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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

FFA AC CU ULLTTA AD D D DEE IIN NG GEEN NIIEERRÍÍA A

INGENIERIA MECÁNICA CAPACIDAD DE PROCESOS Y CARTAS DE CONTROL

DOCENTE: Ing. Luis Amando Rosas Rivera UNIVERSITARIO: ADOLFO QUENALLATA LAYME CARRERA: Ing. Electromecánica

FECHA DE ENTREGA:

25 de Noviembre de 2008

LA PAZ - BOLIVIA

Problemas Resueltos – Control de Calidad 1) (Cap.2,No.22)En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema que esta tenga un porcentaje de grasa de 45 con una tolerancia de + 5. De acuerdo a los muestreos de los últimos meses se tiene una media de 44 con una desviación estándar de 1.3. Haga un análisis de capacidad para ver si se está cumpliendo con la calidad exigida, represente gráficamente sus resultados y comente los resultados obtenidos. SOLUCIÓN: Datos:

  44  5  X  1.3

X  45

Calculamos los índices de capacidad: 

EP  EI 6S



(45  5)  (45  5) 6(1.3)

Cp 

Cp  

 C p  1.28205 

C pi 

  X  EI  ES  X  C ps  C pk  min[C pi , C ps ] 3S 3S

  44  40 50  44  C pK  min  ,  3 * 1.3 3 * 1.3  

 C pK  min 1.02564 ,1.53846   1.02564 Debido a que el valor del índice de capacidad de proceso obtenido se encuentra en el intervalo:

1  CP  1.33  1  1.282  1.33 Se puede concluir que la clase o categoría de proceso es 2, siendo e l proceso parcialmente adecuado, requiere un control estricto.

=44

LIE=4 0



LSE=5 0



2)

(Cap.2,No.23)El volumen en un proceso de envasad o debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo a los datos históricos se tiene que 318 4. ¿El proceso de envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.

SOLUCIÓN: Datos: Volumen entre 310,330

;

318

4.

Dado que el valor de tiende al valor de la media, podemos observar que este proceso es descentrado, por lo cual calculamos los valores de los índices con las siguientes formulas: Calculamos los índices de capacidad laterales: 

C pi 

  LIE 318  310  3 3* 4



 C pi  0.6667 

C ps 

LSE   330  318  3 3* 4



 C ps  1 Debido a que los valores de los índices de capacidad de proceso obtenido se encuentran en los intervalos:

C PS  1, yC Pi  1 =318

LIE=310



LSE=330



El proceso tiene alta proporción de defectuosos por debajo del límite de especificación inferior, es d ecir, este proceso es de categoría 3, siendo el proce so no adecuado para el trabajo. Es necesario un análisis del proceso para realizar modificaciones serias para alcanzar niveles de calidad satisfactorios. Proporción de defectuosos mayor al 0.27% .

3) (Cap.2,No.24)En la elaboración de una bebida se desea garantizar que le porcentaje de CO 2 (gas) este entre 2.5 y 3.0. De los datos obtenidos del monitoreo del proceso se ob tuvieron los siguientes 115 datos. a)

Con medidas de tendencia central señale si la tendencia central de las mediciones es adecuada.

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los limites reales y con base es estos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. c) Obtenga un histograma e interprételo . d) Con la evidencia obtenida antes, cual es su opinión sobre la capacidad del proceso referido. 2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.56 2.62 2.63 2.57 2.60 2.53 2.69 2.53 2.67 2.66 2.63 2.52 2.61 2.60 2.52 2.62 2.67 2.58 2.61 2.64 2.49 2.58 2.61 2.53 2.53 2.57 2.66 2.51 2.57 2.55 2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.59 2.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55 2.73 2.51 2.61 2.71 2.64 2.59 2.60 2.64 2.56 2.60 2.57 2.48 2.60 2.61 2.55 2.66 2.69 2.56 2.64 2.67 2.60 2.59 2.67 2.56 2.61 2.49 2.63 2.72 2.67 2.52 2.63 2.57 2.61 2.49 2.60 2.70 2.64 2.62 2.64 2.65 2.67 2.61 2.67 2.65 2.60 2.58 2.59 2.65 2.50 2.65 2.57 2.55 2.64 2.66 2.67 2.61 2.52 2.65 2.57 2.52 2.56 2.60 2.59 2.56 2.57 2.66 2.64 SOLUCIÓN: a) Datos:

o 

LIE = 2.5; LSE = 3.0

LSE  LIE 3.0  2.5   2.75 2 2

Dado que la media obtenida es 2.5985 observamos que la diferencia entre este valor y mediciones no muestran tendencia central, existe un descontrol en el proceso Medición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Xi 2,61 2,69 2,61 2,57 2,73 2,6 2,61 2,64 2,5 2,56 2,52 2,53 2,64 2,56 2,57 2,61 2,49 2,62 2,65 2,6 2,65 2,67

-Xi -2,61 -2,69 -2,61 -2,57 -2,73 -2,6 -2,61 -2,64 -2,5 -2,56 -2,52 -2,53 -2,64 -2,56 -2,57 -2,61 -2,49 -2,62 -2,65 -2,6 -2,65 -2,67

Xm 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985

Xm Xi -0,0115 -0,0915 -0,0115 0,0285 -0,1315 -0,0015 -0,0115 -0,0415 0,0985 0,0385 0,0785 0,0685 -0,0415 0,0385 0,0285 -0,0115 0,1085 -0,0215 -0,0515 -0,0015 -0,0515 -0,0715

(Xm Xi)E2 0,00013225 0,00837225 0,00013225 0,00081225 0,01729225 2,25E-06 0,00013225 0,00172225 0,00970225 0,00148225 0,00616225 0,00469225 0,00172225 0,00148225 0,00081225 0,00013225 0,01177225 0,00046225 0,00265225 2,25E-06 0,00265225 0,00511225

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

2,49 2,52 2,61 2,55 2,63 2,64 2,57 2,59 2,56 2,66 2,58 2,58 2,71 2,66 2,72 2,65 2,55 2,56 2,68 2,63 2,61 2,64 2,64 2,69 2,67 2,67 2,64 2,57 2,51 2,52 2,53 2,59 2,59 2,56 2,52 2,61 2,66 2,66 2,56 2,61 2,53 2,57 2,6 2,64 2,63 2,67 2,67 2,64 2,62 2,6 2,57

-2,49 -2,52 -2,61 -2,55 -2,63 -2,64 -2,57 -2,59 -2,56 -2,66 -2,58 -2,58 -2,71 -2,66 -2,72 -2,65 -2,55 -2,56 -2,68 -2,63 -2,61 -2,64 -2,64 -2,69 -2,67 -2,67 -2,64 -2,57 -2,51 -2,52 -2,53 -2,59 -2,59 -2,56 -2,52 -2,61 -2,66 -2,66 -2,56 -2,61 -2,53 -2,57 -2,6 -2,64 -2,63 -2,67 -2,67 -2,64 -2,62 -2,6 -2,57

2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985

0,1085 0,0785 -0,0115 0,0485 -0,0315 -0,0415 0,0285 0,0085 0,0385 -0,0615 0,0185 0,0185 -0,1115 -0,0615 -0,1215 -0,0515 0,0485 0,0385 -0,0815 -0,0315 -0,0115 -0,0415 -0,0415 -0,0915 -0,0715 -0,0715 -0,0415 0,0285 0,0885 0,0785 0,0685 0,0085 0,0085 0,0385 0,0785 -0,0115 -0,0615 -0,0615 0,0385 -0,0115 0,0685 0,0285 -0,0015 -0,0415 -0,0315 -0,0715 -0,0715 -0,0415 -0,0215 -0,0015 0,0285

0,01177225 0,00616225 0,00013225 0,00235225 0,00099225 0,00172225 0,00081225 7,225E-05 0,00148225 0,00378225 0,00034225 0,00034225 0,01243225 0,00378225 0,01476225 0,00265225 0,00235225 0,00148225 0,00664225 0,00099225 0,00013225 0,00172225 0,00172225 0,00837225 0,00511225 0,00511225 0,00172225 0,00081225 0,00783225 0,00616225 0,00469225 7,225E-05 7,225E-05 0,00148225 0,00616225 0,00013225 0,00378225 0,00378225 0,00148225 0,00013225 0,00469225 0,00081225 2,25E-06 0,00172225 0,00099225 0,00511225 0,00511225 0,00172225 0,00046225 2,25E-06 0,00081225

74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

2,58 2,64 2,67 2,57 2,65 2,61 2,63 2,52 2,66 2,52 2,56 2,6 2,61 2,6 2,52 2,57 2,62 2,51 2,61 2,6 2,59 2,49 2,58 2,65 2,6 2,67 2,57 2,55 2,57 2,67 2,6 2,59 2,57 2,53 2,58 2,55 2,55 2,48 2,56 2,7 2,65 2,52

-2,58 -2,64 -2,67 -2,57 -2,65 -2,61 -2,63 -2,52 -2,66 -2,52 -2,56 -2,6 -2,61 -2,6 -2,52 -2,57 -2,62 -2,51 -2,61 -2,6 -2,59 -2,49 -2,58 -2,65 -2,6 -2,67 -2,57 -2,55 -2,57 -2,67 -2,6 -2,59 -2,57 -2,53 -2,58 -2,55 -2,55 -2,48 -2,56 -2,7 -2,65 -2,52

298,83 Calculando le media y la desviación estándar :

X 

Xi 298 .83   2.5985 N 115

2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985 2,5985

0,0185 -0,0415 -0,0715 0,0285 -0,0515 -0,0115 -0,0315 0,0785 -0,0615 0,0785 0,0385 -0,0015 -0,0115 -0,0015 0,0785 0,0285 -0,0215 0,0885 -0,0115 -0,0015 0,0085 0,1085 0,0185 -0,0515 -0,0015 -0,0715 0,0285 0,0485 0,0285 -0,0715 -0,0015 0,0085 0,0285 0,0685 0,0185 0,0485 0,0485 0,1185 0,0385 -0,1015 -0,0515 0,0785

0,00034225 0,00172225 0,00511225 0,00081225 0,00265225 0,00013225 0,00099225 0,00616225 0,00378225 0,00616225 0,00148225 2,25E-06 0,00013225 2,25E-06 0,00616225 0,00081225 0,00046225 0,00783225 0,00013225 2,25E-06 7,225E-05 0,01177225 0,00034225 0,00265225 2,25E-06 0,00511225 0,00081225 0,00235225 0,00081225 0,00511225 2,25E-06 7,225E-05 0,00081225 0,00469225 0,00034225 0,00235225 0,00235225 0,01404225 0,00148225 0,01030225 0,00265225 0,00616225 0,35364875

( X  Xi ) 2 0.3536    0.05545 N 115 Calculamos el índice de capacidad :

Cp 

LSE  LSI 3.0  2.5   1.515 6 6(0.055)

Este valor es mayor a la unidad, por lo que la proporción de def ectuosos es menor al 0.27%, y el proceso es clase 1, es decir, es adecuado. b)



( X  Xi ) 2 0.3536   0.05545 N 115

S

( X  Xi ) 2 0.3536   0.0557 N 1 115  1

LSC  X  3  2.5985  3 * 0.05545   2.765 LIC  X  3  2.5985  3 * 0.05545   2.4322 2,8 2,75 2,7 2,65

Variabilidad

2,6

LSC

2,55

LIC

2,5 2,45 2,4 0

50

100

150

c) 2,75 2,7 2,65 2,6 2,55 2,5 2,45 2,4 2,35 1 6

1 1 6 2 1 2 6 3 1 3 6 4 1 4 6 5 1 5 6 6 1 6 7 1 7 6 8 1 8 6 9 1 9 6

0 1 1 6 1 0

Según el histograma obtenido podemos observar que no se localiz an grupos de muestras que indiquen un comportamiento parecido entre sí, así que los datos obtenidos varían aleatoriamente según se realiza el proceso, así que mientras el proceso se encuentre entre los límites esta conforme. d) El valor del índice de capacid ad de proceso es mayor a la unidad, por lo que la proporción de defectuosos es menor al 0.27%, y ya que el índice es mayor a 1.33, el proceso es clase 1, es decir, es adecuado. Los datos obtenidos se encuentran dentro de los límites indicados, así que el proceso se encuentra bajo de control. 4) (Cap.7,No.10)En la fabricación de artículos de plástico se debe asegurar una resistencia mínima de 65 kilogramos fuerza, para ello cada 2 horas se hacen pruebas destructivas a cuatro artículos seleccionados aleatoriamente de uno de los lotes. Los datos se registran en una carta de control X – R. De acuerdo con estudios anteriores, las cartas de control muestran que el proceso es estable y en particular los límites de control en la carta X son los siguientes:

a) b) c) d)

80,

í

74

68

¿El proceso cumple con la especificación inferior? Calcule el e interprételo en función a la tabla 5.1 Con base en la tabla 7.4, estime el porcentaje de producto que no cumple con la especificación inferior. Alguien sugiere que el límite de control inferior en la carta debe ser igual a la especificación inferior (65), ¿es correcta esta sugerencia? Explique.

SOLUCIÓN: a) Al estar el límite de control inferior LCI debajo la línea inferior de especificación o toleranc ia LTI el proceso no cumple con dicha especificación. b)

  X  LIE  74  65

9  s

LSC  X  3

n

80  74 3

4

  s  4 Cálculo Cpi: C pi 

 9  3 3 * 4

 C pi  0.75 Por lo tanto el proceso no tiene capacidad de producción, no cumple con los requerimientos básicos para ser adecuado para el trabajo, se requiere modificaciones serias al proceso. c) Valor de índice 0.70 0.75

% fuera de especificación 3.5729 %

0.80

0.70  0.75 3.5729  %  0.70  0.80 3.5729  1.6395

1.6395

 %  2.6062

Por lo que un porcentaje de 2.6062% estarán fuera de especificaciones. d) No es correcta pues requerimos para estar en un proceso fuera de riesgo si fallase, entonces se necesita que el límite de control inferior este por lo menos un por encima del límite de tolerancia. 5) (Cap.7,No.11)En una fábrica de bolsas de plástico un aspecto importante de calidad es la dimensión de las bolsas. En una fase del proceso una maquina debe cortar automáticamente las bolsas, la medida ideal es 30 cm, con una tolerancia de 0.5 cm. Para asegurar que las dimensiones de la bolsa son las correctas “de vez en cuando” el operador mide una bolsa y dependiendo de tal medida decide o no ajustar la maquina. Conteste: a) ¿Cree que es una forma adecuada de asegurar la calidad? b) ¿Una carta de control podría ser de utilidad para ayudar al trabajador a hacer los ajustes? ¿Cuál? Explique. c) ¿Los límites de control en esta carta deben ser las especificaciones de la bolsa para que así el trabajador pueda reaccionar cuando los cortes se s alen de las especificaciones? d) Explique cómo haría el muestreo y el tamaño de muestra para la carta que considere apropiada. SOLUCIÓN: a) No, es mejor realizar un muestreo por variables. b) Si, ya que se tendría una idea clara del comportamiento y de las variaci ones del proceso, esto será en función al tamaño de muestras obtenido, obteniendo medias y rangos y/o desviaciones estándar. c)

No, debido a que esto no tiene mejoras en el proceso, es decir, el proceso se mantiene como es, y solo se verifica el producto final, el control se lo debe realizar en el proceso.

d) Aplicaríamos un muestreo bilateral de variables: 

Determinamos una media del proceso aceptable y una media con tolerancia, a partir de una iteración sucesiva y probabilidad de ocurrencia de defectos.



Debido a que:



T

 C

 

= Riesgo del productor = Riesgo del comprador

= Media de conformación Datos estándar de:

=5% y

= 10%

Analizando por áreas:

    C   A     P( X   c )  1  P z       n   La Normal inversa:

C   A  K .............................(1)  n     T   P ( X   C )  P Z  C    n 

     

Normal inversa:

 C  T  K .......... .......... .......... ( 2)  n Resolviendo (1) y (2) se obtiene el tamaño de muestra y la media de comparación.

6) (Cap.7,No.13)En el caso de la longitud de las bolsas del ejercicio 11, se decide emplear una carta de control

X  R , utilizando tamaño de subgrupo de 5 bolsas consecutivas cada determinado tiempo. En la tabla 7.4 se

muestran las medidas y los rangos y las medidas de los últimos 40 subgrupos (los datos están en m ilímetros). a) Calcule los límites de una carta X  R y obtenga las cartas. b) Interprete las cartas (puntos fuera, tendencias, ciclos, alta variabilidad, etc.) c) Dé una estimación preliminar de un índice de inestabilidad, S .

t

d) Tomando en cuenta la narración sobre cómo se controlaba normalmente el proceso que se hizo en el ejercicio 11 y las posibles causas del tipo de patrón de inestabilidad que se observa, ¿Cuál sería su conjetura de lo que e)

está pasando, dada la evidencia de la carta X  R que obtuvo? ¿el proceso muestra una estabilidad o estado de control estadístico razonable?

f)

Aunque dada la situación que muestra la carta X no tiene mucho sentido estimar la capacidad de cualquier forma para darse una idea de cómo sería ésta si el proceso fuera estable, haga una análisis de la capacidad del proceso, para ello: I. Calcule la desviación estándar del proceso. II. Calcule los límites reales del proceso e interprételos. III. Calcule los índices C p , C pk yK e interprételos.

g)

¿qué acciones recomendaría para mejorar el proceso?

SOLUCIÓN:

a)

n5 x  300.775[ mm ] del ejercicio 11 N  40 R  2.61 Como:

LC  x  A2 R

donde: para n=5

Para la carta

X: LCI  300 .775  0.577 * 2.61  LCI  299 .269 LCS  300 .775  0.577 * 2.61  LCS  302 .281

Para la carta

R: LCI  D3 * R  0 * 2.61  0 LCS  D4 * R  2.115 * 2.61  5.52

A2  0.577

b) Para la carta X existen 4 puntos fuera de los límites de control, por lo que se puede concluir que el proceso está fuera de control, y que además existe una elevada variabilidad.

# ptos.especiales * 100% # ptos.totales 4 St  * 100 40  S t  10% St 

c)

d) Por lo apreciado existe indicios de una descalibración de la máquina que está produciendo cada 11 productos. e) No, ya que el coeficiente de inestabilidad ( St  10% ) es muy elevado, debe corregirse las descalibraciones. f) I. II.

 

R 2.61  d 2 2.326

   1.122 LRS    3  300.775  3 *1.122  LRS  304.141 LRI    3  300.775  3 *1.122  LRI  297.409 Estos resultados nos indican que las muestras tienden a seguir una tendencia normal.

III.

ES  EI 305  295  6 6 *1.122  C p  1.49 Cp 

Lo que representa un proceso adecuado de clase 1.

ES     EI 305  300.775 300.775  295 , ]  min[ , ] 3 3 3 *1.122 3 *1.122  1.255

C pk  min[  C pk

Lo que representa que es un proceso apto.

k

  VNo min al

0.5 * ( ES  EI )  k  15.5%

*100% 

300.775  300 0.5 * (305  295)

Lo que nos indica un proceso No Centrado. g) Las accione que se recomienda:  Verificación constante de la calibración.  Mantenimiento preventivo constante.

*100%

7) (Cap.7,No.14)Se desea que la resistencia de un artículo sea de por lo menos 300 psi . Para verificar que se cumple con tal característica de calidad, se hacen pequeñas inspecciones periódicas y los datos se registran en una carta

X  R . El tamaño del subgrupo que se ha usado es de tres artículos, que son tomados de manera consecutiva cada 2 horas. Los datos de los últimos 30 subgrupos se muestran en la tabla 7.5. Conteste: a) ¿Dado que la media de media es 320.73, el proceso cumple con las especificación inferior ( EI  300 )? Explique. b) Calcule los límites de la carta X  R , e interprételos. c) Obtenga las cartas e interprételos (puntos fueran tendencias ciclos, alta variabilidad, etc.). d) Dé una estimación preliminar del índice de inestabilidad, S t . e) f)

¿El proceso muestra una estabilidad o estado de control estadístico razonable? Haga un análisis de la capacidad del proceso, para ello: i. Estime la desviación estándar del proceso. ii. Calcule los límites reales del proceso e interprételos. iii. Obtenga un histograma para los datos individuales. iv. Calcule el índice C pi e interprételo. v. vi.

Con apoyo de la tabla 5.2 (capitulo 5), estime el porcentaje de producto que no cumple con la especificación inferior. ¿el proceso es capaz de cumplir especificaciones?

SOLUCIÓN: Datos:

EI  300[ psi ] n3

a) Como: X  EI Se puede decir que sí se cumple con la especificación, ya que soportar el artículo. b)

320.73  300  20.73[ psi] de exceso puede

X: LCI  320.73  1.023 * 17.2  LCI  303.13 LCS  320.73  1.023 * 17.2  LCS  338.33 Para la carta

Para la carta

R: LCI  D3 * R  0 *17.2  0 LCS  D4 * R  2.5735 *17.2  5.52

Verificando las gráficas se puede cerciorar que el proceso está fuera de control, no hay tendencia, ni variabilidad, pero se presentan ciclos. c)

St 

1 *100%  S t  3.33% 30

d) El índice de estabilidad nos indica que el proceso Sí es Estable. i.



R 17.2  d 2 1.693

   10.16 ii.

LRS    3  320 .73  3 *10.16  LRS  351 .21 LRI    3  320 .73  3 *10.16  LRI  290 .25 iii.

Histograma 12 10 8 6 4 2 lt 0 so iab n Frecu

Series1

medida

iv.

ES  EI 320.73  300  3 3 *10.16  C p  0.68 Cp 

Por lo que el proceso requiere de un control estricto. v.

%  0%

vi.

Por todas las características observad as, el proceso Sí es capaz de cumplir con las especificaciones.

Por lo que en el proceso todos los valores individuales caen por encima de

300[ psi] .

8) (Cap.7,No.30)Los siguientes datos representan los resultados obtenidos de un proceso. Como se aprecia el tamaño de subgrupo es de n  10 , y se tiene un control total de 20 subgrupos. Conte ste: a)

Las celdas para la media y la desviación estándar para los subgrupos 2 y 6 están vacías. Calcúlelas.

b)

Calcule los límites de control para las cartas

X  S e interprételos.

c) Grafique la carta X  S e interprételas. d) ¿el proceso tiene una estabilidad aceptable? Argumente. e) Si hay causas especiales de variación, elimine los correspondientes subgrupos y vuelva a calcular los límites de control. f) Suponiendo unas especificaciones de EI  20 yES  80 , haga un estudio de capa cidad, para ello: i. Estime la desviación estándar del proceso. ii. Calcule los límites reales del proceso e interprételos. iii. Obtenga un histograma para los datos para los datos individuales, inserte especificaciones e interprete con detalle. iv. Calcule índices de capacidad e interprételos.

v.

g)

Con apoyo de la tabla 5.2 (capítulo 5) , estime el porcentaje de producto que no cumple con especificaciones . vi. ¿el proceso es capaz de cumplir especificaciones? ¿A qué aspecto recomendaría centrar esfuerzos de mejora: a capacidad o a estabilidad? Argumente.

SOLUCIÓN: Datos:

a)

n  10 N  20

X2 

X

X6 

X

i2

S2 

(X

i2

(X

i6

10  1  S 2  10.37

10  X 2  54.8 i6

S2 

S  11.20 S ) Para la carta X : LC  x  3( C4 * n 11.20 LCI  50.92  3( ) 0.9727 * 20  LCI  27.75 11.20 LCS  50.92  3( ) 0.9727 * 20  LCS  58.64

b) De la tabla de datos: X  50 .92 y

S : LC  S  3(

LCI  11.20  3(

S ) 1  C4 C4

11.20 ) 1  0.9727 0.9727

 LCI  5.49 LCS  11.20  3(  LCS  16.91

 X 6 )2

10  1  S 6  10.61

10  X 6  47

Para la carta

 X 2 )2

11.20 ) 1  0.9727 0.9727

c)

d) El proceso, observando ambas graficas presenta una variabilidad considerable sob re todo en la carta S. Por lo que se puede concluir que está fuera de control, y su estabilidad no es aceptable. e)

Recalculando sin considerar los datos fuera del LC: Para la carta

X : LC  x  3(

S C4 * n

10.81 ) 0.9727 * 18  LCI  242.57 10.81 LCS  50.43  3( ) 0.9727 * 18  LCS  58.29 LCI  50.43  3(

)

X  50.43 S  10.81

Para la carta

S : LC  S  3(

LCI  10.81  3(

S ) 1  C4 C4

10.81 ) 1  0.9727 0.9727

 LCI  5.30 LCS  10.81  3( f)

10.81 ) 1  0.9727 0.9727

 LCS  16.32

i.

 

S 11.20  C 4 0.9727

   11.51 ii.

iii.

LRS  50.92  3 * 11.51

LRI  50.92  3 *11.51

 LRS  85.45

 LRS  16.39

Tomando 5 intervalos: 6 5 4 3 frecuencia

2 1 0 46-47,76 47,76-49,52 49,52-51,28 51,28-53,04 53,04-54,80 valor

iv.

Los índices de capacidad:

LSE  LIE 80  20  6 6 *11.51 Lo que representa un proceso requiere de un control bastante  C p  0.87 Cp 

estricto. Vale decir que el proceso requiere de modificaciones bastante serias para mejorar.

X  LEI LES  X 50.92  80 80  50.92 , ]  min[ , ] 3s 3s 3 *11.51 3 *11.51  0.84

C pk  min[  C pk

 C pk  C p Por lo que el proceso NO ES CENTRADO y que tendrá que centrarse para obtener el proces o señalado. v.

%

2 * 100 %  %  10% 20

Por lo tanto un 10% de los productos no cumple con las especificaciones señaladas. vi.

Con los resultados obtenidos podemos indicar que el proceso no es capaz y que tendrá que centrarse para cumplir con este objetivo.

g) Sobre todo en el aspecto de la variabilidad, y en la centralización de los datos para cumplir con las especificaciones y la estabilidad del proceso.

9) (Cap8,No.8)Se analiza el porcentaje de defectuosos en un proceso mediante una carta de control “p”, y se encuentra que el proceso es estable, que está en control estadístico, ¿quiere decir que el porcentaje de defectuosos es muy pequeño, y que por lo tanto el proceso funciona bien? SOLUCIÓN: Efectivamente quiere decir que el porcentaje de defectuosos es muy pequeño, porque u na carta de control “p” sirve para controlar el porcentaje de piezas defectuosas sin importar que las muestras sean de distintos tamaños. En cuanto a que el proceso funciona bien o mal, depende de que la proporción de defectuosos caiga dentro o fuera de lo s limites de control, en caso afirmativo, es señal de que el proceso funciona igual que siempre, que su desempeño está dentro de los límites aceptables con las variaciones naturales de todo proceso.

10) (Cap8,No.9)En un proceso se lleva una carta “p”, cuya línea centr al es 0.08. Si se toma un lote de 100 artículos y se obtienen 16 defectuosos, ¿ese lote es anormal?, es decir, ¿en la producción de ese lote el proceso estuvo fuera de control estadístico? Conteste calculando los límites de control considerando n=100 y p=0 .08. SOLUCIÓN:

Datos:

p  0.08 n  100  # defectuoso s  16

Límites de control:

LC  p  3

p (1  p ) ni

0.08(1.0.0) 100  LSC  0.1613 LSC  0.08  3

0.08(1.0.0) 100 3  LIC  1.38 * 10 LIC  0.08  3

La proporción de defectuosos de defectuosos:

Pi 

x 16   0.16 n 100

Interpretando esta proporción dentro de los límites de control:

LCI  Pi  LSC   1.38 * 10 3  0.16  0.1613 Por lo que se puede interpretar que el lote se encuentra dentro de los límites, y es considerado como aceptable o normal. En la producción el lote estuvo bajo control estadístico aunque está al límite.

11) (Cap.8,No.10)En un proceso de producción se produce por lotes de tamaño 500, en l a inspección final de los últimos 30 lotes se obtuvieron la siguiente cantidad de artículos defectuosos (los datos están en orden horizontal). 11 12 15 17 11 10 13 25 17 13 11 12 17 8 12 11 20 15 12 17 18 14 10 a) b) c) d) e)

8 10 6 7 5 9 6

Calcule los límites de control para una carta p. Grafique la carta p e interprétela. ¿El proceso es estable? Con sus palabras diga que significan los límites de control y la línea central. A partir del lote 20 se empezó a ejecuta r un plan de mejora, ¿hay algún tipo de evidencia de que el plan haya dado resultado?

SOLUCIÓN: Datos:

500,

30

a) Los limites de control: 

372  0.025 500 * 30 0.025 * (1  0.025) LCS  0.025  3 *  0.0457 500 p

LCI  0.025  3 *

0.025 * (1  0.025)  0.00385  0 500

b)

N

Pi

N

1 2

0.022 0.024

16 17

0.022 0.040

3 4 5

0.030 0.034 0.022

18 19 20

0.030 0.024 0.034

6 7 8

0.020 0.026 0.050

21 22 23

0.036 0.028 0.020

9 10

0.034 0.026

24 25

0.016 0.020

11 12 13

0.022 0.024 0.034

26 27 28

0.012 0.014 0.010

14

0.016

29

0.018

15

0.024

30

0.012

El proceso está fuera de control ya existe tendencia negativa y ciclic idad

Pi

c)

vo

Tomando en cuenta al 8 lote podemos afirmar que el proceso No esta bajo control estadístico así también por la forma de la grafica existe una clara variación de los datos volviéndolo al proceso en inestable.

d) Los límites de control representan el nivel de tolerancia real de nuestro proceso productivo en funci ón a la variación de nuestros datos. La línea central representa el valor medio real de nuestro proceso cuya finalidad es aproximarse lo más posible al valor nominal que se encuentra como parámetro estándar de calidad. e)

Por el nivel de tendencia que se puede apreciar en la grafica de control “p” si se puede evidenciar claramente la mejora implantada puesto que es fácilmente r econocible a una considerable distancia de artículos defectuosos.

12) (Cap.8,No.13)Para analizar el desempeño de una empresa y tratar de mejorarlo, se decide analizar la proporción de defectuosos. Para ello se toman subgrupos de tamaño 200 y se cuantifica la cantida d de defectuosos. Los datos obtenidos durante 6 días son los siguientes. 10 6 12 7 9 6 8 9 8 6 10 9 13 9 11 6 15 7 4 8 a) Calcule los límites de control para una carta p, y explique el significado de los límites de control que obtuvo. b) Mediante una carta p analice los datos y obtenga conclusiones. c) De acuerdo a los costos de producción el nivel de defectuosos máximo tolerable es de 5%. Con base en esto alguien sugiere que el límite de control superior de la carta p debe ser 0.05, ¿es correcta esta sugerencia? SOLUCIÓN: Datos:

200,

20

a) Los limites de control: 

106  0.0265 200 * 20 0.0265 * (1  0.0265) LCS  0.0265  3 *  0.0605 200 p

LCI  0.0265  3 *

0.0265 * (1  0.0265)  0.00757  0 200

Para LC: se esperaba que lo proporción de defectuosos no supere el 6.05% y tenga una media aproximada del 2.65% de unidades defectuosos.

b)

N

Pi

N

Pi

1 2

0,035 0,020

11 12

0,020 0,030

3 4 5

0,025 0,025 0,030

13 14 15

0,020 0,030 0,020

6 7 8

0,020 0,015 0,020

16 17 18

0,025 0,040 0,015

9 10

0,035 0,030

19 20

0,035 0,040

Evaluando la grafica el proceso está bajo control y por la poca variabilida d de los datos, decir que es un proceso estable y que funciona con normalidad. c)

Lógicamente que NO! debido a que si se proponen limites, estos no están sujetos a las variaciones mismas del proceso y no reflejaría la realidad en la que se trabaja.

13) (Cap.8,No.24)En un hotel se ha llevado el registro de queja de los clientes desde hace 15 semanas con el numero de clientes por semana, los datos se muestran en la tabla 8,8. a)

Calcule los límites de control para una carta u para el número de quejas por cliente e interprete los límites que obtenga. b) Grafique la carta u correspondiente y analícela. c) ¿La estabilidad del proceso es aceptable? d) ¿Considere que la calidad en el hotel es buena? Explique. e) ¿Cómo aplicaría un análisis de Pareto para enfocar mejor un proyecto de mejoras?

f)

¿Si mejora o empeora la calidad, como se daría cuenta a trabes de esta carta de control? 1 2 3

114 153 115

11 15 5

0.096 0.098 0.043

4 5 6

174 157 219

14 16 11

0.080 0.102 0.050

7 8

149 147

10 9

0.067 0.061

9 10 11

131 91 112

10 10 10

0.076 0.110 0.089

12 13 14

158 244 111

11 30 11

0.070 0.123 0.099

15

120 Total

11 2195

0.092 184

SOLUCIÓN: a) 

u

184  0.0838 2195 

LCS  u  3 *



u 

n



 n

2195  146 .333 15

0.0838  0.01556 146.333 0.0838 LCI  0.0838  3 *  0.012 146.333 LCS  0.0838  3 *

Se esperaba que se presente de 0.012 a 0.01556 quejas por cliente con un promedio de 0.0838. b) Con los datos de la tabla 8,8 graficar:

Por lo visto existe una cierta tendencia ascendente así como también existe ciclisidad en los datos. c)

Por el momento si es estable el proceso, pero por la tendencia del proceso podrían elevarse los niveles de quejas en el futuro volviendo al proceso en un mal servicio hotelero.

d) Por lo visto párese que ya sí que la proporción de quejas no sobrepasa los límites esperados. e)

Podrían estratificarse causas relevantes de las quejas y medirles a estas sus frecuencias de ocurrencia para posteriormente determinar el 20% de las causas más importantes que provocan el 80% de l as quejas totales.

f)

Según el comportamiento de la misma, si presenta una tendencia ascendente o valores por encima de la 

media ( u ), la calidad está disminuyendo, mas por el contrario, de la tendencia es descendiente o los valores se encuentran bajo la media, entonces la calidad aumenta. 14) En el problema anterior tome en cuenta solo el número de quejas y analícelas mediante una carta de co ntrol c. Específicamente a) Calcule los límites de control para una carta c e interprete los límites obtenidos. b) Obtenga la cata c y analícela. c) ¿Obtiene los mismos resultados que con la carta u? Explique.

SOLUCIÓN: a) Los límites de control: 

184  12.267 15 LCS  12.267  3 * 12.267  22.774

c

LCI  12.267  3 * 12.267  1.759 b) Con los datos obtenidos graficamos:

N

Pi

N

Pi

1 2

0,020 0,030

9 10

0,020 0,020

3 4 5

0,008 0,029 0,035

11 12 13

0,020 0,022 0,065

6 7 8

0,022 0,018 0,016

14 15

0,022 0,022

El servicio hotelero dado sus características no está bajo control estadístico requiere un relativo nivel de mejoras para volver a estabilizar el servicio. c)

Como se menciono en la carta u, ambos presentan una clara variación en el subgrupo Nº 13 que tiende a variar el comportamiento global del proceso volviéndolo inestable o con una clara tendencia asce ndente negativa a un buen nivel de calidad.