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Circuitos Eléctricos I

VII

Circuitos de Segundo Orden

Circuitos de Segundo Orden

Objetivos: o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RLC o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RLC a través de las raíces de la ecuación característica de la red o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden o Discutir la respuesta de un circuito de segundo orden a una función exponencial y senoidal Introducción En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos. Comenzaremos nuestro estudio con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito. 7.1

Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden

Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura 7.1.1 v(t) + vC(t0) i(t) iL(t0) is(t)

R

L

(a)

L

C

C R

vs(t) (b) Figura 7.1.1

Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba: iR + iL+iC = is(t), es decir:

dv (t ) v (t ) 1 t + ∫ v ( x ) dx + i L (t 0 ) + C = i s (t ) t dt R L 0

De manera similar, la ecuación para el circuito RLC serie se puede obtener aplicando LKV a la malla existente: vR + vC+vL = vs(t), es decir: R i +

1 t di (t ) i ( x) dx + vC (t 0 ) + L = v s (t ) ∫ C t0 dt

Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos 202

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depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con respecto al tiempo, obtenemos: C

d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) di s (t ) + + = , que podemos expresarla como: R dt L dt dt 2

d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) 1 di s (t ) + + = y 2 RC dt LC C dt dt L

d 2 i (t ) di (t ) i (t ) dv s (t ) +R + = , que podemos expresarla como: 2 dt C dt dt

d 2 i (t ) R di (t ) i (t ) 1 dv s (t ) + + = L dt LC L dt dt 2 Como ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación. 7.2

Solución a la ecuación diferencial de segundo orden

Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis de los circuitos RLC. De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma: d 2 x(t ) dx(t ) + a1 + a 2 x(t ) = f (t ) 2 dt dt Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada xf(t) y la respuesta natural xn(t), entonces la solución completa de la ecuación original es: x(t) = xf(t) + xn(t) Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f(t) = A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t) = K (donde K es una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la respuesta forzada como sigue: d 2K dK + a1 + a 2 K = A , se obtiene K = A/a2 = xf(t), por tanto la solución total será: 2 dt dt x(t) = A/a2 + xn(t) Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo orden igual cero:

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d 2 x(t ) dx(t ) + a1 + a 2 x(t ) = 0 , donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y 2 dt dt simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma: d 2 x(t ) dx(t ) + 2ζω n + ω n2 x(t ) = 0 , donde hemos hechos las siguientes sustituciones 2 dt dt simples para las constantes a1 = 2ζω y a2 = ωn2. Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuación de primer orden, la solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación homogénea se hará idénticamente cero para todo t. Suponemos una solución exponencial para la respuesta natural, xn(t) = K℮st y sustituimos está expresión en la ecuación homogénea, para obtener: s2K℮st + 2ζωnsK℮st + ωn2K℮st = 0, Dividiendo ambos lados de la ecuación entre K℮st se obtiene: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0 Esta ecuación comúnmente se llama ecuación característica; ζ se llama razón o coeficiente de amortiguamiento y a ωn se le llama frecuencia resonante no amortiguada. La importancia de ésta terminología se hará clara conforme avancemos con el desarrollo de este análisis. Si ésta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta xn(t) = K℮st es correcta. Empleando la fórmula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se satisface si: s=

− 2ζω n ± 4ζ 2ω n2 − 4ω n2 2

= −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

Por lo tanto hay dos valores de s, s1 y s2 que satisfacen la ecuación característica s1 = −ζω n + ω n ζ 2 − 1

y

s 2 = −ζω n − ω n ζ 2 − 1

Esto significa que xc1 (t ) = K1e s1t es una solución de la ecuación homogénea y que xc 2 (t ) = K 2 e s2t también es una solución a la ecuación homogénea; es decir,

d2 d ( K1e s1t ) + 2ζωn ( K1e s1t ) + ωn2 K1e s1t = 0 y dt dt d2 d ( K 2 e s2t ) + 2ζωn ( K 2 e s2t ) + ωn2 K 2 e s2t = 0 dt dt La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad

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d2 d ( K1e s1t + K 2 e s2t ) + 2ζωn ( K1e s1t + K 2 e s2t ) + ωn2 ( K1e s1t + K 2 e s2t ) = 0 dt dt Es importante advertir que la suma de las dos soluciones también es una solución. Por lo tanto, en general, la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la forma: xn (t ) = K1e s1t + K 2 e s2t

Donde K1 y K2 son constantes que pueden ser evaluadas vía las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Por ejemplo ya que:

dx(t ) dx(0) = = s1 K1 + s 2 K 2 dt t =0 dt De aquí, x(0) y dx(0)/dt producen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven dan las constantes K1 y K2. x(t ) = K1e s1t + K 2 e s2t , entonces,

7.3

x(0) = K1 + K2 y

Respuesta natural de los circuitos de segundo orden

Un examen minucioso de las ecuaciones s1 y s2 indica que la forma de la solución de la ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ > 1, las raíces de la ecuación característica s1 y s2, también llamadas frecuencias naturales debido a que determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las raíces son números complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las raíces son reales e iguales. Cada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún detalle. 7.3.1 Respuesta sobre amortiguada Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, por tanto, la respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la forma: xn (t ) = K1e s1t + K 2 e s2t , donde s1 y s2 toman los valores:

s1 = −ζω n + ω n ζ 2 − 1 y s 2 = −ζω n − ω n ζ 2 − 1 Donde K1 y K2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta natural es la suma de dos exponenciales decrecientes.

7.3.2 Respuesta Subamortiguada Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solución se le llama respuesta subamortiguada. Como ζ < 1, las raíces de la ecuación característica dada pueden escribirse como: 205

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s1 = −ζω n + jω n 1 − ζ 2 = −σ + jω d s1 = −ζω n − jω n 1 − ζ 2 = −σ − jω d Donde j = − 1 , σ = ζω n y ω d = ω n 1 − ζ 2 . Así las frecuencias naturales son números complejos. La respuesta natural es entonces: xn (t ) = K1e − (σ − jωd ) t + K 2 e − (σ + jωd ) t , que se puede escribir como: xn (t ) = e −σ t ( K1e jωd t + K 2 e − jωd t )

Utilizando las identidades de Euler e ± jθ = cos θ ± jsenθ , obtenemos: xn (t ) = e −σ t [ K1 (cos ωd t + jsenωd t ) + K 2 (cos ωd t − jsenωd t )] , reduciendo esto tenemos: xn (t ) = e −σ t [( K1 + K 2 ) cos ωd t + ( jK1 − jK 2 ) senωd t ] , que lo podemos escribir como: xn (t ) = e −σ t ( A1 cos ωd t + A2 senωd t )

Donde A1 y A2 como K1 y K2 son constantes que se evalúan usando las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K1 y K2 serán complejos y K2 = K1*. A1 = K1 + K2 es, por tanto, dos veces la parte real de K1 y A2 = jK1 - jK2, es dos veces la parte imaginaria de K1. A1 y A2 son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada.

7.3.3 Respuesta críticamente amortiguada Por último el caso en que ζ = 1, en este caso a la solución se le llama respuesta críticamente amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las raíces s1 y s2 se hacen cero y esto genera: s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente xn (t ) = K 3e −ζωnt donde K3 = K1 + K2. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la única constante K3. En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una solución de la siguiente manera. Si se sabe que x1(t) es una solución de la ecuación homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x(t) = x1(t)y(t) podemos transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(t)/dt. Como esta ecuación resultante es sólo una función de y(t), puede resolverse para encontrar la solución general x(t) = x1(t)y(t) 206

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Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aquí, la ecuación básica es: d 2 x(t ) dx(t ) + 2α + α 2 x(t ) = 0 y una solución conocida es x1 (t ) = K 3e −α t 2 dt dt Empleando la sustitución x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αty(t), la ecuación cuadrática se convierte en d2 [ K 3e−α t y (t )] + 2α [ K 3e−α t y (t )] + α 2 K 3e −α t y (t ) = 0 2 dt Evaluando las derivadas obtenemos: d dy (t ) [ K 3e −α t y (t )] = −α K 3e −α t y (t ) + K 3e −α t dt dt 2 d2 −α t −α t −α t dy (t ) −α t d y (t ) 2 [ K e y ( t )] = α K e y ( t )] − 2 α K e + K e 3 3 3 3 dt 2 dt dt 2

Si sustituimos esas expresiones en la ecuación precedente se obtiene: K 3e

−α t

d 2 y (t ) d 2 y (t ) = 0 . Por lo tanto = 0 , y de aquí, dt 2 dt 2

y(t) = A1 + A2t. Por ende la solución general es: x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αt(A1 + A2t), la cual xn(t) puede escribirse como:

Críticamente amortiguado

xn (t ) = x2 (t ) = B1e −ζωnt + B2 t e −ζωnt , donde B1 + B2 son constantes derivadas de las condiciones iniciales.

La Figura 7.3.1 ilustra gráficamente los tres casos para las situaciones en las que xn(0) = 0. Advertimos que la respuesta críticamente 0 amortiguada tiene un pico y decae más xn(t) rápido que la respuesta sobre amortiguada. La respuesta subamortiguada es una senoide exponencialmente amortiguada cuya velocidad de decaimiento depende del 0 factor ζ. En realidad los términos ± e −ζωnt definen lo que se llama la envolvente de la respuesta, y las oscilaciones amortiguadas (es decir, las oscilaciones de amplitud decreciente) exhibidas por la forma de onda 207

Sobre amortiguado

t Subamortiguado

℮-αt

t

Figura 7.3.1 C.R. Lindo Carrión

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de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas. Analizaremos ahora una serie de ejemplos de circuitos RLC simples que contienen condiciones iniciales diferentes de cero y funciones forzantes constantes, considerando circuitos que exhiben respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamente amortiguada. v(t)

Ejemplo 7.3.1 Considere el circuito paralelo de la Figura 7.3.2, con R R = 2Ω, C =1/5 F, y L = 5H, con condiciones iniciales iL(0) = -1A y vC(0) = 4V. Encuentre el voltaje v(t).

L iL(0)

C

+ vC(0) -

Figura 7.3.2 Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKC. iR + iL + iC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: v(t ) 1 t dv (t ) + ∫ v ( x )dx + i L (t 0 ) + C = 0 , derivando esta expresión con respecto al t R L 0 dt tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:

d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) + + =0 2 RC dt LC dt Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos: d 2 v(t ) dv(t ) + 2.5 + v(t ) = 0 2 dt dt Entonces la ecuación característica será: s2 + 2.5s + 1 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -2 y s2 = -0.5 Como las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v(t) será de la forma: v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) + + = 0 , con la expresión: 2 RC dt LC dt 208

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d 2 x(t ) dx(t ) + 2ζω n + ω n2 x(t ) = 0 , y quitando la variable v(t) que buscamos, obtenemos 2 dt dt la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = 1/RC y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de 1 1 L amortiguamiento es ζ = y la frecuencia resonante es ω n = 2R C LC y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 1.25 y ωn = 1 rad/s Como: ζ > 1 entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -2 y s2 = -0.5,

y la solución toma la forma: v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t

Las condiciones iniciales se emplean ahora para determinar las constantes K1 y K2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = K1℮0 + K2℮0 = K1 + K2 = 4. La segunda ecuación necesaria para determinar = K1 y K2 normalmente se obtiene de la expresión: dv(t ) = −2 K1e −2t − 0.5 K 2 e −0.5t dt

Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:

i (t ) dv(t ) 1 v(t ) dv (t ) =− v(t ) − L + i L (t ) + C = 0 , que al despejar tenemos: dt RC C dt R i (0) 1 dv(0) =− v(0) − L = −2.5(4) − 5(−1) = −5 , dt RC C entonces formamos la otra ecuación que nos hacia falta

Y evaluándola para t = 0, obtenemos:

dv(0) = −2 K1e0 − 0.5 K 2 e0 = −5 . El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas dt formado es:

− 2 K1 − 0.5K 2 = −5 K1 + K2 = 4. Multiplicando ésta ecuación por 2 y efectuando la reta de ambas se obtiene: -2K1 – 0.5K2 = -5 2K1 + 2K2 = 8 (3/2) K2 = 3 así K2 = 2 y K1 = 4 - K2 = 4, entonces K1 =2 Por lo tanto v(t) es: 209

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v(t) = 2℮-2t + 2℮-0.5t La gráfica del voltaje con respecto al tiempo se muestra en la Figura 7.3.3 y La corriente n la bobina se relaciona con v(t) mediante la ecuación i L (t ) =

1 v(t )dt , entonces sustituyendo el valor de v(t) obtenemos: L∫

1 iL (t ) = ∫ [2e −2t + 2e −0.5t ]dt , por lo 5 tanto la corriente en la bobina será:

v(t) (V) 4

1 4 iL (t ) = − e −2t − e −0.5t A 5 5 0.6

Ejemplo 7.3.2

0

1

2

3

Figura 7.3.3 El circuito RLC serie que se muestra i(t) iL(0) en la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F, L = 1H, R = 6Ω, iL(0) = 4A y vC(0) = -4V. Determinemos la L expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el R R C capacitor.

t (s)

vC(0)

Figura 7.3.4

Solución:

Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKV. vR + vL + vC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: di (t ) 1 t + ∫ i ( x)dx + vC (t 0 ) = 0 , derivando esta expresión con respecto al dt C t0 tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene: R i (t ) + L

d 2 i (t ) R di (t ) i (t ) + + =0 L dt LC dt 2 Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos: d 2 i (t ) di (t ) +6 + 25i (t ) = 0 2 dt dt Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 25 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 +j4 y s2 = -3 – j4 210

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Como las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es submortiguada e i(t) será de la forma: i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: d 2 i (t ) R di (t ) i (t ) + + = 0 , con la expresión: L dt LC dt 2 d 2 x(t ) dx(t ) + 2ζω n + ω n2 x(t ) = 0 , y quitando la variable i(t) que buscamos, obtenemos 2 dt dt la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = R/L y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de 1 R C amortiguamiento es ζ = y la frecuencia resonante es ω n = 2 L LC y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 0.6 y ωn = 5 rad/s Como: ζ < 1 entonces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -3 + j4 y s2 = -3 – j4,

Y la solución toma la forma:

i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de A1 y A2. Como i(t) = iL(t) entonces: iL(0) = i(0) = A1℮0cos0 + A2℮0sen0 = 4, entonces obtenemos A1 = 4 La segunda ecuación necesaria para determinar = A1 y A2 normalmente se obtiene de la expresión: di (t ) = −4 A1e −3t sen 4t − 3 A1e −3t cos 4t + 4 A2 e −3t cos 4t − 3 A2 e −3t sen 4t dt

Y así

di (0) = −4 A1e0 sen0 − 3 A1e 0 cos 0 + 4 A2 e 0 cos 0 − 3 A2 e0 sen0 dt di (0) = −3 A1 + 4 A2 dt

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Sin embargo, la segunda condición inicial es di(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación de malla inicial podemos despejar dicha derivada, así: R i (t ) + L

di (t ) + vC (t ) = 0 , que al despejar obtenemos: dt

v (t ) R di(t ) = − C − i (t ) , que evaluado en t = 0 se obtiene: dt L L v (0) R 4 6 di(0) =− C − i(0) = − 4 = −20 1 1 dt L L Por lo tanto − 3 A1 + 4 A2 = −20 y como A1 = 4, entonces A2 = -2, así la expresión para i(t) es: i(t) = 4℮-3tcos4t - 2℮-3tsen4t A Ahora el voltaje en el capacitor puede vC (V) determinarse vía la LKV usando la corriente 8 encontrada: di (t ) , entonces dt sustituimos el valor de i(t) y obtenemos: vC (t ) = − R i (t ) − L

vC(t) = -24℮-3tcos4t + 12℮-3tsen4t +16℮-3tsen4t -4 + 12℮-3tcos4t + 8℮-3tcos4t - 6℮-3tsen4t vC(t) = -4℮-3tcos4t + 22℮-3tsen4t V. La gráfica del voltaje se muestra en la Figura 7.3.5

0

0.3 0.5

t (s)

1.5

1

Figura 7.3.5 i(t)

Ejemplo 7.3.3

Para el circuito mostrado en la Figura 7.3.6 se pide encontrar el valor de v(t) e i(t), sabiendo que: R1 = i (0) L 10Ω, R2 = 8Ω, C = 1/8F, L = 2H, vC(0) = 1V, iL(0) = L vC(0) 1/2A

R1

C

+ v(t) -

R2

Figura 7.3.6

Solución:

Primero encontraremos v(t) y luego i(t). Para v(t), necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación de leyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así: vL + vR1 + v(t) = 0 y sustituyendo obtenemos:

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L

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di (t ) + R1i (t ) + v(t ) = 0 (1) dt

Ahora aplicamos LKC al nodo entre R1 y R2, para obtener: i(t) = iC + iR2 = 0 y sustituyendo obtenemos:

i (t ) = C

dv (t ) v(t ) (2) + dt R2

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y reacomodando, obtenemos:

R1 ⎞ dv(t ) ⎛ R1 + R2 d 2 v(t ) ⎛ 1 ⎜ + + ⎜ R C L ⎟⎟ dt + ⎜⎜ R LC dt 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2

⎞ ⎟⎟v(t ) = 0 ⎠

Sustituyendo por los valores de los componentes, se obtiene: d 2v / t) dv(t ) +6 + 9v(t ) = 0 2 dt dt Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 9 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = s2 = -3 Como las raíces son reales e iguales entonces la respuesta del circuito es críticamente amortiguada y v(t) será de la forma: v(t) = B1℮-3t + B2t℮-3t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de B1 y B2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = B1℮0 + B2(0)℮0 = 1, entonces obtenemos B1 = 1 La segunda ecuación necesaria para determinar = B1 y B2 normalmente se obtiene de la expresión: dv(t ) = −3B1e −3t + B2 e −3t − 3B2te −3t , y evaluándola en t = 0, se obtiene: dt dv(0) = −3B1e0 + B2 e0 − 3B2 (0)e0 dt dv (0) = −3B1 + B2 dt

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Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación (2) que del análisis nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así: dv(t ) i (t ) v(t ) , evaluando para t = 0, = − dt C R2 C vC (V) dv(0) i (0) v(0) 1 / 2 1 = − = − =3 dt C R2 C 1 / 8 8 / 8 1.3

Por lo tanto -3B1 + B2 = 3 y como B1 = 1, entonces B2 = 6, así la expresión para v(t) es:

1

v(t) = ℮-3t + 6t℮-3t V. La gráfica del 0.2 voltaje se muestra en la Figura 7.3.7 Entonces la corriente i(t) puede determinarse de la ecuación (2) del análisis nodal inicial, así: i (t ) = C

0

0.3 0.5

1

2

3 t (s)

Figura 7.3.7

dv (t ) v(t ) , sustituyendo el valor de v(t) en dicha ecuación, obtenemos: + dt R2

i(t) = (1/8)(-3℮-3t + 6℮-3t – 18t℮-3t) + (1/8)( ℮-3t + 6t℮-3t) i(t) = (1/2)℮-3t – (3/2)t℮-3t A

7.4

Respuesta Forzada y Completa de Circuitos de Segundo Orden

Una vez obtenida la ecuación diferencial de segundo orden que describe el circuito, que de forma general es: d 2 x(t ) dx(t ) + a1 + a 2 x(t ) = f (t ) 2 dt dt La respuesta forzada xp(t) debe satisfacer dicha ecuación. Por tanto, al sustituir xp(t) en la ecuación se tiene:

d 2 x p (t ) dt 2

+ a1

dx p (t ) dt

+ a 2 x p (t ) = f (t )

Se necesita determinar una xp(t) tal que ésta y sus primera y segunda derivadas satisfagan la ecuación anterior. Si la función forzada es una constante, es de esperarse que la respuesta forzada sea también una constante, dado que las derivadas de una constante son cero. Si la función

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forzada es de la forma exponencial como f(t) = B℮-at , entonces las derivadas de f(t) son todas exponenciales de la forma Q℮-at y se espera que xp(t) = D℮-at. Si la función forzada es una función senoidal, puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal. Si f(t) = Asenωot, se intentará con: xp(t) = Msenωot + Ncosωot = Qsen(ωot + θ) A continuación presentamos algunas funciones forzadas y su supuesta solución Funciones Forzadas

Solución supuesta

K Kt Kt2 Ksenωt K℮-at

A At +B At2 + Bt + C Asenωt + Bcosωt A℮-at

Ahora veamos algunos ejemplos. v(t)

Ejemplo 7.4.1

i(t)

Determine la respuesta forzada de la corriente i u(t) del inductor ip(t) en el circuito RLC paralelo f -2t mostrado en la Figura 7.4.1 cuando if = 8℮ , R = 6Ω, L = 7H y C = (1/42)F.

R

L

C

Figura 7.4.1 Solución: Primero necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello aplicaremos LKC al nodo superior: iR + i(t) + iC = if , entonces, v(t) / R + i(t) + Cdv(t)/dt = if, pero como el voltaje del capacitor es el mismo que el voltaje del inductor por estar en paralelo, hacemos uso de v(t) = Ldi(t)/dt, sustituyendo esto en la ecuación nodal obtenida y reacomodando, tenemos: if d 2 i (t ) 1 di (t ) 1 + + i (t ) = , sustituyendo los valores obtenemos: 2 RC dt LC LC dt d 2i (t ) di (t ) +7 + 6i (t ) = 48e −2t 2 dt dt Como la única respuesta solicitada es la respuesta forzada, entonces suponemos que ip(t) será de la forma:

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Circuitos de Segundo Orden

ip(t) = A℮-2t, entonces la sustituimos en la ecuación diferencial para encontrar el valor de A, así: 4A℮-2t + 7(-2A℮-2t) + 6A℮-2t = 48℮-2t, entonces, (4 – 14 + 6)A℮-2t = 48℮-2t, entonces A = -12 por lo tanto la respuesta forzada será: ip(t) = -12℮-2t A

Ejemplo 7.4.2 Determinemos el voltaje de salida v(t) para t > 0, en el circuito mostrado en la 24V Figura 7.4.2 El circuito para t < 0 esta en estado estable. Los valores son: R1 = 10Ω, R2 = 2Ω, L = 2H, C = (1/4)F.

t=0

L

R1

i(t) + C

R2

12V

-

Figura 7.4.2

L

R1

i(t)

Solución: Primero debemos redibujar nuestro circuito para t > 0, como es mostrado en la Figura 7.4.3.

v(t)

+

24V

C

R2

12V

v(t) -

Figura 7.4.3

Ahora tenemos que encontrar la ecuación diferencial que describe el circuito, para ello hay que utilizar las herramientas de análisis de circuitos. En este caso, haremos una combinación de dos leyes para poder obtener la ecuación diferencial. Primero aplicaremos LKV a la malla de la izquierda del circuito, así obtenemos: di (t ) + R1i (t ) + v(t ) = 24 (1) y aplicando LKC al nodo de salida obtenemos otra dt ecuación, L

dv (t ) v(t ) (2), como buscamos v(t), entonces sustituimos la ecuación (2) en + dt R2 la ecuación (1) para obtener la ecuación diferencial en función de v(t), y reacomodando se obtiene: i (t ) = C

R ⎞ dv(t ) ⎛ R1 + R2 ⎞ d 2v / t) ⎛ 1 24 ⎟⎟v(t ) = + ⎜⎜ + 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 LC dt ⎝ R2 C L ⎠ dt ⎝ R2 LC ⎠ Sustituyendo los valores de lo s componentes en la ecuación diferencial se obtiene:

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Circuitos de Segundo Orden

d 2v / t) dv(t ) +7 + 12v(t ) = 48 2 dt dt De aquí, la ecuación característica es: s2 + 7s + 12 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 y s2 = -4 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vn(t) = K1℮-3t + K2℮-4t Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vp(t) = K3, por lo tanto la solución general es: v(t) = K1℮-3t + K2℮-4t + K3 Para obtener el valor de K3, lo sustituimos en la ecuación diferencial y obtenemos que: 10Ω

K3 = 48/2 = 4, Otra forma de encontrar el valor de K3, es considerando el circuito para t > 0 en estado estable, como se muestra en la Figura 7.4.4 y 24V así encontrar v(t) en estado estable, a través de un divisor de voltaje,

+ 2Ω

v(t) -

Figura 7.4.4

v(t) = (2/12)24 = 4V, entonces K3 = 4

iL(0-)

10Ω

Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos 12V redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.4.5

+

+ -

vC(0 ) -

2Ω

v(0-) -

Figura 7.4.5 Entonces iL(0-) =12/12 = 1A y vC(0-) = (2/12)12 = 2V, así como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = i(0+) y vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0+), entonces podemos evaluar v(t) en t = 0 y obtener la primera ecuación, así: v(0) = K1 + K2 + 4 = 2, reduciendo se tiene: K1 + K2 = -2 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así: dv(t)/dt = -3K1℮-3t - 4K2℮-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dv(0)/dt = -3K1 - 4K2

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Circuitos de Segundo Orden

De la ecuación nodal (2) que utilizamos para obtener la ecuación diferencial podemos despejar la primera derivada de v(t), evaluarla en t = 0 y encontrar su valor para utilizarlo en la ecuación anterior, así dv(t ) i (t ) v (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos: = − dt C R2 C dv(0) i (0) v(0) 1 2 = − = − = 0 , así la segunda ecuación es: dt C R2 C 1 / 4 2 / 4

dv(0)/dt = -3K1 - 4K2 = 0, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = -8 y K2 = 6, por lo tanto la respuesta completa del circuito es: v(t) = -8℮-3t + 6℮-4t + 4 V

7.5

Problemas Resueltos

Ejemplo 7.5.1 Encuentre io(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura t = 0 7.5.1 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor.

v(t) io(t) 1A

1H

1Ω

iL(t) 2

2/5 F

5Ω

Figura 7.5.1

Solución: Para encontrar io(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego el voltaje del capacitor que es igual al voltaje v(t) ya que todos los elementos se encuentran en paralelo, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar io(t) como:

v(t) io(t) 1A

1H

1Ω

iL(t) 2

2/5 F

5Ω

Figura 7.5.2

io(t) = v(t)/5 El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.2. Para encontrar v(t) aplicamos la LKV al nodo superior, así:

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Circuitos Eléctricos I 1+

Circuitos de Segundo Orden

dv(t ) ⎡ 1 t 1 ⎡1 t ⎤ v(t ) v(t ) ⎤ v ( x )dx + i L (t o )⎥ = + +C + ⎢ ∫ v ( x)dx + i L (t o )⎥ ∫ ⎢ t t o o dt 2 ⎣L 1 5 ⎦ ⎣L ⎦

Esta expresión integro-diferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así:

d 2 v(t ) ⎡ 1 ⎡ 1 ⎤ dv(t ) dv(t ) ⎤ ⎢ 2 L v(t )⎥ = 1dt + 5dt + C dt 2 + ⎢ L v(t )⎥ , reacomodando y sustituyendo valores ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ de L y C, obtenemos: d 2 v(t ) dv(t ) 5 +3 + v(t ) = 0 , 2 dt 4 dt Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 3s + 5/4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -1/2 y s2 = -5/2 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v(t) = K1℮-t/2 + K2℮-5t/2 Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.3.

1A

1Ω

iL(0-)

iL(0-) 2

+ vC(0-) -

5Ω

Figura 7.5.3

Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = v(0) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de v(t), obtenemos: v(0) = K1 + K2 = 0, que es la primera ecuación, La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta v(t), así: dv(t)/dt = -(1/2)K1℮-t/2 – (5/2)K2℮-5t/2 y evaluándola para t = 0 obtenemos: dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2

219

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Circuitos de Segundo Orden

Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que utilizamos para obtener la ecuación diferencial y despejamos la primera derivada de v(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: dv(t ) 5 5 = − i L (t ) − 3v (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos: dt 2 4 dv (0) 5 5 5 5 = − i L (0) − 3v (0) = − 0 − 0 = , así la segunda ecuación es: dt 2 4 2 2

dv(0)/dt = -(1/2)K1 – (5/2)K2 = 5/2, Resolviendo para K1 y K2 obtenemos: K1 = 5/4 y K2 = -(5/4), entonces el voltaje v(t) es: i (t) (mA) o

v(t) = (5/4)℮-t/2 – (5/4)℮-5t/2 V, por lo tanto la 140 corriente io(t) será: io(t) = v(t)/5 = (1/4)℮-t/2 – (1/4)℮-5t/2 A La figura 7.5.4 muestra io(t) 0

1

3

2

4

5

t (s)

Figura 7.5.4

Ejemplo 7.5.2 Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.5 y grafique la respuesta incluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el 24V interruptor.

t=0

12KΩ

250pF 1KΩ 250pF

6KΩ

3KΩ

+ vo(t) -

2mH

Figura 7.5.5

Solución:

Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y encontrar luego la corriente del inductor, para luego aplicar la ley de Ohm y encontrar vo(t) como: 125pF 1KΩ

12KΩ

vo(t) = iL(t)*3K El circuito para t > 0, se muestra en la 24V figura 7.5.6. Para encontrar iL(t) haremos uso del análisis de malla como es mostrado en la figura arriba.

i1

6KΩ

3KΩ

i2 iL(t)

2mH

+ vo(t) -

Figura 7.5.6

Aplicando LKV a la malla 1 tenemos: 24 = (12K + 6K)i1 - 6Ki2 (1)

220

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(1K + 3K + 6 K )i2 +

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di 1 t i2 ( x)dx + v(t o ) + L 2 − 6 Ki1 = 0 (2) ∫ C to dt

De la ecuación 1 podemos despejar i1 en función de i2, así:

i1 =

24 + 6 Ki2 , e introducirla en la ecuación 2 para obtener: 18K

(10 K )i2 +

di 1 t i2 ( x)dx + v(t o ) + L 2 − 8 − 2 Ki2 = 0 (3) ∫ C to dt

Ahora como la corriente de malla i2 coincide con la corriente del inductor iL(t) y derivando la ecuación integro-diferencial de arriba, obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito: di L (t ) d 2 i L (t ) di (t ) 1 (10 K ) + i L (t ) + L − 2K L =0 2 dt 2 C dt dt

Sustituyendo valores y reacomodando se tiene: d 2 i L (t ) di (t ) + 4 M L + 4Ti L (t ) = 0 , 2 dt dt Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 4Ms + 4T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = s2 = -2M Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: v(t) = K1℮-2Mt + K2t℮-2Mt

12KΩ

Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones 24V iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.7.

1KΩ + vC(0 ) -

3KΩ

6KΩ -

iL(0 )

Figura 7.5.7

Como podemos observar del circuito iL(0-) = 0A y vC(0-) = 0V Y como iL(0-) = iL(0) = iL(0+) = 0A, entonces evaluándola en la ecuación general de iL(t), obtenemos:

221

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Circuitos de Segundo Orden

iL(0) = K1 = 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta iL(t), así: diL(t)/dt = -2MK2t℮-2Mt + K2℮-2Mt y evaluándola para t = 0 obtenemos: diL(0)/dt = K2 Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial (3) que obtuvimos de insertar la ecuación 1 en la ecuación 2 y despejamos la primera derivada de i2(t) (que es iL(t)), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

di L (t ) = 4 K − 4MiL (t ) − 500vC (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos: dt di L (0) = 4 K − 4 Mi L (0) − 500vC (0) = 4 K − 0 − 0 = 4 K , así la segunda ecuación es: dt diL(0)/dt = K2 = 4K, entonces la corriente iL(t) es: iL(t) = 4Kt℮-2Mt A, por lo tanto el voltaje vo(t) será:

vo(t) (V) 2

vo(t) = iL(t)*3K = 12Mt℮-2Mt V La figura 7.5.8 muestra vo(t) 0

2M

1M

3M

t (s)

Figura 7.5.8

Ejemplo 7.5.3

Encuentre vo(t) para t > 0 para el circuito que se muestra en la figura 7.5.9 y grafique la respuestaincluyendo el intervalo de tiempo justo antes de abrir el interruptor. t=0

10mV

4KΩ 4KΩ

+ v(t) -

v(t) 25

30KΩ

8mH

100pF

+ 15KΩ v (t) o -

Figura 7.5.9 Solución: Para encontrar vo(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y vo(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que ambos comparten el mismo par de nodos: El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.10. 4KΩ 10mV

4KΩ

+ v(t) -

v(t) 25

30KΩ

8mH

100pF

+ 15KΩ v (t) o -

Figura 7.5.10 222

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Circuitos de Segundo Orden

Ahora procederemos a encontrar la ecuación diferencial de segundo que define el circuito, para ello aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así:

vC (t ) vC (t ) dv (t ) 1 t + + C C + ∫ vC ( x)dx + i L (0 − ) = 0 dt L 0 30 K 15K Como podemos observar de la ecuación anterior, no aparece la fuente dependiente ya que v(t) = 0, porque el interruptor se encuentra abierto. Ahora ésta expresión integrodiferencial la debemos derivar con respecto al tiempo, para obtener la ecuación diferencial de segundo orden, característica del circuito, así: dvC (t ) dvC (t ) d 2 vC (t ) 1 + +C + vC (t ) = 0 , sustituyendo los valores de L y C y 30 Kdt 15 Kdt L dt 2 reacomodando obtenemos: d 2 vC (t ) dv (t ) + 1M C + 1.25TvC (t ) = 0 2 dt dt Como podemos observar ésta ecuación es igual a cero, entonces solo tendremos solución natural y tendremos que encontrar a cual respuesta natural obedece, en dependencia de los valores de las raíces de la ecuación característica. La ecuación característica es entonces: s2 + 1Ms + 1.25T = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1,2 = -(1/2)M ± j1M Entonces la respuesta natural del circuito es subamortiguada, y por lo tanto toma la forma: vC(t) = ℮-500Kt[K1cos(1Mt) + K2sen(1Mt)] Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.11. 4KΩ 10mV

4KΩ

+ v(t) -

v(t) 25

30KΩ

+ vC(0-) iL(0-) -

+ 15KΩ vo(0-) -

Figura 7.5.11 Como podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-) = -v(t)/25, pero v(t) es: v(t) = (4K/8K)*10m = 5mV, entonces iL(0-) = -0.2mA Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: 223

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Circuitos de Segundo Orden

vC(0) = K1 = 0 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = -500K℮-500Kt[K2sen(1Mt)] + ℮-500Kt[1MK2cos(1Mt)] y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = 1MK2 Ahora regresamos a la ecuación integro-diferencial que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

dvC (t ) = −10GiL (t ) − 1MvC (t ) y al evaluarla en t = 0, tenemos: dt vo(t) (V) dvC (0) = −10Gi L (0) − 1MvC (0) = −2 M − 0 = 2 M dt 1 , así la segunda ecuación es:

dvC(0)/dt = 1MK2 = 2M, de donde obtenemos K2 = 2, entonces el voltaje vo(t) es: vo(t) = vC(t) = 2℮-500Kt[sen(1Mt)] V

0

4M 6M

2M

t (s)

Figura 7.5.12

La Figura 7.5.12 muestra vo(t)

t=0

Ejemplo 7.5.4 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.13. Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t = 0-.

2Ω 6Ω 1/8 F

Solución:

+ v -

5/2 A

2H

Figura 7.5.13

Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0, y el voltaje v(t) debe encontrarse en función del voltaje del capacitor o en función de la corriente del inductor. El circuito para t > 0 se muestra en la figura 7.5.14:

2Ω 6Ω 1/8 F

+ v iC -

5/2 A iL

2H

Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) como una función del voltaje del capacitor (se le deja al lector, Figura 7.5.14 encontrar el voltaje v(t) en función de la corriente del inductor) para ello aplicaremos la LKV a ambas mallas del circuito y la LKC al nodo superior de la fuente independiente de corriente.

224

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Aplicando la LKC al nodo superior de la fuente, tenemos: 5/2 = iC + iL (1) Ahora aplicaremos la LKV a la malla de la izquierda del circuito, para obtener v(t), así: v = v6Ω + vC = 6iC + vC (2) Pero también podemos aplicar la LKV a la malla derecha del circuito para obtener v(t), así: v = v2Ω + vL = 2iL + vL = 2iL + LdiL/dt (3) De la ecuación (1) podemos despejar iL en función de iC, así: iL = 5/2 - iC e insertándola en la ecuación (3) obtenemos:

di 5 d 5 v = 2( − iC ) + L ( − iC ) = 5 − 2iC − L C (4), ésta expresión la igualamos a la 2 dt 2 dt expresión de la ecuación (2) para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito 6iC + vC = 5 − 2iC − L

diC , sustituyendo iC = CdvC/dt y reacomodando el circuito dt

tenemos: d 2 vC dvC + 8 C + vC = 5 , sustituyendo los valores de L y C y reacomodando dt dt 2 obtenemos: LC

dv d 2 vC + 4 C + 4vC = 20 2 dt dt Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: vC(t) = vCn(t) + vCf(t) Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así: d 2 K3 dK + 4 3 + 4 K 3 = 20 , de aquí que K3 = 20/4 = 5 2 dt dt Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s2 + 4s + 4 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces

225

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Circuitos de Segundo Orden

s1 = s2 = -2 Entonces la respuesta natural del circuito es críticamente amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vCn(t) = K1℮-2t + K2t℮-2t, entonces la solución total será: vC(t) = K1℮-2t + K2t℮-2t + 5

2Ω

Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, para ello necesitamos redibujar el 6Ω + circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.15. Como podemos observar del circuito vC(0-) = 0V, pero iL(0-) = 5/2 A,

vC(0-) -

+ v -

5/2 A iL(0-)

Figura 7.5.15

Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = 5 + K1 = 0, entonces K1 = -5 La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = 10℮-2t - 2K2t℮-2t + K2℮-2t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = 10 + K2 Ahora regresamos a la ecuación (1) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior de la fuente de 5/2 A y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

dvC (t ) 5 / 2 i L (t ) = − y al evaluarla en t = 0, tenemos: dt C C dvC (0) 5 / 2 5 / 2 = − = 0 , así la segunda ecuación es: dt 1/ 8 1/ 8 dvC(0)/dt = 10 + K2 = 0, de donde obtenemos K2 = -10, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = -5℮-2t - 10t℮-2t + 5, pero como estamos interesados en encontrar v(t) haremos uso de la ecuación (2): v = 6iC + vC = 6CdvC/dt + vC, sustituyendo vC(t), tenemos: v (t ) =

3 (10e−2t + 20te−2t − 10e−2t ) + 5 − 5e−2t − 10e−2t 4

v(t) = 15t℮-2t +5 - 5℮-2t - 10t℮-2t , por lo tanto será: v(t) = 5 - 5℮-2t + 5t℮-2t V

226

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Ejemplo 7.5.5

t=0

Determine v(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura 7.5.16. Suponga 4u(t) V que existen condiciones de estado estable cuando t = 0-.

4Ω 1H ¼F

10V

+ v -

6Ω

Figura 7.5.16 Solución: 4Ω

Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya que v(t) 4V se encuentra entre las terminales del capacitor:

1H

iL ¼F

10V

6Ω

iC + v -

Figura 7.5.17

El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.17.

Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vC(t) utilizando una combinación de la LKC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v = vL + v6Ω = LdiL/dt + 6iL (1) Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así: i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos:

iL =

dv 4 − vC − C C (2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1) se tiene: 4 dt

v = vC = L

dv d ⎛ 4 − vC −C C ⎜ dt ⎝ 4 dt

dv ⎞ ⎛ 4 − vC −C C ⎟ + 6⎜ dt ⎠ ⎝ 4

⎞ ⎟ , efectuando operaciones, tenemos: ⎠

d 2 vC 3v dv L dvC − LC + 6 − C − 6C C , sustituyendo los valores de L y C y 2 4 dt 2 dt dt reacomodando obtenemos: vC = −

d 2 vC dv + 7 C + 10vC = 24 2 dt dt Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: vC(t) = vCn(t) + vCf(t)

227

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Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una constante, entonces suponemos que la respuesta forzada también es constante, así vCf(t) = K3, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así: d 2 K3 dK + 7 3 + 10 K 3 = 24 , de aquí que K3 = 24/10 = 2.4 2 dt dt Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -2 y s2 = -5 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vCn(t) = K1℮-2t + K2℮-5t , entonces la solución total será: vC(t) = K1℮-2t + K2℮-5t + 2.4

4Ω

Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones iniciales, 0V para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.18. Del circuito obtenemos vC(0-) haciendo un divisor de voltaje, así:

iL(0-) 10V 6Ω

+ vC(0-) -

Figura 7.5.18

vC(0-) = (6/10)*10 = 6V y para obtener iL(0-) aplicaremos la ley de Ohm, así: iL(0-) = 6/6 = 1A Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = K1 + K2 + 2.4 = 6, Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = -2K1℮-2t - 5K2℮-5t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = -2K1 -5K2 Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así:

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Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

dvC (t ) 1 vC (t ) i L (t ) = − − y al evaluarla en t = 0, tenemos: dt C 4C C dvC (0) 1 6 1 = − − = −6 , así la segunda ecuación es: dt 1 / 4 4(1 / 4) 1 / 4

dvC(0)/dt = -2K1 - 5K2 = -6, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1 = 4, y K2 = -0.4, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = v(t) = 4℮-2t – 0.4℮-5t + 2.4 V t=0

Ejemplo 7.5.6 Determine v(t) para t > 0 en el circuito que 20V se muestra en la figura 7.5.19, si vf = 8℮4t u(t). Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t = 0-.

4Ω + v -

vf

6Ω

¼F

1H

Figura 7.5.19 Solución:

4Ω

Para encontrar v(t) para t > 0, es necesario redibujar nuestro circuito para t > 0 y v(t) será igual al voltaje del capacitor vC(t), ya 20V que v(t) se encuentra entre las terminales del capacitor:

i4Ω vf

+ v -

6Ω iC

iL

¼F

1H

Figura 7.5.20

El circuito para t > 0, se muestra en la figura 7.5.20.

Ahora procederemos a encontrar el voltaje v(t) = vC(t) utilizando una combinación de la LKC y la LKV para obtener la ecuación diferencial de segundo orden característica del circuito. Primero aplicaremos la LKV a la malla derecha del circuito, así: v = v6Ω + vL = 6iL + LdiL/dt (1) Ahora aplicaremos la LKC al nodo superior del capacitor, así: i4Ω = iL + iC , entonces despejando iL obtenemos: iL =

v f − vC 4

−C

dvC (2) y sustituyendo ésta en la ecuación (1) se tiene: dt

⎛ v f − vC dv v = vC = 6⎜⎜ −C C dt ⎝ 4 tenemos:

⎞ dv d ⎛ v − vC ⎟⎟ + L ⎜⎜ f −C C dt ⎝ 4 dt ⎠

229

⎞ ⎟⎟ , ⎠

efectuando

operaciones,

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Circuitos Eléctricos I 3v f

Circuitos de Segundo Orden

3vC dv d 2 vC L dv f L dvC − 6C C + − − LC , sustituyendo los valores de L. 2 2 dt 4 dt 4 dt dt 2 C y vf y reacomodando obtenemos: vC =

−

d 2 vC dv + 7 C + 10vC = −32e −4t + 48e −4t = 16e−4t 2 dt dt Como podemos observar ésta ecuación no es igual a cero, entonces tendremos solución natural y solución particular. La solución total será: vC(t) = vCn(t) + vCf(t) Para obtener la respuesta forzada, como f(t) es una señal exponencial, entonces suponemos que la respuesta forzada también será exponencial, así vCf(t) = K3℮-4t, ésta solución se sustituye en la ecuación diferencial de segundo orden y se encuentra el valor de K3, así: d 2 ( K 3e −4t ) d ( K 3e −4t ) + 7 + 10( K 3e −4t ) = 16e −4t , efectuando las derivadas tenemos: 2 dt dt 16 K 3e −4t − 28 K 3e −4t + 10 K 3e −4t = 16e −4t , de aquí que K3 = -16/2 = -8, así:

vCf(t) = -8℮-4t Para obtener la respuesta natural, hacemos uso de la ecuación característica, para obtener las raíces, así: s2 + 7s + 10 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces s1 = -2 y s2 = -5 Entonces la respuesta natural del circuito es sobre amortiguada, y por lo tanto toma la forma: vCn(t) = K1℮-2t + K2℮-5t , entonces la solución total será: vC(t) = K1℮-2t + K2℮-5t - 8℮-4t

4Ω

Ahora para encontrar los valores de K1 y K2 haremos uso de las condiciones 20V iniciales, para ello necesitamos redibujar el circuito para t < 0, como se muestra en la figura 7.5.21. -

0V

6Ω + vC(0-)

iL(0-)

-

Figura 7.5.21

Del circuito obtenemos vC(0 ) haciendo un divisor de voltaje, así: vC(0-) = (6/10)*20 = 12V y para obtener iL(0-) aplicaremos la ley de Ohm, así:

230

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Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

iL(0-) = 12/6 = 2A Y como vC(0-) = vC(0) = vC(0+) = 0V, entonces evaluándola en la ecuación general de vC(t), obtenemos: vC(0) = K1 + K2 - 8 = 12, Y La segunda ecuación la obtenemos de derivar la respuesta vC(t), así: dvC(t)/dt = -2K1℮-2t - 5K2℮-5t + 32℮-4t y evaluándola para t = 0 obtenemos: dvC(0)/dt = -2K1 -5K2 + 32 Ahora regresamos a la ecuación (2) que obtuvimos de aplicar la LKC al nodo superior del capacitor y despejamos la primera derivada de vC(t), para evaluarla en t = 0 y encontrar su valor que será utilizado en la ecuación anterior, así: dvC (t ) v f vC (t ) i L (t ) = − − y al evaluarla en t = 0, tenemos: dt 4C 4C C dvC (0) 8 12 2 = − − = −12 , así la segunda ecuación es: dt 4(1 / 4) 4(1 / 4) 1 / 4

dvC(0)/dt = -2K1 - 5K2 + 32 = -12, Resolviendo las dos ecuaciones para K1 y K2 obtenemos K1 = 56/3, y K2 = 4/3, entonces el voltaje vC(t) es: vC(t) = v(t) = (56/3)℮-2t + (4/3)℮-5t - 8℮-4t V

7.6

Problemas propuestos

7.6.1 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.1, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 1.6H

10mA

t=0

20KΩ

5nF

+ vC -

Figura 7.6.1 7.6.2 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.2, encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. iL 1/45 H

5Ω

12V

t=0

1Ω

2mF

Figura 7.6.2 231

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Circuitos de Segundo Orden

7.6.3 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.3, encuentre iC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. iC 2u(-t) A

50Ω

20mH

2.5µF

Figura 7.6.3 7.6.4 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.4, encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. iL 4u(-t) A

2Ω

¼F

2/13 H

Figura 7.6.4 7.6.5 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.5, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 1Ω

0.5 H t=0

12V

+ vC -

2F

5Ω

Figura 7.6.5 7.6.6 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.6, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 2Ω iL 10u(-t) A

0.2F

0.25 H

Figura 7.6.6 7.6.7 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.7, encuentre i(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. t=0

i(t) 3Ω

12V

3/8 F 1/3 H

Figura 7.6.7

232

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Circuitos de Segundo Orden

7.6.8 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.8, encuentre vo(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. + vo(t) ¼F

8Ω 3Ω t=0

t=0 ½H

12V

6V

Figura 7.6.8 7.6.9 El circuito que se muestra en la figura 7.6.9, es un circuito transmisor de un sistema de comunicación de una estación espacial que usa pulsos cortos para a un autómata que opera en el espacio. Encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

250Ω

0.8H + vC(t) -

250Ω

t=0

5µF

6V

Figura 7.6.9 7.6.10 El circuito que se muestra en la figura 7.6.10, es un circuito de suministro de potencia de 240W. Encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. iL(t)

4H

t=0 ¼F

8Ω

2Ω 4Ω

7A

Figura 7.6.10 7.6.11 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.11, encuentre v(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 100µH 0.2µF

200mA

3Ω

+ v(t) -

t=0

17Ω

10V

Figura 7.6.11 233

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Circuitos de Segundo Orden

7.6.12 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.12, encuentre v(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. t=0 2Ω + v(t) -

6Ω 1/8 F

5/2 A

2H

Figura 7.6.12 7.6.13 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.13, encuentre vC(t) para t > 0, cuando a) C = (1/10)F, b) C = (1/18)F y c) C = (1/20)F. Suponga estado estable en t = 0. 4Ω

+ vC(t)

C

1u(t) A

8Ω

2H

Figura 7.6.13 7.6.14 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.14, encuentre i(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 2KΩ

6KΩ 10mA 2KΩ

t=0 2/5 µH

1/12 µF

8V

i(t)

Figura 7.6.14

7.6.15 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.15, encuentre vC(t) para t > 0, cuando vC(0-) = 1V e iL (0-) = 0A. 1Ω

1Ω

5cost V

0.5H

1/12 F

+ vC(t) -

Figura 7.6.15 7.6.16 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.16, encuentre iC(t) para t > 0, considere if = ℮-tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-. 3Ω iC(t) if

1Ω

0.5H

1F

Figura 7.6.16 234

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Circuitos de Segundo Orden

7.6.17 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.17, encuentre vC(t) para t > 0, considere if =9 + 3℮-2tu(t) A. Suponga estado estable en t = 0-. + vC(t) ½F

5H

1.5Ω 1Ω

0.5Ω

if

Figura 7.6.17 7.6.18 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.18, encuentre vC(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-. 1H 1/5 F

4u(t) A 6Ω

+ vC(t) -

Figura 7.6.18 7.6.19 Para el circuito que se muestra en la figura 7.6.19, encuentre iL(t) para t > 0. Suponga estado estable en t = 0-.

-3u(t) A

0.2H

20mF

0.5Ω

3A

iL(t)

Figura 7.6.19 7.6.20 Para el circuito que se muestra en la figura 20, encuentre vC(t) para t > 0, cuando a) vf = 2u(t) V, b) vf = 0.2tu(t) V y vf = 1℮-30tu(t) V. Suponga estado estable en t = 0-. 7Ω vf

0.1H 833.3µF

+ vC(t) -

Figura 7.6.20

235

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