• Author / Uploaded
• profjnapoles

Citation preview

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Unidad 7 FORMAS CUADRÁTICAS. EXTREMOS LIBRES Y LIGADOS Forma cuadrática sobre el Rn, formas cuadráticas definidas, semidefinidas e indefinidas. Extremos libres de funciones de dos variables independientes. Condiciones necesarias de existencia. Puntos estacionarios. Condiciones suficientes. Extremos libres de funciones de n variables. Condiciones necesarias y condiciones suficientes de existencia. Métodos de los multiplicadores de Lagrange. Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer: • Las diferentes formas cuadráticas definidas sobre Rn. • Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos libres y ligados de funciones de dos variables independientes.

1) f(x,y)=9-x2-y2, paraboloide elíptico 2) f(x,y)=9+x2+y2, paraboloide elíptico 3) f(x,y)= x2-y2, paraboloide hiperbólico términos cuantitativos cuadráticos de su ecuación canónica

Extremos de funciones de varias variables f(a,b)≤f(x,y) f(x,y)≤f(a,b) En una cierta B(a,b). Cuando se cumple para todos los elementos del Dominio de la función, entonces son absolutos.

4

FORMAS CUADRÁTICAS Forma bilineal

𝑛

𝑛

𝐵 = ෍ ෍ 𝑎𝑗𝑘 𝑥𝑗 𝑦𝑘 𝑗=1 𝑘=1

 a11   a21    a  n1

a12  a1n            ann 

AI, tenemos el producto escalar

Forma cuadrática 𝑛

𝑛

𝑄 = ෍ ෍ 𝑎𝑗𝑘 𝑥𝑗 𝑥𝑘 𝑗=1 𝑘=1

Q=a11x12+(a12+a21)x1x2+(a13+a31)x1x3+…..+annxn2

cij=(aij+aji)/2, cij=cji, cij+cji=aij+aji 𝑛

𝑛

𝑄 = ෍ ෍ 𝑐𝑗𝑘 𝑥𝑗 𝑥𝑘 𝑗=1 𝑘=1 Si A es real, entonces C es real y simétrica y sus valores propios son reales.



Q es definida positiva si x  0, Q( x)  0



Q es semidefinida positiva si x 



, Q( x)  0 n Q es semidefinida negativa si x  , Q( x)  0 Q es definida negativa si x  0, Q( x)  0



Q es indefinida si



x1 

n

y x2 

n

n

tal que Q( x1 )  0 y Q( x2 )  0

Proposición. Sea Q una forma cuadrática, A su matriz asociada (A≠0) y Di (i=1,…,n) los menores diagonales. • Si Di>0, i=1,…,n entonces Q es definida positiva. • Si D10, … (-1)nDn>0 entonces Q es definida negativa. • Indefinida en otro caso. En el caso de funciones reales de varias variables, con segundas derivadas parciales continuas, la diferencial segunda es, precisamente, una forma cuadrática sobre Rn, la cual admite como representación la Matriz Hessiana.

H(x,y)=fxx (x,y)fyy (x,y)-fxy (x,y)  2

fxx (x,y) fxy (x,y) fyx (x,y) fyy (x,y)

P()=A-I=0 Sean  1,,  n los autovalores de A 

f es definida positiva   1 0,,  n  0

 

f es semidefinida positiva   1 0,,  n  0 f es semidefinida negativa   1 0,,  n  0 f es definida negativa   1 0,,  n  0



f es indefinida   i  0,  j  0



I) Analizando los valores propios de dicha matriz. II) Estudiando dicha matriz como forma cuadrática. 1) f(x,y)=9-x2-y2, paraboloide elíptico 2) f(x,y)=9+x2+y2, paraboloide elíptico 3) f(x,y)= x2-y2, paraboloide hiperbólico 1) =-2, k=2 máx. local 2) =2, k=2 mín. local 3) =2, punto de silla −2 0 2 0 2 , y 0 −2 0 2 0

0 −2

Puntos críticos Para una función suave de varias variables reales, la condición de ser un punto crítico es equivalente a que todas sus derivadas parciales sean cero. Si la matriz hessiana en un punto crítico es no singular entonces el punto crítico es llamado no degenerado, y el signo de los autovalores del Hessiano determinan el comportamiento local de la función. Para una función de n variables, el número de autovalores negativos de un punto crítico es llamado su índice, y un máximo ocurre cuando todos los autovalores son negativos (índice n, la matriz hessiana es definida negativa) y un mínimo ocurre cuando todos los autovalores son positivos (índice cero, la matriz hessiana es definida positiva); en todos los otros casos, el punto crítico puede ser un máximo, un mínimo o un punto de silla (índice estrictamente entre 0 y n, la matriz hessiana es indefinida).

Condición necesaria de extremo Teorema.

Si f presenta en (a,b) un extremo relativo, entonces (a,b) es un punto crítico de f. Supongamos en primer lugar, que no existe alguna de las derivadas parciales en (a,b). En este caso (a,b) es un punto crítico. Supongamos ahora que existen las derivadas parciales en (a,b), y que en (a,b) se tiene un máximo relativo, luego se cumple f(x,y)  f(a,b) para cierta vecindad de centro (a,b). Fijando x=a, f se convierte en función solo de, z=f(a,y), por lo que presentará también un máximo relativo en el punto y=b, luego su derivada será nula en dicho punto, es decir, fy(a b) = 0. Análogamente fijando y=b se obtendría fx(a,b) = 0. El razonamiento es similar si suponemos que en (a, b) se alcanza un mínimo relativo. Si f presenta en (a,b) un extremo relativo, existiendo plano tangente en el punto P(a,b,f(a,b)), una consecuencia inmediata del teorema anterior, es que su ecuación debe ser z=f(a,b).

Para que en un punto se alcance un extremo relativo, es necesario que sea un punto crítico. Sin embargo esta condición no es suficiente para la existencia de extremo relativo; lo comprobamos con la función f(x, y) = x2-y2. Calculemos sus puntos críticos: fx=2x = 0, fy = -2y = 0  x = 0, y = 0. Luego el único punto crítico es (0, 0), siendo f(0,0) = 0. La función sobre el eje OX toma los valores f(x, 0) = x2  0. Sobre el eje OY toma los valores f(0, y) = -y2  0.

Condición suficiente de extremo relativo Teorema.

Sea f una función definida en una región abierta R, con derivadas parciales primeras y segundas continuas en R; si (a, b)  R, siendo un punto crítico : fx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0, y definiendo el hessiano de f como la función: 2

H(x,y)=fxx (x,y)fyy (x,y)-fxy (x,y)=

fxx (x,y) fxy (x,y) fyx (x,y) fyy (x,y)

Entonces: 1) Si H(a, b)>0 y fxx(a, b)>0 (o fyy(a,b)>0), f tiene un mínimo relativo en (a, b). 2) Si H(a, b)>0 y fxx(a, b)0, Fxx(x, y,  )>0, hay un mínimo condicionado de la función f en el punto (x, y). Si H(x, y,  )>0, Fxx(x, y,  )0, Fxx(0,0, -1 ) = 2>0. 2



2

Luego en el punto (0, 0) se alcanza un mínimo condicionado.

Método de los multiplicadores de Lagrange El método de Lagrange se puede generalizar a una función con n variables y m condiciones de ligadura (m