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Matem´ atica Financiera Miguel Felix Alvino

16 de agosto de 2019

Miguel Felix Alvino

Matem´ atica Financiera

16 de agosto de 2019

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Contenido del curso

Primera unidad Razones y proporciones, porcentajes Exponentes y logaritmos Inter´es Simple Pr´actica general

Miguel Felix Alvino

Segunda Unidad Inter´es Compuesto

Tercera Unidad Anualidades

tasa de inter´es Anualidades Pr´actica general

Amortizaci´on Depreciaci´on Pr´actica General

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Evaluaciones 1

Evaluaci´on semanal 1 2

3

Pr´acticas Calificadas (8 ptos) Pr´acticas virtuales (classroom) (7 ptos) ´ Actitud ante el Area (5 ptos)

2

Asignaci´on de Ejercicios

3

Examen de la Unidad ´ Actitud ante el Area en la unidad.

4

Responsabilidad Puntualidad Respeto Proactividad Cultura de la Limpieza

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Evaluaciones 1

Evaluaci´on semanal 1 2

3

Pr´acticas Calificadas (8 ptos) Pr´acticas virtuales (classroom) (7 ptos) ´ Actitud ante el Area (5 ptos)

2

Asignaci´on de Ejercicios

3

Examen de la Unidad ´ Actitud ante el Area en la unidad.

4

Horario Viernes de 8:00 - 10:15 am

Responsabilidad Puntualidad Respeto Proactividad Cultura de la Limpieza

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Evaluaciones 1

Evaluaci´on semanal 1 2

3

Pr´acticas Calificadas (8 ptos) Pr´acticas virtuales (classroom) (7 ptos) ´ Actitud ante el Area (5 ptos)

2

Asignaci´on de Ejercicios

3

Examen de la Unidad ´ Actitud ante el Area en la unidad.

4

Responsabilidad Puntualidad Respeto Proactividad Cultura de la Limpieza

Miguel Felix Alvino

Horario Viernes de 8:00 - 10:15 am

Herramientas Calculadora Cient´ıfica Hojas para practicas

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Matem´aticas financieras y contabilidad Uno de los principales objetivos de la contabilidad es proporcionar informaci´ on financiera para la toma de decisiones, y como es sabido cuando nos referimos a informaci´on financiera no solo hablamos de los estados financieros b´asicos, sino que tambi´en se deben proporcionar todos aquellos an´alisis que permitan conocer la situaci´on en la que se encuentra la empresa; dicho lo anterior, no podemos concebir la contabilidad sin la habilidad matem´atica financiera, pues es esta u ´ltima la que nos proporciona infinidad de herramientas para generar esos an´alisis.

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La determinaci´on de la estructura financiera ´ optima, el nivel de apalancamiento1 , las proyecciones futuras, los presupuestos, las inversiones, las coberturas de riesgos, el valor actual de flujos esperados en una inversi´on o en la propia compa˜ n´ıa, son solo algunos de los temas que invariablemente tendr´an que ser analizados con las herramientas proporcionadas por las matem´aticas financieras que terminan siendo un elemento inherente a la informaci´ on utilizada para la toma de decisiones.

1

El apalancamiento es la relaci´ on entre cr´edito y capital propio invertido en una operaci´ on financiera. A mayor cr´edito, mayor apalancamiento y menor inversi´ on de capital propio. En otras palabras, el apalancamiento es simplemente usar endeudamiento para financiar una operaci´ on. Miguel Felix Alvino

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Para llevar a cabo los objetivos antes descritos, es necesario conocer determinados conceptos que son la base de cualquier c´alculo que implique matem´aticas financieras. Los conceptos que son de conocimiento obligatorio para cualquier persona o especialista en el ´area son: Capital: Es el monto del dinero prestado o sujeto a inversi´on. Inter´ es: Es el precio que se debe pagar por el dinero en un determinado tiempo. tasa: un porcentaje que representa el inter´es pactado. Tiempo: Es el periodo usado como referencia para calcular los intereses generados en un pr´estamo o inversi´ on

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El tiempo es sin duda el elemento m´as importante para evaluar el dinero, y es este el factor que nos permite ubicar la equivalencia de cada unidad monetaria en el presente o en una fecha futura. Cu´antas veces nos hemos preguntado: ¿Cu´anto debo ahorrar para comprar un auto en determinado tiempo?, ¿cu´anto dinero obtendr´ıa si dejo mi dinero en una inversi´on? O bien, preguntas m´as sofisticadas como: ¿cu´al es el valor de mi negocio el d´ıa de hoy si cuento con un plan de negocio en el que puedo justificar flujos de efectivo esperados a futuro?, ¿es una buena decisi´on renovar mi equipo de producci´ on en proporci´ on a los beneficios econ´ omicos que esto implica?

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Para determinar el valor del dinero en el tiempo, hay algunas herramientas y conceptos de obligatorio conocimiento, estos son: Valor presente: Es el valor actual de una cantidad o capital que pagaremos o percibiremos en el futuro. Valor futuro: Es la cantidad de dinero que alcanzar´a una inversi´on en alguna fecha futura al ganar intereses o alguna tasa compuesta. Valor presente neto: Es el resultado algebraico de traer a valor presente, utilizando una tasa de descuento adecuada, todos los flujos de un proyecto. Valor descontado: Cantidad de dinero que recibe el solicitante de un pr´estamo despu´es de haber descontado anticipadamente los intereses del monto. Tasa de descuento: Es el porcentaje que se cobra anticipadamente como rendimiento de un pr´estamo. Anualidades: Es una serie de pagos, dep´ ositos o retiros iguales que se efect´ uan en intervalos iguales con inter´es compuesto. Amortizaciones: Es un proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda y sus intereses por medio de pagos peri´odicos. Miguel Felix Alvino

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Introducci´on Los N´umeros Hablar de matem´aticas aplicadas en cualquiera de sus especialidades es referirse a n´ umeros. Por ello, nuestro punto de partida es una breve introducci´on al estudio de las propiedades y las reglas, como aquellas que se utilizan en las operaciones con n´ umeros. Diariamente se manejan cantidades que se representan mediante diferentes tipos de n´ umeros, como los enteros, los fraccionarios, los positivos, los negativos, los pares, etc´etera. Todos ellos forman parte de lo que se conoce como el conjunto de los n´ umeros reales. Por supuesto que existen otros n´ umeros que no pertenecen a ese conjunto, los que no son reales, los llamados imaginarios, pero poco tienen que ver con la matem´atica de los negocios y las finanzas. Dos de estos n´ umeros son, por ejemplo, las dos soluciones de la ecuaci´ on: x2 + 1 = 0 Miguel Felix Alvino

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Redondeo de N´umeros El criterio m´as generalizado para redondear los n´ umeros es el que considera lo siguiente: 1

Si el primer d´ıgito que se desprecia es mayor que cinco, entonces el que se retiene se incrementa en 1; por ejemplo: 42.53621, con dos decimales queda: 42.54.

2

Si el primer d´ıgito que se desprecia es menor que cinco, el que se retiene no cambia; por ejemplo, el redondeo de 2.328543 a cuatro decimales es 2.3285. Si el primer d´ıgito que se desprecia es igual a 5, hay dos opciones:

3

1

2

El u ´ltimo d´ıgito que se retiene se incrementa en uno; si a la derecha del 5 hay, por lo menos, uno que sea mayor que cero, por ejemplo, 5.085013 se redondea como 5.09 con dos decimales. Si a la derecha del 5 hay s´ olo ceros y el u ´ltimo que se retiene es par, ´este no cambia, pero se incrementa en uno si es impar. Por ejemplo, 425.32500 o 425.325 se redondea a 425.32, y 0.8375 se redondea a 0.838, con tres decimales.

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Para tener mayor precisi´on en el resultado final, se recomienda no hacer el redondeo en las operaciones y resultados parciales, sino hasta el final. Ejemplo Al redondear el n´ umero X = 17.42379035 a siete, cinco, tres y una cifra decimal, queda, respectivamente:

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Para tener mayor precisi´on en el resultado final, se recomienda no hacer el redondeo en las operaciones y resultados parciales, sino hasta el final. Ejemplo Al redondear el n´ umero X = 17.42379035 a siete, cinco, tres y una cifra decimal, queda, respectivamente: Con siete decimales: X = 17.4237904

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Para tener mayor precisi´on en el resultado final, se recomienda no hacer el redondeo en las operaciones y resultados parciales, sino hasta el final. Ejemplo Al redondear el n´ umero X = 17.42379035 a siete, cinco, tres y una cifra decimal, queda, respectivamente: Con siete decimales: X = 17.4237904 Con cinco decimales: X = 17.42379

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Para tener mayor precisi´on en el resultado final, se recomienda no hacer el redondeo en las operaciones y resultados parciales, sino hasta el final. Ejemplo Al redondear el n´ umero X = 17.42379035 a siete, cinco, tres y una cifra decimal, queda, respectivamente: Con siete decimales: X = 17.4237904 Con cinco decimales: X = 17.42379 Con tres decimales: X = 17.424

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Para tener mayor precisi´on en el resultado final, se recomienda no hacer el redondeo en las operaciones y resultados parciales, sino hasta el final. Ejemplo Al redondear el n´ umero X = 17.42379035 a siete, cinco, tres y una cifra decimal, queda, respectivamente: Con siete decimales: X = 17.4237904 Con cinco decimales: X = 17.42379 Con tres decimales: X = 17.424 Con una cifra decimal: X = 17.4

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Introducci´on Razones, Proporciones y Porcentajes

Razones Una raz´on es la comparaci´ on de dos cantidades mediante una divisi´on. a =k b donde k es la raz´on geom´etrica.

Proporciones Una proporci´ on compara razones a c a Si b = k y d = k entonces: b = Directamente Proporcional

c d

Inversamente Proporcional

A C = =k B D Miguel Felix Alvino

A×B =C ×D =k Matem´ atica Financiera

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Ejemplo Repartir un premio de S/.5 890 entre A,B y C en forma D.P. a lo que aportaron para comprar un boleto de una rifa, siendo sus aportes: S/.35;S/.21 y S/.14 respectivamente.

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Ejemplo Repartir un premio de S/.5 890 entre A,B y C en forma D.P. a lo que aportaron para comprar un boleto de una rifa, siendo sus aportes: S/.35;S/.21 y S/.14 respectivamente. Soluci´ on A B C Sea N = 5890 se reparten en: 35 = 21 = 14 =k Como A + B + C = 5890 =⇒ 35k + 21k + 14k = 5890 =⇒ k = 589 7 589 = 2945 7 589 B = 21 × = 1767 7 589 C = 14 × = 1178 7 A = 35 ×

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Ejemplo Repartir la suma de $24 800 entre las personas A,B y C en forma inversamente proporcional(I.P.) al n´ umero de sus inasistencias a su trabajo que son: 5;3 y 2 respectivamente.

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Ejemplo Repartir la suma de $24 800 entre las personas A,B y C en forma inversamente proporcional(I.P.) al n´ umero de sus inasistencias a su trabajo que son: 5;3 y 2 respectivamente. Soluci´ on Por definici´ on tenemos que: A × 5 = B × 3 = C × 2 = k Adem´as: A + B + C = 24800 As´ı: k k k + + = 24800 =⇒ k = 24000 5 3 2 Entonces: A × 5 = 24000 =⇒ A = 4800 B × 3 = 24000 =⇒ B = 8000 C × 2 = 24000 =⇒ C = 12000 Miguel Felix Alvino

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Ejemplos 1. En un restaurante de Arequipa la tarifa de los mozos Alberto y Felipe es 5/6. Si la tarifa de alberto es S/20.00 ¿Cu´al es la tarifa de felipe?

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Ejemplos 1. En un restaurante de Arequipa la tarifa de los mozos Alberto y Felipe es 5/6. Si la tarifa de alberto es S/20.00 ¿Cu´al es la tarifa de felipe? Soluci´ on A 5 20 5 F = 6 =⇒ F = 6 Por lo tanto Felipe recibe: S/24.00 soles.

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Ejemplos 1. En un restaurante de Arequipa la tarifa de los mozos Alberto y Felipe es 5/6. Si la tarifa de alberto es S/20.00 ¿Cu´al es la tarifa de felipe? Soluci´ on A 5 20 5 F = 6 =⇒ F = 6 Por lo tanto Felipe recibe: S/24.00 soles. 2. Las tarifas de 2 mozos de un restaurante de Camana suman S/.90.00 y forman una razon geom´etrica. Si se agrega S/.10.00 soles al menor y se resta S/.10.00 soles al mayor la relaci´ on inicial se invierte. Calcular el importe de la tarifa m´as alta

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Ejemplos 1. En un restaurante de Arequipa la tarifa de los mozos Alberto y Felipe es 5/6. Si la tarifa de alberto es S/20.00 ¿Cu´al es la tarifa de felipe? Soluci´ on A 5 20 5 F = 6 =⇒ F = 6 Por lo tanto Felipe recibe: S/24.00 soles. 2. Las tarifas de 2 mozos de un restaurante de Camana suman S/.90.00 y forman una razon geom´etrica. Si se agrega S/.10.00 soles al menor y se resta S/.10.00 soles al mayor la relaci´ on inicial se invierte. Calcular el importe de la tarifa m´as alta Soluci´ on x + y = 90 y yx = k y x+10 1 y −10 = k = x x+y y +x y −10 = x x = y − 10 Miguel Felix Alvino

x + y = 90 x − y = −10 Sumando el sistema tenemos que x = 40 y y = 50 Matem´ atica Financiera

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Ejemplos 3. Sabiendo que la raz´on de los sueldos de 2 anfitrionas de un hotel de Arequipa es 7/3 y su diferencia es S/.1 375. Calcular el sueldo de cada anfitriona. Si una anfitriona necesita consumir 168 calor´ıas, ¿cu´antos mangos de 56 calor´ıas podr´a comer?

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PORCENTAJES

Porcentajes Partici´on equitativa de un todo en 100 partes iguales 1 = % 100 El X % de A es: X ×A 100 X ×A 100

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Ejemplos Hallar el 15 % de 32 15 × 32 = 4,8 100 Hallar el 81 % de 96 1 1 8 × 96 = × 96 = 0,12 100 8 × 100 Juan G´ omez pag´ o $427.50 por un par de zapatos ¿Cu´al era el precio si los compr´ o con el 25 % de descuento?

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Ejemplos

1. Juan vende el kilo de pan a S/.5 y una barra de pan 1/4 kilo a S/.2.5; si ha decidido subir sus precios en 10 % ¿Cu´ales ser´an los nuevos precios? Si el IGV es 19 % ¿Cu´anto recibe neto en cada caso?

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Ejemplos

1. Juan vende el kilo de pan a S/.5 y una barra de pan 1/4 kilo a S/.2.5; si ha decidido subir sus precios en 10 % ¿Cu´ales ser´an los nuevos precios? Si el IGV es 19 % ¿Cu´anto recibe neto en cada caso? Soluci´ on Primeramente determinaremos los nuevos precios: El nuevo precio ser´a: 5 + 10 %(5) = 5,50soles La barra de pan: 2,50 + 10 %(2,50) = S/2,75 Ahora determinemos el precio neto al descontarse el 19 % de IGV: Precio neto de 1kg de pan: 5,50 − 19 %(5,50) = S/4,46 Precio neto de la barra de 1/4kg de pan: 2,75 − 19 %(2,75) = S/2,23

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Ejemplos 2. Pedro posee el 51 % de las acciones de un negocio. ¿Qu´e cantidad le corresponde si los beneficios han sido de S/74 500?

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Ejemplos 2. Pedro posee el 51 % de las acciones de un negocio. ¿Qu´e cantidad le corresponde si los beneficios han sido de S/74 500? Soluci´ on Debemos de sacar el 51 % de los beneficios: 74500 × 51 % = 37995 Por lo tanto recibir´a S/.37 995 de beneficios.

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Ejemplos 2. Pedro posee el 51 % de las acciones de un negocio. ¿Qu´e cantidad le corresponde si los beneficios han sido de S/74 500? Soluci´ on Debemos de sacar el 51 % de los beneficios: 74500 × 51 % = 37995 Por lo tanto recibir´a S/.37 995 de beneficios. 3. Si un pantal´on costaba S/43 y ahora cuesta S/57 es por que su precio ha subido un .... %.

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Ejemplos 2. Pedro posee el 51 % de las acciones de un negocio. ¿Qu´e cantidad le corresponde si los beneficios han sido de S/74 500? Soluci´ on Debemos de sacar el 51 % de los beneficios: 74500 × 51 % = 37995 Por lo tanto recibir´a S/.37 995 de beneficios. 3. Si un pantal´on costaba S/43 y ahora cuesta S/57 es por que su precio ha subido un .... %. Soluci´ on Planteando tenemos: 43 + x %(43) = 57 entonces tenemos que: x = 57−43 43 × 100 % = 32,558 % Por lo tanto ha subido un 32.558 %. Miguel Felix Alvino

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Ejemplos 4. Un tel´efono m´ovil en la tienda A cuesta S/82 +IGV(19 %). En la tienda B vale 95 soles (incluido IGV) y en la tienda C vale 117 soles (incluido IGV). Sabiendo que en la tienda C aplican un descuento del 20 %,¿d´onde nos saldr´ıa m´as barato?

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Ejemplos 5. En una tienda me ofrecen un televisor a S/450 (sin impuestos). El vendedor me ofrece descuento del 10 %, pero me indica que para llevarlo a mi domicilio, la tienda me cobra S/20 por la movilidad y transporte ¿Cu´al es el precio total que debo pagar por el televisor?

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