Cartilla S3
Ecuaciones de Valor y Anualidades MATEMÁTICAS FINANCIERAS AUTOR: Ricardo Dueñas Prieto - Doris Caicedo Torres ÍNDICE Í
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Ecuaciones de Valor y Anualidades MATEMÁTICAS FINANCIERAS AUTOR: Ricardo Dueñas Prieto - Doris Caicedo Torres
ÍNDICE ÍNDICE 1. Ecuaciones de valor 1.1. Conceptos 1.2. Aplicaciones de las ecuaciones de valor 1.2.1. Valor presente neto y tasa interna de retorno 1.2.2. Negociación de cartera 1.2.3. Toma de decisiones 1.2.4. Planes de ahorros 2. Anualidades 2.1. Conceptos
Acceso rápido
2.2. Clases de anualidades 2.2.1. Anualidades simples 2.2.2. Anualidades generales 2.2.3. Anualidades ciertas 2.2.4. Anualidades perpetuas o infinitas 2.2.5. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas
GENERALIDADES
DESARROLLO
2.3. Anualidad simple cierta vencida 3. Ejercicios propuestos
Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano y a la Red Ilumno. Por ende, son de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial.
02 01 ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
1. Ecuaciones de valor 1.1. Conceptos 1.2. Aplicaciones de las ecuaciones de valor 1.2.1. Valor presente neto y tasa interna de retorno 1.2.2. Negociación de cartera 1.2.3. Toma de decisiones 1.2.4. Planes de ahorros 2. Anualidades 2.1. Conceptos 2.2. Clases de anualidades 2.2.1. Anualidades simples 2.2.2. Anualidades generales
Conocer, manejar e interpretar los conceptos de ecuaciones de valor y anualidades, es aprender el valor del dinero en el tiempo, con la construcción de flujos de cajas (movimientos de dinero) tanto para negociación de deudas como para la evaluación de proyectos de inversión, incluyendo valores variables o fijos. RECOMENDACIONES ACADÉMICAS Les seguimos recordando que los conceptos son secuenciales; en esta unidad aplicamos las fórmulas de interés compuesto, despeje de sus términos, tasas equivalentes; además se estudian las fórmulas de anualidad, y se requiere gran habilidad para despejes de matemáticas básicas. Es indispensable que lean las cartillas, vean las teleconferencias, realicen ejercicios y hagan uso de todas las herramientas de acompañamiento que les ofrece esta modalidad educativa. DESARROLLO DE CADA UNA DE LAS UNIDADES TEMÁTICAS
1. Ecuaciones de valor
2.2.3. Anualidades ciertas
1.1. Conceptos
2.2.4. Anualidades perpetuas o infinitas 2.2.5. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas 2.3. Anualidad simple cierta vencida 3. Ejercicios propuestos
El principio de las matemáticas financieras es el valor del dinero en el tiempo y para ello se trabajan las ecuaciones de valor. ¿Qué es una ecuación? Una igualdad, y para el principio de las matemáticas financieras es la igualdad del valor del dinero en el tiempo, las ecuaciones o igualdades se construyen a partir de los flujos de caja, que representan los movimiento de dinero. Un flujo de caja comprende los ingresos y egresos que se pueden presentar a través del tiempo en cualquier proyecto de inversión. Al graficar un flujo de caja se maneja la línea del tiempo, es una línea donde ubicaremos: En la parte superior, los valores positivos (o ingresos y activos) y en la parte inferior, los valores negativos (o egresos y pasivos).
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Valores positivos
La fecha de comparación del valor del dinero, la escogemos al final de los tres meses. ¿Qué quiere decir esto?, que trasladaremos el $1.000.000 de pesos del período cero (0), hasta el período tres (3), para efectuar este traslado utilizaremos la fórmula de valor final:
Línea del tiempo
VF=VA (1+ i) N Remplazando tendremos:
Valores negativos Ante el evento de que el dinero cambia de valor a través del tiempo, para efectuar una evaluación y buscar la equivalencia (igualdad) del valor del dinero, se debe utilizar una fecha de comparación de su valor (que llamaremos F .C.) que también se reconoce con el nombre de fecha focal (F.F.). En la práctica se nos pueden presentar diferentes situaciones en las que necesitaremos establecer el valor del dinero en el tiempo.
VF = 1.000.000,00 (1+ 0,025) 3 VF = 1.076.890,63 Ejemplo 2 ¿Qué haría, si en el ejemplo anterior, invertimos adicionalmente en un mes, otro millón de pesos?, ¿cuánto recibiría en total al final de los tres meses?
Ejemplo 1 Un ejemplo es el que hemos venido manejando de valor final de una inversión: si invertimos $1.000.000 hoy (período cero, 0, de la gráfica del tiempo), ¿cuál es el valor del dinero al final de tres meses, si ganáramos una tasa de interés del 2,5% E.M.V?
Valores Negativos VF= ?
Valores Positivos
Valores Negativos
0 1.000.000,00
1 1.000.000,00
2
3
VF= ?
Valores Positivos
0 1.000.000,00
1 1.000.000,00
2
3
F.C.
Períodos ( MESES )
F.C.
El primer $1.000.000,00 invertido ganará 3 meses de intereses, el segundo $1.000.000,00 invertido ganará 2 meses de interés. La igualdad del valor del dinero en el tiempo en la fecha de comparación, nos quedará así: VF=1.000.000,00 (1+ 0,025) 3 +1.000.000,00 (1+ 0,025) 2
Como hicimos una inversión, para nosotros el valor actual de $1.000.000 sería un egreso, ya que efectuamos un desembolso de dinero; por esta razón en este caso, irá en la parte inferior del gráfico del tiempo, en el momento cero, que identifica el inicio de la transacción.
VF=1.076.890,63 + 1.050.625,00
El valor que buscamos, es el valor del dinero al final de los tres meses, nuestra incógnita irá en la parte superior del gráfico del tiempo, ya que en el momento en que nos devuelvan la inversión, será un ingreso.
Otra aplicación de los flujos de caja, es en la negociación de deudas:
Períodos ( MESES )
VF=$ 2.127.515,63 pesos.
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Ejemplo 3 Si tenemos adquiridas con una compañía de financiamiento comercial, las siguientes deudas:
Sobre la primera deuda de $500.000 descontarán un mes de intereses, sobre la segunda deuda de $1.000.000 descontarán dos meses de intereses, y sobre la tercera deuda de $500.000 descontarán tres meses de intereses.
La igualdad del valor del dinero en el tiempo nos quedará así:
$500.000,00 para ser cancelados en un mes
VA=500.000 (1+0,032) -‐1 +1.000.000 (1+0,032) -‐2 +500.000 (1+0,032) -‐3
$1.000.000,00 para ser cancelados en dos meses y
Trasladamos el dinero a la fecha de comparación con la fórmula de valor actual porque estamos retrocediendo en el tiempo.
$ 500.000,00 para ser cancelados en tres meses
Despejando:
VA = 484.496,13 + 938.945,98 + 454.915,69
Si deseamos pagar ahora (hoy) nuestras deudas, ¿cuánto debemos cancelar, si dentro de las políticas de la entidad financiera está recibir, si el cliente lo desea, pagos anticipados y descuenta los intereses correspondientes, a una tasa del 3,2% E.M.V.?
VA = $ 1.878.357,79 Este es el valor actual de las deudas, teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
Para nosotros el pago que queremos efectuar hoy (el valor actual de las deudas), será un egreso, por lo que lo ubicaremos en la parte inferior del gráfico del tiempo, y los demás valores, los consideramos valores positivos porque ya no los deberíamos, los ubicaremos en la parte superior del gráfico del tiempo.
Agreguémosle a este ejemplo, el hecho de que no deseamos cancelar el total de las deudas hoy, sino que proponemos cancelar $1.000.000 hoy y el saldo en tres meses. Planteemos la propuesta en la gráfica del tiempo y mantengamos la fecha de comparación del valor del dinero en hoy (0).
Para este caso, la fecha en la que efectuaremos la comparación del valor del dinero, (aunque esta fecha es de libre escogencia), será el día de hoy, ya que aquí buscamos el valor del pago equivalente. El gráfico nos quedará así:
500.000
500.000
Valores Positivos
Valores Negativos
0 VA = ? F.C.
1
2
500.000
2
3
500.000 0 1.000.000 F.C.
7
1.000.000
1.000.000
3
1
X (saldo de la deuda)
Períodos ( MESES )
Cuando traemos las deudas a su valor actual, hallamos cuanto debemos en total hoy (fecha 0) y vamos a buscar que las deudas sean iguales a los pagos, teniendo en cuenta el valor del dinero a través del tiempo. La igualdad nos quedará así:
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VA=500.000 (1+ 0,032) -‐1 +1.000.000 (1+ 0,032) -‐2 +500.000 (1+ 0,032) -‐3
¿Qué buscamos?: sumatoria de las deudas=sumatoria de los pagos (en una fecha de comparación).
VA=$ 1.878.357,79 Este es el valor actual de las deudas.
1. Identificamos las deudas y las ubicamos en su fecha de vencimiento en la parte superior de la gráfica del tiempo.
El gráfico nos quedaría así:
2. Identificamos los pagos propuestos y los ubicamos en la gráfica del tiempo en las fechas en que se proponen cancelarse. 3. Escogemos y ubicamos la fecha de comparación del valor del dinero, esta fecha es de libre escogencia, y no varía el resultado.
1.878.357,79
4. Identificamos la tasa de interés con la cual se va a efectuar la negociación.
Si hoy (período 0), efectuamos un pago de $1.000.000, quedaríamos debiendo:
5. Planteamos la igualdad del valor del dinero, así: sumatoria de las deudas, trasladadas a la fecha de comparación del valor del dinero con la tasa de interés de negociación. Dependiendo de la fecha escogida para la comparación del valor del dinero, el traslado se efectúa con la fórmula de valor actual o valor final (vistas en interés compuesto), esta sumatoria la igualamos a la sumatoria de los pagos trasladados a la fecha de comparación del valor del dinero con la tasa de interés de negociación, el traslado se efectúa con las fórmulas del valor actual o valor final (vistas en interés compuesto).
$1.878.357,79 -‐ $1.000.000,00 = $878.357,79 Hoy.
6. Hallamos la incógnita o incógnitas que se puedan presentar en la igualdad, despejándolas con las herramientas matemáticas conocidas.
0 1.000.000
1
2
3
X (saldo de la deuda)
F.C.
Pero si cancelamos este saldo de $878.357,79 dentro de tres meses, sobre este valor nos cobrarán tres meses de intereses a la tasa pactada del 3,2% E.M.V, por lo tanto, el valor a cancelar al final de tres meses será: X=878.357,79 (1+ 0,032) 3 X=$ 965.407,23 Valor a cancelar al final de 3 meses. La igualdad podría resumirse así:
En una igualdad puede hallarse cualquier incógnita que en la igualdad participe, puede despejarse un pago o pagos, el valor de una deuda o deudas, un período o la tasa de interés. Ejemplo 4 Se tienen las siguientes deudas: $3.000.000 pagaderos en 3 meses y $2.000.000 pagaderos en 6 meses y ofrezco cancelarlas con dos pagos iguales de $2.500.000 uno efectuado hoy. ¿Cuándo se debe efectuar el segundo pago, para que las deudas queden canceladas?, supongamos que la tasa de negociación está establecida en el 3% E.M.V. o P.M.V.
Sumatoria de deudas = Sumatoria de pagos (en una fecha de comparación) 500.000(1+0,032)-‐1+1.000.000(1+0,032)-‐2+500.000(1+0,032)-‐3=1.000.000+X(1+ 0,032)-‐3 Y hallamos X, con las herramientas de despeje que conocemos y obtenemos:
3.000.000
2.000.000
X=$ 965.407,23 Valor a cancelar al final de 3 meses. A partir de éste último ejemplo podemos establecer un procedimiento para plantear la igualdad del valor del dinero en el tiempo:
0 2.500.000 F.C.
3
N=? 6 para el 2o. pago de $2.500.000
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Sumatoria de deudas=Sumatoria de pagos (en una fecha de comparación) 3.000.000(1+ 0,03)-‐3+2.000.000(1+ 0,03)-‐6 = 2.500.000 + 2.500.000(1 + 0,03)-‐N Despejamos N que es nuestra incógnita: 2.745.424,98+1.674.968,51-‐2.500.000,00=2.500.000,00 (1+0,03)-‐N 1.920.393,49=2.500.000,00 (1 + 0,03)-‐N 1.920.393,49 / 2.500.000,00 = (1 + 0,03)-‐N -‐N
0,7682 = (1 + 0,03)
Log 0,7682 = -‐N Log 1,03
2.850.000
0 10.000.000 F.C.
1
2.850.000
2
2.850.000
3
Sumatoria de deudas=Sumatoria de pagos (en una fecha de comparación)
Log 0,7682 / Log 1,03 = N
10.000.000=2.000.000+2.850.000(1 + i)-‐1 +2.850.000(1 + i )-‐2 +2.850.000 (1 + i)-‐3
-‐0,1145 / 0,0128 = -‐ N
Despejamos la tasa de interés (i) que es nuestra incógnita:
N=0,1145 / 0,0128
En el despeje vamos a encontrar que no hay un método tradicional para hacerlo, por lo tanto debe usarse el ensayo y error, en otros términos debemos probar con diferentes tasas de interés hasta encontrar la que efectivamente nos están cobrando. Para facilitar este proceso igualamos la igualdad a cero (0), que quiere decir que con la tasa de interés que nos estén cobrando las deudas menos los pagos debe dar cero:
N=8,9233 meses Quiere decir que para que las deudas queden canceladas, el segundo pago de $2.500.000,00 debe efectuarse dentro de nueve meses aproximadamente. Podemos hallar la tasa de interés que nos están cobrando en una negociación, veámoslo en el siguiente ejemplo:
10.000.000-‐2.000.000-‐2.850.000(1 + i)-‐1 -‐2.850.000(1 + i )-‐2 -‐ 2.850.000(1 + i )-‐3 = 0 Podemos resolver 10.000.000 -‐ 2.000.000 = 8.000.000 para hacer la igualdad más corta:
Ejemplo 5
8.000.000 -‐ 2.850.000(1 + i)-‐1 -‐2.850.000(1 + i )-‐2 -‐ 2.850.000(1 + i )-‐3 = 0
En la compra de un carro nos ofrecen las siguientes opciones:
Recordemos cuando en álgebra le dábamos valores a una variable “X” para hallar una variable “Y”, y graficábamos la ecuación. Esto es lo que hacemos acá, le damos valores a “i” que es nuestra variable “X”, hasta hallar una variable “Y = 0”.
Si lo compramos de contado nos vale $10.000.000, pero igualmente, podemos pagarlo con una cuota inicial del 20% de su valor y tres cuotas mensuales de $2.850.000. ¿Qué tasa de interés de financiación nos están cobrando?
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2.000.000
La deuda original es de $10.000.000 de pesos y los pagos propuestos son:
¿Pero qué valores le podemos dar a “i”? Miremos el mercado y partamos de la tasa de interés efectiva mensual vencida que estaríamos dispuestos a pagar. Para este ejemplo, es una tasa de interés mensual, porque estamos trabajando en meses.
Una cuota inicial del 20% de los $10.000.000 ($10.000.000x0,20) que corresponde a $2.000.000 y tres cuotas mensuales de $2.850.000.
Supongamos una tasa de interés efectiva mensual vencida del 3% y hagamos un primer intento en la igualdad:
Ubiquemos los valores en la gráfica del tiempo, tomando como fecha de comparación para el valor del dinero el período cero (0):
8.000.000-‐2.850.000(1+0,03)-‐1 -‐2.850.000(1+0,03)-‐2 -‐2.850.000(1+0,03)-‐3 = -‐61.542,36
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Vemos que no nos dio cero, nos dio un valor negativo de $-‐61.542,36, por lo tanto, el 3% no es la tasa de interés que satisface la igualdad y debemos ensayar con otra tasa de interés.
¿Cómo se hace la proporción de diferencias? Estamos buscando una tasa de interés que no conocemos: X, con la cual la igualdad sea igual a cero y tenemos una tasa del 3% con la cual la igualdad es igual a -‐$61.542,36, y tenemos una tasa del 4% con la cual la igualdad es igual a $90.990,55.
Como el resultado de la igualdad nos dio negativo, quiere decir que el valor actual de los pagos es mayor que el valor actual de las deudas, para hacer menor el valor actual de los pagos, debe aumentarse la tasa de interés. Una tasa de interés más grande, hace el valor actual más pequeño, el valor actual es inversamente proporcional a la tasa de interés.
Esto se puede plantear así: i = 3% = -‐61.542,36
Es de aclarar, que en este proceso de ensayo y error, no hay una regla general que nos indique que la tasa de interés debe aumentarse o disminuirse, debe hacerse un análisis de la igualdad para poder determinar este hecho, si no queremos analizar la igualdad, sencillamente probamos con otra tasa más alta o más baja y el resultado nos indicará si escogimos la correcta.
i = X = 0 i = 4% = 90.990,55
Volveremos a ensayar con una tasa del 4% E.M.V o P.M.V.:
Para hacer la proporción de diferencias, hay 4 posibles combinaciones, lo importante es que la combinación que se haga al lado izquierdo, sea la misma que se haga al lado derecho, utilizaremos una de ellas:
8.000.000-‐2.850.000(1+0,04)-‐1 -‐2.850.000(1+0,04)-‐2 -‐2.850.000(1+0,04)-‐3 = 90.990,55 Vemos que no nos dio cero, nos dio un valor positivo de $90.990,55; por lo tanto, el 4% no es la tasa de interés que satisface la igualdad.
i = 3% = -61.542,36
En este momento podemos pensar en otro proceso, que es buscar un rango de aproximación a la tasa de interés que satisface la igualdad. Ya sabemos que con el 3% la igualdad nos da negativo y con el 4% la igualdad nos da positivo, lo que quiere decir que la tasa que buscamos está entre el 3% y el 4%. Si graficáramos podríamos ver el punto de corte de la curva (hablamos de curva porque es una ecuación polinómica):
i = X = 0
-
-
i = 4% = 90.990,55
(3 -‐ X) ÷ (3 -‐ 4) = (-‐ 61.542,36 -‐ 0 ) ÷ ( -‐ 61.542,36 -‐ 90.990,55 )
X Y
3 -61.542,36
4 90.990,55
Como tomamos la combinación (3 -‐ X), al frente (lado derecho) debe ir el valor que corresponde a 3, que es -‐61.542,36 menos el valor que corresponde a X que es cero. Igualmente en el divisor, como tomamos la combinación (3-‐4), al frente (lado derecho) debe ir el valor que corresponde a 3, que es -‐61.542,36 menos el valor que corresponde a 4 que es 90.990,55.
100000
0 -100000 X
3
4
Cuando logramos hallar un rango, (una tasa con la cual la igualdad da positivo y otra tasa con la cual la igualdad da negativo), podemos hacer un promedio, mediante una proporción de diferencias, entre más pequeño sea el rango más exacta será la tasa que hallemos, sin embargo, un rango apropiado es máximo de uno, tal como lo tenemos acá, 3% y 4%.
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De esta nueva igualdad, despejamos “X”, que es la tasa de interés con la cual la igualdad es igual a cero: (3 -‐ X) ÷ (3 -‐ 4) = (-‐ 61.542,36 -‐ 0) ÷ (-‐ 61.542,36 -‐ 90.990,55) (3 -‐ X) ÷ (3 -‐ 4) = (-‐ 61.542,36 -‐ 0) ÷ (-‐ 152.532,91) (3 -‐ X) ÷ (3 -‐ 4) = 0,4035 (3 -‐ X) ÷ (-‐ 1) = 0,4035 (3 -‐ X) = 0,4035 x (-‐ 1) 3 -‐ X = -‐ 0,4035 -‐ X = -‐ 0,4035-‐3 -‐ X = -‐ 3,4035 X = 3,4035 “X” = i = 3,4035% E.M.V o PMV. Esta es la tasa de interés efectiva mensual que nos están cobrando en la negociación del carro.
500.000 650.000 400.000 0 1 2 3 1.300.000 F.C.
El proceso de despeje de una tasa de interés en un flujo de caja, puede resolverse en el programa Excel, construyendo todo el flujo de caja, en las funciones (fx), financieras, se busca TIR (tasa interna de retorno), se señala todo el flujo de caja y se le da aceptar, y el programa la calcula.
Despejamos la tasa de interés (i) que es nuestra incógnita:
Ejemplo 6
Para facilitar este proceso igualamos la igualdad a cero (0), que quiere decir que con la tasa de interés que nos estén cobrando las deudas menos los pagos, debe dar cero:
¿Qué tasa de interés efectiva trimestral nos están cobrando sobre un crédito por $1.300.000 que nos exigen pagar así: $500.000 en tres meses, $650.000 en seis meses y $400.000 en nueve meses.Como la tasa de interés que se pregunta es efectiva trimestral, trabajaremos el tiempo en trimestres; no quiere decir, que no podamos trabajar en meses y hallar la tasa efectiva mensual y al final por conversión de tasas de interés, hallar la equivalente trimestral; pero lo haremos de una vez en trimestres. La deuda original es de $1.300.000 y los pagos propuestos son: $500.000 pesos dentro de un trimestre, $650.000 dentro de dos trimestres y $400.000 dentro de tres trimestres.
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Sumatoria de deudas=Sumatoria de pagos (en una fecha de comparación)
1.300.000=500.000(1 + i)-‐1 + 650.000(1 + i)-‐2 + 400.000(1 + i)-‐3
1.300.000 -‐ 500.000(1 + i)-‐1 -‐ 650.000(1 + i)-‐2 -‐ 400.000(1 + i)-‐3 =0 ¿Pero qué valores le podemos dar a “i”?, miremos el mercado financiero y partamos de la tasa de interés efectiva trimestral vencida que estaríamos dispuestos a pagar.
Ubiquemos los valores en la gráfica del tiempo, tomando como fecha de comparación para el valor del dinero el período cero (0):
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Supongamos una tasa de interés efectiva trimestral del 9% y hagamos un primer intento en la igualdad: 1.300.000-‐500.000(1+0,09)-‐1 -‐650.000(1+0,09)-‐2 -‐400.000(1+0,09)-‐3 = -‐14.680,98 Vemos que no nos dio cero, nos dio un valor negativo de $-‐14.680,98, por lo tanto, el 9% no es la tasa de interés que satisface la igualdad y debemos ensayar con otra tasa de interés. Como el resultado de la igualdad nos dio negativo, quiere decir que el valor actual de los pagos es mayor que el valor actual de las deudas, para hacer menor el valor actual de los pagos, debe aumentarse la tasa de interés. Una tasa de interés más grande, hace el valor actual más pequeño, el valor actual es inversamente proporcional a la tasa de interés.
Para hacer la proporción de diferencias, hay 4 posibles combinaciones, lo importante es que la combinación que se haga al lado izquierdo, sea la misma que se haga al lado derecho, utilizaremos una de ellas: (9 -‐ X) ÷ (9 -‐ 10) = (-‐14.680,98-‐0) ÷ (-‐14.680,98-‐7.738,54) De esta nueva igualdad, despejamos “X”, que es la tasa de interés con la cual la igualdad es igual a cero: (9 -‐ X) ÷ (9 -‐ 10) = (-‐14.680,98 -‐ 0) ÷ (-‐14.680,98 -‐ 7.738,54) (9 -‐ X) ÷ (9 -‐ 10) = (-‐14.680,98 -‐ 0) ÷ (-‐ 22.419,53)
Volveremos a ensayar con una tasa del 10% E.T.V.
(9 -‐ X) ÷ (9 -‐ 10) = 0,654830244769
1.300.000 -‐ 500.000(1+0,10)-‐1 -‐650.000(1+0,10)-‐2 -‐400.000(1+ 0,10)-‐3 =7.738,54
(9 -‐ X) ÷ (-‐ 1) = 0,654830244769
Vemos que no nos dio cero, nos dio un valor positivo de $7.738,54, por lo tanto, el 10% no es la tasa de interés que satisface la igualdad.
(9 -‐ X) = 0,654830244769x (-‐ 1)
Cuando logramos hallar un rango, (una tasa con la cual la igualdad da positivo y otra tasa con la cual la igualdad da negativo), podemos hacer un promedio, mediante una proporción de diferencias, entre más pequeño sea el rango, más exacta será la tasa que hallemos; sin embargo, un rango apropiado es máximo de uno, tal como lo tenemos acá, 9% y 10%.
(9 -‐ X) = -‐ 0,654830244769 -‐ X = -‐ 0,654830244769-‐ 9 -‐ X = -‐ 9,654830244769 X = 9,654830244769
¿Cómo se hace la proporción de diferencias? Estamos buscando una tasa de interés que no conocemos: X : con la cual la igualdad sea igual a cero, y tenemos una tasa del 9% con la cual la igualdad es igual a -‐$14.680,98 y tenemos una tasa del 10% con la cual la igualdad es igual a $7.738,54. Esto se puede plantear así:
“X” = i = 9,6548% E.T. V. Esta es la tasa de interés efectiva trimestral que nos están cobrando en el crédito. Si queremos una tasa de interés más exacta, probamos nuevamente en la igualdad con la tasa que acabamos de hallar, si nos da cero, es exactamente esta; si no, ensayamos con una muy cercana, normalmente las variaciones serán de décimas, centésimas y hasta milésimas.
i = 9% = -‐14.680,98
1.2. Aplicaciones de las ecuaciones de valor
i = X = 0 i = 10% = 7.738,54
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1.2.1. Valor presente neto y tasa interna de retorno Ejemplo 7 Un banquero de inversión pronosticó que para los próximos 5 años una empresa tendrá los siguientes flujos de caja libre (vencidos) con su respectivo costo de capital:
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1
2
3
4
5
$2.000
$3.500
$4.200
$5.600
$6.800
10%
12%
14%
11%
9%
VP4=$5.600(1+0,10) -‐1 (1+0,12) -‐1(1+0,14) -‐1 (1+0,11) -‐1 = $ 3.592,11 VP5=$6.800(1+0,10)(1+0,12)(1+0,14)(1+0,11)(1+0,09) = $ 4.001,69 VP Total (valor de la empresa)= 1.818,18 + 2.840,91 + 2.990,43 + 3.592,11 + 4.001,69 VP Total (valor de la empresa)= $15.243,32 o Valor presente neto (VPN)
Determinar en pesos de hoy (período 0), el valor de la empresa.
Otra de las herramientas de evaluación de proyectos de inversión es la TIR (tasa interna de retorno), que sería, a grandes rasgos, la tasa de interés que genera la inversión que permanece en el proyecto la rentabilidad del proyecto, y se calcula igualando la ecuación a cero; matemáticamente es la tasa que hace el VPN=0 y se halla (manualmente) con ensayo y error o por Excel, con la función financiera TIR, la cual facilitaría el despeje. Evaluar la viabilidad de un proyecto con la TIR es compararla con la TIO, y si TIR > TIO se acepta el proyecto, TIR 0 se acepta el proyecto, VPN < 0 se rechaza el proyecto y VPN = 0 es indiferente para los inversionistas.
2.000 3.500 4.200 5.600 6.800
10% 12% 14% 11% 9%
Ejemplo 8 Un banquero de inversión pronosticó que para los próximos 3 años una empresa tendrá los siguientes flujos de caja libre (vencidos), calculando la TIR y suponiendo una TIO del 25% E.A. determinar la viabilidad del proyecto.
0 1 2 3 4 5 VP = VA (1 + i) n
0
1
2
3
$ -‐4.200
$ 1.500
$ 2.000
$ 2.800
Hay que suponer valores de tasa, teniendo en cuenta que son años, lo normal es tomar de entrada la TIO, para el ejemplo del 25% E.A. VPN = -‐4200 + 1.500 (1+0,25) -‐1 + 2.000 (1+0,25) – 2 + 2.800 (1+0,25) – 3
VP1=$2.000(1+0,10) -‐1 = $ 1.818,18
VPN = -‐4.200 + 1.200 + 1.280 + 1.433,60
VP2=$3.500(1+0,10) -‐1 (1+0,12) -‐1 = $ 2.840,91
VPN = -‐ 286,40
VP3=$4.200(1+0,10) -‐1 (1+0,12) -‐1 (1+0,14) -‐1 =$ 2.990,43
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Al dar el VPN negativo con la TIO, se dirá que se rechaza el proyecto, pero ¿cuál es la tasa que el proyecto está generando? Esa es la TIR; acá el resultado nos indica que la tasa debe ser menor, por lo que tomaremos un 20% E.A.
Factura 1 por $50.000 que vence dentro de 1 mes.
VPN = -‐4200 + 1.500 (1+0,20) -‐1 + 2.000 (1 + 0,20) – 2 + 2.800 (1+0,20) – 3
Factura 3 por $100.000 que vende dentro de un año.
VPN = -‐4.200 + 1.250 + 1.388,89 + 1.620,37
Determinar el precio de compra de la cartera.
VPN = 59,26
VP=$50.000(1+0,03)-‐1 +$90.000(1+0,03)-‐7 +$100.000(1+0,03)– 12
Los dos resultados nos indican que la tasa es mayor al 20% y está más cerca del 20%, que del 25%; al hacer con estos resultados la proporción de diferencias se nos presentará una breve desviación, recuerden, entre más bajo sea el rango, más exacta es la respuesta.
VP=$48.543,69 + $73.178,23 + $70.137,99
Factura 2 por $90.000 que vence dentro de 7 meses.
VP=$191.859,91
La proporción de diferencias nos quedaría: (25–X) / (25–20)= (-‐286,40 – 0) / (-‐286,40 – 59,26) En esta proporción (ecuación o igualdad) se despeja “X” que sería la TIR o la tasa con la cual el VPN tiende a cero. Los resultados se obtienen calculándolos con todos los decimales, aunque se visualicen con solo 2 decimales. (25-‐X) / 5 = -‐ 286,40 / -‐ 345,66 (25-‐X)/5 = 0,83 25 – X = 0,83 x 5 25 – X = 4,14 -‐ X = 4,14 – 25 X = i = TIR = 20,86% E.A. El proyecto tiene una rentabilidad del 20,86% EA, que comparada con la TIO de los inversionistas, del 25%, no es atractiva.
1.2.3. Toma de decisiones. Ejemplo 10 Una señora ofrece en venta un inmueble en $100.000.000 y recibe dos propuestas, así: a) Un señor paga de contado $70 millones y un pago de $30 millones para dentro de 3 meses con tasa de rendimiento del 2% p.m.v. b) Una compañía de finca raíz propone dos pagos de $40 millones y $70 millones a 3 y 9 meses, respectivamente, con tasa de rendimiento del 1% p.m.v. Determinar cuál es la mejor propuesta, en pesos de hoy. Alternativa a) VP=$70.000.000+$30.000.000(1+0,02)-‐3 VP=$98.269.670 Alternativa b). VP=$40.000.000(1+0,01) -‐3 +$70.000.000(1+0,01)– 9
1.2.2. Negociación de cartera. Ejemplo 9 Una Compañía de factoraje (factoring) adquiere los siguientes documentos, con una tasa de descuento del 3% periódico mensual vencida:
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VP= $38.823.605,92 + $64.003.787,70 VP=$102.827.393,61 La mejor opción de venta es la propuesta de la compañía de finca raíz (alternativa b). La razón es que el flujo de caja descontado y comparado en pesos de hoy, es superior al precio de venta
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que la señora aspira a obtener; la opción a), medida en pesos de hoy, no satisface las condiciones del negocio.
Son características de una anualidad:
1.2.4. Planes de ahorros. Ejemplo 11 Una persona desea tener ahorrados $4.000.000 para dentro de un año. Con tal fin, abre una cuenta de ahorro que le paga el 18% NMV y se compromete a realizar dos depósitos: en los meses 5 y 8, respectivamente. El segundo depósito vale $500.000 más que el primero. Determinar el valor de cada uno de los depósitos. La tasa a utilizar es la pmv= 18%/12 = 1,5% pmv Planteamiento de la ecuación:
X (1,1098449129+1,06136355062) = 4.000.000 -‐ 530.681,78 2,17120846352 X = 3.469.318,22
X2=1.597.874+500.000=2.097.874 Valor segundo depósito
2. Anualidades
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Los pagos son hechos en iguales intervalo de tiempo.
•
La tasa de interés es la misma por periodo de pago.
Hacen referencia a que el período de la tasa debe coincidir con el período de la cuota, ejemplo: en los pagos de un crédito si estos son mensuales, la tasa de interés debe ser mensual.
2.2.2. Anualidades generales: Encontramos anualidades generales, cuando el período de la tasa no coincide con el período de la cuota, pero hay que hacerlo coincidir y convertirla en una anualidad simple. Una de la manera de hacerlo es con tasas equivalente y la otra en con pagos equivalentes. Los ejemplos los veremos en su momento.
2.2.3. Anualidades ciertas: Cuando se tiene un número previsto o predecible de cuotas. Las anualidades deben hacerse ciertas. Ejemplo: se va a pagar un crédito con 12 cuotas mensuales. Pero si la anualidad está sujeta a un hecho no predecible como todo lo que tiene que ver con seguros, como un seguro de vida, ¿hasta cuándo lo vamos a pagar? No sabemos porque tiene que ver con un hecho no predecible. Sin embargo estos casos se convierten en ciertos, se da una proyección de vida y así sucede con todos los hechos que no son predecibles como los robos, los accidentes, etcétera.
2.1. Conceptos Se define la anualidad, como una serie de pagos iguales efectuados en iguales períodos de tiempo. El término “pago” se refiere tanto a ingresos como a egresos. De igual forma el término “anualidad” se utiliza para indicar que los pagos son periódicos y no necesariamente el período es un año, puede ser diarios, semanales, mensuales, semestrales, anuales u otros. La fórmula de anualidad es útil en diferentes operaciones, no todas se refieren a créditos, por ejemplo, en una proyección de flujos de cajas de una empresa, los salarios y los arriendos pueden ser una anualidad.
•
2.2.1. Anualidades simples.
X = 3.469.318,22 / 2,17120846352 X1=1.597.874 Valor primer depósito
Todos los pagos son iguales.
2.2. Clases de anualidades
X (1+0,015) 7 + (X+500.00)(1+0,015) 4 = 4.000.000 1,1098449129 X + 1,06136355062 X + 530.681,78 = 4.000.000
•
2.2.4. Anualidades perpetuas o infinitas: Cuando no se consideran un número previsto de cuotas sino que se consideran infinitos, perpetuos, solo se puede calcular su valor actual y el uso de esta anualidad, se refleja en casos como valoración de acciones y valoración de empresas. Es así como se define que el valor de un negocio se manifiesta en el valor actual de sus futuros flujos de caja a perpetuidad.
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2.2.5. Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas: Teniendo en cuenta cómo se acuerda el pago de las cuotas, estas se pueden establecer como vencidas, anticipadas o diferidas. Nos referimos a las anualidades vencidas ordinarias, cuando el primer pago se realiza un período después de adquirida la obligación. Hoy me realizan el préstamo y el primer pago mensual lo hago en 1 mes; otro ejemplo son los salarios; un trabajador normalmente empieza a trabajar y si el pago es mensual, al final del mes le estarán pagando su primer sueldo. Las anualidades anticipadas son el caso contrario; la primera cuota se realiza en el momento en que se adquiere la obligación, los contratos de arrendamiento son un ejemplo de las anualidades anticipadas, el primer canon de arriendo se debe pagar en el momento de adquirir el contrato, este pago se asume como si fuera una cuota inicial, hay otra clase de contratos de arriendo que no corresponden necesariamente a inmuebles, lo que se conocen como contratos financieros (leasing). Las anualidades diferidas son cuando la primera cuota se realiza varios períodos después de adquirir una obligación, este caso se ve en los créditos que se denominan con períodos de gracia, el período de gracias corresponde a un tiempo que se otorga para empezar a pagar el crédito, como ejemplo tenemos algunos créditos educativos o de fomento a exportaciones o producción industrial o agrícola.
2.3. La anualidad simple cierta vencida
i = Tasa de interés efectiva por período (vencida) o tasa periódica. N = Número de cuotas periódicas que se acuerdan. Observación: el período de la cuota debe coincidir con el período de la tasa de interés. Si queremos cuotas mensuales, la tasa de interés debe ser mensual y “N” será el número de cuotas mensuales requeridas. Fórmula 2. Valor final de una anualidad simple cierta y vencida VF= A [ ( 1 + i ) N -‐ 1 ] i Donde: VF= Valor Final, corresponde a lo que se espera tener en un futuro, normalmente el valor final se refiere a ahorros. A = Cuota fija por período (vencida), también se le puede decir R de renta, cuota o pago. i = Tasa de interés efectiva por período (vencida) o tasa periódica. N = Número de cuotas periódicas que se acuerdan.
Nuestro punto de partida, es la anualidad simple cierta vencida u ordinaria, que significa que el período de la tasa debe coincidir con el período de la cuota, tiene un número predecible de cuotas y las cuotas se pagan al final del período; las cuotas vencidas significan que la primera cuota se realiza un período después de efectuar el negocio, el préstamo, etcétera. A una anualidad se le puede calcular su valor actual (VA) y su valor final o futuro (VF). Considerando que la primera cuota se efectúa un período después de adquirida la deuda, (cuotas ordinarias o vencidas), el VA da siempre un período antes de la primera cuota y el VF dará inmediatamente después de realizar la última cuota. Fórmula 1. Valor actual de una anualidad simple cierta y vencida VA = A [1 -‐ (1 + i) -‐N] i
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A = Cuota fija por período (vencida), también se le puede decir R de renta, cuota o pago.
Observación: el período de la cuota debe coincidir con el período de la tasa de interés. Si queremos cuotas mensuales, la tasa de interés debe ser mensual y “N” será el número de cuotas mensuales requeridas. De la fórmula de la anualidad podemos despejar cualquier término que en ella interviene. Ejemplo 12 Hallar el valor de la cuota fija mensual requerida para cancelar un crédito de $1.000.000,00, con una tasa de interés fija del 3,5% E.M.V, en un tiempo de 6 meses. VA = Deuda = $1.000.000,00 Tasa de interés = 3,5% E.M.
VA = Valor Actual, normalmente el valor de una deuda se da en VA (valor actual).
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1.000.000 = 100.000 [1 -‐ ( 1 + 0,036) -‐N ]
Número de cuotas = 6 cuotas mensuales VA = A [ 1 -‐ ( 1 + i ) -‐N ]
0,036
i
1.000.000 x 0,036 = 100.000 [1 -‐ (1,036) -‐N ]
1.000.000 = A [ 1 -‐ ( 1 + 0,035 ) -‐6 ]
36.000 = 100.000 [1 -‐ (1,036) -‐N ]
0,035
36.000÷100.000 = [1 -‐ (1,036) -‐N]
0,36 = [1 -‐ (1,036) -‐N]
1.000.000 = A [1 -‐ 0,8135 ]
0,36 -‐ 1 = -‐ (1,036)-‐N
0,035
-‐ 0,64 = -‐ (1,036)-‐N
1.000.000 = A [0,1865 ]
0,64 = (1,036)-‐N
0,035
Log. 0,64 = -‐ N Log. 1,036
-‐ N = Log. 0,64 ÷ Log. 1,036
1.000.000 = A [5,3286]
-‐ N = -‐ 0,1938 ÷ 0,0154
A = 1.000.000 ÷ 5,3286
-‐ N = -‐ 12,5844
A = $187.668,21
N = 12,5844 cuotas mensuales
$187.668,21 es el valor de la cuota mensual que debe efectuarse por 6 meses para cancelar un crédito de $1.000.000,00 con una tasa de interés del 3,5% E.M.V.
$100.000,00 es el valor de la cuota mensual que debe efectuarse por 12 meses para cancelar un crédito de $1.000.000,00 con una tasa de interés del 3,6% E.M.V. Aproximamos al menor, 12 y no al mayor 13, porque si pagamos 13 cuotas, pagamos más de lo que debemos, si pagamos 12 pagamos menos de lo que debemos, pero además debemos pagar el saldo de la deuda.
Ejemplo 13 En cuantas cuotas mensuales puedo comprometerme para cancelar un crédito por $1.000.000,00, sobre el cual me cobrarán una tasa de interés del 3,6% E.M.V, si mi capacidad de pago me permite cancelar cuotas fijas de $100.000 mensuales (vencidas). VA = Deuda = $1.000.000,00 Tasa de interés = 3,6% E.M. Cuotas mensuales = $100.000,00 Número de cuotas mensuales = ?
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Ejemplo 14 Una compañía de financiamiento comercial nos ofrece un crédito, a 36 meses, cancelando cuotas de $50.000,00 por millón. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva mensual que nos está cobrando? Recordamos que por despeje, la tasa se debe calcular por ensayo y error, o sea suponiendo valores. VA= Deuda = $1.000.000,00 Cuotas mensuales = $50.000,00
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Número de cuotas mensuales = 36
Reemplazamos en la fórmula: VF= 100.000 [ ( 1 + 0,01 ) 12 -‐ 1 ]
Tasa de interés = ? % E.M. 1.000.000 = 50.000 [1 -‐ ( 1 + i ) -‐36 ]
0,01
i
VF = 100.000 (12,68)
Igualamos la ecuación a cero:
VF = $1.268.250,30 1.000.000 -‐ 50.000 [1 -‐ (1 + i ) -‐36] = 0 i
Suponemos valores de “i”: i = 3% E.M. 1.000.000 -‐ 50.000 [1 -‐ (1 + 0,03 ) -‐36 ] = -‐91.613 0,03 i = 4% E.M. 1.000.000 -‐ 50.000 [1 -‐ (1 + 0,04 ) -‐36 ] = 54.586 0,04
$1.268.250,30, es lo que se tendría ahorrado en un año.
3. Ejercicios propuestos 1. Si deseamos negociar y pagar anticipadamente (hoy) las siguientes deudas: $400.000 pagaderos en dos meses, $600.000 pagaderos en cuatro meses y $1.000.000 pagaderos en seis meses. ¿Cuánto debemos cancelar hoy, si nos descuentan los intereses correspondientes a una tasa del 2% P.M.V.? Respuesta: $1.826.746,15. 2. Si deseamos negociar las siguientes deudas: $400.000 pagaderos en dos meses, $600.000 pagaderos en cuatro meses y $1.000.000 pagaderos en seis meses y proponemos cancelar: $200.000 hoy y el saldo en cuatro meses. Con una tasa de negociación del 2% E.M.V, ¿Cuánto es el saldo que debemos pagar en cuatro meses? Respuesta: $1.760.842,35
Efectuamos la proporción de diferencias: 3. S e t ienen las siguientes deudas: $1.000.000 pagaderos en un mes y $2.000.000 pagaderos en tres meses. Ofrezco cancelar las deudas con dos pagos iguales de $1.500.000, uno efectuado hoy, ¿cuándo debo efectuar el segundo pago? Suponga una tasa de interés del 2,5% P.M.V. (3 -‐ X) ÷ (3 -‐ 4) = ( -‐ 91.613,00 -‐ 0 ) ÷ ( -‐ 91.613,00 -‐ 54.586,00 ) Despejamos “X” y tenemos:
Respuesta: n=4,7859 meses.
i = X = 3,63% E.M.V.
4. Se tienen las siguientes deudas: $1.000.000 pagaderos en un mes y $2.000.000 pagaderos en tres meses, y nos proponen cancelarlas con tres pagos iguales de $995.000 pesos, efectuados dentro de un mes, dos meses y tres meses respectivamente, ¿qué tasa de interés efectiva mensual nos están cobrando? Respuesta: 1,523% P.M.V.
La tasa de interés aproximada que se está cobrando en éste crédito es del 3,63% E.M.V. Ejemplo 15 Si se realizan depósitos mensuales por un tiempo de un año, de $100.000 en un fondo que garantiza una tasa del 1% P.M.V., que cantidad se reunirá. VF= A [ ( 1 + i ) N -‐ 1 ]
5. Se tienen las siguientes deudas: $1.000.000 pagaderos en un mes y $2.000.000, pagaderos en tres meses y nos proponen cancelarlas con tres pagos así: $500.000 en un mes, $1.000.000 en dos meses y $1.530.000 en cuatro meses. ¿Qué tasa de interés efectiva anual nos están cobrando en ésta propuesta de negociación? Respuesta: 1,9866%pmv, equivalente al 26,62% EA.
i
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