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Aplicación de la derivada Evidencia de aprendizaje Avendaño Rodríguez Naud ES1822029330

Lee, reflexiona y soluciona cada problema.

1. Derivada a partir de la definición de la derivada de f(x)=2x+5 Considerando la definición de la derivada por 4 pasos 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 Cálculo de la función aumentada 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) = 2(∆𝑥 + 𝑥) + 5 = 2∆𝑥 + 2𝑥 + 5 Cálculo de la función aumentada menos la función original 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) = 2∆𝑥 + 2𝑥 + 5 − (2𝑥 + 5) = 2∆𝑥 Dividiendo sobre ∆x 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) 2∆𝑥 = =2 ∆𝑥 ∆𝑥 Evaluando cuando ∆x=0. En este caso queda igual ya que no hay ∆ que evaluar lim⁡∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

=2

2. Derivada a partir de la definición de la derivada de f(x)=6x-3 Considerando la definió de la derivada por 4 pasos 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 3 Cálculo de la función aumentada 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) = 6(∆𝑥 + 𝑥) − 3 = 6∆𝑥 + 6𝑥 − 3 Cálculo de la función aumentada menos la función original 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) = 6∆𝑥 + 6𝑥 − 3 − (6𝑥 − 3) = 6∆𝑥 Dividiendo sobre ∆x 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) 6∆𝑥 = =6 ∆𝑥 ∆𝑥 Evaluando cuando ∆x=0. En este caso queda igual ya que no hay ∆ que evaluar 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) lim⁡∆𝑥→0 =6 ∆𝑥 3. Cálculo de la función P(v) y P’(7) 𝑃 = 𝑘 ∗ 𝑟2 ∗ 𝑣 2 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜⁡𝑟 = 7𝑚, 𝑘 = 0.134𝑘𝑔/𝑚3 𝑙𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛⁡𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎⁡𝑐𝑜𝑛⁡𝑣⁡𝑐𝑜𝑚𝑜⁡𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎⁡𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒. 0.143𝑘𝑔 6.566𝑘𝑔 ∗ (7𝑚)2 ∗ 𝑣 2 = ∗ 𝑣2 3 𝑚 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟⁡𝑙𝑎⁡𝑡𝑎𝑠𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜⁡𝑠𝑒⁡𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒⁡𝑙𝑜⁡𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 𝑑𝑃(𝑣) 6.566𝑘𝑔 𝑑𝑣 2 = ∗ 𝑑𝑣⁡ 𝑚 𝑑𝑣⁡ Y se calcula el cambio de v2 Considerando la definió de la derivada por 4 pasos 𝑓(𝑣) = 𝑣 2 Cálculo de la función aumentada 𝑓(∆𝑣 + 𝑣) = (∆𝑣 + 𝑣)2 = ∆𝑣 2 + 2𝑣∆𝑣 + 𝑣 2 Cálculo de la función aumentada menos la función original 𝑃(𝑣) =

𝑓(∆𝑣 + 𝑥) − 𝑓(𝑣) = ∆𝑣 2 + 2𝑣∆𝑣 + 𝑣 2 − 𝑣 2 = ∆𝑣 2 + 2𝑣∆𝑣 Dividiendo sobre ∆x 𝑓(∆𝑣 + 𝑣) − 𝑓(𝑣) ∆𝑣 2 + 2𝑣∆𝑣 = = ∆𝑣 1 + 2𝑣 ∆𝑣 ∆𝑣 Evaluando cuando ∆v=0. 𝑓(∆𝑣 + 𝑣) − 𝑓(𝑣) lim⁡∆𝑥→0 = lim⁡∆𝑥→0 ∆𝑣 1 + 2𝑣 = 0 + 2𝑣 = 2𝑣 ∆𝑣 𝑑𝑃(𝑣) 6.566𝑘𝑔 = ∗ 2𝑣 𝑑𝑣⁡ 𝑚 Cuando v=7m/s 𝑑𝑃(𝑣) 6.566𝑘𝑔 7𝑚 91.924𝑘𝑔𝑚 = ∗ 2( ) = 𝑑𝑣 = 7⁡ 𝑚 𝑠 𝑠

4. Tiempo en que el dron llega a 50 m y calculo de la velocidad empleando la defunción de la derivada. La función que modela la distancia en metros en función del tiempo en segundos es la siguiente. 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡 Cuando la distancia son 50 m es decir s(t)=50 50⁡𝑚 = 𝑡 2 + 𝑡 Se procede a solucionar empleando la formula general y despejando para igualar a cero. 𝑡 2 + 𝑡 − 50 = 0 𝑡1 =

−1 + √(1)2 − 4(1)(−50) −1 + √201 = = 6.5887⁡𝑠 2(1) 2

−1 − √(1)2 − 4(1)(−50) −1 − √201 = = −7.5887⁡𝑠 2(1) 2 Como se sabe, no se puede retroceder en el tiempo, por tanto es t=6.5887 s Cálculo de la velocidad en s(t)=50 m, es decir, t=6.5887 s. Considerando la definió de la derivada por 4 pasos 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡 Cálculo de la función aumentada 𝑓(∆𝑡 + 𝑡) = (∆𝑡 + 𝑡)2 + (∆𝑡 + 𝑡) = ∆𝑡 2 + 2𝑡∆𝑡 + 𝑡 2 Cálculo de la función aumentada menos la función original 𝑓(∆𝑡 + 𝑡) − 𝑓(𝑡) = ∆𝑡 2 + 2𝑡∆𝑡 + 𝑡 2 − (𝑡 2 + 𝑡) = ∆𝑡 2 + 2𝑡∆𝑡 − 𝑡 𝑡2 =

Dividiendo sobre ∆t 𝑠(∆𝑡 + 𝑡) − 𝑠(𝑡) ∆𝑡 2 + 2𝑡∆𝑡 − 𝑡 𝑡 = = ∆𝑡 + 2𝑡 − ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 Evaluando cuando ∆t=0. 𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑡 lim⁡∆𝑡→0 = lim⁡∆𝑡→0 ∆𝑡 + 2𝑡 − = 2𝑡 + 1 ∆𝑥 ∆𝑡

Calcular cuando t=6.5887s 𝑑2𝑡 + 1 = 2(6.5887) + 10 = 14.1774𝑚/𝑠 𝑑𝑡 = 6.5887𝑠 Conclusión La derivada es una herramienta matemática que es utilizada para resolver problemas cuando existe una expresión que evalué en términos de otra variable. Puede ser calculada con una formula o a través de su definición matemática o derivada por cuatro pasos.

Referencias

Stewart, J. B. (2010). Cálculo de una variable: Conceptos y contexto. (4ª edición). México Cengage Learning.