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• Juliana Morales Carmona

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Operaciones con Fracciones MATEMÁTICAS AUTOR: Nidia Jaimes

ÍNDICE ÍNDICE' Operaciones'con'fracciones! •

Índice!

!

•

Introducción!

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Desarrollo!de!cada!una!de!las!unidades!temáticas.!

!

1. Simplificación!de!expresiones!racionales!

!

!

2. Amplificación!de!expresiones!racionales!! 3. Operaciones!entre!fracciones!algebraicas!

!

1.1. Ejercicio!11! ! •

Glosario!

!

•

Bibliografía! ! o Remisión!a!fuentes!complementarias!

Acceso rápido !

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GENERALIDADES

DESARROLLO

GLOSARIO

REFERENCIAS

! ! ! ! ! ! !

Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano y a la Red Ilumno. Por ende, son de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial.

01 -02 INTRODUCCIÓN'

2. Amplificación!de!expresiones!racionales!

Para!operar!correctamente!fracciones!algebraicas,!se!debe!acudir!a!la!factorización,!este!será!el! camino!apropiado!tanto!para!hacer!simplificaciones!como!para!operar!fácilmente.!

Amplificar!una!expresión!racional!consiste!en!multiplicar!por!la!misma!expresión!real!(diferente! de!cero)!tanto!el!numerador!como!el!denominador!de!la!fracción!(propiedad!1),!es!decir!esta! operación!es!inversa!a!la!simplificación.!

DESARROLLO'DE'CADA'UNA'DE'LAS'UNIDADES'TEMÁTICAS.'

Nota:! cuando! una! fracción! se! simplifica! o! se! amplifica,! las! fracciones! que! resultan! en! este! proceso!se!denominan!equivalentes.! Ejemplo'2'

1. Simplificación!de!expresiones!racionales!

Las!siguientes!fracciones!son!equivalentes!

Simplificar!una!expresión!racional!consiste!en!dividir!por!la!misma!expresión!real!(diferente!de! cero),! tanto! el! numerador! como! el! denominador! de! la! fracción.! Una! forma! de! simplificar! una! expresión!racional!es!mediante!la!aplicación!de!la!siguiente!propiedad:!

3 12m 24m5 ! = = 2m 2 8m3 16m 7

a⋅c a = , con b, c ≠ 0 ! b⋅c b

La!segunda!fracción!se!obtiene!de!la!primera!amplificándola!por!4".! !

Propiedad!1!

La! anterior! propiedad! sugiere! que! tanto! el! numerador! como! el! denominador! de! la! fracción! deben!estar!factorizados!para!poder!hacer!la!simplificación.!

Simplificar!la!expresión!racional:!

x4 − 9x2 !! x3 + 3x 2

Solución:*

=

=

x2 ( x2 − 9) x 2 ( x + 3)

! !!

x 2 ( x − 3)( x + 3) x

2

Nota:!dada!una!fracción,!se!pueden!conseguir!infinitas!que!son!equivalentes!a!esta.!

3. Operaciones!entre!fracciones!algebraicas!

Ejemplo'1''

x4 − 9x2 ! x3 + 3x 2

La!tercera!fracción!se!obtiene!de!la!segunda!amplificándola!por! 2m 4 .!

( x + 3)

! ! ! !

aplicando!factor!común! aplicando!diferencia!de!cuadrados!

Las! propiedades! que! se! emplearon! para! operar! números! fraccionarios! se! utilizarán! también! para! operar! fracciones! algebraicas;! para! facilitar! el! trabajo! se! hace! necesario! utilizar! factorización;! primero! para! simplificar! si! es! posible,! y! luego! para! encontrar! el! común! denominador,!en!caso!de!que!se!tengan!que!adicionar.!Veamos!el!ejemplo!3.! Ejemplo'3.'

x 2 + 3x − 4 3 ! Operar!y!simplificar:! + 2 2 x −4 x − 4x Solución*

x 2 + 3x − 4 3 !! + 2 2 x −4 x − 4x

aplicando!la!propiedad!1!

= x − 3, con x ≠ 0, y, x + 3 ≠ 0, equivalente a: ! = x − 3, con x ≠ 0, y, x ≠ −3 '

!

3

=

( x − 1) ( x + 4) 3 + . Se realizaron todas las factorizaciones posibles !!! ( x − 4) ( x + 4) x ( x − 4)

!

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO

MATEMÁTICAS

4

=

( x − 1) 3 + , Con x ≠ − 4 (el factor simplificado no puede ser cero) ! ( x − 4) x ( x − 4)

2. Operar!y!simplificar!en!cada!caso,!imponiendo!las!condiciones!necesarias!sobre!las! variables.!

=

x( x − 1) 3 + , Con x ≠ − 4 (la primera fracción se amplificó por x, x ≠ 0) ! x( x − 4) x ( x − 4)

a.

x −5 −3x (5 − x ) 6 x 3 ! ⋅ ÷ x 2 + 2 x − 15 x 2 + 5x + 6 x − 3

=

x( x − 1) + 3 , Con x ≠ − 4 (adición empleando el común denominador ) ! x( x − 4)

b.

x+3 x−2 ! − 2 x + x − 2 x + 5x + 6

=

x2 − x + 3 , Con x ≠ − 4 (adición empleando el común denominador ) ! x2 − 4x

2

−1

−1

% " a−3% " 1 + 3' $ c. $ ' ! # a − 3 & # 3a + 8 & d.

3.1. Ejercicio!11! 1. Simplificar,!imponiendo!las!condiciones!necesarias!sobre!la!variable!

2 4 y + − 2 ! 3y y + 3 y − 9

! 2a 2 " 1 − a% ÷ +3 $ 2a − 1 8a − 4 & ' e. − 1! 4a + 3

! !

−1

f.

!

"x x x# $2+4+8% $ % ! x x x $$ − − %% &2 4 8' −1

!

3 # 1 "1 g. % − 2 & ⋅ ! ' x 4 x ( 8x

!

7 1 " 1 ! h. $ 2 ! − %÷ & 2x − 7x + 3 x − 3 ' 2x − 1

!

i.

' m $ 2m + 4 3 ! − % 2 2" 2 m + m m − 3 m − 6 2 ( ) + m 2 & #

j.

" 1 3 1 # + 2 − $ 2 % ! & y − 3y + 2 2 y − 6 y + 4 y − 2 '

!

−1

!

!

!

5

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO

MATEMÁTICAS

6

03 GLOSARIO((

04 -

REFERENCIA(

Factor(común(:máximo!elemento!que!divide!a!todos!los!sumandos!de!una!expresión.!

•

Arya,!J.,!y!Lardner,!R.!(1992).!Matemáticas*aplicadas*a*la*administración*y*a*la*economía.! México:!Editorial!PrenticeLHall.!

•

Jaimes,!N.!M.!(2005).!Matemáticas*I:*Negocios*internacionales.!Bogotá,!Colombia:!Series! Documentos.!Politécnico!Grancolombiano.!

•

Haeussler,! E.! F.,! Paul,! R.! S.,! y! Wood,! R.! J.! (2008).! Matemática* para* administración* y* economía.!México:!Pearson!Educación.!

Términos(semejantes:!son!sumandos!que!solo!difieren!en!el!coeficiente!numérico.! ! ! ! !

Remisión!a!fuentes!complementarias!

!

En! caso! de! querer! reforzar! los! conceptos! aquí! estudiados! se! recomiendan! las! siguientes! lecturas,!

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Lectura(1.(

Bello,!I.!(2008).!Matemáticas!básicas!universitarias.!México:!McGrawLHill!Interamericana.!Este! libro!está!en!la!base!de!datos!institucional,!para!su!consulta!se!requiere!del!usuario!y!la! contraseña!institucional!es!la!misma!para!el!ingreso!al!aula!virtual.!!Y!lo!encuentra!en!la! siguiente!dirección:!http://www.ebooks7L 24.com.loginbiblio.poligran.edu.co:2048/onlinepdfjs/view.aspx!Allí!debe!escribir!el!nombre!del! libro.!

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Lectura(2(

Ramírez,!A.!P.,!y!Cárdenas,!J.!C.!(2012).!Matemática*universitaria:*conceptos*y*aplicaciones* generales.!Vol.!1.!Costa!Rica:!Editorial!Cyrano.!Este!libro!está!en!la!base!de!datos!institucional,! para!su!consulta!se!requiere!del!usuario!y!la!contraseña!institucional!es!la!misma!para!el!ingreso! al!aula!virtual.!Y!lo!encuentra!en!la!siguiente!dirección:! http://site.ebrary.com.loginbiblio.poligran.edu.co:2048/lib/bibliopoligransp/detail.action?docID =10889854&p00!Allí!debe!escribir!el!nombre!del!libro.!

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