1= 0 → a = −

1 4

8 –2 1 4

n

Como se repite (x–1), se tiene como división equivalente:

4x −1

3 6

+ 2( x − 1) + 3 x + 2 3x − 2

9

–2

1 –1

–2

6

1 3

2

0

0 .......... 3

5

–2

0

0 .......... 0

–1

0

0

0 .......... 3

4

El cociente verdadero será: 8

El cociente verdadero será:

8

0

q(a) =

q '(a) = 2 an + 1 ; y como a=x–1 3

Se tiene : q (y ) =

q '(y ) 4

= 2y 5 + y 2 − y + 2

15 6 3 Es decir: q ( x ) = 2 x + x − x + 2

n

q(x) = 2(x–1) +1; y el residuo será R(x) = 4

como es exacta = R(x)=0

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Problema desarrollado 1.

Demostrar que n3+2n es divisible por 3: (∀ n ≥ 1)

Álgebra

Problema por desarrollar 1.

Demostrar que: 411–1 es divisible por 3:

4.

Mostrar el término lineal del cociente en:

Demostración: Por inducción: →3 • Si n=1; (1) 3+2(1)=1+2=3 es divisible por 3 → 12 • Si n=2; (2) 3+2(2)=8+4=12 es divisible por 3 • Si n=3; (3)3+2(3)=27+6=33 → 33

•

Si n=h+1 → (h+1) 3 +2(h+1) = h 3 +3h 2 +3h+1+2h+2 3 +2 h 24 +244 3 h +33 = h 3 + 3h 2 + 5 h + 3 → h1 424 3h + 314 3m + 3 (h 2 + h +1)

= 3m+3(h2+h+1) → 3 m + h 2 + h + 1    es divisible por 3 .... lqqd

1.

Al dividir los polinomios 12 x 4 + x 3 − 5 x 2 + 22 x − 20

2 x 4 − 8 x 3 + 19 x 2 − 33 x + 15

2 4x + 3x − 5

2 x −x+2

Dar como respuesta al cociente.

Rpta.: .............................................................

Rpta.: ............................................................. 5. 2.

Hallar el cociente en:

En la siguiente división 3 x + 4 x − 32 x − 5 x − 20 4

6 x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 18 x + 15

3

2

3x − 8 x − 5 3

3 x 2 + 2x + 5

2

Rpta.: .............................................................

indicar al reciduo. Rpta.: ............................................................. 3.

Indicar el término independiente del cociente en la división 6 x 4 + x 3 + x 2 + 14 x + 8

6.

Al efectuar 6 x + 5 x − 26 x + 33 x − 22 x + 6 5

4

3

2

2x − 3 x + 1 2

al resto es:

3x + 5x + 2 2

Rpta.: .............................................................

Rpta.: .............................................................

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7.

Álgebra

Determinar el valor de P. para que la división sea exacta.

2 14. El polinomio x 8 + ax + b es divisible por (x–1) ; Calcular: (b – a )

2 x 4 + x 3 − 3 x 2 − 10 x − P x2 − x − 2 Rpta.: .............................................................

Rpta.: ............................................................. 15. Calcular (B –A ) si la división no deja resto.

8.

Determinar (m+n); para que la división: 6 x 4 + 16 x 3 + 25 x 2 + m x + n 3x 2 + 2x + 1

3

12 x 4 − 12 x 3 + 13 x 2 + A x − B

2

2x 2 + 4 x + 3 Rpta.: ............................................................. 16. Determinar (a+b+c) si el resto de la siguiente

Calcular (A+B). si la división 2x 2 − 3x + 5

4

; sea exacta.

Rpta.: ............................................................. 9.

A x + B x + 21 x − x − 12

;

división

2 x 5 − x 4 + ax 2 − bx + c (x − 1)3

es –2

deja como resto: 4x+5 Rpta.: ............................................................. Rpta.: ............................................................. 17. Al dividir 10. Calcular (A+B–C), si la división: 8 x + 4 x + Ax + B x + C 5

3

2

2x 3 + x 2 + 3 deja como resto: 5 x 2 + 11 x + 7 Rpta.: .............................................................

3 2 6 x 5 − x 4 + ax 3 − 3 x 2 + 4 entre 3 x − 2 x − x − 2 se obtiene como resto (bx+c)

Rpta.: ............................................................. 18. Determinar (a+b+c) si la división ax 5 + bx 4 + cx 3 − 2 x 2 + 3 x − 5

11. Calcular:

n . m

3x 3 + 2x 2 + x − 1

Si: x 4 + 2 x 3 − 3 x 2 + mx − n es divisible por:

; es exacta.

Rpta.: .............................................................

x + 2x − 5 2

19. Obtener (B –A ) si la división Rpta.: ............................................................. 5 4 3 2 12. El polinomio: x − 2 x − 6 x + mx + nx + p es

divisible por: ( x − 3)( x 2 − 1) luego (m + n + p ) es: Rpta.: .............................................................

13. Si la división

x 5 − ax + b x −4 2

A x + B x + 21 x − x − 12 4

3

2

2x 2 + 4 x + 3

; no deja resto.

Rpta.: ............................................................. 20. Dar como respuesta al polinomio cociente de: x 6 − 14 x 4 + 49 x 2 − 36 (x − 1)( x − 2)(x − 3)

es exacta: Hallar (a+b). Rpta.: .............................................................

Rpta.: .............................................................

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Compendio de Ciencias III-C

1.

Indicar al polinomio cociente en:

Álgebra

3.

x5 + x4 + x3 + x 2 + x +1 x + x +1 A) x +1

A) 14

B) 15

3

C) 16

D) 17

2

E) 18

B) x –1

2

C) x +x + 1

2

Calcular (b–a)

2

3

8

x + ax + b , es divisible por x − 2 x + 1

D) x –x–1

E) x + 1 4. 2.

Calcular (ab) para que la división:

2x 4 − 6x 2 + mx + n x2 + x −3

ax + bx + x + 2 x + 3 4

3

Hallar (m+n) si luego de dividir

2

; deja como resto R(x)=5x+10

x + x +1 2

5.

no deje resto

Calcular (ab) si al dividir

A) 2

B) 3

ax 4 + bx 3 − 19 x 2 + 4 x − 8

C) 4

D) 5

x 2 + 3 x − 10

E) 6

se obtiene como resto: x+2 A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

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Compendio de Ciencias IV-C

Álgebra

CAPÍTULO

10 Problema desarrollado: n

1.

n= n

Demostrar que x − a x −a

n

1

es exacta ∀n ∈ par..

n

n

a

x -a x-a

Demostración: Por inducción (Ruffini)

1

0

0

0 ... 0

-a

a

a 2 a 3 ... a n-1 a n

a

a 2 a 3 ... a n-1 0

n

n n ∴ x − a es exacto cuando n = par.. L.Q.Q.D. x −a

n= 2 Problema por desarrollar: 1 2

2

x -a x-a

0

-a

a

a2

1

a

0

1

0

a

2

2.

R= 0

Demostrar que la siguiente división: n

x −a x −a

n

es exacta ∀n ∈ impar..

n= 4

4

4

x -a x-a

1.

a

0

a 1

a

0

a

2

a

2

-a

a

3

a

a

3

0

4

4

R= 0

Efectuar la división. Dar como respuesta el cociente:

4.

6x3 −7x 2 + 4 x − 9 x +1

x −3x + x + 4x + 5 x−2 4

3

2

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................ 2.

Hallar el resto de la división:

5.

3

3

2

Dar como respuesta el término independiente del cociente. 5 x + 16 x − 8 x + 2 x+3 Rpta.: ........................................................ 4

3

2

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................ 3.

Dar como respuesta al resto en: 4 x − 4 x + 3x + 9 2x +1

3x − x + 3x − x + 6 x −1 4

Hallar el cociente de la siguiente división.

6.

Dar como respuesta el término lineal del cociente: 15 x 4 + 6 x 3 − 6 x 2 + 7 x − 8 5x + 2

Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias IV-C 7.

Hallar el término independiente del cociente en la siguiente división: 4 x + x − 3x + 4 2x −1 4

2

Rpta.: ........................................................ 8.

Hallar el residuo en :

Álgebra 12. Dar como respuesta el término lineal del cociente: x − 2 3x + x + 3x + 4 x − 3 x− 3 5

4

3

x 51 + 2 x 50 + 3 x + 7 x −1

2

Rpta.: ........................................................ 9.

Hallar “m” en la división exacta: 5 x + 16 x − 8 x + m x+3 4

2

Rpta.: ........................................................ 13. Después de efectuar la división indicar la suma de coeficientes del cociente:

15 x + 8 x − 9 x + 8 x + 1 5x +1 4

3

Rpta.: ........................................................ 14. Dar como respuesta el término cuadrático del cociente en:

3

(

)

3x − 2 2x − 2 3 −1 x − 6x + 4 4

3

2

x− 6

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 15. En la siguiente división:

10. Calcular “m” si la división: 21 x − 41 x − 23 x + m x − 16 3x − 5 Deja como resto 4. 4

3

2

+ 3x + 2x +1 x −1 Indicar la suma de coeficientes del cociente. 5x

402

401

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 11. Indicar el término independiente del cociente en: x 10 − 2 x 8 + x 6 + 5 x 4 − x 2 + 5 x2 −3 Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias IV-C

1.

Álgebra

5 4 2 Indicar el resto de: 3 x − 4 x − 7 x + 5 x − 9 x −2

7.

Indicar la suma de coeficientes del cociente, al dividir: 5x

A) 8 D) 15 2.

B) 9 E) 17

C) -11 A) 4120 D) 2439

Dar como respuesta el coeficiente del término cúbico del cociente.

8.

2 x + 7 x + 3 x + 4 x + 9 x + 11 x+3 6

5

4

2

Rpta.: ........................................................

3.

3 2 Calcular el residuo en: 2 x − 9 x + 8 x − 16 x −4

Rpta.: ........................................................ 4.

403

Calcular el resto de dividir: (2 x − 10 x + 8) ÷ x + 2 4

9.

+x

+ 8 x + 6 x + 10 x −1 B) 3120 C) 2460 E) 2450 402

2

12 11 2 Hallar el cociente de: 12 x + 3 x + 4 x + 5 x + 7 4 x +1 A) 3x11 + x − 1 B) 3x11 + 1 C) 3x11 + x + 1 D) 3x11 − 1 11 E) 3x − x + 1

Calcular “m” si la división: 21 x − 34 x + 41 x − m x − 20 3x − 4 4

3

Es exacta A) 21 D) 39

2

B) 29 E) 30

C)

31

Rpta.: ........................................................

5.

6.

10 9 2 Indicar el cociente en: 3 x + x + 6 x − x + 1 3x +1 B) x 9 + 4x + 5 A) x 9 + 2x − 3 C) x 9 − 3x + 2 D) x 9 + 5x + 10 9 E) x − x − 1

10. Hallar el coeficiente del término cuadrático del cociente en: x +x −x x +1 B) 1 E) -2 5

A) 3 D) 2

3

C) 0

Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división: 2x + 4 x − 2x + 5 x −3 B) -60 C) -66 E) -50 5

A) 50 D) 66

3

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Compendio de Ciencias IV-C CAPÍTULO

Álgebra

11 OBJETIVOS • •

El teorema del resto es una regla práctica que nos va a permitir determinar el residuo de una división cualquiera, sin necesidad de efectuar dicha operación. Aplicar el Teorema mencionado en las siguientes divisiones : 10 x + 1 3 2 x − x + x − x +1 10

4

•

;

( x + 1)5 (2 x + 1)4 2 x −1

Resultaría complicada su aplicación directa. Para evitar aquello, expondremos dos propiedades que nos van a permitir determinar sus residuos, sin necesidad de dividirlos. La finalidad de la divisibilidad polinómica, es conocer el manejo de las divisiones exactas, obtener cocientes de ciertas divisiones notables y tener una idea precisa de la relación numérica : P(a) = 0

(x - a) es un divisor exacto del Polinomio P(x)

Como aplicación equivalente del teorema del factor de un polinomio.

INTRODUCCIÓN

RENATO DESCARTES La Haya de Turena, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, 11 de Febrero de 1650. Participó en la Guerra de los Treinta años, retirándose a Holanda, y terminando sus días en la corte de la reina de Suecia. Muy conocido como filósofo racionalista, más polemizado que estudiado, sus aportaciones importantes las realizó en el terreno de las matemáticas. Las líneas generales de su filosofía las recopila en su Discurso del método que se publica en Leiden en 1637, con tres apéndices científicos : Dióptica, Meteoros y Geometría. El libro se difunde rápidamente; es comentado y discutido, y Descartes tiene que responder a gran número de objeciones, sobre todo de carácter filosófico y teológico, relativas al contenido del método; otras, las menos, de índole científica, referentes a las restantes partes de la obra. La menos discutida fue la Geometría, sin duda porque, como el mismo Descartes dice, tendría un pequeño número de lectores, pues debían ser personas que no solamente estuvieran al corriente de todo lo que se sabía de Geometría y Álgebra, sino que debían ser, además, «laboriosos, ingeniosos y atentos». Descartes agrega a su Discurso la Geometría, para demostración del procedimiento de raciocinio que en él se expone; los otros dos tratados, Dióptrica y Meteoros se limitan a ampliar capítulos de la Física y las ciencias naturales. La Geometría constituye, pues, la exposición más acabada del método que se propone Descartes. Está formada por tres libros, en la edición original, de 120 páginas con 48 figuras, aunque sólo 30 son diferentes. El libro primero trata de los problemas que pueden resolverse sin emplear más que círculos y líneas rectas; relaciona el cálculo de la Aritmética con las operaciones de Geometría, introduciendo el concepto de unidad. Trata de cómo pueden emplearse letras en Geometría, simplificando así las notaciones. Explica la manera de llegar a las ecuaciones que sirven para resolver los problemas, aplicando el procedimiento de suponer previamente el problema resuelto.

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Compendio de Ciencias IV-C

Álgebra

El libro segundo se denomina «De la naturaleza de las líneas curvas». Trata especialmente de las de grado superior, la representación de las curvas por ecuaciones y, sobre todo, de la construcción y propiedades de tangentes y normales, cuya importancia deriva de los problemas de la reflexión de la luz sobre las superficies curvas. El libro tercero está dedicado a los problemas que se resuelven por ecuación de tercer grado o superior. Esto se lleva al estudio de la resolución de ecuaciones, discusión de sus raíces y relaciones entre los coeficientes, enunciando su famosa regla de los signos. La aportación de Descartes a la Matemática fue el antecedente necesario del cálculo infinitesimal creado por Newton y Leibniz 40 años después. Cuando Descartes tuvo la idea de definir la posición de un punto sobre un plano por las distancias x (abcisa) e y (ordenada) de este punto a dos ejes rectangulares fijos, arbitrariamente elegidos, intuyó inmediatamente que, si el punto recorre una determinada curva, estas variables x e y quedan ligadas por una cierta relación f(x, y) = 0, característica de esta curva a la que llama su ecuación. Y, al aplicar los procedimientos del Álgebra a los problemas geométricos, creó la Geométría analítica.

TEOREMA DEL RESTO SÍNTESIS TEÓRICA para x = − TEOREMA DE RENATO DESCARTES (Teorema del Resto) El residuo de dividir P(x) entre (ax + b), se calcula al evaluar dicho polinomio P(x), cuando su variable «x» asume el valor de (-b/a). Demostración : Por la identidad fundamental de la división, se tiene : P ( x ) ≡ (ax + b )q( x ) + R( x ) b a

Evaluando la identidad para x = − : P

( ) −b a

= a 

( − ba ) + b 

( − ba ) + R ( − ba )

q

Como el divisor es de primer grado, el residuo es una constante real. Por esto : P

( ) −b a

( )

= [0 ] q − b + R a

R=P

Finalmente :

- ba

(L.q.q.d.)

6x + 9x + 4x + 8x + 5 2x + 3 De acuerdo al teorema, se trata de evaluar el polinomio: 5 4 2 P(x) = 6x + 9x + 4x + 8x + 5 4

5

4

2

 3  3  3  3 3  = 6 −  + 9 −  + 4 −  + 8 −  + 5  2  2  2  2 − 

P 

2

Esto nos conducirá a la obtención del residuo. Efectuando, resulta : R = - 729 + 729 + 36 - 24 + 5 16 16 4 2 R = 9 - 12 + 5 = 2 GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO Si el divisor de la operación es de grado arbitrario, se establece la siguiente regla general : Para determinar el residuo de una división cualquiera; primeramente, el divisor deberá igualarse a cero, y a partir de esta igualdad se despejará una relación conveniente, el cual se reemplazará directamente en el dividendo. El resultado de este reemplazo, nos representará el residuo de la división. Teniendo en cuenta que el máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor. Recordando :

º R(x)

º d(x) -1

Ejemplo (1) Calcular el resto de dividir :

Ejemplo explicativo : Calcular el residuo de dividir : 5

3 . Es decir : 2

2

4 x 121 + 7 x 84 − 5 x 33 + 8 x 18 + 6 x 5 − 9 x +1

Regla : x + 1 = 0

→ x = -1

Reemplazando en el dividendo, se tiene :

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Compendio de Ciencias IV-C 121

84

33

R = 4 (-1) + 7 (-1) - 5 (-1) R=-4+7+5+8-6-9 Por lo tanto, el resto es : R = 1

Álgebra 18

+ 8 (-1)

5

+ 6 (-1) -9

RESTOS ESPECIALES TEOREMA Nº 1: En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les multiplica por un polinomio de grado no nulo, el residuo quedará multiplicado por dicho polinomio; es decir, resultará alterado. Mientras que el cociente permanecerá constante. Veamos :

Ejemplo (2) Determinar el resto de la división : 16 x 7 − 24 x 5 + 10 x 6 − 7 x 3 − 22 x 4 + 9 ← P 2 x −2 2 2 x =2 Regla : x - 2 = 0 →

Por definición : D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x)

2

En el dividendo debemos buscar todos los x posibles, para lo cual, cada uno de los términos se tienen que descomponer convenientemente, tal como sigue : 2 3 2 2 2 3 2 2 2 P =16(x ) x - 24(x ) x + 10(x ) - 7(x )x - 22(x ) + 9

Multiplicando m.a.m. por S(x), tal que S(x) º 0 : [D(x)• S(x)] ≡ [d(x) • S(x)] q(x) + R(x)• S(x) R’(x)

De la identidad, observamos que : 2

Reemplazando la relación x = 2, se obtendrá el residuo: 3 2 3 2 R = 16 (2) x - 24 (2) x + 10 (2) - 7 (2)x - 22 (2) + 9 R = 128x – 96x + 80 – 14x – 88 + 9 Finalmente : R = 18x + 1

R (x) → Resto verdadero R’(x) → Resto falso o aparente

R’

(x) Se deduce que : R(x)= S ; S(x) ≡ 0 (x)

Ejemplo (3) Para que valor de “a”, la siguiente 2 x 5 − 6 x 3 + (a − 7) x 2 + 16 división: es exacta. x −2 Regla : x - 2 = 0 x=2 El residuo se obtiene al evaluar el dividendo, para dicho valor, así : 5 3 2 R = 2 (2) - 6 (2) + (a - 7) (2) + 16 R = 64 - 48 + 4 (a - 7) + 16 Reduciendo : R = 4a + 4 como es exacta : 4a + 4 = 0

→

Determinar el residuo de dividir : 5x74 + 6x 31 − 4 x 2 − x +1 Resolución : Aplicar el teorema del resto con el divisor (x2 - x + 1), es muy complicado. Busquemos un artificio que nos permita trabajar con un divisor más simple. Como : (x2 – x + 1) (x + 1) = x3 + 1

a = -1

Multipliquemos al dividendo y al divisor por (x + 1), así: 5 x 74 + 6 x 31 − 4 • x + 1 x +1 x2 − x +1

Ejemplo (4) Hallar el resto de dividir : ( x 3 + 1)( x − 2)(2 x − 1)2 − 3 x 3 ( x − 1)3 ←P ( x + 2)( x − 3)

Regla :

Ejemplo explicativo :

Efectuando, resulta :

(x + 2) (x – 3) = 0 5x 2

Efectuando : x – x – 6 = 0 x – x = 6 2 En el dividendo, debemos buscar la expresión (x – x), para luego sustituirlo por el valor de 6. Veamos : 2 2 3 P = (x+1) (x – x+1) (x – 2) (4x – 4x+1) – 3[x(x – 1)] 2

75

+ 5x

2

2

2

2

3

P = (x – x – 2) (x – x+1) [4 (x – x)+1] – 3 [x – x] El residuo de la división, se obtendrá de : 3 R = (6 – 2) (6 + 1) [4 (6) + 1] – 3 [6] R = (4) (7) (25) - 3 (216) Finalmente : R = 700 - 648 = 52

74

32

+ 6x + 6x x3 +1

31

−4x −4

←P

Tener en cuenta que esta es una nueva división, cuyo residuo es R’. Por el teorema del resto, se tiene : x3 + 1 = 0

→

x3 = -1

En P, busquemos todos los x3 posibles, así : P = 5(x3)25+5(x3)24x2+6(x3)10x2+6(x3)10x – 4x – 4 Sustituyendo x3 por (-1), resulta el resto falso o aparente : R’ = 5(-1)25+5(-1)24x2+6(-1)10x2+6(-1)10x – 4x – 4 Operando : R’ = -5 + 5x2 + 6x2 + 6x - 4x - 4 Reduciendo : R’ = 11x2 + 2x - 9

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Compendio de Ciencias IV-C

Álgebra

Nos interesa el resto verdadero. Por el teorema 1, se tiene :

Ejemplo explicativo :

(11 x - 9)( x + 1) R = R' = 11 x + 2 x - 9 = x +1 x +1 x +1

Determinar el residuo de dividir :

2

( x 3 + 8)( x 2 − 4) 2

x −x−2

Resolución :

Por lo tanto : R = 11x - 9

Descomponiendo el dividendo por los productos notables : x3 + 8 = (x + 2) (x2 – 2x + 4)

TEOREMA Nº 2: En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide entre un polinomio de grado nulo, el residuo quedará dividido entre dicho polinomio; es decir, resultará alterado. Mientras que el cociente permanecerá constante. Veamos :

x2 – 4 = (x + 2) (x – 2) y factorizando el divisor; la división propuesta queda así : 2

2

( x + 2) ( x − 2 x + 4 )( x − 2) ( x + 1)( x − 2)

Por definición : D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x) Dividiendo m.a.m. por S(x), siendo S(x) º 0 :  D( x )   d ( x )   R( x )   ≡  q +  ← R' ( x ) (x )  S ( x )   S ( x )   S ( x )  De la identidad, observamos que : R (x) → Resto verdadero R’(x) → Resto falso o aparente

Es evidente que, al dividendo y al divisor debemos dividirlo entre (x – 2). La nueva división cuyo residuo es R’, será : ( x + 2)2 ( x 2 − 2 x + 4) x +1 Por el Teorema del resto : x+1=0 → x = -1 Sustituyendo en el dividendo, obtendremos el resto falso o aparente : 2 R’ = (-1 + 2) (1 + 2 + 4) = 7

Se deduce que : Por el Teorema 2, el resto verdadero será : R = R’ (x – 2) = 7(x – 2) Por lo tanto : R = 7x – 14

DIVISIBILIDAD POLINÓMICA SÍNTESIS TEÓRICA

Es evidente que h(x), es el cociente de dividir

DEFINICIÓN: Dados dos polinomios f(x) y g(x) de grados no nulos; se dirá que f(x) es divisible entre g(x), si existe un único polinomio h(x), tal que verifique la identidad de la división exacta :

f( x ) ≡ g( x) • h( x )

, se-

gún el diagrama establecido : −3

2

5

−7

−12

↓ 2

−6 −1

3 −4

12 0

Entonces, el polinomio «h» buscado es : h(x) = 2x2 - x - 4

Ejemplo explicativo : El polinomio : P(x) = 2x3 + 5x2 – 7x – 12 será divisible entre (x + 3), si existe un único h(x), tal que verifique : P( x ) ≡ (1 x 23 + 3)h( x ) { { 1° 3°

P( x ) x +3

2°

Encontremos el polinomio de 2do grado h(x), mediante la regla de Paolo Ruffini.

PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD : TEOREMA Nº 3: Si el polinomio P(x) es divisible separadamente entre los binomios (x – a), (x – b) y (x – c); entonces, también P(x) es divisible entre el producto de (x – a) (x – b) (x – c).

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Compendio de Ciencias IV-C Descriptivamente :

Álgebra

Si : P( x ) ÷ ( x − a)

→

R=0

P( x ) ÷ ( x − b )

→

TEOREMA Nº 7: Si f (x) es divisible entre g(x), el producto de f(x) por cualquier otro polinomio no nulo h(x), es también divisible entre g(x).

R=0

Demostremos partiendo de la identidad :

P( x ) ÷ ( x − c)

→ R=0

Entonces : P( x ) ÷ ( x − a)( x − b )( x − c) → R = 0

f(x) ≡ M(x) • g(x) Multiplicando m.a.m. por el polinomio h(x) ≡ 0 : f(x) • h(x) ≡ M(x) • g(x) • h(x)

TEOREMA Nº 4: (Teorema recíproco) Si el polinomio P(x) es divisible entre el producto de (x – a) (x – b) (x – c); entonces P(x) es divisible separadamente entre (x - a), (x - b) y (x - c).

Por la propiedad asociativa : f(x) • h(x) ≡ [M(x) • h(x) ] • g(x) Se concluye que f(x) • h(x) es divisible entre g(x).

Descriptivamente :

P( x ) ÷ ( x − a)

→ R=0

P( x ) ÷ ( x − b )

→ R=0

TEOREMA Nº 8: Si al dividir el polinomio P (x) separadamente entre (x – a), (x – b) y (x – c), se obtienen el mismo residuo, entonces al dividir P(x) entre el producto de (x – a) (x – b) (x – c), también se obtendrá el mismo residuo.

P( x ) ÷ ( x − c)

→ R=0

Descriptivamente :

P( x ) ÷ ( x − a)( x − b )( x − c) → R = 0

Entonces :

Si : P( x ) ÷ ( x − a) TEOREMA Nº 5: Si f(x) es divisible entre g(x), y g(x) es divisible entre h(x), entonces f(x) es divisible entre h(x).

→ R1(x) = 0

P( x ) ÷ ( x − b )

→ R2(x) = 0

Demostremos esta afirmación, utilizando la identidad de la división exacta :

P( x ) ÷ ( x − c)

→ R3(x) = 0

f(x) ≡ M(x) • g(x) .......... (α) g(x) ≡ N(x) • h(x) .......... (β) Sustituyendo (β) en (α) : f(x) ≡ M(x) • [N(x) • h(x) ] Asociando convenientemente : f(x) ≡ h(x) • [M(x) • N(x) ] El cual nos indica que f(x) es divisible entre h(x) TEOREMA Nº 6: Si f(x) y g(x) son divisibles entre h(x), entonces la suma y la diferencia de f(x) y g(x), también son divisibles entre h(x) . Demostremos la afirmación, partiendo de las identidades: f(x) ≡ M(x) • h(x) .......... (α) g(x) ≡ N(x) • h(x) ............ (β) (α) + (β) : f(x) + g(x) ≡ [M(x) + N(x) ] h(x) ......... (1) Siendo

: M(x) + N(x) ≡ 0

(α) - (β) : f(x) - g(x) ≡ [M(x) - N(x) ] h(x) ......... (2) Siendo : M(x) - N(x) ≡ 0

De (1) y (2), se deduce que [ f(x) + g(x) ] y [ f(x) - g(x) ] son divisibles entre h(x) .

Entonces : P( x ) ÷ ( x − a)( x − b )( x − c) → R(x) = 0 TEOREMA Nº 9: Si un polinomio P (x) es divisible

separadamente entre F(x), G(x) y H(x), respectivamente. Entonces P(x) también es divisible entre el MCM de F(x), G(x) y H(x). Descriptivamente : Si :

P( x ) ÷ F( x )

→

R( x ) ≡ 0

P( x ) ÷ G( x )

→

R( x ) ≡ 0

P( x ) ÷ H ( x )

→

R( x ) ≡ 0

Entonces : P( x ) ÷ MC M P( x ) , R( x ) , R( x )  → R( x ) ≡ 0 TEOREMA Nº 10: Todo polinomio P(x) de grado no nulo, es divisible entre cualquier polinomio constante diferente de cero. En efecto, si tenemos : El polinomio P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ......... + an y la constante monómica : F(x) = C; C ≠ 0 Se verifica la identidad de la divisibilidad : a a a  a P(x) ≡ C  0 x n + 1 x n − 2 + 2 x n −3 + KK + n  C C C  C  ai  donde los  C  son los coeficientes del segundo factor..  

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Compendio de Ciencias IV-C

Álgebra

Problema desarrollado:

Problema por desarrollar: n

1.

Demostrar que el resto de dividir x + a x +a

n

es 2an.

n

2.

Demostrar que el residuo de dividir x − a x −a

6.

Calcule el resto en:

n

es 0.

Demostración: Aplicando la regla de Ruffini: x-a=0 → x=a 1 0 a

a 1 a

1.

0

0

0 ... 0

a

n

a 2 a 4 a 5 ... a n-1 a n a

3

a

4

5

a ... a

n-1

2a

R = 2a

n

n

l.q.q.d.

Hallar el residuo en: 4

3

2

x + x + 4x − 8x − 8 x−2 Rpta.: ........................................................ 2.

Calcule el residuo en la división: 5

4

5

7.

3

x − 2x + 3x + 4 x −1 x +1 Rpta.: ........................................................ 3.

Halle el resto en: 4

3

Determinar el residuo en: 4

2

Rpta.: ........................................................ Calcular el residuo en la siguiente división: 5

Halle el resto de:

4

3

2

32 x − 16 x + 8 x + 12 x + 4 2x + 1

40

39

+ 8x + 6x + 5 x+2 Rpta.: ........................................................ 4x

9.

3

81 x + 27 x + 18 x + 6 x + 1 3x −1

5.

2

2

x − 3 x + 2 x − 6 x + 10 x −3 Rpta.: ........................................................ 4.

Halle el resto en la siguiente división: (4 x − 14 ) + (5 x − 17) + 10 x − 25 x −3 Rpta.: ........................................................

8. 3

3

(3 x + 7) + (2 x + 5) + 9 x x+2 Rpta.: ........................................................

Calcule el resto de la división : 27

− 81 x

26

12

13

9

6

+ 9x − 3x + 5 x −3 Rpta.: ........................................................ 27 x

10. Hallar el resto en: 3x

18

+ 2x

15

−x

12

3

+ 4 x − 10 x + x + 2 3 x +1

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias IV-C

Álgebra

11. Halle el resto de: x

80

+x

70

+x

60

+x

13. Calcular el resto de: 50

x

+x

40

10

+1

+x

30

+x

20

+x

10

+1

Rpta.: ........................................................ 12. Halle el resto de: x

10

+ 2x8 + 4 x7 − 5x4 + x3 + 1 2 x −1

Rpta.: ........................................................

( x + 1) (x+ 3) (x+ 5) (x+ 7) + 4 2

x + 8 x + 11

Rpta.: ........................................................ 14. Determine al resto en:

[ x ( x + 1) (x+ 2) (x+ 3)-12]4 2

x + 3x + 5

Rpta.: ........................................................ 15. Hallar el resto en: (a − b + 10)10 + (a-b+ 8)9 + (a-b+ 7)2 a−b +9 Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias IV-C

1.

2.

3.

2x3 + 3x 2 − 5x + 7 x −1 C) 5

Calcular el resto de dividir: A) 3 D) 6

Álgebra

B) 4 E) 7

4 3 2 Calcular el resto de: x − 4 x + 7 x − 5 x − 9 x +1 A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

Halle el resto de dividir: 7

2

6.

7.

8. 8

4.

5.

B) 1 E) 4

20

Determine el resto en: + 3x 7 + 2x 6 − x 5 + 4 x 2 + 3 2 x +2 A) 26x+23 B) 36x-21 C) 36x+21 D) 26x-23 E) 4x+13 x

C) 2

7 7 7 Calcule el resto en: ( x + n) − x − n x + 2n C) 128n 7 A) 0 B) 64n 6 D) 256n 8 E) 32n 5

3

+ x 10 + x 4 + 5 x + 2 4 x +1 B) x 2 + 5x C) x 2 − 5x E) 0

Halle el resto en: x A) 5x D) x 2 − 6x

( x + 3) + ( x − x − 7) − x − 2 x+2

A) 0 D) 3

7

Determine el resto: 128 x + 40 x − 2 x − 3 2x + 1 A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 3

9.

13

Calcule el resto en: ( x 2 + 5 x + 10)3 + 2( x 2 + 5 x + 9)2 + 8 A) 14 D) 20

x2 + 5x + 8 B) 16 E) 22

C) 18

Si el residuo de la división: x 5 − 3x 4 + 2x 3 − 3x + 9 x2 +1 Es de la forma (ax+b); calcular (a+b): A) 2 B) -2 C) 3 D) –4 E) –3

10. En la siguiente división x 4 − ax 3 + bx + c x2 +1 Se obtiene como resto a: 5x+2. Calcular “a + b + c” A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

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Compendio de Ciencias IV-C CAPÍTULO

Álgebra

12 COCIENTES NOTABLES Concepto Son los resultados de ciertas divisiones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de división. Esto, debido a la forma que presentan. I.

I I . EXPANSIÓN O DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE 1ER. CASO:  x n − yn Forma general  x − y  • Cálculo del Resto:

FORMA GENERAL DE UNA DIVISIÓN INDICADA QUE GENERA UN COCIENTE NOTABLE Las divisiones indicadas que originan COCIENTES NOTABLES, son de la forma general :

Por el Teorema del Resto: x–y = 0 → x = y ∴ R = yn – yn = 0 ; ∀n ≥ 2 Determinación del Cociente: Aplicando la Regla de Ruffini :

•

xn ± yn = C .N . ; n ∈ N , n ≥ 2 x±y

1 0

Para realizar un estudio detallado del mismo, debemos tener en cuenta los siguientes aspectos a mostrar : • Si la división es exacta (R(x,y) ≡ 0) La división notable adopta la forma general :

•

0

y ↓ y y

Donde : x : primer término del divisor y : segundo término del divisor n : número de términos de la parte entera del C.N.

  ; ∀n ∈ N , n ≥ 2  

2

- yn

0 KKK 0 3

yn

1 y y 2 y 3 KKK yn -1

0

y KKK

Con respecto a “x”, el cociente es de grado (n– 1) y esta ordenado en forma decreciente, tal como sigue: n

n

x –y n –1 n– 2 n –3 2 n –4 3 n –1 =x +x y+x y +x y +K + y x –y

Ejemplos: 5

5

•

x −y 4 3 2 2 3 4 = x + x y + x y + xy + y x −y

x n ± yn =q ( x ,y ) x ±y

•

x 8 −y8 = x 7 + x 6 y + x 5 y 2 + x 4 y 3 + x 3 y 4 + x 2 y 5 + xy 6 + y 7 x −y

Si la división es inexacta (R(x,y) ≡ 0) La división notable asume la forma general :

•

x 91 − y 91 = x 90 + x 89 y + x 88 y 2 +K+ x 2 y 88 + xy 89 + y 90 x −y

•

x

•

32 x −1 (2 x ) −1 4 3 2 = =(2 x ) + (2 x ) + (2 x ) + (2 x ) +1 2 x − 1 (2 x ) − 1

n

n

R

x ±y ( x ,y ) =q + ( x ,y ) x±y x±y

16

− 1 = x 15 + x 14 + x 13 + K + x 2 + x + 1 x −1 5

5

4

3

2

= 16 x + 8 x + 4 x + 2 x + 1

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Álgebra

2DO. CASO:

•

Determinación del Cociente Por la Regla de Ruffini, resulta:

 xn + yn  Forma general  x − y  ; ∀n ∈ N , n ≥ 2  

•

•

1 0

1 0

0

0 KKK 0

1 y y

2

3

y KKK y

y

2yn

Ordenando el cociente en forma conveniente, resulta :

n

• • •

•

x 3 +y3 2y 3 = x 2 + xy + y 2 + x −y x −y

•

x 71 + y 71 2 y 71 = x 70 + x 69 y + x 68 y 2 +K+ y 70 + x−y x −y

•

x 36 +1 35 34 33 = x + x + x +K + 1 + 2 x −1 x −1 4

•

n

x 8 −y8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 = x − x y + x y − x y + x y − x y + xy − y x+y

x

30

−y x+y

30

= x 29 − x 28 y + x 27 y 2 −K− x 2 y 27 + xy 28 − y 29

x 72 − 1 71 = x − x 70 + x 69 −K − x 2 + x −1 x +1

 x n − yn   ; ∀n impar Forma general  x+y   

•

Cálculo del Resto Por el Teorema del Resto: x+y = 0 → x = –y ∴ R = (–y)n–yn ; como “n” es impar R = –yn–yn = –2yn

•

Determinación del Cociente Aplicando la Regla de Ruffini, se tiene: 1 0

2

4

– yn

0 KKK 0 3

1 –y y –y KKK y

– yn n –2y

n -1

El cociente resultante será :

=8 x 3 + 4 x 2 + 2 x +1+ 2 2 x −1

n

n

n x –y n –1 n –2 n –3 2 n –1 2 y =x –x y+x y –K + y – x +y x +y

3ER. CASO:  xn − yn  Forma general  x + y  ;  

0

–y ↓ –y y 2 –y 3 KKK

16 x +1 (2 x ) +1 3 2 = =(2 x ) + (2 x ) + (2 x ) +1 + 2 2 x − 1 (2 x ) − 1 2 x −1

•

0

4TO. CASO :

Ejemplos : x6 +y6 2y 6 = x 5 + x 4 y + x 3 y 2 + x 2 y 3 + xy 4 + y 5 + x −y x −y

1 –y y 2 –y 3 KKK–yn -1

Ejemplos :

x n – yn 2y n = x n –1 + x n –2 y + x n –3 y 2 + K + y n –1 + x–y x–y

•

yn

x –y n –1 n– 2 n –3 2 n –4 3 n –1 =x +x y+x y +x y +K – y x +y

yn n -1

- yn

3

Ordenando el cociente respecto a “x”, se tiene :

Determinación del Cociente Aplicando la Regla de Ruffini: y ↓ y y 2 y 3 KKK

0 KKK 0

y ↓ –y y –y KKK 2

Cálculo del Resto Por el Teorema del Resto : x–y = 0 → x = y ∴ R = yn + yn = 2yn ; ∀n ≥ 2

n

0

Ejemplos : ∀n par

Cálculo del Resto Por el Teorema del Resto: x+y = 0 → x = –y ∴ R = (–y)n – yn ; como “n” es par R = yn – yn = 0

5

•

•

•

5

5 x −y 4 3 2 2 3 4 2y = x − x y + x y − xy + y − x+y x +y

x

33

33

−y x+y

=x

32

−x

31

y+x

30 2

y −K+ y

32

−

2 y 33 x +y

x 17 −1 16 15 = x − x + x 14 −K+1 − 2 x +1 x +y

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Álgebra

5TO. CASO :

6TO. CASO :

 xn + yn  Forma general   ; ∀n impar  x +y   

 x n + yn  Forma general  x + y  ; ∀n par   • Cálculo del Resto Por el Teorema del Resto: x+y = 0 → x = –y ∴ R = (–y)n + yn ; como “n” es par R = yn + yn = 2yn • Determinación del Cociente Aplicando la Regla de Ruffini, se tiene :

•

Cálculo del Resto Por el Teorema del Resto: x+y = 0 → x = –y ∴ R = (–y)n+yn ; como “n” es impar R = –yn+yn = 0 Determinación del Cociente Dividiendo por la Regla de Ruffini :

•

1 0

yn

0 KKK 0

0

–y ↓ –y y 2 –y 3 KKK 2

3

1 0 0 0 KKK 0 yn 2 3 –y ↓ –y y –y yn 1 –y y2 –y3 KKK–yn–1 2yn Ordenando el cociente respecto de “x”, resulta :

–yn

1 –y y –y KKK y

n -1

0

El cociente obtenido será :

xn + yn 2y n = x n –1 – x n – 2 y + x n – 3 y 2 – K – y n –1 + x+y x+y

xn – yn –1 –2 –3 2 –4 3 –1 = x n – x n y + x n y – x n y +K+ y n x+y

Ejemplos : •

x 6 + y6 2y 6 5 4 3 2 2 3 4 5 = x − x y + x y − x y + xy − y + x+y x +y

•

x 50 + y 50 2 y 50 49 48 47 2 49 = x − x y + x y −K − y + x +y x +y

•

x 48 + 1 47 46 45 = x − x + x −K −1 + 2 x +1 x +1

Ejemplos : •

x 7 + y7 = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6 x +y

•

x 23 + y 23 22 21 20 2 2 20 21 22 = x − x y + x y −K + x y − xy + y x +y

•

x 99 + 1 98 = x − x 97 + x 96 −K+ x 2 − x + 1 x +1

CUADRO SINÓPTICO DE LOS 6 CASOS DE C.N. DIVISIÓN RESIDUO INDICADA x n – yn x–y xn + yn x–y

∀n ≥ 2 R=0 ∀n ≥ 2 R = 2 yn

x n – yn x+y

∀n par R=0

x n – yn x+y

∀n impar

xn + yn x+y

∀n impar R=0

x +y x+y

∀n par

n

n

R = 2yn

R = 2yn

COCIENTE NOTABLE

NOTACIÓN SIGMA n

∑x

xn –1 + x n – 2 y + xn – 3 y 2 + K + yn –1 xn –1 + x n – 2 y + xn – 3 y2 + K + yn –1 +

n –K

yK–1

K =1

2yn x–y

 n  2yn  x n – K y K –1  +   x–y  K=1 

∑

n

x

n –1

–x

n–2

y+x

n –3 2

y –K– y

∑ (–1)

K –1

n –1

x n –1 – x n – 2 y + x n – 3 y 2 – K + y n –1 –

x n – K yK–1

K =1

2yn x+y

n  n   (–1)K–1 xn – K yK–1  – 2y   x+y  K=1 

∑

n

∑ (–1)

K –1

x n –1 – x n – 2 y + x n – 3 y 2 – K + y n –1 xn –1 – xn – 2 y + x n – 3 y2 – K – yn –1 +

x n – K yK–1

K =1 n

2y x+y

n  n   (–1)K–1 xn – K yK–1  + 2 y   x+y  K=1 

∑

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I II . PROPIEDAD IMPLÍCITA: El exponente común “n” en la división indicada, nos indica el número de términos de la parte entera del cociente notable expandido.

•

Ejemplo (3): Señale el 20avo. término del C.N. obtenido al efectuar :

IV. TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE En el desarrollo de la división indicada :

x n ± yn ; x±y

x 39 + y 39 x +y

n ∈ N, n ≥ 2 •

Un término cualquiera de lugar “K”, de la parte entera del cociente, se calcula mediante la fórmula general : TK = (S I G NO)x

Donde : x : y: n: k:

n –K K–1

y

; K∈ N

1≤K≤ n

primer término del divisor segundo término del divisor número de términos del C.N. lugar que ocupa el término

Regla Práctica para deducir el signo de TK a)

b)

En la fórmula general n=24 y K=13 : T13 = (+) x24–13 y13–1 Por lo tanto : T13 = x11y12

Si el divisor es de la forma (x – y) : Todos los términos TK del cociente notable, son POSITIVOS. Si el divisor es de la forma (x + y) : – Los términos de lugar IMPAR son POSITIVOS. – Los términos de lugar PAR son NEGATIVOS.

En la fórmula general n = 39 y K = 20: T20 = (-) x39–20 y20–1 Por lo tanto : T20 = –x19 y19

TEOREMA Nº 11: 1.

Condición de Proporcionalidad Implícita Para que la siguiente división indicada : m m

n

p

q

x ±y x ±y

=

p

p

x 15 − y15 x −y •

En la fórmula general n=15 y K=7 : T7 = (+) x15-7 y7-1 Por lo tanto : T7 = x8 y6

Ejemplo (2): Calcular el 13avo. término del desarrollo de la división indicada :

x

−y x +y

24

q

(x ) ± (y )

genere un C.N., se debe cumplir la condición necesaria y suficiente : m n = = r ; r∈N , r ≥ 2 p q

siendo “r” el número de términos del C.N. Ejemplo (1): En la siguiente división indicada :

x

28

+y

4

Ejemplo (1): Determine el 7mo. término del C.N. generado al dividir:

n q

(x ) p ± (y ) q

x +y

21 3

Aplicando la condición de proporcionalidad: 28 21 = =7 4 3 Se observa que este genera un cociente notable de 7 términos.

Número de términos =

Ejemplo (2): Si la división mostrada :

x

55

−y

10

−y

x

11 2

genera un C.N., debe cumplir la condición :

24

Número de términos =

55 11 = = 5, 5 10 2

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Lo cual es ABSURDO. Por lo tanto, la división mencionada NO genera un cociente notable. Ejemplo (3): Hallar el número de términos de la parte entera del C.N. que se obtienen a partir de la división : 3m + 2

a

*

3.

Regla Práctica para desarrollar  xm ± yn   xp ± yq 

5m−1

−b 2 a − bm−5

donde “r” nos expresa el número de términos pedido. Resolviendo al ecuación: (3m+2)(m–5) = 2(5m–1) Efectuando, resulta: 3m2–23m–8 = 0 Factorizando: (m–8) (3m+1) = 0 Para m = 8, se obtiene : r = 13 términos Para m = –1/3, el valor de “r” no resulta un número natural. Término General del C.N. de una división arbitraria que verifica la condición de proporcionalidad implícita. Se sabe que en la división indicada : m

n

p

q

x ±y x ±y

m n Se cumple: p = q = r

Ejemplos Diversos : •

( ) (y )

TK = (S IG NO) x

q K–1

;1≤K≤r

3

+y

x +y

102 2

*

Tnos =

12

153 102 = = 51 3 2

Cálculo de T17 (Lugar impar) T17 = (+) (x3)51–17 (y2)17–1 Por lo tanto : T17 = x102 y32

•

= x 20 + x 16 y 3 + x 12 y 6 + x 8 y 9 + x 4 y12 + y 15

3

−y

20

3

x +y 35

+y

7

x

51

−1

3

x −1 x

80

−1

4

x +1 x

75

+1

5

x +1 x −1 2

x −1

5

10

x +y

P

Determine el 17avo. y 38avo. término respectivamente del C.N. generado al expandirlo. Por la condición : #

•

18

x −y

•

•

−y

4

x

Ejemplo explicativo : De la división mostrada : 153

24

•

•

x

x

x

luego, cualquier término se obtiene a partir de la fórmula explícita : p r –K

   

Las características más saltantes de su desarrollo, son las siguientes : a) El C.N. admite “r” términos en su parte entera. b) Con respecto a “x”, los grados relativos van disminuyendo de “p” en “p” (partiendo de m– p hasta cero). c) Con respecto a “y”, los grados relativos van aumentando de “q” en “q” (partiendo de cero hasta n–q).

3m + 2 = 5m − 1 = r ; r ∈ N Por la condición : 2 m −5

2.

Cálculo de T38 (Lugar par) T38 = (-) (x3)51-38 (y2)38-1 Por lo tanto : T38 = -x39 y74

2

= x 9 − x 6 y 5 + x 3 y10 − y15

= x 28 − x 21y 2 + x 14 y 4 − x 7 y 6 + y 8

= x 48 + x 45 + x 42 +K+ x 6 + x 3 +1

= x 76 − x 72 + x 68 −K− x 8 + x 4 −1

= x 70 − x 65 + x 60 −K− x 10 − x 5 +1

= x P −2 + x P −4 + x P −6 +K+ x 4 + x 2 +1

Siempre y cuando el valor de «p» sea par. •

xn +1 = x n−r − xn−2r + xn−3r −K+ x 2r − xr +1 r x +1 Siempre y cuando el valor de (n/r) sea impar.

•

x

− 1 = x 3 m −1 − x 3 m − 2 + x 3 m − 3 − K − x 2 + x − 1 x +1 3m

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Compendio de Ciencias IV-C

Álgebra

Sólo si, el valor de “3m” es par. Para el caso de divisiones inexactas, el criterio es el mismo para extender los términos de la parte entera del cociente, sólo que debemos agregar la fracción : residuo sobre divisor.

a)

( )

Lugar Tc =

D R =q+ d d

Según el algoritmo :

Si “n” es un número impar: El cociente notable admite un sólo término central, cuya posición se calcula así:

luego, dicho término se determina por la fórmula: Tc = T n +1 = (S IG NO)(xy)

PROPIEDADES PARTICULARES I.

x ±y Se tiene la división indicada : x±y

b)

n

;

n –1 2

2

Término Central de la parte entera de un C.N. n

n +1 ∈N 2

n≥2

Si “n” es un número par: El cociente notable admite dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así :

( ) = n2 ∈ N n+2 L ugar ( T ) = ∈N 2 L ugar Tc

1

c2

Problema desarrollado: 3

1.

m m Demostrar que el CN x − a es exacta (∀m ∈  + ) x −a

m=m

}

m m + Si P(m ) = m ∈  / x − a es divisible por x − a

i)

1 1 x −a Para m = 1 → P(1) = x − a = x −a

→ P

(1)

= 1 (Verdadera)

2 2 ii) Para m = 2 → P(2) = x − a =

( x + a)( x − a)

(x − a)(x 2 + ax + a2 ) x −a

→ (Verdadera)

Demostración:

{

3

iii) Para m = 3 → P(3) = x x −− aa =

∴

x m − am es un C.N. exacta a x −a l.q.q.d.

Problema por desarrollar:

2.

Demostrar que el C.N. x

2 n −1

+ y 2n −1 es exacto. x +y

x −a

→ (Verdadera)

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Compendio de Ciencias IV-C

1.

Indicar el último término del C.N.

Álgebra

6

x −y x −y

6

Rpta.: ........................................................ 2.

Desarrollar el C.N.:

9.

Efectuar: 7 6 5 2 7 R = a + a b + a b + .... + b 4 4 4 4 (a + b )(a − b )

Rpta.: ........................................................

a 7 − b 7 ; dar como respuesta el término central. a −b

10. Hallar el octavo término en el desarrollo de:

Rpta.: ........................................................

3.

8 8 Indicar el número de términos del C.N. x − b x −b

Indicar el número de términos del C.N. (Desarrollar) x8 −1 x −1 Rpta.: ........................................................

5.

¿Qué división generó el C.N.

25

11. Indicar el séptimo término del C.N. generado por la siguiente división: x 18 + a 27 x 2 + a3

Rpta.: ........................................................ 4.

25

+a x +a Rpta.: ........................................................ x

Rpta.: ........................................................ 12. Proporcionar el vigésimo primer término del C.N. generado por: m 60 − x 150 m2 − x5 Rpta.: ........................................................

x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + .... + x 2 + x + 1 Rpta.: ........................................................

13. Indicar el número de términos del cociente notable generado por:

6.

x − 64 Representa la división que genera un C.N. x −2 indicar el quinto término.

3n+3

6n

+b 3 a +b Rpta.: ........................................................ a

6

3

14. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del Rpta.: ........................................................ 7.

Reducir: 22 20 18 16 4 2 E = x + x 10 + x 8 + x6 + .... + x2 + x + 1 x + x + x + .... + x + 1

Rpta.: ........................................................ 8.

Dividir: 78 76 74 4 2 Q = x 39 + x 38+ x 37+ .... + x 2+ x + 1 x + x + x + .... + x + x + 1

36 36 C.N. generado por ( x + 3) − x ; para x = -1 2x + 3

Rpta.: ........................................................ 15. Proporcionar el número de términos del C.N. generados por: x 4 n +12 − y 4 n − 3 x

n −8

−y

n −9

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias IV-C

1.

Álgebra

6.

6 6 ¿Cuál es el desarrollo de x − b : x −b 5

4

2 3

3 2

4

A)

x + ax + a x + a x + a x + a

B)

x +a + x +a +x +a

5

4

3

Señalar el valor numérico del octavo término del C.N. x 45 + y 30 ; para x = 1; y = -1 x3 + y2

5

2

A) 0 D) 14

C) x 5 − a 5 + x 4 − a 4 + x 2 − a 2

B) 1 E) -14

C) -1

D) x 4 − ax 3 + a 2 x 2 − a 2 x + a 2 4 4 2 2 E) ( x − a )( x − a )

2.

x5

48

+x

46

+x

48

44

4

2

+ ... + x + x + 1 49

A)

x

−1 x −1

B)

x

−1 x −1

D)

x 50 + 1 x 2 +1

E)

x

50

A) 3 D) 9

50

x −1 2 x −1

C)

−1 x +1

8.

1 x −a D) x + a

A)

1 x +a 2 2 E) x - a B)

8 2

6 4

12

a −b a2 − b 2 12

−b a −b

9.

4 6

12

B)

E)

12

2 8

12

a −b a2 + b 2 a

11

−b a+b

90 34

90 35

B) x a 80 34 E) x a

C) 3

Reduzca: 98 96 94 4 2 E = x 49 + x 48+ x 47+ ... + x 2 + x + 1 x + x + x + ... + x + x + 1

A) 10

x

50

+1 x +1

50

D) x 12

C) a

−b a+b

-1

B)

x

50

−1 x −1

50

E) x

C)

x 50 + 1 2 x +1

+ 1

12

10. Reduzca: 6 m −3

6 m −6

6 m −9

9

6

3

Q = x 3 m −3 − x 3 m −6 + x 3 m −9 − ... + x 9 − x 6 + x 3 − 1 x −x +x − ... − x + x − x + 1

11

125

125

−a x −a 100 34 C) x a

Hallar el término de lugar 35 en: x A) x a 35 34 D) x a

C) 7

B) 2 E) 5

3m

5.

n+2

La división genera un C.N. Hallar “m”

A) 1 D) 4

C) x - a

−a b +a b −a b +a b −b

D) a

−y

x 8 m + 20 − y 16(m +1)

Indicar la división que dio origen a:

12

5(n + 6)

x m +1 + y 2 m

A)

10

−y

n −1

B) 5 E) 11

Efectuar:

a

n+3

x

7 6 + a 2 x 5 + ... + a7 E = x + ax 4 ( x + a 4 )( x 4 − a 4 )

4.

Calcular el número de términos del C.N. generado por:

¿Cuál es la división que dio origen al desarrollo de: x

3.

7.

A) x - 1 2m D) x - 1

3m

B) x + 1 m E) x - 1

2m

C) x

+ 1

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Compendio de Ciencias V-C

Álgebra

CAPÍTULO

13 Problema desarrollado 1.

Problema por desarrollar

Demostrar que x m − a m siempre es divisible por

1.

( x − a ) ; para cualquier valor entero m.

Demostrar que x m + a m ; nunca es divisible por (xa); para cualquier valor entero de m. Resolución:

Resolución: m m Aplicando la regla de Ruffini en: x − a x −a

x −a =0 → x =a 1 0 a

0

a a

2 2

0 a

0

3

a

3

4

0

K

5

K

a

4

5

0 a

m −1

−a a

m

m

m −1

1 a a a a a K a 0 144444444244444444 3 { R q( x )

Luego: m

m

− a = x m −1 + ax m − 2 + a 2 x m − 3 + K + a m −1 x −a Resto = 0 lqqd x

1.

Encontrar el quinto término del cociente notable originado por: x

21

−y

x −y 3

3.

28

x

Dar como respuesta al octavo término del cociente notable originado por: x

125

−y

50

50

−y

75

x − y3

4

2

Rpta: .............................................................. 2.

Encontrar el vigésimo término del cociente notable originado al dividir:

Rpta: .............................................................. 4.

Calcular el grado absoluto del término de lugar 44 en el cociente notable. x

153

+y

102

x5 − y2

x3 + y2

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................

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Compendio de Ciencias V-C 5.

Calcular el grado absoluto del término de lugar 33 en el C.N. x

160

−y

280

Álgebra 12. Simplificar: 78 76 74 4 2 W = x 38 + x 36 + x 34 + K + x 4 + x 2 + 1 x + x + x +K+ x + x +1

x 4 − y7 Rpta: ............................................................. Rpta: ............................................................. 6.

13. Simplificar:

Calcular n si: x

n −1

R=

8

−y

x 2 − y1

;origina un C.N.

Rpta: .............................................................. 7.

x

x

−x

25

x 27 + 1 + x 24 − K + x 2 − x + 1

Rpta: ............................................................ 14. El cociente notable:

Determinar m si: 72

26

+y

x

m +1

x8 + y

: es un C.N.

Rpta: ..............................................................

m

−y

n

tiene 15 términos. Hallar (m+n)

x3 − y4

Rpta: .............................................................. 15. Determinar el tercer término del cociente notable:

8.

Encontrar m para que la división: 8m

x

−y

x8 − y4

origine un C.N.

Rpta: .............................................................. 9.

x3

x4 −1 + x2 + x +1

Rpta: ..............................................................

16

x

15

+x

14

x −1 + x 13 + K + x 2 + x + 1

Rpta: ..............................................................

4 n+ 5

+y

4 n −16

x n − 4 + y n −5

Rpta: ..............................................................

x 78 + x 76

a x

a +b

−y

a −b

a+ b

+ y a −b

es x 60 y 40

Rpta: ............................................................. 18. Si la división :

11. Simplificar: Q=

x

17. Calcular ab sabiendo que eñ tercer término del cociente notable:

10. Simplificar: P=

Rpta: .............................................................. 16. Mostrar el cuarto término del cociente notable:

Simplificar: E=

a n − b 5 n −18 a2 − b9

40

x 80 − 1 + x 74 + K + x 4 + x 2 + 1

Rpta: .............................................................

x

15 m − 50

−y

15 m −10

x m +1 − y m − 2

genera un cociente notable, indicar el décimo término Rpta: ..............................................................

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Compendio de Ciencias V-C

Álgebra

19. Indicar el grado x

6 m −3

x

m −1

−y

8 m +3

−y

m +1

20. Si el tercer término del cociente notable: m m  1 ( x + 2) − x 2 x +1 

  tiene como valor numérico 212 

para x = 2; calcular "m" Rpta: .............................................................. Rpta: ..............................................................

1.

Determine el tercer término del C.N. 4

20

x −y

5

x −y

4.

Simplificar: 98 96 94 4 2 Q = x 48 + x 46 + x 44 + K + x 4 + x 2 + 1 x + x + x +K+ x + x +1

A) xy 15

B) x 2 y 12

D) x 2 y 5

E)

C) x 3 y 15

A) x 50 + 1

xy 10 D)

2.

Calcular (n + k) si el cociente notable: x −y

n

k

x −y

4

3

B) 62 E) 100

C) 70

E=

A)

x

39

+x

1 x +1

D) x − 1

m

−y

38

x 50 + 1 x2 −1

x4 −1

n

x 3 + y4

origina 14 términos.

Luego (m - n) es: A) 14 D) -98

Simplificar:

E)

C)

Si el cociente notable: x

A) 50 D) 84 3.

5.

; tiene 12 términos

x 50 + 1 x2 +1

B) x 50 − 1

B) -14 E) 42

C) 98

x 40 − 1 + x 37 + K + x 2 + x + 1

1 x −1 E) 1 B)

C) x + 1

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Compendio de Ciencias V-C CAPÍTULO

Álgebra

14 OBJETIVOS OBJETIVOS • Nos permitirá expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado que él. • Para la resolución de las ecuaciones polinomiales del tipo : P(x) = 0; la descomposición en factores de la expresión P, será necesaria para despejar explícitamente los valores de las raíces. • Del mismo modo, para determinar el conjunto solución de las inecuaciones polinomiales de la forma: P(x) 0, se requiere factorizar P, para ubicar los puntos críticos sobre la recta numérica real. • A corto plazo, este acápite será importante para la simplificación de una fracción reductible.

INTR ODU C C IÓN

CARL FRIEDRICH GAUSS Brunswick (Alemania) 1777 - Gotinga 1855. Matemático, físico y astrónomo alemán. Gauss es el más grande matemático del siglo XIX y probablemente, junto con Arquímedes y Newton, uno de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos. Nació en el seno de una familia obrera. Fue un niño prodigio y desde muy pronto mostró una asombrosa habilidad para el cálculo. Cuando tenía quince años, el Duque de Brunswick se fijó en él convirtiéndose en su protector y, tres años más tarde, le ayudó a ingresar en la universidad en Göttingen, donde cursó estudios de matemáticas. El 30 de marzo de 1796 comenzó un diario en el que aparecían las intrucciones para construir un polígono regular cuyo número de lados no fuese múltiplo de 2, 3 o 5. El diario, que contiene 146 enunciados de resultados en tan sólo 19 páginas, es uno de los documentos más importantes en la historia de las matemáticas. A la edad de veinte años, ya en la universidad de Helmstädt, escribió su ahora famosa disertación doctoral. En ella, dio la primera demostración rigurosa del teorema fundamental de álgebra, según el cual todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. Muchos matemáticos, entre ellos Euler, Newton y Lagrange, habían intentado antes demostrar este resultado. Realizó brillantes trabajos en astronomía y electricidad, pero las obras realmente asombrosas de Gauss son las que desarrolló en el terreno del álgebra y de la geometría. En 1811descubrió un resultado que permitió a Cauchy desarrollar la teoría de variable compleja. Otras grandes aportaciones son su famoso método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones y la cuadratura gaussiana, técnica de integración numérica. Su espítiru matemático no dejó de acosar a los matemáticos del siglo XIX. A menudo resultaba que un nuevo resultado importante ya había sido descubierto por Gauss, pudiendo verse en sus notas inéditas. Catedrático de matemáticas en Göttingen desde 1807 hasta su muerte, fue honrado poco después con una medalla en la que estaba inscrito : «George V, Rey de Hannover, al príncipe de los Matemáticos».

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Compendio de Ciencias V-C

Álgebra

FACTORIZACIÓN I SÍNTESIS

TEÓRICA

Por Ejemplo :

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA

En la expresión P = 12xy2 (x+y)

FACTOR IZAC IÓN

x, y2 y (x+y). Son factores literales del polinomio P.

1 ) Polinomio definido en Z Es aquel polinomio cuyos coeficientes son números enteros. Tales como : •

P(x) = 10x54 - 86x32 + 42x18 - 17x5 + 24

•

Q(x,y) = 9x5 y3 + 7x2 y6 - 8x5 y9 + 4y7

4 ) Polinomio irreductible en el conjunto Z Un polinomio es irreductible sobre Z, si no admite ser expresado como la multiplicación indicada de otros factores definidos sobre dicho conjunto Z. Por Ejemplo :

2 ) Factores de un Polinomio de grado no nulo Son aquellos factores numéricos y literales que están contenidos en dicho polinomio. Veamos : Si

P = A • B• C

1. Es irreductible P = 3x2 - 12 ? No, debido a que se puede descomponer en función de otros factores. Veamos : P = 3 (x2 - 4) = 3 (x+2) (x-2) hemos obtenido tres factores definidos en Z

↑ ↑ ↑ FACTORES

Es decir; para que A, B y C sean factores de P, es suficiente que estos se multipliquen mutuamente.

Descompongamos en factores una misma expresión, tal como : P = (3x) (4y2) (x+y) P = (4x) (3y2) (x+y) P = (12) (xy 2) (x+y)

•

No, ya que admite ser descompuesto, tal como se muestra : Q = 5 (x3 + 2)

Ejemplo Explicativo : •

2. Es irreductible Q = 5x3 + 10 ?

← ← ←

3 factores 3 factores 3 factores

Sigamos con la misma expresión, pero descompuesta de manera distinta en más factores: P = (3) (4) (xy 2) (x+y) P = (12) (y) (xy) (x+y) P = (3) (4x) (y2) (x+y)

← 4 factores ← 4 factores ← 4 factores

Resultan dos factores definidos en Z 3. Es irreductible R = 7x - 3 ? Si, debido a que es IMPOSIBLE expresarlo como una multiplicación indicada de otros factores enteros. 5 ) Factor Primo de un Polinomio en Z Dado un polinomio P de grado n (n ≥ 1), se dice que F es un factor primo de P en Z, si este es irreductible en dicho conjunto Z. Por Ejemplo : 1. Dado : P = 5x + 10

CONCLUSIÓN : Como un polinomio se puede descomponer en FACTORES de manera diversa; no se puede establecer formalmente el número de factores de dicha expresión. 3 ) Factor Literal de un Polinomio Un polinomio F de grado n no nulo, es considerado factor literal de otro polinomio P de grado «m», si existe un único polinomio G de grado (m-n), tal que:

Descomponiendo : P = 5 ( x + 2) ↑

↑

2 factores primos

2. Se tiene : Q = 6x2 - 24x Descomponiendo : Q = 6x (x-4) Explícitamente : Q = 2 • 3 • x • (x -4) ↑ ↑ ↑

↑

4 factores prim os

P ≡ F• G

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Compendio de Ciencias V-C

Álgebra

3. De la expresión : R = 8xy2 (x-y)4.

4 . Se tiene el polinomio descompuesto en factores:

P = 2x (x - y) (x2 +

Explícitamente, se tiene : 2 R = 2 3 • x • y • ( x - y )4

2

4 2 1 3 TOTAL : 10

Divisores de P

factores primos factores primos factores primos factores primos factores primos

y2)

2x

x (x2 + y2 ) 2

2(x - y) (x - y)(x + y ) x (x - y)(x2 + y2 )

x

x - y 2(x2 + y2 ) 2

2(x - y)(x2 + y2 )

2

x +y

x (x - y)

2

2x (x - y)

2x(x - y)(x2 + y 2 )

2

1

2

2x (x + y )

Por lo tanto : Nº divisores = 16

Observar que 2, x, y, (x-y) son factores primos MÚLTIPLES.

Nº divisores (primos) = 5 Teorema Nº 12 .-

6 ) Divisores de una Expresión Entera en Z Son aquellas cantidades numéricas y literales definidas en Z, que están contenidas en dicha expresión entera.

Se tiene el polinomio general P, descompuesto en factores numéricos y literales, todos ellos irreductibles : P = aα • bβ • c γ • Fm • Gn • H FACTORES NUMÉRICOS

De todos los divisores obtenidos, los que son irreductibles, serán PRIMOS. Ejemplos Explicativos :

FACTORES LITERALES

Donde : a, b y c son primos entre sí

1 . Sea el monomio M = 6x

F, G y H polinomios irreductibles

D ivisores  1 2 3 6  de 6 x  x 2 x 3 x 6 x Por lo tanto : Nº divisores = 8

Formalicemos las siguientes denominaciones : Nd : Número de divisores totales N d : Número de divisores numéricos n

Nº divisores (primos) = 4

N

2 . Dado el monomio N = 1  D ivisores  x  2 3 de 4 x  x  3  x

r

4x3

2

4

2x

4x

d

l

: Número de divisores literales

Se cumplen las relaciones :

2x

2

4x

2

2x

3

4x

3

Por lo tanto : Nº divisores = 12

i)

Nd = (α + 1)(β + 1)(γ + 1)(m + 1)(n + 1)(r + 1)

ii)

Ndn = (α + 1)(β + 1)(γ + 1)

iii)

Ndl = Nd - Ndn

Nº divisores (primos) = 3 Apliquemos estas fórmulas a los ejemplos anteriores. Veamos :

3 . Se tiene el monomio T = x2 y z3 x  Divisores  x 2  2 3 de x y z  y   z

z

2

z

3

yz yz

2

2

x z xz

2

1 . Del monomio 2 3

3

x z

xyz

xyz

x 2 yz 2

xy

yz 3

x 2z 2

x 2 yz x 2 yz 3

x 2y

xz

xz 3

xyz 2

1

: M = 6x

Descomponiendo : M = 21 • 31 • x1 Nd Nd

= (1+1) (1+1) (1+1) = 8 n

= (1+1) (1+1) = 4

∴ N dl = 8 - 4 = 4

Por lo tanto : Nº divisores = 24 Nº divisores (primos) = 4

: N = 4x3

2 . En el monomio

Si se descompone : N = 22 • x3 Nd Nd

= (2+1) (3+1) = 12 n

= 2+1 = 3

∴ N d l = 12 - 3 = 9

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Compendio de Ciencias V-C

Álgebra

3 . De la expresión : T = x2 y z3

4. Aplicando el teorema 12, se tienen :

Nd

= (2+1) (1+1) (3+1) = 24

Nd

= 0+1 = 1

Nº DIVISORES (P) = (2+1)(1+1)(3+1)(1+1)(4+1)=240

n

Nº DIVISORES NUMÉRICOS (P)

Esto último, debido a que su coeficiente es la unidad, y este se puede expresar como un numeral elevada a la cero.

= (2+1)(1+1) = 6 ∴ Nº DIVISORES LITERALES (P) = 240 - 6 = 234

∴ N d l = 24 - 1 = 23 4 . Del polinomio expuesto : P = 21 x1 (x-y)1 (x2+y2)1 Se tiene : Nd

= (1+1) (1+1) (1+1) (1+1) = 16

Ndn = 1+1 = 2

∴ N dl

Teorema Nº 13 .(Teorema de la Factorización única) La representación factorizada de un polinomio es ÚNICA, considerando la yuxtaposición de los factores múltiples y sin tomar en cuenta el ORDEN de los factores literales, salvo el coeficiente numérico factorizado que se coloca al inicio de dicha representación. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN

= 16 - 2 = 14

I . Criterio del Factor Común a) Factor Común Monomio (FCM)

CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN EN Z

•

Factorice : P(a,b) = a3 b3 - a2 b4 + ab7

Es el proceso de transformación de un polinomio, que consiste en expresarlo como una multiplicación indicada de sus factores primos definidos en Z, siendo dichos factores, expresiones enteras simples o múltiples.

Para obtener el FCM, se aplica la regla : «variables comunes afectadas de sus menores exponentes».

Ejemplo :

Es decir : P(a,b) = ab3 (a2 - ab + b4)

En el polinomio factorizado : P = 32 • 5 • ( x + y )3• ( 4x - y ) • ( x2 - xy + y 2 ) 4

•

Factorice : F(x,y) = x3m yn-m + xm+n yn + xm yn+m

FACTORES SIMPLES FACTORES MÚLTIPLES

Siendo m, n N*, tal que n>m>0 Para hallar el FCM, aplicamos la regla : F(x,y) = xm yn-m (x2m + xn ym + y2m)

Se deduce que : -

Los factores simples son únicos.

-

Los factores múltiples son repetitivos.

b) Factor Común Polinomio (FCP)

Finalmente, de todos los conceptos teóricos expuestos podemos afirmar lo siguiente :

•

1. Por la forma como está descompuesta la expresión :

Es evidente que el FCP = a + 4b

Q(a,b)= 3a2 (a+4b) - 5b3 (a+4b) + ab (a+4b) Extrayendo este factor, resulta :

Nº FACTORES (P) = 5 2. En la expresión expuesta : P = 32 • 5 • (x + y)3 • ( 4x - y ) • ( x2 - xy - y 2 ) 4 1444442444443 2 fa ctores numéricos

3 fa ctores litera les

Factorice :

Q(a,b) = (a+4b) (3a2 - 5b3 + ab) •

Factorice : R(m,n,p) = (2m+3n)(m+n+p)2 +4(m+n+p) 3

Por simple inspección, se deduce que el FCP=(m+n+p) 2 Aplicando la regla anterior, se obtendrá :

3. Considerando los factores primos simples y múltiples, se concluye que : NºFACTORES PRIMOS (P)=2+1+3+1+4=11

R(m,n,p) = (m+n+p) 2

[ (2m+3n)+4(m+n+p) ]

Efectuando dentro del corchete : R(m,n,p) = (m + n + p)2 (6m + 7n + 4p)

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I I . Criterio de la Agrupación de términos Se utiliza cuando la extracción del factor común no es directa. Para ello, se tienen que agrupar convenientemente los términos del polinomio, con el objetivo de encontrar dicho factor común.

Ejemplos explicativos : •

Sea : P(x,y)= 4x2+12xy+ 9y2

Ejemplos Explicativos : •

P(x,y ) = xy 3 + xyz3 + y 2z + z 4

(y2

•

2x

Factorice : P(x,y) = xy3 + xyz3 + y2z + z4 como son 4 términos, se pueden agrupar de 2 en 2, tal como se muestra :

z3)

Tcentral = 2 (2x) (3y) = 12xy Por lo tanto : P(x,y) = (2x + 3y)2 •

(y2

z3)

Dado :

P(x,y) = xy + +z + hemos obtenido como FCP = y2 + z3 Extrayéndolo, resulta : ∴ P(x,y) = (y2 + z3) (xy + z)

F(x,y,z)= 81x6 -126 x3yz5+ 49y2z10

Factorice : Q(m,n,p) = 6m3-8m2p+9mn3 -12n3p+3mp4 -4p5 como son 6 términos, se pueden agrupar de 2 en 2 ó de 3 en 3. Veamos la primera opción, así:

Tcentral = 2 (9x3) (7yz5) = 126x3yz5

3

2

3

3

4

Por lo tanto : F(x,y,z) = (9x3 - 7yz5)2 B ) Diferencia de Cuadrados

5

Forma General : A2m - B2n= (Am + Bn)(Am - Bn)

Q(m,n,p) = 2m2(3m-4p)+3n3(3m-4p)+p4 (3m-4p) Sa ha obtenido el FCP = 3m - 4p Extrayéndolo, se obtiene lo siguiente :

∴ Q(m,n,p) = (3m - 4p) (2m2 + 3n3 + p4) Factorice : R(a,b,c)=

7yz5

9x3

Q(m,n,p) = 6m - 8m p+ 9mn - 12n p+ 3mp - 4p

•

3y

Am

Bn

Ejemplos explicativos : •

a 4+b 3+c 5+a 3b+b 2c+ac 4+a 3c+ab 2+bc 4

Sea : Q(x,y)= 64 x 2 - 25 y 2

si tenemos 9 términos, podemos agrupar de 3 en 3. Tal como se indica :

8x

5y

R(a,b,c) = a4+ b3+ c5+ a3b+ b2c+ ac4 + a3c+ ab2 + bc4

R(a,b,c) = a3 (a+b+c) + b2 (b+c+a) + c4 (c+a+b) Se observa que el FCP = a + b + c Extrayendolo, resulta lo siguiente :

Por lo tanto : Q(x,y) = (8x + 5y) (8x - 5y) •

∴ R(a,b,c) = (a + b + c) (a3 + b2 + c4) III.

Criterio de las Identidades A ) Trinomio Cuadrado Perfecto Es aquel polinomio de tres términos que tiene raíz cuadrada exacta, que se caracteriza porque sus términos extremos son cuadrados perfectos, y el término central es igual al doble de las raíces cuadradas de dichos términos extremos.

T(a,b,c )= 81a6 - 121 b2c4 9a3 11bc2

Luego : T(a,b,c) = (9a3 + 11bc2) (9a3 - 11bc2) •

Se tiene : H(m,n) =256m8 - n8

Forma General : m n

A2m± 2A B + B2n = (Am± Bn )2 Am

Dado :

Bn

Directamente, tomando como términos de los factores a descomponer, las raíces cuadradas de los términos propuestos : H(m,n) = (16m4 + n4) (16m4 - n4)

Tcentral = 2 (Am) (Bn)

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Factorizando el segundo de los factores :

D ) Polinomio de Stevin

H(m,n) = (16m4 + n4) (4m2 +n2) (4m2 - n2) Del mismo modo, el tercer factor : H(m,n) = (16m4 +n4)(4m2+n2)(2m+n)(2m-n)

x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos : •

Factorice: P(x) = x2 + 8x + 15 P(x) = x2 + (5+3)x + (5) (3)

C ) Suma y Diferencia de Cubos

∴ P(x) = (x + 5) (x + 3)

Forma General : A3 + B3n = (Am+ Bn )(A2 - Am Bn+ B2n) 3

3 m

•

Factorice: F(a) = a2 - 11a + 30 F(a) = a2 + (-6 -5)a + (-6) (-5)

n

A

B

∴ F(a) = (a - 6) (a - 5)

Ejemplos explicativos : •

Sea : •

P(x,y)= 27x 3 + 8y3 3

•

R(m) = m4 + (7-3)m2 + (7) (-3)

3

3x

∴

Factorice : R(m) = m4 + 4m2 - 21

∴ R(m) = (m2 + 7) (m2 - 3) 2y

P(x,y) = (3x + 2y) (9x2 - 6xy + 4y2)

•

Factorice: F(c) = c6 - c3 - 72 F(c) = c6 + (-9+8)c3 + (-9) (8)

Dado :

∴ F(c) = (c3 - 9) (c3 + 8)

Q(c) =1000c6 + 1 3

3 2

F(c) = (c3 - 9) (c + 2) (c2 - 2c + 4)

1

10c

∴

El segundo factor es una suma de cubos.

Q(c) = (10c2 + 1) (100c4 - 10c2 + 1) •

Factorice: F(x) = x2 + ax + bx + cx + ac + bc

Forma General :

F(x) = x2 + (a+b+c)x + (a+b) (c)

3m

m

n

∴ F(x) = (x+a+b) (x+c)

A - B3n = (Am - Bn )(A2m + A B + B2n ) 3

3

Am

Q(y) = y2 + 2my + m2 - 1

Factorice: Bn

Q(y) = y2 +[(m+1)+(m-1)]y+(m+1)(m-1)

∴ Q(y) = (y + m + 1) (y + m - 1) Ejemplos explicativos : •

Sea :

E ) Polinomio Trinómico de Argand

F(a,b,c )= 125 a9 - b3 c12 3

2m 2n

5a3

bc4

∴ F(a,b,c) = (5a3 - bc4) (25a6 + 5a3 bc4 + b2c8)

4n

2m

m n

2n

2m

m n

2n

a4m+ a b + b = (a + a b + b )(a - a b + b )

3

Ejemplos : •

Factorice :

P(a,b) = a8 + a4 b4 + b8

Identificando m=2 y n=2. Descomponiendo : P(a,b) = (a4 + a2 b2 + b4) (a4 - a2 b2 + b4)

Siempre debemos tener en cuenta lo siguiente :

Para el primer factor m=1 y n=1. Luego :

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

P(a,b) = (a2+ab+b2) (a2-ab+b2) (a4-a2b2+b4 )

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) a3 + 1= (a + 1) (a2 - a + 1) a3 - 1

= (a - 1) (a2 + a + 1)

•

Factorice :

P(x,y) = x28 + x14 y10 + y20

Por comparación se deduce que m=7 y n=5

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Álgebra

Factorizando, se tiene : P(x,y) =

(x14

+

x7y5+

y10)

(x14

-

x7y5+

Se observa que (-223) no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, el polinomio no es factorizable en Q.

y10) •

•

Factorice :

m32

F(m) =

+

m16

+ 1

F(m) = (m16 + m8 + 1) (m16 - m8 + 1) F(m) =

(m8+m4 +1)

(m8 -m4 +1)

(m16 -m8+1)

F (m) = (m 4 +m 2 +1)(m 4 -m 2 +1)(m 8 -m 4 +1) 16 8 (m -m +1) F (m) = (m 2 +m+1)(m 2 -m+1)(m 4 -m 2 +1) 8 4 (m -m +1)(m16 -m8 +1)

Demostrar que ∀K∈ Z , el polinomio : [x2 + (K+1) x + K] es factorizable en Q ? Calculemos su discriminante : ∆ = (K+1)2 - 4 (1) (K) = (K-1)2

Es evidente que (K-1)2 es un cuadrado perfecto ∀K∈ Z . Por lo tanto, el polinomio siempre será factorizable. IV. Criterios para Aplicar Artificios A ) Cambio de Variable Nos permite encontrar una expresión equivalente más sencilla, para lo cual la parte repetitiva de la expresión original, se debe SUSTITUIR por una nueva variable simple.

F) Polinomio de Gauss a3 + b3 + c3- 3 abc = (a+ b+ c)( a2+ b2 + c2- ab - bc - ca)

Ejemplos : •

Factorizar :

Ejemplos explicativos : P(x,y) =

x3

+

y3

+ 6xy - 8

•

Dándole la forma general, se tiene :

Factorice : P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2 Formando el desarrollo del cubo de un binomio:

P(x,y) = x3 + y3 + (-2)3 - 3xy (-2)

P(x) = (x3 + 3x2 + 3x + 1) +1

Identificando : a=x, b=y, c=-2

P(x) = (x + 1)3 + 1

Los factores resultantes serán :

Sustituyendo : x + 1 = a

P(x,y) = [x+y+(-2)] [x2+y2+(-2)2-(x)(y)-(y)(-2)-(-2)(x)]

Resulta como equivalente : P = a3 +1

Por lo tanto :

Por teoría : P = (a + 1) (a2 - a + 1)

P(x,y) = (x+y-2) (x2 +y2 +4-xy+2y+2x)

Regresando a su variable original, se tiene :

Teorema Nº 14 .-

P(x) = [ (x+1) + 1 ] [ (x+1)2 - (x+1) + 1 ]

Todo polinomio cuadrático de coeficientes enteros de la forma general :

Por lo tanto : P(x) = (x + 2) (x2 + x + 1)

P(x) = Ax2 + Bx + C ; A ≠ 0

•

Formando la expresión repetitiva (a+3), así :

es factorizable racionalmente, si y solo sí, el discriminante ∆ = B2 - 4AC es un cuadrado perfecto.

F(a) = (a+3)2 + 2(a+3) +1 Sustituyendo : a + 3 = h

Ejemplos explicativos : •

Resulta : F = h2 + 2h + 1

El polinomio (5x2 + 7x - 6) es factorizable ?

hemos obtenido un trinomio cuadrado perfecto:

Calculemos el valor del discriminante :

F = (h+1)2

∆ = (7)2 - 4 (5) (-6) = 49 + 120 = 169

Resultó un cuadrado perfecto. Por lo tanto, la expresión podrá ser descompuesta en factores racionales. •

La expresión (8x 2 - 22xy + 15y 2 ) podrá ser factorizada racionalmente ? Aplicando el Teorema 14, se tiene : ∆ = (-22)2 - 4 (8) (15) = 484 - 480 = 4

Se ha obtenido un cuadrado perfecto. Por lo tanto, es factorizable en Q. •

Es factorizable (7x2 + x + 8) en el conjunto Q ?

Factorice : F(a) = (a + 3)2 + 2a + 7

Regresando : F(a) = (a+3+1)2 = (a+4)2 •

Factorice :R(m) = (m2+5m+5)2 - 12m(m+5)-49 Efectuando convenientemente el 2do. grupo de términos y descomponiendo : -49 = -60 + 11. Se tendrá : R(m) = (m2+5m+5)2 - 12(m2+5m) - 60 + 11 factorizando (-12) en la demarcación, resulta : R(m) = (m2 +5m+5) 2 - 12(m2 +5m+5) + 11 Sustituyendo : m2 + 5m + 5 = x

Aplicando la propiedad :

Se obtiene : R = x2 - 12x + 11 (Polinomio de Stevin)

∆ = (1)2 - 4 (7) (8) = 1 - 224 = -223

Es decir : R = x2 + (-11-1)x + (-11) (-1)

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Por lo tanto : R = (x-11) (x-1)

ordenando, se tiene :

Regresando :

F(a,b) = (a2 + 2ab+2b2) (a2-2ab+2b2)

R(m) = (m2 + 5m + 5 - 11) (m2 + 5m + 5 - 1) R(m) = (m2 + 5m - 6) (m2 + 5m + 4)

•

Factorice :

De nuevo, dos polinomios de Stevin : R (m) = 10000 m8 + 4 m4 + 1

R(m) = (m+6) (m-1) (m+1) (m+4)

100m4

B ) Sumar y restar simultáneamente

1

B1. Para Polinomios de Grado par Tc = 2 (100m4) (1) = 200m4

Se trata de sumar y restar un mismo término en un polinomio, con la finalidad de formar un trinomio cuadrado perfecto (TCP), para luego expresar dicho polinomio, como una diferencia de cuadrados.

∴ Sumando y restando 200m4, resulta : R

(m )

8 = 10000 m4 + 200 m 4 +31 + 4 m 4 − 200 m 4 1444 24444 T .C .P .

(100m4

+ 1)2 - (14m2)2

Ejemplos explicativos :

R(m) =

•

R(m)= (100m4 + 1 + 14m2) (100m4 + 1 - 14m2)

Factorice : 2

P(x) = x4 - 6x + 25

Finalmente : R(m)=(100m4 + 14m2 + 1) (100m4 - 14m2 + 1)

x2

5

B2. Para Polinomios de Grado impar

Tc = 2 (x2) (5) = 10x2

Luego de sumar y restar un término, se debe agrupar convenientemente. Para esto, será necesario considerar las siguientes equivalencias :

∴ Debemos sumar y restar 10x2, así : P

(x)

= 1442443 x 4 + 10 x 2 + 25 − 6 x 2 − 10 x 2 T. C. P .

x3 + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1)

P(x) = (x2 + 5)2 - (4x)2

x3 - 1 = (x - 1) (x2 + x + 1) x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)

Descomponiendo la diferencia de cuadrados : P(x) = (x2 + 5 + 4x) (x2 + 5 - 4x) ordenando : P(x) = (x2 + 4x + 5) (x2 - 4x + 5)

Ejemplos explicativos : •

•

Factorice : P(x) = x5 + x + 1

Factorice :

Restando y sumando x2, se tiene :

F(a,b) = a4 + 4 b4

P(x) = x5 - x2 + x2 + x + 1 P(x) = x2 (x3 - 1) + (x2 + x + 1)

a2

P(x) = x2 (x - 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

2b2

Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, se tiene : P(x) = (x2 + x + 1) [ x2 (x - 1) + 1 ]

Tc = 2 (a2) (2b2) =

Efectuando : P(x) = (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)

∴ Sumando y restando 4a2b2, se tiene : F

( a ,b )

4 2 2 = a144 + 44 a 2444 b + 4 b34 − 4 a 2 b 2 T. C .P .

•

Factorice : P(x) = x5 + x4 + 1 Restando y sumando x2, se tiene : P(x) = x5 - x2 + x4 + x2 + 1

F(a,b) =

(a2

+

2b2)2

-

(2ab)2

P(x) = x2 (x3 - 1) + (x4 + x2 + 1)

Descomponiendo la diferencia de cuadrados :

P(x) = x2 (x-1) (x2 +x+1) + (x2 +x+1) (x2 -x+1)

F(a,b) = (a2 + 2b2+2ab) (a2+2b2-2ab)

Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, resulta : P(x) = (x2 + x + 1) [ x2 (x - 1) + (x2 - x + 1 ]

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Álgebra

Por lo tanto : P(x) = (x2 + x + 1) (x3 - x + 1) •

•

Factorice : P(x) = x7 + x5 + 1

Factorice : P(x) = x7 + x2 + 1

Restando y sumando x4, se tiene :

Restando y sumando x4, tal como sigue :

P(x) = x7 - x4 + x5 + x4 + 1

P(x) = x7 - x4 + x4 + x2 + 1

P(x) = x4 (x3 - 1) + (x5 + x4 + 1)

P(x) = x4 (x3 - 1) + (x4 + x2 + 1)

Recordando el ejemplo 2, se muestra :

P(x) = x4 (x-1) (x2 +x+1) + (x2 +x+1) (x2 -x+1)

P(x) = x4 (x-1) (x2 +x+1) + (x2 +x+1) (x3 -x+1)

Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, resulta :

Extrayendo el FCP = x2 + x + 1, queda :

P(x) = (x2 + x + 1) [ x4 (x - 1) + (x2 - x + 1 ]

P(x) = (x2 + x + 1) [ x4 (x - 1) + (x3 - x + 1 ]

Finalmente :

Reduciendo :

P(x) = (x2 + x + 1) (x5 - x4 + x2 - x + 1)

P(x) = (x2 + x + 1) (x5 - x4 + x3 - x + 1) Reduciendo : P(x) = (x2 + x + 1) (x5 - x4 + x3 - x + 1)

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Demostrar que: P

(x )

=x

4n

+x

2n

(

+1 ≡ x

2n

)(

n

+ x +1 x

2n

)(

n

− x + 1 ∀n ∈ 

+

(

)

)

Resolución:

* n=1 ⇒ P( x ) = x

* n=3 ⇒ P( x ) = x

)(

a 3 n − b 3 n ≡ a n − b n a 2 n + an b n + b 2 n

Resolución:

* n=2 ⇒ P( x ) = x

Demostrar que:

4 (1 )

+x

2 (1 )

(

)(

+1 = x + x +1 ≡ x + x +1 x − x +1 4

2

2

2

)

(

)(

)

(

)(

)

)(

)

4 (2)

2 2 + x ( ) +1 = x8 + x4 +1 ≡ x4 + x2 +1 x4 − x2 +1

4 (3)

2 3 + x ( ) + 1 = x 12 + x 6 + 1 ≡ x 6 + x 3 + 1 x 6 − x 3 + 1

M * n=h ⇒ P( x ) = x

4h

(

+ x 2h + 1 = x h + x h + 1 ≡ x h + x h + 1 x h − x h + 1

4 ( h +1 ) 2 ( h +1 ) (h +1) (h +1) +x +1 = x +x +1 * n=h+1 ⇒ P( x ) = x

(

≡ x(

h +1 )

+ x(

(

h +1 )

)(

+1 x(

h +1 )

)(

− x(

h +1 )

+1

) )

∴ x 4 n x 2 n + 1 ≡ x 2 n + x n + 1 x 2 n − x n + 1 lqdd

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1.

Álgebra

Factorizar por el criterio del factor común monomio A) am + an + ap B) bm - cm + dm C) x2y + z2y + y

8.

Indica el número de factores primos de: P = a4 m + a4 n − b 4 m − b 4n Rpta: ..............................................................

2.

Descomponer en Factores Primos 9.

A) x 3 + x 2 + x B) m 4 + m 3 + m 2

3.

C) t 5 − t 3 + t 2

L = (4 x + 3 y ) − ( x − y )

Factorizar por el criterio del factor común polinomio:

Rpta: ..............................................................

2

A) ( x − y ) a + ( x − y ) b

(

)

(

)

(

) (

P = a b2 + c 2 + b c 2 + a2

C) ( x + y ) m + ( x + y ) − ( x + y ) p 2

2

10. Indicar el número de factores primos de:

B) m 2 + n 2 x 2 + m 2 + n 2 y 2

4.

Factorizar e indicar el número de factores primos de:

3

)

Rpta: ..............................................................

Factorizar por el criterio de agrupación A) ax + bx + x 2 + ab

11. Indicar el número de factores primos de:

B) ax + bx + cx + ay + by + cy

5.

2 2 3 3 5 5 C) x y + x y + x + y

R = a12 − a 8 b 4 − a 4 b 8 + b 12

Factorizar por el método de Identidades:

Rpta: .............................................................

A) x − 1 4

12. Por el criterio de identidades factorizar e indicar el número de factores primos:

2 2 B) 25 x − 9 y

C) ( x + 3 ) − 16 2

L = x4 + x3 − 8x − 8

D) ( x + 2 ) + 8 3

E) ( x − 1 ) − 27 3

6.

Rpta: .............................................................

Las siguientes ecpresiones estan factorizadas; indicar el número de factores primos de cada una de ellas

13. Luego de factorizar e indicar el números de factores primos de:

A) P( x ) = ( x + 3 )( x − 2 )( x − 1 )( x + 6 ) B) Q ( x ) = ( x + 1)

2

(x)

( x + 2 )3 ( x + 3 )

C) N ( x ) = x ( x + 1)( x − 2 ) 7.

P

5

Rpta: ............................................................

( x − 7 ) ( x − 1) 9

14. Factorizar: E = 64a7 b 7 − ab 13

Señala el número de factores primos de: P

(x)

= x 2 a + x a +c + x a + x a +b + x b + c + x b

= x 16 − 1

Rpta: ............................................................. .

Rpta: ..............................................................

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15. Descomponer en factores primos: P = ( ax − 10 b ) − ( bx − 10 a ) 2

18. Indicar el número de factores primos de:

2

P

( x ,y )

= x + y + xy + x y − x − y 2

2

3

3

Rpta: .............................................................. Rpta: .............................................................. 16. Indicar el número de factores primos: 19. Factorizar:

F =m n +m n +m n +m n 5 3

3 4

4 4

2 5

E = a 2 (b − c ) + b 2 (c − a) + c 2 (a − b )

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

17. Indicar el número de factores lineales de: P

(x)

= x +x +x −3 3

2

20. Indicar el número de factores primos de: N

Rpta: .............................................................

= ( a − 3 ) + 81a 5

(a)

Rpta: ..............................................................

1.

Indicar el número de factores primos de: P

( x , y ,z )

4.

= x 2 − 2 xy + y 2 − z 2

Al factorizar: P

( x ,y )

= x 3 + 28 y 3 + 3 xy ( x + y )

indicar un término de uno de los factores. A) 1 D) 4 2.

B) 2 E) 0

2

A) x 2 D) xy

Indicar el coeficiente de una de los términos de sus factores: P

( x ,y , z )

B) 2 E) -3

5.

B) xy E) x+ y

C) –xy

Indique un factor de: E = a 3b 2 − a3 c 2 + b 3 c 2 − b 3 a 2 + c 3a 2 − c 3b 2

= x 2 − xz + y 2 − yz + 2 xy

A) -1 D) -2 3.

C) 3

C) 3

A) b + c D) a+ b+ c

B) a+b E) ab+bc–ac

C) a–b

Uno de los factores primos de: P

( x ,y , z )

= x + x − 64 x − 64 es:

A) x – 1 D) x + 4

4

3

B) x – 2 C) x + 2 2 E) x + 4x + 16

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CAPÍTULO

15 CRITERIO DEL ASPA Son un conjunto de modelos matemáticos que nos permiten descomponer un polinomio en factores, dependiendo su aplicación, del número de términos y de la forma que presenta dicho polinomio. Los modelos diseñados por este criterio son : – El Aspa simple (para 3 términos) – El Aspa doble (para 6 términos) – El Aspa doble especial (para 5 términos), y – El Aspa triple (para 10 términos)

3 º Los términos de los factores obtenidos, se toman horizontalmente. Tal como se muestra : P(x,y) = (a1xm + c1yn) (a2xm + c2yn)

•

2

4x

5y

15xy 

3x

2y

8xy 

•

4

• 1 º Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general.

– 11

– 77x 2 

7x 2

+ 8

+ 104x 2 

 ( +)

6

3

2

2 4

Factorice : R(a,b,c) = 15a - 34a bc + 16b c 6

3

2

2 4

15a - 34a bc + 16b c

2 º Se descompone los términos extremos en dos factores cada uno, de tal manera que la suma de los productos de dichos factores en aspa, sea equivalente al término central. Según el esquema :

5a3

– 8bc2

–24a3bc 2 

3a3

– 2bc2

–10a3bc 2 

 (+ )

–34a3 bc2 Por lo tanto : 3 2 3 2 R(a,b,c) = (5a -8bc ) (3a -2bc ) •

+ Bx y + Cy

13x 2

+ 27x 2 Por lo tanto : 2 2 Q(x) = (13x -11) (7x +8)

PROCEDIMIENTO GENERAL 2m m n 2n Para factorizar el polinomio (Ax + Bx y +Cy ) Se deben seguir los siguientes pasos :

P(x,y) = Ax

2

91x + 27x - 88

o de expresiones enteras reducibles a él.

2n

2

Factorice : Q(x) = 91x + 27x - 88 4

m n

 ( +)

23xy Por lo tanto : P(x,y) = (4x+5y) (3x+2y)

P(x,y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n ; {A,B,C,} ⊂ Z

2m

2

12x + 23xy + 10y

En este nivel, nos centraremos en estudiar detalladamente los tres primeros, por su mayor utilidad. A ) Aspa Simple Se utiliza para factorizar polinomios de la forma general :

APLICACIONES DIVERSAS 2 2 Factorice : P(x,y) = 12x + 23xy + 10y

2

2

2 2

Factorice : F(x) = x + 4abx - (a -b ) 2

2

2

x + 4abx - (a+b) (a-b) a1 xm

c1 y n

a 2 c1 xm y n

a2 xm

c2 y n

a1 c2 xm yn

Tcentral =

Bxm yn

(+ )

x

+ (a+ b)2

+ (a+ b) 2 x 

x

– (a–b)2

– (a–b)2 x 

Por Legendre :

 (+ )

+ 4abx

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Álgebra

Luego :

3 º Se aplicarán sucesivamente tres aspas simples : 2

2

F(x) = [ x + (a+b) ] [ x - (a-b) ] •

4

2 2

2

3

Factorice : G(x,y) = x + x y + 2x - y + 1

ASPA (I)

→ a los términos 1º, 2º y 3º

ASPA (II)

→ a los términos 1º, 4º y 6º

y el aspa simple auxiliar : → a los términos 3º, 5º y 6º

ASPA (III) 4

2

2

3

x + (y +2)x - (y -1)

Según el esquema mostrado :

x

2

– (y – 1)

x

2

+ (y 2 + y+ 1)

P(x,y)

 (-y+ 1)x  (+ ) (y 2 + y+ 1)x 2  2

= Ax

2m

m n

a1 x m

c1y n II c 2y n

I

a2 x m

+ (y 2 + 2)x 2

2n

m

n

+Bx y +Cy +Dx +Ey +F f1 III f2

Finalmente : 2

2

ASPA I a2c1xm y n a1c2 xm y n Bx m y n

2

G(x,y) = (x -y+1) (x +y +y+1) •

Factorice : H(m)

= m7 + 2m5 + 2m3 - 1

ASPAII ASPA III a2 f1x m c2 f1 y n a1f2 x m c1 f2 y n m Dx Ey n

Para el caso de polinomios de grado impar, lo que se debe hacer, es ADAPTAR la expresión para aplicar

4 º Los términos de los factores obtenidos se toman

el criterio mencionado.

horizontalmente. Tal como se muestra :

En el polinomio expuesto, descomponiendo 2m3 y

m

7

5

3

m

n

( * ) Si en la forma general m=n=1 y P(x,y)=0, es decir:

 m –m  (+ ) m 5+ m4+ m 3  5

m-1

m4

m

3

m + 2m + m + (m -1) 3

n

P(x,y) = (a1x +c1y +f1 ) (a2x +c2y +f2 )

agrupando convenientemente, se tiene :

m 2 + m+ 1

5

Tcentral =

Ax 2+Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0. Se genera una

4

2m + m

relación muy importante en la geometría analítica, denominada la ECUACIÓN GENERAL DE UNA

3

CÓNICA, y dependiendo del valor de un parámetro crítico llamado invariante, esta ecuación dará lugar

Por lo tanto : 3

4

a la construcción de diversos LUGARES GEOMÉ-

2

H(m) = (m +m-1) (m +m +m+1)

TRICOS, llámese circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

B ) Aspa Doble Se utiliza para factorizar polinomios de seis términos

APLICACIONES DIVERSAS

de la forma general : P(x,y) = Ax

2m

m n

2n

m

n

+Bx y +Cy +Dx +Ey +F

(*)

o de expresiones enteras reducibles a él.

•

Factorice : 2

2

P(x,y) = x + 4xy + 3y + 6x + 10y + 8 x

3y

4

x

y

2

PROCEDIMIENTO GENERAL Para descomponer en factores el polinomio P(x,y), se deben seguir los siguientes pasos : 1 º Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma

ASPAI ASPA II ASPA III 3xy 4x 4y xy 2x 6y 4xy 6x 10y

general. 2 º De faltar algún término, se sustituirá con un cero, el espacio correspondiente del termino que faltase en la ordenación mencionada.

Por lo tanto : P (x,y) = (x+3y+4) (x+y+2)

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Compendio de Ciencias V-C •

Álgebra

Factorice : 2 2 Q(x,y) = 6x + 5xy - 4y + 13x + 10y + 6 3x

+ 4y

2

2x

-y

3

ASPAI ASPAII + 8xy 4x – 3xy 9x + 5xy + 13x

•

ASPA III – 2y + 12y + 10y

–5y

+8

3x

–2y

–4

ASPAI -15xy -12xy -27xy

•

ASPAII ASPAIII + 24x -16y -24x + 20y 0x + 4y

0x

-3y + 2y

+5 +1

ASPA I ASPAII ASPAIII 0xy 0x 10y 8xy 4x -3y 8xy 4x 7y

Por lo tanto : F(x,y) = (4x-3y+5) (2y+1)

x

+ 2y

+3

ASPA II + 3x + 3x + 6x

ASPA III + 6y -6y 0y

Factorizar : 2 2 2 2 P(x,y) = ab(x +y ) - (a +b )xy + (a-b) (x+y) -1 Efectuando y ordenando convenientemente, se tiene: 2 2 2 2 P(x,y) = abx -(a +b )xy+aby +(a-b)x+(a-b)y-1 ax

-by

-1

bx

-ay

+1

Por lo tanto : P(x,y) = (ax - by - 1) (bx - ay + 1)

Factorice : 2 F(x,y) = 8xy - 6y + 4x + 7y + 5 Completando con cero el 1er. término, así : 2 2 F(x,y) = 0x + 8xy - 6y + 4x + 7y + 5 4x

+3

En la práctica permanente, a veces se presentan problemas de mayor dificultad. Tal como mostraremos a continuación :

Finalmente: R(x,y) = (6x-5y+8) (3x-2y-4) •

-2y

Finalmente, resulta : T(x,y) = (x-2y+3) (x+2y+3)

Factorice : 2 2 R(x,y) = 18x - 27xy + 10y + 4y - 32 Se observa que falta el 4to. término, según la forma general, luego tenemos : 2 2 R(x,y) = 18x - 27xy + 10y + 0x + 4y - 32 6x

x

ASPA I -2xy + 2xy 0xy

Los factores obtenidos son : Q(x,y) = (3x+4y+2) (2x-y+3) •

Factorice: 2 2 T(x,y) = x - 4y + 6x + 9 Faltan el 2do. grado y 5to. término, según la forma general. Entonces : 2 2 T(x,y) = x + 0xy - 4y + 6x + 0y + 9

•

Factorizar : 6 4 3 2 F(x) = 6x + 2x + 7x - 8x - 14x - 5 Ordenándolo y adaptándolo para que verifique la regla del aspa doble, se tiene : 6 4 2 3 F(x) = 6x + 2x - 8x + 7x - 14x - 5 3x 3 2x

3

+ 4x

+5

-2x

-1

Por lo tanto : 3 3 F(x) = (3x + 4x + 5) (2x - 2x - 1) C ) Aspa Doble Especial Se utiliza para factorizar polinomios de cinco términos de la forma general: P(x) = Ax4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+E; A≠0

(*)

o de expresiones enteras reducibles a él.

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Álgebra

PROCEDIMIENTO GENERAL Para descomponer en factores el polinomio P(x), se deben seguir los siguientes pasos :

•

APLICACIONES DIVERSAS Factorice : 3 2 P(x) = x (x+3) + 8 (x +x+1) 4 3 2 P(x) = x + 3x + 8x + 8x + 8

1 º Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general.

x2

2x

4

2 º De faltar algún término, se sustituirá con un cero, el espacio correspondiente del término que faltase en la ordenación mencionada.

x2

x

2

TSC : 8x - (4+2)x = 2x

3 º Se descompone los términos extremos (1º y 5º) en dos factores cada uno. Seguidamente, se calcula la suma de los productos de dichos factores en aspa, obteniéndose un resultado.

2x 3 ASPA (II) : 4x 4x x3 3 8x 3x 2 2 Por lo tanto : P (x,y) = (x +2x+4) (x +x+2)

4 º Para hallar el término que sustituye al central (TSC), se resta del término central, el resultado obtenido anteriormente.

2

2

ASPA (I) :

•

5 º Se descompone convenientemente el TSC, tratando que verifiquen simultáneamente dos aspas simples: ASPA (I) → a los términos 1º, 2º y TSC. ASPA (II) → a los términos TSC, 4º y 5º Según el esquema explícito mostrado : 4n 3n 2n n P(x) = Ax + Bx + Cx + Dx + E

Factorice : 4 3 Q(x) = 6x + 7x - 9x - 4 Como falta el término cuadrático, completamos con un cero en el espacio correspondiente a él así: 4 3 2 Q(x) = 6x + 7x + 0x - 9x - 4 3x 2

+ 5x

+4

2x 2

-x

-1

2

a1x2 n

f1xn

a2x 2n

2n

ASPA (I) : + 10x 3 -3x 3 + 7x 3

II n

f2 x

2n

e2 2n

TSC : Cx - (a2e1 + a1e2)x = Fx Luego, se descompone Fx2n en el recuadro, del modo siguiente : Fx2n = (f1xn) (f2xn) tratando de verificar por medio de las aspas, los términos Bx3n y Dxn. Tal como se muestran: ASPA (I) : a 2 f1x 3 n  ASPA (II) : f2 e1x n  (+ )  (+ ) 3n  a1 f2 x  f1e 2 x n  Bx 3 n Dx n 6 º Los términos de los factores obtenidos se toman horizontalmente. Tal como se indica : 2n n 2n n P(x) = (a1x +f1x +e1 ) (a2x +f2x +e2 ) (*) Si en la forma general n=1 y P(x)=0 Es decir : Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0. Se genera la ECUACIÓN GENERAL DE 4TO. GRADO, cuya resolución general se le debe a SCIPIÓ FERRARI. En el caso de que esta ecuación acepte raíces racionales, se podrá aplicar el aspa doble especial y llevarlo a la forma equivalente : 2 2 (a1x + m1x + e1) (a2x + m2x + e2) = 0

2

2

TSC : 0x - (8 - 3)x = -5x

e1

I

2

ASPA (II) : -4x -5x -9x

Por lo tanto : 2 2 Q(x) = (3x +5x+4) (2x -x-1) El segundo factor, descomponiendolo por aspa simple, resulta : 2 Q(x) = (3x +5x+4) (2x+1) (x-1) •

Factorice : 4 3 2 R(x) = 12x + 44x + 11x - 36x + 9

6x 2

7x

2x 2 2

-3

5x 2

-3 2

TSC : 11x - (-6 - 18)x = 35x ASPA (I) : + 14x 3 + 30x 3 + 44x 3

ASPA (II) :

-15x -21x -36x

Por lo tanto : 2 2 R(x) = (6x +7x-3) (2x +5x-3) Finalmente, descomponiendo ambos factores : R(x) = (3x-1) (2x+3) (2x-1) x+3)

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•

Álgebra

Factorice : 4 F(x) = x + 39x - 22 Completando con ceros, los términos cúbico y cuadrático respectivamente, se tiene: 4

3

Los factores resultantes serán : 2

2

2

2

F(x,y) = (4x + xy - 3y ) (x +2xy+y ) 4x

-3y

x

+y

2

F(x) = x + 0x + 0x + 39x - 22 x2

-3x

+ 11

x2

+ 3x

-2

2

2

Por lo tanto : 3

F(x,y) = (4x - 3y) (x + y)

2

TSC : 0x - (11 - 2)x = 9x Directamente, la expresión factorizada, será : 2 2 F(x) = (x - 3x + 11) (x + 3x - 2) •

2

Luego : F(x,y) = (4x - 3y) (x+y) (x+y)

Factorice : 4 2 G(x) = 49x + 54x + 25 4 3 2 G(x) = 49x + 0x + 54x + 0x + 25 7x 2

+ 4x

+5

7x 2

-4x

+5

CRITERIO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS FINALIDAD .- Se utiliza para factorizar polinomios de grado arbitrario y de una variable, que acepten factores racionales de primer grado. RAÍZ DE UN POLINOMIO Dado un polinomio P(x) de grado n (n ³ 1) y el valor de a un escalar cualquiera. Si se verifica P(a) = 0, entonces

2

2

2

TSC : 54x - (35 + 35)x = -16x Por lo tanto : 2 2 G(x) = (7x + 4x + 5) (7x - 4x + 5)

a es una raíz de dicho polinomio. Por ejemplo : los valores 1, 2 y -2/3 son raíces del polinomio :

•

Factorice : 8 6 4 P(x) = 12x + 4x - 9x + 1 8 6 4 2 P(x) = 12x + 4x - 9x + 0x + 1 4x 4

-4x2

+1

2x 4

+ 4x 2

+1

3

2

P(x) = 3x - 7x + 4 Debido a que : 3

2

3

2

P(1) = 3(1) - 7(1) + 4 = 0 P(2) = 3(2) - 7(2) + 4 = 0 3

2

P(-2/3) = 3(-2/3) - 7(-2/3) + 4 = 0 DETERMINACIÓN DE LOS POSIBLES

4

4

4

TSC : -9x - (3 + 4)x = -16x La expresión factorizada es : 4 2 4 2 P(x) = (4x - 4x + 1) (3x + 4x + 1)

•

CEROS O RAÍCES RACIONALES (P.C.R.) DE UN POLINOMIO Para conocer los posibles ceros racionales de un

Luego : 2 2 2 2 P(x) = (2x - 1) (3x + 1) (x + 1)

polinomio P(x) de coeficientes enteros, tal como :

Factorice : 4 3 2 2 3 4 F(x,y) = 4x + 9x y + 3x y - 5xy - 3y

Donde : a0 = Coeficiente principal de P(x)

4x 2

xy

-3y 2

x2

2xy

+ y2

n

n-1

P(x) = a0x +a1 x

n-2

+a2 x

+ ..... + an-1x+an; a0 ¹ 0

an = Término independiente de P(x) Se utilizará la siguiente propiedad:

2 2

2 2

2 2

TSC : 3x y - (-3+4)x y = 2x y

 Divisores de | a |  n  Divisores de | a  0 | 

P.C.R. = ± 

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Álgebra

Por ejemplo : Los posibles ceros racionales del polinomio : 5 3 2 P(x) = 4x - 29x - 24x + 7x + 6 Es decir, los posibles valores racionales que anulen dicha expresión, se calculan mediante la propiedad mencionada. Identifiquemos : • Coeficiente principal de P(x) = 4 • Término independiente de P(x) = 6

3 º Para aplicar el teorema del factor, debemos establecer el siguiente criterio general : *

Se busca un cero; es decir; se obtiene por el teorema UN FACTOR. *

Si P(x) es un polinomio de 4to. grado no busques ceros, ya que se puede aplicar directamente el ASPA DOBLE ESPECIAL.

* Luego :

Si P(x) es un polinomio de 5to. grado Se busca un cero; es decir; se obtiene por el

 Divisores de (6)  P.C.R. = ±    Divisores de (4)| 

teorema UN FACTOR. *

Si P(x) es un polinomio de 6to. grado Se buscan dos ceros; es decir, se obtienen por el

1, 2, 3, 6  P.C.R. = ±    1, 2, 4 

Teorema DOS FACTORES. *

Si P(x) es un polinomio de 7mo. grado Se buscan tres ceros; es decir; se obtienen por el

Por lo tanto : P.C.R. = ±

Si P(x) es un polinomio de 3er. grado

{

1 , 2

1, 2, 3, 6,

3 , 2

1 , 4

3 4

}

Teorema TRES FACTORES.

Y así

sucesivamente para los polinomios de grado superior.

Es decir, tenemos 16 posibles ceros (por el doble signo) para el polinomio. En el proceso evaluativo, algunos

4 º Para el primer asterisco, los otros factores se hallan

de estos valores ANULARÁN realmente dicha expresión.

A partir del tercer asterisco, los otros factores se

utilizando el ASPA SIMPLE. determinan aplicando el ASPA DOBLE ESPECIAL

TEOREMA DEL FACTOR LINEAL

o la agrupación de términos, si el polinomio cuártico resultante es sencillo. En todos los casos, excepto

Dado un polinomio P(x) de grado n (n ³ 1), si el número racional a es un cero o raíz de dicha expresión, entonces (x-a) será un factor racional de P(x).

en el segundo asterisco, aplicaremos una o más veces la regla de Paolo Ruffini para hallar el otro factor del polinomio P(x), que falta descomponer en factores.

Por ejemplo : 3

2

APLICACIONES DIVERSAS

En el polinomio P(x) = 3x - 7x + 4 Sabemos que 1, 2 y -2/3 son ceros o raíces de P(x). Entonces, por el teorema expuesto, podemos afirmar que (x-1), (x-2) y (x+2/3) son factores racionales de la expresión.

•

P(x) = x3 - 7x + 6

Factorice :

Como el polinomio es MÓNICO, los posibles ceros racionales vendrán dados exclusivamente por los divisores del término independiente 6.

PROCEDIMIENTO GENERAL PARA FACTORIZAR Para factorizar el polinomio de coeficientes enteros: n n-1 n-2 P(x) = a0x +a1x +a2x + ..... + an-1 x+an; a0 ≠ 0 Se siguen los siguientes pasos : 1 º Se determinan los posibles ceros o raíces del polinomio. 2 º Tomando los valores del P.C.R., empezamos a evaluar la expresión P (x) , hasta encontrar exactamente los ceros o raíces del polinomio.

Es decir : P.C.R. = ± { 1, 2, 3, 6 } Evaluando, se obtienen directamente los tres ceros racionales de la expresión. Veamos : x=1

:

P(1) = (1)3 - 7(1) + 6 = 0

Por lo tanto, (x-1) es un factor. x=2

:

P(2) = (2)3 - 7(2) + 6 = 0

Se obtiene, (x-2) como otro factor. x=-3

:

P(-3) = (-3)3 - 7(-3) + 6 = 0 resulta como tercer factor (x+3)

finalmente : P(x) = (x-1) (x-2) (x+3)

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Compendio de Ciencias V-C •

Álgebra

P(x) = 6x3 + 17x2 + x - 10

Factorice :

{

1, 2, 5, 10  Divisores de 10  P.C.R. = ±  =± Divisores de 6 1, 2, 3, 6  

Luego : P(x) = (x-1) [ 8x4-6x3-21x2-x+6 ]

}

 1 5 1 2 5 10 1 5 P.C.R. = ± 1, 2, 5, 10, , , , , , , ,  2 2 3 3 3 3 6 6 

4x 2

+ 7x

3

2x 2

-5x

2

Tomando horizontalmente los factores de F : Evaluando, para el valor entero (-1) así : x=-1: P(-1) = 6(-1)3 + 17(-1)2 + (-1) - 10 = 0 Por lo tanto, (x+1) es un factor de P(x).

P(x) = (x-1) (4x2+7x+3) (2x2-5x+2)

Es decir : P(x) = (x+1) F(x) ← 2do. grado Para hallar el otro factor F(x), aplicamos la regla de Ruffini, debido a que F(x) es el cociente de la división indicada :

x

1

x

-2

P(x) = (x-1) (4x+3) (x+1) (2x-1) (x-2)

x +1

generan de los ceros racionales -3/4, -1, 1/2 y 2, que son elementos del P.C.R. •

3x

Factorice : P(x) = x6 - 2x5 - x4 + x3 + 2x2 + x - 2 Como el polinomio es MONICO, los posibles ceros

Luego : P(x) = (x+1) (6x2 + 11x - 10)

racionales vendrán dados por los divisores del

-2

término independiente (-2). Es decir:

2x +5 = (x+1) (3x-2) (2x+5)

P.C.R. = ± { 1, 2 } Por simple inspección, se observa que :

Observar que estos últimos factores se generan a partir de los ceros racionales 2/3 y -5/2, que son elementos del P.C.R. Factorice : P(x) = 8x5 - 14x4 - 15x3 + 20x2 + 7x - 6

{

-1

Observar que los últimos factores obtenidos se

F

P.C.R. = ±

2x

P( x )

17 1 −10 − 1 ↓ − 6 − 11 10 6 42 11 43 −4 10 0 1 4

•

3

Finalmente :

6

P(x)

4x

} {

Divisores de 6 1, 2, 3, 6 =± Divisores de 8 1, 2, 4, 8

}

Evaluando para : x=1 : P(1) = 8(1)5-14(1)4-15(1)3+20(1)2+7(1)6=0 Por lo tanto; (x-1) es un factor de P(x). Es decir : P(x) = (x-1) F(x) ← 4to. grado Aplicando la Regla de Ruffini como en el ejemplo anterior, se tiene :

F

y

P(-1) = 0

Entonces, (x-1) y (x+1) son factores de P(x). Es decir : P(x) = (x-1) (x+1) F(x) ← 4to. grado Aplicando dos veces la Regla de Ruffini, sobre un

 1 3 1 3 1 3 P.C. R. = ± 1, 2, 3, 6, , , , , ,  2 2 4 4 8 8 

8 −14 −15 20 7 −6 1 ↓ 8 − 6 − 21 − 1 6 8 − 6 − 21 − 1 6 0

P(1) = 0

mismo diagrama, se tiene : 1 −2 −1 1 2 1 −2 1 ↓ 1 − 1 − 2 −1 1 2 1 −1 − 2 − 1 1 2 0 − 1 ↓ −1 2 0 1 −2 1 −2

0

−1

2

0

F Luego : P(x) = (x-1) (x+1) [ x4-2x3-x+2 ] Como el polinomio cuártico es simple, factoricémoslo por agrupación de términos, así: P(x) = (x-1) (x+1) [ x3 (x-2) - (x-2) ] P(x) = (x-1) (x+1) (x-2) [ x3 - 1 ] Como : x3 - 1 = (x-1) (x2+x+1) Se obtiene finalmente : P(x) = (x-1)2 (x+1) (x-2) (x2+x+1)

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Compendio de Ciencias V-C •

Álgebra

Factorice : P(x) = 8x7-46x5+48x4-73x3+60x2+21x-18 luego de determinar los P.C.R., seguidamente empezamos a evaluar el polinomio, obteniéndose: P(1) = 0 ; P(2) = 0 ; P(-3) = 0 Por lo tanto, (x-1), (x-2) y (x+3) son factores de P(x). Es decir : P(x) = (x-1) (x-2) (x+3) F(x) ← 4to. grado Aplicando tres veces la regla de Ruffini, sobre un mismo diagrama, resulta :

PARA EJERCITARSE •

8

1 ↓ 8 2 ↓ 8 −3 ↓ 8

0 − 46 48 8 8 − 38 8 − 38 10 16 48 20 24 10 30 − 24 0 − 30 0 10 0

−73

10 − 63

60 −3 0 −3

7

6

4

3

2

P(x) = x + x - 5x + 9x - 9x - x + 8x -4 3

2

2

Se obtiene (x+1) (x-1) (x+2) (x -x+1) •

De la identidad mostrada : 5

4

3

n

3x + 10x + 10x - 5x - 2 º (x+c) (ax+b) n Demuestre que : a + b + c = 2 •

8

Demuestre usted que al factorizar el polinomio:

60 21 −18 − 63 − 3 18 −3 18 0 − 6 − 18 −9 0 9 0

Investigue usted el siguiente teorema : Si (x-k) es un factor de multiplicidad «r» de un polinomio. Se cumplen las relaciones simultáneas: P( ) = P'( ) = P''( ) = P'''( ) = K = P r −

1

k

k

k

k

(k )

=0

Siendo «k» una de las raíces del polinomio P(x), y las notaciones del cálculo diferencial :

F P’ P’’ P’’’ . . . r-1 P

Luego : P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)[ 8x4+10x2-3 ] 4x2

-1

2x2 +3 2 = (x-1) (x-2) (x+3) (4x -1) (2x2+3)

P(x) Descomponiendo el cuarto factor, por diferencia de cuadrados, resulta : P(x) = (x-1) (x-2) (x+3) (2x+1) (2x-1) (2x2+3)

Problema desarrollado 1.

P

(x)

1.

= x − 5 x + 4 x + 6 x − 6 es x - 1 3

Primera derivada de P Segunda derivada de P Tercera derivada de P . . . (r-1) ava derivada de P

:

Problema por desarrollar

Demostrar que su factor de: 4

: : :

Demostrar que (x - 2) es un factor de

2

P

(x)

= x − 13 x + 36 4

2

Resolución: Resolución:

Dado un polinomio P(x) de gardo (n > 1) Si el número racional "a" es un cero a raíz de dicha expresión ⇒ (x - a) será un factor racinal de P(x) ∴P

(x)

= (1) − 5 (1) + 4 (1) + 6 (1 ) − 6 = 0 4

3

2

⇒ ( x − 1 ) es un factor racional de P(x)

lqqd

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Compendio de Ciencias V-C

1 . Factorice por el criterio del aspa simple. A) x2 + 7x + 12 B) x2 + 9x + 20 C) 6x2 + 19xy + 15y2 D) 12x2 – 13x – 35 E) 50x2 + 35xy + 6y2

Álgebra

11. Factorice por el criterio de los divisores binomios. A(x) =x3 + 6x2 + 11x + 6 Rpta.: ............................................................ 12. Uno de los factores de B(x)=x3 – 6x2 + 11x – 6 es

Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 2 . Factorice por el criterio del aspa doble. A(x; y)=15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14

13. Indique la suma de los términos de todos los factores primos de C(x)=x3 + 6x2 + 15x + 14

Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 3 . Indique como un producto de factores primos a la expresión B(x; y) =4x2 + 13xy + 10y2 + 27y + 18x + 18 Rpta.: ............................................................ 4 . Transforme a producto P(x; y)=12x2 – 7xy – 10y2 + 59y – 15x – 63 Rpta.: ............................................................ 5 . Factorice R(x; y)=x2 – 4xy + 4y2 + x – 2y – 2 Rpta.: ............................................................ 6 . Factorice por el criterio del aspa especial. P(x) =x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Rpta.: ............................................................ 7 . Factorice por el criterio del aspa doble especial. Q(x)=x4 + 5x3 + 12x2 + 17x + 5 Rpta.: ............................................................ 8 . Indique como un producto de factores primos a R(x)=x4 + 5x3 + 13x2 + 18x + 12 Rpta.: ............................................................ 9 . Factorice e indique el término independiente de uno de los factores. T(x)=x4 – 6x3 + 13x2 – 18x + 4 Rpta.: ............................................................ 10. Dé como respuesta a uno de los factores primos de A(x)=x4 – 3x3 – 7x2 + 27x – 18

14. Uno de los factores primos de P(x)=x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6 Rpta.: ............................................................ 15. Indique el número de factores primos de Q(x)=x5 + 3x4 – 17x3 – 27x2 + 52x + 60 Rpta.: ............................................................ 16. Indique el mínimo valor entero de "m" al factorizar. F(x; y)=x2 + 9xy + 14y2 – 6x + my + 5 A) –37 B) –35 C) 42 D) –17 E) –40 17. Indique un factor de P(x; y)=x4 + 5x3 – 7x2 – 29x + 30 A) x + 2 B) x – 3 D) x2 – 2x + 1 E) x2 – 2

C) x + 5

18. Indique el número de factores primos de P(x)=x3 + 6x2 + 15x + 14 A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 19. Indique el coeficiente principal del factor cuadrático en: P(x)=x3 + x2 + x – 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) –2 E) –3 20. Uno de los factores primos del polinomio F(x)=9x3 – 3x2 – 5x + 2; es: A) x – 2 B) 3x – 2 C) 3x + 1 D) 9x – 1 E) x + 2

Rpta.: ............................................................

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Compendio de Ciencias V-C

Álgebra

4 . Uno de los factores de

1 . Uno de los factores de E(x)=x2 – 22x + 117 es: A) x + 9

B) x – 9

D) x – 10

E) x – 11

P(x)=x3 – x2 – 2x – 12 es C) x + 7

2 . Indique el número de factores primos de P(x)

=x4

–

34x2

+ 225

A) 4

B) 5

D) 7

E) 8

A) x – 3

B) x – 2

D) x + 2

E) x + 3

C) x2 – 2

5 . Al factorizar Q(x)=x3 – 6x2 + 11x – 6, indique un factor.

C) 6

A) x – 1

B) x + 2

D) x + 4

E) x + 3

C) x + 6

3 . Factorice Q(x)=5x2 + 8xy + 3y2 + 2x – 3, e indique la suma de los términos independientes de sus factores. A) 3

B) –3

D) 2

E) 1

C) –2

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra

CAPÍTULO

16 Problema desarrollado 1.

Demostrar que: a

4n

2 n 2n

+a b

+b

4n

(

= a

2n

n n

+a b +b

2n

)(a

2n

n n

−a b +b

2n

)

( ∀n ∈  )

Resolución:

(

)(

4 2 2 4 2 2 2 2 * n = 1; a + a b + b = a + ab + b a − ab + b

(

8 4 4 8 4 2 2 4 * n = 2; a + a b + b = a + a b + b

(

)( a

4

) ... Criterio de Suma y Resta

− a 2b 2 + b 4

)(

) ... Criterio de Suma y Resta

12 6 6 12 6 3 3 6 6 3 3 6 * n = 3; a + a b + b = a + a b + b a − a b + b

M

) ... Criterio de Suma y Resta

M

(

)(

4n 2 n 2n 4n 2n n n 2n a 2n − anb n + b 2n * n = n; a + a b + b = a + a b + b

)

... Criterio de Suma y Resta lqqd

Problema por desarrollar

1.

(

)(

4n 2n 2n n 2n Demostrar que x + x + 1 = x + x + 1 x − x + 1

)

( ∀n ∈  )

Resolución:

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Compendio de Ciencias VI-C

1.

Indicar el número de factores primos de: P ( x ) = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) − 8

Rpta: .............................................................. 2.

Indicar el término independiente de uno de los factores de: P ( x ) = ( x + 1 )( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 ) + 1

Rpta: .............................................................. 3.

Indicar el número de factores primos de: P ( x ) = ( x + 1 )( x − 2 )( x + 3 )( x − 4 ) + 24

Álgebra

9.

Dar como respuesta al término independiente de: P (n) = m 4 + n 4 − 7 m 2n 2

Rpta: .............................................................. 10. La expresión: P ( x ) = x 4 + 4 es factorizable.

Dar como respuesta el número de factores primos. Rpta: .............................................................. 11. Indicar el número de factores primos de: P ( x ) = ( x − 2)

(x

2

2

)

− 4 x + 6 − 15

Rpta: .............................................................. 4.

Indicar el coeficiente del término lineal del factor primo. P ( x ) = 1 + x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )

5.

Rpta: ............................................................. 12. Dar como respuesta la suma de coeficientes de uno de los factores de:

Rpta: .............................................................

P ( x ) = ( x + 3)

Indicar el número de factores primos de:

Rpta: .............................................................

P ( x ) = ( x + 1)

2

2

( x + 5 )( x + 1) − 5

( x − 3 )( x + 5 ) + 63 13. Indicar el número de factores primos de:

Rpta: ............................................................. 6.

Mediante el criterio de suma y resta factorizar: A=a +a b +b 4

2 2

4

Rpta: .............................................................. 7.

Rpta: ............................................................ 14. Indicar el número de factores primos de: B(x,y ) = 4 x 4 + 3 x 2y 2 + 9y 4

Indicar el número de factores primos de: B = a + 4b 4

4

Rpta: .............................................................. 8.

P ( x , y ) = x 4 + 64 y 4

Calcular la suma de coeficientes de uno de los factores primos. P ( x ) = x 8 − 12 x 4 + 16

Rpta: .............................................................. 15. Factorizar:

(

P ( x,y) = x + 7 x + 5 2

)

2

2

+ 3 x + 21 x + 5

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra

16. Indicar el número de factores primos de:

19. Indicar el número de factores primos de:

(

P ( x ) = ( x − 1)( x + 2 )( x − 3 )( x − 6 ) + 7 x 2 − 28 x + 1

)

A = ( a + b − 1 ) a 2 b 2 + 2 ab − 2 a − 2 b − 12 − 12

Rpta: .............................................................. Rpta: .............................................................. 17. Indicar el número de factores de: 20. Indicar el número de factores primos de:

P(x) = x4 + 5x 2 + 9

P ( x,y ) = x 8 + x 4 y 4 + y 8

Rpta: ............................................................. 18. Indicar el término independiente de uno de los factores de:

Rpta: ..............................................................

P ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 81

Rpta: ..............................................................

1.

El término independiente del factor primo de:

4.

F ( x ) = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) + 1

A) 2 D) 5 2.

B) 3 E) 6

Indicar el número de factores primos de:

(

A( x ) = x + x + 1 2

)

2

2

+ 3 x + 3 x − 15

C) 4 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

Uno de los factores primos de: F ( x ) = ( x − 2 )( x + 3 )( x + 2 )( x − 1 ) + 3 es:

5.

Indicar el número de factores de: x + 64 4

2

A) x + x + 2 A) 1 D) 4

B) x 2 + x + 1 C) x 2 + x − 3

B) 2 E) 5

C) 3

D) x 2 − 2 x − 1 E) 3.

x2 + x +7

El término lineal de uno de los factores de: P (x) = x 4 + 2x 2 + 9

A) 3x D) 2x

B) 4x E) 6x

C) 5x

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Compendio de Ciencias VI-C CAPÍTULO

Álgebra

17 OBJETIVOS •

•

Nos interesa estudiar los símbolos convencionales : n! ó n : Factorial de n n n Ck y (k ) : Combinaciones de n en k y el coeficiente binomial n de k respectivamente De la teoría coordinatoria elemental y sus diversas propiedades, en el proceso de efectuar operaciones de ordenación, permutación o combinación que sea posible formar con los elementos de algún conjunto. Resaltar la importancia de estos operadores matemáticos para la obtención de la potencia de un binomio o de un polinomio elevado a un exponente natural.

INTRODUCCIÓN BLAISE PASCAL Clermont - Ferrand (Auvernia) 19 de Julio de 1623 - París 1662. Matemático, físico, filósofo y escritor francés. Pascal fue educado con la mayor dedicación por su padre que era abogado y presidente del tribunal de apelación. Como se le consideró poco inteligente para abordar el estudio de las matemáticas, fue dedicado al estudio de las lenguas. A los doce años se despertó su curiosidad matemática y cuatro años después escribió y publicó un ensayo original sobre secciones cónicas. Disfrutó en París de la compañía de Robernal, Mersenne y otros matemáticos de renombre, cuyas reuniones semanales se convirtieron, finalmente, en la Academia Francesa de Ciencias. A los 18 años de edad, se entretenía haciendo su primera máquina de calcular, y seis años más tarde publicó nuevos experimentos sobre el vacío. Fue superdotado tanto en las ciencias prácticas y experimentales como en la geometría pura. De un debate con Fermat surgió la noción de probabilidad matemática y con su perspicacia característica halló el mecanismo para estudiarla. Después de salir ileso de un accidente llevó una vida de abnegación y caridad. Murió a los treinta y nueve años de edad.

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL I.

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Definición .El factorial de un número natural n, es el producto que resulta de multiplicar todos los números naturales consecutivos desde el 1, hasta el número n inclusive. Simbología: n! , n , n Lectura : Factorial del número n Axiomáticamente, ∀n ∈  , se define :  1 ; n = 0 ∨ n =1 n! =  1× 2× 3×... × n ; n ≥ 2

Ejemplos : 6! = 4! = x +5 = 2p −1 = 2 (a ) ! =

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 1 × 2 × 3 × 4 = 24 1 × 2 × 3 ... (x+3) × (x+4) × (x+5) 1 × 2 × 3 ... (2p-3) × (2p-2) × (2p-1) 2 2 2 1 × 2 × 3 ... (a -2) × (a -1) × (a )

PROPIEDADES : 1 º Por definición : n = 11444 × 2 × 34 × KK × (n −3 1) × n 24444 n −1

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Compendio de Ciencias VI-C Ejemplos :

n = n n-1; n ≥ 2

Ordenando :

•

100 = 100 × 99 × 98 K 55 54

100 = 100 99

•

78 = 78 × 77 × 76 K 24 23

(x+1)! = (x+1) x!

•

x + 30 = ( x + 30)( x + 29)( x + 28)K( x + 1) x

•

3 n − 2 = (3 n − 2)(3 n − 3)(3 n − 4 )...(3 n − 11) 3 n − 12

•

m = (m )(m − 1)(m − 2)K(m − n) m − n − 1

Ejemplos : • • 2º

Álgebra

Si n = 1→ n = 0 (Por convención)

2

2

2

2

2

2

∨

n = 1 (Por definición )

Ejemplo : Dar el valor de la expresión : E=

Ejemplo :

12 10 11 + + 9 8 7

Calcular la suma de los valores que puede adquirir la incógnita x, en la ecuación :

E=

2

(2x - x)! = 1 2

∨

2x - x = 1

x (2x-1) = 0

∨

2x - x - 1 = 0

x (2x-1) = 0

∨

(2x+1) (x-1) = 0

∨

9

+

10 × 9 8

8

+

11 × 10 × 9 × 8 7

7

2

2x - x = 0

x 1 =0

12 × 11 × 10 9

E = 1320 + 90 + 7920 = 9330

2

∨ x3=-1/2

x2 =1/2

∨ x 4 =1

PROPIEDADES AUXILIARES : a)

∀n ∈ IN, n ≥ 1 se cumple : n + n + 1 = (n + 2) n

Nos piden : x1 + x2 + x3 + x4 = 1 3º

Ejemplos :

∀a, b ∈  , tal que ab ¹ 0, se cumple : Si: a = b → a = b

•

7 + 8 =9 7

•

111 + 112 = 113 111

•

(x-1)! + x! = (x+1) × (x-1)!

Ejemplo : Resolver la ecuación :

b)

m (2m + 1) = 720

∀n ∈  , n ≥ 1 se cumple : n + n+ 1 + n + 2 = (n+ 2)2 n

6 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

Como : Resulta :

2

2m + m = 6

Ejemplos :

2

Por la propiedad : 2m + m = 6 2m + m - 6 = 0 Factorizando : (2m-3) (m+2) = 0 Entonces : m = 3/2

7 + 8 + 9 =9

•

54 + 55 + 56 = 56

c) 4 º Descomposición factorial general

7 = 81 2

7

54 2

•

∨ m = -2

2

•

2

(m-1)! + m! + (m+1)! = (m+1) (m-1)!

Descomposición racional de una fracción n 1 1 = − ; n≥ 1 n+ 1 n n+ 1

Por definición : n = n(n − 1)(n − 2)K(n − k + 1)(144 n − k4 )K 3 × 2 ×31 2444 n −k

n = n(n− 1)( n− 2) ...( n− k + 1) n− k ; n > k

Ejemplo : Calcular la suma de la serie : S=

1 2 3 4 100 + + + +K+ 2 3 4 5 101

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra

Descomponiendo cada una de las fracciones :

FÓRMULAS

1 1 1 1 1 1 1 1 S= − + − + − +K + − 1 2 2 3 3 4 100 101

SEMIFACTORIAL: a)

GENERALES

Si n es un número par

(

1 resulta : S = 1 − 101

DEL

n !! = (2 × 1)(2 × 2)(2 × 3)(2 × 4)K 2 × n 2

)

n!! = 2 × 4 × 6 × 8 ...... n I I . SEMIFACTORIAL, CUASIFACTORIAL

COFACTORIAL DE

UN

(1 × 2 × 3 × K × n2 )

2244 n !! = 214 ×4 × 2K32

O

( n2 ) veces

NÚMERO

NATURAL Por lo tanto : Simbología

:

Lectura

: ‘‘Semifactorial del número n’’

n!!= 2

n 2

n 2

n , n!!

Ejemplos :

Axiomáticamente, ∀n ∈ IN* , se define :  2 × 4 × 6 × 8 × K × n; si n es PAR  n !! =  1 × 3 × 5 × 7 × K × n; si n es IMPAR

b)

50

•

100 !! = 2

•

(2 m )!! = 2 m m

50

Si n es un número IMPAR n!! = 1 × 3 × 5 × 7 ... n Multiplicando y dividiendo por [2×4×6 ... (n-1)]

Ejemplos: n !! =

–

Para números pares, se tienen : 6!! = 2 × 4 × 6 = 48

n !! =

10!! = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 = 3840 (2m)!! = 2 × 4 × 6 × 8 ... (2m-4)(2m-2)(2m) (8p+12)! ! = 2×4×6×8 ... (8p+8)(8p+10)(8p+12)

–

n !! =

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 K(n − 1)(n ) 2 × 4 × 6 K(n − 1)

n (2 × 1)(2 × 2)(2 × 3)K  2 

n  214 ×4 2244 × 2K32 1 × 2 × 3K n − 1  2   n −1

(2)

Para números impares, se muestran :

( n 2− 1 ) ( )

veces

5!! = 1 × 3 × 5 = 15 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945 (2n+1)!! = 1 × 3 × 5 × 7 ... (2n-3)(2n-1)(2n+1)

n

n!!=

Por lo tanto :

n −1

22

n− 1 2

(6x-17)!! = 1 × 3 × 5 × 7... (6x-21)(6x-19)(6x-17) Ejemplos : También debemos observar que :

255

•

255 !! =

•

(2m − 1)!! =

(n!) ! ≠ n!! ; n∈ N

2

127

127 2m − 1

2

m −1

m −1

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Demostrar que: n !+ ( n + 1 ) ! = ( n + 2 ) n !; ∀n ∈ 

Demostrar que: n !+ ( n + 1 ) !+ ( n + 2 ) ! = ( n + 2 )

Resolución:

2

( n !)

Resolución:

* n=1: 1!+ 2! = 3 (1 ) ! * n=2: 2!+ 3! = 4 ( 2 ) ! * n=3: 3!+ 4 ! = 5 ( 3 ) ! M

M

* n=h: h !+ ( h + 1 ) ! = ( h + 2 ) h !

1.

2.

lqqd

Simplifica:

5.

E = 9!+ 8 ! − ( 5!− 40 ) 7!

E = 1!+ 2!+ 3! + 4 !+ 5!+ 6! 0! 4!

Rpta: ..............................................................

Rpta: ..............................................................

Simplifica: P=

6.

20!+ 21! ( 41!43! + 42!)( 22! )

Calcula n.

x −5

7.

Calcula x.  ( x + 1) ! ( x + 3 )! 2 =6 −  x !  ( x + 2)! Rpta: ..............................................................

Calcula la suma S = 1 + 2 + 3 + 4! 2! 3! 4 ! 5!

3

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................. 4.

= 720

Rpta: ..............................................................

(n + 2 ) = 3! n!

Hallar x

( x − 5 )!

Rpta: .............................................................. 3.

Calcula:

8.

Reduzca: S = 1 + 2 + 3 +L+ 8 + 1 2! 3! 4 ! 9! 9! Rpta: ..............................................................

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Compendio de Ciencias VI-C 9.

Sumar:

E = 2!+ 4 ! + 6! + L + 50! 3! 5! 49!

Álgebra 15. Hallar x. x +1 = x−2 216 − x

Rpta: .............................................................. Rpta: .............................................................. 10. Hallar x

( x + 9 )!( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 8 )!+ ( x + 7 ) ! Rpta: ..............................................................

16. Determina el valor de n.

(1 + n !)(n !) = 20 6 + n!

Rpta: .............................................................. 17. En la relación calcula n. 2 30 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ K ( 2 n − 1 )  = 60 !( 30 !)

−1

11. Calcula n.

( n + 7 )!( n + 5 )! = 15! (n + 6 ) !+ (n + 5 ) ! Rpta: ............................................................. 12. De la siguiente relación: 8 ! = 14 ; calcula ( a 2 + b 2 ). a !b ! Rpta: ............................................................. 13. Hallar n.

(n + 5 )  ( n + 4 )!( n + 3 )!  ⋅ = 720 (n + 4 )  ( n + 3 ) !+ ( n + 4 )!

Rpta: ............................................................. 18. Hallar la suma de valores de n que verifica la igualdad

(n

2

)

− 5n + 7 ! = 1

Rpta: .............................................................. 19. Sumar. E = 12!− 11! + 11!− 10! + 10!− 9! + L 11! 10! 9! Rpta: .............................................................. 20. Hallar x.

Rpta: ............................................................

x

x !− 22

=

x!

x

48

; ( x ≠ 0 ) ; ( x ≠ −1 )

14. Simplificar:

( n + 2 )!+ ( n + 1!) + n ! S= (n + 1)!+ n !

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................

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Compendio de Ciencias VI-C

1.

(

Álgebra

)

4.

2 Calcular x + x + 5 en:

S = 0!+ 3! + 5! + L + 49! 2! 4 ! 48!

( x !)! = 720 A) 15 D) 18 2.

B) 16 E) 21

5.

( x + 8 )! ( x + 7 )! + = 21 ( x + 7 ) ! ( x + 6 )!

3.

A) 101 D) 625

C) 17

Hallar x en:

A) 0 D) 4

B) 2 E) 5

Calcula la suma:

C) 500

Simplifica: E=

C) 3

B) 550 E) 205

n !+ ( n + 1 ) !+ ( n + 2 ) ! n !+ ( n + 1 ) !

A) n D) n + 3

B) n + 1 E) n + 4

C) n + 2

Calcula la suma:

( n + 3 )!( n + 5 )! = 120 (n + 3 ) !+ (n + 4 )! A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

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Compendio de Ciencias VI-C CAPÍTULO

Álgebra

18 REGLA PRÁCTICA

DEFINICIÓN Combinaciones de n elementos, tomados de k en k (n ≥ k), es el número de maneras en que se pueden agrupar los n elementos en grupos de k elementos, de tal manera que cada grupo se diferencie por lo menos en un elemento, sin interesar el orden de sus elementos.

En la definición, aplicando la descomposición general : n

Ck =

n(n − 1)(n − 2)K(n − k + 1) n − k k n−k

Por lo tanto : ‘‘k’’ FACTORES

Ejemplo explicativo : De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementos tomados de dos en dos. Veamos :

n

n (n - 1)(n - 2) ... (n - k + 1) 1• 2• 3 ... k

Ck=

‘‘k ’’ FACTORES

Sean : a b c d e f Ejemplos : Se obtienen : ab ac ad ae af 5 bc bd be bf 4 cd ce cf 3 de df 2 ef 1 Nº Total de maneras = 15

11

=

11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 330 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ×7

10

=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 210 1× 2× 3 ×4 ×5 ×6

*

C7

*

C6

*

C5

n+ 2

=

(n + 2)(n + 1)(n)(n − 1)(n − 2) n(n 2 − 1)(n 2 − 4) = 1×2× 3×4 ×5 120

PROPIEDADES : 1 º Combinaciones Complementarias

En general , se trata de agrupar n elementos tomados de k en k. El número de maneras se obtiene a partir de la fórmula matemática : n

n

C k=

; (n ; k)∈ N , n ≥ k

Aplicándolo en el ejemplo anterior : 6

6

maneras = C 2 =

2

6−2

=

6⋅5 ⋅ 4 = 15 1⋅2⋅ 4

n

; n> k

Ejemplos:

2

k n− k

Donde : n : Es el índice superior, el cual nos indica el número total de elementos. k : Es el índice inferior, el cual nos muestra el número de elementos existentes en cada grupo.

#

n

C k = C n -k 11

11

•

C7 = C 4

•

C 97

•

C n −2 = C 3

100

n +1

=

11 × 10 × 9 × 8 = 330 1× 2 ×3 × 4

100

=

100 × 99 × 98 = 161700 1× 2×3

n +1

=

2 (n + 1)(n)(n − 1) n (n − 1) = 1× 2 × 3 6

= C3

Estamos observando que para ciertos números combinatorios, esta propiedad, nos permite reducir sus índices inferiores.

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra

OBSERVACIÓN IMPORTANTE : n

Al analizar

C k , en el conjunto IN y aplicar la anterior

propiedad para k=n, se obtiene :

C

n n=

C

n n −n =

Se cumple : 10 – p = p-6 ... (I) 16 = 2p → p=8 o también:

C

(10– p) + (p–6) = 2m ... (II) 4 =2m → m= 2 Un valor resultante es : m + p = 10 observar que las ecuaciones (I) y (II), no forman un sistema, ya que estas igualdades son completamente independientes.

n 0

Por la teoría coordinatoria se sabe que

n

Cn = 1 .

n

C0 =1

Por lo tanto :

Aplicando la definición del número combinatorio :

n

n

n

Simplificando :

0

n

Convencionalmente, para que esta igualdad este definida, se concluye que :

10

10

n

n

C3 + C4

•

C 20 + C 21 = C 21

•

C x −1 + C x

m −1

•

C

2m 2m =

•

C x +5 = C 0

•

n − p +1 n − p +1 =

C

= C4

n+1

m −1

5

6

4

x +5

C

2m

C

P=

= 1 ; ∀m ∈  *

x +5

7

Sumando y restando

14 0 =1

C0

m

=Cx

4

C 0 , resulta :

4

5

6

7

8

4

C 0+ C1 + C2+ C3+ C4+ C5- C 0 C15 +

= 1 ; ∀x ∈  *

n − p +1 =1 ; 0

8

P = C1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5

Finalmente, será correcto afirmar lo siguiente :

C

11

•

4

14 14 =

n≥ k

Ejercicio: Calcular la suma de la serie :

0 =1

•

n+1

Ejemplos :

=1

1 =1 0

Resulta la relación :

n

Ck + Ck+1 = C k+1 ;

=1

n−0

0

2 º Suma de Combinaciones

n > p − 1 , (n ; p ) ∈ 

C62 +

2

C73 + CONSECUENCIA DE LA PROPIEDAD

C

Si se tiene la igualdad :

n r =

C

C84 +

n p K (α )

C95

Se cumple : r = p En (α), aplicando la propiedad :

n

n

C r = C n− p

Se verifica : r = n – p, es decir : r+p = n En síntesis : n r

n p

Si : C = C → p ∨ r + p = n

9

9

P = C5 − 1 = C4 − 1 P=

9 ⋅ 8 ⋅7 ⋅6 − 1 = 126 − 1 = 125 1⋅ 2 ⋅3 ⋅4

3 º Degradación de índices

Debemos tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son relaciones mutuamente excluyentes. Es decir, una de ellas es independiente de la otra.

a)

Ck=

Por ejemplo: Calcular el valor de (m+p) en :

b)

Ck=

c)

Ck =

C

2m 10 − p =

C

n

n

2m p −6 n

 n –k + 1     k     n   k  

n

C k- 1 ; n ≥ k ≥ 1

n –1

Ck–1

 n     n –k   

; n≥ k≥1

n –1

Ck

; n≥k ≥ 0

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra Factorizando el numerador y aplicando la propiedad 3b) en el denominador :

Ejemplos explicativos : 1.

m −1 Resolver : 20 C m 5 = 3m C 3

x

P=

( x + 1)( x − 2)C 5 ( x + 1) C

Descomponiendo el 20 y pasando a dividir uno de sus factores, resulta :

( )

3.

m m −1 5C5 = 3 m C3 4 14243

x

= x −2 ;

5

Qué valor de n verifica la igualdad : 2n +1

2n

C1 + C 2

2n+2

+ C3

Por la propiedad 3b), se tiene : m

m

5C 5 = 3C 4

*

(

m − 5 +1 5

)C

m 4 =3

2 n+ 4 = 3 C3 −1 4

Pasando la unidad al primer miembro, y expresándolo como un número combinatorio, así :

En el 1er. miembro, degradando el índice inferior por 3a) : 5

∀x ≥ 5.

2n

m

2n

2n+1

C 0 + C1 + C2

C4

2n+1

C1

Simplificando : m – 4 = 3 → m = 7

+

2n+2

=

C3

3

2n+4

4 C3

+ 2n+2 +

C2 2.

Simplificar la expresión :

2n+3

C3

x  x 3  x −1  5  C 4 − ( x + 2) C 5   P= ; 2 x ( x − 1) x −2 C3 20

()

(

x

P=

x 2 C 5 − ( x + 2) C x ( x + 1) x −1 C4 5

x 5 = (x

2

2n +3

C3

)

3 4

2n+4

C3

En el 2do. miembro, aplicando la propiedad 3c) :

x≥5

64748 x x −1 x x C 4 − ( x + 2) C 5 5 P= ; x ( x + 1) x − 1 x −2 C3 5 4 1442443 2

=

()

(2 n + 4) = 3 4 (2 n + 4 ) − 3

2n + 3

C3

4 (2n+1) = 3 (2n+4) Por 3 b)

8n + 4 = 6n + 12 2n = 8 → n = 4

x

− x − 2)C 5

( x + 1)

x (14 C3 5 ) 24

x −1 4

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Compendio de Ciencias VI-C

Álgebra

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Demostrar que: Cn + k

Cn k +1

=

+1 Cn ; k +1

( para

n ≥ k)

Demostrar que: C n = C n− k

n k

(n ≥ k )

Resolución: Resolución:

Descomponiendo cada sumando n k

n k +1

n k

n k +1

C +C

C +C

=

=

n! n! + k !( n − k ) ! ( k + 1 ) !( n − k − 1 ) !

n! n! + k !( n − k )(n − k − 1 ) ! ( k + 1 ) k !( n − k − 1 )!

n !( k + 1) + n !(n − k ))

Cn + Cn

=

Cn + Cn

=

n !( n + 1 ) n !k + n !+ n !n − n !k = ( k + 1 )!(n − k )! ( k + 1 )!(n − k )!

Cn + Cn

=

( n + 1 )! ( k + 1) !( n − k )!

k +1

k

k +1

k

k +1

k

k !(n − k )( k + 1)( n − k − 1 )!

C nk + C nk +1 = C nk ++11 lqqd

1.

Indicar verdadero (V) o falso (F). I.

C =C 5 3

5 2

3.

.............. (

)

II. C 99 = 1

.............. (

)

III. C 99 = 1

.............. (

)

IV. C 99 = 1

.............. (

)

P = C 52 + C 53 + C 64

Rpta.: ........................................................

4. 2.

Calcular: E = C 64 + C 62

Rpta.: ........................................................

Indicar el equivalente reducido de:

Calcular: C 15 + C 52 + C 53 + C 54 + C 55

Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VI-C 5.

Calcular la suma de la serie:

Álgebra 14. Calcular:

P = C 40 + C 14 + C 52 + C 63 + C 74 + C 85

Rpta.: ........................................................ 6.

Hallar n en:

P = C 19 + C 92 + C 94 + C 93 + C 98 + C 99

Rpta.: ........................................................ 15. Hallar x en la relación:

Cn 2

= 5n 2

C

3 x +1 5 y −3

=C

x 2 − 87 2( y +1)

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 7.

Indicar el valor de n que verifica la relación: n 6 C 2 = C1

16. Calcular: E = C 19 + C 29 + C 94 + C 93 + C 89 + C 99

Rpta.: ........................................................ 8.

A) 245 D) 229

Calcular: E=

21 C 20 5 + C5 21 C6

B) E)

C)

256

C)

1 3

17. Calcular: E=

Rpta.: ........................................................ 9.

255 565

20 C12 C 17 2 C18 C 820 3

Efectuar: R=

C

+C C 41 2

40 38

40 2

A) 0

B)

6

1 6

E)

1 9

D)

Rpta.: ........................................................ 10. Determinar el valor de la serie:

18. Hallar x en la siguiente igualdad C 3x + C 4x + C 5x +1 + C 6x + 2 = C 20 6

11 12 C 83 + C 84 + C 59 + C10 6 + C7 + C 4

Rpta.: ........................................................ 11. Reduzca:

A) 15 D) 18

B) E)

16 21

C)

17

19. Simplificar: 5 C 520 C 18 10 C 2 P = 18 5 20 C 8 C 3 C 15

Rpta.: ........................................................

A) 0

12. Simplificar: 19 C18 C 40 30 C 6 K = 720 17 40 C 7 C 6 C 10

12 13 C 12 5 + C6 + C7 C 15 8

E=

D)

8 15

B)

1

E)

14

C)

15 8

20. Dar como respuesta a (n2) en la siguiente igualdad. Rpta.: ........................................................

n +1

2C2

n+ 2

= 28 − C 2

n +1

− C2

13. Efectuar: H=

18 19 20 C18 5 + C 6 + C7 + C 8 21 21 C 13 + C 8

A) 1 D) 25

B) E)

4 81

C)

9

Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VI-C

1.

Álgebra

Calcular:

4.

Reducir:

10 11 E = C 10 3 + C 4 + C5

A) 128 D) 840 2.

B) E)

256 792

512

A) 26

B)

27

D) 29

E)

30

C)

28

Hallar x en la siguiente igualdad:

( ) 7 C2

A) 8 D) 25 3.

C)

100 100 28 P = C 20 − C 30 0 + C1 30 − C 99 + C 27

B) E)

7

C5

5. = (x)

41 33

Calcular x en:

x

C 4x + + C x + 2 = C 6x + − 1 3

3

5

x−

C)

21

A) 0

B)

1

D) 8

E)

14

C)

2

Calcular: E=

19 C19 4 + C5 C 21 6

A) 2/7

B)

3/7

D) 5/3

E)

1/5

C)

21/4

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Compendio de Ciencias VIII-C CAPÍTULO

Álgebra

20 OBJETIVOS – Dar a conocer el concepto de correspondencia; relación y función; donde los últimos son situaciones particulares del primero. – Interpretar geométricamente los polinomios en  . – Saber la dependencia e independencia que existe entre variables. – Al finalizar este tema el lector estará en la capacidad de graficar correctamente una funcional elemental.

IN TRODUC CIÓN: En nuestra vida cotidiana y práctica, el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo: el sueldo de una persona no depende de la cantidad de horas que la persona trabaje, el pago de la mensualidad del uso de luz en Edelnor depende del consumo que realize el consumidor; el volumen del espacio ocupado por un gas a presión constante depende de su temperatura; la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen, etc. La relación entre este tipo de cantidades se expresan mediante una función; todas las cantidades que se utilizan en estas relaciones son números reales; de allí el estudio que se va a realizar entre los conceptos de correspondencia; relación y función; así como también la construcción de las gráficas de funciones partiendo de lo elemental.

FUNCIONES

PAR ORDENADO Es un conjunto de los elementos a y b con un orden determinado; que se simboliza de la forma siguiente:

(a ; b) donde: a: Primera componente b: Segunda componente Formalmente un par ordenado se define:

( a;b ) ≡ {{a} ; {a;b}} Teoremas importantes: 1. ( a;b ) ≠ ( b ; a )( no conmutativa )

* * *

El par ordenado (5;7) no es igual a (7;5) Si: (5;y) = (x;9) ⇔ 5=x ∧ y=9 Sean los pares ordenados M = (2x–5;8) N = (3;3x+y) Se cumple que M = N. Calcular el valor de x.y RESOLUCIÓN: Como: M = N Luego: (2x–5;8) = (3;3x+y) De allí: 2x–5 = 3 ⇒

x =4

8 = 3x+y ⇒

y = –4

2. S i : ( a;b ) = ( c ; d ) ⇔ a = c ∧ b = d Ejemplos:

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

∴ xy = (4) (–4) xy = –16

3.

De la definición de par ordenado; se tiene una TERNA ORDENADA de la forma siguiente:

4.

( a;b ;c ) ≡ {{a};{a;b} ;{a;b ; c}} PRODUCTO PRODUCTO

CARTESIANO

O

CONJUNTO

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B; el producto cartesiano o conjunto producto de A y B (A×B) se define como un conjunto de pares ordenado (a;b) que se pueden formar con los elementos de ambos conjuntos, donde a∈A y b∈B. Es decir: A× B = {( a;b ) a ∈ A ∧ b ∈ B}

5.

Si A es conjunto finito; el producto cartesiano A×A se le puede representar como: A2 (Se lee “A dos”) El producto cartesiano A×B es un conjunto vacío; si al menos uno de los conjuntos A o B es conjunto vacío; es decir: A × φ = φ; φ× B = φ El producto cartesiano A×B es un conjunto infinito; si al menos uno de los conjuntos A o B es un conjunto infinito.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA PRODUCTO CARTESIANO 1 . DIAGRAMA MATRICIAL Sean los conjuntos: A = {a;b;c} ∧ B = {2;3;4} Luego:

DE

UN

A× B ={( a;2 ) ;( a;3 ) ;( a;4 ) ;( b ;2 ) ;( b ;3 ) ;( b ;4 ) ;( c;2 ) ;( c;3 ) ;( c ;4 )}

Se puede representar: Ejemplos: Sean los conjuntos: A = {1;3;4} y B = {2;5} Luego: *)

A× B = {( a;b ) a ∈ A ∧ b ∈ B}

⇒

A × B = {(1;2 ) ; (1;5 ) ; ( 3; 2 ) ; ( 3;5 ) ; ( 4; 2 ) ; ( 4;5 )}

*)

B× A = {( a;b ) a ∈ B ∧ b ∈ A}

⇒

B × A = {( 2;1 ) ; ( 2;3 ) ; ( 2;4 ) ; ( 5;1 ) ; ( 5;3 ) ; ( 5;4 )}

2 a b c

2.

3

( a; 2 )  ( b; 2 )  ( c; 2 )

Se nota que el conjunto A×B es diferente al conjunto B×A, luego entonces:

x

A× B ≠ B× A el produc to c artes iano

y

no es CONMUTATIVO z

n ( A× B ) = n ( A) n ( B )

3.

( a; 3 ) ( a; 4 )  ( b; 3 ) ( b; 4 ) ( c; 3 ) ( c; 4 ) 

DIAGRAMA DEL ÁRBOL Sean los conjuntos: A = {x;y;z} ∧ B = {3;4;5} Luego: A×B se representa por medio del diagrama del árbol así: A

PROPIEDADES: 1 . Si A y B son conjuntos diferentes: A×B ≠ B×A 2 . Siendo A y B dos conjuntos finitos; tales que el cardinal de A (número de elementos de A) es n(A) y el cardinal de B es n(B) se tiene que:

4

B 3 4 5 3 4 5 3 4 5

A×B (x;3) (x;4) (x;5) (y;3) (y;4) (y;5) (z;3) (z;4) (z;5)

DIAGRAMA CARTESIANO Sean los conjuntos: A = {1;3} ∧ B = {4;5;6} Luego:

A × B = {(1;4 ) ; (1;5 ) ; (1;6 ) ; ( 3;4 ) ; ( 3;5 ) ; ( 3;6 )}

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra dentro de A×B se define la correspondencia:

B

C = {( x ; y ) ∈ A× B x + y > 8}

6 A×B

5 4

se ve que la regla de correspondencia es: P(x;y): x+y > 8 la correspondencia se puede escribir así: ⇒

1 4.

3

A

DIAGRAMA SAGITAL Sean los conjuntos: A = {1;8} ; B = {0;3;4} Luego:

A × B = {(1;0 ) ; (1;3 ) ; (1;4 ) ; ( 8;0 ) ; ( 8;3 ) ; ( 8;4 )} A 1•

• 0

RELACIÓN BINARIA Dados los conjuntos A y B no vacíos se denomina relación R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A×B (R⊂A×B) es decir:

• 4

CORRESPONDENCIA Dados dos conjuntos no vacíos tales como A y B; definimos como una correspondencia C de A hacia B de la siguiente manera: C= {( x ; y ) ∈ A× B P( x , y )} Donde P(x;y) es un enunciado llamado REGLA DE CORRESPONDENCIA que relaciona a los componentes x e y. Una correspondencia C que se tiene desde A hacia B; se denota así: C:A→B Se lee: correspondencia C de A en B; llamándose al conjunto A CONJUNTO DE PARTIDA y a B CONJUNTO DE LLEGADA; así también C es un subconjunto de A×B; es decir:

C : A → B ⇔ C ⊂ A× B C es una correspondencia de A en B si y sólo si C es un subconjunto de A×B. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {2;5;7} ∧ B {3;4}

Cuando a cada elemento del conjunto B (de llegada) le corresponde un solo elemento de A (de partida) ; se le denomina CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA o CORRESPONDENCIA DE UNO A UNO.

B

• 3 8•

C = {( 5;4 ) ; (7;3 ) ; ( 7;4 )}

R = {( x ; y ) ∈ A× B P ( x ; y )} donde: P(x;y) es la regla de correspondencia de la relación. *) Si se tiene un conjunto A no vacío; una relación R es aquella correspondencia R: A → A tal que: R = {( x ; y ) ∈ A× A P ( x ; y )} donde P(x;y) es la regla de correspondencia de la relación. se sabe que: A×A = A2; luego se tiene que: R es una relación ⇔ R ⊂ A2 Una relación definida así se denomina RELACIÓN BINARIA. Ejemplo: Sea el conjunto: A = {1; 2; 3} ⇒

A = A × A = {( 1;1 ) ; (1;2 ) ;( 1;3 ) ; ( 2;1 ) ; ( 2;2 ) ; ( 2;3 ) ; ( 3;1 ) ; ( 3;2 ) ; ( 3;3 )} 2

Son relaciones en A los siguientes: *)

R1 = {(1;1 ) ; (1; 2 ) ; (1;3 ) ; ( 2;1 ) ; ( 2; 2 ) ; ( 3;1 )} Se tendrá: R = {( x ; y ) ∈ A ⋅ A x + y ≤ 4} 1

*)

R 2 = {(1;1 ) ; ( 2; 2 ) ; ( 3;3 )}

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

Se tendrá: R = 2

Además:

{( x ; y ) ∈ A

x =y

2

}

Dom ( R ) ⊂ A ∧ Ran ( R ) ⊂ A

R 3 = {(1; 2 ) ; ( 2;3 )}

*)

Ejemplo: Sea la relación:

Se tendrá: R = 3

{( x ;y ) ∈ A

}

2

R1 = {(1; 2 ) ; ( 2; b ) ; ( 2;7 ) ; ( 3; 2 ) ; (1; –2 )}

y = x +1

( ) Ran ( R1 ) = {2; b ;7; –2} Dom R1 = {1; 2;3}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Tenemos R: A → A; donde A es un conjunto no vacío; el dominio de R Dom(R) se define como el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados que tienen la relación y el rango de R R an(R) es el conjunto de las segundas componentes; así se tiene:

{

Dom (R) = x ∈ A ( x ; y ) ∈ R

{

Ran(R) = y ∈ A ( x ; y ) ∈ R

2

2

}

}

Las relaciones de mayor importancia son aquellas que están definidas en el conjunto de los números reales (); aquellas relaciones de la siguiente forma: R:  →  ó R ⊂  × 

FUNCIONES D E F IN IC IÓN Sean dos conjuntos A y B no vacíos; una función F es aquella correspondencia F: A → B que asigna a cada elemento x∈A a lo más un elemento y ∈B.

Ejemplos: f 1.

A

B

1•

• 4

Notación: A

B

• 6 • 7

3•

F x

• 5

2•

Vemos que f representa una función ya que para cada x∈A existe y∈B:

y= F(x)

f = {(1;6 ) ; ( 2;4 ) ; ( 3;5 )} Se nota que para x∈A existe un y ∈B; siendo este el único; de allí se dice que (x;y) ∈F; llamándose a y la imagen de x a través de (o vía) F; teniéndose que: y = F(x) También se puede expresar la definición de función de la forma siguiente: Un conjunto F de pares ordenados (x;y) tomados de A×B se denomina FUNCIÓN F de A en B, si y sólo si dos pares distintos no tienen la misma primera componente.

g 2.

M

N

1• • 4 2• • 5 3•

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

Se nota que no representa una función ya que el elemento 3 del conj unto M no tiene su correspondiente en B; g es una relación:

g = {(1;5 ) ; ( 2;4 )}

h A

3.

B

1•

2=a ⇒

;

b = –1

F = {( 2;5 ) ; ( –1; –3 ) ; ( 3; 2 )}

• 4

5•

Vemos que h también representa una función; ya que para cada x∈A existe y∈B:

h = {(1;4 ) ; ( 2;3 ) ; ( 5;3 )} α A

B

1•

• 3

2•

• 4

7•

• 5

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Se tiene la función: F:A → B y = F ( x ) Dando el valor de y se obtiene la evaluación de la función F; mediante su regla de correspondencia luego de darle un valor a x. Osea que si x=a; el valor de la función; llamado también IMÁGEN; que le corresponde será F(a). Así pues se tendrá el par ( a; F(a)) ∈ F . Ejemplo: Sea la función:

F = {( 2;3 ) ; ( 3;4 ) ; (7;3 ) ; ( –2;6 ) ; ( 4;1 )}

α no representa una función; ya que el elemento 1 tiene dos correspondientes en B; por tanto α representa una relación.

α = {(1;3 ) ; (1;4 ) ; ( 2;5 ) ; (7;4 )}

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Ejemplo: Hallar los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados:

(

Hallar: M = F(2) + F(7) + F(4) RESOLUCIÓN: Si: y = F(x) está en función se puede escribir. F = {( 2;F(2)) ; ( 3;F(3)) ; ( 7;F(7)) ; ( –2;F(−2)) ; ( 4;F(4))}

PROPIEDAD: Siendo F un conj unto de pares ordenados; subconjunto de un determinado A×B donde existe dos pares (a;b) y (a;c) que le pertenecen. Este conjunto F será función solamente si aquellos pares son iguales; esto es: F es función ↔ b=c

{

RESOLUCIÓN: En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. ⇒ (2;5) y (2;2a–b) ∈ A ⇒ 5 = 2a–b ..... (1) (–1;–3) y (–1;b–a) ∈ A ⇒ b–a = –3 ..... (2) Sumando (1) y (2) se tiene:

• 3

2•

4.

Sea una función:

A = ( 2;5 ) ;( –1;–3 ) ;( 2;2 a – b );( –1;b – a ) ; a + b ;a 2

)}

Luego: F(2) = 2 ; F(7) = 3 ; F(4) = 1 En: M = 2 + 3 + 1 ⇒

M=6

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN El dominio de una función llamado también conjunto de pre imágenes y está formado por todos los primeros componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función: Notación: Sea F: A → B una función: D = Dom = { x ∈ A ( x ; y ) ∈ F} F

F

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

El rango de una función llamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función: Notación: Sea F: A → B una función:

PROPIEDAD DE LAS FUNCIONES REALES Sea F:  →  En todo plano cartesiano; una cierta gráfica es la representación de una función si y sólo si cualquier recta vertical (paralela al eje Y) intersecta a dicha gráfica a lo más en un punto. Ejemplo: En cada caso, reconocer si la gráfica representa o no una función.

R F = Ran(F)= {y ∈ B ( x ; y ) ∈ F} Además: Dom(F) ⊂ A ∧ Ran(F) ⊂ B

Y recta

Ejemplo: Dada la función:

F = {(1;3 ) ; ( 2;3 ) ; ( 4;9 ) ; ( 5;10 )} El Dom (F) = {1;2;4;5}

X

∧ Ran(F) = {3;9;10}

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Las funciones que se estudian son de la forma: F:  → ; es decir una función que toma valores reales; cuando a su variable independiente se le asigne valores reales. Sea F: A → B diremos que F es una función real de variable real; si A y B son sub-conjuntos de los reales; es decir: A⊂ ∧ B⊂

es función Y

X

no es función GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL La gráfica de una función F es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a la función: Dada la función F: A → ; A ⊂ . El gráfico de F; es un subconjunto del producto cartesiano A×

Y

X

formado por los pares ordenados ( x ;F ( x )) donde x∈A. Gra (F) =

{( x ;y ) ∈ 

2

y = F(x ); x ∈ Dom F

}

no es función

Ejemplo: Y

f(x )= x3 Domf= 

y= x3 X

Una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

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Compendio de Ciencias VIII-C

Problema por desarrollar

Problema desarrollado 1.

Álgebra

x

Si f(x) = a es una función exponencial. Demostrar que f(x+y)= f(x) × f(y)

1.

Resolución:

x

Demostrar que, si f(x) = a es una función exponencial (a a} C) R : A → B R = {(a; b) ∈ A × B / a+b < 10}

B 3 C)

1 O

2

4

6

8

A

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................

Si se cumple: (2x – 1; 8) = (5; y + 5) 2 2 Calcular: (x + y )

Obtener el dominio y rango de cada relación:

Rpta.: ........................................................

R

A)

A

B

2

q

3

b

4

c

3.

4.

Siendo: A = {x/x ∈  ∧ 1 < x < 4 } B = {x/x ∈  ∧ 3 ≤ x ≤ 5 } Determinar A × B y señalar el número de elementos. Rpta.: ........................................................

R

B)

F

H

–1

–2

2

0

0

4

5.

Dados: A = {1; 2} Hallar: H = {(x ; y) ∈ A×B/ y = 2x} Señalar la suma de los elementos de los pares ordenados de H. Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C 6.

Sea: A ={1; 2; 3; 4; 5} y las relaciones en A. F = {(x; y) ∈ A×A / x < y} 2 G = {(x; y) ∈ A / x + y = 5} ¿Cuántos elementos tiene F ∪ G? Rpta.: ........................................................

7.

¿Cuántas de las relaciones siguientes son funciones? R1 = {(2; 2) ; (3; 2) ; (4; 2)} R2 = {(1; 0) ; (1; 2) ; (3; 3)} R3 = {(–1; 0) ; (–1; 1) ; (2; 3)} R4 = {(1; 0) ; (1; 1) ; (1; 2)} R5 = {(–1; 1) ; (1; 2) ; (2; 1)}

Álgebra 9.

¿Cuál de las siguientes gráficas representan una función? Y

Y

A)

B) X

X

Y

Y

C)

D) X

X

Rpta.: ........................................................ 8.

Y

Qué diagramas representan una función: f

E) X

A)

1

4

2

5

3

6

10. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados:

g

B)

Rpta.: ........................................................

2

F = {(1; 5) ; (a ; 6) ; (3 ; a ) ; (3; 2a +3)}

1

2

3

4

5

6

representa una función; indicar el rango. Rpta.: ........................................................ 11. Hallar el dominio de:

h A) F(x ) = C)

3

1

4

5

2

6

B)

f (x ) =

7x + 3 x –5 x+2 x +1

Rpta.: ........................................................ 12. Hallar el rango de:

J

D)

0

1

2

3

4

5

H( x ) =

5x + 3 x +6

F( x ) =

2x + 1 x −1

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C 13. Si se cumple:

Álgebra

18. Sea la función:

( x + y ; 12) = (6 ; x − y ) Hallar:

H = {(11; b), (3a; 5), (c; 10)} Con regla de correspondencia:

xy

H(x) = x – 2a, Hallar (a + b + c) Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 14. Dada la función: F = {(5 ; 3),(2 m + 3 ; 1),(6 ; 3 m − 1),(6 ; 8)}

Señalar la suma de los elementos del dominio.

19. Dada la función: H tal que: H(x) = ax + b Hallar (a – b), según la siguiente tabla, para esta.

Rpta.: ........................................................

x y

3 5 2 1

15. Hallar el rango de la función: 2

E = {(1; b) , (1; b – 2) , (b; –2) , (–1; 3)}

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ........................................................

20. Sean las funciones: S = {(x; x) ∈ 

16. Hallar el dominio y el rango de la función F = {(b; a–1), (9; b+3), (a+1; 2a–7), (2a–1;a), (a+1; 3)} Luego indicar:

Dom(f) ∩ Ran(f)

Rpta.: ........................................................

2

/ f(x) = 3x + 2}

H = {(4; n), (7; n+1), (n+1; 5)} Si: S(4) + H(H(a)) = 19 Hallar: a

Rpta.: ........................................................

17. A partir de la función: F = {(b; a+1), (9; b+3), (a+1; 2a–7), (2a-1;a), (a+1; 3)} Calcular: F(a + 4) + F(b – 2)

Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C

1.

Señalar la suma de los elementos del rango de la función: f(x) = 2x + 3; siendo: x = {1; 2; 3} A) 21 B) 18 C) 14 D) 10 E) 6

2.

Sea la función: f(x) = mx + n tal que: f(5) = 17 ∧ f (2) = 6 + f (0) Calcular: f(7) A) 12 B) 38 C) 23 D) 42 E) 28

3.

Hallar a + b; para que: 2 2 A = {(2; 5), (1; 3), (b–2a; 3), 1 ;(a –b ), (2; 2a+b)} Sea función A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Álgebra

4.

Dada la función: f(x) = ax + b donde: f(4) = 1 y 2f(2) = 3f(3) entonces podemos afirmar A) f(2)= 7 B) f(2) = 5 C) f(7) = 3 D) f(7) = 2 E) f(6) = –1

5.

Dada la función H: A → B B 4 3 2 1 O

1 2

3

4 5

6

A

Calcular: f(f(2)) + f(5) + f(f(6)) A) 1 D) 8

B) E)

4 6

C)

5

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Compendio de Ciencias VIII-C CAPÍTULO

Álgebra

21 OBJETIVOS – Exponer con relativa amplitud las diferencias cualitativas respecto a la resolución de las ecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. – Hacer notar de forma explícita que existen ecuaciones de una incógnita que admiten infinitas soluciones (Ecuaciones indeterminadas), y las que no aceptan solución alguna (Ecuaciones incompatibles). – Para despejar el valor de la incógnita se expondrá las propiedades de transformación para la resolución de una ecuación algebraica dentro del conjunto  . – Para la resolución analítica de una ecuación irracional dentro del conjunto  , se tendrá en cuenta el concepto de raíces algebraicas de un radical. – Finalmente, estudiaremos con detenimiento, la resolución general, la discusión de las raíces y las diversas propiedades inherentes de las ecuaciones polinomiales de primer y segundo grado. También estudiaremos de manera sucinta, a las ecuaciones bicuadradas, binomias, trinomias y recíprocas de primera y segunda especie; así como también el conocimiento de las propiedades notables de las ecuaciones polinomiales de grado arbitrario, cuya profundización la expondremos en una próxima edición.

- INTRODUCCIÓN DIOFANTE (Fl. siglo III d.C.) Matemático griego. Vivió en Alejandría (Egipto), donde se ocupó principalmente del análisis diofántico, siendo merecedor del título de padre del álgebra. Escribió Las aritméticas obra de la que sólo quedan 6 libros de los 13 que la componían. Herón de Alejandría (c. 20-62 d.C.), matemático y científico griego. Su nombre también podría ser Hero (aproximadamente 18 escritores griegos se llamaron Hero o Herón, creándose cierta dificultad a la hora de su identificación). Herón de Alejandría nació probablemente en Egipto y realizó su trabajo en Alejandría (Egipto). Escribió al menos 13 obras sobre mecánica, matemáticas y física. Inventó varios instrumentos mecánicos, gran parte de ellos para uso práctico : la aelípilla, una máquina a vapor giratoria; la fuente de Herón, un aparato neumático que produce chorro vertical de agua por la presión del aire y la dioptra, un primitivo instrumento geodésico. Sin embargo, es conocido sobre todo como matemático tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de áreas concretas de la misma). Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más éxito que cualquier otro de su generación. También inventó un método de aproximación a las raíces cuadradas y cúbicas de números que no las tienen exactas. A Herón se le ha atribuido en algunas ocasiones el haber desarrollado la fórmula para hallar el área de un triángulo en función de sus lados, pero esta fórmula, probablemente, había sido desarrollada antes de su época.

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

ECUACIONES ALGEBRAICAS DE UNA SOLA INCÓGNITA ECUACIÓN ALGEBRAICA.Es una igualdad literal algebraica relativa de dos expresiones algebraicas que contienen una sola incógnita.

S es un conjunto finito. Por ejemplo: La ecuación algebraica: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 Se verifica para x = 1, x = 2, x = 3. Es decir : S = {1, 2, 3}

3 Por ejemplo: 2 x 2 + x − 1 = x − 2 + 3 x +1

b)

SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN ALGEBRAIC A.Es aquel valor que toma la incógnita de la ecuación, que al reemplazarla en ésta, se obtiene una igualdad numérica. En el ejemplo anterior: x = 1 es solución o raíz de la ecuación, ya que al sustituirla en dicha ecuación :

Ecuación Compatible Indeterminada.Es aquella que admite un número infinito de elementos para su conjunto solución; es decir S es un conjunto infinito. Por ejemplo: la ecuación racional: 3 + x +1 − 4x +1 = 0 x x Efectuando operaciones elementales : 3 x + ( x + 1) − (4 x + 1) =0 ; x ≠0 x

1 −1 3 = 1−2 +3 1+1 Da lugar a la igualdad numérica: 2 = 2 2

2(1) +

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN ALGEBRAIC A.Es el conjunto S de valores que toma la incógnita para los cuales se verifica la ecuación. • Por ejemplo : La ecuación x3 – 7x + 6 = 0, se verifica para el conjunto de valores de x: S = {– 3, 1, 2} • Otro ejemplo: la ecuación: 2x4 – 3x3 – 6x2 + 5x + 6 = 0 cuyo equivalente es (x+1)2 (2x–3) (x–2) = 0 Se verifica para el conjunto de valores :

{

S = −1,

}

3 , 2 2

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES: De acuerdo al número de elementos del conjunto S, pueden clasificarse de la siguiente manera: 1.

Ecuación Compatible.Es aquella que admite en su conjunto solución por lo menos un elemento. Motivo por el cual, se subdivide en:

resulta: 0x + x = 0 o simplemente: 0x = 0 ; x ≠ 0 la cual se verifica para todo x distinto de cero, y se dice que S es un conjunto infinito. 2.

Ecuación Incompatible.Denominada también ecuación absurda; es aquella que no admite en su conjunto solución, elemento alguno, esto es, S es un conjunto vacío. Por ejemplo : En la ecuación. 4x + 8 =8 + 8 3 x −6 x −6 4x =8 3 Despejando, se tiene: x = 6 Pero observamos que al reemplazar el valor de x en la ecuación inicial, resulta matemáticamente ¡Absurda!. Luego no existe, un valor para x que verifique la ecuación. Por lo tanto: S = φ reduciendo, sin restringir:

ECUACIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES Son aquellas ecuaciones que admiten las mismas soluciones. Por ejemplo: Las ecuaciones expuestas: 3

a)

Ecuación Compatible Determinada.Es aquella que admite un número finito de elementos para su conjunto solución; esto es,

x− x =0

............... (1)

1)2

............... (2)

(2x -

=1

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Compendio de Ciencias VIII-C

(

)

x x + 3 = 2x x +1

Álgebra b0xn + b1xn-1 + b2xn-2 + ... + bn = 0 ;

............... (3)

b0 ≠ 0

Si ambas son equivalentes, se cumple: Son equivalentes, ya que cada una de ellas se verifican para x = 0 ó x = 1

a b

TIPOS DE ECUACIONES DE ACUERDO A SU NATURALEZA Según el operador algebraico que esté afectando a la incógnita, éstas pueden ser: 1.

2.

ECUACIÓN POLINOMIAL.Es aquella ecuación algebraica, cuyos miembros son polinomios, la cual se puede reducir a la forma general: P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0 donde a0, a1, a2, ... , an-1, an son los coeficientes con a0 ≠ 0. Grado u Orden de una Ecuación Polinomial Se denomina grado u orden de una ecuación polinomial P(x) = 0, al mayor exponente de la incógnita x; donde P(x) no posee términos semejantes. Por ejemplo: P(x) = x5 – 3x3 + 7x – 5 = 0 es una ecuación polinomial de quinto grado. Raíz de una Ecuación Polinomial Dado un polinomio P(x) y un número r, que pertenece a  , se dice que r es raíz de la ecuación P(x)=0, si verifica la igualdad numérica : P(r) = 0. Ecuaciones Polinomiales Equivalentes Son aquellas ecuaciones del mismo grado, que admiten las mismas raíces. Por ejemplo: Las ecuaciones polinomiales: 4x3 – 12x2 – x + 3 = 0 2 x 3 − 2x 2 − 1 x + 1 = 0 3 6 2 admiten en común, las mismas raíces: x =1 1 2

ó

x = −1 2 2

ó

x =3 3

PROPIEDAD: Dadas las ecuaciones polinomiales del mismo grado: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 ; a0 ≠ 0

0 0

=

a

1

b

=

1

a b

2 2

=K =

a b

n n

ECUACIÓN FRACCIONARIA.Es aquella ecuación algebraica, donde por lo menos uno de sus miembros es una expresión racional fraccionaria, la cual se puede reducir a la forma general: P( x ) = 0 Donde P y Q son polinomios entre sí. Q( x )

Una ecuación fraccionaria, siempre se transforma a una ecuación polinomial no necesariamente equivalente. 3.

ECUACIÓN IRRACIONAL.Es aquella ecuación algebraica, donde por lo menos uno de sus miembros es una expresión irracional, la cual puede presentar la forma general elemental: n

F( x ) = G ( x )

Donde F y G son expresiones algebraicas cualesquiera, y n es un número natural (n≥2).

Resolución Analítica de una Ecuación Irracional dentro del Conjunto  PROPIEDAD: Si es factible elevar ambos miembros de una ecuación irracional a un mismo exponente natural, se debe tener en cuenta dos criterios fundamentales: A ) Si el exponente es PAR, la ecuación que resulta no siempre será equivalente a la ecuación inicial. Ejemplo: Dada la ecuación: 2 x + 29 = 3 − x KK(α )

Elevando ambos miembros al cuadrado: 2x + 29 = 9 – 6x + x2 De donde: x2 – 8x – 20 = 0 ....... (b) Factorizando: (x–10) (x+2) = 0 cuyas soluciones son x = 10 ó x = –2 verificando estos valores obtenidos en la ecuación (α).

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Compendio de Ciencias VIII-C Para x = 10: 2 (10) + 29 = 3 − 10

Esta igualdad numérica no cumple con la definición de raíz aritmética. Por lo tanto, este valor no es solución de la ecuación. Para x = –2: 2 (−2) + 29 = 3 − (−2) Del cual resulta: 25 = 5 Luego: x = –2, es la única solución de la ecuación propuesta. Nótese que el conjunto solución S = {–2}, y además las ecuaciones (α) y (b) NO son equivalentes. B ) Si el exponente es IMPAR, la ecuación que se obtiene siempre es equivalente a la ecuación inicial. Ejemplo: Sea la ecuación: 3x −

3

x − 1 = 1KK(α)

Elevando al cubo miembro a miembro, y aplicando la identidad de Cauchy, resulta : 2x +1 − 3

3

3x

3

x − 1 (1) = 1

Luego: 2x = 3

3

3 x ( x − 1)

Nuevamente, elevando al cubo: 8x3 = 81x (x–1) ....... (b) Previamente: x1 = 0 es solución. Simplificando, resulta: 8x2 – 81x + 81 = 0 factorizando: (8x – 9) (x – 9) = 0 Despejando: x2 = 9/8 ó x3 = 9 fácilmente se puede comprobar, que éstos tres valores verifican la ecuación inicial. Es decir, las ecuaciones (α) y (b) son equivalentes. Ejemplo: Compruebe que la ecuación: 3

3

PROPIEDADES DE TRANSFORMACIÓN PARA LA RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN ALGE B R AIC A

49 = −7

de donde se obtiene:

3

Álgebra

3

x +1 − x + 2 + x + 3 = 0 y su ecuación polinomial RESOLVENTE son totalmente equivalentes.

PRIMERA PROPIEDAD: Si en ambos miembros de una ecuación racional, se suma o resta una misma expresión definida, resulta una ecuación equivalente a la inicial. Así: A=B↔ A±E =B±E Ejemplo Explicativo: En la ecuación racional : 2 x − x + 5 = 6 + 5 KK(α) x x Considerando la restricción x ≠ 0, restando miembro a miembro la expresión determinada (5/x), con lo cual se obtiene la ecuación equivalente : x2 – x = 6; x ≠ 0 ...... (b) cuyas soluciones son x = 3 ó x = –2, admisibles por ser diferentes de cero. Por lo tanto, las ecuaciones (α) y (b) son equivalentes. Esta propiedad permite realizar la TRANSPOSICIÓN de expresiones de un miembro a otro con signo cambiado, con el objeto de preparar la ecuación como parte de su resolución.

SEGUNDA PROPIEDAD: Si en ambos miembros de una ecuación algebraica, se multiplica o divide por una constante C no nula, resulta una ecuación equivalente a la inicial. Dado un valor real C ≠ 0, se verifican: A = B ↔ A⋅C = B⋅C A B A=B↔ = C C Ejemplo explicativo: 3 x + 1 = 6KK(α) 4 2 Multiplicando mam por 4, se obtiene: 3x + 2 = 24 ...... (b) la cual es equivalente a la ecuación (α). De la ecuación (b), por la primera propiedad, se obtiene: 3x = 22 ...... (g) Del cual se obtiene : x = 22/3 Siendo la única solución, ya que (g), también es equivalente a la ecuación inicial (α). En la ecuación :

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Compendio de Ciencias VIII-C En el caso de una ecuación fraccionaria, al multiplicarse por una expresión dependiente de la incógnita (MCM de los denominadores), no siempre se obtendrá una ecuación equivalente a la inicial. Ejemplo explicativo: En la ecuación fraccionaria:

(

)

2 x +1 + 2 3x = x − 2 K(α) x+2 x + x − 2 x −1 Considerando que: x ≠ –2 y x ≠ 1, multiplicamos mam por el: MCM = (x+2) (x–1) ≠ 0 Se obtiene: 2 (x+1) (x–1) + 3x = (x–2) (x+2) la cual se reduce a: x2 + 3x + 2 = 0 ....... (b) cuyas soluciones son: x = –1 ó x = –2. Pero x = –2 no es solución de la ecuación inicial; y por ello, las ecuaciones (α) y (b) no son equivalentes. CONSECUENCIA IMPORTANTE: Si en ambos miembros de una ecuación fraccionaria reducida, se simplifica en los denominadores un mismo factor que contenga a la incógnita, no se pierden soluciones. Pero, si se simplifica en los numeradores, para no perder soluciones, previamente dicho factor deberá igualarse a cero.

Álgebra TERCERA PROPIEDAD: En la resolución de una ecuación no irracional dentro de  , si ambos miembros se radican con un mismo índice, la ecuación que resulta no es equivalente a la ecuación inicial. Pero, si dicha ecuación se resuelve en  , al efectuar la misma operación, se obtendrá una ecuación equivalente a la inicial. Para mayor precisión, veamos los siguientes ejemplos explicativos: 1 ) Sea la ecuación : x2 – 9 = 0 ↔ x2 = 9 En  : Extrayendo raíz cuadrada mam: x2 = 9 ↔ | x| = 3 Por definición: x = 3 ó x = –3 En  : Despejando x: x = 9 (raíces cuadradas de 9) Se obtienen: x = 3 ó x = –3 La ecuación propuesta, al ser analizada en  y  , nos da las mismas soluciones. 2)

3

4 =3 ↔ x = 4 x 3 Finalmente, el conjunto solución será :

{ }

S= 2,

4 3

x3 =

3

8 ↔x=2

En  : Despejando x: 3

x = 8 (raíces cúbicas de 8) Se obtienen:

x = 2 ó x = 2w ó x = 2w2 donde w es una de las raíces cúbicas imaginarias de la unidad.

4x − 8 = 3x −6 2 x +1 x +x Expresándola de otra manera :

cuyas restricciones son: x ≠ 0 y x ≠ –1. Además: x –2 = 0 ↔ x = 2 es una solución de la ecuación inicial. Simplificando se obtiene la nueva ecuación:

x3 = 8

En  : Extrayendo raíz cúbica mam:

Por Ejemplo: En la ecuación racional:

4 ( x − 2) 3 ( x − 2) = x ( x + 1) x +1

Sea la ecuación: x3 - 8 = 0

Se observa que la ecuación al ser analizada en  , ha perdido dos soluciones. 3)

Sea la ecuación: x4 – 16 = 0 ↔ x4 = 16 En  : Extrayendo raíz cuarta mam: 4

x4 =

4

16 ↔ | x | = 2

Por definición: x = 2 ó x = -2 En  : Despejando x: 4

x = 16 (raíces cuartas de 16) Se obtienen: x = 2 ó x = –2

x = 2i

ó

x = –2i

(

)

Donde i es la unidad imaginaria i = −1 .

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4)

Álgebra

También aquí la ecuación al ser analizada en  , ha perdido dos soluciones.

Vamos a analizar la ecuación en  , para obtener todas las raíces. Para lo cual extraemos raíz cúbica a cada miembro:

En la ecuación racional: (2x + 3)3 = (x – 5)3

2x + 3 = 3 1 (raíces cúbicas de la unidad) x −5 Del cual resultan:

Observamos que ésta no se verifica para x = − 3 2 ó x = 5; esto quiere decir que ambos miembros son diferentes de cero. Luego, dividiendo mam entre (x – 5)3:

( 2xx−+53 )

3

2x + 3 = 1 ó 2x + 3 = w ó x −5 x −5 Despejando se obtienen: x = −8

=1

ó

x = 5w + 3 w−2

2x + 3 = w 2 x −5 2

ó

x = 5 w2 + 3 w −2

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CONCEPTO.Denominada también ECUACIÓN LINEAL, es aquella ecuación polinomial de una incógnita, que se reduce a la forma general : ax + b = 0 ; a ≠ 0 Cuya solución o raíz es:

x = −b a

DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN: ax + b = 0 Primer Caso. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 La raíz x = –b/a es única, y la ecuación resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma: ax + b = 0 Segundo Caso. Si a ≠ 0 y b = 0 La raíz x = 0 es única y la ecuación también resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma: ax + 0 = 0 Tercer Caso. Si a = 0 y b = 0 La ecuación se verifica para todo valor que toma la incógnita x; esto quiere decir que, la ecuación es COMPATIBLE INDETERMINADA de primer grado, de la forma:0x + 0 = 0

Cuarto Caso. Si a = 0 y b ≠ 0 La ecuación no se verifica para ningún valor de la incógnita; lo cual indica que, la ecuación es INCOMPATIBLE de primer grado de la forma: 0x + b = 0 La cual se reduce a: b = 0 y esto contradice la condición de este caso. Para nuestro propósito, nos limitaremos al estudio de las ecuaciones compatibles determinadas de primer grado de la forma: ax + b = 0 ; a ≠ 0 APLICACIONES DIVERSAS: 1 . De la ecuación lineal consistente: mx − 5 = 4 x + m 3 2 Que se puede afirmar respecto del parámetro “m”, si esta admite solución única. • Por transposición de términos: mx − 4 x = m + 5 3 2 Efectuando operaciones de reducción:

( m −312 ) x = m +210 Si es compatible determinada, la condición es: m − 12 ≠ 0 3

→ m ≠ 12

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra 24 ≠ 9q

Es decir, para cualquier valor de m distinto de 12, la ecuación admite una única solución, la cual es:

( mm +− 1012 )

x=3 2 2.

De la ecuación lineal mostrada:

( a + 1) 3

x

− b = 3x − b −1 4 2 6

que se deduce, si ésta admite infinitas soluciones. • Transponiendo términos, se tiene:

( a + 1)

x

3

− 3x = b − b −1 2 4 6

( a 3+ 1 − 32 )

x=

3 b − 2 ( b − 1) 12

Efectuando:

( 2a6− 7 )

x = b+2 12

Simplificando:

( 2 a − 7 ) x = b +2 2 Si la ecuación es indeterminada, debe tomar la forma: 0x = 0 Por ello: 2a – 7 = 0 → a = 7/2 b + 2 = 0 → b = –2 3.

∴

(9 − 2 p − 2 q ) x = (6 + 4 p − 5 q) 14243 14243 =0

≠0

Si no acepta solución alguna, la igualdad debe ser ABSURDA. Por esto, se deben cumplir: 9 – 2p – 2q = 0 ∧ 6 + 4p – 5q ≠ 0 9 = 2 (p + q) ∧ 6 + 4 (p+q) – 9q ≠ 0 p + q = 9 K(α) 2

∧ 6 + 4 (9/2) – 9q ≠ 0

p ≠ 11 6

Reemplazando en (α):

SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA ECUACIÓN COMPATIBLE DETERMINADA DE COEFICIENTES REALES: ax + b = 0 Dada la función real de variable real definida por la regla de correspondencia: y = F(x) = ax + b ; a ≠ 0 Cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una LINEA RECTA, obtenida al unir los puntos cuyas coordenadas (x; y) verifican la condición: y = F(x) Donde la constante a es la pendiente de la recta, cuyo valor resulta de a = Tga, y la constante b es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. De acuerdo al valor de la pendiente, esta recta se inclina de dos maneras; veamos: •

Si a > 0 Y y= F(x)

Qué condiciones se debe establecer para que la ecuación algebraica: x − p +1 x + q − 2  p + q  + =  x 5 4  10  Sea incompatible. • Multiplicando mam por el MCM = 20: 4(x–p+1) + 5(x+q–2) = 2(p+q) x reduciendo se tiene : 9x – 4p + 5q – 6 = (2p+2q) x por transposición de términos:

q≠8 3

(0;b) α X

– b ;0 a •

Si a < 0 Y

y= F(x)

(0;b) α

– b ;0 a

X

En la regla de correspondencia : y = ax + b Si y = 0, se obtiene ax + b = 0 (Ec. de 1er. grado).

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Compendio de Ciencias VIII-C donde x = –b/a (Raíz de la ecuación); y estos valores

)

(

b dan origen al par ordenado − a ;0 , que representa al punto de intersección de la recta y = F(x) con el eje de abcisas. Ejemplo (1) Resolver gráficamente la ecuación:

•

3x +2 =0 4 Esbozemos la gráfica de la función lineal: y = F( x ) = 3 x + 2 4

Álgebra Ejemplo (2) Resolver gráficamente la ecuación: –x – 5 = 0 • Esbozando la gráfica de y = F(x) = –x – 5 resulta: P (-5;0)

α

(0;-5)

tgα = –1 α = 135º la abcisa del punto P es la solución de la ecuación dada: x = −5

tg α =

3 4

α = 37º

Ejemplo (3) Resolver gráficamente la ecuación: 2x = 0 • Esbozemos la gráfica de y = F(x) = 2x tal como se indica:

Observar que la abcisa del punto P, es la solución de la ecuación: x=−

8 3

α P= (0;0) tgα = 2 α = 63, 5º Observamos que el punto P, coincide con el origen de coordenadas, y la abcisa de este, es la solución de la ecuación: x =0

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Álgebra

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Demostrar que:

(

x 2 + 10 x + 24 = x + 5 x −4 x 2 − 8 x + 15

)

2

tiene raíz única.

Resolución:

Determine la raíz única de la ecuación.

(

x 2 + 12 x + 35 = x + 6 x −2 x2 −4x +3

)

2

Resolución:

2

2

x + 10 x + 24 = x + 10 x + 25 x 2 − 8 x + 15 x 2 − 8 x + 16

Haciendo el cambio de variable: x 2 + 10 x + 24 = a x 2 − 8 x + 15 = b ⇒ a = a +1 ⇒ a = b b b +1 x 2 + 10 x + 24 = x 2 − 8 x + 15 18x = -9 x = - 1/2 Raíz única L.q.q.d.

1 . Resolver la ecuación:

4 . Resolver:

(

2x −1 = x +3 3 2 6 Rpta.: ........................................................ 2 . Resolver la ecuación:

Rpta.: ........................................................ 5 . Resolver:

(

) (

)

3 1− 3 + 2 1− 2 =1 2 x 3 x

x +2− x = x −5 2 12 6 4 Rpta.: ........................................................

)

2x − 3 − 1 = 7 + 3x 5 4 6 6 4

Rpta.: ........................................................ 6 . Resolver:

3 . Resolver: 3x + 2 − x + 3 = 4 x + 3 + x − 2 2 3 6 4 Rpta.: ........................................................

3 x − 14 + x + 2 = −4 16 24 Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

7 . Resuelva la ecuación:

15. Resolver la ecuación en función de a, b y c.

x − 3 x − 11 + 33 − x = 0 55 66 44

(

x −a + x −b + x −c = 2 1 + 1 + 1 bc ac ab a b c

)

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................

8 . Resuelva la ecuación: 2 x − 49 + x + 77 = 4 35 14

16. Resolver:

Rpta.: ........................................................

8 x + 34 − x − 187 = 5 x − 51 − 3 x − 17 85 119 34 68

9 . Resuelva la ecuación: 5 x + 56 − 3 x + 40 = x + 18 − x − 72 32 64 10 24 Rpta.: ........................................................ 10. Resolver: 4 x + 217 − x − 155 = 2 x + 434 − 2 x − 217 155 186 93 279 Rpta.: ........................................................ 11. Resuelva:

(

x + 8 x + 15 = x + 4 x −3 x2 − 6x + 8 2

)

Rpta.: ........................................................

17. Resuelva:

(

x −a + x −b + x −c = 2 1 + 1 + 1 bc ac ab a b c

)

Rpta.: ........................................................

18. Resolver la ecuación: 2

(

x 2 + 8 x + 15 = x + 4 x −5 x 2 − 10 x + 24

)

2

Rpta.: ........................................................ 12. Resolver en función de a y b a − x − b − x = 2(a − b ) a b ab

Rpta.: ........................................................

19. Resuelva: x +1 + x − 2 =3 x +1 − x − 2

Rpta.: ........................................................ 13. Resuelva: (x + 2)2 (x − 2)2 = 2(2x + 1) + 25 + 8 8

Rpta.: ........................................................ 14. Resolver la ecuación:

(8 x − 13 )( 2 x + 15 ) = 16 ( x − 14 )( x + 41 )

Rpta.: ........................................................

20. Resuelva: x +1 = x + a + b x −1 x + a − b

Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

1 . Resolver la ecuación:

4 . Resuelva:

A) 4/5

B)

1/2

D) 4/3

E)

7/3

C)

1/3

2 . Resolver:

(2x–1)

) (

(

)

a 1− a + b 1− b =1 b x a x

15 x + 2 − 21 x = 3 x + 1 2 4 4 A) 0

B)

1

D) a+b

E)

a/b

C)

ab

5 . Halle x en: 2

2

+ (3x+5) = 13(x+1)(x–1) + 143

A) 2

B)

3

D) 6

E)

8

C)

(

x 2 + 12 x + 35 = x + 6 x −4 x 2 − 8 x + 15

4

3 . Resuelva:

A) 0

B)

–1

D) –1/2

E)

1/2

)

2

C)

1

5 x + 56 − 3 x + 40 = x + 18 − x − 72 32 64 10 24 A) 48

B)

52

D) 72

E)

24

C)

36

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Compendio de Ciencias VIII-C CAPÍTULO

Álgebra

22 OBJETIVOS • En el nivel elemental, hacer notar que de las ecuaciones polinomiales, la más importante, es la ecuación cuadrática; por su conformación característica y sus propiedades inherentes, bastante usuales en todas las ramas de la matemática. • En el álgebra funcional, el análisis del parámetro crítico denominado discriminante (∆ = b2–4ac), es muy importante para entender el comportamiento y la variabilidad de la función cuadrática: F(x) = ax2 + bx + c ; a ≠ 0 • En el caso de ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales y discriminante negativo, aprenderemos a trabajar con raíces imaginarias y la riqueza teórica que encierra este tipo de numerales definidos en el conjunto C, como ampliación necesaria del conjunto de los números reales.

IN TRODUC CIÓN: ABEL NIELS HENRIK (1802 – 1829) Matemático noruego, el primero en demostrar de forma concluyente la imposibilidad de resolver con un proceso elemental de álgebra general las ecuaciones de cualquier grado superior a cuatro. Nació en la isla de Finnoy, Rogaland Country. Después de estudiar en la Universidad de Cristianía (hoy Oslo) pasó dos años en París y Berlín y un año antes de su temprana muerte fue nombrado instructor de la universidad y escuela militar de Cristianía. Su aportación fundamental fue la teoría de las funciones. Una importante clase de funciones trascendentales se denominan (después de su descubrimiento) como las ecuaciones, grupos y cuerpos abelianos. El teorema del binomio fue formulado por Isaac Newton y el matemático suizo Leonard Euler, pero Abel le dio una generalización más amplia, incluyendo los casos de exponentes irracionales e imaginarios. Newton, Isaac (1642 - 1727), matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhlem Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano Abel, NielsHenrik de 1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller.

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

Después de una interrupción de casi dos años provocada por una epidemia de peste, Newton volvió al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667. Recibió el título de profesor en 1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigación de los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la naturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó descubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

D EFIN ICIÓN :

De la solución general, se obtienen:

Denominada también ECUACIÓN CUADRÁTICA, es aquella ecuación polinomial de una incógnita de la forma general: a≠ 0

ax2 + bx + c = 0 ; RESOLUCIÓN DE SEGUNDO GRADO:

x 1 = −b + ∆ 2a

LA

ECUACIÓN

Sea: ax2 + bx + c = 0 ;

a ≠ 0 ...... (1)

DE

Multiplicando por “4a”, así: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 Transponiendo : 4a2x2 + 4abx = –4ac Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto : 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac Luego: (2ax + b)2 = b2 – 4ac Extrayendo raíz cuadrada, se tiene:

ó

x 2 = −b − ∆ 2a

Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial: ax2 + bx + c = 0 ;

a≠ 0

Se reemplazan directamente los valores de los parámetros a, b y c. Pero, si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de estos. DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES: ax2 + bx + c = 0 La naturaleza de las raíces de la ecuación:

| 2 ax + b | = b 2 − 4 ac 2 ax + b = ±

b − 4 ac 2

ax2 + bx + c ;

a, b, c ∈ R

y a≠ 0

viene caracterizada por el valor que asume el discriminante ∆, es decir:

Despejando la incógnita “x”, resulta: 2 x = −b ± b − 4 ac 2a

que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.

1er. Caso: Si ∆ > 0, las raíces serán reales y diferentes. Por ejemplo: Resolver: 3x2 – 5x + 1 = 0 *

Cálculo del discriminante: ∆ = (–5)2 – 4(3)(1) = 13 donde : ∆ > 0

DISCRIMINANTE O VARIANTE Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general : b2 – 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayúscula “∆”; es decir : ∆ = b 2 − 4 ac

Luego, reemplazando en la solución general: x=

−(−5) ± 13 2(3)

De aqui: x1 =

5 + 13 6

ó

x2 =

5 − 13 6

Las raíces son reales y diferentes.

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Álgebra

2do. Caso:

Ejemplo explicativo:

Si ∆ = 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.

Resolver gráficamente : 2x2 – x – 15 = 0 Esbozemos la gráfica de la función cuadrática(*). y = F(x) = 2x2 – x – 15

Por ejemplo: Resolver: 4x2 – 12x + 9 = 0 Análogamente: ∆ = (–12)2 – 4(4)(9) = 0 En la solución general:

x=

y=F (x)

−(12) ± 0 2(4)

P

3 De aquí: x 1 = x 2 = 2 Si ∆ < 0, las raíces serán imaginarias y conjugadas. Por ejemplo: De igual manera : ∆ = (–2)2 – 4(1)(2) = –4 donde: ∆ < 0, y en la solución general: −(−2) ± −4 2(1) De aquí: x1 = 1 + i ó x2 = 1 – i las cuales son imaginarias y conjugadas. x=

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES Sean las funciones: ax2 + bx + c ;

las abcisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.

5   5 → y = −  = 0 2  2  x = 3 → y = F(3) = 0 

Si: F(x) = G(x) ..... (a) Se obtiene la ecuación cuadrática:

 5  P = − ; 0  2  Q = (3; 0)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES. En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0

CARACT. DEL COEFICIENTE DISCRIMINANTE PRINCIPAL

a≠ 0

De la igualdad de funciones (a), se deben calcular aquellos “x” (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de éstas funciones, como se muestra en la figura: y

∆>0

a> 0

a< 0

REPRESENTAC. NATURALEZA GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES

x1

x1

x2

x2

a> 0 x 1= x 2

y= G(X) Q (x2;y2)

x

y x1 ≠ x2

Siendo las abcisas de los puntos de intersección (x1;0) y (x2;0) de las gráficas de F y G, las raíces o ecuaciones de la ecuación cuadrática: ax2+bx+c = 0; a ≠ 0

LAS RAÍCES SON REALES Y DIFERENTES x1 = x2

∆=0

y= F(X)

donde y1 = y2 = 0

Se generan los puntos :

x =−

Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante “∆”. Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:

a≠ 0

y = G(x) = 0

P (x1;y1)

x

Observar que, para:

Resolver: x2 – 2x + 2 = 0

ax2 + bx + c = 0 ;

Q (3;0)

- 5 ;0 2

3er. Caso:

y = F(x) =

F

y

∆ 0

a< 0

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Álgebra

PROPIED AD:

Se cumplen las relaciones de Viéte:

Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0

•

Si su discriminante ∆ es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados.

x 1 + x 2 = − 6 = −3 2 x ⋅x = 3 1 2 2 2 ∆ = (6) - 4(2)(3) = 12 ; luego:

•

x 1 − x 2 = 12 = 2 3 = 3 2 2

•

Ejemplo: Resolver : 2x2 – x – 6 = 0 *

Cálculo del discriminante:

PROPIEDADES AUXILIARES:

∆ = (–1)2 – 4(2)(–6) = 49 (cuadrado perfecto)

T4. (x1 + x2)2 + (x1 – x2)2 = 2 (x12 + x22)

Luego reemplazando en la solución general:

T5. (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2

x=

−(−1) ± 49 ; de la cual se obtienen: 2(2) x1 = 2

ó

x2 = –3/2

Las cuales son números racionales. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA (Teoremas de Viéte) Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ;

a≠ 0

entonces, se verifica las siguientes propiedades: T1. Suma de Raíces x + x = −b 1 2 a T2. Producto de Raíces

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS RAÍCES (Teorema Recíproco de Viéte). Demostración Inductiva: Sean x1 y x2 las raíces de cierta ecuación cuadrática de incógnita “x”; es decir: x = x1 ó x = x2 Por transposición de términos, se tienen: x – x1 = 0 ó x – x2 = 0 los cuales se obtienen a partir de: (x – x1) (x – x2) = 0 Efectuando : x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 llamando a : x1 + x2 = S y : x1 ⋅ x2 = P x 2 − Sx + P = 0 K(ω)

Se obtiene:

(A esta ecuación se le denomina canónica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad).

x1 ⋅ x 2 = c a T3. Diferencia de Raíces x −x = 1

2

∆ a

Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos). Ejemplo Explicativo:

Ejemplo explicativo (1): Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean

3 + 29 10

3 − 29 10

* Asumiendo que dichos valores son x 1 y x 2 respectivamente. Calculemos S y P por separado: S=

Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática: 2x2 + 6x + 3 = 0

ó

 3 + 29 P =  10 

3 + 29 3 − 29 6 3 + = = 10 10 10 5

  

 3 − 29   10

2

 3 2 − 29 20 1 =− =−  = 100 100 5 

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Álgebra

()

( )

x2 − 3 5

x + −1 = 0 5

que expresada con coeficientes enteros, resulta: 5x2 – 3x – 1 = 0 Ejemplo explicativo (2): Construir una ecuación cuadrática que acepte como

( )

3+i raíces a 2

ó

a≠ 0

ax2 + bx + a = 0 ;

Aplicando la fórmula “w”, se tiene:

A3 ) Una de sus raíces es igual a la unidad Es decir x = 1, verifica la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 reemplazando este valor, resulta la condición necesaria y suficiente: a+b +c =0

(−1 + 2 i)

Calculando S y P, se tienen:

( ) −5 + 5 i P = ( 3 + i ) ⋅ (−1 + 2 i) = 2 2

1 + 5i S = 3 + i + (−1 + 2 i) = 2 2

La ecuación formada, será: 1 + 5i  −5 + 5 i  x2 − x +  =0  2   2  La cual reduce a: 2x2 – (1 + 5i)x – 5 + 5i = 0

B ) Para el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas: a1x2 + b1x + c1 = 0 ; a1 ≠ 0 a2x2 + b2x + c2 = 0 ; a2 ≠ 0 La condición que se debe cumplir para que: B 1) Ambas ecuaciones tengan las mismas raíces Es decir, que las ecuaciones sean equivalentes. Se debe cumplir la relación de proporcionalidad entre los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, la cual es: a

1

Siendo : i = −1 , la unidad imaginaria. PROPIEDADES PARTICULARES: A ) En la ecuación : ax2 + bc + x ; a ≠ 0 La condición que se debe cumplir para que:

a

2

=

b b

1

=

2

c c

1 2

B 2) Ambas ecuaciones admitan una raíz común - Teorema de Bezout (a1 b 2 − a2 b1 )(b1 c 2 − b 2 c1 ) = (a1c 2 − a2 c1 ) 2

A1 ) Sus Raíces sean asimétricas u opuestas Es decir, las raíces sean iguales en valor absoluto pero de signos contrarios. b Por propiedad : x 1 + x 2 = − = 0 a

Siendo esta relación, la CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD conocida con el nombre de BEZOUTIANA, para que dos ecuaciones cuadráticas de una incógnita, tengan una raíz común, cuyo valor se determina así:

luego, la condición necesaria y suficiente es :

La ecuación cuadrática que admite raíces simétricas, es de la forma genérica : ax2 + c = 0 ; a ≠ 0 , c ≠ 0 A2 ) Sus Raíces sean recíprocas o inversas Es decir, una raíz es la inversa de la otra. c Por propiedad: x 1 ⋅ x 2 = = 1 a Entonces, la condición necesaria y suficiente es:

c= a

la ecuación cuadrática que admite raíces recíprocas, tiene la forma genérica:

a

c

a

c

1

b =0 x=−

2

a

1

a

2

1

b b

2 1

=−

a c −a c 1 2

2 1

1 2

2 1

a b −a b

2

FORMAS SIMÉTRICAS DE LAS POTENCIAS DE LA RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Se denomina así a las expresiones de la forma n (x 1 +x 2 n ), n∈Z + , cuya característica es que al intercambiar x1 por x2 y x2 por x1, la forma de la expresión original no se altera; siendo x1 y x2 raíces de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0

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Compendio de Ciencias VIII-C Establezcamos una fórmula que nos permita relacionar la suma de las raíces, de los cuadrados, de los cubos, de las cuartas, y en general de las enésimas potencias de las raíces; las cuales denotaremos por S1, S2, S3, S4, y en general Sn. Para facilitar el procedimiento de la deducción llevaremos la ecuación cuadrática general a su forma canónica: x2 + px + q = 0 p=b y q=c a a y además : x1 + x2 = –p y

donde :

Álgebra Por lo tanto, de (α), (β), (γ), (φ), resumiendo: S1 + p = 0 S2 + pS1 + 2q = 0 S3 + pS2 + qS1 = 0 S4 + pS3 + qS2 = 0 .............................

b ; q=c y teniendo en cuenta que: p = a a la relación anterior se podrá escribir así:

x1x2 = q .... (θ)

Construyendo progresivamente las sumas requeridas: 1º ) x1 + x2 = S1 = -p ..... (1) S1 + p = 0 ..... (α) 2º ) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2(x1x2) De los (θ), reemplazando:

S n + p S n −1 + q S n − 2 = 0

En general :

a S n + b S n −1 + c S n − 2 = 0 A la cual se le denomina LEY GENERAL DE RECURRENCIA de las potencias de las raíces de la ecuación cuadrática. Ejemplo Explicativo:

(

) + (1 − 3 ) Podemos considerar que (1 + 3 ) y (1 − 3 ) son

Calcular: N = 1 + 3

x12 + x22 = (–p)2 – 2(q) Luego: x12 + x22 = S2 = p2 – 2q ..... (2) S2 – p2 + 2q = 0 S2 + pS1 + 2q = 0 ...... (β) De la misma manera:

•

6

6

raíces de una ecuación de segundo grado; es decir: x =1+ 3 1

y

x =1− 3 2

y la ecuación de la cual provienen es : 3º ) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3(x1x2) (x1 + x2) Por (1) y (θ), reemplazando: x13 Luego:

x13

+

x23

(–p)3

=

+

x23

= S3 = –p3 + 3pq ...... (3)

– 3(q)(–p)

S3 + p3 – 3pq = 0 S3 + p (p2 – 2q) + q (–p) = 0 De (1) y (2), se deduce que: S3 + pS2 + qS1 = 0 ..... (γ) Asimismo: 4º ) x14 + x24 = (x1+x2)4 – 4(x1x2) (x12+x22) – 6(x1x2)2

x2 - (x1 + x2)x + (x1x2) = 0 reemplazando dichos valores se obtiene : x2 – 2x – 2 = 0 ..... (1) Luego : p = -2 y q = –2 Entonces, la expresión N nos representa la suma de las SEXTAS POTENCIAS de las raíces de la ecuación (1). Así : S6 = x16 + x26 Este valor, se puede obtener aplicando sucesivamente la ley general de recurrencia. Tal como sigue : → S1 = 2

Sustituyendo de (θ) y de (2):

S1 - 2 = 0

x14 + x24 = (–p)4 – 4(q)(p2 – 2q) – 6(q)2

S2 - 2S1 - 4 = 0

→

S2 = 8

x14 + x24 = S4 = p4 – 4p2q + 2q2

S3 - 2S2 - 2S1 = 0

→

S3 = 20

S4 - 2S3 - 2S2 = 0

→

S4 = 56

S5 - 2S4 - 2S3 = 0

→

S5 = 152

S6 - 2S5 - 2S4 = 0

→

S6 = 416

Luego:S4 – p4 + 4p2q – 2q2 = 0 S4 + p(–p3 + 3pq) + q(p2 – 2q) = 0 De (2) y (3), reemplazando : S4 + pS3 + qS2 = 0 ...... (φ)

Finalmente: N = 416.

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ECUACIÓN BICUADRADA D E F IN IC IÓN Son aquellas ecuaciones polinomiales de cuarto grado que no admite términos de grado impar; es decir; son de la forma general: ax4 + bx2 + c = 0 ; a≠ 0 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN B IC U AD R AD A Sea :

ax4

+

bx2

+ c = 0 ; a ≠ 0 ..... (1)

Realizando el cambio : x2 = y, la ecuación (1) se puede transformar a una de segundo grado, llamada ECUACIÓN RESOLVENTE, de la forma: a≠ 0

ay2 + by + c = 0 ;

luego, las raíces por separado son: x 1 = + −3 + 7 = 1 ; x 2 = − −3 + 7 = −1 4 4 Además: x = + −3 − 7 = 10 i 3 4 2 10 x = − −3 − 7 = − i 4 4 2

Algunas ecuaciones bicuadradas se pueden resolver factorizando el polinomio (ax4 + bx2 + c) en dos factores cuadráticos. Ejemplo (1): Resolver : 9x4 + 481x2 – 10 000 = 0 Aplicando el criterio del aspa simple, se tiene:

Cuya solución general es:

9x4 + 481x2 – 10 000 = 0 2

y = − b ± b − 4 ac 2a

2

+ 625

2

–16

9x x

Como: y = x2, se tiene: 2 x 2 = − b ± b − 4 ac 2a

(9x2 + 625) (x2 – 16) = 0

Por lo tanto:

Igualando a cero cada factor cuadrático: 9x2 + 625 = 0 ó x2 – 16 = 0 2

x = ± − b ± b − 4 ac 2a

K( I)

donde: ∆ = b2 – 4ac (Discriminante o invariante). Siendo ésta, la solución general de la ecuación bicuadrada (1). Haciendo todas las combinaciones posibles de los signos en (I), se obtienen las siguientes raíces: x = + −b + ∆ ; x = − − b + ∆ 1 2 2a 2a x 3 = + − b − ∆ ; x 4 = − −b − ∆ 2a 2a Por ejemplo:

x 2 = − 625 ó 9

x = ± 25 i ó x = ± 4 3 Luego, el conjunto solución S, será: 25  25  S =  i, − i, 4 , − 4  3 3  siendo i = −1 , la unidad imaginaria. Ejemplo (2): Resolver: x4 – 6x2 + 1 = 0 Aplicando el criterio del aspa doble especial; para lo cual, completamos con ceros los términos de grado impar, así: x4 + 0x3 – 6x2 + 0x + 1 = 0

Resolver: 2x4 + 3x2 – 5 = 0 Cálculo del discriminante: ∆ = (3)2 – 4(2)(–5) = 49 Reemplazando en la solución general (I), −3 ± 49 Se tiene : x = ± 2 (2)

x2 = 16

x

2

+ 2x

–1

x

2

–2x

–1

Luego, la ecuación quedará así: (x2 + 2x – 1) (x2 – 2x – 1) = 0 Igualando cada factor a cero, se obtiene: x2 + 2x – 1 = 0 ó x2 – 2x – 1 = 0

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Resolviendo cada ecuación cuadrática por la solución general: x = −1 ± 2

ó

x =1± 2

Finalmente, el conjunto solución de la ecuación es:

{

S = −1 + 2 , − 1 − 2 , 1 + 2 , 1 − 2

}

Ejemplo (3): Resuelva Ud. la ecuación bicuadrada: 1296x4 + 56x2 + 1 = 0 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN BICUADRADA TEOREMAS DE VIÉTE Siendo x 1, x 2, x3 y x 4 son raíces de la ecuación bicuadrada: ax4 + bx2 + x = 0 ; a ≠ 0 los cuales se caracterizan por conformar dos pares de raíces simétricas, es decir: x1 = a ; x2 = –a x3 = b ; x4 = –b donde a y b son valores reales y/o imaginarios. Entre estas raíces y los coeficientes de dicha ecuación, se generan las siguientes relaciones: 1.

Si x1, x2, x3 y x4 son raíces de la misma se verifican las relaciones : •

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

•

x 1 ⋅ x 2 + x 3 ⋅ x 4 = 10 = 5 6 3

•

x ⋅x ⋅x ⋅x = 9 = 3 1 2 3 4 6 2

FORMACIÓN

DE

UNA

ECUACIÓN

BICUADRADA A PARTIR DE SUS RAÍCES (TEOREMA RECÍPROCO DE VIÉTE) Sean x1, x2, x3 y x4 las raíces de cierta ecuación bicuadrada con incógnita “x”; es decir: x = x1 ó

x = x2

ó

x = x3

ó

x = x4

los cuales se obtienen a partir de la ecuación: (x - x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4) = 0 Multiplicando, se obtiene: x4 - (x1+x2+x3+x4)x3 + (x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2 - (x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x + (x1x2x3x4) = 0 Por las propiedades anteriores, esta relación se reduce a: x 4 + ( x x + x x ) x 2 + ( x x x x ) = 0 K(δ)

Suma de Raíces

1

x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

2

3

4

1

2

3

4

La cual se denomina ecuación bicuadrada canónica, normalizada u ordinaria.

2.

Suma de Productos Binarios de las Raíces Por el Teorema de Cardano - Viéte que veremos a continuación : x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = b/a como : x1 + x2 = 0 y x3 + x4 = 0 la relación anterior se reduce a: x1 ⋅ x 2 + x 3 ⋅ x 4 = b a

3.

Ejemplo (1): Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces sean: 3 3 ,− , 2 y − 2 4 4 Formando las relaciones, se obtienen:

( )( ) ( 2 )( − 2 ) = − 1641

•

x x + x x = 3 −3 + 1 2 3 4 4 4

•

x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 3 − 3 4 4

Producto de Raíces x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = c a

Por ejemplo: Dada la ecuación bicuadrada: 6x4 + 10x2 + 9 = 0

( )( ) ( 2 )( − 2 ) = 98

Luego reemplazando en (d) :

( )

x 4 + − 41 16

()

x2 + 9 = 0 8

Finalmente : 16x4 – 41x2 + 18 = 0

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Álgebra

Ejemplo (2): Construir una ecuación bicuadrada cuyas raíces sean: 3+ 2 3+ 2 , − , 2 2

3− 2 2

y

3− 2 2

−

Hallando separadamente los productos de:     x ⋅ x =  3 + 2  − 3 + 2  = − 3 + 2 1 2  2   2  2      x ⋅x = 3− 2 3 4  2  Sumando, se obtiene:

   

2

4 x = 10 + 11 2 4 x − 10 = 11 Nuevamente al cuadrado, se obtiene:

16x4 – 80x2 + 100 = 11 Transponiendo 11, resulta lo que nos piden: 16x4 – 80x2 + 89 = 0

Multiplicando, resulta: 1

2

3

4

10 + 11 2

2 x = 10 + 11 Elevando al cuadrado m.a.m.:

 3 − 2  = −3 − 2 −   2  2  

(3)2 − 2 4

10 + 11 2 Una forma práctica es racionalizando gradualmente este valor irracional, así:

ros, una de cuyas raíces es:

x=

x ⋅ x + x ⋅ x = − 6 = −3 1 2 3 4 2

x x x x =

Ejemplo (3): Muestre la ecuación bicuadrada de coeficientes ente-

2

=7 4

Ejemplo (4): Demuestre Ud. que el valor irracional:

Reemplazando en (d), se tiene:

()

x 4 + (−3) x 2 + 7 = 0 4 Expresando esta ecuación canónica con coeficientes enteros, así: 4x4 – 12x2 + 7 = 0

2a + a2 − b 2 ; a>b >0 3 es una de las raíces de la ecuación bicuadrada: 9x4 – 12ax2 + 3a2 + b2 = 0 Siendo a y b números racionales.

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

Demostrar el teorema de Viéte. Si x1 y x2 son raíces 2 de la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0; (a ≠ 0)

x ⋅x = c 1 2 a

x + x = −b 1 2 a

Demostrar que

Demostrar que:

Sabiendo que x1 y x2 son raíces de la ecuación 2 cuadratica ax + bx + c = 0; (a ≠ 0)

Resolución: 2

2

x = − b + b − 4 ac ; x = −b − b − 4 ac 1 2 2a 2a

Resolución:

Sumando: 2

2

x + x = − b + b − 4 ac + − b − b − 4 ac 1 2 2a 2a x +x = 1

⇒

2

−b +

2

b − 4 ac − b − 2a

x + x = −b 1 2 a

2

b − 4 ac

=−

2b 2a

l.q .q .d .

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1.

Resolver las ecuaciones en “x” factorizando:

Álgebra

7.

A) x 2 − x − 6 = 0

Dar como respuesta al producto de raíces en la ecuación: 3 x − 4 2x − 1 8x 3 + = 2 + x −2 x +2 4 x −4

B) 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 C) x 2 + 5 x − 36 = 0

Rpta:.........................................................

2 D) 4 x = 32 x − 64

E) 10 x 2 − 13 x − 3 = 0

8.

2 x + m x + 18 = 0 tiene una raíz igual a: – 3.

Rpta:......................................................... 2.

2

B) 3 x + 7 x + 2 = 0 2

C) 2 − 4 x − x = 0 2

D) 5 x = 8 x − 8 E) 6 x 2 + 7 x + 8 = 0 Rpta:......................................................... 3.

Hallar el conjunto solución de la ecuacion de 2do. grado. x2 x 3 − = 5 2 10 Rpta:.........................................................

4.

Rpta:.........................................................

Aplique la fórmula cuadrática para resolver en “x” A) x 2 − 2 x − 4 = 0

Resolver la ecuación: 16 16 + =6 x+2 x −2

¿Qué valor debe tomar “m” si la ecuación

9.

x y x 1

2

son raíces de la ecuación: 5 x 2 + 11 x + 1 = 0

Calcular: x 12 + x 22 Rpta:......................................................... 10. x1 y x 2 son las raíces de la ecuación: x 2 − px + 36 = 0 Determine “p” de modo que: 1 1 5 + = x x 12 1

2

Rpta:......................................................... 11. " α " y "β " son raíces de la ecuación: 2

x −x −3=0 Calcular E = α 3 + β3 .

Rpta:......................................................... 5.

Resolver la ecuación: x +4 3x − 1 + =3 x x+ 3

Rpta:......................................................... 6.

Calcular la suma de raíces de la ecuación: 4 x − 1 5 − 3x − =3 3−x 2+ x

Rpta:.........................................................

12. La suma de raíces de la ecuación: (m − 4)x 2 − m x + 1 = 0 es 8; calcular “m”

Rpta:.........................................................

Rpta:.........................................................

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Álgebra

13. x1 y x 2 son las raíces de la ecuación:

17. x1 y x 2 son raíces de la ecuación: x 2 − 3x + 5 = 0

2

x + 10 = 5 x Calcular el valor de: 1   1  x + x   1 2

2 2 Calcular: x1 + x 2 A) 0 B) D) 4 E)

−1

Rpta:........................................................

2 x 6 −

2

+ nx + 3 m = 0 ∧

2x

2

+ 5x + n = 0

Rpta:.........................................................

A) D)

3 11

A) D)

2

(5 x − 4) − (3 x + 5)(2 x − 1) = 20 x (x − 2) + 27 6 24

C)

b 3b/2

4.

6x + 5x + 1 = 0 B) 1/3 E) 1

3.

9

C)

1/4

4 10

C)

2x − b −x 2x + = b x +b 4b B) b + 1 C) E) b/3

calcular (m + n) A) 0 B) D) 2 E)

x y x son raíces de la ecuación x − 5 x + 5 = 0 ; 1 2 5. 70 75

B) E)

9

b/4

x2 + mx + n = 0

2

3 3 calcular: x 1 + x 2 A) 40 B) D) 80 E)

C)

m y n son raíces de la ecuación:

2

2.

5 2

8

Indicar la mayor raíz de: – 1/2 1/6

2 x

=

20. Indicar la suma de raíces de la ecuación:

16. El producto de raíces de la ecuación:

A) D)

6− x

x − 13 10(5 x + 3) ; es : =5− x x2

Presentan el mismo conjunto solución determinar “m – n”.

1.

–1

19. Una de las raíces de la ecuación:

30 x

B) E)

x

+

indicar una de las raíces. A) 1 B) 4 D) 25 E) 36

Rpta:.........................................................

es: A) 5 D) 12

C)

18. Al resolver la ecuación:

14. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 9 y 5.

15. Si las ecuaciones:

1 7

C)

2

x + px + 20 = 0

C)

–1

C)

–3

Señale una raíz de:

50

m y n son raíces de la ecuación:

1 –2

2 4x − 3x + 5

x 2 − 2 x + 13 A) D)

7/2 – 7/2

B) E)

– 7/4 1

=2

1 1 + = − 2 ; calcular “P”. además: m n A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

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Compendio de Ciencias VIII-C CAPÍTULO

Álgebra

23 OBJETIVOS • Resaltar la importancia del determinante, como herramienta usual en la resolución del sistema de ecuaciones lineales o reducibles a él. • Exponer los diversos criterios y métodos para resolver sistemas lineales, y presentar los artificios diversos para analizar los sistemas de grado superior, así como los fraccionarios e irracionales. • Presentar el análisis gráfico de los sistemas lineales y de algunos sistemas cuadráticos, es de vital importancia para entender a posteriori, los conceptos básicos del análisis funcional en el plano R2. • En este nivel, expondremos por vez primera y de manera sucinta a los sistemas sobre determinados y a los sistemas lineales homogéneos con sus respectivas propiedades.

D EFIN ICIÓN : Es aquel conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican para los mismos valores de sus incognitas.

Tomando los ejemplos anteriores, se tiene: •

Por ejemplo, las ecuaciones:

Del primer sistema: 3 x + 5 y = 13

3 x + 5 y = 13

7 x − 2y = 3

7 x − 2y = 3

El conjunto solución es: S = {(1; 2)}

Se verifican para x=1 e y=2 Otro ejemplo, las ecuaciones: 4 x + y + z = 12

•

Del segundo sistema: 4 x + y + z = 12

3x − y − z = 9

3x − y − z = 9

Se verifican para: x = 3,

y = 1,

z = −1

El conjunto solución admite infinitos pares ordenados en su extensión.

x = 3,

y = 0,

z=0

Veamos:

x = 3,

y = 2,

z = −2

•

•

•

•

•

•

•

•

•

En este último puede observarse que existen infinitas soluciones. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECU ACIONES Es el conjunto “S” de pares, ternas, cuaternas, etc. de valores que asumen las incógnitas de las ecuaciones, que tienen la propiedad de verificar simultáneamente a las mismas.

S = {(3;1; −1), (3;0;0), (3;2;-2), ......}

SISTEMA EQUIVALENTES Son aquellos sistemas de ecuaciones polinomiales que tieniendo formas diferentes, aceptan el mismo conjunto solución. Por ejemplo, los sistemas de ecuaciones: x + y = 5   < 2 x + y = 8 

>

x + 2y = 7   3x-2y = 5 

Son equivalentes, ya que ambos se verifican para un mismo conjunto solución, el cual es: S = {(3; 2)}

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Compendio de Ciencias VIII-C CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES De acuerdo al número de elementos de su conjunto solución S. Estos pueden ser: 1 . SISTEMAS COMPATIBLES Son aquellos que aceptan por lo menos un elemento en su conjunto solución. Debido a esto, se subdividen en:

Álgebra ECUACIONES INDEPENDIENTES: Son aquellas ecuaciones polinomiales; en la que los coeficientes de las mismas incógnitas, no son proporcionales entre sí. Por ejemplo las ecuaciones polinómicas: x + 3 y = 7   Son independientes x + 5 y = 9  ya que verifican:

a.

Determinados Si admiten un número FINITO de elementos en su conjunto solución. Ejemplo:

Otro ejemplo; las ecuaciones mostradas: 3 x + 2 y + 4 z = 9   NO son independientes 6 x + 4 y + 8 z = 18 

Dado el sistema: x2 +y2 = 5 2 x − 3y = 1 Su conjunto solución admite dos elementos, el cual es:   22 19  S = (2;1),  - ; -   13 13   b.

Indeterminados Si admiten un número INFINITO de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: El sistema mostrado: 3x – 4y – 9z = 2 x+2y – 3z= 4 Admite un conjunto solución de infinitos elementos, el cual es: S = {(2;1;0), (5;1;1), (–1;1;–1),......}

2.

ya que se cumple:

4 x + 5 = 12 + 5 4 y

2x – y = 6 El conjunto solución, es el vacio. Es decir: S = φ Para la segunda forma de clasificar a los sistemas, establezcamos primero la siguiente definición:

3 2 4 = = 6 4 8

De acuerdo al número de ecuaciones independientes y de incógnitas. Estos pueden ser: 1.

SISTEMAS CONSISTENTES Son aquellas que admiten como conjunto solución, el conjunto NO vacío. a) Determinados # ecuaciones independentes = # incógnitas

Por ejemplo en el sistema: 3x + 4y =

11   Se cumple: 2 x − 5 y = −8 

(2) ecuaciones independientes = (2) incógnitas b)

Indeterminados # ecuaciones independentes < # incógnitas

Por ejemplo en el sistema:

SISTEMAS INCOMPATIBLES Son aquellos que NO aceptan elemento alguno en su conjunto solución; o en todo caso, su conjunto solución S, es el vacío φ. Ejemplo: En el sistema racional:

1 ≠ 3 1 5

2 x + y − z = 5   Se cumple: 3 x − y + z = 4 

(2) ecuaciones independientes # incógnitas

Por ejemplo en el sistema: x +y =3   x − y = 1  Se cumple:  3 x + y = 7  (3) ecuaciones independientes > (2) incógnitas

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Compendio de Ciencias VIII-C 2.

Álgebra

SISTEMAS INCONSISTENTES Son aquellos cuyo conjunto solución es el vacío. En este caso, no se puede establecer una relación explícita entre el número de ecuaciones INDEPENDIENTES y el número de incógnitas. Por ejemplo: el sistema mostrado: x+3y=5 2x+6y=7 Es INCONSISTENTE, pero teóricamente no se ajusta a esta forma de clasificación. Debido a

2.

Si en un sistema de ecuaciones, se sustituye una de ellas por la que resulta de multiplicarla por un número real cualquiera (distinto de cero) y sumarla con otra u otras, previamente multiplicadas por números cualesquiera, se obtiene un nuevo sistema, el cual sera EQUIVALENTE al inicial. Veamos los sistemas expuestos: A1 = B1  m1 A1 + m 2 A2 +K + m n An = m1 B1 + m 2 B 2 + K + m n Bn   A2 = B 2  A2 = B 2        y              An = Bn  An = Bn 

1 3 = . 2 6 Es decir, las ecuaciones no son independientes. que se verifica la proporcionalidad :

Son equivalentes Otro ejemplo: El sistema sobredeterminado: 3x + y = 7 2x – y = 3 x +3y= 4 También es INCONSISTENTE. Obsérvese que las ecuaciones son dos a dos, independientes. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Es el proceso de transformaciones sucesivas de las ecuaciones del sistema, en otras equivalentes que permitan despejar los valores de las incógnitas. Considerando que estas transformaciones son elementales y PERMISIBLES, expondremos a cosntinuación tres propiedades de transformación. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE TRANSFOR MAC IÓN 1 . Si en un sistema de ecuaciones, se sustituye una de ellas por la que resulta de sumarle o restarle miembro a miembro, con otra u otras cualquiera de las restantes, se obtiene un nuevo sistema que será EQUIVALENTE a la inicial. Veamos, los sitemas mostrados: A1 = B1  A2 = B 2  • •   • •  • •   An = B n 

y

Son equivalentes.

A1 ± A2 = A2 = • • • An

B1 ± B 2  B 2  •   •   •  = B n 

3.

Un sistema de ecuaciones se transforma en otro equivalente, cuando se reemplaza a una de las ecuaciones, por otra, obtenida multiplicando (o dividiendo) miembro a miembro por otra u otras del sistema, pero con la condición que ninguna de las soluciones del primero, anulan a los dos miembros de la(s) última(s) ecuacion(es). Veamos, los sistemas dados: A1 = A1 = B1  A1 A2 = B1B 2  A 2   A2 = B 2  A2 = B2  A2 =  • •  • •  y y •   • •  • •  • • •  • •  •   An = Bn  An = Bn  An =

B1 B2 B2 • • • Bn

Son equivalentes. ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Denomínese sistema lineal a aquel cuyas ecuaciones conformantes son todas de primer grado. Para resolver un sistema lineal, se utilizan varios procedimientos, tales como: – El criterio de la sustitución – El criterio de la igualación – El criterio de la reducción – El criterio de las gráficas También; procedimientos mucho más prácticos: – Regla de Bezout, de los coeficientes indeterminados. – Regla de Cramer, de los determinantes. – Regla de multiplicación en cruz, para sistema lineales especiales.

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Compendio de Ciencias VIII-C – –

Álgebra

Y de los recursos de las matemáticas superiores: El criterio analítico de las matrices.

En esta oportunidad, utilizaremos solo los procedimientos elementales que el nivel de este texto lo exige. Para una próxima edición, expondremos un estudio amplio y detallado de todos los criterios y reglas mencionadas.

P R O P IE D AD E S D E P R O P O R C IO N AL ID AD Y AN Á LIS IS GR Á FIC O D E LOS S IS TE MAS LIN E ALE S D E 2 IN C ÓG N ITAS Se tiene el sistema lineal: L1 : a1x + b1y = C1 L2 : a2x + b2y = C2

ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL DE 2 INCÓGNITAS REGLA DE CRAMER Los valores de las incógnitas x e y del sistema lineal adjunto: a x +b y =c 1

1

2

dos rectas ubicadas en el plano XOY. Si éstas se intersectan se tiene :

1

a x +b y =c 2

Donde L1 y L2 son las ecuaciones cartesianas de

Y

L1

2

L2

Se obtienen a partir de: ∆y x = ∆x e y = ∆S ∆S Donde los determinantes ∆ se definen así: ∆S =

∆x =

∆y =

a1

b1

a2

b2

c1

b1

c2

b2

a1

c1

a2

c2

y0

P= (x 0;y 0 )

O

= a1b 2 − a2b1 = c1b 2 − c 2 b1

X

Donde las coordenadas del punto de intersección P, nos representa la solución del sistema mencionado: x=xo e y=yo.

= a1 c 2 − a2 c1

Del mismo modo, por Cramer, la solución de dicho sistema lineal es:

Ejemplo explicativo Resolver el sistema lineal: 2x + 5y = 16 7x – 3y = 15

 x = ∆x = X 0  ∆S   y = ∆y = Y 0  ∆S

Calculemos por separado los determinantes: ∆S =

x0

Por ello, se dirá que esta solución es ÚNICA, debido a que el conjunto solución:

2 5 = (2) (-3) - (7) (5) = -41 7 −3

{

S = (x ;y

∆x =

16 15

5 = (16) (-3) - (15) (5) = -123 −3

∆y =

2 16 = (2) (15) - (7) (16) = -82 7 15

0

0

}

es unitario

Pero existen casos en los cuales los determinantes ∆x , ∆y y ∆S son nulos, y al aplicar la Regla de Cramer,, los valores de x e y resultan valores “incomprensibles”. Para aclarar esto, estudiaremos tres casos importantes.

Por Cramer se tiene:

1 º SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

∆x −123 x= = =3 ∆S −41

Si el sistema lineal admite SOLUCIÓN ÚNICA.

∆y −82 y= = =2 ∆S −41

Se deduce que:.

Por lo tanto, el conjunto solución será:

Condición: ∆ S ≠ 0

S=

{(3;2)}

a1 a2

≠

b1 b2

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Compendio de Ciencias VIII-C INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA L1

Y L2 P

Las rectas L1 y L 2

Álgebra ANÁLISIS DE SISTEMAS SOBREDETERMINADOS DE 2 INCÓGNITAS Dado el sistema lineal : ax+by = C mx+ny= p rx+sy = t

son secantes.

Y L1 ∩ L 2 = P

2.

y definamos el determinante del sistema ampliado ∆H , del siguiente modo:

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Si el sistema lineal admite INFINITAS soluciones. Condición: ∆ S = 0; ∆x = 0; ∆y = 0

a

b

c

∆H = m

n

p

r

s

t

Al discutir el sistema, se presentan dos casos:

Se deduce que: a

1

a

=

2

b b

1

=

2

c

1.

c

2

2.

Y L1 L2 Las rectas L1 y L2 son coincidentes. X L1 = L2

SISTEMA INCOMPATIBLE Si el sistema lineal NO admite solución alguna. Condición: ∆ S = 0; ∆x ≠ 0; ∆y =/ 0 Se deduce que: a

1

a

2

=

b b

1 2

≠

c c

1 2

El mismo criterio se aplicará al sistema lineal sobredeterminado de 3 incógnitas: ax+by+cz = d mx+ny+pz= q rx+sy+tz= u fx+gy+hz=k S IS TE M A LIN EAL H OM O GÉ NE O D E 2 I N C Ó G N I TA S El sistema lineal: ax + by = 0 mx + ny = 0 Se denomina homogéneo, debido a que los términos independientes de las ecuaciones son iguales a cero. Este sistema siempre es COMPATIBLE, ya que admite por lo menos la solución trivial o impropia x=0 e y=0. De esto último, se deducen dos casos a estudiar:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA 1.

Y L1 L2

X

Las rectas L1 y L2 son paralelas L1//L2 Es decir: L1 ∩ L2 = φ

Si el sistema lineal es INCOMPATIBLE Condición: ∆H ≠ 0

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

3.

Si el sistema lineal es COMPATIBLE Condición: ∆H = 0

1

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO El sistema homogéneo admite solución única, el cual, es la solución trivial: x=0 e y=0. Condición: ∆S ≠ 0 Se deduce que: a ≠b m n

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Se obtienen a partir de :

x = ∆x ; ∆s

Y Las rectas L1 y L2 son secantes, y su intersección se da en el X origen (0;0) L1 ∩ L2 = P

L2 P= (0;0)

2.

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Se deduce que: a =b m n INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

a1 ∆ S = a2

b1 b2

c1 c2

L1 L2

P= (0;0)

Las rectas L1 y L2 son coincidentes y pasan por el origen (0;0) L1 = L2 X

b1 b2

c1 c2

a3

b3

c3

d3

b3

c3

a1

d1

c1

a1

b1

d1

∆y = a 2

d2

c2

∆z = a 2

b2

d2

a3

d3

c3

a3

b3

d3

∆S = 4 1

2

1

2

1

−1 2 = +42 + 40 + 60 + 10 − 140 + 72 = 84 5 −3

∆y = 4 12 1 10

∆z = 4 1

mx + ny + pz = 0

;

−1 2 = +9 + 4 + 20 + 1-30 + 24 = 28 5 −3

14 ∆x = 12 10

3

ax + by + cz = 0

;

Ejemplo explicativo: Resolver el sistema lineal: 3x + 2y + z = 14 4x – y + 2z = 12 x + 5y – 3z = 10 Mostrando por separado los determinantes y calculándolos por la regla de la estrella:

3 14

El mismo criterio se aplicará al sistema lineal homogéneo de 3 incógnitas:

z = ∆z ∆s

d1 ∆x = d 2

3

Y

∆y ; ∆s

Donde los determinantes ∆ , se definen así:

El sistema homogéneo admite INFINITAS soluciones a parte de la trivial. Condición: ∆S = 0

y=

2

1 2 = −108 + 28 + 40 − 12 − 60 + 168 = 56 −3 14

−1 12 = −30 + 24 + 280 + 14 − 180 − 80 = 28 5 10

rx + sy + tz = 0 El cual siempre es compatible, ya que admite por lo menos la solución trivial: x=0;

y= 0

;

z=0

ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL DE 3 INCÓGNITAS Regla de Cramer Los valores de las incógnitas x, y y z del sistema lineal adjunto: a x +b y +c z =d 1

1

1

1

a x +b y +c z =d 2

2

2

Por Cramer, se tiene: x = ∆x = 84 = 3 ∆ S 28

y=

∆y 56 = =2 ∆ S 28

z = ∆z = 28 = 1 ∆ S 28

Luego, el conjunto solución será: S =

{(3;2;1)}

2

a3 x + b 3 y + c 3 z = d 3

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

Problema desarrollado

Problema por desarrollar

1.

1.

En el sistema mostrado: 2 2 ax + by = a + b ...(I) bx + ay = 2ab ...(II) Demostrar que x = a (Pon la regla de Cramer) Resolución: Según Cramer: ∆S =

a b

b a

∆x =

;

a2 + b 2

b

2 ab

a

En el sistema mostrado: 2 2 ax + by = a + b ...(I) bx + ay = 2ab ...(II) Demostrar que y = b (Pon la regla de Cramer) Resolución:

En efecto: ∆S =

∆x =

a b

b a

= a2 − b 2

a2 + b 2 2ab

b = a3 + ab 2 − 2ab 2 = a 3 − ab 2 a

(

= a a2 - b 2

(

a a2 − b 2 ∆ x x= = ∆S a2 − b 2 ⇒x =a

1.

)

)

l.q.q.d .

Resolver el sistema: x + y = 7 ... (I)

4.

x – y = 3 ... (II)

Resolver el sistema 5x – 2y = 11 3y + x = 9

... (I) ... (II)

Rpta:......................................................... Rpta:......................................................... 5. 2.

3.

Al resolver el sistema: 7x + 4y = 13 ... (I) 5x + 2y = 19 ... (II)

Al resolver el sistema x – 3y = 1 3x − y = 2 4

... (I) ... (II)

2 2 Dar como respuesta: x + y .

2 2 Dar como respuesta x + y .

Rpta:.........................................................

Rpta:.........................................................

2 2 Indicar x + y al resolver:

7x – 4y = 5 ... (I) 9x + 8y = 13 ... (II) Rpta:.........................................................

6.

Resuelva: x =3 y 4

... (I)

5x – 4y = 3 ... (II) Rpta:.........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C 7.

Al resolver:

12. Calcular m si el sistema: x + my = 1 ... (I) mx – 3my = 2m + 3 ... (II) es incompatible:

x +y x −y = ... (I) 5 3 x =y+2 2

Álgebra

... (II) Rpta:.........................................................

Calcular x + y . 2

2

Rpta:.........................................................

8.

... (I) ... (II)

Al resolver el sistema: Rpta:.........................................................

x +y x −y + =5 8 6

... (I) 14. Calcular (a + b) sabiendo que los sistemas.

x +y x −y − = 10 4 3

...(II)

calcular x 3 − y 3 .

 3 x + ay = 7 ( I)   4 x + by = 2

ax + 3 y = 8 ( II)  bx + 4 y = 7

son equivalentes.

Rpta:.........................................................

9.

13. Evaluar n si el sistema 3x + (n – 1) y = 12 (n + 6)x + 6y = n es inconsistente:

Hallar “x” al resolver el sistema: x −y =b a b a

... (I)

x–y

... (II)

Rpta:......................................................... 15. Calcular (xyz) del sistema 2x + 3y + z = 1 ... (I) 6x – 2y + z = – 14 ... (II) 3x + y – z = 1 ... (III) Rpta:.........................................................

Rpta:......................................................... 16. Calcular “m” si el sistema 3x + (m + 1)y = 12 (m+6)x + 6y = m es incompatible.

10. Calcular (x + y) en: x +a + y −b = a+b b b b

... (I)

Rpta:.........................................................

x −a − y −a = − a+b ... (II) b a a

Rpta:.........................................................

11. Al resolver el sistema: (a + b)x – (a – b)y = 4ab

... (I) ... (II)

17. Calcular el valor de k si el sistema adjunto. (2k – 1)x + ky = 6 ... (I) 7,5x + 4y = 3 ... (II) presenta infinitas soluciones.

..............(I) Rpta:.........................................................

(a − b)x + (a + b)y = 2a 2 − 2b 2 ...........(II) Calcular (x + y)

18. Calcular (x – y) en el sistema: 5x – 2y = – 10 ... (I) 5x + 8y = – 60 ... (II)

Rpta:......................................................... Rpta:.........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

19. Calcular “x” en el sistema: 4x

−1

− 3y

−1

= 14

... (I)

6 x − + 5y− = 2 1

20. Del sistema mostrado; calcular ( xy )z . 3x – 2y + 4z = 11 ... (I) 2x + y – z = – 1 ... (II) x + 2y + 5z = 9 ... (III)

1

... (II)

Rpta:.........................................................

1.

Al resolver el sistema

Rpta:.........................................................

4.

3(x + 2) = 2y

... (I)

2(y + 5) = 7x

... (II)

Del siguiente sistema: ax + by = a 2 + b 2

...(I)

bx + ay = 2ab

...(II)

calcular (x + y) Calcular: x/y

2.

A)

3

B)

7

D)

13

E)

16

C)

14 b

B)

a

D)

a+ b

E)

a/b

C)

ab

Calcular x + 2y del sistema: 4y + 3x = 8

5.

... (I)

8x – 9y = – 77 ... (II)

3.

A)

A)

4

B)

2

D)

8

E)

12

C)

6

Calcular y/x del sistema: 2(x + 5) = 4(y – 4x)

... (I)

10(y – x) = 11y – 2x

... (II)

A)

–1

B)

–2

D)

–8

E)

– 16

C)

Calcular (x + 2y + z) del sistema: 2x + 3y + z = 1

...(I)

6x – 2y – z = – 14

...(II)

3x + y – z = 1

...(III)

A)

1

B)

0

D)

2

E)

5

C)

–1

–4

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Compendio de Ciencias VIII-C CAPÍTULO

Álgebra

24 OBJETIVOS • Expondremos extensivamente todas las propiedades que caracterizan a los elementos del sistema de los números reales, con la finalidad de construir propiedades conexas, que nos permitirán resolver problemas sobre inecuaciones y realizar demostraciones diversas. • La resolución de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales utilizando la regla de los puntos críticos, será de gran ayuda para el análisis de las funciones algebraicas en el conjunto R. • El conocimiento del valor absoluto y de sus propiedades será de capital importancia para las demostraciones y la posterior resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucra a este operador. IN TRODUC CIÓN:

EULER Arquímedes, Newton, Gauss y Euler son los cuatro matemáticos más importantes. Nació en Basilea, Suiza fue un pastor calvinista y quería que su hijo estudiara teología, y así fue, estudió teología y hebreo en Basilea. El padre de Euler era amigo de los hermanos Bernoulli (había vivido en Johann en la casa de Jacob en Basilea). Johann Bernoulli orientaba a Leonard en los estudios de matemáticas (dicéndole qué libros debía leer y resolviéndole las dificultades que encontraba). Johann Bernoulli se dio cuenta de la capacidad de Euler para las matemáticas y le pidió al padre de Euler que permitiese que su hijo estudiase matemáticas. El padre de Euler aceptó porque respetaba mucho a Jacob y Johann Bernoulli. En 1727 se presentó a un premio de la Academia de París sobre la mejor distribución de los mástiles en un barco. No ganó el premio pero quedó segundo. Cuando murió Nicolás Bernoulli (II) en Petersburgo en 1726, le ofrecieron su puesto y lo aceptó. Llegó a San Petersburgo en 1727. Tenía 20 años. En San Petersburgo también vivía Daniel Bernoulli. Cuando Daniel Bernoulli, dejó su puesto de matemático de la Academia, lo ocupó Euler. La mejora económica permitió a Euler casarse. Lo hizo con Katharina Gsell en 1734. Tuvieron 13 hijos, pero sólo sobrevivieron a la infancia 5. Euler decía que había hecho sus descubrimientos matemáticos con un hijo en los brazos y otro jugando a sus pies. A Euler le llamaban (con sarcasmo) el cíclope matemático porque, además de su poderío matemático, le faltaba la visión de un ojo. Se quedó ciego de un ojo en 1735, debido, indirectamente, a un premio que la Academia de París ofreció por la resolución de un problema astronómico. El problema era muy complejo y la Academia concedió varios meses para resolverlo, pero a Euler le bastaron tres días. Las malas condiciones de trabajo y el esfuerzo realizado le costó la pérdida de la visión de un ojo. Tenía 28 años. Euler es tenido por el padre de la matemática rusa pues desarrolló la docencia de San Petersburgo desde 1733 a 1741. En 1741 se trasladó a Berlín, donde le habían ofrecido un puesto. Al principio él quería quedarse en San Petersburgo, pero por aquella época, los extranjeros tenían problemas en Rusia, además la mejora de la oferta de Berlín le acabó convenciendo.

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Incluso mientras estuvo en Berlín, siguió cobrando parte del sueldo de San Petersburgo, por asesorar y educar a los príncipes rusos. Cuando murió el presidente de la Academia de Berlín, Euler asumió la dirección de hecho de la Academia, pero no el título de Presidente, porque en aquella época, Euler no tenía buenas relaciones con Federico el Grande. Debido a este despecho, Euler, regresó a San Petersburgo en 1766, invitado por Catalina la Grande. Debido a una catarata en el otro ojo se volvió ciego al poco de llegar a Rusia, pero no se rindió : antes de quedarse totalmente ciego, practicaba la escritura cerrando el ojo, pero esto no sirvió y con el tiempo su hijo Albert, hizo de amanuense de su padre. En 1776 le operaron la catarata, pero una infección en el ojo, impidió la recuperación. El 7 de setiembre de 1783, después de charlar sobre los asuntos del día, «cesó de calcular y de vivir». Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los 100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que los otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel. La productividad matemática de Euler fue extraordinaria; escribió textos sobre mecánica, álgebra, análisis, geometría diferencial y analítica y sobre cálculo de variaciones que fueron obras clásicas durante más de 100 años. No inició nuevas ramas de la matemática pero fue muy prolífico. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas : Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de la familia; educó a sus hijos y nietos. Una de las pocas cosas para las que no tuvo ninguna solución en su vida fue para un problema que le planteó Christian Goldbach, en 1742. Goldbach había observado que los números pares mayores de 4 parecen ser suma de dos primos. Goldbach le preguntaba si podía demostrarlo. Ni Euler lo consiguió entonces, ni nadie lo ha conseguido hasta ahora.

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INECUACIONES I D ES IGUALD AD :

•

Es una relación de orden que se establece entre dos números reales que tienen diferente valor. Es decir: a ; b ∈R/a ≠ b → a > b ∨ a < b SÍMBOLOS DE LAS RELACIONES DE ORDEN: > : "mayor que "  ESTRICTAS < : "menor que " ≥ : "mayor o igual que "  NO ≤ : "menor o igual que "

INTERVALO Es un subconjunto del conjunto de los números reales, definiéndose como aquel conjunto de infinitos elementos que representan a todos los números reales comprendidos entre dos extremos, denominados Límite inferior o ÍNFIMO y límite superior o SUPREMO. De los establecido, existen dos tipos de intervalos: 1.

Se denomina así al intervalo cuyos extremos son números reales (Límites finitos). A su vez, pueden ser:

ESTRICTAS

CLASES DE DESIGUALDADES a)

Intervalo Acotado

a)

Desigualdad Absoluta

Intervalo cerrado Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos finitos.

Es aquella desigualdad que se verifica para todos los valores reales que se les asigne a sus variables. Ejemplos : *

(a – 4)2 + 17 > 0, se verifica ∀ a ∈ R

*

3x2 + 2y2 > – 8, se cumple ∀ x, y ∈ R

a x ∈ [ a; b ] b)

b)

Desigualdad relativa o inecuación

Intervalo abierto

a x ∈ a; b

Ejemplos : 5x – 3 > 17, se verifica sólo para x > 4

c)

2

x ↔

b a < x < b; a < b

Intervalo Semiabierto Es un intervalo acotado, en el cual, uno de los extremos es abierto y el otro es cerrado.

x – 1 < 2 , se verifica sólo para –3 < x < 3 4

*

b

a ≤ x ≤ b; a < b

Es un intervalo acotado en el cual no se consideran a los extremos finitos.

Es aquella desigualdad que se verifica para un conjunto de valores particulares denominado CONJUNTO SOLUCIÓN, que admite la variable denominada incógnita. *

x ↔

CONCEPTOS FUNDAMENTALES : •

RECTA NUMÉRICA REAL a

Es una recta geométrica, cuya construcción se sustenta en el principio de la correspondencia biunívoca existente entre los elementos del conjunto R y los puntos de dicha recta. Estableciendo la biyección, de tal forma que a cada número real se le hace corresponder un único punto de la recta, y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real. NÚMEROS NEGATIVOS

- 10 -4

-3

NÚMEROS POSITIVOS

- 3 -2 -1-0,5 0

2 ¼ 1

2.

x

b

x ∈ a; b

↔

x ∈ a; b ]

a x b ↔ a < x ≤ b; a < b

a ≤ x < b; a < b

Intervalo no Acotado Es aquel intervalo en el cual, por lo menos, uno de los extremos es el límite (+∞) o (–∞) a; + ∞ = {x ∈ R / x > a} a)

e π 2 2,4 3

4

R

a

x

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Compendio de Ciencias VIII-C b)

[a; + ∞

Álgebra

= {x ∈ R / x ≥ a}

8 º ∀ a, b ∈ R+ y n ∈ Z+, se cumple : a> b

a

c)

−∞ ; b

9 º ∀ a, b ∈ R– y n ∈ Z+, se cumple : a> b

d)

b

−∞; b ] = {x ∈ R / x ≤ b }

x

e)

−∞; + ∞

b

= {x ∈ R / -∞ < x < +∞ } x

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES : 1 º ∀ a, b ∈ R y m ∈ R, se cumplen : a> b ↔ a+ m> b+ m a> b ↔ a–m>b–m

↔

↔

a > b m m

0< a < b

↔

0 b2n+1 2 n +1

a>

;

a≠ 0

1ra. forma: ax + b > 0

será: x ∈ − b ; ∞ a

será: x ∈ −∞ ;

b a

luego, el intervalo solución

b a

Si a > 0, resulta x < − b a

luego, el intervalo solución

será: x ∈ −∞ ; −b a

6 º ∀ a, b, c ∈ R, se establece la transitividad : Si : a > b ∧ b > c → a > c

↔

0

2da. forma : ax + b < 0

a > b   (x ) a ⋅ c > b ⋅ d c > d 

a> b

>
b ↔ am < bm a> b

a2n < b2n

1 0 º ∀ a, b ∈ R, se verifican las relaciones :

ax + b 2 º ∀ a, b ∈ R y m ∈ R+, se cumplen : a> b ↔ am > bm a> b

a2n > b2n

x

= {x ∈ R / x < b}

x

↔

2 n +1

Si a < 0, resulta x > − b a

luego, el intervalo solución

será: x ∈ − b ; ∞ a

b

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Ejemplo 1 :

Ejemplo 5:

Resolver la inecuación :

Qué valor entero resuelve el sistema de inecuaciones polinomiales :

3 4

( x – 5) > 4 x – 1 9

(x + 2) (x + 3 ) < (x + 1) (x + 5) ..... (a) (x – 3) (x – 8) > (x – 3) (x – 6) ..... (b)

m.a.m. por 36, resulta como equivalente :

De (a), se tiene : x2 +

27 (x – 5) > 16x – 36

luego : 1 < x →

Efectuando: x > 9. Luego el conjunto solución vendrá dado por el intervalo: x ∈ ] 9; ∞ [

De (b), se tiene :

x2

5x + 6 < x2 + 6x + 5 x > 1 ..... (1)

– 11x + 24 > x2 – 9x + 18 →

luego : 6 < 2x

x < 3 ..... (2)

De (1) y (2) : 1 < x < 3 Resulta como valor entero : x = 2

Ejemplo 2: Calcular la suma de todos los valores naturales que verifican la inecuación : 2x +1 + 3x − 5 < 4x − 3 + x +1 3 4 5 2 m.a.m. por 60, se tiene :

INECUACIÓN RACIONAL Son aquellas inecuaciones polinomiales de la forma: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ..... + an-1x + an +a x

m –1

b x +b x

p –1

a x

m

0

Nos piden, la suma de todos los naturales que verifican (a). Es decir : (6 + 1) = 21 2

1

p

x < 7 ... (a)

Σx i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6

0; a0 ≠ 0

e inecuaciones fraccionarias de la forma :

20 (2x + 1) + 15 (3x – 5) < 12 (4x – 3) + 30 (x + 1) Efectuando, resulta :

>
0;a b ≠ 0 < 0 0

p

para resolverlos, existe un criterio práctico denominado REGLA DE LOS PUNTOS CRÍTICOS, cuyo procedimiento es como sigue:

Ejemplo 3:

REGLA DE PUNTOS O VALORES CRÍTICOS

Señale el menor valor real de x que verifique la desigualdad :

1º ) Se reduce la inecuación racional a la forma :

(x + 4)2 ≥ (x + 2) (x + 5)

> 0 o (x )


G

(x)


0.

•

Los intervalos (–), si P(x) < 0.

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EJEMPLOS EXPLICATIVOS

De la misma manera:

-

Resolución de inecuaciones polinomiales :

1.

Resolver : 6x2 + 5x – 4 > 0

Ubicando los puntos críticos sobre la recta R : –

+

x ∈  − 2 ; 3   3 

½ > 0, tomamos los intervalos (+).

5.

luego : x ∈ -∞; - 4/3 ∪ 1/2; ∞ 2.

Resolver : 3x2 – 11x + 10 < 0

+

–2

5/3

R

6.

2

Como P(x) < 0, se toman los intervalos (–). finalmente : x ∈ 5/3; 2 3.

–

De igual modo :

Como:

R

P

 5 −  = 0  4

P

 1 −  = 0  2

∨

7.

4.

+

R

P(x) = 0

x +7 > 0 KK(α) x −5 Como x ≠ 5, entonces (x – 5)2 > 0. Luego al multiplicar m.a.m. por (x – 5)2, se obtiene : (x + 7) (x – 5) > 0 ..... (b) es decir, las desigualdades (a) y (b), son equivalentes. Aplicando la regla de los puntos críticos : Resolver :

–7

5  1 −∞; −  U  − ; ∞ 4  2

Resolver : 5x2 – 13x – 6 ≤ 0 + 2 5x x –3 (5x + 2) (x – 3) ≤ 0

–

+

verifican la segunda igualdad, entonces (–5/4) y (–1/2) son elementos del conjunto solución. Por lo tanto: x ∈

–

+

Resolución de Inecuaciones Fraccionarias:

–½

Observar que : P(x) ≥ 0 ↔ P(x) > 0

2

x ∈ [ –3; 1] ∪  2; ∞

+

– 5/4

R

–3 1 2 como P(x) ≥ 0, tomamos los intervalos (+), y considerando que : P(–3) = P(1) = P(2) = 0 El intervalo solución, será :

4x + 5 2x + 1 (4x + 5) (2x + 1) ≥ 0

–

0

+

Resolver: x3 – 7x + 6 ≥ 0 Factorizando por divisiones binómicos, se tiene : (x – 1) (x – 2) (x + 3) ≥ 0 De igual forma :

Resolver : 8x2 + 14x + 5 ≥ 0

+

–

+

Como P(x) < 0, tomamos los intervalos (–), así : x ∈ – ∞ ; – 2 ∪ 0; 2

Colocando los valores críticos sobre la recta R. –

Resolver: x3 < 4x Transponiendo: x3 – 4x < 0 factorizando: x(x + 2) (x – 2) < 0 Ubicando los tres puntos: – 2, 0 y 2 sobre la recta numérica real : –

3x –5 x –2 (3x – 5) (x – 2) < 0

+

R

R

– 4/3

Como P(x)

+

-2/3 3 también : P (-2/3) = 0 ; P(3) = 0 luego, el intervalo solución será :

3x + 4 2x –1 (3x + 4) (2x – 1) > 0

+

–

+

+

R

5

Por lo tanto : x ∈ – ∞; – 7 ∪ 5; ∞ 8.

Resolver:

x 2 −1 ≤ 0 x ( x + 2)

Es decir:

( x + 1) ( x − 1) ≤0 x ( x + 2)

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Álgebra

Aplicando la regla de los puntos críticos : –

+

–

+

•

+ R

–2 –1 0 1 Observar que, para x = – 1 ∧ x = 1, la fracción es igual a cero. Luego : x ∈ –2; – 1] ∪ 0; 1]

Resolver : x2 – 5x + 4 ≤ 0 Discriminante : ∆ = (– 5)2 – 4 (1) (4) = 9 > 0 Factorizando : (x – 1) (x – 4) ≤ 0 cuyo intervalo solución es : x ∈ [ 1; 4 ] ANÁLISIS GRÁFICO : Y f(x) = x2 – 5x + 4

2

9.

Resolver:

x + 3 x − 10 ≤ 0 2 x −6x + 8 1

( x + 5) ( x − 2) ≤0 ( x − 4) ( x − 2)

Factorizando:

Como x – 2 ≠ 0

→ x ≠ 2; se tiene :

2do. CASO : Si ∆ = b2 – 4I = 0 • Resolver : x2 + 6x + 9 ≥ 0 Discriminante : ∆ = (6)2 – 4 (1) (9) = 0 cuyo equivalente es : (I + 3)2 ≥ 0 El cual se verifica : ∀ x ∈ R ANÁLISIS GRÁFICO :

x +5 ≤0 ; por la regla : x−4 –

+

X

4

+

–5 2 4 Por lo tanto : x ∈  –5; 4 − {2}

Y

100 10. Resolver: x > x

f(x)= x 2 + 6x + 9

100 > 0 Transponiendo: x − x Efectuando:

( x + 10) ( x − 10) >0 x

–

–

+

X –3

+

R

•

– 10 0 10 Finalmente : x ∈ –10; 0 ∪ 10; ∞

ESTUDIO DE LA INECUACIÓN C U AD RÁ TIC A FORMA GENERAL : ax2 + bx + c

>
0 •

f(x)= 4x 2 – 12 x + 9

2

Resolver : x – 3x – 10 > 0 Discriminante : ∆ = (– 3)2 – 4 (1) (– 10) = 49 > 0 Factorizando : (x + 2) (x – 5) > 0 El intervalo solución es : x ∈ – ∞; – 2 ∪ 5; ∞ ANALISIS GRÁFICO :

3er. CASO : Si ∆ = b2 – 4ac < 0 • Resolver : x2 + 4x + 7 > 0 Discriminante : ∆ = (4)2 – 4 (1) (7) = – 12 < 0

Y f(x) = x2-3 x-10

–2

5

X 3/2

X LAS LÍNEAS DE FRONTERA NO SE TOMAN

x24 +244 4 x +3 4 +3 >0 Transformando : 14 TCP

( x + 2) + 3 > 0 2

El cual se verifica : ∀ x ∈ R

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ANÁLISIS GRÁFICO :

Problema 3: Resolver : x4 – 3x3 – x2 + 12x – 12 ≤ 0

Y

Factorizando por aspa doble especial, resulta :

f(x)= x2 + 4x + 7

(14 x 24 −244 3 x +3 3) ( x 2 − 4) ≤ 0 KK (α) (+ )

Se observa que el polinomio (x2 – 3x + 3) es POSITIVO para todo x ∈ R, debido a que verifica la propiedad:

X

•

Resolver: 9x2 – 24x + 21 < 0 Discriminante: ∆ = (–

24)2

∧

1>0

–4 (9) (21) = –180 < 0

∆ = (– 3)2 - 4 (1) (3) = – 3 < 0

La desigualdad (a), se reduce a :

x − 244 24 x + 16 Transformando: 9144 3+5 3 16 f(x)= 9x2 – 24x + 21

Se verifique para todo valor real de x Transponiendo:

(

PROPIEDADES DE LA INECUACIÓN C U AD RÁ TIC A Te o re ma

)

x 2 + 2m x + m − 3 > 0 16

X

Aplicando la propiedad: 1>0

∧

∆ = (2 m )2 − 4(1)

1

Para que ax 2 + bx + x > 0 ; ∀x ∈ R Se deben cumplir dos condiciones mutuamente dependientes: a > 0

∧

∆ = b 2 − 4 ac < 0

2 3 Efectuando: 4 m − 4 m + < 0 4

16m2 – 16m + 3 < 0 (4m – 1) (4m – 3) < 0

Ejemplo 1: Resolver : 3x2 + 7x + 5 > 0 Aplicando la propiedad, se tiene :

1 3 Del cual : m ∈ 4 ; 4

3>0 ∧ ∆ = (7)2 – 4 (3) (5) = – 11 < 0 Por lo tanto, el polinomio (3x2 + 7x + 5) es positivo, para cualquier valor real de x.

Te ore ma

Finalmente : x ∈ R. Ejemplo 2: Resolver : 2x2 – 8x + 11 < 0 Aplicando la propiedad se tiene : 2 > 0 ∧ ∆ = (– 8)2 – 4 (2) (11) = – 24 < 0 Esto implica que el polinomio (2x2 – 8x + 11) es positivo, para todo x ∈ R. Luego, la desigualdad : 2

214 x 4 −244 8 x + 11 3 0 ; A2 > B ↔ A < − B ∨ A > B

Ejemplo 1: Resolver : x2 – 25 > 0 Aplicando la propiedad, se tiene : x2 > 25 ↔

x < – 25

∨

x > 25

x 5

El intervalo solución, será : x ∈ – ∞ ; – 5 ∪ 5; + ∞

Por lo tanto : x ∈ φ

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Ejemplo 2: Resolver :

x2

Aplicando la propiedad, se tiene: – 8x + 11 ≥ 0

(x + 3)2 < 11 ↔

− 11 < x + 3 < 11

x − x + 16 Dándole forma : 14 48244 3−5 ≥0 2

– 11 – 3 < x < 11 – 3 El intervalo solución, será:

(x – 4)2 - 5 ≥ 0 Aplicando la propiedad, se tiene : (x – 4)2 ≥ 5 ↔ x – 4 ≤ –

x ∈ – 11 – 3;

5 ∨ x–4≥

x≤4–

5

11 – 3

5

∨ x≥4+

5

Ejemplo 3: Resolver : 25x2 – 30x – 11 ≤ 0

El intervalo solución, será : x ∈ −∞ ; 4 − 5  ∪ 4 + 5 ; ∞ 

 1  multiplicado por   : x 2 – 6 x – 11 ≤ 0  25  5 25 completando cuadrados :

Ejemplo 3: Resolver: 2x2 + 6x + 1 > 0 Multiplicando por (1/2): x2 + 3x + 1/2 > 0 transponiendo (1/2), y completando cuadrados:

2 x – 6 x + 9 ≤ 11 + 9 = 4 25 1445244 3 25 25 5 TCP

( x – 53 )

2 x + 3x + 9 > −1 + 9 = 7 4 2 4 4 14 4244 3

2

≤4 ↔– 4 ≤x–3≤ 5 5 5

4 5

TCP

(

x+3 2

)

2

>7 ↔x+3 7 2 2

x 7 −3 2 2 El intervalo solución, será : x ∈ −∞; − 7 + 3 ∪ 2

7 −3; ∞ 2

3−2 5 ≤ x ≤ 3+2 5 5 5   Por lo tanto: x ∈  3 − 2 5 ; 3 + 2 5  5 5   INECUACIÓN EXPONENCIAL

Te o rema Si B > 0 ;

Te orema 4

3 A2 < B ↔ − B < A < B

S i 0 < a < 1 ; am > an ↔ m < n Ejemplo 1:

Ejemplo 1: Resolver : x2 – 36 < 0 Aplicando la propiedad, se tiene : x2 < 36 ↔

− 36 < x < 36

– 6< x < 6 El intervalo solución será : x ∈ –6; 6 Ejemplo 2: Resolver : x2 + 6x – 2 < 0 2

x + 6x + 9 < 2 +9 De igual modo: 14243 TCP

Resolver:

5

(0,125)

Efectuando:

5

x +1

>

3

(0,0625)

3  x +1

( ) 

 1  2 

x –2

( ) 

 >3  1  2

4  x –2

Por exponente fraccionario, se tiene:

( 12 )

3 x +3 5

()

> 1 2

4 x –8 3

como 0 < 1/2 < 1, aplicamos la propiedad: 3x + 3 < 4x – 8 5 3 9x + 9 < 20x – 40

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Álgebra VALOR ABSOLUTO ∀ a ∈ R y n ∈ Z+, se define :

49 Luego : 49 < 11x ↔ x > 11 El intervalo solución, será: x ∈ 49 ; ∞ 11 Te o re ma

5

Si a > 1 ;

am > an ↔ m > n

Resolver:

Efectuando: luego:

P1) a = 0 ↔ a = 0 512

x –3

4

9

>

(2 ) x

5

–3

128 >

5

x +2

7

(2 ) x

P2) a . b = a . b a = | a| ; b ≠ 0 P3) b | b| P4) –a = a

+2

7 x +14

9 x – 27

2 4 >2 5 como 2 > 1, aplicamos la propiedad:

P5) a = a P6) a2 = a 2 = a2

9 x – 27 > 7 x + 14 4 5 efectuando:

P7) a3 = a 3

45x – 135 > 28x + 56

P8) a = b ↔

x > 191 17

↔

17x > 191

b > 0 ; a = b ↔

a=b ∨ a=–b

«

ab ≥ 0

PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD

Ejemplo 3: x 1 2 +1 4

( 12 ) ( )

Efectuando:

P9) Si

a2 = b2

P10)a + b = a + b

191 El intervalo solución es: x ∈ 17 ; ∞

Resolver:

 a Si a > 0  a 2n = | a | =  0 Si a = 0  – a Si a < 0 

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Ejemplo 2: 4

2n

( )( )

≥ 1 16

x +1  1 2 2    2 

1 8

R1) a ≥ 0 ; ∀ a ∈ R

2 x –1 3

( 12 ) ( )

 ≥ 1  2

( 12 ) ( )

( )( )

()

4

 

R2) –a ≤ a ≤ a ; ∀ a ∈ R

2 x –1  1 3 3    2 

()

R3) a > b ↔

a2 > b2

R4) a < b ↔

a2 < b2

R5) Si b > 0 ;

a > b

↔

ab

R6) Si b > 0 ;

a < b

↔ –b 2x – 5 (3x + 4)2 > (2x – 5)2 (3x + 4)2 – (2x – 5)2 > 0 (5x – 1) (x + 9) > 0 Resolviendo, resulta : Resolver : Por R3 :

x ∈ – ∞ ; –9 ∪ 1 ; ∞ 5 x2 – 3x – 6 < x + 6 (x2 – 3x – 6)2 < (x + 6)2 (x2 – 3x – 6)2 – (x + 6)2 < 0 Descomponiendo en factores, se tiene : (x2 – 2x) (x2 – 4x – 12) < 0 x (x – 2) (x – 6) (x + 2) < 0

10. Resolver : Por R4 :

Luego : x ∈ –2; 0 ∪ 2; 6 11. Resolver: 8x + 9 + 7x – 4 ≤ 10 Aplicando la desigualdad triangular (R7) (8x + 9) + (7x – 4)≤8x + 9+7x – 4≤ 10 Por la propiedad transitiva : 15x + 5 ≤ 10 Simplificando: 3x + 1 ≤ 2 Por R6 : – 2 ≤ 3x + 1 ≤ 2 Es decir : – 1 ≤ x ≤ 1/3

La relación es una desigualdad absoluta

x ∈  –1 ; 1   3

finalmente : 6.

Resolver : 9x2 – 1 > 0 Es evidente que : 9x2 – 1 ≠ 0 (3x + 1) (3x – 1) ≠ 0 x ≠ –1 3

x≠1 3

∨

{ }

Por lo tanto: x ∈ R – ± 1 3 7.

Resolver: Por R5:

12. Resolver :

x + 1 –4 ≥2 x –4 1 x–4

Dándole forma :

( x – 4) +

Por lo tanto :

x∈R –{4}

≥2 (por R8)

2x + 1 > 7 2x + 1 < – 7

∨

x 7 x>3

x ∈ – ∞; – 4 U 3; ∞

8.

Resolver :

5x – 1 < 9

Por R6 :

– 9 < 5x – 1 < 9 – 8 < 5x < 10 – 8/5 < x < 2

Por lo tanto: x ∈ – 8 ; 2 5

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

INECUACIONES II I.

INECUACIÓN IRRACIONAL Es aquella desigualdad en el cual en uno de sus miembros, aparece una expresión irracional. Por ejemplo:

•

3

2x – 7 +

3

•

6

x + 2 2x – 1 > 5 + x – 6

(+ )

simplificando : (x – ≥0 Extrayendo raíz cúbica : x – 1 ≥ 0 ↔ x ≥ 1 finalmente :

x+4 ≤ x+3

Si los índices de los radicales son impares Para la resolución de este tipo de inecuaciones no se requiere hacer restricciones a la incógnita. Ejemplo 1: Resolver: 5

x+

3

1– x

2

{ –5 1 4

Luego :

(+)

(–)

Resulta una desigualdad que es correcta para todo x ∈ R que verifique la condición (α). Debido a esto : SOLUCIÓN = C.V.A

CONJUNTO

–5 –1/2

0

4

Por lo tanto : x ∈ [ – ∞; – 1 ∪ 1 / 2; ∞

Ejemplo 6:

Ejemplo 3: Resolver : CVA :

Es decir : x ∈ – ∞; – 2 ] ∪  2; ∞

25 – x < 4 25 – x2 ≥ 0 ↔ 25 ≥ x2 x2 ≤ 25 ↔ –5 ≤ x ≤ 5 ..... (α) 2

224 x +3 1 < –10 Resolver : 1 4 123 (+ )

(–)

Por simple inspección, la desigualdad es ABSURDA. Por esto, se deduce que : x ∈ φ

Luego :

25 – x 2 < 4 al cuadrado: 25 – x2 < 16 9 < x2 ↔ x< –3 ∨ intersectando (α) y (b), se tiene :

x2 > 9 x > 3 ..... (β)

–5 –3 3 5 finalmente : x ∈ [ –5; – 3 ∪ 3; 5 ] Ejemplo 4:

Ejemplo 7: Resolver : 3x + 4 + 5x – 2 + 7 – x ≤ –x 2 – 1 Del mismo modo, la relación es absurda : x ∈ φ INECUACIONES COMPUESTAS DE POTENCIAS MÚLTIPLES Y RADICALES SIMPLES Para resolver inecuaciones algebraicas del tipo : > 0 D < Se utilizan las siguientes propiedades : T1) n ∈ Z+; a2n > 0 → a ∈ R – {0} 2n +1

4x –1 < 2 Resolver : x CVA : 4x – 1 ≥ 0 ↔ x ≥ 1/4 ..... (a) Es decir, los valores de x son POSITIVOS. 424 x –3 1 < 2x Por esto : 1 4 123 (+)

(+ )

al cuadrado : 4x – 1
0 → a > 0 T2) n ∈ Z+; T3) n ∈ Z+; a2n+1 > 0 → a > 0 2n + 1

T4) n ∈ Z+;

↔

a >0

a > 0

4x2 Aplicaciones Elementales

x 4–244 4 x +31 > 0 transponiendo : 4 14 2

TCP

(2 x – 1) > 0 2

Del cual : x ∈ R – { 1/2 } ...... (β) intersectando (α) y (β):

¼ Por lo tanto :

½

{}

x ∈  1 ;∞ – 1  4 2

Ejemplo 1 Resolver : (x + 4)5 (x – 3)7 (2x – 1)3 > 0 Por la propiedad T3 : (x + 4) (x – 3) (2x – 1) > 0 Aplicando puntos críticos : –

–

+

½ luego : x ∈ –4; 1 / 2

+

–4

R

3

∪

3; ∞

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

Ejemplo 2 3

Resolver :

x +4

5

3x – 2

7

9

x +8

Ejemplo 5

x ≤ 0

Resolver :

Por la propiedad T4 : (x + 4) (3x – 2) (x + 8) (x) ≤ 0 Por puntos críticos : –

+ –8

–

+ –4

+

0

R

2/3

finalmente : x ∈ [ –8; –4 ] ∪ [ 0; 2/3 ]

3

x + 7 (x – 2)

2x – 1

(x + 1)5

4

2

≥0

16 − x 2 ≥ 0 ↔ –4 ≤ x ≤ 4   CVA : x – 2 ≠ 0 ↔ x ≠ 2  (α)  2 5 ( x + 1) > 0 ; ∀x ∈ R  Cancelando la parte positiva, resulta :

Ejemplo 3 2 x 24 + 3) Resolver : (1 4 3

( x + 5)

7–x >0 123 (+)

(+ )

CVA :

9

16 – x 2 (x + 3)7

7 – x >0 ↔ x 0 ↔ x > – 5 ..... (β) Intersectando (α) y (β), se tiene :

–5

–3

7

Por lo tanto : x ∈ –5; 7

∪ {–3}

–7

–4

½

–3

2

Por lo tanto : x ∈ [ –4; – 3 ] ∪

4

1 / 2; 4 ] – {2}

Ejemplo 6 Resuelva Ud. la inecuación :

Ejemplo 4

16 – x 2

(x + 6)

(x – 4)

5

4

3

Resolver :

x–2

6

x+3

≤0

6

x +3

3

(x + 1)5 9

(x – 2)

x +7 7

x –5

(x 2 – x + 1)7 (x – 3)8

≤0

x + 3 > 0 ↔ x > –3 ..... (α) 6 (x – 4) ≥ 0 ; ∀ x ∈ R Cancelando la parte positiva, resulta :

CVA :

x +6 ≤0 ; x ≠2 x–2 Del cual : –6 ≤ x < 2 ..... (β) Intersectando (α) y (β), se tiene:

–6

finalmente:

–3

2

x ∈ –3; 2

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

Problema por desarrollar

Problema desarrollado 1.

Si x ∈[ 5;7 ] , Calcular (a+b) de modo que

1.

Si: x ∈[ 3;9 ] ,

a ≤ x − 4 x + 5 ≤b 2

Calcular

(b-a)

de

modo

que

a ≤ x − 6 x + 10 ≤ b 2

Resolución:

5≤x≤ 7

Resolución:

Restando 2: 5 − 2 ≤ x − 2 ≤7 − 2 3 ≤ x −2≤5

Elevando al cuadrado: 3 2 ≤ ( x − 2)2 ≤ 5 2 9 ≤ x 2 − 4 x + 4 ≤ 25 Sumando la unidad: 9 + 1 ≤ x 2 − 4 x + 4 + 1 ≤ 25 + 1 10 ≤ x 2 − 4 x + 5 ≤ 26 Donde a=10;

1.

b=26

luego:

a + b = 36

Resolver:

3.

(3 x + 2)(6 x − 5) − 2(3 x − 1)2 ≤ 8 x

Resolver y graficar: x − 3 4x − 3 − ≥ 0 2 6

Rpta:......................................................... Rpta:......................................................... 2.

Resolver y graficar la siguiente inecuación: x − 3 4x −1 1 − < 3 8 8 Rpta:.........................................................

4.

Resolver y graficar la inecuación: ( x + 4)(x − 4) ≥ (x + 2)2 − 8

Rpta:.........................................................

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Compendio de Ciencias VIII-C 5.

Álgebra

Determinar el conjunto solución del sistema:

12. Hallar el conjunto solución y graficar.

3(2 x − 1) − 4(x + 1) ≥ 1 ........... (I)

x3 − x

5(x + 3) − 3(3 x + 1) ≥ 4 .......... (II) Rpta:......................................................... 6.

Hallar el conjunto solución del sistema: (x + 5) (x – 4) – x(x – 1) > – 10

x2 − x − 2

≥ 0

Rpta:......................................................... 13. Resolver y graficar:

........... (I)

x2 − x − 2

(4x – 1) (x + 1) – 2(2x – 3) (x+2) > 6 .... (II)

x2 − x − 6

≤0

Rpta:......................................................... Rpta:......................................................... 7.

Resolver y graficar las siguientes inecuaciones: 14. Si x ∈  tal que 2 ≤ x ≤ 3 determinar el intervalo

A) 3 x 2 + 10 x + 3 > 0

de valores de E =

B) 2 x 2 − 7 x + 3 < 0

1 2

x +1

2

C) x + x − 20 ≥ 0 Rpta:.........................................................

D) 15 x 2 + 38 x + 7 ≤ 0

15. Resolver y graficar: Rpta:......................................................... 8.

Luego de resolver la inecuación: (x – 2) (x – 3) < 20 indicar la suma del mínimo y máximo valores enteros que la verifican. Rpta:.........................................................

9.

2

x + x +1 2

x + 5x + 6

Rpta:......................................................... 16. Calcular la suma de números naturales que satisfacen a la siguiente inecuación: 7 x 2 + 3 ≤ 22 x

Luego de resolver la inecuación: 2

2

(2 x − 1) + (x + 2)

≤ 25

indicar el número de valores enteros que puede tomar “x” Rpta:......................................................... 10. ¿Cuántos números enteros satisfacen a la siguiente inecuación: | x + 1| ≤ 5 Rpta:.........................................................

A) D)

3 6

B) E)

Rpta:.........................................................

5 7

C)

4

C)

–4

C)

] − 1; 0 [

17. Indicar el menor valor de “x” en: x −2 x −1 < x +3 x −4 A) D)

–3 –2

B) E)

–5 –6

18. Resolver: x x −1 < x +1 x

11. Resolver y graficar: | 2 x − 1| < 7

≤ 0

A) D)

0 ;1

] −∞; − 1 [

B)

−1 ; 1

E)

] 0; + ∞ [

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Compendio de Ciencias VIII-C

Álgebra

19. Al resolver:

20. Calcular “m” entero, si la ecuación: 2

x + 3x − 4 2

x − 2x − 8

x 2 − 2(m − 1)x + 4 m − 7 = 0

≥ 1

tiene raíces complejas.

indicar la suma del mayor valor entero negativo con el menor entero positivo de “x”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

1.

Resolver:

4.

A)

−∞; 2

B)

D)

2;4

E)

D)

2.

1;5 1 ;10

B) E)

[0 ; 5]

A) D)

 5 ; + ∞ 5.

3.

1;2

B)

D)

0 ; 1]

E)

0 ;1

– 1) (2x – 3) > 0 ............... (II) x> –1 B) x > 1,5 C) x < – 1 x > 1 E) x > 5

Dado el polinomio: P(x ) = x 2 − 6 x + 11 ; donde P(x ) ≤ k ; tiene como

x −2 Calcular el intervalo de: 2 A)

........(I)

(x

0;5

Si x ∈ 2 ; 4 .

2 ; 4]

 2 ; 4

4x −1 7x −1 + 4 < +2 3 2 C)

C)

Resolver:

x ≤0 x −5 A)

4 ; +∞

C)

[1 ; 2 ]

conjunto solución [0 ; r]; calcular “2k – 5r” A) 8 B) – 9 C) 0 D) – 8 E) 2

1 ; + ∞

Si x ∈ [ − 2 ; 3 ] calcular (a+b) de modo que: a ≤ x2 − 1 ≤ b A) D)

6 9

B) E)

7 10

C)

8

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