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• Ivonne A. Rodriguez Hernandez

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22.6 Las 3 esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas q1=4 nC, q2= -7.8 nC y q3=2.4 nC. Halle el flujo eléctrico neto a través de cada una de las superficies cerradas S1, S2, S3, S4 y S5. S3

S1

S2

q1

S5

q2 q3 S4

4 10 −9 Cm 2 3  2 S1 Φ E = = = 0 . 451 10 m ε 0 8.85 10 −12 C 2 C q2 − 7.8 10 −9 Cm 2 3  2 S2 ΦE = = = − 0 . 880 10 m 8.85 10 −12 C 2 C ε0 q1

S3

S1

S2

q1

S5

q2 q3 S4

q1 + q2

S3 ΦE =

ε0

S4 ΦE = S5 ΦE =

q1 + q3

ε0

(4 − 7.8) 10 −9 Cm 2 3  2 = = − 0 . 429 10 m 8.85 10 −12 C 2 C (4 + 2.4) 10 −9 Cm 2 3  2 = = 0 . 772 10 m 8.85 10 −12 C 2 C

q1 + q2 + q3

ε0

(4 + 2.4 − 7.8) 10 −9 Cm 2 3  2 = = − 0 . 158 10 m 8.85 10 −12 C 2 C

22.8 Una carga puntual q1=4 nC está situada sobre el eje de las x en x=2 m, y una segunda carga puntual q2= -6 nC está sobre el eje de las y en y=1 m. ¿Cuál es el flujo eléctrico total debido a estas dos cargas a través de una superficie esférica centrada en el origen y con un radio de a) 0.5 m? b) 1.5 m?c)2.5 m?

a )Φ E = 0 q2 q1

− 6 10 −9 Cm 2 3 2 b)Φ E = = = − 0 . 677 10 m /C −12 2 ε 0 8.854 10 C q1 + q2 (4 − 6) 10 −9 Cm 2 3 2 c )Φ E = = = − 0 . 225 10 m /C −12 2 ε0 8.854 10 C q2

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS La ley de Gauss es válida con respecto a cualquier distribución de cargas y a cualquier superficie cerrada. n

r r Φ E = ∫ E ⋅ dA = Se conoce la distribución de la carga (y ésta tiene la simetría suficiente para evaluar la integral de la ley de Gauss), se puede hallar el campo eléctrico.

∑q

i

i =1

ε0

=

Qenc

ε0

Se conoce el campo eléctrico, se puede hallar la distribución de carga.

DISTRIBUCIÓN DE CARGAS EN UN

CONDUCTOR

(en condiciones electrostáticas)

+

+ +

+ +

+ +

+ + +

+ + + + +

Superficie gaussiana

En condiciones electrostáticas el campo eléctrico E al interior de un conductor es cero. (Si E no fuera cero, las cargas se desplazarían). Consideremos una superficie gaussiana dentro del conductor. Puesto que E=0 (flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana), la ley de Gauss exige que la carga neta dentro de la superficie sea cero. Se puede hacer esto dondequiera en el interior del conductor.

No puede haber un exceso de carga en punto alguno dentro de un conductor sólido, todo el exceso de carga debe residir en la superficie del conductor. Cuando se coloca un en un conductor un exceso de carga y ésta se halla en reposo (condiciones electrostáticas), reside en su totalidad en la superficie.

CAMPO DE UNA ESFERA CONDUCTORA CON CARGA Se coloca una carga positiva q en una esfera conductora sólida de radio R. Halle el campo eléctrico en cualquier punto adentro o afuera de la esfera +

+

+

+ R

+

+ +

+ +

r= R

Simetría: por simetría de la esfera el campo E es radial (depende de la distancia r del centro de la esfera). Como superficie gaussiana consideremos una esfera de radio r de área 4πr2.

Φ E = E (4πr ) = 2

Φ E = E (4πr ) = 2

r

0

ε0 q

ε0

=0 ⇒E=0 1

q ⇒E= 4πε 0 r 2

CAMPO DE UNA CARGA LINEAL a

Ex =

dQ

Q

1

Q λ= 2a

4πε 0 x ( x 2 + a 2 )

r

y

α

P

x

Ex = -a

λ 2a λ 1 = 4πε 0 x ( x 2 + a 2 ) 2πε 0

1  x2  x  2 + 1  a

≈

λ ˆ i a >> x 2πε 0 x

CAMPO DE UNA CARGA LINEAL Halle el campo eléctrico a una distancia x del alambre, cuando la distancia x es mucho menor que la longitud del alambre.

λ

L

x

Simetría: el sistema tiene simetría cilíndrica (se puede hacer girar el sistema cualquier ángulo en torno a su eje). El campo tiene que ser perpendicular al alambre. Como superficie gaussiana consideremos un cilindro de radio arbitrario x y longitud arbitraria L

λL Φ E = E (2πxL) = = ε0 ε0 1 λ λL E (2πxL) = ⇒ E= 2πε 0 x ε0 q

CAMPO DE UNA LÁMINA INFINITA DE CARGA

+ E A

+

+

+ + + + + + + + + + + +

Halle el campo eléctrico creado por una lámina infinita que tiene una densidad superficial de carga σ.

E

Simetría: una simetría plana significa que la distribución de carga no cambia si se desliza en cualquier dirección paralela a la lámina. En cada punto E es perpendicular a la lámina. Como superficie gaussiana empleamos un cilindro perpendicular a la lámina.

σA Φ E = 2 EA = = ε0 ε0 q

σ E= 2ε 0

El campo es paralelo a la superficie lateral del cilindro, solo las caras transversales contribuyen al flujo

CARGAS EN CONDUCTORES

+

+ +

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+ +

+ +

+ + +

El campo eléctrico en todos los puntos interiores de un conductor es cero.

+ + + + +

¿Qué ocurre si hay una CAVIDAD adentro del conductor? + + + + +

+ + + + + + - - + - +q + + - - - + + + + + + A

Si no hay carga en la cavidad se puede emplear una superficie gaussiana como A. La carga neta en la superficie de la cavidad debe ser 0 porque E=0. A Si hay carga en la cavidad: En la superficie gaussiana A el campo es E=0 (la superficie está adentro del conductor. Por la ley de Gauss, la carga total que encierra la superficie tiene que ser 0. Debe haber una carga –q distribuida en la superficie de la cavidad, de modo que Qenc=q-q=0.

EJEMPLO 22.11 Un conductor tiene una carga total de +3 nC. La carga en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 nC. ¿Cuánta carga hay en cada superficie (interna y externa) del conductor? Q=+3nC - - + Considero la superficie gaussiana A. Para que -5 nC la carga total adentro de la superficie sea 0, - + + + + la carga en la superficie interna tiene que ser - - A qint=-(-5 nC)=5 nC Q=qint + qext 3nC=5nC+ qext qext=3nC-5nC=-2nC

22.29 Se coloca una carga negativa –Q en el interior de la cavidad de un sólido metálico hueco. El exterior del sólido está conectado a tierra mediante un alambre conductor que va del sólido al suelo. a)¿Se induce algún exceso de carga en la superficie interna del objeto de metal? b) ¿ Hay algún exceso de carga en el exterior del objeto de metal? c) ¿ Hay un campo eléctrico en la cavidad? d) ¿ Hay un campo eléctrico dentro del metal? ¿Afuera del metal? e) ¿Alguien en el exterior del sólido mediría un campo eléctrico debido a la carga –Q?

+ +

+A -Q + + + +

+

a) Consideremos la superficie gaussiana A, el campo en el metal es E=0, por la ley de Gauss la carga total encerrada por A tiene que ser 0, hay una carga +Q en la superficie interna. b) Si el conductor no fuera conectado a tierra tendría carga en la superficie exterior, pero con el alambre conectado al suelo no hay carga.

22.29 Se coloca una carga negativa –Q en el interior de la cavidad de un sólido metálico hueco. El exterior del sólido está conectado a tierra mediante un alambre conductor que va del sólido al suelo. a)¿Se induce algún exceso de carga en la superficie interna del objeto de metal? b) ¿ Hay algún exceso de carga en el exterior del objeto de metal? c) ¿ Hay un campo eléctrico en la cavidad? d) ¿ Hay un campo eléctrico dentro del metal? ¿Afuera del metal? e) ¿Alguien en el exterior del sólido mediría un campo eléctrico debido a la carga –Q?

-Q +Q

A

c) Consideremos la superficie gaussiana A con radio menor que el radio de la cavidad. En la cavidad hay carga neta –Q, entonces por la ley de Gauss en la cavidad hay un campo eléctrico. d) En el metal E=0 (conductor en condiciones electrostáticas). Aplicando la ley de Gauss con la superficie gaussiana A de radio mayor que el radio del conductor se puede ver que E=0 afuera del metal.

22.17 ¿Cuántos electrones en exceso se deben agregar a un conductor esférico aislado de 32 cm de diámetro para producir un campo eléctrico de 1150 N/C inmediatamente afuera de su superficie? r=d/2=16 cm=0.16 m

Φ E = ∫ EdA = E 4πr = 2

q

ε0

q = E 4πr 2ε 0 = 2  C −12 1150 (4π )(0.16m) 2 (8.854 10 −12 ) 3274 10 = C = 3.2nC 2 C m

3.27 10 −9 C 10 n= = 2 . 04 10 el. −19 1.6 10 C

22.18 El campo eléctrico a 0.4 m de una línea con carga uniforme y muy larga es de 840 N/C. ¿Cuánta carga hay en una sección de 2 cm de la línea? + + + + E + 0.4 m + +

E (r = 0.4m) = 840

 C

r = 0.4m l = 0.02m

+ +

E 2πrl =

q

ε0 q = E 2πrlε 0 = 2  C −12 840 (2π )(0.4m)(0.02m)(8.854 10 −12 ) = 373 . 6 10 C 2 C m

22.19 Una línea de carga uniforme y muy larga tiene una carga en cada unidad de longitud de 4.8 µC/m y yace a lo largo del eje de las x. Una segunda línea con carga uniforme y larga tiene una carga en cada unidad de longitud de – 2.4 µC/m y es paralela al eje de las x en y=0.4 m. ¿Cuál es el campo eléctrico neto (magnitud y dirección) en los puntos siguientes del eje de las y: a) y=0.2 m, b) y=0.6 m? a) E

y Y=0.6 m

E1

E2

E?

E1

E2

E?

λ1 ˆ λ2 ˆ j+ j= = 2πε 0 r1 2πε 0 r2

4.8 10 −6 C / m 2.4 10 −6 C / m 6  ˆ 0 . 64 10 + = j λ2=-2.4 µC/m 2πε 0 (0.2m) 2πε 0 (0.2m) C ---------------

Y=0.4 m Y=0.2 m

b)

+++++++++++ x λ1=4.8 µC/m E1 E2

λ1 ˆ λ2 E= j+ (− ˆj ) = 2πε 0 r1 2πε 0 r2 4.8 10 −6 C / m 2.4 10 −6 C / m − = 2πε 0 (0.6m) 2πε 0 (0.2m)  6  5  ˆ − 0.2110 = −0.72 10 j 0.14 10 C C C 6

22.20

* En clase 9/9

a) A una distancia de 0.2 cm del centro de una esfera conductora con carga cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 0.6 cm del centro de la esfera? b) A una distancia de 0.2 cm del eje de un cilindro conductor muy largo con carga, cuyo radio es de 0.1 cm, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 0.6 cm del centro del eje del cilindro? c) A una distancia de 0.2 cm de una lámina con carga grande y uniforme, el campo eléctrico es de 480 N/C. ¿Cuál es el campo eléctrico a 1.2 cm desde la lámina?

22.36 Una esfera conductora sólida con una carga q tiene un radio a. Está adentro de una esfera conductora hueca concéntrica con radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca no tiene carga neta. a) Deduzca expresiones de la magnitud del campo eléctrico en términos de la distancia r desde el centro para las regiones: r < a, a < r < b, b< r < c y r > c. b) ¿Cuál es la carga de la superficie interna de la esfera hueca? c) ¿ Y en la superficie externa? a) r < a interior de un conductor, E=0. a < r < b ley de Gauss sobre la superficie A

a

q

A b

E 4πr 2 =

q

ε0

⇒ E (r ) =

1

q 4πε 0 r 2

b < r < c interior de un conductor, E=0 c

r > c ley de Gauss sobre la superficie B B

E 4πr 2 =

q

ε0

⇒ E (r ) =

1

q 4πε 0 r 2

E b) En la superficie interior hay una carga –q

E(R)

c) En la superficie exterior hay una carga +q a

b

c

r

CAMPO DE UNA ESFERA AISLANTE CON CARGA UNIFORME Una carga positiva Q está distribuida de manera uniforme en todo el volumen de una esfera aislante de radio R. Halle la magnitud del campo eléctrico en un punto P que se encuentra a una distancia r del centro de la esfera. Consideremos el flujo eléctrico a través de la superficie de una esfera de radio r. La cantidad de + + carga encerrada en el interior de la superficie + + + r+ + depende del radio r. + + + + + + + R r R

4πr E = 2

Q

ε0

1

Q ⇒E= 4πε 0 r 2

E E(R)

R

r

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA (CAP. 23) ENERGIA POTENCIAL Y FUERZAS CONSERVATIVAS Trabajo

r r b = ∫ F ⋅ dl = ∫ F cos φdl b

Wa →b

a

a

Si la fuerza es conservativa, el trabajo se puede expresar en términos de una energía potencial:

r r b = ∫ F ⋅ dl = ∫ F cos φdl = U a − U b = −(U b − U a ) = − ∆U b

Wa →b

a

a

Si Wab es positivo, Ua es mayor que Ub y la energía potencial disminuye. Teorema trabajo-energía: el cambio de energía cinética ∆K durante cualquier desplazamiento es igual al trabajo total:

∆K = K b − K a = −(U b − U a ) ⇒ K a + U a = K b + U b LA ENERGÍA MECÁNICA TOTAL SE CONSERVA.