• Author / Uploaded
• Alexander Peralta Rojas

• Categories
• División (Matemáticas)
• Entero
• Multiplicación
• Sustracción
• Ecuaciones

Citation preview

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CAPACIDADES a) Entiende la necesidad de extender el conjunto de los números naturales. b) Analiza y reconoce el conjunto de los números enteros y los representa en la recta numérica. c) Reconoce números enteros opuestos. d) Determina el valor absoluto de números enteros. e) Establece las relaciones de orden entre números enteros.

NOTITA IMPORTANTE Supongamos que queremos resolver el siguiente problema: ¿Qué número sumado con 5 resulta 2? Si consideramos a x como el número que buscamos, la ecuación que se plantea de acuerdo al enunciado es: x + 5 = 2. ¿Existe algún número natural que sumado con 5 resulte 2? No existe tal número en el campo de los números naturales. Pero si buscamos la solución en un conjunto mucho más amplio, sí encontramos la respuesta: dicho número es -3, ya que: -3 + 5 = 2 Este número negativo -3 al adicionarse al 5 en lugar de aumentar su valor, le disminuye en 3 unidades. Esa es la característica que tienen los números negativos; cuando se suma a otro número el resultado es menor que éste. Otras situaciones donde intervienen los números negativos son: Al indicar una temperatura menor que cero  -10º C ó 10º bajo cero Al indicar una pérdida en un negocio  - S/. 1 200 Al indicar una antigüedad antes de Cristo  Año-200 (ó 200 años a.C.) Al indicar una profundidad bajo el nivel del mar  -50 m ó 50 m bajo el nivel del mar, etc. Esta necesidad de usar los números negativos llevó a los hombres de ciencia, a través de la historia, a definir un conjunto que contenga tanto a los números positivos como negativos, ese conjunto es el conjunto de los números Enteros y se simboliza por Z. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA El conjunto de los números enteros (Z) El conjunto Z o conjunto de los números enteros es el conjunto que agrupa a los siguientes números: Z = {...; -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; ...}

Enteros negativosCero –

Enteros positivos

+

Luego: Z = Z  {0}  Z -

–

Al conjunto de los números enteros negativos se le simboliza por Z . + Al conjunto de los números enteros positivos se le simboliza por Z .

Nota: El número entero 0 (cero) no es ni negativo ni positivo. Gráficamente, al conjunto Z se le representa en una recta colocando puntos consecutivos separados uno del otro por una misma distancia.



..... -3

-2

-1

0

+1

+2

+3

.....



Números Naturales Números Enteros

Notar que el conjunto N está incluido en Z, es decir: N  Z Distancia de un punto de la recta al origen En la recta numérica, al punto que le corresponde el cero se le llama origen.

origen A -5

B -4

-3

-2

C -1 2

0

+1 2

D

+2

5

+3

+4

+5

5

La distancia de A al origen es 5 La distancia de C al origen es 2

La distancia de B al origen es 2 La distancia de D al origen es 5

¡Atención! Vemos que la distancia de un punto al origen siempre es un número positivo.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO El valor absoluto de un número es la distancia de su punto correspondiente al origen. Notación Lenguaje simbólico a Ejemplos: *

*

Se lee: “Valor absoluto de a” ó “módulo de a”

+5=5, porque la distancia de A al origen es 5 A 5 0 5

*

+35=35, porque la distancia de C al origen es 35 C 35 0 35

*

-5=5, porque la distancia de B al origen es 5 B

-5

0 5 -17=17, porque la distancia de D al origen es 17 D -17 0 17

En general: a) El valor absoluto de un número entero positivo es el mismo número. b) El valor absoluto de un número entero negativo es el mismo número, pero con signo positivo. c) El valor absoluto de cero es cero. NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS Dos números enteros son opuestos o simétricos cuando tienen el mismo valor absoluto, pero diferentes signos. Ejemplos: a) -7 es el opuesto de +7 b) +4 es el opuesto de -4 c) +297 es el opuesto de -297 d) -2003 es el opuesto de +2003 Observaciones: 1. Los números opuestos están a diferentes lados del origen, pero a igual distancia del mismo.

-7 -6 -5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6 +7

Opuesto de 2.

En matemática se suele decir en lugar de opuesto de la palabra negativo de. Así: -7 es el negativo de +7 porque -7 es el opuesto de (+7) +4 es el negativo de -4 porque +4 es el opuesto de (-4) Por lo tanto, no debemos confundir los términos “número negativo” y el “negativo de un número”

Ejemplo: a) -7 es un número negativo b) +7 es el negativo de -7 COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado porque entre dos números es posible establecer una relación de orden, es decir, indicar quién es el mayor y quién es el menor. Como a medida que recorremos la recta numérica de izquierda a derecha, los números van aumentando, entonces: Dados dos números enteros, es mayor aquel que está a la derecha y menor el que está a la izquierda.

Menores

Mayores

 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 

Ejemplos:

izquierda   derecha +2 +6  -4  -5  -6

-1 0 +5

(+2) está a la izquierda de (+6)  2   6 (-1) está a la derecha (-4)  1   4 (0) está a la derecha de (-5)  0  5 (-6) está a la izquierda de (+5)  6  5

PROPIEDADES: Observando la recta numérica, podemos ver que siempre se cumple que:

Si a  z  a  0

1.

Cualquier número positivo es mayor que cero.

2.

 Cualquier número negativo es menor que cero. Si b  z  b  0

3.

Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Si a  z  b  z  a  b ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS I CASO: Adición de números enteros del mismo signo. Observa el siguiente cuadro, donde se aprecia los resultados de las apuestas hechas por cuatro personas en una carrera de caballos.

gana s/.300

Resultado Final gana s/.500

Representación numérica + + + ( 200)+( 300)= 500

gana s/.80

gana s/.230

( 150)+( 80)= 230

pierdes/.100

pierde s/.350

pierde s/.450

(-100)+(-350)= -450

pierde s/.50

pierde s/.100

pierde s/.150

(-50)+(-100)= -150

1ª apuesta

2ª apuesta

Juan Carlos

gana s/.200

Kike

gana s/.150

Martín Angel

+

+

+

Vemos que: + + + ( 200) + ( 300)= 500 (-100) + (-350)= -450 + + + ( 150) + ( 80)= 230 (-50) + (-100)= -150

La suma de dos o más números positivos es otro número positivo

La suma de dos o más números negativos es otro número negativo

Luego: Para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los sumandos y a dicha suma se le antepone el signo común.

II CASO: Adición de números enteros de signo diferentes. Nuevamente volvemos al ejemplo de las apuestas. Veamos ahora los resultados de otras cuatro personas. 1ª apuesta

2ª apuesta

Resultado Final

Victor

gana s/.400

pierde s/.100

gana s/.300

( 400)+(-100)= 300

Manuel

gana s/.180

pierde s/.70

gana s/.110

( 180)+(-70)= 110

Guillermo

gana s/.70

pierde s/.200

pierde s/.130

( 70)+(-200)= -130

José

gana s/.200

pierde s/.300

pierde s/.100

(+200)+(-300)= -100

Vemos que: + + ( 400) + (-100)= 300 + + + ( 180) + ( 70)= 110

Representación numérica +

+

+

+

+

+

( 70) + (-200)= -130 + ( 200) + (-300)= -100

Luego: Para sumar dos números enteros de signos diferentes se halla la diferencia de sus valores absolutos y a esta diferencia se le antepone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto. Adición de números enteros en la recta numérica. Para sumar números enteros en la recta numérica se realiza el siguiente convenio. La suma de un número entero positivo se indica con una flecha que apunta hacia la derecha. La suma de un número entero negativo se indica con una flecha que apunta hacia la izquierda. Ejemplos: 1. Sumar (-3) + (+5) Se parte de la ubicación del primer sumando, (-3) y para sumarle (+5), nos movemos hacia la derecha + 5 unidades, como indica la flecha. El punto final, 2, es la suma buscada. +( +5)

 -5 -4 -3 -2 -1



0 +1 +2 +3 +4 +5

(-3) + ( + 5) = + 2 2.

+

Sumar ( 4 ) y para sumarle ( -7 ), avanzamos 7 unidades hacia la izquierda, el punto final (-3) que señala la flecha será la suma que se busca. +( -7)

 -5 -4 -3 -2 -1



0 +1 +2 +3 +4 +5

( + 4) + ( - 7) =

-3

Otros ejemplos: +( +7)



0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

(+ 1) + ( + 7) =

+



8

+( - 4)



-8 -7 -8 -6 -5

-4

-3 -2

( - 2) + ( - 4) = - 6

-1

0 +1



Adición de números enteros con varios sumandos. +

+

-

-

+

Ejemplo: Efectuar ( 3) + ( 8) + ( 5) + ( 7) + ( 4) 1ª forma: Se puede sumar agrupados de dos en dos los sumandos. (+ 3)+( +8)

+ ( - 5)+( - 7)

( + 11)

( - 12) + ( - 1)

( + 4) ( + 4)

+ +

+ (+ 4)

3

2ª forma: Se puede sumar agrupando los sumandos positivos y los sumandos negativos.

  3     8     5    7     4     3     8     4     5    7   15 





 12   3

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Estas rectas numéricas muestran que restar un entero y sumar el opuesto a ese entero, producen el mismo resultado. 4-(-2)=6



-1 0

2

3

5

4

6

7

8



Restar (-2), es lo mismo que sumar (+2)

4+2=6

Esto nos sugiere la siguiente regla: Para calcular la diferencia entre dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Es decir, para cualquier par de enteros a y b se cumple que: a  b  a   b  . Donde (-b) es el opuesto del sustraendo b. Observación: – 1. Las anotaciones –a y a representan al mismo número entero, por lo tanto pueden usarse indistintamente. Ambas notaciones pueden interpretarse de dos maneras:

-a = -a =

2.

El negativo de a o El opuesto de a

Así, son equivalentes las siguientes expresiones: -6 = 6 -5 + (-7) = -5 + -7 = -12 12 + (-9) = 12 + -9 = 3 + Lo mismo ocurre con las notaciones +a y a, ambas representan al mismo número entero a. a  a  a

Así, es lo mismo: + (+8) = 8 = 8 + + + ( 6)-(-5) = ( 6) + ( 5) = 6 + 5 = 11 OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN En la práctica, la adición y la sustracción en Z pueden ser consideradas como una única operación llamada suma algebraica. Una suma algebraica es un encadenamiento de sumas y restas.

Para realizar correctamente una suma algebraica debemos conocer las reglas prácticas que rigen la supresión de paréntesis. Estas reglas son las siguientes: 1º. Todo paréntesis precedido de un signo + puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su anterior, cada cual con su propio signo. Ejemplos: a) 2 + (7) = 2 + 7 = 9 c) 7 + (-8 -8 + 10) = 7 – 8 – 9 + 10 = 7 b) 13 + (-3) = 13 – 3 = 10 c) 7 + (-8 -8 + 10) = 7 – 8 – 9 + 10 = 7 d) 14 + (8 - 3) + (-5 + 1)=14 + 8 – 3 + 1 = 15 2º.

Todo paréntesis precedido por un signo – puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior cada cual con signo cambiado. Ejemplos: a) 6 - (30) = 6-30 = -24 b) 18 – (-3-8+13) = 18+3+8-13 = 16

Cambiamos de signo a estos términos luego de suprimir el paréntesis, por estar precedido el signo menos.

Recuerda que: Cuando en una suma algebraica aparecen varios signos de agrupación, unos dentro de otros, se empieza eliminando el que está cada vez más al interior. Ecuaciones con suma y resta de enteros. Para resolver ecuaciones con números enteros como x+8=13 o t+(-5)=17, necesitamos que en uno de los miembros de la ecuación que la incógnita sola y que ésta no aparezca en el otro miembro. Los pasos siguientes muestran cómo utilizar las propiedades aditiva y del elemento opuesto para lograr tal fin. Solución de ecuaciones con suma y resta. El procedimiento para encontrar la solución de una ecuación con suma y resta de enteros es el siguiente: 1. 2. 3. 4.

Se determina qué operación (suma o resta) se aplica a la incógnita. Se adiciona a ambos miembros de la ecuación el opuesto de la operación que se aplica a la incógnita (propiedad aditiva) Se anula el sumando asociado a la incógnita, aplicando la propiedad del elemento opuesto, logrando de esta manera aislar a la incógnita. Se efectúa la operación en el otro miembro cuyo resultado es la solución de la ecuación.

Ejemplos: 1.

Resolver y verificar: x + 8 = -13 Resolución: x+8 = -13 x+8–8 = -13-8 x + 0 = -13 + 8 X=-21

A la incógnita x se le está aplicando la operación +8, en el primer miembro. Para anular 8, restamos 8 a ambos miembros de la ecuación, logrando a la variable El resultado de la aplicación en el segundo miembro, es la solución a la ecuación.

Verificación: Al reemplazar x=-21 en la ecuación x + 8 -13 debe satisfacer la igualdad. Veamos x + 8 = -13 -21 + 8 = -13 -13 = -13 satisface.

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

-49 + 86 + x = 37

Efectuar: (+15)+ (-11)-(+17) + (+5) - (-21) Resolución: Expresando las sustancias como adiciones: (+15)+(-11)+ (+4)

(-17)

(-11)

+ (-8)

Verificación: -49 + 86 + x =

(+5) +

(+21)

37

(+13)

OTRA FORMA: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21) Suprimiendo los operadores y paréntesis. +15 – 11 – 17 + 5 + 21

-28

01.

+4 - 17 -13 + 5

13

Reducimos 37 en cada mie

-35 - 37

+x=

-74 + 39 -35

37 + -72 =

-35

-35

-35

=

(

)

PROBLEMAS PROPUESTOS

Agrupamos los números positivos y negativos. +15-11 -17+5+21 +15+5+21 -11-17

+41

-35

 x = -72 Previamente reducimos los enteros en cada miembro. Reducimos 37 en cada miembro.

(-17)+(+5)+(+21) +

+x=

-37 + 37 + x =

Previamente reducimos los enteros en cada miemb

-74 + 39

-8

+

Ordenar de menor a mayor: a) 10; -1; -8; +4; +7; -6; -9 b) -104; -26; -5; 0; -1; +1; +3; +30; - 60; -24 c) -12; 13; +14; -7; -10; -1; 0 Ordenar en forma decreciente: d) -4; -8; -13; 0; -7; +7; +16; -1 e) -26; -32; -5; 0; -1; +1; +3; +30; +19

21

13 2.

A continuación proponemos una serie de ejercicios, donde aplicarás las técnicas y procedimientos para efectuar operaciones de adición y sustracción.

Efectuar: -15 +{7–29 - [-16 - (8 – 3 – 5 + 7)] -4} Resolución: Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave.

02.

-15 + { 7 - 29 - [ -16 - ( 8 - 3 - 5 + 7 ) ] -4 } 7 -15 + { 7 - 29 - [ -16 - ( +7 ) ] -4 } 03.

Resolver y verificar: -263 = n - 45 Resolución: -263 = n – 45 -263 + 45 = n – 45 + 45 Sumando 45 a ambos miembros para aislar la incógnita n. -218 = n ó n   218 Verificación: -263 = n – 45 -263 = -218 – 45 -263 = -263 ()

4. Resolver y verificar: 86 + x = -74 + 39 Resolución:

d) -9 + (-7)=

e) -16 + (-15)=

f) -33 + (-28)=

g) 12 + (-9)=

h) -27 + (+18=

Escribe en los espacios en blanco, los números que faltan:

-3

-18

3.

c) 25+ (-72) =

i) -5 + 37 =

-23 -15 + { 7 - 29 - [ -23 ] -4 } -15 - 3

Halla el resultado de las siguientes operaciones: a) +8 + +9= b) 6 + 18=

a) 5 + …….= 9

b) +9 + ………=-3

c) …….+ -7 = -3

d)-8 + ……=-13

e) -9 + …… = 15

f) …….. + 6 = -12

g) 4 + …….= 17

h) -13 + ……..=16

i) …….. + (-7)=-20

04.

Hallar el resultado de: a) -40 + (-30) + -80= b) (-5)+(+8)+(+1)+(+2)+(-6)= c) +36 + (+74)+208=

-49 +

d) -4 + (+9)+(-5)+(+10)+(-9)= e) 3 + (-5)+(+4)+(-1)+6= f) +5+ +2+ -5 + -7+ -4 + -6= g) -36 + -112 + 144 + 50= h) -240 + -1260+ +1550=

05.

06.

Si: A=7 + (-49) + (+15) + (+18) + (-19) + (-25) + (+48) + (+2) y B=-32 + (-9+14) + (-7) + (+6) + (+1). Hallar el valor de (A + B + 20) a) +8 b) +12 c) -15 d) -10 e) N.A

h) 02.

b) 23 - -(17 + 14 + 35) + 24 - 8 – 4 - (3 + 7)

c) (-36 + 24) + (18 - 15) – (39 + 7 - 42)

07.

08.

09.

10.

El cajero automático “Scoth” inició sus operaciones con 800 dólares; si hasta el medio día tuvo retiros por un total de 600 dólares luego del cual se le colocó otra remesa de 1000 dólares ¿Con cuánto dinero “Scoth” reinició sus operaciones en la tarde? a) 130 b) 1300 c) 1000 d) 120 e) 1200 4 grados bajo cero es la temperatura que se registró el día de ayer, si hoy el termómetro indica 17º C, ¿Cuántos grados centígrados aumentó la temperatura con respecto de ayer? a) 17º C b) 13º C c) 21º C d) 19º C e) N.A. Danilo decide escalar el nevado Aconcagua. Al empezar avanza 18 m, resbala y desciende 4m, vuelve a subir 15m, resbala y cae 2 m, asciende nuevamente 9 m, y vuelve a descender 1 m. ¿A qué distancia se encuentra Danilo con respecto al inicio de sus travesía? a) 42 b) 30 c) 40 d) 35 e) 38

TAREA DOMICILIARIA 01.

d) 21 7

(8 – 4 + 7 - 2) + (-13 + 5 -7) – (-4 – 3 + 8)

b)

(-4 + 12) + (7 - 3) - (9 + 6 - 5) - (8 - 12)

c)

30–(18–19+21) – (23 – 20 - 2) - 12 – (8 5)

b)3 + 4 – 5 -3 + 6 - (2 + 3) - 5 + 9 + 5 c)

- 4 + 3 – 5 – 8 + (7 - 9) -3 + 8

d)

-(6 + 4 - 7) + -8 + 5 – (3 - 2) + 7 - 9

e)

1 – 6 + 4 - 3 – (7 + 6 - 5) - 8 + 9 – (7 + 6)

f)13 – (4 + 3 -5) + 7 - (3 + 2 - 6) + 8 - 3 g)22 - -5 + 7 - (8 + 3 - 4) + 1 3 – 12 + 6 + 8 h)- 8 + 7 - - 4 + 5 - (3 + 2 +8) +9 - 5 + 4 i)18 - 4 + 7 - 5 + 4 – 3 + (8 - 2) + 6 - 7 j)(-12 + 7) + (-6 – 5) - 4 + 3 – (5 - 8) + 17

03.

Sabiendo que: a=12; b=-13; c=-24; d=+37; e=58. Hallar el valor de: a) (a+b)+c b) (c+e)+c c) d+(b+c) d) (c+e)+c e) (d+a)+b f) e+(d+c) 04.

05.

87 - (49 – 26) - 33 - 85 + (12 – 7 + 8)

e)

57 – (41 – 36) -

c) +5

Daniel sumó -8 al opuesto de -4, ¿Qué número se debe sumar a dicho resultado para obtener 10?

Al número que pensó Carlos se le restó -7 y a este resultado se le sumó el opuesto de 12, obteniendo -24 ¿Qué número pensó Carlos? Rpta.:…………….

 53 - 26 + (13 - 45) +

12

Sabiendo que: S=36+(-52)+(-7) C=-18+(+16)+5. Hallar el valor de: a) –37 b) –47 d) –49 e) N.A.

Rpta.:……………. 06.

d)

 -31 + 8 + -5 -4 - 9 - -3 -

03. Resuelve suprimiendo paréntesis, corchetes y llaves. a)-9 + 5 – 2 - 4 + 3 – (7 + 6 - 9) + 5 - 4

Halle el resultado de cada una de las siguientes operaciones combinadas: a)

Halle el resultado de cada una de las siguientes operaciones combinadas: a) (-16 + 7 - 5) + (12 - 5 - 8) – (-7 + 2 + 9)

Si al número -32 le restamos el opuesto de -17, se obtiene un número que es opuesto de: a) -49 b) 49 c) 15 d) -15 e) N.A

Un cangrejo avanza hacia el norte 20 pasos, retrocede hacia el sur 8 pasos, vuelve avanzar 6 pasos y finalmente retrocede 5 pasos. Averiguar: * ¿Cuántos pasos dio en total el crustáceo? * ¿A cuántos pasos se encuentra del punto de partida, y en qué sentido? a) 38 y 13 b) 39 y 15 c) 39 y 13 d) 40 y 10 e) 45 y 18

62– (14– 17+ 15)- 12+(36 + 41)- 18 + 35

07.

f)

39 - 27 – 42 – (19 - 35) + 18 - 37 + 8

En la ciudad de Cerro de Pasco la temperatura al medio día es 8º Cy hasta le media noche desciende 14º C. ¿Qué temperatura indicará el termómetro a la media noche?

g)

23 - -(21 – 56) + 19 - (54 + 8 – 37) + 26

Rpta.:…………….

08.

09.

Se sumó un cierto número a 7 y se obtuvo como resultado el menor número primo, ¿Cuál es el opuesto del número que se adicionó?

años; si Carlos empezó aportar ininterrumpidamente desde el año 1947, ¿En qué año nació?

Rpta.:…………….

Rpta.:…………….

El opuesto de 53 es el resultado de sumar un número con 47; si a dicho número se le hubiera restado -32, ¿Cuál habría sido el resultado?

14.

Rpta.:……………. 10.

Una persona nació en el año 42 a. C., si vivió hasta los 89 años, ¿En qué año murió?

Un alpinista se encuentra al pie de una montaña a la que va a escalar. Después de haber subido 47 m se resbala y desciende 6 m, vuelve a subir 38 m, resbala y desciende 9 m, nuevamente sube 76 m y vuelve a descender 5 m; si la montaña tiene 294 m, ¿Cuántos metros le falta al alpinista para llegar a la cima? Rpta.:…………….

Rpta.:……………. 15.

11.

En una editorial, cada 2 horas se despacha 458 libros y se recibe 230 libros desde el inicio de la jornada. Si a las 3:10 p.m. había en la editorial 700 libros, ¿Cuántos libros había en la editorial al inicio de ese día, si se empezó a laborar a las 9:00 a.m.? Rpta.:…………….

Un cambista durante el día ha comprado 587 dólares y ha vendido 1109 dólares; si se va a su casa con 235 dólares, ¿Con cuántos dólares empezó el día? Rpta.:…………….

12.

Un helicóptero se ubica a 237 m. sobre la cima de una montaña, de él desciende 1432m. un tripulante sujeto a una cuerda; hasta encontrarse con un grupo de escaladores que habían ascendido 2392 m. de la montaña. ¿Cuál es la altura de la montaña? Rpta.:…………….

13.

Carlos se jubiló a los 64 años de edad, después de haber aportado al seguro social durante 39

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Una manera de comprobar que le producto de un entero positivo y uno negativo es un entero negativo, es la siguiente: 4 (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = 12 Producto Negativo 4 veces Factor positivo

Factor negativo

Factor positivo En general:

3 (-2) = (-2) + (-2) + (-2)= 6 3 veces

Producto Negativo

Factor negativo a(b)  (b)  (b)  ...  (b)   (a . b) "a "veces

La siguiente afirmación utiliza la definición del opuesto de un número entero, para indicar que el producto de dos enteros es positivo: Sabemos que 4(-3) = 12  Entonces el opuesto de 4(-3) es igual al opuesto de (-12) e igual a 12, op 4(-3) = op -12 = 12 ……………………………………….(1) 

Pero el opuesto de 4 (-3) es también igual a -4(-3), sea. op 4(-3) = -4(-3) ……………………………… (2)

o sea.

De (1) y (2) : -4(-3) =12 Producto positivo

Factor negativo Factor negativo

a(b)   (b)  (b)  ...  (b)  a . b "a " veces

A continuación, resumimos los principales casos de multiplicación de número enteros: Esta operación presenta tres casos que veremos a continuación: I.

Caso: Los dos factores son positivos. Si los dos factores son positivos, el producto es positivo Ejemplos: a) (+7) · (+3) = +(7 · 3) = + 21 b) (+25)(+8) = +(25 · 8) = + 200

II.

Regla de signos: Más por más da más (+) · (+) = +

Caso: Un factor es positivo y el otro negativo. En este caso el producto tiene signo negativo.

Regla de signos: Más por menos da menos (+) · (-) = Menos por mas da menos (-) · (+) = -

Ejemplos: a) (+7) · (-8) = -(7 · 8) = -56 b) (-12) · (+6) = -(12 · 6) = 72 III.

Caso: Los dos Factores son negativos Si los dos factores son negativos, el producto es positivo. Ejemplos: a) (-5) · (-3) = + (5 · 3) = 15 b) (-9) · (-12) =+ (9 · 12) = 108

Regla de signos: Menos por menos da más (-) · (-) = +

Resumiendo:

Si los dos factores tienen Igual signo

Distinto signo el producto es negativo

el producto es positivo (+) · (+) = + (-) · (-) = +

(+) · (-) = (-) · (+) = Ejemplos: (+6) · (-2) = -12 (-15) - (-3) = -45

Ejemplos: (+7) · (+9) = +63 (-5) · (-4) = +20

Multiplicación de tres o más números enteros: Se multiplica agrupando convenientemente los factores de dos en dos: Ejemplo: Efectuar (-5)  (+2)  (+7)  (-7)

(-5) · (+2) · (+7) · (-3) =(-10) =

Recuerde que:

·

(-21)

+210

9 x 7 = 63

producto factor factor

¡Atención! Supresión del signo “x”Cuando los factores de un producto se representan por letras se suele omitir el signo de multiplicar. Escribiremos pues, ab en lugar de a x b o de a · b

También se suprime el signo de multiplicar cuando algún factor está en un paréntesis, se escribe pues:

a(b + c) en vez de; a x (b + c) Y también: 3a + 5 en vez de: 3 x a + 5  El valor absoluto del producto se obtiene multiplicando los valores absolutos de los factores.  El producto es positivo si el número de factores negativo es par, y es negativo si el número es impar. Ejemplo: a) 2 · (-3) · 4 · (-5) = 120  b) (-2) · (6) · (-4) = -144 

(El producto es + ya que el número de factores negativos es par). (El producto es – ya que el número de factores negativos es impar).

Ahora pasaremos juntos completando los espacios punteados: c) (-4) · 7 · (5) · (-2) · 9 = …………… producto ………..…... nº factores (-) es……….. d) (-5) · (6) · 1 (-3) · (-4) = …………. producto …………..… nº factores (-) es.………. e) (-2) · (-3) · (-4) · 8 (-5) · (-6) · (-7) =…... producto…….… nº factores (-) es……….. Operaciones combinadas de adición, sustracción y multiplicación en Z En las operaciones donde intervienen adicción, sustracción y multiplicación de números enteros los cálculos se realizan en el siguiente orden: 1º 2º 3º

Se efectúan las operaciones indicadas dentro de los símbolos de colección, de adentro hacia afuera. Se efectúan los productos. Se efectúan las adiciones y sustracciones:

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Observa como el cociente de dos números enteros se puede encontrar a partir de una multiplicación.

Facto r  6 6 6 6

   

Facto r  9 (9) 9 (9)

   

Pro ducto  54 54 54 54

   

Pro ducto  54 54 54 54

Facto r  9 (9) 9 (9)

: : : : :

Dividendo

Divisor

    

Facto r  6 6 6 6 Cociente

La división es la operación inversa de la multiplicación que consiste en los siguiente: “Dados dos números enteros llamados Dividendo y Divisor (éste diferente de cero), hallar un tercer número llamado Cociente, que multiplicado por el divisor dé el dividendo”. Dividendo : Divisor = Cociente  Divisor x Cociente = Dividendo

Simbolicamente

D : d = c  d · c = D donde

d 0

Ejemplos: Encontrar los siguientes cocientes y verificar con una multiplicación. DIVISION D : -20 : 36 : -28 : 98 : -105 :

d (-5) (-3) 4 2 (-15)

= = = = = =

c 4 -12 -7 49 7

     

VERFICACION d .c = (-5) . 4 = (-3) · (-12) = 4 · (-7) = 2·9 = (-15) · 7 =

D -20 36 -28 98 -105

REGLA DE SIGNOS (+) : (+) = (-) : (-) = (+) : (-) = (-) : (+) =

+ + -

OBSERVACION: a o a b b número  no existe B. La división de un número por cero no está definido por tanto: 0 EJERCICIOS DESARROLADOS b) (+8)(-16) = ………………..

A. La división de a por b se puede indicar de las siguientes formas: a : b,

01. Efectuar:

c) (+15)(+13)

= ………………..

d) (-17)(-11)

= ……………….

R=

-5 + 3 x 8

-

(4 - 1 x 5)

e) (-21)(-17)

= ………………..

R=

-5 + 24

-

(4 - 5)

f) (+14)(+25)

= ………………..

-

(-1)

g) (+77) (-11)

=………………...

h) (-47)(-1)

=………………...

i)

(+23)(-12)

= ………………..

j)

(+37)(-19)

= ………………..

R=

-5 + 24

R=

-5 + 24 + 1

R=

20

02. Efectuar:

M = -12 [-6-10 x (-2-3)] M=

-12 [-6-10 x (-5)]

M=

-12 [-6 + 50]

02. Complete los siguientes cuadros

x

+4

-3

-1

-9

-5

-18

+3

-9

+8

M = -12 [44] M=

+2

-4

-528

4

-6

-40

18 CUADRO I

03. Efectuar E  50  50   3  3  (4  4  2)  5  5 x2 

E  50  50   3  3  (4  8)  5  10  E  50  50   3  3  (4)  5  E  50  50   3  12  5  E  50  50   20 



3

-8

7

-9 +3

-1

12

-18 -9

7 -1 6

4

-12

-48 CUADRO II

E  50  1000 E  950

03. Realice las siguientes operaciones: a= -5  -38+2(-24+47)+25

04. Efectuar:

A  2  3  5  (7  3  5)  2  3  9   3  2  6  A  2  3  5  (7  15)  2  27   3  12  A  2  3  5  (8)  29   9  A  2  3  40  29   9  A  2  3  69   9  A  2  207  9 

b= 32-823+4(-7)+9-12+17 c= 7(-3)-15+(36-5)2(-9+4)+12 d= 46-53+(-8)(42-17)+8(-4-5) e= 38-2-5+6(-3+27-19)-43 f= 43--6-4(-16+52)-5-83-56+2 04. Resuelve: a= (-7+2)(-3)+5-(8):(+2)+(-4)+(-9):(+3)

A  2  216 A  214

b= 4+3(-2)+5+7-12):(+4)-9:(-1) c= 12+(-8+3) · (-4):(-9):(-3)-1 PRACTICA DE CLASE

01. Halle el resultado de cada par de factores: a) (-24)(-12)

= ………………..

d= (-7+8-5) · (-3)+8-(-10):(+2)-7·(-2) e= 17-4:(-2)+3·(-2)+36:(-4)+(-2)5

06.

Re ducir : E 

a) 10 d) 11

03. Colocar dentro de las figuras los números convenientes para que estas igualdades sean ciertas:

4  4  8  2 5 6 8 4

b) -10 e) 1

c) -11

07. Reducir: 6-46+5-(3+2)-4-3 a) 5 d) 3

b) 4 e) 1

c) 2

08. Si: A=(-3)-(-5)-(1) y B=-5--3+2+(-8) AB Hallar : AB a) 1,32 d) 1,75

b) 2,25 e) 1,25

a)

52 = 6x

c)

49 =

g)

147=28 x 5 +

i)

396=

2. (185)(-3)

=……………………..

3. (239)(-7)

=……………………..

4. (-7)(241)

=……………………..

5. (20)(-106)

=……………………..

6. (379)(-1)

=……………………..

7. (-8)(-102)

=……………………..

8. (-16)(100)

=……………………..

9. (-36)(-25)

=……………………..

10. (120)(-12)

=……………………..

x8 + 4

h) 248=11x

=17 x 16 + 18

+6

j)

409 = 12 x

+13

l)

555= 49 x 11 +

03. Halle el resultado de cada par de factores. a) (-4)(+6)

=…………………..

b) (+2)(-8)

=…………………..

c) (-7)(-9)

=…………………..

d) (+5)(+3)

=…………………..

e) (-8)(-2)

=…………………..

f) (+7)(-5)

=…………………..

g) (-1)(+8)

=…………………..

i)

=…………………..

(-4)(-5)

c) 1422 04. Resuelva: a= (-26+39)  (14 – 3  6) b= -25 + 23  (-4)+(-9)  (-8) c= 6 (-7) + (-9)  12 - 4(-8)

01. Halle el resultado de cada par de factores: =……………………..

92=

c) 1,50

TAREA DOMICILIARIA

1. (-272)(4)

f)

x 19 + 16

k)

= 5x + 12 + 3

d) 75 = 7 x 9 +

=7 x 12 + 14

10. Un alumno en lugar de multiplicar por 13 a un número, lo multiplicó por 31, obteniendo como resultado 3999. ¿Cuál debió ser la respuesta correcta? b) 1361 e) 1677

b)

x 5+1 4

e)

09. El producto de dos números pares consecutivos es 168. Hallar la suma de los números. a) 60 b) 50 c) 42 d) 30 e) 26

a) 1320 d) 1323

+4

02. Resuelve: a) 4+12:(-2)+4(-3):4+15:(-3)-4(-2)+2 b) -7+4(-2):(-4-1)+2-3+4:(-2)+7 c) 23-3(9)+4:-7+2(-4)+(8):(-2)+5 d) 5+3(-6)+4+(-12):(-3)+2:(-5):(-4) e) (-18):(+6)+-9+24:(-3)+7(-2)+4(-3)

d= 82 – 35  6  (-3) + 22 - 12  (-9) e= 32--5 + 3  (-2)+ (-3)  (-5 + 8)

05. Realice las siguientes operaciones: a= 76 - 4-5+39+5(-35+14) b= (-12)45+6(-12)-(-36+9)24-(-5)(4) c= -8+36+4(-7)+(-6)9+3(-7) d=7-3-5-4(-36+24)-7(-5)-3(-9) 06. ¿Cuál es el menor número entero que al multiplicarlo por 240, el resultado tenga raíz cuadrada exacta? a) 12 d) 24

b) 15 e) 30

c) 18

07. El producto de dos números es 720. Si se añaden 6 unidades al multiplicando, entonces el producto es 816, ¿cuál es el multiplicador? a) 72 d) 16

b) 36 e) 32

c) 45

ELEMENTOS ALGEBRAICOS. El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente. Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán más entendibles y familiares. 1. CONSTANTE Concepto. Es todo aquello que no cambia de valor. Ejemplo:  El ancho de esta hoja.  El número de departamentos del Perú.  La cantidad de dedos de tu mano derecha.  Las vocales.

   

Recuerda Las constantes se representan con números.

Cada uno de los ejemplos anteriores se puede expresar con número. Así: El ancho de esta hoja es. Los departamentos del Perú son 24. La cantidad de dedos en tu mano derecha es 5. Las vocales son 5.

¿Sabías que? La vocal “e” en matemáticas representa a una constante su valor es 2,7182…

Ahora tu: Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con números.  El largo de ___________________________________________  ____________________________________________________  ____________________________________________________  ____________________________________________________ 2. VARIABLE Concepto. Todo aquello que cambia de valor o que no es constante.

Recuerda

Ejemplo:  La edad de una persona en el transcurso de su vida.  El número de campanadas que da un reloj cada vez que indica una hora.  La cantidad de personas en el Perú.  El número de peces en el mar. Los ejemplos anteriores se pueden expresar mediante letras así:

   

Representación Literal La edad de una persona x El número de campanadas que da un y reloj en una hora cualquiera. La cantidad de personas en el Perú. z El número de peces en el mar. W

Las variables se representan con letras.

¿Sabías que? Generalmente las variables se representan con las últimas letras del alfabeto.

Ahora tu: Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representación literal.  ________________________________________  ________________________________________  ________________________________________  ________________________________________

3. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. Constante

7

Exponente

Multiplicamos

7x

Variable

x

Ejemplo: Observa como las constantes y variables se multiplicar para formar términos algebraicos:

Término Algebraico

2

x

TÉRMINO ALGEBRAICO 2x

-13

xy

-13xy

7x = 7x y el término

-4

x2y

-4x2y

1x = x

21

x2y3

21x2y3

7

x9y2z3

7x5y2z3

CONSTANTES VARIABLES

Observa El término algebraico: 1

2

2

Ahora tu: En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos.

3.1

CONSTANTES

VARIABLES

3

x

-2

Y

12

xw

-14

xyz

20

x2

32

X2z

-7

x3z2

9

x5w3z

TÉRMINO ALGEBRAICO

PARTES DE UNA TÉRMINO ALGEBRAICO Consta de 2 partes. 7 x2 y3 Parte Constante

Parte Variable

Ejemplo: En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable:

TÉRMINO ALGEBRAICO

PARTE CONSTANTE

PARTE VARIABLE

2x

2

x

-3xy

-3

xy

17xyzw

17

xyzw

-12x y

-12

x2y

20x3y2

20

x3y2

-10x8y5z4

-10

x8y5z4

2

Recuerda Los exponentes de las variables siempre deben ser números.

Ahora tu: Completa la siguiente tabla:

TÉRMINO ALGEBRAICO

PARTE CONSTANTE

PARTE VARIABLE

5x -4wz

14ywz -45x2w 34x3z5 -16x12y7w10 12wz3yx24 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

6.

¿Cuál de las siguientes expresiones no es un término algebraico? ¿Por qué? a) 7x-2 d) 5

b) –xywabpq e) –x-1

c) 24799x2y5

2. Completa la siguiente tabla: Término Algebraic o 5x-9y2 4x-1wz3 -25x3y8w-4 -14x-4w5z3

Parte Constant e

Parte Variabl e

Exponent es

3. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son falsas: I) -3 es un término algebraico. II) En un término algebraico las variables pueden tener exponentes negativos. III) Un término algebraico tiene tres partes: parte constante, parte variable y exponentes. a) I y III d) I y III

b) Sólo I e) Todas

c) Sólo II

4. Se busca un término algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes ¿cuál cumple con la condición? a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4 8 7 d) 12y e) 14m 5.

Con las siguientes constantes y variables: 4, x5, z3. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se pueden obtener? Indicalos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

¿Cuántos términos algebraicos con parte variable: x2w5 existen tal que su parte constante sea un número par de una cifra. Dar por respuesta aquel término donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea máxima? a) 15 b) 17 c) 16 d) 14 e) 18

7.

Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante: a) El número de días del mes de Agosto.( ) 12 b) El número de estaciones del año. ( ) 5 c) La cantidad de campanadas de un reloj al medio día. ( ) 4 d) La cantidad de sentidos en el ser humano. ( ) 31 8. En el siguiente texto subraya las variables que puedas encontrar. ¿Cuántas son? El número de días del mes febrero es un problema pues yo siempre celebro el 29 de febrero el día de mi nacimiento y depende de esto la edad que tengo. a) 3 d) 0 9.

b) 2 e) 8

c) 1

Toma solo uno de los siguientes números: 2; 5; 4 y solo una de las siguientes letras: w; z; multiplicalos. ¿Cuántos términos algebraicos como máximo se formaran? a) 5 d) 3

b) 4 e) 7

c) 6

10. Representa con ayuda de algebraicos las siguientes frases:

términos

a) El dinero de una persona. b) El quintuple de la temperatura ambiental. c) Siete veces la distancia Tierra – Sol. d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido.

Tomando un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B. ¿Cuántos términos algebraicos se pueden formar?

11. Completa el siguiente cuadro: Término Algebraico -4x -x 8x5y2z 325x2wa

Parte Constante

Parte Variable

a) 2 d) 4 4.

5.

Halla el área de las siguientes figuras: I)

II)

x3

2 x2y

5 III)

6.

a) El área de III es un término algebraico. b) Las áreas de I y II son términos algebraicos. c) Sólo el área de II es un término algebraico. d) Las áreas de I y III son términos algebraicos. e) Todas las áreas son términos algebraicos.

Parte Variabl e

Exponent es

Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones. a) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. b) Menos el doble del área de un triángulo. c) Menos tres veces el área de un círculo. d) El cuadruple del área de un cuadrado.

3

w2 xy3

-4 7

z2y5 xw

En cuál de los siguientes términos algebraicos: I) 15x3y1 II) 3x2w-1 III) -2xwz5 Se cumple que la suma de su parte constante con los exponentes de su parte variable es un número que se puede dividir entre cinco. a) En II d) En III

Se tiene los siguientes conjuntos:

A

Señala cuál o cuáles de las siguientes proposiciones no son ciertas: I) Las únicas letras que se pueden utilizar para representar a la variables son: x, y, z, w. II) x es un término algebraico. III) El exponente de una variable en un término algebraico puede ser. a) I y III b) II y III c) I y II d) Ninguna e) Todas

7.

3.

Parte Constant e

3

Según los resultados se puede afirmar que:

2.

b) II y III c) Sólo II e) Todas

Completa la siguiente tabla: Término Algebraic o 4x5y-1 -x-1 -3x-2 -xy2 5xy2z3w4

TAREA DOMICILIARIA

c) 6

¿Cuál de las siguientes expresiones es un término algebraico? I. -35 II. -2x-3 III. z2wx a) Sólo I d) I y III

12. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son Falsas? I) 3 es un término algebraico. II) 3x2yw es un término algebraico. III) x es un término algebraico.

1.

b) 5 e) 3

B

b) En I c) En I y II e) En ninguna

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Recuerda

TÉRMINO ALGEBRAICO

Un término algebraico es una expresión que une Parte Constante y Parte

7 x5w3

Variable.

Parte Variable

Parte Constante

Observa

Ejemplo:  5x



 3xy

 9x3w2z5

 2x3y

 -5x3wzy3

-4x4z7

Parte Constante y Parte Variable se unen mediante la operación de multiplicación.

TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que poseen la misma parte variable. Ejemplo: Los siguientes términos algebraicos tienen igual parte variable:  5x2z8

 -7x2z8

 -2x2z8

 x2z8

 8x2z8

 -x2z8

Por tanto son términos semejantes.

Los Términos Semejantes son como los integrantes de una familia donde los nombres son la parte constante (son diferentes) y los apellidos son la parte variable (son iguales para todos).

Ahora tu: Escribe 8 términos algebraicos semejantes a: 3x 2wz3  ______________



______________

 ______________



______________

 ______________



______________

 ______________



______________

1.1

Vieta, matemático francés (1540 – 1603 aun cuando no fue el primero en usar letras, es el primero que sintetizó todos los símbolos conocidos en su tiempo. Entre 1584 y 1589, se dedicó enteramente a las matemáticas, estudiando las obras de Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin y Diofanto.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Solo los términos semejantes se pueden sumar, a este proceso se le llama reducción. En la suma de términos semejantes solo intervienen las partes constantes.

Ejemplo: Sumar los siguientes términos semejantes: 5x 2, 2x2 5 x2 +

2 x2 =

7 x2

5

2

7

+

=

Observa

 9x3y5 + 3x2y5 = 12x3y5  -8xwz2 + 10xwz2 = 2xwz2

Para sumar términos semejantes solo se toma en cuenta a las partes constantes. La parte variable solo se repite.

 -9wyzx + 4wyzx = -5wyzx

Ahora tu:  2x5 + 3x5 =  8xy – 3xy =  2w2z – 4w2z =  -2z2x + 8z2x =  -4xzw + 3xzw =  8x3zw + 2x3zw =  9wz – 7wz =  -12x2y5 + 13x2y5 =  -6y3zwx + 3y3zwx =

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es una suma limitada de términos algebraicos no semejantes pudiendo incluirse en esta suma alguna constante. Ejemplo:  Tenemos los siguientes términos algebraicos no semejantes:

2x3y ; 3xy 3 Si los sumamos: 2x y + 3xy obtenemos una expresión algebraica. sumamos

 Términos Algebraicos

Expresión Algebraica

2x5y ; 4xw

2x5y + 4xw

3wz ; 5xy

3wz + 5xy “Una expresión algebraica es un Término Algebraico o una suma limitada de términos algebraicos no semejantes”.

Ejemplo: Los siguientes son expresiones algebraicas:  3x2



Término Algebraico

 5x3 + yz + 3z



Suma de Términos Algebraicos



Término Algebraico



Suma de Términos algebraicos

 8xyz-3  7x + 8y +

3z3

+

x3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

2.

3.

4.

Relaciona correctamente semejantes: a) 5x2 ( ) b) -2xy ( ) c) –xw3z5 ( ) d) 9x3w5 ( ) e) 3x3y3 ( )

los

8. términos

Se tiene los siguientes términos semejantes: 2xm; 3xn I) Los términos semejantes tienen sus partes variables iguales. II) m = n III) m  n a) Sólo I y II d) Todas b) Sólo II y III e) Sólo III c) Sólo I y III Reduce los siguientes términos semejantes: I) 5x + 3x II) 4x3w + 4x3w III) 2x2z + 7x2z IV) 3x2y2 + 6x2y2 V) 13xw – 3xw Dar por respuesta el término de mayor parte constante. a) 17xw b) 8x3w c) 9x2z 2 2 d) 10xw e) 8x y ¿Cuál de los siguientes casos no se puede reducir? I) 5x3y – 4x3y II) -2xw + xw III) x2yz + 3x2wz a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Todos e) Ninguno

5.

Al sumar los siguientes términos algebraicos: 3xw; 2x2; 8xw; 5z se obtiene una expresión algebraica. Señala cuántos términos posee: a) 4 b) 6 c) 3 d) 5 e) 1

6.

Dados los siguiente términos algebraicos: 7xy; -2x2; 8zw; 4xy; 3x2; -zw; 5x2; x2; agrupa los términos semejantes. ¿Cuántos grupos se forman? a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 1

7.

Se tienen los siguientes términos algebraicos: mx7; -4xb. Indicar lo falso: Obs.: m es constante I) Para que se puedan reducir necesariamente: m = -4 II) Para que se puedan reducir necesariamente: III) Para que se puedan reducir deben ser términos semejantes. a) Sólo I b) Sólo II y III c) Sólo II y I

-5wa + 2w6 = -3w6

Hallar: a + 1 a) 6 b) 7 d) 9 e) 0

2xw3z5 -7x3y3 -10xy -x2 x3w5

d) Sólo III e) Todas

Dada la siguiente reducción de términos semejantes:

9.

c) 8

¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas? I) 2x + 7 II) 2E + 7 III) 2w + 7w Representa mejor la frase: “El doble de mi edad, aumentado en 7” a) Sólo I d) Sólo I y III b) Sólo II e) Sólo I y II c) Sólo II y III

10. Señala cuál de las siguientes expresiones no es algebraica: I) x3 + 2x2 + 4w II) x + x2 + x3 + x4 + x5 + … III) 3wx2 - 2 a) I y III b) Sólo III c) Sólo I d) Todas e) Sólo II 11. Respecto a: 7x3w8. ¿Cuántos términos semejantes adicionales existen tal que su parte constante sea un número entero positivo y de una sola cifra? a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) No se puede determinar 12. Se tiene los siguientes términos semejantes: -2xmz7; 4x2zn; -x2z7 Hallar: m  n a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 e) 4 13. En la siguiente reducción de términos semejantes: -15xmy2 + 4x5yn = -11x5y2 Hallar: “mn” a) 5 b) 10 c) 2 d) 3 e) 7 14. Relaciona correctamente: Frase

Expresión

Algebraica a) Al doble de mi edad le aumento 10 años.

(

b) El precio de tres caramelos menos el precio de dos galletas.

(

c) Suma del área de un cuadrado con el área de un rectángulo. d) Al producto de dos números le resto el cuadrado de uno de ellos y finalmente agrego cinco veces el otro.

(

(

)

3C – 2G )

y2 + LH

) wz – w2 + 5z

)

2E + 10

15. Se tiene las siguientes figuras:

x

6.

En la siguiente “sopa” de Términos Algebraicos: Rescata y forma grupos con los términos semejantes que encuentres. Dar por respuesta la mayor cantidad de integrantes que posee uno de estos grupos. a) 9 b) 7 c) 12 d) 10 e) 6

7.

En la siguiente reducción de términos semejantes: axb + cxd = 7x4 Indicar lo correcto: I) b=d II) b=d=4 III) a + c = 7 a) Sólo II y III d) Sólo I b) Sólo I y II e) Todas c) Sólo I y III

8.

Dada la siguiente reducción de términos semejantes: -4x5 – 3x5 = mxn Hallar: m + n a) 2 b) -2 c) 12 d) -12 e) -35

9.

Se tiene el siguiente texto: “El Lunes compré cierta cantidad de naranjas, el martes el doble de estas, el miércoles el cuadrado de la cantidad que compre el primer día”. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la expresión algebraica que mejor representa la cantidad de naranjas compradas en los tres días? a) N + 2N + x2 d) N – 2N + N2 3 b) N + 2N + N e) N + 2N + N2 c) N + N + N2

n

x

2

¿Cuál de las siguientes m expresiones algebraicas representa la suma de sus áreas? a) x2 + 2m b) x2 + mn c) x + 2mn d) x + mn e) x2 + 2mn

TAREA DOMICILIARIA 1.

Asocia correctamente semejantes:

a) b) c) d) e) 2.

4x –w3z 124yxw -357w3z5 -7y2z2

) ) ) ) )

términos

-3yxw 4w3z5 14y2z2 187x -5w3z

Se tiene los siguientes términos semejantes:

-3xmy2 ; 4x5yn

Hallar: m + n a) 7 d) 10 3.

( ( ( ( (

los

b) 6 e) 4

c) 3

Reduce los siguientes términos semejantes:

a) 5x + 4x = b) 12x2 – 5x2 = c) -4xw + xw = d) -2x2z3 + 4x2z3 = e) -3wy2 – 2wy2 = f) 4xyz + 5xyz + 2xyz = g) 9x2 – 2x2 + 8x2 – 20x2 = 4.

5.

Respecto a la reducción de términos semejantes. Indicar lo correcto: a. Sólo los términos semejantes se pueden sumar o restar. b. En la reducción de términos semejantes solo se intervienen las partes constantes. c. -2x2y – 5x2y = -7x2y a) Sólo III d) Ninguna b) Sólo II y III e) Todas c) Sólo I y II Suma los siguientes términos algebraicos: 5x2; 2wz; 3xy; 4x2; -2xy; 8wz; 9w2; -7x2; 8xy – 12w2. Luego de reducir señala cuántos términos presenta la expresión algebraica resultante. a) 10 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2

10. Señala en que caso no se tiene una expresión algebraica: a. x3 + 2x – 1 b. xy + xw + 4 c. 4 + 5 - 7 a) Sólo II b) Sólo I c) Sólo III d) Sólo I y II e) Todas 11. Señala el par de términos algebraicos que no son semejantes: a. 3x5w4 ; 3x5w4 b. -7w3y2 ; 7y2w3 c. 3x5y2z4 ; 2z4y5x3 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Todos e) Sólo I y III 12. Señalar cuál de las siguientes reducciones es incorrecta: a) 5xy – 8xy = -3xy b) -8x2z – 2x2z = -10x2z c) -10w2y3 – 7w2y3 + 4w2y3 = -13w2y3 d) 8yz2w3 – 4yz2w3 + 5yz2w3 – 10yz2w3 = -yz2w3 e) 5x2y3 + 2x2y3 – 4x3y2 = 3x2y

MONOMIOS

1. MONOMIO Es un término algebraico, donde los exponentes de las variables deben ser números enteros y positivos. Ejemplo:

NOTA:

 3x

 7y5w

 5yw

 -8x3z6

 -2w3

 12x2yz3

Los exponentes en un término algebraico son cualquier número. Los exponentes en un Monomio son enteros y positivos.

Ahora tu: Con los números: 3, 4, 7 y las letras: z, w Forma 8 Monomios. Ejemplo:  7zw4

 _________________

 _________________

 _________________

 _________________

 _________________

 _________________

 _________________

Los Monomios se pueden sumar y restar, pero antes recordemos como se realizan estas operaciones con los números enteros. 2. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Para sumar o restar Monomios estos deben ser semejantes, es decir, tener la misma parte variable. Ejemplo: 

3x + 2x

Se pueden sumar porque tienen la misma parte variable.



5x + 3x2

No se pueden sumar pues sus partes variables no son iguales.



4w – 5x

No se pueden restar porque las partes variables son diferentes.

¡ Fácil ! Para sumar o restar Monomios solo se trabaja con las partes constantes y al resultado se le agrega la parte variable común. Ejemplo: 5x – 7x Nos olvidamos de la parte variable, así: 5 –7 Hallamos el resultado, así: 5 – 7 = -2x Resultado

3.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Si:

3x2y – 10x2y + 5x2y = axmyn Hallar: a + m + n a) 4 d) 2

I. Halla el resultado en cada operación:

1. 2x + 5x = 2. 3w + (-5w) =

4.

Si: Hallar: m a) 9 b) -9 d) 12 e) 5

4. (-7y) + 3y = 5. (-2x) + 5x = 5.

6. (-8w) + (-3w) =

Si: Hallar:

8. 5y – 3y =

n+p m +a

a) 1 d) -3

9. (-8x) – (-5x) = 10. (-4w) – 3w =

b) 5 e) 2

TAREA DOMICILIARIA 1. 9x + 2x =

1.

3x2 + 4x2 + 7x2 =

2.

4w3 + 2w3 – 8w3 =

3.

5z4 + 7z4 – 2z4 =

4.

-12y5

5.

-5x7 + 7x7 + 2x7 =

6.

-3w2

7.

3z3 – 2z3 – 4z3 =

8. (-3y) – 9y =

8.

10y4 – 4y4 – 3y4 =

9. 5x2 + 10x2 + x2 =

9.

9xw + 2xw + 4xw =

10. -2w3 - 3w3 + 4w =

–

+

–

2y5

4w2

2. 3w + (-8w) = 3. 5z + (-3z) = 4. (-4y) + y = =

5. 8x - 10x = 6. 12w - 3w =

=

7. (-7z) – (-3z) =

10. -12xy – 3xy – xy =

11. -4zw2 + 8zw2 – 3zw2 =

III. Resuelve: 1.

2.

c) 3

I. Simplifica cada caso:

II. Reduce en cada caso:

2w2

c) -12

3x5zm – 7x5zn + 5xpzm = axpz3

7. 2z – 7z =

+

c) 1

-7w3z2 + mw3z2 – 2w3z2 = 3w3z2

3. 8z + (-4z) =

3y5

b) 3 e) -2

12. -8x5y3 – 3x5y3 – 4x5y3 = 13. 4xzw + xzw – 8xzw =

Si: ax2 + bx2 = 7x2 Hallar: a + b a) 7 b) 5 d) 2 e) 4

c) 6

Si: mxn + pxn = 10x3 Hallar: m + n + p a) 10 b) 13 d) 14 e) 11

c) 12

14. Si: 3xw + 8xw = axw Hallar: a a) 3 b) 11 d) 7 e) 4 15. Si: 5x2 – 3xn = mx2 a) 2 d) 16

Hallar: m + n b) 4 e) -1

c) 8

c) 8

POLINOMIOS 1. POLINOMIO Es una suma limitada de monomios no semejantes. En esta suma se puede incluir alguna constante.

Ejemplos:  5x + x2  3xw + x  2w2 + 5  -3y5 + 2x – 1

 4xy – 5xz + 4 – 3x2  4x2y + yz4 – 3  3x2y3 – 8xy3  -5 – 10x2 – x

2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios debemos recordar que: SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la expresión interior cambia de signo.

Ejemplos:  (3x + 2)

+

polinomio  (2x + 3)

(2x + 5)

=

3x + 2

polinomio -

(5x - 1)

+

2x + 5

=

5x + 7

términos semejantes =

 (-5xy + 3) - (5xy – 1 – x2)

2x + 3 =

¡Ahora tú! 

(4x + 5) + (3x + 2) =



(5x - 5) + (4x - 7) =



(3w - 7) – (w - 1) =



(x2 + 5x) – (x2 – 4x) =



(2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) =



(3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) =

- 5x + 1

=

-3x + 4

-5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 + 4

PROBLEMAS PROPUESTOS I.

Opera (suma o resta) los siguientes polinomios

1. (x + 2) + (2x + 1) = 2. (3w + 5) + (4w + 4) = 3. (4x2 + 2) + (5x2 + 3) = 4. (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) = 5. (9y3 + y) + (3y3 + y) = 6. (3x + 2) – (x + 1) = 7. (5w + 4) – (2w + 2) = 8. (8z2 + 5) – (4z2 + 2) =

III.

Resuelve los siguientes problemas

21. Si:

A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x2 + 3x - 1

Hallar: A + B – C a) 6x2 – 7x - 16 b) 6x2 – 7x – 15 16 c) 6x2 – 7x + 16

22. Si:

d) 6x2 – 7x e) 6x2 + 7x -

A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w

Hallar: A – 2B a) w3 + 4w2 - 4 2 b) w3 – 4w2 + 4 4 c) w3 – 4w2 – 4

23. Si:

9. (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) =

d) w3 – 4w2 – e) w3 + 4w2 +

A = -8x2y + 3xy – 3y3 B = 4y3 – 7x2y + 2xy

Hallar: 2A – 3B

10. (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) = II.

Opera los siguientes polinomios:

11. (2x2 + 3x) + (3x2 - x) = 12. (5x2 – 4x) + (2x2 – 3x) = 13. (3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) = 14. (4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) = 15. (8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) = 16. (3x2 + 4x) – (2x2 - x) = 17. (4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) = 18. (5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) = 19. (9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) = 20. (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =

a) 5x2y + 18y3 18y3 b) 5x2y – 18y2 c) 5xy2 – 18y3

d)

5x2y –

e) 5xy – 18y3

24. Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + n Hallar: m – n a) 9 d) 7

b) 8 e) 5

c) 6

25. Si: (mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2 Hallar: m + n a) 4 d) 8

b) 5 e) 3

c) 7

TAREA DOMICILIARIA I.

Opera los siguientes polinomios

1. (2x + 4) + (3x + 7) = 2. (4w + 3) + (2w + 1) = 3. (5z2 + 4) + (4z2 + 2) = 4. (7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) = 5. (3x + 4) – (2x + 1) = 6. (4w + 8) – (3w + 2) = 7. (10z2 + 3) – (5z2 + 2) = 8. (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) = 9. (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) = 10. (5w2 – 3w) + (w2 - w) = 11. (-3z3 + z - 1) – (2z3 – 2z - 1) = 12. (8y3 + 2y + 4) – (-7y3 – 2y) = 13. (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) = Resuelve los siguientes problemas 14. Si:

(2x + 4) + (3x - 8) = mx + n Hallar: m + n a) -1 d) 5

b) 1 e) 4

c) 0

15. Si:

A = -2x – 5 B = 4x2 – 3x + 2

Hallar: 3A - 2B a) -8x2 - 19 b) -8x2 + 19 c) 8x2 - 19

d) 8x2 + 19 e) -8x - 19

GRADO ABSOLUTO Y GRADO RELATIVO 1. GRADO DE UN POLINOMIO El grado es una característica especial que solo poseen los polinomios y está relacionada con los exponentes de la parte variable. Existen dos tipos de grado :Grado Relativo y Grado Absoluto. 2.

GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)

¿Cuál es el grado

relativo de la x?

Es el exponente de la letra a la cual se hace referencia. Ejemplo: Sea el monomio

7x2y5 Y ¿cuál es el grado

RPTA. : Es el exponente de la x, es decir, el G.R. de x es 2

relativo de la y?

RPTA. : Pues su propio exponente, es decir, 5. 3.

GRADO RELATIVO EN UN POLINOMIO El G.R. en un polinomio esta referido a una de sus letras. Es el mayor exponente que presente dicha letra. Ejemplo: Sea el polinomio x5y2 + x3y7

Y ahora ¿cuál es el grado relativo de x 5 ó 3?

RPTA. : Es el mayor exponente de x o sea 5. Ya entendí entonces el G.R. de y es 7 porque es el mayor

4.

GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.) Es la suma de los exponentes de las variables (letras). Ejemplo: En el monomio x8y7 Los exponentes son : 8 y 7 entonces la suma es : 8 + 7 = 15 Luego el grado absoluto es 15

Para hallar el grado absoluto en un monomio solo tengo que sumar los exponentes de la parte variable.

4.

GRADO ABSOLUTO EN UN POLINOMIO El grado absoluto en un polinomio lo da el monomio que tenga el mayor grado absoluto de todos. Ejemplo: Sea el polinomio

x8y3 + x6 y4 El

grado

monomio

:

absoluto

del

x8y3

es

8 + 3 = 11 El

grado

monomio

absoluto :

x6y4

del es

:

6 + 4 = 10

Entonces ¿cuál es el G.A.

del polinomio?

RPTA. : El mayor de 11 y 10 o sea es 11 Es fácil para calcular el grado absoluto de un polinomio debo calcular los G.A. de todos los monomios y escoger el mayor 9. I.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

En los siguientes monomios y polinomios, halla el grado relativo para cada variable además el grado absoluto : x2y5 GR(x) = GR(y) = GA = –x3w2 GR(x) =

GR(w) =

GA =

y7w3z4 – y2w5z GR(y) = GA =

GR(w) =

GR(z) =

10. z4x5w12 + z7x3w14 GR(z) = GR(x) = GA =

GR(w) =

II. Resuelve los siguientes problemas :

11. Si el G.A. de 7x2yn es 9. Hallar GR(y) a) 6 b) 7 d) 9 e) 2

c) 5

GR(z) =

12. Si el G.A. de -2wny2 es 7. Hallar GR(w) a) 5 b) 7 d) 3 e) 4

c) 6

GR(w) =

GR(z) =

13. Hallar el G.A. de 4znyn+1 si GR(z) = 4 a) 8 b) 7 d) 4 e) 9

c) 5

GR(y) =

GA =

c) 8

x3y5 – x2y7 GR(x) =

14. Hallar el GA de -5wnzn+2 si GR(w) = 3 a) 4 b) 7 d) 3 e) 2

GR(y) =

GA =

w6z4 + w2z5 GR(w) =

GR(z) =

GA =

x7z4 GR(x) = –y2w3z7 GR(y) = GA = xwz GR(x) = GA = x2y3 + x4y GR(x) =

GR(z) =

GR(w) =

GA =

15. Hallar el G.A. de 12xnwn+1zn+2 si GR(w) = 2 a) 7 b) 17 c) 8 d) 6 e) 4

16. El G.A. de 2x2yn + x3y2 es 7. Hallar GR(y) a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

3.

17. El G.A. de 8wnz3 – 7wz4 es 10. Hallar GR(w) a) 3 b) 4 c) 7 d) 5 e) 9

4.

18. Hallar el G.A. de 7y3zn + 4ynz si GR(y) es 7. a) 4 b) 7 c) 9 d) 11 e) 10

5.

6. 19. Hallar el G.A. de GR(x) = 5 a) 7 b) 8 d) 11 e) 9

-3xnwn+1

–

2x2wn+3

si

c) 10

20. Hallar el grado de 4wnzn+1yn+2 – 3wn+2zn+3y4 si GR(y) = 5 a) 14 b) 15 c) 12 d) 17 e) 7 III. Resuelve :

21. Si de: M = 4xn+1ym+2wn+3m GR(x) = 3 ; GR(y) = 5. Hallar GA(M) a) 19 b) 18 c) 20 d) 21 e) 22 22. Dado : M = 3wn+4zn+by5-b ; GR(w) = 7. Hallar GA(M) a) 27 b) 7 c) 17 d) 14 e) 15 23. Si de : P = 3xnw3+n + 2xnw2+n se sabe que GA(P) = 7. Hallar GR(w) a) 7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 24. Hallar el GA(P) si P = -5w5-by2-aza+b – 8w3+ay1-a-bz4+b a) 4 b) 7 c) 3 d) 5 e) 8 25. Dado: P = 8xn+1y4 + 7xn+2y4 – 5xn+3y si GR(x) = 2 [GR(y)]. Hallar G.A.(P) a) 11 b) 10 c) 7 d) 6 e) 9 TAREA DOMICILIARIA I. De los problemas del 1 al 8, calcula el GR de cada variable y el G.A. 1. x3y4 GR(x) = GR(y) = GA = 2.

–y7w5 GR(y) =

GR(w) =

GA =

7.

z2y3w GR(z) = GA =

GR(y) =

GR(w) =

–x8zy3 GR(x) = GA =

GR(z) =

GR(y) =

x3w4 + x5w GR(x) =

GR(w) =

GA =

–y7w3 – y2w5 GR(y) =

GR(w) =

GA =

GR(w) =

GR(y) =

z4wy7 + z8w2y GR(z) = GA =

8.

x2y3z4 – x3y4z2 GR(x) = GR(y) = GR(z) = GA = II. Resuelve : 9. Si el G.A. de: 3x4yn es 7. Hallar GR(y) a) 1 b) 7 c) 4 d) 3 e) 2 10. Si el G.A. de: -4x5ynwn+1 es 10. Hallar GR(w) a) 4 b) 3 c) 7 d) 8 e) 9 11. El G.A. de: 4w3yn + w7y es 10. Hallar GR(y) a) 10 b) 8 c) 3 d) 4 e) 7 12. Hallar el G.A. de: -8x4zn + 3xnz2 si GR(x) = 8 a) 7 b) 12 c) 8 d) 17 e) 10 13. Hallar el G.A. de: 9wnzn+2 + 3w4zn+9 si GR(w) = 7 a) 20 b) 17 c) 18 d) 7 e) 4 14. Dado: M = 7xn+1zm-3wn+2m; GR(x) = 5; GR(z) = 5. Hallar GR(w) a) 18 b) 15 c) 20 d) 29 e) 30 15. En: M = x2-ay3-bza+b. Hallar el G.A.(M) a) 3 b) 5 d) 7 e) 8

c) 4