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• Sebastian Travez

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Jorge Morales- Erick Taco Clase 9 : 23 de Mayo del 2017 Efecto aliasing Recuento de los talleres realizados anteriormente: P1: archivo de audio P2: Generación de señales P3: Adquisisciòn de señales (con nel puerto de audio) (teorema de muestreo) Fs>= 2 * Fmax P4: Verificacion del teorema de muestreo T. Muestreo_: Fs>= 2*Fmax Ejemplos: 1) Y1=sen(1Hz)

Fs>=2*(Fmax/1Hz)=2 muestras/seg Parece increíble que solo con dos muestras se pueda recuperar la onda original.

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Efecto de Aliasing: En procesamiento de señales, computación gráfica y disciplinas relacionadas, el aliasing es el efecto que causa que señales continuas distintas se tornen indistinguibles cuando se muestrean digitalmente. Cuando esto sucede, la señal original no puede ser reconstruida de forma unívoca a partir de la señal digital. Para el efecto Aliasing vamos a realizar la simulacion de una señal analógica y muestreo de esta de modo que solo se cumpla el teorema del muestreo para una de las componentes, las otras lo incumplirán.

Nota: No es el ancho de banda sino la frecuencia máxima Se realizo la simulación de la siguiente grafica para mostrar como se realiza la selección de la función sinc Sinc(t) = sin(pi*t)/(pi*t)

% DEMOSTRACIÓN DEL EFECTO DE ALIASING: % Teniendo 3 tonos (de 150, 340 y 460 Hz), suponemos intencionalmente % que la Fmax es 200 para ver qué ocurre en el momento del muestreo: Nota: solo se ve el tono de 150 por la frecuencia de muestreo puesta % DEMOSTRACIÓN DEL EFECTO DE ALIASING:

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% Teniendo 3 tonos (de 150, 340 y 460 Hz), suponemos intencionalmente % que la Fmax es 200 para ver qué ocurre en el momento del muestreo: solo se ve el tono de 150 por la frecuencia de muestreo puesta clc, clear all, close all %% Representación de señales analógicas: Fmax_a = 460; Fs_a = 10*Fmax_a; %sobre muestreo para simular la señal analógica duracion = 2; % duración en segundos % Eje de tiempo analógico ta = 0:1/Fs_a:duracion; % duración = 2 seg % Simulación de señales analógicas de 150, 340 y 460 Hz: xa1 = cos(2*pi*150*ta+pi/3); xa2 = cos(2*pi*340*ta-pi/3); xa3 = cos(2*pi*400*ta+pi/3); %% Representación de señales discretas: % Vamos a muestrear de modo que solo la F1 CUMPLA con el Teorema del Muestreo, % las otras dos INCUMPLIRÁN el teorema: Fmax_d = 200; % con esta, solo quedará bien muestreada la f1 de 150 Hz Fs_d = 2*Fmax_d; % Respetamos el Teorema del Muestreo (para la f1) % Eje de tiempo discreto (nTs): tn = 0:1/Fs_d:duracion; % misma duración = 2 seg % Simulación de señales discretas: xn1 = cos(2*pi*150*tn+pi/3); % f1=150 Hz xn2 = cos(2*pi*340*tn-pi/3); % f2=340 Hz xn3 = cos(2*pi*460*tn+pi/3); % f3=460 Hz %% Gráficos superpuestos de analógicas y discretas: plot (ta, xa1) hold on stem(tn,xn1,'r') xlabel('t(segundos)') title('Señal analógica 1 (f1 = 150 Hz) muestreada a 400 Hz --> cumple: Fs >= 2*150=300') figure plot (ta, xa2) hold on stem(tn,xn2,'r') xlabel('t(segundos)') title('Señal analógica 2 (f1 = 340 Hz) muestreada a 400 Hz --> INCUMPLE') figure plot (ta, xa3)

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Jorge Morales- Erick Taco hold on stem(tn,xn3,'r') xlabel('t(segundos)') title('Señal analógica 3 (f1 = 460 Hz) muestreada a 400 Hz --> INCUMPLE') %% RECUPERACIÓN AUDITIVA PARA F1 = 150 Hz: % Aumentar duración a 2 segundos y % Comentar los gráficos sound(xa1,Fs_a) %señal analógica de F1 = 150 Hz pause sound(xn1,Fs_d) %señal muestreada a 400 Hz --> CUMPLE EL TEOREMA pause %% RECUPERACIÓN AUDITIVA PARA F2 = 340 Hz: sound(xa2,Fs_a) %señal analógica de F2 = 340 Hz pause sound(xn2,Fs_d) %señal muestreada a 200 Hz --> INCUMPLE EL TEOREMA pause %% RECUPERACIÓN AUDITIVA PARA F3 = 460 Hz: sound(xa3,Fs_a) %señal analógica de F3 = 460 Hz pause sound(xn3,Fs_d) %señal muestreada a 200 Hz --> INCUMPLE EL TEOREMA

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Aliasing: Si observamos las 3 gráficas obtenidas podemos deducir que para el caso de F2 y F3, se generan ondas muy diferentes de más baja frecuencia, por lo cual si quisiéramos reconstruir la señal a partir de estas muestra sería casi imposible debido a que el número de muestras no es suficiente para proporcionarnos una idea de la forma de onda que deberíamos obtener o ver, este fenómeno se conoce como Aliasing. Resultados auditivos (subjetivos): -

Para el tono de F1 = 150 Hz: la señal “analógica” y la señal discretizada se escuchan de manera idéntica. Esto demuestra que al cumplir con el teorema del muestreo, la recuperación de ambas señales por parte de nuestro cerebro, por medio del oído, es la misma  NO HAY ALIASING

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Para el tono de F1 = 340 Hz: la señal “analógica” y la señal discretizada se escuchan de manera totalmente diferente, la discreta tiene una muy baja frecuencia tal y como se

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esperaba del resultado visual. Esto debido a que se INCUMPLIÓ el teorema del muestreo)  SI HAY ALIASING

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Para el tono de F1 = 460 Hz: la señal “analógica” y la señal discretizada se escuchan de manera totalmente diferente, la discreta tiene una muy baja frecuencia tal y como se esperaba del resultado visual. Esto debido a que se INCUMPLIÓ el teorema del muestreo)  SI HAY ALIASING

Ejemplo: Planteamiento del problema: Si se desea muestrear una señal analógica, por medio de un PC1, y enviar esas muestras a otro computador PC2, este debe RECUPERAR la señal original a partir de esas muestras. Pero puede haber varias señales que pasen por esas muestras, entonces ¿cuál es la correcta?

Solución: Para el caso de muestreo uniforme visto en el dominio del tiempo, tenemos lo siguiente:

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En el dominio de la frecuencia: Teorema de muestreo: Una señal continua limitada en banda, con ancho de banda Ωm, puede reconstruirse a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo Ωs es mayor que el doble del ancho de banda: Ωs > 2Ωm.

Reconstrucción ideal en el dominio de la frecuencia:

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Reconstrucción ideal en el dominio del tiempo: Como complemento al Teorema del Muestreo, se deduce que para señales limitadas en banda (filtro pasa bajos ideal), la función que permite reconstruir la señal original a partir solo de sus muestras está dada por:

Donde la función SINC (y = sinc(x)) retorna un arreglo “y”, cuyos elementos son la sincronía de los elementos de “x”; cabe recalcar que el valor del tamaño de “y” va a ser el valor de “x”.

A continuación vamos ver un ejemplo de uso de la función sinc: clc, close all, clear all; t=-10:0.1:10; y=sinc(t); stem(t,y); y2=sin((pi*t))./(pi*t);

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figure; stem(t,y2);

Ambas gráficas estas en tiempo discreto y esto nos permite ver que podemos aplicar directamente la función o su equivalente por fórmulas; para facilidad de usa la función directamente.

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Conclusión: En esta clase estudiamos el caso de Aliasing, que básicamente es cuando no se cumple el teorema del muestreo, es decir que la frecuencia de muestreo sea al menos el doble de la frecuencia máxima, ya que de esta manera evitamos este efecto no deseado; por otra parte la recuperación de la señal es un tema más complejo y difícil, es por esto que se dividió al curso en dos grupos, uno para que realice la recuperación de la señal y el otro para el análisis de las señales en Audiotester y Mat Lab.