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MÓDULO MATEMÁTICAS FINANCIERAS TALLER 04 INTERÉS COMPUESTO El interés se llama compuesto si y solo si, al final de cada período de tiempo, los intereses ganados por el monto al principio del período, se suman a éste para constituir el capital del periodo siguiente. En el interés compuesto (llamado también interés sobre interés) el capital cambia al final de cada período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses, la tasa de interés siempre es aplicada sobre un capital diferente y los intereses periódicos siempre serán mayores. Capitalización: proceso mediante el cual los intereses que se van causando periódicamente se suman al capital anterior. Período de capitalización: período pactado para convertir el interés a capital. Este período puede ser anual, semestral, trimestral o diario, siendo más comunes los primeros. Al momento de pactar la tasa de interés se fija el período de capitalización. Así, 24% Anual indica que cado año los intereses se convierten en capital; 18% capitalizables semestralmente indica que cada semestre se van a capitalizar la mitad de los intereses (9% = 0.09); 12% capitalizables trimestralmente indica que cada trimestre (el año tiene cuatro trimestres) se van a capitalizar la cuarta parte de los intereses (3% = 0.03). Cuando no se específica la tasa de interés se supone que es anual. En el ejemplo que se presenta a continuación la tasa de interés es del 24% capitalizable trimestralmente, es decir, que cada trimestre se liquidará la cuarta parte (6% = 0.06) de los intereses. ¿En cuánto se convierten 1.200.000 colocados a un interés compuesto de 24% capitalizables trimestralmente a un año? Período Capital Interés Capital valorizado 1 1.200.000 72.000 1.272.000 2 1.272.000 76.320 1.348.320 3 1.348.320 80.899 1.429.219 4 1.429.219 85.753 1.514.972 314.972 Al igual que en el interés simple, calcular el valor futuro o monto F de una inversión es muy dispendioso y complicado cuando se tienen muchos períodos, sin embargo, si llamamos P al valor presente o capital, i la tasa de interés y n el número de periodos en una negociación a interés compuesto se tendría el siguiente comportamiento: 1º

F1  P (1  i )

2º

F2  F1 (1  i )  F2  P(1  i )(1  i )  P(1  i ) 2

3º

F3  F2 (1  i )  F3  P(1  i ) 2 (1  i )  P (1  i ) 3

nº

Fn  P (1  i ) n

La expresión Fn  P (1  i ) dice que el valor futuro del interés compuesto es una función exponencial del tiempo n, siendo ésta la variable independiente y F la variable dependiente. Ésta es conocida como la fórmula básica de las matemáticas financieras y con la cual se pueden resolver casi todos los problemas de interés compuesto. Es más, la expresión es valedera para proyecciones en cualquier campo: poblacional, precios, ingresos etc. En consecuencia, el ejemplo anterior se podría resolver así: n

P = $1.200.000 F=?

I = 24% capitalizable trimestralmente 24/6 = 6% =0.06 Trimestral n = 1 Años = 4 Trimestres

F  P (1  i ) n

Formula de valor Futuro o monto a interés compuesto

F  1.200.000(1  0.06) 4 _____________________________________ J.R.F & A.M.E

F  $1.514.972

En el ejemplo anterior se observa que el valor final pagado fue de $1.514.972 y si se calcula la verdadera tasa de interés pagada se tendría: Si por $1.200.000 se pagaron $314.972 de interés, por 100 cuánto se pagarían? R/ 26.25% Esta tasa verdadera de interés se llama Tasa Efectiva que difiere de la tasa pactada Tasa Nominal (24% TV). Ambas serán tratadas con mayor detenimiento más adelanta. El mismo resultado se obtendría aplicando:

i i

I P

I  FP

Pero

Reemplazando

i

F P P

I

F P  P P

F 1 P i

1.514.972  1  26.25% 1.200.000

También: i 

1.514.972  100  100  26.25% 1.200.000

Ejemplo 1: El aumento promedio en los últimos 5 años del salario de un empleado ha sido del 4%. Si su sueldo era de $758.000, cuánto ganaría hoy? P = $758.000

I = 4% Anual

F  P (1  i ) n

n = 5 Años

F  758.000(1  0.04) 5

F=?

F  $922.223

Ejemplo 2: La población de un municipio crece a una tasa del 1.2% anual en promedio. Si en el año 2000 se tenían 12.500 habitantes, cuántos sería la población cinco años después? P = 12.500

F  P (1  i ) n

I = 1.2% Anual

n = 5 Años

F=?

F  12.575 Habitantes

F  15.500(1  0.0012)5

Además del caso anterior donde se calculó valor futuro o monto F, al igual que a interés simple, se puede calcular cualquiera de las otras variables implícitas en la fórmula básica, así:  VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO Consiste en calcular un valor presente P equivalente hoy a un valor futuro F, ubicada n períodos adelanta a una tasa de interés compuesta de i.

F  P (1  i ) n

P

F (1  i ) n

Formula de valor presente a interés compuesto

Ejemplo 3: Un productor adquiere una guadaña para cancelar dentro de tres meses por valor de $1.250.000. El propietario del almacén le había incorporado un interés compuesto del 3% mensual. Si la quisiera pagar de contado, cuánto sería su valor? F = $1.250.000

P

F (1  i ) n

I = 3% Mensual

P

1.250.000 (1  0.03) 3

n = 3 Meses

P=?

P  $1.143.927

Ejercicios: Compruebe los ejemplos 1 y 2 calculando su valor presente.  CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS COMPUESTO Se trata de calcular la tasa de interés compuesto conociendo el capital inicial y el obtenido un tiempo después en una inversión.

_____________________________________ J.R.F & A.M.E

F F F  (1  i ) n  n  (1  i )  i  n 1 P P P

F  P (1  i ) n

i

F 1 P

n

Fórmula de Tasa de Interés a interés compuesto

Ejemplo.4: En el día de hoy se depositan en el banco $1.450.000 y al cabo de 8 meses se retiran $1.766.648.2 calcular la tasa de la operación? P = $1.450.000

i

n

I=?

F 1 P

i8

n = 8 Meses

F = $1.766.648.2

1.766.648.2 1 1.450.000

i  2.5% mensual

Ejemplo 5: A que tasa de interés compuesto, capitalizando mensualmente, $728.000 se convierten en 2 años en $1.040.678 P = $728.000

i

n

I=?

F 1 P

i

n = 2 Años

24

1.040.678 1 728.000

F = $1.040.678

i  1.5% Mensual

 TIEMPO DE NEGOCIACIÓN Con frecuencia se necesita capitalizar un dinero para cubrir compromisos o reponer equipos. Conociendo el capital inicial de que se dispone, la tasa de interés que ofrece el banco y el monto que se necesitará, se puede calcular el tiempo necesario para reunir esos recursos.

F  (1  i ) n P

F  P (1  i ) n

Log

F  nLog (1  i ) P

Fórmula del número de períodos a interés compuesto

Por razones prácticas es mejor desarrollar primero las operaciones indicadas y posteriormente despejar n Ejemplo 6: Un agricultor adquiere un compromiso de $2.000.000 para lo cual dispone de $1.640.697. Si un Banco le recibe el dinero y le reconoce una tasa mensual del 2%, cuánto tiempo antes debería hacer la inversión? P = $1.040.678

Log

I = 2% mensual

F  nLog (1  i ) P

Log

0.086  n0.0086

n=?

F = $2.000.000

2.000.000  nLog (1  0.02) 1.640.697 n

0.086 0.0086

Log1.219  nLog1.02

n  10 Meses

Ejemplo: En cuanto tiempo se duplica un capital colocado al 21% de interés capitalizando trimestralmente? P=X

I = 5.25%

n=?

F = 2X

_____________________________________ J.R.F & A.M.E

Log

F  nLog (1  i ) P

Log

0.3010  n0.0222

2X  nLog (1  0.0525) X

Log 2  nLog1.0525

n  13.5464 Trimestres

13.546  3.387 4

3 Año

4 Meses

19

Días  ECUACIONES DE VALOR CON INTERÉS COMPUESTO Las ecuaciones de valor con interés compuesto son una de las técnicas más útiles de las matemáticas financieras para resolver problemas financieros. Se basan en el teorema fundamental de las matemáticas financieras que dice que en un flujo de caja (ingresos y egresos) el valor de arriba es igual al valor de abajo, en una misma fecha, llamada fecha focal (FF). Para establecer la ecuación de igualdad se siguen los siguientes pasos: 1. Dibuje correctamente el flujo de caja; hacia arriba los ingresos y hacia abajo los egresos. 2. Traslade todos los valores a una fecha focal, mediante las fórmulas F  P (1  i ) n y P 

F (1  i ) n

3. Establezca la ecuación igualando los valores de arriba con los valores de abajo. Ejemplo: Carmen Carmona se comprometió a pagar una deuda de la siguiente manera: un pago hoy por valor de $250.000; otro de $400.000 a los 5 mese y $500.000 dentro de 8 meses. Sin embargo, después decidió negociar con el prestamista dos pagos iguales a los 6 y 10 meses. Calcular el monto de cada pago si la negociación se hizo al 2% de interés mensual. FF /0 Contrato inicial P

5

$250.000

P  250.000 

8

$400.000

$500.000

400.000 500.000  5 (1  0.02) (1  0.02)8

P  250.000  362.292.32  426.745.19

P

= $1.039.037.5 Nuevo contrato $1.039.037.51 6

10

X

X

0

1.039.027.51 

X 

1.039.027.51 1.708

X X  6 (1  0.02) (1  0.02)10

1.039.027.51  0.888 X  0.820 X

X = $608.329.92

O sea, que es lo mismo cancelar la primera opción (hoy $250.000; $400.000 a los 5 mese y $500.000 dentro de 8 meses.), que $1.039.027.51 hoy ó dos cuotas de $608.329.92 a los 6 y 10 meses, todo porque son valores equivalentes.

Ejercicio: Un brete tiene un valor de $2.300.000 y se va a financiar a una tasa de interés del 3% mensual, con una cuota inicial del 10% y tres pagos en los 5, 7 y 10 meses siguientes, con la condición que el segundo pago sea 50.000 menos que el primero y el tercero $150.000 más que el segundo. Calcular el valor de los pagos. _____________________________________ J.R.F & A.M.E Ejercicio: Cuánto debo depositar en una cuenta que paga el 2% mensual para retirar $500.000 a los 7 meses y $900.000 a los 10 meses y aún me quede un saldo de $400.000 a los 12 meses. Nota: establecer FF al momento cero y posteriormente en el mes 8.

EJERCICIO PROPUESTOS 1. En cuanto se convierten $2.750.000 al cabo de 5 años si se han colocado al 18% de interés capitalizando trimestralmente? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ $6.632.213.57 TEA = 19.25%

2. ¿En cuanto tiempo $ 5.000.000 colocados al 12.4% de interés compuesto capitalizando bimestralmente, se convierte en $16.651.767.53? R/ 10 años

3. ¿Qué cantidad de dinero hay que colocar en un Banco que paga el 20% de interés compuesto capitalizado bimensualmente, para acumular en 6 años la suma de $475.000? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ $145.894.12 TEA = 21.00%

4. ¿A qué tasa de interés compuesto, capitalizado mensualmente, $728.000 se convierten en 3.5 años en $2.053.684.50? R/ 30% Mensual TEA = 34.49%

5. Un equipo de enfardar pasto que vale de contado $3.600.000 se va a financiar a una tasa de interés del 2% mensual por medio de una cuota inicial del 10% y tres pagos en los meses 6, 8 y 10 respectivamente, de tal manera que el segundo pago sea el doble que el primero y el tercer pago sea el triple del primero. Calcular el valor de los pagos. R/ 1º $360.000 2º 640.823.16 3º 1.281.646.32 4º 1.922.496.48

_____________________________________ J.R.F & A.M.E

.................................................................................................................... 6. Una persona ha consignado $585.000,00 en una caja de ahorros que paga el 18% de interés compuesto capitalizado trimestralmente, ¿Cuánto recibe 8 años después al cancelar su cuenta? R/ $2.392.683.91

7. ¿En cuanto tiempo $825.000 al 15.75% de intereses compuestos capitalizados semestralmente, se convierten en $2.476.313.78? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ 7 Años, 6 mes TEA = 16.37%

8. ¿Qué cantidad de dinero hay que colocar en una entidad crediticia que paga el 18% de interés compuesto, capitalizado mensualmente para poder retirar $7.500.000 al cabo de 10 años? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ $1.256.423.91 TEA = 19.56%

9. Por una deuda de $500.000 contada a interés compuesto capitalizado bimestralmente, por 2.5 años, se paga $967.641.22, ¿Cuál es la tasa de interés compuesta cobrada y la TEA? R/ 27% Anual TEA = 30.23%

10. Pedro Carmona ahorra hoy la suma de $1.500.000 en un Banco que le reconoce el 2% mensual, retira $180.000 dentro de 6 meses, $250.000 dentro de 10 meses, hace un nuevo depósito en el mes 14 por valor de $350.000. Qué saldo tendrá en la cuenta dentro de 2.5 años? R/ $2.536.511.82

………………………………………………………………………………………………………………………………… 11. ¿Cuanto produce $ 750.000 en 3 años si han sido colocados al 15% de interés compuesto, capitalizando semestralmente? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ $1.157.476.14 TEA = 15.56%

12. En que tiempo se duplican un capital colocado al 21% de interés compuesto capitalizando trimestralmente? R/ 3 Años, 4 mes 19 Días

_____________________________________ J.R.F & A.M.E 13. Cuanto cuesta cancelar una deuda hoy que dentro de 2.5 año vale $7.500.000, si se negoció a un interés del 16% capitalizable semestralmente? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ $5.104.373.98 TEA = 16.64%

14. Que resulta más rentable: invertir en un negocio que garantiza triplicar el capital en 8 años o consignar el mismo capital a una caja que paga el 18% de interés compuesto capitalizando trimestralmente? R/ Segunda opción

15. Angélica Bravo tiene dos opciones de vender su parcela en La Ceibita. Primera opción: Recibir una cuota inicial de $3.500.000, un pago de $4.000.000 dentro de 6 meses y el saldo de $8.000.000 dentro de un año con intereses del 3% mensual incluidos. Segunda opción: Venderla de contado por $12.460.976 Cuál es la mejor opción? R/ No existe diferencia

…………………………………………………………………………………………………………………………………. 16. ¿Cuánto rinde $300.000 en 10 años si han estado colocados al 12.75% de interés compuesto capitalizando trimestralmente? Cuál fue la tasa efectiva anual de la transacción. R/ $1.052.158.26 TEA = 13.37 17. En qué tiempo se cuadruplica un capital colocado al 24.75% de interés compuesto capitalizado trimestralmente? R/ 5 Años, 9 mes 3 Días

18. El valor de un pagaré que se vence dentro de 18 meses es de $2.400.000 a una tasa del 2.05% mensual. Cuál sería su valor si se quisiera cancelar a los 3 meses?

19. ¿Qué es más ventajoso: invertir en un negocio que garantiza cuadruplicar la inversión en 6 años o depositar el capital en una caja que paga el 15.25% de interés compuesto capitalizado trimestralmente? R/ Primera opción

20. Calcular el valor de contado de un arado de cincel que financiado se paga de la siguiente forma: Una cuota inicial de $800.000, al final del 5º mes un pago igual a la tercera parte de su valor y al final del mes 7 un pago igual a la mitad de su valor. La tasa de interés que le cobraron fue del 3% mensual. R/ $2.615.079.86

_____________________________________ J.R.F & A.M.E