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• Teresa Meriño

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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA

Perspectivas para la enseñanza de la Matemática

Clase 3 Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la enseñanza Los alumnos y

las formas de

apropiación de los contenidos

matemáticos

¡Hola colegas! Volvemos a encontrarnos en este espacio para compartir nuevos análisis sobre la enseñanza en la escuela primaria y sobre los niños y niñas que allí aprenden Matemática. Tal como hemos planteado en las clases anteriores, en las últimas décadas del siglo XX las investigaciones didácticas delinearon el campo de la Matemática de una nueva manera, problematizando no solamente el lugar de los actores, maestros y alumnos, sino también el de la Matemática misma y su particular funcionamiento en el ámbito de la clase, generando resultados que apuntan a explicar distintos fenómenos de enseñanza y de aprendizaje. Estos resultados han dado lugar a un conjunto de nociones didácticas fértiles para la construcción de criterios orientadores para la organización de la enseñanza y flexibles en términos de adecuación a los sujetos, contextos e instituciones en los que se ponen a funcionar. Ahora nos ocuparemos de usar algunas de esas nociones para pensar la clase en la escuela primaria, poniendo el foco en los alumnos y alumnas, en las formas de apropiación de los conocimientos matemáticos y en identificar las decisiones para la enseñanza que se pueden derivar de ellas. Estos análisis resultan centrales a la hora de pensar el origen y los fundamentos de un enfoque que permite comprender algunos problemas de la enseñanza y delinear alternativas de acción tanto para los maestros en sus aulas como para los profesores formadores.

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Para ello abordaremos los fundamentos piagetianos para la construcción del pensamiento conceptual, en particular los estudios de Gerard Vergnaud y su teoría de los campos conceptuales, junto a los aportes de Raymond Duval, Michele Artigue y los estudios de Colette Laborde que toman ideas de la escuela soviética sobre el aprendizaje en interacción social.

El aprendizaje por resolución de problemas Decíamos en las clases anteriores que actualmente buscamos en nuestros alumnos la adquisición de saberes que estén disponibles para ser reutilizados en la resolución de situaciones diversas, pudiendo decidir en forma autónoma qué conocimientos usar, cuándo usarlos y cómo hacerlo. Asimismo, nos interesa que esos saberes puedan ser expresados de manera adecuada y que estén vinculados entre sí de manera organizada. Afirmamos que, para que esto ocurra, los alumnos deben resolver problemas. Pero, ¿por qué?, ¿cuál es el origen de esta perspectiva?, ¿qué relación tiene con los principios constructivistas?

1.a. ¿Qué tipo de problemas? ¿Qué formas de resolución? En la primera clase estuvimos analizando los problemas a partir de los contextos en los que se presentan. Nos preguntamos ahora: ¿a través de qué tipo de situaciones adquieren significado los conceptos y procedimientos matemáticos?; ¿cuáles serían las condiciones que deben reunir tales situaciones para propiciar la apropiación del saber por quien aprende? Ya en 1981, Gerard Vergnaud se había formulado estas preguntas. Las explicaciones piagetianas, muy difundidas por aquella época, eran un punto de partida pero no eran suficientes para pensar en aprendizajes escolares de contenidos específicos.

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El funcionamiento del conocimiento en situaciones que

den

lugar

a

nuevos

aprendizajes

Gérard Vergnaud es un

podía

psicólogo cognitivo francés,

pensarse como adaptación al medio en el sentido

nacido en 1933, creador de

piagetiano pero, ¿cómo se puede caracterizar?

la Teoría de los Campos Conceptuales en 1990. Entre

Vergnaud plantea que la actividad de aprender es una acción en situación. Y que, en Matemática, la acción en situación se entiende como la que se desarrolla en ocasión de resolver un problema.

1987 y 1995 dirigió el grupo de investigación Didáctica y adquisición de conocimiento científico, que ha jugado un papel importante en la conformación de una comunidad de investigadores interesados por la educación y la formación. Es mundialmente reconocido por

Vergnaud considera que la acción en situación “es la base y el criterio del pensamiento conceptual”, es decir, la instancia que permite adquirir conceptos y también el modo de evaluar si se ha aprendido.

sus trabajos sobre al acceso a los números y a las operaciones aritméticas de los niños, por su concepción del sistema cognitivo, ya que ha propuesto una teoría operatoria de la representación. Entre otras obras, mencionamos algunas de las publicadas en español y que tuvieron un

Al respecto señala:

alto impacto en la comunidad de

“El

pensamiento

obedece orden

sólo

es

conceptual

simultáneamente a

teórico

conducta,

y

práctico.

criterios Una

si de

simple

VERGNAUD G. (1981). L'enfant, la mathématique et la réalité, Berne, Peter Lang, seis ediciones. Traducción en espagnol (1991)

aunque

sea

adaptada

no

pero

un

discurso

teórico

Trillas; en italiano (1994); en ruso (1998); en

tampoco es conceptual a menos que dé

portugués (2010) A criança, a matematica e a

conceptual;

es

investigadores en Didáctica de la Matemática.

lugar a una conducta adaptada a la situación a la que se aplica el discurso. Una práctica lograda

por

entrenamiento

o

acondicionamiento no es un concepto, pero un concepto que no sea operativo tampoco lo es.” (Vergnaud, 1977)

El Nino las Matematicas y la Realidad. Mexico,

realidade. Curitiba, UFPR. VERGNAUD G. (Ed) (l994). Apprentissages et Didactiques. Paris, Hachette. Traducida en español Aprendizajes y didácticas. ¿qué hay de nuevo?. Edicial. Buenos Aires. LAUTREY J., VERGNAUD G. (Eds) (1997). Piaget aujourd'hui. Psychologie Française, 421 VERGNAUD G. (2000) Lev Vygotski pédagogue

Así

piensa

el

autor

cómo

se

adquiere

un

pensamiento conceptual. No se trata, entonces, de un “saber hacer” sin posibilidad de fundamentar lo que se hace ni de un “saber teórico” que no pueda

et penseur de notre temps. Paris Hachette Education. Traducción en portugués (2004) Lev Vygotski, Pedagogo e Pensador do Nosso Tempo. Porto Alegre; Geempa.

ser utilizado cuando es ocasión de hacerlo. Se trata, en cambio, de un hacer sobre el que se pueden dar explicaciones teóricas, y de unas nociones teóricas que pueden ser utilizadas cuando resulta necesario hacerlo.

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Consideremos un ejemplo, el caso de Ana María, para analizar los tipos de saberes.

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¿Qué relaciones podría establecer Ana María entre lo que leyó en el Cuaderno para el aula y lo que aprendió durante su escolaridad?

Ana María conoce una técnica para multiplicar por dos cifras (un saber hacer) y conoce la propiedad distributiva (un saber teórico) bajo una cierta representación, típica de muchos libros de texto. Pero, para identificar que en el procedimiento de su alumno hay un uso implícito de la propiedad distributiva, tendrá que reconocer que al multiplicar un número por otro y descomponer (uno o ambos) en sumandos, es posible disponer sobre el papel, de distintas maneras, los resultados parciales de cada producto para luego sumarlos. Así, entonces, vería que la propiedad distributiva que ella conoce funciona como justificación del algoritmo. Si pensamos en la construcción de un concepto o de una propiedad en situación –en ocasión en la que el concepto sea necesario para resolver la situación- Vergnaud especifica:

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“[estas situaciones son aquellas] para las que el sujeto no dispone de todas las competencias necesarias, lo que lo obliga a un tiempo de reflexión y de exploración, a dudas, a tentativas abortadas; y lo conduce eventualmente al triunfo, y eventualmente al fracaso” - (Vergnaud, 1991: 135-136) Volviendo sobre Ana María y la enseñanza de la cuenta de multiplicar por dos cifras: si ella presentara ese problema a sus alumnos y les diera lugar a elaborar

procedimientos

propios, originales, los chicos podrían realizar alguno como el que leyó en el Cuaderno para el aula. Esto le permitiría analizar dos cuestiones: 

hacer los dos productos por separado es algo que los niños pueden justificar en el contexto del problema calculando primero los botones para los puños y luego los del frente.



la distributividad -si no apareció antes- puede surgir de esa situación como nuevo conocimiento (“teorema en acto”) que ella podrá retener y pensar cómo seguir trabajando en nuevos problemas.

Esta idea de situación como instancia de aprendizaje nos hace pensar en que, para que quien aprende adquiera un concepto nuevo, una propiedad nueva, el problema a resolver ha de ser nuevo, esto es, debe permitirle encontrar soluciones que antes no conocía, abordarlo inicialmente con conocimientos que ya domina pero que son insuficientes para completar la solución y, entonces, producir soluciones originales: “la noción de problema comporta, pues, la idea de novedad, de algo nunca hecho, de algo aún no comprendido” (Vergnaud, Actividad y conocimiento operatorio). Reconocemos en estos aportes la idea de problema que se sostiene en el enfoque actual de enseñanza: la de desafío intelectual a la medida de los conocimientos de quien está resolviendo el problema. En este sentido, es importante mencionar que una situación puede ser problema para unos alumnos y no para otros. Si un alumno resuelve la tarea que se le plantea de inmediato, seguramente ya disponía de los conocimientos necesarios para hacerlo y no aprende algo nuevo. Lo mismo si la tarea requiere, para ser abordada, alumno aún no ha trabajado. En estos casos no hay problema.

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unos conocimientos que el

Al respecto, en los Cuadernos para el aula se afirma: “Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones”. (Cuaderno para el aula 3, pág. 20, MEN, 2006) También reconocemos en este aporte una primera cuestión asociada a la idea de resolución de un problema: la necesidad de dar lugar en la clase a una producción original del alumno, en la que pone en juego lo que sabe. Veamos en el próximo apartado qué otros elementos incluir al pensar en la resolución.

1.b. ¿Qué más sobre la resolución? Otra cuestión que aprendimos en estos últimos años, en el marco del enfoque que estamos presentando, es la importancia de incluir en la clase instancias de trabajo grupal. ¿Cuál es el origen de esta derivación didáctica? ¿Por qué es importante incluir estas instancias? Colette Laborde es

Entre los investigadores en Didáctica de la Matemática,

profesora emérita e

Colette Laborde trabajó sobre los aspectos sociales de

investigadora titular en

las

el Instituto Universitario

diversas

situaciones

en

las

cuales

están

comprometidos estudiantes y docentes en la clase. De la escuela soviética y los estudios de Vigotsky sobre la construcción

de

conocimientos

en

instancias

de

de Formación de Profesores de la Universidad Joseph Fourier Grenoble, Francia. Su trabajo de investigación actualmente está dirigido a

interacción social, surge la idea de que las experiencias

la integración de la informática en la

sociales

enseñanza y el aprendizaje de la

intervienen

en

la

evolución

de

los

conocimientos. Esta escuela considera el desarrollo cognitivo

de

los

niños

partiendo

de

procesos

geometría, y sobre la ingeniería de procesos didácticos en el contexto geométrico.

interpersonales que luego se transforman en procesos intrapersonales. Según

señala

Colette

Laborde,

existen

fundamentalmente

dos

modalidades

de

funcionamiento de procesos interpersonales: por un lado, si el problema propuesto tiene en

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sí mismo una dimensión social, y por otro, si se trata de resolver el problema por un grupo de alumnos y alumnas, al margen de que el problema suponga en sí la resolución de un problema social. En el primer caso se trata, por ejemplo, de producir un mensaje para que un compañero identifique el dibujo de una figura entre varias. Hay un productor y un receptor del mensaje que tienen que interactuar a propósito de su comprensión (veremos esta cuestión en la próxima clase). Centrándonos en un ejemplo del segundo tipo, pensemos nuevamente en la clase de Ana María y el problema que leyó en el Cuaderno para el aula de tercer grado. Los alumnos podrán realizar diferentes procedimientos.

Cuando cada alumno desarrolló su procedimiento, el docente puede proponer un debate analizando si acuerdan con las respuestas obtenidas y a qué elementos del contexto se refiere cada número, comparando lo producido para establecer cuáles son las semejanzas y diferencias. El docente espera obtener al finalizar la clase alguna conclusión sobre procedimientos con sólo sumas y otros con sumas y multiplicaciones y también, entre estas últimas, discutir sobre por qué creen que un chico eligió 8 y 4 para descomponer el 12 y otro 10 y 2. También podrá avanzar preguntando si son posibles otras descomposiciones del 12, pidiendo que escriban cómo contar a otros esta forma de hacer la multiplicación. Asimismo es central preguntar por qué están seguros de que su respuesta es adecuada.

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¿Qué efecto tendrían las interacciones en este caso?

Las interacciones durante el debate implican, para cada niño, volver a pensar en las relaciones que estableció entre los elementos del problema y explicitarlas, reconocerlas. También la interacción conlleva a pensar en nuevas relaciones, al intentar comprender lo que hicieron sus compañeros. Esto último implica una descentración de su propio punto de vista y un intercambio para negociar en el proceso que lleva a validar o rechazar una estrategia. Así, las relaciones que habían funcionado en forma implícita en la resolución del problema se explicitan y pueden ser retomadas por el docente y expresadas de una forma comprensible para todos los niños y con una cierta cercanía con la forma matemáticamente adecuada. También es parte del proceso de resolución la respuesta a la pregunta para dar razones de lo realizado, pues tener oportunidad de validar lo hecho permite avanzar hacia la autonomía en las respuestas. Volveremos sobre estas cuestiones para ampliarlas en la próxima clase. En síntesis, las interacciones con los compañeros y con el docente también contribuyen a la construcción de conocimientos y forman parte de la resolución del problema. Al respecto, en los Cuadernos para el aula se dice: “El trabajo que implica volver sobre lo realizado exige siempre una explicitación, un reconocimiento y una sistematización del conocimiento implicado en la resolución de los problemas, las formas de obtenerlo y validarlo. Sin este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en la escuela –las nociones y formas de trabajar en matemática– no tendrán a futuro las mismas posibilidades de reutilización.” (Cuadernos para el aula, pág. 16)

Para seguir reflexionando y tomar nota… Si están dando clase en un aula de primaria, registren un ejemplo de su grupo y si no tienen un grado a cargo, consulten con un maestro conocido. De una clase reciente, identifiquen algún problema que los niños hayan resuelto con distintos procedimientos y reflexionen sobre su propia intervención para posibilitar esa producción.

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¿Cómo elegimos los problemas? Al pensar -como docentes, maestros y formadores- en que tenemos que enseñar un conjunto de conocimientos específicos, podemos avanzar con una nueva pregunta: ¿cómo elegimos el conjunto de problemas ligados a un cierto contenido de enseñanza? Desde la preocupación por incluir las situaciones en las que funcionan los conceptos que se quieren enseñar, Vergnaud asume una posición crítica respecto de la habitual fragmentación o atomización de los contenidos escolares que se realiza en el currículum a fines de organizar la enseñanza. Propone entonces una nueva noción teórica, la de campo conceptual, que permite pensar tanto en la interconexión entre los conceptos matemáticos como en la evolución psicogenética de quien aprende y que rehabilita los contenidos de conocimiento, demasiado a menudo minimizados por la aproximación estructuralista. “Un campo conceptual es un espacio de problemas o de situaciones-problemas cuyo tratamiento implica conceptos y procedimientos de varios tipos en estrecha conexión. La noción de campo conceptual permite estudiar de manera más integrada el desarrollo simultáneo y coordinado de los diferentes conceptos necesarios para la comprensión

de

un

conjunto

organizado

de

clases

de

problemas,

de

los

procedimientos que permiten tratarlos y de los sistemas simbólicos que permiten representarlos.” (Vergnaud, 1981) En su libro El niño, la matemática y la realidad (1991) Vergnaud define los dos campos de problemas que nos interesan para la enseñanza en la escuela primaria: 

El campo de las estructuras aditivas como el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones y el conjunto de los conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas.



El campo de las estructuras multiplicativas como el conjunto de situaciones cuyo tratamiento implica una o varias multiplicaciones y divisiones y el conjunto de los conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas.

Los distintos tipos de problemas de cada uno de estos campos se tratarán en profundidad en las próximas clases. Veamos ahora algunas de las ideas básicas asociadas a la noción de campo conceptual y los criterios didácticos que podemos derivar de ellas.

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

Un mismo concepto aparece en una gran variedad de situaciones, es decir que hay una gran variedad de problemas que pueden resolverse con el mismo concepto.

Vergnaud mostró que en problemas diferentes, una misma noción adquiere diversos significados, lo que implica diferentes grados de complejidad para su aprendizaje. Pensemos, por ejemplo, en dos problemas que se resuelven con la misma suma:



“Tengo 8 caramelos de frutilla y 4 de dulce de leche, ¿cuántos caramelos tengo?”



“Perdí ayer 8 figuritas y hoy perdí 4, ¿cuántas perdí?”

Si analizamos los problemas mirando los elementos de las colecciones que intervienen, advertimos que son distintos. En el primer caso, se trata de reunir dos tipos de objetos con algo en común en una nueva colección –caramelos- pero con algo diferente - de frutilla y de dulce de leche-. En el segundo caso, son siempre del mismo tipo -figuritas. Si miramos los problemas considerando una cuestión temporal, vemos que en el primer problema no interviene la noción de tiempo, las cantidades no se transforman. En cambio, en el segundo ocurren dos disminuciones de cantidades, dos transformaciones negativas respecto de una cantidad inicial de objetos que no se especifica. ¿Cómo influye esto en los niños que resuelven? Cambiar o no el tipo de objetos y que haya o no una cuestión temporal involucrada en el enunciado, modifica la complejidad del problema. En efecto, pensar en que la pérdida total se encuentra sumando dos pérdidas (perder es una acción inicialmente ligada a la resta) es de una complejidad diferente que pensar en la reunión de dos colecciones. ¿Por qué nos interesa incluir en la enseñanza de un concepto una variedad de problemas con sus significados distintos? Porque, si al aprender un concepto, los alumnos y alumnas recorren un conjunto variado de problemas, podrán tener a futuro más posibilidades de reutilizar el concepto en nuevas resoluciones.

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

En una misma situación coexisten varios conceptos.

Así, por ejemplo, los conceptos de multiplicación, división, fracción, número, función lineal y otros, aparecen frecuentemente vinculados en los problemas de tipo multiplicativo a los que se enfrentan los niños y niñas. ¿Cómo influye esto en nuestra planificación? Al anticipar el funcionamiento de un problema en la clase es importante prever la realización de intervenciones propias que guíen y permitan a los alumnos establecer relaciones entre los conceptos de un mismo campo involucrados en ese problema. Consideremos, por ejemplo, un problema donde hay que “Formar frisos rectangulares con 24 azulejos sin que sobre ninguno”. En este caso, la respuesta no es única. Una de las posibilidades es pensar en filas de 6 azulejos y buscar cuántas filas se pueden hacer y para ello podrían escribir 6x--- = 24, buscando qué número x6 da 24 o pensar 24:6=---. Esto mismo podría ocurrir para varias de las alternativas (2x12; 3x8; 4x6 y 1x24). Se podrá entonces plantear qué divisiones se pueden escribir para 6x4, para 2x12, etc. y luego, se podrá argumentar si es cierto que para cualquier cálculo de multiplicar se pueden escribir dos divisiones y por qué. Se tendría, entonces, la posibilidad de establecer una relación entre las nociones de multiplicación y división. 

Dado que las nociones matemáticas se construyen poco a poco, se sostiene que el aprendizaje se logra a largo plazo.

Tal es el caso, por ejemplo, de: suma y resta, fracciones, proporcionalidad y otros. En efecto, las investigaciones de Vergnaud, entre otras, han probado que entre las primeras adquisiciones intelectuales en un campo determinado y las adquisiciones que harán que el sujeto se enfrente cómodo ante cualquier otra situación de dicho campo, transcurren varios años. ¿Cómo influye esto en la enseñanza? Al organizar los contenidos a lo largo de un ciclo, de un nivel, en el pasaje de un nivel a otro, es importante considerar las adquisiciones sucesivas de cada uno de los conceptos y articularlas en un mismo año y de un año al siguiente. Así, no será posible afirmar, por ejemplo: “ya aprendieron fracciones equivalentes en 4to. y 5to., ahora en 6to. tienen que ver las operaciones”, pues cada vez que se trabaja con un nuevo aspecto de un concepto, con una nueva propiedad o relación, se vuelve sobre ellas y estas se enriquecen al vincular lo que ya se sabía con lo nuevo.

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

Es importante identificar los procedimientos y las reglas que los estudiantes ponen en marcha al resolver los problemas.

Cuando damos lugar a la producción de ideas espontáneas, propias de los alumnos frente al problema, suelen aparecer algunos procedimientos con gran regularidad, lo que permite identificar un cierto conjunto limitado de procedimientos distintos para cada tipo de problema. Tanto Vergnaud, inicialmente, como otros investigadores han estudiado una diversidad de procedimientos que arriban a una respuesta adecuada y también otros erróneos que dan cuenta de otras maneras de pensar el problema.

¿Por qué nos interesa esto como docentes?

Conocer los procedimientos acertados tanto como los erróneos nos posibilita identificar los conocimientos involucrados en cada uno y anticipar la intervención para considerar si permiten responder a la pregunta del problema y dar lugar a su comparación de modo que podamos arribar, con el conjunto de la clase, a conclusiones matemáticas compartidas. 

Las representaciones posibles para un mismo concepto son diversas y los alumnos pueden usar en sus procedimientos, para ir acompañando su pensamiento, algunas aceptadas en matemática y otras originales que producen ellos mismos.

En el momento de producir una solución al problema planteado, los alumnos usan una diversidad de marcas, incluyendo tanto algunas propias de la Matemática, como números o signos, como otras originales a través de formulaciones verbales, dibujos o escrituras, tanto de tipo lingüístico como simbólico. Por ejemplo, los primeros problemas de multiplicar, de proporcionalidad simple y con números pequeños, son frecuentemente resueltos utilizando dibujos y contando, con números sin marcas de operación o con cálculos de suma con el signo.

¿Cuál es la relevancia de dar lugar a una diversidad de representaciones?

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Pasar por representaciones propias antes de las convencionales tiene un papel relevante en la conceptualización de las nociones, dado que pueden funcionar como “antecedentes” -a los que pueden dar sentido- de las convencionales que el docente introducirá. Para avanzar un poco más en la consideración de las representaciones, nos preguntamos: ¿qué otras cuestiones es necesario incluir en el trabajo escolar con ellas? La pregunta deriva de un problema que observamos al analizar las producciones de muchos alumnos y alumnas, quienes suelen confundir los objetos y sus representaciones.

¿Qué actividades proponer con las representaciones?

Raymond

Duval, quien

adquisición

de

un

estudió el concepto

vínculo entre la y

sus

diversas

representaciones, señala una cuestión central al pensar la enseñanza: “Por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que una aprehensión conceptual y por otro, solamente por medio

de

la

producción

de

representaciones

semióticas es posible realizar una actividad sobre los

objetos

matemáticos.”

(Raymond

Duval,

1995) Esta

paradoja

de

no

poder

“trabajar”

con

los

conocimientos matemáticos de otra manera más que a través de una diversidad de “marcas”, llevó a Duval a un

Raymond Duval, profesor de la Universidad del Litoral y director de estudios de la Academia de Lila, Francia, consolidó su trayectoria investigativa en el Instituto de Investigaciones en Educación Matemática (IREM de Estrasburgo). El análisis del funcionamiento cognitivo del pensamiento que presenta en el libro Semiosis y pensamiento humano concierne, en particular a la representación, la conceptualización, el razonamiento (argumentación, demostración, utilización de lenguajes formales), la interpretación de figuras, la comprensión de textos y la resolución de problemas. El autor los aborda desde una perspectiva funcional que le permite defender su hipótesis de base: no hay noesis (intelección) sin semiosis (producción de representaciones semióticas).

análisis del tipo de actividades cognitivas que se realiza con las representaciones. Una de ellas, como ya hemos planteado, es la de producir escrituras para acompañar el proceso de nuestro pensamiento. Vergnaud ya había planteado que la representación cumple la función de “auxiliar del pensamiento y a la organización de la acción”. Esto se

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manifiesta cuando observamos que un niño o un adolescente, al enfrentarse a un problema nuevo, lo reformula con sus palabras y puede representar de diversas maneras la información, es decir, acompaña su tarea con una actividad lingüística y simbólica, a veces interiorizada. Duval avanza en el análisis incorporando la idea de registros de representación, distinguiendo diferentes registros, cada uno con sus propios símbolos y reglas. Por ejemplo, un número decimal puede escribirse en registro fraccionario que incluye la línea que separa numerador y denominador y también en registro decimal usando coma y las reglas del sistema de numeración decimal. Esta diferenciación nos permite a su vez considerar dos nuevos tipos de actividades cognitivas, trabajar en un mismo registro y cambiar de un registro a otro. Por ejemplo, si para sumar dos fracciones usamos la regla de escribir fracciones equivalentes, al sumar 1/5+¾ anotamos 4/20+15/20=19/20, trabajamos con reglas dentro del mismo registro fraccionario. Si la suma estuviera en un problema en el que se requiere comprar alambre para una instalación eléctrica, para la misma suma cambiamos de registro y escribimos 0,20+0,75=0,95 pues la escritura decimal es la que usamos de manera corriente para expresar medidas de longitud. Según señala Duval, incluir en la enseñanza ambos tipos de actividades, de trabajo en el mismo registro y de cambio de registro, aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto de sus representaciones mentales.

¿Qué criterio podemos derivar al pensar en la enseñanza?

Sabemos que en la escuela son más frecuentes las actividades que proponen trabajar en cada registro de manera independiente, en relación con lo numérico, básicamente en su tratamiento para operar. Sin embargo, no tiene la misma frecuencia el trabajo sobre la conversión de un registro a otro ligado al análisis de la pertinencia de cada uno en la situación que se está resolviendo. Por eso, esta última cuestión se destaca muy especialmente en los diferentes documentos curriculares de estos últimos años, dado que identificar

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con

los

alumnos

semejanzas

y

diferencias

entre

las

representaciones,

transformarlas cuando convenga, les permitirá asociar una misma noción con diferentes representaciones y así diferenciar la noción de su representación.

¿Cómo se van construyendo los conceptos? ¿Qué decisiones para la enseñanza? En este último apartado queremos poner el foco en los componentes de las ideas de los chicos y chicas sobre los diferentes conceptos matemáticos. Si tenemos en cuenta estos componentes cuando tomamos decisiones de enseñanza -tanto para nuestra aula, si somos maestros, o con los estudiantes de formación docente cuando van a dar sus prácticaspodemos hacer avanzar a nuestros alumnos y alumnas en una forma de apropiación de los conocimientos que les permita arribar a conceptualizaciones cada vez más potentes y disponibles para interactuar con las diversas situaciones que se les presenten.

Los conceptos, ¿van cambiando?

Para responder esta pregunta, recurrimos a la bibliografía didáctica. Allí encontramos que para referirse a las ideas de un sujeto –niño o no- sobre un cierto concepto matemático, se habla de concepciones. Este término es introducido por Vergnaud para identificar las formas en las que los sujetos piensan los conceptos. Para él, la forma en que un sujeto -o variosconstruye un concepto, cambia con el tiempo y en tal sentido, resulta ser un estado cognitivo global de dicho/s sujeto/s referido a un objeto matemático determinado. Del mismo modo en que, en su desarrollo histórico, se describen las diversas formas en que fueron pensados los conceptos, esto es, en la creación y recreación de los conceptos matemáticos al plantear y resolver diversos problemas, de esa misma manera se describe la construcción que hacen quienes aprenden nuevos conceptos, puesto que van modificando su estado cargándolos de nuevas propiedades y relaciones a medida que van resolviendo problemas dentro o fuera de la escuela, reconstruyendo para ellos los conocimientos matemáticos socialmente aceptados. Considerar diferentes formas posibles para un mismo concepto nos permite distanciarnos de la comprensión -muchas veces inducida por la enseñanza tradicional- de éstos como únicos,

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inmutables y universales. Pensar en concepciones sucesivas sobre un mismo concepto matemático pone en evidencia la pluralidad de puntos de vista posibles. En este enfoque es fundamental la importancia de concebir “estados sucesivos” en los conocimientos ligados a las concepciones que van construyendo los alumnos y alumnas a partir de nuevas situaciones que resuelven. Estos estados de conocimiento se manifiestan en las producciones que realizan y, desde esta perspectiva, es posible interpretar los errores no como una falta de conocimientos, sino como la presencia de otros conocimientos, incompletos, diferentes y poco articulados.

¿Cuáles son entonces los factores o componentes de una concepción?

La idea original de Vergnaud tomaba tres componentes de un concepto, a saber: 

El conjunto de las situaciones que dan sentido al concepto.



El conjunto de las formas del lenguaje y del no lenguaje que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades y los procedimientos de tratamiento.



El conjunto de propiedades y relaciones que permiten el carácter operatorio.

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Michele

Artigue

reafirma

esta

idea

en

los

componentes de una concepción de un sujeto y distingue:

Michele Artigue. La trayectoria de Artigue se remonta a los 70, momentos en que Francia se puso a la



“la clase de situaciones-problema que dan

cabeza el replanteo de la didáctica en matemática. Artigue hizo un

sentido al concepto para el alumno;

gran aporte a este desarrollo con su teoría



el conjunto de representaciones simbólicas e icónicas que él es capaz de asociarle, en particular

las

imágenes

mentales,

las

de la ingeniería didáctica como metodología de investigación en la didáctica matemática, algo que brindó riqueza a la investigación y a la formación de docentes. Se doctoró en lógicas matemáticas en 1972

expresiones simbólicas;

por la Universidad de París 7. Luego,



las

herramientas,

algoritmos

de

los

útiles, cuales

teoremas,

dispone

para

manipular el concepto”. (Artigue, 1984: 36)

comenzó a trabajar en el campo de la didáctica en matemática e incursionó en investigación, innovación y desarrollo profesional de los docentes. De hecho, participó en la organización de la educación matemática de una escuela primaria experimental y luego en un curso experimental para estudiantes de pregrado, desarrollados conjuntamente con físicos. En 1999, en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de París 7, donde dirigió el programa de Maestría y Doctorado de la Escuela. Desde septiembre de 2010, es profesora emérita.

¿Cómo tomamos estos componentes cuando pensamos la enseñanza?

Al elegir la clase del problema Sabemos que podemos considerar para cada noción diferentes grupos de problemas y que cada grupo aporta los significados particulares al concepto. Así, por ejemplo, la división puede tener un significado de “reparto” en un grupo de problemas y, en otro, un significado de partición. Más allá de que en ambos casos sean problemas donde funciona una relación

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de proporcionalidad, la información dada y la pregunta son diferentes y por eso, para quien resuelve son problemas con diferentes significados de la división. Al resolver distintos conjuntos de problemas que comparten el mismo significado de un concepto, los alumnos y alumnas irán estableciendo relaciones entre ellos y, luego, nuevas relaciones entre los diferentes significados. Esta cuestión es central al elegir los problemas para enseñar una noción, pues durante su escolaridad los alumnos deberían tener la oportunidad de resolver problemas con sus diferentes significados. En los Cuadernos para el aula se explicitan los significados de las operaciones básicas con números naturales que se indican para trabajar en cada grado.

Al decidir y anticipar las representaciones Tanto al elegir qué representación del concepto vamos a incluir en cada uno de los problemas que presentamos como al considerar las diversas “marcas” que producen los chicos y chicas al resolver, iremos recorriendo el conjunto que está señalado para cada noción en cada grado.

Al considerar las propiedades y relaciones que se ponen en juego Al decidir cuáles son las nociones matemáticas que queremos que se construyan en el aula –propiedad

distributiva

de

la

multiplicación,

propiedades

de

las

relaciones

de

proporcionalidad, formas de calcular un cociente, etc.- elegimos situaciones problema en las que estas nociones se puedan poner en juego. También consideramos cuáles son las nociones que cada situación requiere como punto de partida, como apoyo para poder elaborar una estrategia de resolución. Por último, leamos en la cita de Guy Brousseau la estrecha relación entre las concepciones del sujeto y las situaciones de enseñanza que claramente pone de manifiesto la orientación constructivista de la perspectiva educativa que venimos presentando: “Las concepciones de los alumnos son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones-problema en las cuales están situados y en el curso de las cuales sus conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados,

completados

o

rechazados.

[En

este

sentido,]

el

alumno

construirá

progresivamente sus conocimientos pasando por

sucesivas.

[…] Un mismo alumno puede utilizar numerosas concepciones

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concepciones

ignorando sus relaciones, o bien al contrario, relacionándolas con un objeto más general”. (Brousseau, 1983, en Ruiz Higueras, 1998: 37)

A continuación les proponemos las actividades para esta clase: 

Leer el texto “Discusiones en las clases de matemática: Qué, para qué y cómo se discute” de Quaranta, M.E. y Wolman, S.

Trabajo en grupo: 

Presentarse en el Foro correspondiente a su grupo de trabajo.



Intervenir en el foro de su grupo compartiendo el valor que Uds. otorgan al momento de debate de la clase y los desafíos que su gestión conlleva.



Fundamentar desde el texto leído.

En la Clase 4 trabajaremos de forma colaborativa en grupos de trabajo. Las lecturas de esta clase servirán de base para la resolución de la actividad correspondiente a la próxima clase. Invitamos entonces a ingresar a su grupo para empezar a conocerse.

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La lectura del artículo “Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la matemática” en Panizza, Mabel (comp) (2003) Cap 1. "Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas" . Paidós, contribuye fuertemente a la comprensión de la perspectiva que hoy sostenemos, centrándose particularmente en dos cuestiones: la interrogación de la noción de sentido y las relaciones entre los objetos de conocimiento y sus representaciones. Recomendamos su lectura.

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Agrasar, M; Crippa, A; Chara, S; y Chemello, G. “Ciclo de formación en enseñanza de la Matemática en el Nivel Primario”, Dirección de gestión educativa, Ministerio de Educación de la Nación, 2010.

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Artigue, Michele “Epistémologie et Didactique”, en: Recherches en didactique des mathématiques, Volumen 4/2, La Pensée Sauvage, Francia, traducción de circulación interna, 1989.

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Brousseau, Guy, “Los obstáculos epistemológicos y los problemas en Matemática”, en: Recherches en Didactique des Mathématiques, 7/2, Grenoble, traducción de circulación interna, 1983.

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Chamorro, Maria del Carmen “El aprendizaje de la matemática” en Revista UNO Nro. 3, Editorial Síntesis, 1998.

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Duval, Raymond, Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento, Université Louis Pasteur de Strasbourg, France, traducción México, Grupo Editorial Iberomericano, 1995.

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Laborde, Colette, “Diversos aspectos de la dimensión social en didáctica de la matemáticas”, en Après Vygotski et Piaget. Perspectives sociale et constructiviste. Ecoles russe et occidentales, De Boeck Université Bruselas, traducción de circulación interna, 1991.

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Cuadernos para el Aula. Matemática 3, Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007.

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Vergnaud, Gerard, “Actividad y Conocimiento operatorio”, en: Coll, C. (traductor) (1983), Psicología Genética y aprendizajes escolares, Siglo XXI, Madrid, 1977.

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Vergnaud, Gerard, “La théorie des champs conceptuels”, en: Recherches en didactiques des mathématiques, Vol 10/2-3, La Pensée sauvaje éditions, Grenoble, 1991.

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Vergnaud, Gerard, “El niño, la matemática y la realidad” , Ed Trillas. México, 1991.

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Ruiz Higueras, Luisa, La noción de función. Análisis epistemológico y didáctico, Editorial de la Universidad de Jaén, España, 1998.

Cómo citar este texto: Instituto Nacional de Formación Docente (2014). Clase 03: Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la enseñanza. Los alumnos y las formas de apropiación de los contenidos matemáticos. Módulo: Perspectivas para la enseñanza de la Matemática. Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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