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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO

Alumno: Oscar Hernández Galindo Grupo: TM-KCDI-1902-B2-005 Materia: Calculo Diferencial Evidencia de aprendizaje: Representación de límites y continuidad Docente: Juan Carlos Pérez Romero

1. Resuelve los siguientes límites y de ser necesario evita la indeterminación

• lim 35𝑥−3 𝑥→∞

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 lim 35 = 35

𝑥→∞

𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠tan𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠tan𝑡𝑒

lim 𝑥 − 3 = ∞

𝑥→∞

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑎±∞ 𝑦 𝑎 > 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠 + ∞ lim 35𝑥−3 = ∞

𝑥→∞

• lim

𝑠𝑒𝑛 6𝑥

𝑥→∞ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥

al evaluar el limite 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟

0 0

𝑠𝑒𝑛 6𝑥(4𝑥)(6𝑥)

𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 6𝑥 𝑦 4𝑥

𝑠𝑒𝑛 4𝑥(4𝑥)(6𝑥)

𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠lim (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝐿. 𝑀 𝑥→𝑥0

𝑠𝑒𝑛 6𝑥 4𝑥 6𝑥 · lim · lim 𝑥→0 6𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 𝑥→0 4𝑥 lim

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑛 6𝑥 𝑥→0 6𝑥 lim

𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 1 𝑠𝑖 𝑢 = 6𝑥 𝑢→0 𝑢

𝑠𝑒𝑛 𝑢 =1 𝑢→0 𝑢

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim lim

𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠lim

4𝑥

𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 4𝑥

𝑢 =1 𝑢→0 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim

𝑢 =1 𝑢→0 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑠𝑖 𝑢 = 4𝑥

𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠lim

6𝑥 𝑥→0 4𝑥 lim

0

𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 0 6𝑥 4𝑥

6

3

4

2

= =

𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 3

3

2

2

1×1× =

lim

𝑠𝑒𝑛 6𝑥

𝑥→∞ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥

=

3 2

2.- Determina si la función es continua o discontinua en x=2 y esboza la gráfica. 2𝑥 − 𝑥 𝑓(𝑥) = { −𝑥 + 6

𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 𝑠𝑖 𝑥 > 2

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2 𝑓(2) = 2𝑥 − 1 = 2(2) − 1 = 3 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 lim−2𝑥 − 1 = 2(2) − 1 = 3 𝑥→2

lim − 𝑥 + 6 = −2 + 6 = 4

𝑥→2+

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 2

3.- Determina en qué punto la función a trozos es continua o discontinua y esboza la gráfica. 𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 < 0 2 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑥+3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 0 𝑓(0)𝑥 2 + 1 = 1 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑟𝑙𝑒𝑠 lim 𝑥 + 1 = 1

𝑥→0−

lim 𝑥 2 + 1 = 1

𝑥→0+

𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 0 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 1 𝑓(1) = 𝑥 2 + 1 = 12 + 1 = 2 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 lim 𝑥 2 + 1 = 1 + 1 = 2

𝑥→1−

lim 𝑥 + 3 = 1 + 3 = 4

𝑥→1+

𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 1 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛 𝑒𝑛 ℝ\{1}